Estadística Contrastes para...

05/04/11

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Contrastes para proporciones

Estadística

Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada

Prof, Dr. Jose Jacobo Zubcoff

Estadística

Contrastes para los parámetros de

Una proporción


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Supongamos que poseemos una sucesión de observaciones independientes, de modo que cada una de ellas se comporta como una distribución de Bernoulli de parámetro p La v.a. X, definida como el número de éxitos obtenidos en una muestra de tamaño n es por definición una v.a. de distribución binomial

Estadística Estadística

Contraste para una proporción

Contrastes para proporciones: Una proporción

La proporción muestral (estimador del verdadero parámetro p a partir de la muestra -ML-) es Y el contraste bilateral quedará definido como Donde p0 será un valor prefijado


nXp =ˆ

00 : ppH =


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Para ello nos basamos en un estadístico (de contraste) que sigue una distribución aproximadamente normal para tamaños muestrales suficientemente grandes Donde si p era la prob. de éxito, q=1-p Recordemos para ello las condiciones de aproximación a una Normal (recordar Teorema del Límite Central):


⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛≅=npqpN

nXp ,ˆ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

≥

5

5

pynp


Partiendo de los supuestos anteriores podemos llegar mediante la tipificación a: Por lo que los intervalos de confianza quedarían como: Que para grandes muestras y aplicando corr. de continuidad:


nqpppZ00

0ˆ −=

α−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

≤−

≤ 1ˆ00

0 b

nqpppaP ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=−

nqpZp

nqpZpI p 00

2/00

2/1 ˆ,ˆ0 ααα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+−

−−=−

nnppZp

nnppZpI p 2

1)ˆ1(ˆˆ,21)ˆ1(ˆˆ 2/2/

10 ααα


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1.  No se rechaza para un determinado nivel de significación si

2.  Que traducido a estadístico no rechazo si:

3. Recordad que para el p-valor calculado como:

⎩⎨⎧

≠

=

01

00

::

ppHppH

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∈

nqpz

nqpZpp 00

2/00

2/0 ,ˆ αα

2/00

0exp

ˆαZ

nqpppZ t <

−=

chazoNop Re⇒>α

( )⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

>=−⇒>=

nqpppZPvalorpZZPp t00

0exp

ˆ*22/

Contraste de hipótesis



1.  No se rechaza si

2.  Estadístico

3. p-valor:


2.  Estadístico: 3. p-valor:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∞−∈

nqpZpp 00

0,ˆ α

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

>=−

nqpppZPvalorp00

0ˆ

⎩⎨⎧

<

≥

01

00

::

ppHppH

⎩⎨⎧

>

≤

01

00

::

ppHppH

chazoNoZ

nqppp Reˆ00

0 ⇒<−

α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∞−∈ ,ˆ 00

0 nqpZpp α

αZ

nqpppchazoNo −>

−⇒

00

0ˆRe

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

<=−

nqpppZPvalorp00

0ˆ



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Estadística

⎩⎨⎧

≠

=

01

00

::

ppHppH

05.0=α

Región de aceptación No rechazo

R. Crítica Rechazo

95.01 =−α

αZtZ exp

⎩⎨⎧

>

≤

01

00

::

ppHppH

025.02/ =α

Región de aceptación No rechazo

R. Crítica Rechazo

95.01 =−α

025.02/ =α

R. Crítica Rechazo

2/αZ− 2/αZtZ exptZexp−

)1,0(ˆ00

0 N

nqppp

≈−

p-valor p-valor

p-valor

)1,0(N

)1,0(N

Ejemplo, Una medicina que se prescribe comúnmente para aliviar la tensión nerviosa se considera que es efectiva en un 60%. Resultados experimentales con una nueva medicina que se administra en una muestrea aleatoria de 100 adultos que padecen de tensión nerviosa muestran que 70 tuvieron éxito. ¿Ésta es evidencia suficiente para concluir que la nueva medicina es superior a la que se prescribe actualmente? 1. Definición de hipótesis y Alfa=0.05



⎩⎨⎧

>

≤

6.0:6.0:

1

0

pHpH

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2. Los cálculos necesarios son: Proporción de efectividad de la medicina: 3. Criterios de aceptación: a) Región de aceptación:

:p̂



7.010070

ˆ ===nXp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∞−∈

nqpZpp 00

0,ˆ α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+∞−∈

100)6.01(6.06.0,7.0 05.0Z

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+∞−∈

1004.06.0645.16.0,7.0 ( )68.0,7.0 ∞−∉ RECHAZO H0

b) Estadístico: c) p-valor

teot ZZ =>= 645.104.2exp



RECHAZO H0

04.2

1004.06.06.07.0ˆ

00

0exp =

⋅−

=−

=

nqpppZ t 645.105.0 == ZZteo

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

>=−

nqpppZPvalorp00

0ˆ ( ) ( )04.2104.2 <−=−⇒>=− ZPvalorpZPvalorp

0207.00.97931 =−=− valorpRECHAZO H0

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Estadística

Contrastes para los parámetros de

Dos proporciones


Supongamos que tenemos dos muestras independientes tomadas sobre dos poblaciones, en la que estudiamos una variable de tipo dicotómico (Bernoulli): Donde X1 y X2 contabilizan en cada caso el número de éxitos en cada muestra se tiene que cada una de ellas se distribuye como una variable aleatoria binomial:


Contraste para la diferencia de proporciones

Contrastes para proporciones: Dos proporciones

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Contrastes para proporciones: Dos proporciones Los estimadores de las proporciones en cada población tienen distribuciones que de un modo aproximado son normales (cuando n1 y n2 son bastante grandes) El contraste que nos interesa realizar es el de si la diferencia entre las proporciones en cada población es una cantidad conocida Delta El estadístico de contraste sigue una distribución normal:

1.  No se rechaza para un determinado nivel de significación si

2.  Que traducido a estadístico no se rechaza si:

3. Recordad que para el p-valor calculado como:

Estadística

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠−

=−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠

=

0:

0:

:

:

1

0

1

0

yx

yx

yx

yx

ppHppH

ppHppH

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−∈−

y

yy

x

xx

y

yy

x

xxyx n

qpnqpZ

nqp

nqpZpp ˆˆˆˆ,

ˆˆˆˆˆˆ 2/2/ αα

2/exp ˆˆˆˆ

ˆˆαZ

nqp

nqp

ppZ

y

yy

x

xx

yxt <

+

−=

chazoNop Re⇒>α

( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−>=−⇒>=

y

yy

x

xx

yxt

nqp

nqp

ppZPvalorpZZPp

ˆˆˆˆ

ˆˆ*22/ exp

Contraste de hipótesis

Contrastes para dos Poblaciones independientes. Diferencia de medias, varianzas conocidas

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2.  Estadístico

3. p-valor:


2.  Estadístico: 3. p-valor:

Estadística

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+∞−∈−

y

yy

x

xxyx n

qpnqpZpp ˆˆˆˆ,ˆˆ α

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−>=−

y

yy

x

xx

yx

nqp

nqp

ppZPvalorp

ˆˆˆˆ

ˆˆ

⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

≥−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥

0:

0:

:

:

1

0

1

0

yx

yx

yx

yx

ppHppH

ppHppH

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

≤−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤

0:

0:

:

:

1

0

1

0

yx

yx

yx

yx

ppHppH

ppHppH

αZ

nqp

nqp

ppchazoNo

y

yy

x

xx

yx <

+

−⇒

ˆˆˆˆ

ˆˆRe

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+∞+−∈− ,

ˆˆˆˆˆˆy

yy

x

xxyx n

qpnqpZpp α

αZ

nqp

nqp

ppchazoNo

y

yy

x

xx

yx −>

+

−⇒

ˆˆˆˆ

ˆˆRe

Contrastes para dos Poblaciones independientes. Diferencia de medias, varianzas conocidas

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−<=−

y

yy

x

xx

yx

nqp

nqp

ppZPvalorp

ˆˆˆˆ

ˆˆ

Ejemplo, Con objeto de saber si se debe o no construir una central nuclear en un municipio, se ha desarrollado una encuesta y tomado el voto del municipio donde se propone su ubicación y el voto en otros municipios de la Comunidad Autónoma. Si 120 de 200 encuestados del municipio rechazan la implantación y 240 de 500 del resto de la Región también lo hacen, ¿se puede afirmar que la proporción de encuestados que rechazan la implantación es más alto que la proporción de votantes del resto de la Región?. Utiliza un nivel de significación del 0.025. 1. Definición de las hipótesis y de Alfa=0.025



⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

≤−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤

0:

0:

:

:

1

0

1

0

yx

yx

yx

yx

ppHppH

ppHppH

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2. Los cálculos necesarios son: 3. Criterios de aceptación: a) Región de aceptación:

52.0ˆ1ˆ4.0ˆ1ˆ

48.0ˆ6.0ˆ

500200240120

=−==−=

====

==

==

yyxx

yy

xx

yx

pqpqnXp

nXp

nnYX



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅∞−∈−

50052.048.0

2004.06.096.1,48.06.0

( )0412.096.1,12.0 ⋅∞−∈ ( )081.0,12.0 ∞−∉ RECHAZO H0

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+∞−∈−

y

yy

x

xxyx n

qpnqpZpp ˆˆˆˆ,ˆˆ α

b) Estadístico: c) p-valor

teot ZZ =>= 96.1913.2exp



RECHAZO H0

913.2

50052.048.0

2004.06.0

48.06.0ˆˆˆˆ

ˆˆexp =

⋅+

⋅−

=

+

−=

y

yy

x

xx

yxt

nqp

nqp

ppZ 96.1025.0 == ZZteo

( )tZZPvalorp exp>=− ( ) ( )913.21913.2 <−=−⇒>=− ZPvalorpZPvalorp

0019.00.99811 =−=− valorpRECHAZO H0

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