Teoria de la probabilidad

Definicion de probabilidad

1.Con frecuencia observamos o escuchamos el estado del tiempo.2.Los hinchas de los diferentes equipos discuten frecuentemente sobre la posibilidad de clasificacion o de ganar el campeonato.3.Los que juegan lotería o apuestan a las carreras de caballos,tambien sueñan con la posibilidad de ganar.4.En el caso de los alumnos cuando se refieren a la posibilidad de perder o ganar una asugnatura.

Definición de ProbabilidadEl concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indefinible,pero utilizado para expresar de algun modo,un grado de creencia que uno tiene de la ocurrencia de un suceso.( Martinez,Bencardino,P.232)• Existe una terminología básica, para definir el concepto de probabilidad,

como la posibilidad de que algo pase.(Rubio,Levin,p.129).• Las probabilidades se expresan como fracciones(1/6,1/2,8/9) o como

decimales que estan entre cero y uno.• Tener una probabilidad de cero, significa que algo nunca vá a suceder; una

probabilidad de uno indica que algo vá a suceder siempre.

Breve Historia de la Probabilidad

• El origen de la probabilidad inició en las mesas de juego, cuando el noble francés Antoine Goumbauld(1607-1684, siglo XVII) buscó la base matemática del éxito y del fracaso en las mesas de dados.Él le preguntó al matemático Francés Blaise Pascal(1623-1662) ¿Cuales son las probabilidades de obtener dos seises al menos una vez en 24 tiradas de un par de dados? Pascal le resolvío el problema y se interesó en el asunto de las probabilidades al igual que Goumbauld y compartieron sus ideales con Pierre de Fermat(1601-1665), las cartas que se enviaron Fermat y Pascal,fueron las bases de la primera revista académica, referente a la teoría de la probabilidad.

Primeros teóricos sobre probabilidad

• Pierre de Fermat(1601-1665)

    Blaise Pascal (1623-1662)   ;  Jacob Bernoulli (1654-1705) 

Otros teóricos de la Probabilidad

• Abraham de Moivre (1667-1754)• El reverendo Thomas Bayes (1702-1761)• Joseph Lagrange(1736-1813).• Estos científicos desarrollaron fórmulas y técnicas para el

cálculo de la probabilidad. En el siglo XIX, Pierre Simon, Marquez de Laplace (1749-1827),unificó todas estas ideas y compiló la primera teoría general de la probabilidad.

Elementos que conforman la teoría Probabilística

1.EventoEn la teoria de la probabilidad, un evento es uno o mas de los posibles resultados de hacer algo.Al lanzar una moneda al aire, si cae cruz es un evento y si cae cara es otro evento.

2.ExperimentoEn la teoría de la probabilidad,la actividad que origina uno de dichos eventos se conoce como experimento.En el ejemplo anterior el experiemento es lanzar una moneda,de acuerdo con ésto surge la pregunta:¿Cuál es la probabilidad del evnto cara?3.Eventos que son mutuamente excluyentesSe dice que los eventos son mutuamente excluyentes si uno y sólo uno de ellos puede tener lugar a un tiempo.En cualquier lanzamiento podriamos tener cara o cruz pero no cara y cruz al tiempo.4.Espacio MuestralEs el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.En el ejemplo de lanzar una moneda el espacio muestral "S" es:S={Cara,Cruz}

Clases de Probabilidad1.Probabilidad ClásicaP(E)=(No de resultados en los que se presenta el evento)/(No total de resultados posibles)En el ejmplo anterior de la moneda, P(E)=1/2.El número de resultados de un solo lanzamiento  del dado que producirá un 5 es: P(E)=1/6.2.Probabilidad de una frecuencia relativa.Se define como la frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos.Un ejemplo clásico sería;¿Cuál es la probabilidad de yo viva hasta los 85 años?3.Probabilidad subjetivaEs la probabilidad asignada a un evento,por parte de un individuo,basado en la evidencia que tenga disponible.Como ejemplos tenemos los siguientes:¿Perderá la seleccion de fútbol el próximo partido?¿Sacaré mas de 4 en el próximo exámen? , en ellos la persona fijará la probabilidad correspondiente dependiendo de su criterio personal.

Reglas de Probabilidad1.Regla de la adicion para eventos mutuamente excluyentes

A menudo, sinembargo,estamos interesados en la probabilidad de que una cosa u otra suceda.Si estos dos eventos son mutuamente excluyentes,podemos expresar esta probabilidad haciendo uso de la regla de la adicion para eventos mutuamente excluyentes,esta regla se expresa de la siguiente manera:P(AUB)=P(A)+P(B).Tambien se escribe asi:P(A o B)=La probabilidad de que suceda A  o B.Esta regla de la adicion se ilustra en el diagrama de Venn:

Diagrama de Ven.Eventos Mutuamente Excluyentes

Diagrama de Venn.Eventos no Excluyentes

Ejemplos de Eventos Mutuamente Excluyentes

• Cinco estudiantes por igual capaces esperan la fecha en que se les hará una entrevista para trabajar en el verano. La compañía solicitante ha anunciado que contratará a sólo uno de los cinco,mediante una eleccion aleatoria.El grupo está formado por los estudiantes siguientes: Lina, Habid,Belkin,Tania y Sharon. Si nuestra pregunta es, ¿Cuál es la probabilidad de que Habid sea elegido?, sólo utilizaremos el concepto de probabilidad clásica:

• P(H)=1/5=0.2• ¿Cuál es la probabilidad de que Sharon o Tania sean elegidos?• P(S o T)= P(S) + P(T)=1/5 + 1/5 =2/5=0.4

Un caso especial de la ecuacion P(AUB)=P(A) + P(B)

• Para cualquier evento A, tenemos que éste sucede o no sucede.De modo que los eventos A y noA son mutuamente excluyentes y exhaustivos; de acuerdo con ésto se tiene la siguiente ecuación:

• P(A) + P(noA)=1• o de manera equivalente:• P(A)=1-P(noA), tambien se puede escribir ésta ecuación como:• P(A)=1-P(A´ ), donde (A´ )  es el complemento de A.

•Ejemplo: En un pueblo se tiene la probabilidad del tamaño de unas familias, que se escriben como sigue:

• P(Número de hijos=0)=0.05• P(NoH=1)=0.10• P(NoH=2)=0.30• P(NoH=3)=0.25• P(NoH=4)=0.15• P(NoH=5)=0.10• P(NoH=6 o mas)=0.05.• ¿Cúal es la probabilidad de que una familia de ese pueblo , escogida al azar,tenga 4 o mas hijos? (es

decir 4,5,6 o mas hijos).• Respuesta 0.30 (Resolver  el ejercicio)

Adicion para eventos que no son mutuamente excluyentes• P(A o B)=P(A) + P(B) -P(A y B).• P(A o B) Es la probabilidad de que se presenta A o B , cuando A

y B no son mutuamente excluyentes.• P(A) es la probabilidad de que A suceda.• P(B) es la probabilidad de que B suceda.• P(A y B) es la probabilidad de que A y B sucedan juntos.• Esta ecuación tambiem se escribe así:• P(AUB)=P(A) + P(B)-P(A Intersecto B).

Ejemplo de sucesos que no son mutuamente excluyentes

La probabilidad de que un alumno del instituto tenga un libro de matemáticas  en su biblioteca es 0.7; un libro de estadística es 0.4 y de que tenga ambos es 0.30.¿ Cuál es la probabilidad de que un estudiante del instituto tenga un libro de matemáticas o un libro de estadística o ambos libros?Solución:P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A y B)=0.7+0.4-0.3=0.8

Regla de la multiplicacion• Sucesos Independientes: Se dice que dos o más sucesos son

independientes, si la probabilidad de presentación de ninguno de ellos queda influenciada por la presentación del otro.En caso contrario se dice que son dependientes.En otras palabras, si el resultado de un suceso no afecta al otro.

• Si P1,P2,P3,...,Pn , son las distintas probabilidades de presentacion de n sucesos independientes, la probabilidad P de que ocurra todos estos sucesos en un solo ensayo,está dada por la ecuación:

• P=P1xP2xP3x...xPn.

• Ejemplos:Al lanzar dos dados cual es la probabilidad de sacar dos cincos?

• Solución:• P1=1/6 (5 en el primer dado); P2=1/6 (5 en el segundo )• P=P1xP2=1/6x1/6.• P=1/36.

Diferencias entre sucesos mutuamente excluyentes y sucesos independientes

• En el primero se tiene sólo un dado,una baraja; en el segundo son dos o mas dados o barajas.

• En el primero se extrae una sola carta,o se obtiene una sola cara,en el segundo se espera mas de dos o mas sucesos.

• En el primero utilizamos la conjunción "O" en el segundo la conjunción "Y".

Un ejmplo Particular• Una fábrica de calzado produce independientemente costura,suela y

tacón,siendo estas partes armadas aleatoreamente en cada zapato.En éste proceso,el 5% de las costuras,el 4% de las suelas y el 1% de los tacones tienen fallas; Qué porcentaje de pares de zapatos resulta:

• a)Con fallas en sus tres componentes?• b)Sin fallas en sus tres componentes?• Sugerencia:Para el punto a) utilice la regla del producto y para el b)la

propiedad del complemento y regla del producto.• Rta. a)0.002%; Rta.b)90.3%

Sucesos Dependientes• Se dicen que los sucesos son dependientes o eventos

compuestos,si la ocurrencia o no ocurrencia de un evento en cualquier prueba afecta la probabilidad de otros eventos en otras pruebas,es decir que la probabilidad del segundo suceso depende del primer suceso, el del tercero de lo que haya sucedido en el primero y segundo y  así sucesivamente.

• La ecuacion general es: P=P1XP2X...Pn.

Ejemplos de sucesos Dependientes

• Probabilidad de obtener un as,un Rey y una zota,sacando sucesivamente tres cartas,sin reposicion,de una baraja de 40 cartas.

• Solución:• P1=4/40(As);P2=4/39(Rey);P3=4/38(Zota);P=4/40x

4/39x4/38.• P=64/59280

Ejemplos de sucesos dependientes

• De una baraja de 40 cartas se desea extraer tres cartas en forma sucesiva sin reposición,es decir, la carta que se extrae no se regresa a la baraja;¿Cuál es la probabilidad de que en la primera extracción aparezca un as y en la segunda un Rey de oros y en la tercera un seis de copas?

Ejemplos y ejercicios• Solucion:• Al extraer la primera carta As, se tiene que P(A)=4/40,Luego al extraer el Rey de

oros,P(B)=1/39;con la tercera carta seis de copas se tendrá que P(C)=1/38.La probabilidad de que todos éstos sucesos dependientes ocurra es:

• P(A y B y C)=P(A) x P(B) x P(C)=• 4/40 x1/39 x1/38=1/14.820=0.00006747.• Generalmente se expresa lo anterior, de la siguiente manera, con el mismo

resultado:• P(A y B y  C)=P(A)x P(B/A) xP(C/A y B)=4/40 x1/39x1/38=4/58280=0.00006747.

Probabilidad Condicional• La probabilidad condicional es aquella que se

presenta en un evento o suceso,dado que otro evento ya ha ocurrido. Su ecuacion es:

• P(B/A)=P(A  y B )/P(A).• P(A/B)=P(A y B)/P(B).• P(B/A), se lee probabilidad de B dado A.• P(A/B), se lee probabilidad de B dado A.

Ejercicios de probabilidad condicional

• En una investigación reciente se encontró que el 10% de los conductores de taxi en la ciudad son hombres con estudios universitarios.Tambien se sabe que el 80% de los conductores de taxi son hombres.¿Cuál es la probabilidad, al tomar un conductor de taxi al azar, que resulte ser hombre, y que tenga además estudios universitarios?

Ejemplos y ejercicios• Solucion:• P(B/A)=P( A y B)/P(B)• =0.18/0.80=0.125=12.5%.• Se encuentra en una facultad que el 70% de los alumnos

matriculados, el 70% son mujeres y el 18% de ellas estudian Turismo. Si elegimos un estudiante al azar y resulta que es mujer¿Cuál es la probabilidad de que esté estudiando Turismo?

• Rta:25.71%(Resolver el ejercicio)

Teorema de Bayes

• El matemático y reverendo Thomas Bayes,(1763) en el siglo XVIII intentó desarrollar una fórmula para evaluar la probabilidad de la existencia de Dios con base en evidencias terrenales.

Teorema de Bayes• La ecuacion general aplicable es:• P(Ai/B)=P(Ai)P(B/Ai)/P(A1)(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+...+P(An)P(B/An).

• Este teorema establece, que si sucede cierto evento, que depende de la ocurrencia de los eventos A o B o C correspondientes a un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes, la probabilidad de que B haya ocurrido a consecuencia de A, lo cual lo expresamos P(A/B) corresponde al producto de las probabilidades individuales del evento A y del evento B, divivido por la probabilidad alternativa del evento B con respeccto a cada uno de los eventos independientes de A, B y C.

Ejemplo y Ejercicio• Se tienen tres recipientes; la primera contiene 6

bolas azules y 2 rojas;La segunda 4azules y 4 rojas y la tercera 6 azules.Se selecciona una de las tres urnas  al azar y de ella se extrae una bola que resulta ser azul.Con la anterior información.¿Cuál es la probabilidad de que el recipiente escogido sea el primero? Sea el tercero?

Ejemplo y Ejercicio•

Solución:• P(A1)=1/3; P(A2)=1/3; P(A3)=1/3.• P(B/A1)=6/8=3/4; P(B/A2)=4/8=1/2; • P(B/A3)=6/6=1.• La probabilidad de que la bola azul provenga del primer recipiente

será:• P(A1/B)=P(A1)P(B/A1)/P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+P(A3)P(B/A3).• =(1/3)(1)/(1/3)(3/4)+(1/3)(1/2)+(1/3)(1)=0.44.