MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN

Autor: Marcela QuinteroE- 339403

LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. 

 indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.

Media aritmética

Mediana

Moda

valor  variables

mayor frecuencia absoluta

cualitativas y cuantitativas.

variables cuantitativas

promedio de la distribución

ordenados de menor a mayor.

lugar central entre todos los

datos

IMPORTANCIA DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. 

Las medidas de tendencia central son medidas estadísticas que pretenden resumir en un solo valor a un conjunto de valores. Representan un centro en torno al cual se encuentra ubicado el conjunto de los datos. Las medidas de tendencia central más utilizadas son: media, mediana y moda. Las medidas de dispersión en cambio miden el grado de dispersión de los valores de la variable. Dicho en otros términos las medidas de dispersión pretenden evaluar en qué medida los datos difieren entre sí. De esta forma, ambos tipos de medidas usadas en conjunto permiten describir un conjunto de datos entregando información acerca de su posición y su dispersión. Los procedimientos para obtener las medidas estadísticas difieren levemente dependiendo de la forma en que se encuentren los datos. Si los datos se encuentran ordenados en una tabla estadística diremos que se encuentran “agrupados” y si los datos no están en una tabla hablaremos de datos “no agrupados”. 

Las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) sirven como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba.

Mostrar en qué lugar se ubica la persona promedio o típica del grupo.Sirve como un método para comparar o interpretar cualquier puntaje en relación con el puntaje central o típico.Sirve como un método para comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos diferentes ocasiones.Sirve como un método para comparar los resultados medios obtenidos por dos o más grupos.

MODA: DATOS NO AGRUPADOSHallar la moda de la serie de datos:

Xi: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5        Mo= 4

Si hay dos o puntuaciones con la misma frecuencia la distribución es bimodal

si son tres las que mas se repiten será trimodal 

Yi: 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9      Mo= 1, 5, 9 (trimodal)

Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay  moda.

Zi: 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9

MODA: datos agrupados Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

Li es el límite inferior de la clase modal.

fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.

fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal.

fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.

ai es la amplitud de la clase.

fi

(30,33)

5

(33,36)

18

(36,39)

42

(39,42)

27

(42,45)

8

100

ejemplo

𝑀 0=36+42−18

(42−18)+(42−27 )∗3=37,846

mediana

1 ordenamos los datos de menor a mayor.

2 si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6me= 5 3 si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

7, 8, 9, 10, 11, 12me= 9.5

la mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas..

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

cociente es la semisuma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

ai es la amplitud de la clase.

La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

MEDIA ARITMÉTICA

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

𝑋=20+19+10

3 =16,333

ejemplo

MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

Propiedades de la Media Aritmética

La suma de las desviaciones con respecto a la media aritmética es cero (0).

•La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a una constante cualquiera se hace mínima cuando dicha constante coincide con la media aritmética.•Si a todos los valores de la variable se le suma una misma cantidad, la media aritmética queda aumentada en dicha cantidad.•Si todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante la media aritmética queda multiplicada por dicha constante.•La media aritmética de un conjunto de números positivos siempre es igual o superior a la media geométrica:

Media O promedio es una medida de tendencia central  resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de números y que, en determinadas condiciones, puede representar por sí solo a todo el conjunto». Existen distintos tipos de medias, Los promedio más comunes conocidos en estadística son 1).- La media aritmética, 2).- la mediana, 3).- la moda, 4).- la media geométrica y 5).- la media armónica.

TIPOS DE PROMEDIOS: MATEMÁTICOS Y ESTADÍSTICOS.

CÁLCULO Y APLICACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA, PROMEDIO GEOMÉTRICO, LA MODA Y LA MEDIANA. 

MEDIA ARITMÉTICA PROMEDIO GEOMÉTRICO

Relación entre mediasExiste una relación de orden entre cuatro tipos de media. En esta relación se excluye la media ponderada porque depende de los pesos. Sean:

H la media armónicaMG la media geométrica

x la media aritméticaRMS la media cuadrática

Entonces:

Usos principales de la media geométrica:1. Para promediar porcentajes, índices y cifras

relativa2. para determinar el incremento porcentual

promedios en ventas, producción u otras actividades.

La Media Aritmética, Mediana y la Moda suelen emplear juntos en muchos estudios estadísticos.Ejemplo: En caso de los " salarios de una fábrica":a) La "Media Aritmética" servirá la pauta para calcular el total que se tiene que pagar.b) La "Mediana" indicará la posición que no alcanza la de los obreros y la mitad que superará la mitad de ellos.c) La "Moda" finalmente indicará cual es el nivel de salario más usado en la fábrica, o sea, el que percibe el mayor número de obreros de ella.

LA MODA Y LA MEDIANA. 

CÁLCULO Y APLICACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA, PROMEDIO GEOMÉTRICO, LA MODA Y LA MEDIANA

Formula de moda Formula para determinar la media

• Una aplicación muy importante de la mediana está en los estudios climáticos. Por ejemplo: Para la agricultura en zona de precipitaciones muy variables.

•  El Valor Modal se puede considerar como el más típico de una serie, para afectar a un número mayor de términos de la misma.Se le conoce también como el nombre de " Promedio industrial" ya que es el " Promedio de mayor utilidad en la industria y comercio".

• En una zapatería, la moda tiene especial importancia ya que ella será la guía para los futuros pedidos de zapatos

Como se puede apreciar en una sociedad que está en constante desarrollo, podemos decir que estas medidas de tendencia central nos facilitan la organización y el manejo de cualquier dato ya sea poblacional o comercial, las aplicaciones de estas tendencias se pueden apreciar a diario para el estudio estadistico sobre dicho tema en particular o general.

Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de la distribución.

la desviación media esta representada por

EjemploCalcular la desviación media de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

media

desviación media

Para datos agrupados

xi fi Xi-fi I x-`x I Ix-`xI *fi

(10,15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858

(15,20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43

(20,25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998

(25,30) 27.5 4 110 5.714 22.856

30,35 32.5 2 65 10.174 21428

21 457.5 98.57

𝑋=45721 =21.786 𝐷𝑥=

98.5721 =4.6 9

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

En estos ejemplo se calcula la dispersión con datos simples y datos agrupados, la cual para una serie de datos se le aplica las formulas correspondiente

Medidas de posición

MEDIDAS DE POSICIÓNLas medidas de posición dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos.Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor

•Cuartiles: Hay 3 cuartiles que dividen a una distribución en 4 partes iguales: primero, segundo y tecer cuartil.

•Deciles: Hay 9 deciles que la dividen en 10 partes iguales: (primero al noveno decil).

Percentiles: Hay 99 percentiles que dividen a una serie en 100 partes iguales: (primero al noventa y nueve

percentil

Ejemplo

Dado el siguiente conjunto de datos: 2 ; 5 ; 9 ; 3 ; 13 ; 10 ; 11 ; 6 ; 7. ¿Cuál es el valor del tercer cuartil? 1° ordenamos los datos de menor a mayor: 2;  3;  5;  6;  7;  9;  10;  11;  13 n= 9

para realizar cálculos a base de medidas de posición es necesario ordenar los datos, analizar el problema identificando cada tipos de estas medidas de posición.

FUENTES BIBLIOGRÁFICAS http://www.ditutor.com/estadistica/medidas_dispersion.html

http://akiraforeber.cl.tripod.com/texto17.htm

http://www.deie.mendoza.gov.ar/aem/material/teoria/MEDIDAS%20DE%20TENDENCIA%20CENTRAL%20Y%20DE%20VARIABILIDAD.pdf

http://noyola.mx/estadistica/Media%20Aritmetica.pdf

http://www.mat.uda.cl/hsalinas/cursos/2011/2do/clase2.pdf

https://es.slideshare.net/juvaldelamar/medidas-de-tendencia-central-y-de-dispersin

https://es.slideshare.net/juvaldelamar/medidas-de-tendencia-central-y-de-dispersin