Distribuciones discretas de Probabilidad

Universidad Andina del Cusco Escuela de Posgrado MAESTRA EN ESTADISTICA ESTADSTICA INFERENCIALMg. Ysabel Adriazola Cruz

1Variables aleatoriasVARIABLE ALEATORIADistribucin de Probabilidad DiscretaDistribucin de probabilidad: p(x) Las condiciones requeridas para una funcin de probabilidad son :

xp(x) Media o valor esperado de una variable aleatoria discreta es una medida de localizacin central. Es un promedio ponderado de los valores que puede tener una variable en donde los factores de ponderacin son las probabilidades y se expresa de acuerdo a:

Varianza de una variable aleatoria discreta es una medida de dispersin o variabilidad y corresponde a promedio ponderado de las desviaciones de una variable aleatoria respecto a su promedio, elevadas al cuadrado

Ejemplo. Dada la siguiente tabla de distribucin de probabilidades de la variable aleatoria X: Nmero de peces capturados.

Verificar si p(x), cumple con las condiciones para ser una funcin de probabilidad.Calcular E(X)Calcular Var(X)xp(x)20.2040.3070.4080.10Distribuciones de Probabilidad ContinuaFuncin de Densidad de Probabilidad

FUNCIN DE DISTRIBUCIN ACUMULADA

Media o valor esperado de una variable aleatoria continua es una medida de localizacin central:

Varianza de una variable aleatoria discreta es una medida de dispersin o variabilidad.

2Distribuciones Discretas ImportantesDistribucin de Bernoulli

Dato histrico

16 La distribucin de Bernoulli caracteriza a una variable aleatoria con dos posibles resultados y con probabilidad de ocurrencia constante. Tpicamente, estos resultados representan un xito (x=1) o un fracaso (x=0) . La funcin de probabilidad es:DISTRIBUCIN DE BERNOULLIBernoulli

Donde p es la probabilidad de xito. PROPIEDADES

BernoulliESPERANZA:

VARIANZA: Una distribucin de Bernoulli puede ser usada para modelar por ejemplo si :BernoulliRepresentacin Grfica: Distribucin de Probabilidad de Bernoulli

BernoulliDistribucin BINOMIALDISTRIBUCIN BINOMIALSe basa |en un experimento aleatorio que tiene las siguientes caractersticas:BinomialFuncin de Probabilidad

Binomial

PROPIEDADES

BinomialESPERANZA:

VARIANZA:Notacin:

Representacin Grfica: Distribucin de Probabilidad binomial

EJEMPLO La probabilidad de que una semilla germine es 0.8. As, la variable aleatoria, X, representa el nmero de semillas que germinan en un conjunto de nueve semillas, entonces , suponer que la suposicin de independencia es vlida.Obtener :

Graficar un histograma de probabilidad de X.

iii. Si 100 conjuntos de nueve semillas fueron plantadas, calcular

para las siguientes 100 observaciones. Binomial

POBLACIN

i.ii.

iii.

Distribucin terica

Distribucin emprica

xp(x)00.0010.0020.0030.0040.0250.0760.1870.3080.3090.13Total1.00xh(x)00.0010.0020.0030.0040.0250.0660.1270.3580.2890.17Total1.00Distribucin de POISSON

Dato histrico

La distribucin de Poisson se llama as en honor a su creador, el francs Simen Dennis Poisson (1781-1840), Esta distribucin de probabilidades fue uno de los mltiples trabajos matemticos que Dennis complet en su productiva trayectoria.

33 La distribucin de Poisson, ya haba sido introducida en 1718 por Abraham De Moivre como una forma lmite de la distribucin binomial que surge cuando se observa un evento inusitado despus de un nmero grande de repeticiones. En general, la distribucin de Poisson se puede utilizar como una aproximacin de la binomial, Bin(n, p), si el nmero de pruebas n es grande, pero la probabilidad de xito p es pequea; una regla es que la aproximacin Poisson-binomial es buena si n20 y p0.05 y muy buena si n 100 y p 0.01.DISTRIBUCIN DE POISSONPoisson Poisson Funcin de Probabilidad

e = 2.71828PROPIEDADES

Representacin Grfica: Distribucin de Poisson =5

Poisson

Poisson ESPERANZA: VARIANZA:Notacin:

En un laboratorio de fsica se cuenta con un contador de Geiger el cual registra el nmero de partculas alfa emitidas por el carbono-14 en 0.5 segundos. Se obtuvieron las siguientes 50 observaciones.

i. Calcular la media muestral y varianza muestral. Son estas dos medidas aproximadamente iguales? ii. En un mismo grfico presente el histograma para la distribucin de Poisson con = 8, con el histograma de frecuencia relativa de los datos.

EJEMPLO

Muestra n=50Poblacin

xp(x)001020.0130.0330.0340.0650.0960.1270.1480.1490.12100.1110.07120.05130.03140.02Total1xh(x)0010203030.0240.150.0860.1870.1280.0690.12100.1110.1120.08130.02140.02Total1Distribucin terica

Distribucin emprica

H0: El nmero de partculas tiene una distribucin de Poisson con =8 H1: El nmero de partculas no tiene una distribucin de Poisson con =8

P-valor = 0.995>0.05No se rechaza H0.Por lo tanto, el nmero de partculas tiene una distribucin de Poisson con =8.

En resumen: