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ESTADISTICA BASICA

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN.

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SIGNIFICADO DE ESTADÍSTICA

CONCEPTOS BÁSICOSLa estadística es una rama de las matemáticas que conjunta herramientas para recolectar, organizar, presentar y

analizar datos numéricos u observacionales.

ESTADÍSTICA

La estadística es comúnmente considerada como una colección de hechos numéricos expresados en términos de una relación, y que han sido recopilado a partir de otros datos numéricos

La estadística es una técnica especial apta para el estudio cuantitativo de los fenómenos de masa o colectivo, cuya mediación requiere una masa de observaciones de otros fenómenos más simples llamados individuales o particulares (Gini, 1953)

TIPOS DE ESTADÍSTICA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.- Conjunto de métodos para organizar; resumir y presentar los datos de manera informativa

ESTADÍSTICA INFERENCIAL.-Conjunto de métodos utilizados para saber algo acerca de una población, basándose en una muestra

POBLACIÓN.- Conjunto de todos los posibles individuos, objetos o medidas de interés

MUESTRA.- Una porción o parte de la población de interés

TIPOS DE ESTADÍSITICA

POBLACIÓN MUESTRA

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Presenta números que describen una característica de una muestra.

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Resulta de la manipulación de datos de la muestra según ciertos procedimientos especificados.

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Procedimiento:Obtención de datos

ClasificaciónPresentación

InterpretaciónDescripción

GeneralizacionesComprobación de hipótesis por su aplicación.

Toma de decisiones

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Términos comunes.Población: conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) que porten información

sobre el fenómeno que se estudia. Por ejemplo, si estudiamos la edad de los habitantes en una ciudad, la población será el total de los habitantes de dicha ciudad.

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Muestra: Subconjunto de la población seleccionado de acuerdo con un criterio, y que sea representativo de la población. Por ejemplo, elegir 30 personas por cada colonia de

la ciudad para saber sus edades, y este será representativo para la ciudad.

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Individuo: cualquier elemento que porte información sobre el fenómeno que se estudia. Así, si estudiamos la altura de los niños de una clase, cada alumno es un

individuo; si estudiamos la edad de cada habitante, cada habitante es un individuo.

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Variable: Fenómeno que puede tomar diversos valores. Las variables pueden ser de dos tipos:Variables cualitativas o atributos: no se pueden medir numéricamente (por ejemplo:

nacionalidad, color de la piel, sexo).

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Variables cuantitativas: tienen valor numérico (edad, precio de un producto, ingresos anuales

Por su parte, las variables cuantitativas se pueden clasificar en discretas y continuas:

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Discretas: sólo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.). Por ejemplo: número de hermanos (puede ser 1, 2, 3....,etc, pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3,45).

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Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo, la velocidad de un vehículo puede ser 80,3 km/h, 94,57 km/h...etc.

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Las variables también se pueden clasificar en:Variables unidimensionales: sólo recogen información sobre una característica (por

ejemplo: edad de los alunmos de una clase).

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Variables bidimensionales: recogen información sobre dos características de la población (por ejemplo: edad y altura de los alumnos de una clase).

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Variables pluridimensionales: recogen información sobre tres o más características (por ejemplo: edad, altura y peso de los

alumnos de una clase).

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Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas:

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1 Comida Favorita.2 Profesión que te gusta.3 Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.4 Número de alumnos de tu Instituto.5 El color de los ojos de tus compañeros de clase.6 Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.

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2. De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continuas.

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1 Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.2Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.3 Período de duración de un automóvil.4 El diámetro de las ruedas de varios coches.5 Número de hijos de 50 familias.6 Censo anual de los españoles.

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3. Clasificar las siguientes variables en cualitativas y cuantitativas discretas o continuas.

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1 La nacionalidad de una persona.2 Número de litros de agua contenidos en un depósito.3 Número de libros en un estante de librería.4 Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados.5 La profesión de una persona.6 El área de las distintas baldosas de un edificio.

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CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN DE DATOS

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DATOS

Características o números que son recolectados por observación. No son otra cosa que el producto de las observaciones efectuadas en las personas y objetos en los cuales se produce el

fenómeno que queremos estudiar

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Los datos estadísticos pueden ser clasificados en cualitativos, cuantitativos, cronológicos y geográficos

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Datos Cuantitativos: cuando los datos son cuantitativos, la diferencia entre ellos es de clase y no de cantidad.

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Ejemplo: Si deseamos clasificar los estudiantes que cursan la materia de estadística I por su estado civil, observamos que pueden

existir solteros, casados, divorciados, viudos.

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Datos cuantitativos: cuando los valores de los datos representan diferentes magnitudes, decimos que son datos cuantitativos. Ejemplo: Se clasifican los estudiantes del Colegio San Carlos de acuerdo a sus

notas, observamos que los valores (nota) representan diferentes magnitudes.

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Datos cronológicos: cuando los valores de los datos varían en diferentes instantes o períodos de tiempo, los datos son reconocidos como cronológicos. Ejemplo: Al registrar los promedios

de notas de los Alumnos del Núcleo San Carlos de la UNESR en los diferentes semestres.

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Datos geográficos: cuando los datos están referidos a una localidad geográfica se dicen que son datos geográficos. Ejemplo: El número de

estudiantes de educación superior en las distintas regiones del país

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Estadística Descriptiva:Tienen por objeto fundamental describir y analizar las características de un conjunto de

datos, obteniéndose de esa manera conclusiones sobre las características de dicho conjunto y sobre las relaciones existentes con otras poblaciones, a fin de compararlas.

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No obstante puede no solo referirse a la observación de todos los elementos de una población (observación exhaustiva) sino también a la descripción de los elementos de una muestra (observación parcial).

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En relación a la estadística descriptiva, Ernesto Rivas Gonzáles dice; "Para el estudio de estas muestras, la estadística descriptiva nos provee de todos sus medidas; medidas que cuando quieran ser aplicadas al universo total,

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no tendrán la misma exactitud que tienen para la muestra, es decir al estimarse para el universo vendrá dada con cierto margen de error; esto significa que el valor de la medida

calculada para la muestra, en el oscilará dentro de cierto límite de confianza, que casi siempre es de un 95 a 99% de los casos.

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Distribución de frecuencias: muestra el número de veces que ocurre cada observación.

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Ejemplo

• Veamos esto con un ejemplo: tomamos para ello los datos

relativos a las personas activas.

• En este ejemplo se puede ver fácilmente como se calculan estas frecuencias.

Personas activas

Número familias

Xi Ni Fi Pi Ni Fi Pi

1 16 16/50 32% 16 16/50 32%

2 20 20/50 40% 36 36/50 72%

3 9 9/50 18% 45 45/50 90%

4 5 5/50 10% 50 50/50 100%

Total 50

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Ejemplo: Se elaboró una encuesta en un jardín de niños y ésta informó que las mascotas más comunes que tiene un niño son perros, gatos, peces, hámsteres y

pájaros

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perrogatoperro

hamsterpájaro

hamstergatoperro

hámstergato

pájarogatoperroperro

hámsterpájaroperroperropájarogato

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A continuación se muestra la distribución de frecuencias absolutas, relativas y

porcentuales de las mascotas mas comunes de los niños.

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Mascota Frecuencia absolutaFrecuencia relativa

Frecuencia acumulada

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Perro7

.3535 %

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Pajaro4

.2020 %

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Hamster4

.2020 %

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gato5

.2525 %

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Estos datos se pueden representar en una gráfica de barras o en una gráfica de pastel:

Gráfica de barras

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Gráfica de pastel

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NOTA :Para calcular:..Frecuencia absoluta: se cuenta la cantidad de veces que ocurre el

evento, en este caso, las mascotas.

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Frecuencia relativa: se divide la frecuencia absoluta de cada evento entre el total de eventos.

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Frecuencia porcentual: se multiplica la frecuencia relativa por 100.

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4. Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido:

15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13.

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el polígono de frecuencias.

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5. El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2,

4, 1. Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

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6. Las calificaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las siguientes:5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5,

5, 6, 7.

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

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Gráficos Estadísticos

Los gráficos estadísticos se utilizan muchísimo, y con ellos la información obtenida puede ser leída con claridad y rapidez. Los gráficos más usados son: diagramas de barras, gráficos circulares, pictogramas, histogramas, polígono de frecuencia.

Para variables discretas: Para variables continuas: - diagramas de barras - histogramas- pictogramas - polígono de frecuencia

- gráfico de torta - gráfico de torta

Ejemplos

Diagramas de barra: Se construyen con rectángulos. Para el ejemplo de las notas obtenidas por los alumnos del grupo, se tiene:

1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

Calificación

Fre

cuen

cia

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Gráfico de torta: Para armar el gráfico circular correspondiente, dividimos el círculo en sectores, según los porcentajes obtenidos

Al círculo, que representa el 100%, le corresponde un ángulo de 360°. Por lo tanto, para hallar la amplitud del ángulo correspondiente a un sector que representa un 30%, por ejemplo, hacemos:

%100º360%30º%30

º360%100

xx

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Para el ejemplo de los pesos de las adolescentes tenemos:

0

2

4

6

8

10

12

45 - 48 48 - 51 51 - 54 54 - 57 57 - 61 54 - 57 57 - 61

0

2

4

6

8

10

12

45 - 48 48 - 51 51 - 54 54 - 57 57 - 61 54 - 57 57 - 61

Histogramas y Polígono de Frecuencia

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Pictogramas: En ellos se recurre a dibujos relacionados con el tema tratado

PICTOGRAMAS

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Tabla de frecuencias de una variable estadística agrupada en intervalos.

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(Frecuencias relativas y relativas acumuladas.)Graficas estadísticas

Ejemplo.• En la siguiente tabla

se muestra el total de vacunas aplicadas durante el verano de l991 en un estado de la República Mexicana.

Datos (vacunas)

f (en miles)

Fr(%) (redondeado

BCG 47 17

SABIN 111 41

DPT 73 27

SARAMPION 41 15

TOTAL 272 100

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HISTOGRAMA.

• Es una representación grafica de una distribución de frecuencias por medio de rectángulos.

• Es un recurso común e importante para representar datos, consiste en una escala horizontal para valores de los datos que se están representando, una escala vertical de las frecuencias de dichos datos.

• El histograma es especialmente útil cuando se tiene un amplio número de datos que es preciso organizar.

• Histograma de frecuencia absoluta. (Xi y fi)• Histograma de frecuencia relativa (Xi y Fi)• Histograma de frecuencia relativa porcentual (Xi y hi)• Histograma de frecuencia relativa acumulada (Xi y Hi)• Con la distribución de frec. anterior se tiene:

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POLIGONOS DE FRECUENCIA

• Es una representación grafica de la distribución de frecuencia que resulta esencialmente equivalente al histograma y se obtiene uniendo mediante segmentos los centros de las bases superares de los rectángulos del histograma.

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OJIVA.

• Una grafica similar al polígono de frecuencias es la ojiva, pero esta se obtiene de aplicar parcialmente la misma técnica a una distribución acumulativa y de igual manera que estas, existen las ojivas mayor que y menor que.

• Una gráfica de distribución de frecuencias acumuladas es llamada una ojiva. Se trazan los límites reales superiores contra las frecuencias acumuladas.

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Ojiva Porcentual ó Polígono de frecuencias

relativas acumuladas. • Se trazan los límites reales superiores contra las frecuencias

relativas acumuladas.

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DIAGRAMA CIRCULAR, PASTEL O TORTA.

• Cuando lo que se desea resaltar son las proporciones que representan algunos subconjuntos con respecto al total, conviene utilizar la grafica o diagrama circular. Es un grafico en el que cada valor o modalidad se le asigna un sector circular de área proporcional a la frecuencia que representan.

• Es un gráfico que se basa en una proporcionalidad entre la frecuencia y el ángulo central de una circunferencia, de tal manera que a la frecuencia total le corresponde el ángulo central de 360°. Para construir se aplica la siguiente formula:

• X = frecuencia relativa * 360°/ frecuencia relativa

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• Este se usa cuando se trabaja con datos que tienen grandes frecuencias, y los valores de la variable son pocos, la ventaja que tiene este diagrama es que es fácil de hacer y es entendible fácilmente, la desventaja que posee es que cuando los valores de la variable son muchos es casi imposible o mejor dicho no informa mucho este diagrama y no es productivo, proporciona principalmente información acerca de las frecuencias de los datos de una manera entendible y sencilla.

• Se forma al dividir un círculo en sectores circulares de manera que:

• a) Cada sector circular equivale al porcentaje correspondiente al dato o grupo que representa.

• b) La unión de los sectores circulares forma el círculo y la suma de sus porcentajes es 100.

•

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Datos (vacunas)

f (miles)

Fr(%) Grados

(redondeados)

BCG 47 17 .17 x 360 = 61

SABIN 111 41 .41 x 360 = 148

DPT 73 27 .27 x 360 = 97

SARAMPION 41 15 .15 x 360 =54

TOTAL 272 100 360

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La media aritmética de un conjunto de datos es el cociente entre la suma

de todos los datos y el número de estos.

Ejemplo: las notas de Juan el año pasado fueron:

5, 6, 4, 7, 8, 4, 6

La nota media de Juan es:

Nota media = 7,57

40

7

6487465

que suman 40

Hay 7 datos

Media Aritmética

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La moda de un conjunto de datos es el dato que más se repite.

Una zapatería ha vendido en una semana los zapatos que se reflejan en la tabla:

Ejemplo.

La moda es 41.

Nº de calzado 38 39 40 41 42 43 44 45

Nº de personas 16 21 30 35 29 18 10 7

El número de zapato más vendido, el dato con mayor frecuencia absoluta, es el 41.

Lo compran 35 personas

La Moda

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La mediana de un conjunto de datos es un valor del mismo tal que el número de datos menores que él es igual al número de datos mayores que él.

Los pesos, en kilogramos, de 7 jugadores de un equipo de fútbol son:

Ejemplo:72, 65, 71, 56, 59, 63, 72

1º. Ordenamos los datos: 56, 59, 63, 65, 71, 72, 72

2º. El dato que queda en el centro es 65.

La mediana vale 65.

Si el número de datos fuese par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales.

Para el conjunto 56, 57, 59, 63, 65, 71, 72, 72, la mediana

es: 64

2

6563

Caso:

La Mediana

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10.Calcular la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.

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PRUEBA DE HIPÓTESISAl realizar pruebas de hipótesis, se parte de

un valor supuesto (hipotético) en parámetro poblacional.

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Después de recolectar una muestra aleatoria, se compara la estadística muestral, así como la media (x), con el parámetro hipotético, se compara con una supuesta media poblacional (). Después se acepta o se rechaza el valor hipotético, según proceda. se

rechaza el valor hipotético sólo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta.

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 Etapas de la prueba de hipótesis

ETAPA 1.- planear la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. la hipótesis nula (h0) es el valor hipotético del parámetro que se compra con el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es

cierta.

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ETAPA 2.- especificar el nivel de significancia que se va a utilizar. el nivel de significancia del 5%, entonces se rechaza la hipótesis nula solamente si el resultado muestral es tan diferente del valor hipotético que una diferencia de esa magnitud o

mayor, pudiera ocurrir aleatoria mente con una probabilidad de 1.05 o menos.

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ETAPA 3.- elegir la estadística de prueba. la estadística de prueba puede ser la estadística muestral (el estimador no segado del parámetro que se prueba) o una versión transformada de esa estadística muestral.

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Por ejemplo, para probar el valor hipotético de una media poblacional, se toma la media de una muestra aleatoria de esa distribución normal, entonces es común que se transforme la media en un valor z el cual, a su vez, sirve como estadística de prueba.

Consecuencias de las decisiones en pruebas de hipótesis.

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ETAPA 4.- establecer el valor o valores críticos de la estadística de prueba. Habiendo especificado la hipótesis nula, el nivel de significancia y la estadística de prueba que se van a utilizar, se produce a establecer el o los valores críticos de estadística de prueba. puede haber uno o más de esos valores,

dependiendo de si se va a realizar una prueba de uno o dos extremos.

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ETAPA 5.- determinar el valor real de la estadística de prueba. por ejemplo, al probar un valor hipotético de la media poblacional, se toma una muestra aleatoria y se

determina el valor de la media muestral. si el valor crítico que se establece es un valor de z, entonces se transforma la media muestral en un valor de z.

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ETAPA 6.- tomar la decisión. se compara el valor observado de la estadística muestral con el valor (o valores) críticos de la estadística

de prueba.

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Después se acepta o se rechaza la hipótesis nula. si se rechaza ésta, se acepta la alternativa; a su vez, esta decisión tendrá efecto sobre otras decisiones de

los administradores operativos, como por ejemplo, mantener o no un estándar de desempeño o cuál de dos estrategias de mercadotecnia utilizar.

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La distribución apropiada de la prueba estadística se divide en dos regiones: una región de rechazo y una de no rechazo. si la prueba estadística cae en esta última región no se

puede rechazar la hipótesis nula y se llega a la conclusión de que el proceso funciona correctamente.

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Al tomar la decisión con respecto a la hipótesis nula, se debe determinar el valor crítico en la distribución estadística que divide la región del rechazo (en la cual la hipótesis

nula no se puede rechazar) de la región de rechazo. a hora bien el valor crítico depende del tamaño de la región de rechazo.

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Pasos de la prueba de hipótesis• EXPRESAR LA HIPÓTESIS NULA

• EXPRESAR LA HIPÓTESIS ALTERNATIVA• ESPECIFICAR EL NIVEL DE SIGNIFICANCIA• DETERMINAR EL TAMAÑO DE LA MUESTRA

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• ESTABLECER LOS VALORES CRÍTICOS QUE ESTABLECEN LAS REGIONES DE RECHAZO DE LAS DE NO RECHAZO.

• DETERMINAR LA PRUEBA ESTADÍSTICA.• COLECCIONAR LOS DATOS Y CALCULAR EL VALOR DE LA MUESTRA DE LA PRUEBA ESTADÍSTICA

APROPIADA.

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• DETERMINAR SI LA PRUEBA ESTADÍSTICA HA SIDO EN LA ZONA DE RECHAZO A UNA DE NO RECHAZO.

• DETERMINAR LA DECISIÓN ESTADÍSTICA.• EXPRESAR LA DECISIÓN ESTADÍSTICA EN TÉRMINOS DEL PROBLEMA.

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HIPÓTESIS NULA.En muchos casos formulamos una hipótesis

estadística con el único propósito de rechazarla o invalidarla. así, si queremos

decidir si una moneda está trucada, formulamos la hipótesis de que la moneda

es buena (o sea p = 0,5, donde p es la probabilidad de cara).

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Analógicamente, si deseamos decidir si un procedimiento es mejor que otro, formulamos la hipótesis de que no hay diferencia entre ellos (o sea. que cualquier

diferencia observada se debe simplemente a fluctuaciones en el muestreo de la misma población). tales hipótesis se suelen llamar hipótesis nula y se denotan por ho.

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Para todo tipo de investigación en la que tenemos dos o más grupos, se establecerá una hipótesis nula.

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La hipótesis nula es aquella que nos dice que no existen diferencias significativas entre los grupos.

Una hipótesis nula es importante por varias razones:Es una hipótesis que se acepta o se rechaza según el resultado de la investigación.

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El hecho de contar con una hipótesis nula ayuda a determinar si existe una diferencia

entre los grupos, si esta diferencia es significativa, y si no se debió al azar.

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No toda investigación precisa de formular hipótesis nula. Recordemos que la hipótesis nula es aquella por la cual indicamos que la información a obtener es contraria a la hipótesis de trabajo.

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Al formular esta hipótesis, se pretende negar la variable independiente. es decir, se enuncia que la causa determinada como origen del problema fluctúa, por tanto, debe rechazarse como tal.

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HIPÓTESIS ALTERNATIVA.Toda hipótesis que difiere de una dada se llamará una hipótesis alternativa. por ejemplo: si una hipótesis es p = 0,5, hipótesis

alternativa podrían ser p = 0,7, p " 0,5 ó p > 0,5.

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Una hipótesis alternativa a la hipótesis nula se denotará por h1.

al responder a un problema, es muy conveniente proponer otras hipótesis en que

aparezcan variables independientes distintas de las primeras que formulamos.

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