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Estabilidade de Taludes 21/08/08)
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ESTABILIDADE DE TALUDES
CONTEÚDO 1. Introdução...................................................................................................................................3 2. Tipos de Taludes .......................................................................................................................6
2.1. Exemplos ............................................................................................................................7 2.1.1. Taludes em Rocha ....................................................................................................7 2.1.2. Taludes em Solo........................................................................................................9
3. Tipos de movimentos de massa ...........................................................................................14 3.1. Escoamento .....................................................................................................................15 3.2. Subsidência e Recalques ..............................................................................................17 3.3. Escorregamentos ............................................................................................................18 3.4. Erosão ...............................................................................................................................19 3.5. Classificação dos Movimentos de Massa ...................................................................21
3.5.1. Quanto aos grupos..................................................................................................21 3.5.2. Quanto a velocidade ...............................................................................................23 3.5.3. Quanto a profundidade...........................................................................................24
4. Tipos de Escorregamento......................................................................................................25 4.1. Rotacional.........................................................................................................................25 4.2. Translacional ....................................................................................................................26 4.3. Misto: Rotacional e Translacional.................................................................................27
5. Causas Gerais dos Escorregamentos .................................................................................29 6. Conceitos basicos Aplicados a Estudos de Estabilidade .................................................33
6.1. Água no Solo....................................................................................................................33 6.2. Pressão na água .............................................................................................................37
6.2.1. Regime Estacionário em Solo Saturado..............................................................40 6.2.1.1. Problema unidimensional...............................................................................40 6.2.1.2. Problema Bidimensional ................................................................................41
6.3. Resistência ao Cisalhamento........................................................................................44 7. Analises de Estabilidade ........................................................................................................47
7.1. Tipos de Análise ..............................................................................................................48 7.1.1. Analise de tensões ..................................................................................................48 7.1.2. Equilíbrio limite ........................................................................................................49
7.2. .Classificação Geotécnica das Análises de Estabilidade .........................................53 7.2.1. Quanto à condição critica ......................................................................................53
7.2.1.1. Influência da poropressão..............................................................................53 7.2.2. Quanto ao tipo de analise ......................................................................................57
7.2.2.1. Tensões efetivas .............................................................................................57 7.2.2.2. Tensões Totais ................................................................................................60 7.2.2.3. Tensões Totais x Efetivas ..............................................................................61
7.2.3. Quanto aos parâmetros de resistência ................................................................62 8. Métodos de Estabilidade........................................................................................................63
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8.1. Taludes Verticais – Solos Coesivos .............................................................................64 8.1.1. Trinca de Tração .....................................................................................................64 8.1.2. Talude vertical..........................................................................................................65
8.2. Blocos Rígidos .................................................................................................................67 8.3. Talude Infinito ..................................................................................................................68
8.3.1. Ábaco de Duncan ....................................................................................................71 8.4. Superfícies Planares.......................................................................................................72
8.4.1. Método de Culman ..................................................................................................72 8.4.2. Caso geral ................................................................................................................74 8.4.3. Método das Cunhas ................................................................................................75
8.5. Superfície circular............................................................................................................79 8.5.1. Ábacos de Taylor ....................................................................................................79 8.5.2. Ábacos de Hoek e Bray..........................................................................................85 8.5.3. Método das Fatias...................................................................................................94
8.5.3.1. Método de Fellenius........................................................................................96 8.5.3.2. Método de Bishop ...........................................................................................99 8.5.3.3. Presença da água .........................................................................................103 8.5.3.4. Exemplos ........................................................................................................105
8.5.4. Ábacos de Bishop & Morgenstern ......................................................................107 8.5.4.1. Comentários Gerais ......................................................................................108
8.5.5. Ábacos de estabilidade para condição de rebaixamento rápido ...................114 8.5.6. Método de Spencer...............................................................................................115
8.6. Superfícies não circulares............................................................................................118 8.6.1. Método de Jambu..................................................................................................118 8.6.2. Método de Morgenstern & Price .........................................................................125 8.6.3. Método de Sarma..................................................................................................129
8.7. Comentários sobre os métodos de Equilibrio limite ................................................137 9. EstabilizaçÃo de Taludes.....................................................................................................141
9.1. Evitação ou abandono..................................................................................................141 9.2. Escavação (reduz esforços instabilizantes)..............................................................142 9.3. Drenagem .......................................................................................................................143 9.4. Estruturas de arrimo .....................................................................................................143 9.5. Métodos especiais ........................................................................................................143
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1. INTRODUÇÃO
Analises de estabilidade têm como objetivo, no caso de:
i) Encostas naturais: estudar a estabilidade de taludes, avaliando a necessidade
de medidas de estabilização.
ii) Cortes ou escavações: estudar a estabilidade, avaliando a necessidade de
medidas de estabilização;
corte
escavação
iii) Barragens: definir seção da barragem de forma a escolher a configuração
economicamente mais viável. Neste caso são necessários estudos considerando
diversos momentos da obra: final de construção, em operação, sujeita a
rebaixamento do reservatório, etc.
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iv) Aterros: estudar seção de forma a escolher a configuração economicamente
mais viável. Neste caso são necessários estudos considerando diversos
momentos da obra: final de construção e a longo prazo.
H
D >> Hsolo mole
v) Rejeitos (industriais, de mineração ou urbano): A exploração de minas
(carvão, etc.) e a produção de elementos químicos (zinco, manganês, etc.)
implica na necessidade de se desfazer ou estocar volumes apreciáveis de
detritos ou rejeitos, muitas vês=zes em curto espaço de tempo e em áreas em
que o solo ;e de baixa resistência
(a) Jusante
(b) Linha do Centro
(c) Montante
Figura 1. Técnicas de Alteamento
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vi) Retro-analisar taludes rompidos (naturais ou construídos) possibilitando re-
avaliar parâmetros de projeto.
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2. TIPOS DE TALUDES
Figura 2. Tipos e formas geométricas de encostas (Chorley, 1984)
Figura 3. Respostas geodinâmicas de encostas de acordo com a forma (Troeh, 1965)
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2.1. Exemplos
2.1.1. Taludes em Rocha
Figura 4. Instabilidade de talude rochoso
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(a) desmonte
(b) contrafortes e tirantes
Figura 5. Remediação por contrafortes e tirantes (GeoRrio)
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Figura 6 Estabilização do Corcovado durante e após a execução (fotos GeoRio)
2.1.2. Taludes em Solo
Figura 7. Instablidade de talude (GeoRio)
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Figura 8. Salvador (2005)
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Figura 9. Deslizamento de lixo Pavão Pavãozinho (1983) (GeoRio)
Figura 10. Estabilização com cortinas, tirantes, vegetação e retaludamento (GeoRio)
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Figura 11 Cerca flexível implantada na Estrada Grajaú-Jacarepaguá (foto GeoRio)
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(a) escada chumbada
(b) Teleférico (c) Andaime chumbado
Figura 12. Desafios de remediação (GeoRio)
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3. TIPOS DE MOVIMENTOS DE MASSA1
Os movimentos de massa se diferenciam em função de:
Velocidade de movimentação
Forma de ruptura
A partir da identificação destes fatores, os movimentos de massa podem ser agrupados
em 3 categorias:
escoamentos;
subsidências
escorregamentos.
Por outro lado, as erosões, que também são movimentos de massa, muitas vezes não
podem ser classificadas em um único grupo. Os mecanismos deflagradores dos processos
erosivos podem ser constituídos de vários agentes, fazendo com que as erosões sejam tratadas
separadamente.
1 GeoRio (2000). Manual de encostas
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3.1. Escoamento
Rastejo ou fluência
Característica: Escorregamentos lentos e contínuos, sem superfície de ruptura bem definida, podendo englobar grandes áreas Causa: ação da gravidade associada a efeitos causados pela variação de temperatura e umidade O deslocamento se da quando se atinge a tensão de fluência, a qual é inferior a resistência ao cisalhamento
vr
vr < v
v
escorregamento escorregamento + rastejo
rastejo
Pode eventualmente ser observado em superfície mudando a verticalidade de arvores, postes, etc
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Corridas
Característica: Movimentos rapidos ( vel ≥ 10km/h) Em planta a corrida de terra se assemelha a uma língua Causa: Perda de resistência em virtude de presença de água em excesso (fluidificação) O processo de fluidificação pode ser originado por
i) adição de água (areias) ii) esforços dinâmicos (terremoto, cravação de estacas, etc) iii) amolgamento em argilas muito sensitivas ( ) ( )
lgamofindfS ττ=
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3.2. Subsidência e Recalques
A subsidência por definição é o resultado do deslocamento da superfície gerado por adensamento ou afundamento de camadas, como resultado da remoção de uma fase sólida,
liquida ou gasosa. Em geral envolve grandes áreas e as causas mais comuns são :
Ação erosiva das águas subterrâneas
Atividades de mineração
Efeito de vibração em sedimentos não consolidados
Exploração de petróleo
Bombeamento de águas subterrâneas
Os recalques são movimentos verticais de uma estrutura, causados pelo peso próprio
ou pela deformação do solo gerada por outro agente. As causas mais comuns são:
Ação do peso próprio
Remoção do confinamento lateral devido a escavações
Rebaixamento do lençol d’água
Os desabamentos ou quedas são subsidências bruscas, envolvendo colapso na
superfície.
Quedas
Característica: Movimentos tipo queda livre ou em plano inclinado Velocidades muito altas (vários m/s) Material rochoso
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3.3. Escorregamentos
Escorregamentos
Definição: Movimentos rápidos ao longo de superfícies bem definidas Causas: O escorregamento ocorre quando as tensões cisalhantes se igualam a
resistência ao cisalhamento; isto é mob
fFSττ
= =1
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3.4. Erosão
À ação antrópica, tem sido o fator condicionante na deflagração dos processos erosivos,
nas suas várias formas de atuação, como desmatamento e construção de vias de acesso, sem
atenção às condições ambientais naturais.
(a) ravinas (sem surgencia de água)
(b) voçorocas (com surgência de água)
Figura 13. Processos erosivos
Futai e outros (2005)2 mostraram que o processo de evolução da voçoroca pode provocar
escorregamentos sucessivos ( Figura 14), conforme indicam as seguintes fases:
2 Futai e outros (2005) Evolução de uma voçoroca por escorregamentos retrogressivos em solo não-saturado COBRAE, Salvador
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a infiltração reduz a sucção do talude da voçoroca, que dependendo da duração e
intensidade da chuva pode ocorrer um escorregamento;
após o período chuvoso o solo começa a secar e volta a ganhar resistência;
material coluvionar resultante do escorregamento é levado pelo próprio
escoamento superficial das chuvas que causaram o escorragemento e
principalmente pela exfiltração contínua no pé da voçoroca;
novas chuvas poderão causar novos escorregamentos.
exfiltraçãode água
exfiltraçãode água
exfiltraçãode água
exfiltraçãode água
Escorregamento por perda decoesão aparente
chuva
ganho deresistência porsecagem
Solo carreado pelafluxo contínuo da águaexfiltrada
Descalçamento dopé do talude
Novo Escorregamento por perda decoesão aparente
chuva
Fluxo sub-superficial
Fluxo sub-superficial
Fluxo sub-superficial
Fluxo sub-superficial
(a)
(b)
(c)
(d)
chuva
Escoamentosuperficial
Figura 14 Esquema da evolução do voçorocamento da Estação Holanda.
0 5 10 15 20 25Tempo (dias)
0
0.5
1
1.5
2
Fato
r de
seg
uran
ça
Esc
orre
gam
ento
em
udan
ça d
e ge
omet
ria
Ganho deresistência após ressecamento
Nov
oes
corr
egam
ento
ChuvasChuvas
seca
Figura 15. Variação do fator de segurança com o tempo
A potencialidade do desenvolvimento de processos erosivos depende de fatores externos
e internos, conforme mostrado na Tabela 1.
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Tabela 1. Fatores Condicionantes
Fatores externos Potencial de erosividade da chuva Condições de infiltração Escoamento superficial Topografia (declividade e comprimento da encosta)
Fatores internos Fluxo interno Tipo de solo desagregabilidade erodibilidade Características geológicas e geomorfológicas presença de trincas de origem tectônica evolução físico-química e mineralógica do solo
Na gênese e evolução das erosões os mecanismos atuam de modo isolado ou em
conjunto, fenômenos tais como: erosão superficial, erosão subterrânea, solapamento,
desmoronamento e instabilidade de talude, além das alterações que os próprios solos podem
sofrer em conseqüência dos fluxos em meio saturado e não saturado em direção aos taludes,
tornando complexo o conhecimento dos mecanismos que comandam o processo erosivo ao longo
do tempo. Consequentemente, em muitos casos, as tentativas de contenção de sua evolução.
São muitas vezes infrutíferas.
3.5. Classificação dos Movimentos de Massa
Existem diversas propostas de sistemas de classificação de movimentos, em que as
ocorrências são agrupadas em função do tipo de movimento: rastejos ou fluência;
escorregamentos; quedas e corridas ou fluxos. Nenhuma delas inclui processos erosivos (ravinas
e voçorocas)
3.5.1. Quanto aos grupos
A classificação proposta por Varnes (1978.)3. é a mais utilizada internacionalmente e esta
mostrada na Tabela 2.
A proposta de Augusto-Filho (1992)4. e bastante adequada para os casos brasileiros
(Tabela 3).
]
3 Varnes, D.J. (1978). Slope moviment types and processes. In: Landslides Analysis and Control. Washington, National
Academy of Sciences. 4 Augusto Filho, O. & Virgili, J.C. (1998). Estabilidade de taludes. In: Geologia de Engenharia. São Paulo, ABGE
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Tabela 2 - Classificação dos movimentos de encosta segundo Varnes (1978)
Tipo de material Solo (engenharia) Tipo de movimento Rocha Grosseiro Fino
Quedas De rocha De detritos De terra Tombamentos De rocha De detritos De terra
Rotacional Poucas unidades Escorregamentos
Translacional Muitas unidades
Abatimento e rocha
De blocos rochosos De rocha
Abatimento de detritos
de Blocos de detritos
De detritos
Abatimento de terra
De blocos de terra
de Terra Expansões laterais De rocha De detritos De terra
De detritos De terra Corridas/escoamentos
De rocha (rastejo
profundo) (Rastejo de solo)
Complexos: combinação de dois ou mais dos principais tipos de movimentos
Tabela 3 - Características dos principais grandes grupos de processos de escorregamento (Augusto-Filho, 1992)
Processos Características do movimento, material e geometria
Rastejo ou fluência
Vários planos de deslocamento (internos) Velocidades de muito baixas (cm/ano) a baixas e decrescentes com a profundidade Movimentos constantes, sazonais ou intermitentes Solo, depósitos, rocha alterada/fraturada Geometria indefinida
Escorregamentos
Poucos planos de deslocamento (externos) Velocidades de médias (km/h) a altas (m/s) Pequenos a grandes volumes de material Geometria e materiais variáveis Planares ⇒ solos pouco espessos, solos e rochas com um plano de fraqueza Circulares ⇒ solos espessos homogêneos e rochas muito fraturadas Em cunha ⇒ solos e rochas com dois planos de fraqueza
Quedas
Sem planos de deslocamento Movimentos tipo queda livre ou em plano inclinado Velocidades muito altas (vários m/s) Material rochoso Pequenos a médios volumes Geometria variável: lascas, placas, blocos etc. Rolamento de matacão Tombamento
Corridas
Muitas superfícies de deslocamento (internas e externas à massa em movimentação) Movimento semelhante ao de um líquido viscoso Desenvolvimento ao longo das drenagens Velocidades de médias a altas Mobilização de solo, rocha, detritos e água Grandes volumes de material Extenso raio de alcance, mesmo em áreas planas
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Já o sistema de classificação de Magalhães Freire sugere que os movimentos sejam
classificados em 3 tipos fundamentais, como mostra a Tabela 4
Tabela 4 - sistema de classificação de Magalhães Freire
Nomenclatura Características Escoamento Corresponde a uma deformação ou movimento continuo com ou sem superfície
definida. Dependendo do movimento, são classificados como • Rastejo ⇒ escoamento plástico • Corrida ⇒ escoamento fluido-viscoso
Escorregamento Deslocamento finito ao longo de superfície bem definida Dependendo da forma, são definidos como • Rotacional • Translacional
Subsidência Deslocamento finito ou deformação continua de direção essencialmente vertical Podem ser subdivididos em • Subsidência propriamente dita • Recalque • desabamento / quedas
3.5.2. Quanto a velocidade
Quanto à velocidade os movimentos de massa podem ser classificados como
Nomenclatura Velocidade Extramente rápido > 3m/s
Muito rápido 0,3m/s a 3m/s Rápido 1,6m/dia a 0,3m/s
Moderado 1,6m/mês a 1,6m/dia Lento 1,6m/ano a 1,6m/mês
Muito lento 0,06m/ano a 1,6m/ano Extremamente lento < 0,06m/ano
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Figura 16. Escala de velocidades de movimentos (Varnes)
3.5.3. Quanto a profundidade
Quanto à profundidade os movimentos de massa podem ser classificados como
Nomenclatura Profundidade Superficial < 1,5m
Raso 1,5m a 5m Profundo 5m a 20m
Muito profundo > 20m
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4. TIPOS DE ESCORREGAMENTO
Os escorregamentos são os movimentos de massa mais freqüentes e de conseqüências
catastróficas. A forma da superfície de ruptura varia dependendo da resistência dos materiais
presentes na massa. Tanto em solos como em rochas a ruptura se da pela superfície de menor
resistência.
4.1. Rotacional
Em solos relativamente homogêneos a superfície tende a ser circular. Caso ocorra
materiais ou descontinuidades que representem com resistências mais baixas, a superfície passa
a ser mais complexa, podendo incluir trechos lineares (Figura 17). A anisotropia com relação a
resistência pode acarretar em achatamento da superfície de ruptura
Figura 17.Superfícies de ruptura – escorregamento simples rotacioanal
Os escorregamentos rotacionais podem ser múltiplos conforme mostra a Figura 18 e,
na realidade, ocorrem sob forma tridimensional ( Figura 19)
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( a) retrogressivo (b) progressivo
(c) sucessivo
Figura 18.. Escorregamento rotacional múltiplo.
colher cilíndrica
Figura 19.. Escorregamento tridimensional.
4.2. Translacional
Os escorregamentos translacionais se caracterizam pela presença de descontinuidades ou
planos de fraqueza (Figura 20)
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Figura 20.Superfícies de ruptura – escorregamento translacional
Os escorregamentos translacionais podem ocorrer no contato entre colúvio e solo residual
e até mesmo no manto de alteração do solo residual (Figura 21)
Manto de alteracao
Fendas
embarrigamento
Material resistente
A A’
B’ B
Figura 21. Escorregamento translacional em solo residual
4.3. Misto: Rotacional e Translacional
Figura 22.Superfícies de ruptura simples –escorregamento misto
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rotacional
translacional
rotacional
translacional
1º.
1º.
2º.
2º.
3º.
material mais resistente
Progressivo
Sucessivo
Figura 23.Superfícies de ruptura múltiplas –escorregamento misto
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5. CAUSAS GERAIS DOS ESCORREGAMENTOS5
A instabilidade do talude será deflagrada quando as tensões cisalhantes mobilizadas se
igualarem à resistência ao cisalhamento (Figura 24); isto é
Superfície potencial de
ruptura τf
τmobilizado
Figura 24. Geometria do escorregamento
mob
fFSττ
= =1
Esta condição pode ser atingida com o aumento das tensões cisalhantes mobilizadas ou
pela redução da resistência. Varnes (1978) divide os mecanismos deflagradores em 2 grupos. A
Tabela 5 propõe uma classificação adaptada
Tabela 5. Fatores deflagradores dos movimentos de massa (adaptada de Varnes, 1978)
Ação Fatores Fenômenos geológicos / antrópicos
Remoção de massa (lateral ou da base)
Erosão (Figura 25, Figura 26) Escorregamentos (Figura 27) Cortes
Sobrecarga
Peso da água de chuva, neve, granizo etc. Acúmulo natural de material (depósitos) Peso da vegetação Construção de estruturas, aterros etc.
Solicitações dinâmicas Terremotos, ondas, vulcões etc. Explosões, tráfego, sismos induzidos
Aumento da solicitação
Pressões laterais Água em trincas (Figura 28) Congelamento Material expansivo
Características inerentes ao material (geometria, estruturas etc.)
Características geomecânicas do material, Tensões Redução da
resistência Mudanças ou fatores variáveis
Intemperismo: redução na coesão, ângulo de atrito Variação das poropressões. (Figura 29, Figura 30)
5 Varnes, David J. Landslides, Analyses and Control, Special report 176, National Academy of Sciences, cap. II
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(a) ação de águas (b) ação de ondas
Figura 25. Remoção de massa - erosão lateral ou da base
A percolação de água no interior da massa
gera uma forca de percolação gerando o
carreamento das partículas (piping)
Figura 26. Remoção de massa - erosão subterrânea
Tendência a novos escorregamemtos
Remoção de suporte
Figura 27. Remoção de massa - escorregamentos anteriores
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Pressão de água na
trinca
NA
Figura 28. Pressão lateral – água em trincas
Diagrama de poropressão
NA1
NA2
Diagrama de poropressão
NA1
NA2
(a) rebaixamento lento (b) rebaixamento rápido
Figura 29. Variação nas poropressões – rebaixamento do NA
β
NA
mh
βmh cosβ
h hp= (mh cosβ)cosβ u = hpγw
Figura 30. Variação nas poropressões – elevação do nível piezométrico
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Figura 31. Variação nas poropressões – infiltração de água em trincas
A cobertura vegetal pode produzir efeitos favoráveis ou desfavoráveis na estabilidade das
encostas, por exemplo:
O sistema raticular pode atuar como reforço e/ou caminho preferencial de
infiltração.
A presença da copa das arvores reduz o volume de água que chega à superfície do
talude
Os caules das arvores geram um caminho preferencial de escoamento de água;
A cobertura vegetal aumenta o peso sobre o talude; etc.
Apesar dos efeitos contrários, a retirada da cobertura vegetal é indiscutivelmente um
poderoso fator de instabilização
Com relação à ação antrópica, as principais modificações indutoras dos movimentos
gravitacionais de massa são (Augusto-Filho, 1995):
Remoção da cobertura vegetal.
Lançamento e concentração de águas pluviais e/ou servidas.
Vazamentos na rede de abastecimento, esgoto e presença de fossas.
Execução de cortes com geometria incorreta (altura/inclinação).
Execução deficiente de aterros (geometria, compactação e fundação).
Lançamento de lixo nas encostas/taludes.
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6. CONCEITOS BASICOS APLICADOS A ESTUDOS DE ESTABILIDADE
6.1. Água no Solo6
A água é um dos fatores mais importantes em estudos de estabilidade. Na natureza a
água pode e apresentar pressão positiva ou negativa e estar em movimento ou não (hidrostática)
sob condição de fluxo. A influencia água na estabilidade pode ser atribuída a:
Mudança nas poropressões, alterando a tensão efetiva e, conseqüentemente, a
resistência do solo
variando o peso da massa, em função de mudanças no peso especifico
Desenvolvimento de fluxo, gerando erosões internas e/ou externas
Atuando como agente no processo de intemperismo, promovendo alterações nos
minerais constituintes
O fluxo de água no terreno origina-se de muitas fontes, mas principalmente da chuva e da
neve, como resultado do ciclo hidrológico, esquematicamente representado na Figura 32.
Precipitação
InfiltraçãoFluxo Superficial (Runoff)
Fluxo Sub-superficial
Interceptação
Fluxo Interno
EvapotranspiraçãoEvaporação
Figura 32. Ciclo hidrológico
Parte do volume de água precipitado atinge diretamente o solo, parte cai em rios , lagos e
mares, e parte é interceptada pela vegetação. Do volume de água que é interceptado pela
vegetação, parte retorna para a atmosfera por evapotranspiração e o restante ou é absorvido pela
própria vegetação ou cai no terreno. Do volume de água que cai na superfície do solo, parte 6 Abramsen, L. W.;Lee, T S; Sharma, S. e Boyce, G.M (1996) -0 Slope Stability and Stabilizations Methods. John Wiley & Sons, Inc
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infiltra e parte flui superficialmente (runoff) ou fica retido em depressões superficiais . A infiltração
de água no solo altera as condições de umidade da região não saturada, podendo inclusive alterar
a posição da superfície freática; dependendo da estratigrafia, chega a gerar um fluxo sub-
superficial. A equação que estabelece os componentes hidrológicos, denominada balanço
hidrológico, pode ser expressa da seguinte forma:
P Q E I W= + + + +Δ χ
onde, P representa a precipitação total, Q o runoff, E a parcela perdida por evapotranspiração, ΔW
a variação do nível do reservatório (rios, lagos e mares), I a variação de umidade do solo
decorrente do processo de infiltração e χ perdas adicionais, que incluem interceptação pela
vegetação e armazenamento parcial em depressões superficiais.
Na maioria dos casos em que se identifica a presença de nível d´água, pode-se subdividir
o perfil em 3 zonas, como mostra a Figura 33:
Região não saturada
Zona capilar
Região saturada
Na região saturada a poropressão é positiva. Nas demais apresenta valores negativos,
sendo denominada sucção.
Figura 33. Sistema de água no solo
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Na natureza a água encontra-se sempre em movimento em decorrência da existência de
um fluxo regional, que se desenvolve em função de características geológicas, topográficas e
hidráulicas (Figura 34). A velocidade de fluxo é lenta e laminar.
Figura 34. Regimes de Fluxo
Solos e rochas possuem poros que permitem a passagem da água são denominados
aqüíferos. A permeabilidade do material não determina se este se torna um aqüífero. O que
importa é o contraste de permeabilidades com os materiais circundantes; isto é, uma camada de
solo siltoso pode se tornar um aqüífero se estiver contida entre camadas argilosas
Aqüíferos podem estar confinados entre 2 camadas impermeáveis ou não confinado. Os
aqüíferos confinados são em geral saturados. Aqüíferos não confinados não estão
necessariamente completamente saturados e podem apresentar nível d´água.
Camadas consideradas não aqüíferos representam barreiras para a movimentação da
água. Assim sendo, é possível encontrar situações em que um determinado perfil apresenta mais
de um nível d´água, denominado nível d´água suspenso (Figura 35).
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areia
areia
argila
Nível d´águasuspenso
Figura 35. Nível d´água suspenso
Aqüíferos em que a carga piezométrica á superior a cota de sua extremidade superior são
denominados aqüíferos artesianos. Em alguns casos, a elevada carga piezométrica associada a
determinadas estratigrafias acarreta em surgências d´água na superfície do terreno (Figura 36).
Fontes de água na superfície do terreno podem ser resultado de forças gravitacionais (Figura 37)
Figura 36. Fonte gerada por aqüífero confinado
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Figura 37. Fonte de água na superfície
6.2. Pressão na água
Como mostrado na Figura 33 a água presente no solo esta associada a uma determinada
zona (saturada, capilar ou não saturada) fazendo com que a pressão na água possa variar entre
positivos e negativos. A Figura 38 mostra as variações do grau de saturação com a profundidade
em decorrência de processos de infiltração. A zona não saturada a pressão nan água é negativa e
é denominada sucção. Na zona capilar, S= 100% mas as pressões na água são negativas como
resultado das ações das tensões capilares
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Figura 38. Variações de umidade e de poropressão
Sob condição hidrostática e solo saturado, a pressão de água é triangular, crescente com
a profundidade, como mostra a Figura 39.
NA
A B C
hw
Figura 39. Poropressão – sem fluxo
ww hu ×= γ
A tensão efetiva é então calculada como
wsubwwwsat hhhu ×=×−×=−=′ γγγσσ
Sob condição de fluxo, considerando que a movimentação é lenta e o fluxo classificado
como laminar, considera-se a validade da lei de Darcy. Esta lei estabelece que o fluxo ocorre pela
ação de gradientes hidráulicos e a vazão calculada pela equação:
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Lei de Darcy
ALhkq Δ
=
kiAq =
Δh = diferença de carga total (h) entre 2 pontos:
Carga total = soma das cargas de elevação e de pressão:
{{
wpe
nulownulo
vpe
uzhhh
gvuzhhhh
γ
γ
+=+=
++=++=
≈≈
2
2
k = Coeficiente de permeabilidade ou Condutividade hidráulica A =área
Lhi Δ
= = gradiente hidráulico
As características da fase sólida que interferem na permeabilidade são:
Estrutura
Tamanho da partícula
(Hazen) scmemk
cmemDDk
/100 102
10 ⇒=
Composição mineralógica (capacidade de troca de cátions do argilo-mineral reduz
velocidade de fluxo)
Índice de vazios
Grau de saturação
É muito difícil isolar o efeito de cada um desses fatores uma vez que são
interdependentes; isto é a estrutura depende do tamanho de grão, índice de vazios e composição
mineralógica.
Resultados experimentais indicaram que há uma proporcionalidade com relação ao índice
de vazios e o coeficiente de permeabilidade (Figura 40). Dependendo do tipo de material, esta
pode ser definida em termos de
)1(
3
eek+
α )1(
2
eek+
α 2ek α e α log k
∆h = hA - hB
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Figura 40. Permeabilidade vs índice de vazios
6.2.1. Regime Estacionário em Solo Saturado
6.2.1.1. Problema unidimensional
21
21
22
AAkk
==
Figura 41 – Solos em serie
?0
1122
===
+++==
′
′
C
BB
AA
hhh
zLLzhh
Por continuidade:
q1 = q2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=2
1
21
2
444
LLhh
LLLh BAc
A’
A
C
B B’
fluxo
z1
L1
L2
z2
ΔΔ
A 2
( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−
−=
−
=
BAC
BCCA
B CCA
LLhh
LLh
LLhhhh
LhhkA
Lhhk
ALhkA
Lhk
2 1
2
1
2
1
221
2
22
221
1
11
41
4
4
222
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41
21
21
22
AAkk
==
Figura 42 – Solos em paralelo
1
21
zhhzLzhh
BB
AA
==++==
′
′
BBB
AAA
hhhhhh
′′′
′′′
====
kiAq =
4
22
2
1
222
21111
=
Δ=
Δ=
Δ=
ALh
kq
ALh
kALh
kq
AB
ABAB
6.2.1.2. Problema Bidimensional
A equação que rege processos de fluxo de fluxo em solos esta descrita a seguir:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+=
∂∂
+∂∂
teS
tSe
ezhk
xhk zx 1
12
2
2
2
Supondo-se que:
- O fluxo é estacionário (não há variação do gradiente hidráulico ao longo do tempo);
- O solo está saturado → S=100% → 0=∂∂
tS ;
- Válida a lei de Darcy.
- Efeitos de capilaridade são desprezíveis;
- Tanto o esqueleto de partículas sólidas quanto a água são incompressíveis.
- Durante o fluxo não ocorre nem compressão nem expansão → e=cte → 0=∂∂
te
A equação reduz-se a :
02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
zhk
xhk zx
Considerando-se ainda as seguintes hipóteses:
- Solo homogêneo e isotropico;
A’
solo 2 solo 1
AA”
B” B
B’
z1
L
z2
Ref
mesma perda de carga
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- Coeficiente de permeabilidade constante nas direções x e z;
02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
zh
xh
(Equação de Laplace)
A solução geral da equação de Laplace é constituída por dois grupos de funções, as quais
podem ser representadas, dentro da zona de fluxo em estudo, por duas famílias de curvas
ortogonais entre si, denominadas de linhas de fluxo e linhas equipotenciais.
A rede de fluxo é uma solução gráfica da equação de Laplace. A rede permite a estimativa
da vazão, poropressões e, consequentemente, gradientes hidráulicos.
A Figura 43 mostra a rede de fluxo em talude. Na superfície freática a poropressão é nula
e representa o limite entre a zona saturada e a capilar. Observe que piezômetros instalados no
talude fornecem altura de carga de pressão que não coincide com a superfície freática.
Figura 43 – Carga de pressão em rede de fuxo
A
Figura 44 compara as superfícies freática e piezométrica. A superfície freática é uma linha
de fluxo a partir da qual é possível desenhar linhas ortogonais representando linhas
equipotenciais. Neste caso a carga de pressão é menor do que a distancia vertical ate a linha
freática (hw). Geometricamente tem-se:
( ) ααα 2coscoscos wwp hhh ==
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hw cosα hw cos2α
Figura 44 – Comparação entre superfície freática e piezométrica
Analises de estabilidade devem considerar diferentes hipóteses fluxo. A Figura 45 mostra
um talude sujeito a diferentes condições de fluxo. Inicialmente o talude esta parcialmente
saturado. Em seguida há um processo de rebaixamento rápido do reservatório. Dependendo da
permeabilidade do solo haverá a formação de redes de fluxo diferentes. Em solo coesivo as
poropressões serão significativas. Já no solo não coesivo o equilibro hidráulico ocorrera
rapidamente e linha freática tendera para o pe do talude.
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Figura 45 – Condição de rebaixamento rápido
6.3. Resistência ao Cisalhamento
Fredlund e colaboradores7 propuseram um critério para a determinação da resistência de
solos não saturados, dado por
( ) ( ) bwaa tguutguc φφστ ⋅−+⋅−+= '
ou
( ) ( ) '´ φσφτ tgutguuc ab
wa ⋅−+⋅−+=
A envoltória de ruptura do solo é representada em um espaço tridimensional, conforme
indicado na Figura 46. O gráfico tridimensional tem como ordenada a tensão cisalhante τf e, como
abscissas, as variáveis de estado de tensão (σn – ua) e (ua – uw).
7 Fredlund, D. G., Rahardjo, H. (1993) Soil mechanics for unsaturated soils, John Wiley, New York.
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O intercepto coesivo no plano τ x (σn – ua) é representado por c, como nos solos
saturados. À medida que a sucção se faz presente o intercepto coesivo é definido por (Figura 47):
( ) '´ bwa tguucc φ⋅−+=
Sucção Mátrica (ua-uw)
Tens
ão C
isal
hant
e
Tensão Normal Líquida (σ-ua)
φ’
φb
Figura 46 - Envoltória de resistência de solos não saturados
Figura 47 – Plano τ x (ua-uw)
A projeção da envoltória de resistência no plano τ x (ua-uw), para diferentes valores de
sucção resulta em uma serie de contornos, como mostra a Figura 48. As linhas interceptam o eixo
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de tensões em posições crescentes como resultado do acréscimo da parcela da coesão
correspondente a sucção mátrica.
Quando o solo se torna saturado (ua-uw) se anula e a pressão na água se aproxima da
pressão do ar; isto é
Sucção nula (ua-uw) =0 ua ≈ uw (σ- ua) ≈ (σ- uw) = σ’
c ≈ c’
Com isso, a envoltória de resistência passa a ser definida em termos de tensão efetiva, no
plano τ x σ’.
Figura 48 – Projeção horizontal no plano τ x (ua-uw) , para diferentes valores de sucção.
Resultados experimentais têm mostrado que a envoltória de ruptura de solos não
saturados é não linear, ou seja os parâmetros φ’ e φb não são constantes.
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7. ANALISES DE ESTABILIDADE
O objetivo da analise de estabilidade é avaliar a possibilidade de ocorrência de
escorregamento de massa de solo presente em talude natural ou construído. Em geral, as
analises são realizadas comparando-se as tensões cisalhantes mobilizadas com resistência ao
cisalhamento. Com isso, define-se um fator de segurança dado por:
mob
fFSττ
= =1 FS >1,0 ⇒ obra estável
FS =1,0 ⇒ ocorre a ruptura por escorregamento
FS < 1,0 ⇒ não tem significado físico
Por definição, FS é o fator pelo qual os parâmetros de resistência podem ser reduzidos de tal forma a tornar o talude em estado de equilíbrio limite ao longo de uma superfície; isto é
FSFSc
mobφστ
′′+
′=
tan
O FSadm de um projeto corresponde a um valor mínimo a ser atingido e varia em função do
tipo de obra e vida útil. A definição do valor admissível para o fator de segurança (FSadm) vai
depender, entre outros fatores, das conseqüências de uma eventual ruptura, em termos de perdas
humanas e/ou econômicas. A Tabela 7 apresenta uma recomendação para valores de FSadm e os
custos de construção para elevados fatores de segurança. Deve-se ressaltar que o valor de FSadm
deve considerar não somente as condições atuais do talude, mas também o uso futuro da área,
preservando-se o talude contra cortes na base, desmatamento, sobrecargas e infiltração
excessiva.
Para taludes temporários, o valor de FSadm deve ser o mesmo recomendado na Tabela
7, considerando-se, ainda, as solicitações previstas para o período de construção.
Tabela 6. Fatores de Segurança de Projeto
Incerteza nos parâmetros Custo e conseqüência da ruptura Pequena(*) Grande Custo de recuperação pequeno
Baixo risco de vida(**) 1,25 1,5
Custo de recuperação alto Alto risco de vida(***) 1,50 ≥ 2,0
(*) solo homogêneo, ensaios consistentes (**) escorregamento lento sem construções próximas (***) ex.: barragem
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Tabela 7 - Recomendação para fatores de segurança admissíveis (Manual de Taludes, GeoRio)
Risco de perda de vidas humanas Risco de perdas econômicas desprezível medio elevadov Desprezível 1,1 1,2 1,4
Médio 1,2 4,3 1,4 Elevado 1,4 1,4 1,5
i) fatores de segurança para tempo de recorrência de 10 anos ii) para risco elevado e subsolo mole, o valor de FSadm pode ser majorado
em 10%
Este tipo de abordagem é denominado determinístico, pois estabelece-se um
determinado valor para o FS. Nos últimos anos, este tipo de abordagem tem sido criticado e têm-
se sugerido que estudos de estabilidade avaliem a probabilidade de ruptura. Este tipo de
abordagem não será tratado nesta apostila. Os métodos probabilísticos permitem quantificar
algumas incertezas inerentes ao fator de segurança FS obtido por métodos determinísticos. Uma
descrição detalhada dos métodos probabilísticos pode ser encontrada no livro de Harr (1987).
7.1. Tipos de Análise
Existem 2 tipos de abordagem para determinação do FS do ponto de vista determinístico:
teoria de equilíbrio limite e análise de tensões.
7.1.1. Analise de tensões
Estudos de estabilidade baseados em análises tensão x deformação são realizados com o
auxílio de programas computacionais, baseados nos métodos dos elementos finitos (MEF) ou das
diferenças finitas (MDF).
Os programas são concebidos de forma a possibilitar a incorporação da:
não linearidade da curva σ x ε;
anisotropia;
não homogeneidade;
influência do estado inicial de tensões;
etapas construtivas.
As tensões cisalhantes são determinadas numericamente e comparadas com a resistência
ao cisalhamento. A região de ruptura pode ser determinada nos pontos em que τ ≥ τresistencia
Adicionalmente, os resultados fornecidos em termos de tensões e deformações permitem:
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estabelecer áreas rompidas (plastificadas), mesmo sem se estabelecer uma
superfície de ruptura ( indicando ruptura progressiva)
estabelecer níveis de tensão de interesse para realização de ensaios de
laboratório
conhecer a magnitude das deformações, que podem ser mais determinantes do
que o próprio FS na concepção do projeto
7.1.2. Equilíbrio limite
O método de análise por equilíbrio limite consiste na determinação do equilíbrio de uma
massa ativa de solo, a qual pode ser delimitada por uma superfície de ruptura circular, poligonal
ou de outra geometria qualquer. O método assume que a ruptura se dá ao longo de uma
superfície e que todos os elementos ao longo desta superfície atingem a condição de FS,
simultaneamente.
Equilíbrio limite é um método que visa determinar o grau de estabilidade a partir das
seguintes premissas:
i) postula-se um mecanismo de ruptura; isto é, arbitra-se uma determinada superfície
potencial de ruptura (circular, planar, etc.). O solo acima da superfície é considerada
como corpo livre
ii) O equilíbrio é calculado pelas equações da estática: ( 0,0,0 === ∑∑∑ MFF hv ).O
equilíbrio de forcas é feito subdividindo-se a massa de solo em fatias e analisando o
equilíbrio de cada fatia (Figura 49). A Figura 50 mostra o equilíbrio de momentos.
R
n
A
B
C D
x O
Figura 49 – Equilíbrio de forças
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50
W1
O
W2
x1 x2
R
τmob
A
B
MInstabilizante = 11xW
M Estabilizante = ( )RaioABxW mobτ+22 Equilíbrio de Momentos:
( ) 1122 xWRaioABxW mob =×+ τ
( ) 2211 xWxWRaioABmob −=×τ - Como definir τmob ?
Figura 50. Equilíbrio de momentos
Examinando as incógnitas e equações disponíveis, observa-se que o problema é estaticamente indeterminado; isto é, numero de incógnitas (6n-2) é superior ao de equações
(4n), como mostra a Figura 51. Com isso os diversos métodos aplicam hipóteses simplificadoras no sentido de reduzir o numero de equações. Uma hipótese comum a todos
os métodos é assumir que o esforço normal na base da fatia atua no ponto central, reduzindo as
incógnitas para (5n-2). Assim sendo, os métodos indicam (n-2) hipóteses de forma a tornar o
problema estaticamente determinado.
Figura 51. Equações X Incógnitas
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Nas análises obtém-se τmob de tal forma que a massa esteja em estado de equilíbrio limite
iii) o FS é obtido comparando-se mob
fFSττ
=
iv) FS é admitido constante em toda a superfície.
v) O FS mínimo é obtido por iterações
x x
x
x x
x x
x x
FS=2,0
FS=1,5
FS=1,3
A vantagem do método de EQ esta na sua simplicidade e acurácia de resultados.
Entretanto, os métodos de estabilidade baseados na teoria de Equilíbrio limite incorporam as
seguintes premissas:
i) Admite-se que o material tenha um modelo constitutivo rígido plástico. Com isso, não
se tem informação sobre as deformações, isto é não há como se verificar se estão
dentro da faixa admissível para o projeto
σ
ε
(a) rígido plástico (b) elastoplástica
Figura 52. Curva Tensão x Deformação
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52
ii) As tensões são determinadas exclusivamente na superfície de ruptura. As diversas
hipóteses simplificadoras adotadas pelos diversos métodos de EQ acarretam em
diferentes distribuições de tensão na superfície de ruptura. A Figura 53 mostra
diferenças significativas entre as distribuições de tensão normal obtidas pelo método
de equilíbrio limite (Bishop) e por analise de tensões
Figura 53. Comparação entre valores de tensão efetiva: Equilíbrio limite x Análise de Tensões
iii) O FS está relacionado aos parâmetros de resistência e não à resistência ao
cisalhamento propriamente dita, que dependerá das tensões efetivas; isto é
FStgu
FSc ')(' φστ −+=
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iv) Admite-se trajetória de tensão vertical o que não corresponde ao carregamento no
campo; isto é, a partir das tensões normais no plano de ruptura calcula-se qf
q kf
p´
qND
qD
qmob
qf
mob
f
FS =
Condição drenada
Condição não drenada
DND FSFSFS <<
7.2. .Classificação Geotécnica das Análises de Estabilidade
Quando se estuda a estabilidade de uma obra, deve-se avaliar a capacidade do solo de
resistir à determinada variação em seu estado de tensões. O projeto deve então ser elaborado
considerando-se a situação mais desfavorável, a partir da comparação entre a resistência do solo
com as tensões atuantes na massa. No caso de solos, a resistência não é uma grandeza fixa,
sendo diretamente proporcional ao valor da tensão efetiva. Quanto maior for o valor da tensão
efetiva maior tensão o solo será capaz de suportar.
As características mais importantes a serem consideradas são:
Comportamento drenado x não drenado
Condições possíveis de saturação do solo (saturado x não saturado)
Ocorrência de superfícies de ruptura pré-existentes
Ocorrência de descontinuidades na massa de solo
Descontinuidades na massa podem ter origem em fissuras, juntas preservadas da rocha
mãe, veios ou camadas de baixa resistência, camadas de preenchimento de juntas, etc. A sua
presença requer a determinação da envoltória de resistência do material da descontinuidade.
7.2.1. Quanto à condição critica
7.2.1.1. Influência da poropressão
Em muitos problemas práticos, é possível separar os efeitos de um carregamento no solo
em 2 fases:
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i) não drenada → àquela que ocorre imediatamente após o carregamento, quando
nenhum excesso de poro-pressão foi dissipado; ou melhor, quando nenhuma variação de volume
ocorreu na massa de solo.
ii) drenada → àquela que ocorre durante a dissipação dos excessos de poro-pressão ou,
melhor, durante o processo de transferência de carga entre a água e o arcabouço sólido. Nesta
fase ocorrem as variações de volume e,consequentemente, os recalques no solo.
A definição da condição mais desfavorável depende do contraste entre a permeabilidade
do solo e o tempo de carregamento:
Permeabilidade do Solo
Tempo de Carregamento Tipo de Análise
baixa ⇔ Usual
infinitamente alto
⇔
⇔
Avaliar condição mais desfavorável
Drenada alta ⇔ Usual
infinitamente pequeno
⇔
⇔
Drenada
Avaliar condição mais desfavorável
A Figura 54 mostra como o FS varia durante a construção de um aterro sobre um solo
argiloso. Após a construção as poropressões crescem e com o tempo vão sendo dissipadas. Com
isso, o momento mais crítico corresponde ao final da construção (condição não drenada)
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NA
P
Altura do aterro
Tensão cisalhante media no ponto P
Tempo
Tempo
Tempo
Por
opre
ssao
n
o po
nto
P
Fato
r de
Seg
uran
ça
Dissipação de poropressao
Poropressão em equilibrio
Construção rapida
Figura 54. Evolução do FS com o tempo - Aterro
A Figura 55 mostra como o FS varia durante a construção de uma escavação em solo argiloso. Observa-se que ocorre comportamento inverso do apresentado anteriormente, sendo o
momento mais critico correspondente a condição a longo prazo (condição drenada). Ë importante
ressaltar que os resultados variam com o valor do parâmetro de poropressão A. Para valores de A negativos, o resultado é o oposto.
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NA original NA final
P
Equipotencial
hp iniciall
hp final
A = 1
A = 0
Tempo
Por
opre
ssão
no
pont
o P
A = 1
A = 0
Tempo
Fato
r de
Seg
uran
ça
Equilibrio Redistribuição poropressão Escavação rápida
Fase Drenada
Fase Não Drenada
uo =hp iniciall x γω uf =hp final x γω
Figura 55. Evolução do FS com o tempo - Escavação em argila
A Figura 56 mostra como o FS varia durante a construção de uma barragem de terra. São
apresentados os comportamentos relativos aos taludes de montante e de jusante.Observa-se que
as condições mais criticas dependem do talude; isto é
Talude de montante ⇒ final de construção
⇒ rebaixamento rápido
Talude de jusante ⇒ final de construção
⇒ longo prazo
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NA
P
Superficie de ruptura montante
Tempo
Tempo
Tempo
Por
opre
ssao
no
pont
o P
Fa
tor d
e S
egur
ança
Jusante
Montante
enrocamento Superficie de ruptura jusante
Equipotencial passando por P
Jusante
Montante
Montante
Jusante
Assumindo zero de dissipação
Tens
ão c
isal
hant
e m
edia
no
pon
to P
construção
Dissipação de poropressão
Reservatório cheio
Reservatório vazio
Rebaixamento rapido
enchimento
Fluxo em regime permanente
Figura 56. Evolução do FS com o tempo – Barragem de terra
7.2.2. Quanto ao tipo de analise
O estudo de estabilidade pode ser realizado em termos de tensão efetiva ou total
7.2.2.1. Tensões efetivas
Nas análises em termos de tensão efetiva, a tensão cisalhante mobilizada é estimada por
FStgu
FSc ')(' φστ −+=
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Com isso, são necessários os seguintes parâmetros: c’, φ’ e (uo+Δu)
Os parâmetros efetivos são obtidos em ensaios de laboratório.
Poropressão
Inicial
A poropressão inicial pode ser calculada em função das seguintes condições:
i) superfície freática ou nível d’água
ii) superfície piezométrica a ser definida a partir de:
a. traçado de rede de fluxo,
b. monitoramento com piezômetros,
c. soluções numéricas
A Figura 57 mostra as diferenças entra as superfície freática e piezométrica
Figura 57. Superfície freática X piezométrica
Razão de poropressão (ru), definido pela relação entre poropressão e tensão vertical:
huur
vu γσ
==
O parâmetro de poropressão é fácil de ser implementado, mas o grande problema está no
fato de que este varia no talude. Assim sendo, avaliar a estabilidade considerando um único valor
de ru fornece resultados incorretos
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Figura 58. Estimativa de ru
γγ w
u ABCDEFAareaFGDEFarear ×=
Um valor constante de ru so é possível em taludes com superfície freática coincidente com
a superfície do talude, como mostra a Figura 59.
Figura 59. ru para taludes com nível d’água coincidente com a superfície do terreno8
8 Abramsen, L. W.;Lee, T S; Sharma, S. e Boyce, G.M (1996) -0 Slope Stability and Stabilizations Methods. John Wiley & Sons, Inc
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Induzida
Entretanto, a grande dificuldade reside na determinação dos excessos de poropressão
(Δu) gerados por carregamentos ou descarregamentos. Existem propostas para estimativa de Δu:
iii) Skempton:
( )[ ]313 ABu σΔ−σΔ+σΔ=Δ B = 1 no caso de solo saturado
A = f(tipo de solo, nível de tensões, historia de tensões, trajetória de tensões)
iv) Henkel:
koctoctu τασ Δ+Δ=Δ
2313 −
=Aα
Alternativamente, podem-se acompanhar as poropressões geradas pela obra através de
da instalação de piezômetros. Entretanto, seria necessário que os piezômetros fossem instalados
ao longo das superfícies de ruptura, o que na pratica é muito difícil de se prever.
7.2.2.2. Tensões Totais
Análises em termos de tensão total, podem ser realizadas em situações de :
Solo saturado
Análise a curto prazo ou final de construção, em que a condição não drenada
corresponde ao instante critico da obra. Os parâmetros de resistência em termos
totais são obtidos em ensaios não drenados UU, em laboratório, ou em ensaios de
campo (palheta, cone). Nestes casos, a envoltória de resistência em termos de
tensão total se caracteriza por:
c = su ou cu
φ = 0
A tensão cisalhante mobilizada é estimada por
( )FSss u
mobu =
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σ
τ
Envoltória total (c=0)
Su (Cu)
Envoltória Efetiva (?)
Figura 60. Envoltória UU
7.2.2.3. Tensões Totais x Efetivas
A análise em termos efetivos é teoricamente mais correta pois a resposta do solo a qualquer tipo de solicitação depende da tensão efetiva. Quando se opta por análises em
termos totais, o projetista está automaticamente assumindo que as poropressões geradas na obra são idênticas às desenvolvidas nos ensaios.
A análise em termos de tensão total (φ = 0) é muito empregada em argilas NA ou
levemente PA. Argilas muito pré-adensadas (OCR > 4) geram excessos de poropressão negativos
(A < 0) e, portanto, a condição mais critica passa a ser a longo prazo (u = uo)
A Tabela 8 resume as condições criticas e sugere os parâmetros e tipos de ensaios
adequados a cada tipo de análise, para analises em solo saturado
Tabela 8. Tensões efetivas x Tensões totais – Solo saturado
Situação critica
Tipo de análise
Parâmetros Ensaios de Laboratório
Tensões efetivas c’, φ’ e (uo+Δu) Triaxial CU com medida de poropressão Final de construção
(não drenado) Tensões totais (φ = 0) su Triaxial UU
Longo Prazo (drenado) Tensões efetivas c’, φ’ e uo
Triaxial CD Cisalhamento Direto Triaxial CU com medida de poropressão Ensaio de Torção
Em solos não saturados a condição de carregamento drenada é a mais usual. É possível,
entretanto, no caso de barragens, que em solos argilosos com elevado grau de saturação
(S>85%), que a condição mais critica seja não drenada. E importante observar que um solo não
saturado sujeito a processo de umedecimento perde a contribuição da parcela de sucção, sendo a
saturação completa a condição mais critica.
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Tabela 9. Tensões efetivas x Tensões totais – Solo não saturado
Situação critica
Tipo de análise
Parâmetros Ensaios de Laboratório
Tensões efetivas
φστ ′−+= tan)(' uc
huru γ=
Triaxial PN (k constante), para obtençao de ru
Final de construção
(não drenado em solos
compactados) Tensões totais uuc φστ tan+= Triaxial CU em amostras não saturadas
Longo Prazo (drenado)
Tensões efetivas
φσφτ ′−+−+= tan)(tan)(' ab
wa uuuc
Ensaio com sucção controlada
Em um mesmo caso pode-se ter solos saturados e não-saturados e/ou condição drenada e
não drenada ocorrendo simultaneamente nos diferentes materiais envolvidos na analise, sendo
necessário usar a envoltória adequada para cada um deles.
7.2.3. Quanto aos parâmetros de resistência
FS é admitido constante em toda a superfície. Entretanto, raramente um talude rompe
abruptamente. Adicionalmente é pouco provável que a ruptura ocorra simultaneamente em todos
os pontos da superfície potencial de ruptura (exceto em pequenos volumes de massa)
Ruptura progressiva é conseqüência da distribuição não uniforme de tensões e
deformações no interior do talude. A ruptura ocorre em determinados pontos da massa em que
τmob = τf ou em que as deformações são excessivas, transferindo esforços para os pontos
adjacentes, criando o mecanismo conhecido como ruptura progressiva.
A distribuição de tensões normais ao longo de superfícies de ruptura não é uniforme e e
vão existir regiões mais solicitadas que outras (Figura 61).
A ruptura progressiva pode ocorrer em materiais em que a curva tensão x deformação
apresenta pico a ruptura progressiva deve ser prevista. Consequentemente, recomenda-se utilizar
a resistência residual
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σ
ε
1 2
1
2
σ
τ φ´pico
φ´res
Figura 61. Ruptura Progressiva
A ocorrência de superfícies de ruptura pré-existentes no interior da massa em um solo em
análise pode indicar a movimentação da massa. Nestes casos, também recomenda-se o uso da
envoltória residual.
8. MÉTODOS DE ESTABILIDADE
Diferentes métodos de estabilidade serão apresentados a seguir. Na maioria dos casos, a
ruptura envolve superfícies de ruptura tridimensionais (Figura 62). Nestes casos, as analises de
estabilidade são realizadas para as diferentes seções transversais. Lambe e Whitman sugerem
que o FS para o conjunto seja feito por ponderação das áreas.
( )( )∑
∑ ×=
iao
iao
AreaFSArea
FSsec
sec
’
Figura 62. Condição tridimensional
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8.1. Taludes Verticais – Solos Coesivos
8.1.1. Trinca de Tração
É comum ocorrer, antes do escorregamento, trincas de tração na superfície, como mostra
a Figura 63. Nestes casos, perde-se a contribuição de parte da superfície na resistência
mobilizada. A “sobrecarga” contida neste trecho não mais afeta os momentos instabilizantes. Por outro lado, a trinca pode ser preenchida pos água, gerando esforços adicionais (existem projetistas que consideram a fatia hachurada, como forma de compensar a
possibilidade da trinca ser preenchida por água). É aconselhável, portanto, estimar a
profundidade da trinca
σh=0
ZT σh<0
Figura 63. Trinca de tração
Para o caso de maciço com superfície horizontal, as tensões na ruptura são calculadas
considerando o circulo de ruptura e a envoltória de Mohr-Coulomb
'tan''c φσ+=τ
τ
σ σ3 σ1
(σ1-σ3)/2 φ
τf
σf
Figura 64. Circulo de Mohr para solo coesivo
'cos2
31 φσ−σ
=τ
'22
3131 φσσσσ
σ sen−
−+
=
Substituindo em 'tan''c φσ+=τ , chega-se a
'cos'sen.'sen
22'c'cos
2313131
φφ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛φ
σ−σ−
σ+σ+=φ
σ−σ
Multiplicando ambos os lados por cos φ’:
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'2
'2
'cos''cos2
23131231 φσσφσσφφσσ sensenc −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+=−
[ ] '2
'cos'''cos2
312231 φσσφφφσσ sencsen ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
'sen2
'cos'.c2
3131 φ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ+σ+φ=
σ−σ
)'sen1(2
'cos.c)'sen1(2
31 φ+σ
+φ=φ−σ
⇒ )'sen1()'sen1(
'sen1'cos'.c.2
13 φ+φ−
σ+φ+φ
−=σ
Assumindo σ’v = σ1 e σ’h = σ 3 , tem-se
434214434421443442143421KacKa
v
KacKa
vativoh csensenc
sensen )
245tan(2)
245(tan
112
11 2 φφσ
φφ
φφσσ +−+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=
σ1 = γz
σ3 = σh )
245tan(2)
245(tan2 φφγσ +−+= czh
A distribuição de tensões horizontais varia com a profundidade, sendo negativa no trecho
mais superficial. Nesta região surgem trincas de tração, cuja profundidade pode ser estimada por:
z = zT ⇒ σh = 0 )2
45tan(2 φγ
+=czT
Solo puramente coesivo: φ = 0 ⇒ γ
uT
sz 2=
8.1.2. Talude vertical
No caso da escavação de taludes verticais (Figura 65), o estado de tensões pode ser
aproximado como estado ativo de Rankine.
σh(+)
σh (-)
Hc
zT
Figura 65. Distribuição de σh em taludes verticais - Estado ativo de Rankine
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De acordo com o critério de Morh-Coulomb, a relação entre as tensões principais na
ruptura pode ser escrita como
)2
45tan(2)2
45(tan 231
φφσσ +++= c
Supondo que a superfície de ruptura seja plana, o valor de σh é dado por
σ1 = γz
σ3 = σh
)2
45tan(2)2
45(tan2 φφγσ +−+= czh
aavh k'c2k.'' −σ=σ
Integrando-se ao longo da profundidade, tem-se a resultante de empuxo calculada como:
kacHkaHdhP cc
Hc
ha 22
2
0
−== ∫γσ
Quando a resultante for nula, ocorre a instabilidade; isto é
)2
45tan(40 φγ
+=⇒=cHP ca
No caso em que φ = 0
γu
cs
H4
=
Estas equações valem para superfícies planas. No caso do escorregamento ocorrer em
superfície curvas, a expressão passa a ser:
γu
cs
H86,3
=
Com o a possibilidade de aparecimento de trincas de tração no topo do talude, Terzaghi
sugere que a expressão seja corrigida para:
)2
45tan(67,2 φγ
+=cH c ou
γu
cs
H67,2
=
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8.2. Blocos Rígidos
W
s
N
Figura 66 - Ação do peso próprio
Ação do peso próprio
Equilíbrio na direção normal ao plano ⇒ ψcosWN =
Equilíbrio na direção tangencial ao plano ⇒
ψWsens =
Mas { FSA
FSAcs
N
φσ′
+′
=tan
'
Então
{
FSW
FSAcWsen
FSA
FSAcWsen
N
φψψ
φσψ
′+
′=
′+
′=
tancos
tan
'
⇒ ( )
ψφψ
senWWAcFS
′+′=
tancos
OBS:
Se c’= 0 ⇒ψφ
tantan ′
=FS
⇒ independente do peso do bloco!
W
s
N’ U
V
Figura 67 - Ação do peso próprio e
água
Ação do peso próprio e água
Equilíbrio na direção normal ao plano ⇒ ψcosWN =
⇒ ψcosWUN =+′
Equilíbrio na direção tangencial ao plano ⇒
VWsens += ψ
Mas FS
uNFS
Acs φ′−+
′=
tan)(
Então
( )VsenWuWAcFS
+′−+′
=ψ
φψ tancos
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W N’ U
V
Ts
β
Figura 68 - Ação do peso próprio e água e
esforço externo (tirante)
Equilíbrio na direção normal ao plano ⇒
βψ TsenWUN +=+′ cos
Equilíbrio na direção tangencial ao plano ⇒
VWsenTs +=+ ψβcos
Mas FS
uNFS
Acs φ′−+
′=
tan)(
Então
( )βψ
φβψcos
tancosTVsenW
uTsenWAcFS−+
′−++′=
8.3. Talude Infinito
Quando o escorregamento é predominantemente translacional, paralelo a superfície do
talude, desprezam-se os efeitos de extremidades e a análise é feita pelo método de talude infinito
E
β
hp
Superfície de ruptura
h
b
l
E+dE
x+dx x
N’
u
m
s
w
n
γ
β
hbWluU
lb
==
= cos
Figura 69 - Talude infinito: forças atuantes em uma fatia genérica
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Assumindo que as forças interlamelares se anulam; isto é,
0== dEdX
e resolvendo o equilíbrio de forcas paralelamente a superfície do talude, tem-se:
0=− βWsens
∑ = 0nF
FSN
FSlcs φ ′
′+′
=tan βφ Wsen
FSN
FSlc
=′
′+′
⇒tan
∑ = 0mF ulWNulNW −=′⇒+′= ββ coscos
Considerando que lbW γ= , tem-se, independente da dimensão (b) da fatia considerada:
Tensões efetivas ⇒( )
ββγφβγ
costancos2
senhuhcFS
′−+′=
Tensoes totais ⇒ ββγ cossenhlsFS u=
Casos especiais:
i) se c’= 0 e definindo o parâmetro de poropressão huu ru γσ
==v
Tensões efetivas ⇒( ) ( )β
βφ
ββγφβγ 2
2
sec1tantan
costancos
ursenhuhFS −
′=
′−=
ii) se c’= 0 e u = 0
Tensões efetivas ⇒βφ
tantan ′
=FS
iii) se c’= 0 e o fluxo for paralelo à superfície do terreno
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β
NA
mh
β
mh cosβ
h hp= (m.h.cosβ)cosβ⇒u=γw (m.h.cos2β)
mh
Figura 70 - Talude infinito: fluxo paralelo ao
talude
Tensões efetivas ⇒
( )ββγ
φβγβγ ω
costancoscos 22
senhmhhFS
′−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
′=
γγ
βφ wmFS 1
tantan
Se o NA for coincidente com a superfície do terreno: m=1, então:
Tensões efetivas ⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −′=
γγ
βφ
γγγ
βφ subwFS
tantan
tantan
2tantantan1 φ
γγ
φβ′
≈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′=⇔= subFS
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8.3.1. Ábaco de Duncan
Segundo Duncan (1996), o fator de segurança de taludes infinitos pode ser definido por
HcBAFS.tan
tanγβ
φ ′+
′=
onde os parâmetros A e B são obtidos nos ábacos apresentados na Figura 71.
Figura 71 - Ábacos de Duncan (1996): talude infinito9
9 GeoRio (2000) – Manual de Taludes
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8.4. Superfícies Planares
Caso o talude apresente zona de fraqueza no campo é possível que a superfície critica
coincida com este plano.
Figura 72 – Zona de fraqueza
8.4.1. Método de Culman
W
N’
U
T
s
N
AB = comprimento da superfície de
ruptura
ψcosWN =
ψWsenT =
Equilíbrio na direção normal ao plano ⇒ ψcosWUN =+′
Equilíbrio na direção tangencial ao plano ⇒ ψsenWs =
Mas FS
NFSABcs φ′
′+′
=tan)(
Então
( )ψ
φψsenW
UWABcFS′−+′
=tancos)(
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73
No caso de solos homogêneos, deve-se pesquisar a superfície critica O cálculo de FS
deve ser repetido para diversas superfícies até determinar FSmin.
Superfície critica
FS
FSmin
Figura 73 – Procura da superfície critica – FSmin
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74
8.4.2. Caso geral
A Figura 74 apresenta um caso geral de superfície inclinada. Estão presentes os seguintes
esforços:
smob
Figura 74 – Superfície plana com trinca de tração
W = peso da cunha
q = sobrecarga distribuída
P = resultante da sobrecarga,
no trecho BC CBq ×= =
V = empuxo de água na trinca
Zwγ21
=
T = esforço do tirante
U = resultante da poropressão
na base da cunha (trecho AD)
DAZw ×= γ21
smob= resistência mobilizada
no trecho AD
N = resultante de tensão
normal no trecho AD
Equilíbrio na direção normal ao plano
ψθψψ VsenNTPW +=−−++ )90cos(cos)(
⇒ ψθψψ VsenTPWN −−−++= )90cos(cos)(
Equilíbrio na direção tangencial ao plano
ϕψθψ cos)()cos( VsenPWsT mob ++=++
⇒ )cos(cos)( θψϕψ +−++= TVsenPWsmob
Mas FS
UNFS
DAcsmobφ′
−+×′
=tan)(
Então
( )[ ])cos(cos)(
tan)(cosθψψψ
φψθψψ+−++
′−−++++×′=
TVsenPWUVsenTsenPWDAcFS
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8.4.3. Método das Cunhas
Existem situações em que a superfície de ruptura pode ser definida por segmentos de
retas (Figura 75), formando cunhas de solo.
(a)
(b)
Figura 75 – Exemplos de superfícies de ruptura poligonal
Nestes casos a solução é obtida por equilíbrio de esforços nas direções horizontal e vertical (não sendo incorporado o equilíbrio de momentos). Considerando os esforços
atuantes nas cunhas da barragem , são identificadas 5 incógnitas: A C
B B
C
E
D
δ
δ
E21
E12 S1
S2
N’1
N’2
U1
U2
W1
W2
Incógnitas:
N’1 = ? N’2 = ? δ = ? Eij = ? FS= ?
Figura 76 – Esforços nas cunhas
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76
Dispondo de 4 equações de equilíbrio de forças (2 equações para cada cunha) adota-se
o seguinte procedimento:
i) arbitra-se o valor de δ (o resultado é sensível ao valor de δ)
a. δ =0 ⇒ muito conservador
b. δ = φ’⇒ superestima o valor de FS
c. Hipóteses razoáveis:
i. δ = 10º a 15º
ii. δ = inclinação do talude
ii) arbitra-se o valor de FS (quanto menor for FS maiores serão as forcas
estabilizantes)
iii) Constroem-se os polígonos de força
iv) Determinam-se E12 (Figura 77) e E21
E
D
R2
B
C i
δ=0
E12 FSlc′
N’2
U=u x l
W2
FS
N φ′′ tan2
Direção de R2
W2
FSlc′
U=u x l
E12
Figura 77 – Equilíbrio de esforços na cunha
v) Caso E12 ≠ E21 repetir o procedimento considerando outro valor de FS
vi) Traçar as curvas de FS x Eij ou ΔE x FS
E
FS
Cunha 1
Cunha 2
ΔE= Eij - Eji
FS FS final
FS final
Figura 78 – Determinação do FS
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77
Exemplo
cunha 1
cunha 2
cunha 3
4m
H=9m
γ=1,6t/m3
c’=2,5t/m2
φ’= 15o
4m 4m
Hipótese 1: FS=4 δ = 10º
Cunha Peso (W) Comprimento (l)
FSlcC '
=
1 7,68t 6,8m 4,25t/m
2 14,07t 4,m 2,94t/m
3 6,4t 4,2m 2,63t/m
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Quando o problema envolve 2 cunhas e admitindo δ = 0 é possível resolve-lo
analiticamente, seguindo os seguintes passos
i) arbitra-se FS
ii) por equilíbrio de forças estima-se E para cada única cunha, sendo i a inclinação da
base da cunha
∑ = 0vF
0costan=′−
′′−
′− iNseni
FSNseni
FSlcW φ
⇒ iFSsenilsenicFSWN
costan +′′−
=′φ
∑ = 0hF 0costancos =′−
′′+
′+ seniNi
FSNi
FSlcE φ
⇒ iFS
NiFS
lcseniNE costancos φ′′−
′−′=
i δ=0
E
FSN
FSlcS φ′′+′= tan
N’2
W S
iFS
lcFS
iseniiFSseni
lsenicFSWE coscostancostan
′−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+′
′−=
φφ
iii) avalia-se ΔE
se ΔE < 0 ⇒ FS arbitrado muito baixo
se ΔE > 0 ⇒ FS arbitrado muito alto
se ΔE = 0 ⇒ FS
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79
8.5. Superfície circular
8.5.1. Ábacos de Taylor
Os primeiros ábacos de estabilidade foram preparados por Taylor (1948) e são
estritamente aplicáveis a análises de tensões totais.
Considerando as premissas:
Solo homogêneo
Geometria simples
Analise em tensões totais (φ=0)
Resistência não drenada constante com a profundidade (dificilmente esta hipótese
se verifica no campo)
Taylor pesquisou o circulo critico (FS=1) considerando o seguinte problema:
H
O
h DH
W
θ x
R
su
Camada mais resistente
( )( )∑
∑=atuanteo
resistenteo
MM
FS
( ) dssRM uresistenteo ∫∑ =
( ) xWM atuanteo .=∑
1.
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
Hs
NxW
RsFS uu
γθ
N = fator de estabilidadeusHγ
=
Figura 79. Método de Taylor
A Figura 80a mostra o fator de estabilidade (1/N) em função da profundidade da superfície
de ruptura (DH) para diferentes inclinações do talude β (inferiores a 54º) e hipóteses de distancia
da superfície de ruptura e o pé do talude (nH).
Assumindo, por exemplo, que a superfície de ruptura passa pelo pé do talude (n=0) e que
o fator de profundidade (D) é igual a 2, a ruptura ocorreria para uma combinação de 2 fatores:
Inclinação do talude (β) ≅ 8º
115,01≅=
HHs
Nu
γγ
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80
Figura 80. Definição do parâmetro 1/N - Método de Taylor
Para se determinar a superfície critica, vários círculos devem ser avaliados até se obter o
menor FS. O método se aplica de acordo com o procedimento a seguir:
definem-se as variáveis H e D
para um determinado ângulo de inclinação (β) determina-se
1=⇔⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒ FS
Hc
γ→ Hcmob γ=
calcula-se mob
u
cs
FS =⇒
Notas:
1 - Os ábacos são definidos para inclinações do talude superiores e inferiores a 54°:
β < 54° (Figura 80a) possível localizar a superfície critica em função do parâmetro
N
β > 54° (Figura 80b) a superfície crítica passa necessariamente pelo pé do talude
(D = 1.0)
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81
2 - Para situações em que β < 54° e não existe camada rígida (D=∞) o fator de estabilidade (N)
deverá ser obtido utilizando a reta tracejada na Figura 80b
3 - A localização dos círculos de pé (β > 54°) poder ser feita utilizando a Figura 81
Figura 81. Localização dos círculos de pé (β > 54°) - Método de Taylor
Exemplo – Ábaco de Taylor:
Determine a inclinação critica do talude abaixo
H
h DH
Dados:
H=7m, su = 10kPa, γ=13kN/m3
Solução:
27
14==D
11,0713
10==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛xH
su
γ
β = 7,5o⇒ FS=1
Determine a inclinação critica do talude tal que FS = 1,3
kPaFSs
s umobu 3,8
3,110
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
092,0713
3,8==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛xH
smobu
γ⇒ β < 7º
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82
Outras condições de contorno podem ser também analisadas pelos ábacos de Taylor
(a) talude totalmente submerso
Os ábacos poderão ser utilizados considerando o valor do peso específico submerso (γsub)
ao invés do peso específico total
(b) solos heterogêneos
O solo heterogêneo ou o solo com Su variando com a profundidade pode ser analisado por
Taylor conforme exemplo abaixo.
Solo 1 γ=1,92t/m3
su=2,93t/m2
Solo 2 γ=1,6t/m3
su=1,95t/m2
Solo 3 γ=1,68t/m3
su=2,44t/m2
2,6m
3,6m
Solo 1
Solo 2
Solo 3
2,6m
3,6m
50o⇓
1=D e o50≈β ⇒ N ≈ 0,177
medmobumed
mobu NHsHs
N γγ
=⇒=
73,12,6
6,36,16,292,1=
+==
∑∑ xx
hh
i
iimed
γγ
36,22,6
6,395,16,293,2=
+==
∑∑ xx
hhs
si
iiumedu
9,1== medmobu NHs γ
( )( ) 2,1
9,136,2
===mobu
medu
ss
FS
Figura 82. Exemplo de talude heterogêneo - Ábaco de Taylor
(c) rebaixamento instantâneo
O ábaco pode ser usado para condição de rebaixamento instantâneo. Suponha que o
talude sofra rebaixamento instantâneo e que o material do talude seja impermeável o suficiente
para que, ao final do rebaixamento, não tenha havido aumento da sua resistência ao
cisalhamento. Neste caso os ábacos de Taylor poderão ser utilizados com valor de angulo de
atrito modificado (φR):
- mobsub
R φγ
γφ = A partir de φR, β , γ e H determina-se cmob pelo processo iterativo
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(d) situações com φ ≠ 0
Terzaghi e Peck (1967) estenderam os ábacos de Taylor para situações com φ ≠ 0 (Figura
83). Ressalta-se que neste gráfico DH corresponde a camada abaixo do pé do talude. O
procedimento para utilização do ábaco é feito de forma iterativa:
i) assumir um valor de FS = FS1
ii) calcular o valor de φmob ⇒ 1
tantanFSmob
φφ =
iii) a partir de φmob, β , γ e H ⇒ determinar cmob (Figura 83)
iv) calcular mobccFS =2
v) caso FS1 ≠ FS2 retornar par o item (i)
Figura 83. Ábaco de Taylor para o caso em que c ≠ 0 e φ ≠ 0 (Dh contado a partir do pe do
talude)
Exemplo – Ábaco de Taylor:
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Imediatamente após a execução de um corte com profundidade 6,1m e talude com inclinação 2,5:1
(H:V) ocorreu uma ruptura por escorregamento. O terreno consiste em uma argila mole saturada até 10,7m
de profundidade assente sobre areia grossa muito densa. Assumindo o peso específico da argila igual a
16kN/m3. Estimar
i) a resistência não drenada mobilizada na argila a partir da retroanálise da ruptura ocorrida
ii) para que o corte possa ser executado ate a mesma profundidade, qual a inclinação do talude a
ser usada, se a especificação do projeto for FS=1,2.
iii) qual será o FS caso os taludes do canal esteja submersos
H
h DH
Dados:
DH= 10,7m; H=6,1m, su = ?, γ=16kN/m3
β = arctan (1/2,5)= 21,8o; FS=1
Solução:
75,11,67,10
==D
kPasHs
uu 3,15157,0 ≈⇒≅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛γ
O ábaco indica que a superfície potencial
de ruptura
Determine a inclinação critica do talude tal que FS = 1,3
kPaFSs
s umobu 3,8
3,110
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
092,0713
3,8==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛xH
smobu
γ⇒ β < 7º
Existem na literatura, métodos gráficos propostos por Gibson e Morgenstern10 e Hunter e
Schuster11 que incorporam variações da resistência não drenada com a profundidade. Os autores
incorporaram o termo su/σ’v no calculo do fator de segurança. Em argilas NA é comum observar
uma relação linear; isto é su/σ’v = 0,22.
10 Geotechnique vol12, n.3, pp 212-216 11 Geotechnique vol18, n.3, pp 372-378
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85
Lo (1965)12 sugeriu ábacos onde se incorporam a anisotropia da resistência não drenada.
8.5.2. Ábacos de Hoek e Bray
Baseados no método de círculo de atrito, introduzindo hipóteses simplificadoras sobre a
distribuição de tensões normais Hoek e Bray (1981) apresentaram ábacos de estabilidade para
taludes de geometria simples, podendo existir trincas de tração e para determinadas condições de
fluxo no talude.
Os requisitos para aplicação do método são:
- material homogneo e isotropico
resistência caracterizada por intercepto coesivo e um angulo de atrito:
A superfície de ruptura circular passando pelo pé do talude (em geral esta é a
superfície mais crítica desde que φ>5o)
Assume-se a existência de trinca de tração
A localização das trincas de traçao e da superfície de ruptura são tais que o fator
de segurança fornecido pelos abacos para geometria considerada, é mínímo.
Consideram-se diferentes condições de fluxo no talude
A utilização dos ábacos deve seguir a sequencia apresentada abaixo
12 Journal ASCE 91 – SM4, pp85-106
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Figura 84. Seqüência de utilização dos ábacos – Hoek e Bray13
Os ábacos (Figura 86 a Figura 90)14 mostram as soluções para cinco situações distintas de
linha freática, definidas geometricamente pela razão Lw / H, onde H é a altura do talude e Lw é a
distância entre o pé do talude e o ponto onde a linha freática atinge a superfície do terreno.
Em todos os casos a superfície critica passa pelo pé do talude, com uma trinca de tração
existente em sua extremidade superior. As condições típicas de fluxo estão apresentadas na
Figura 85.
13 Hoek e Bray (1981) Rock Slope Engineering 14 GeoRio (2000) Manual de Taludes
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equipotencial
Superfície de ruptura Linha de fluxo
Trinca de tração
h
infiltração
equipotencial
Superfície de rupturaLinha de fluxo
Trinca de tração
h
Figura 85 – Condições de fluxo Hoek and Bray (1981)
0 1 2 3 4 5 6 78
910
1112
1314
1516
1718
1920
25
30
35
40
4550
60708090100
150200
400
8
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
00 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
90º
80º
70º
60º50º
40º30º
20º10º
tan φ'FS
c'
γ H .tan φ'
c'γ H FS
β
trinca
superfíciecrítica
H
β
(x10-2)
(x10-2)
(x10-2)
Figura 86 - Ábaco de estabilidade de Hoek and Bray (1981): linha freática profunda
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88
0 1 2 3 4 56 7
89
1011
1213
1415
1617
1819
20
25
30
40
4550
60
708090100
150200
400
8
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 340
90º
80º
70º60º
50º40º
30º20º
10º
tan φ'FS
c'γ H FS
c'γ H. tanφ'
superfície crítica
trinca
H
LW
β
β
(x10-2)
(x10-2)
(x10-2)
Figura 87 - Ábaco de estabilidade de Hoek and Bray (1981): linha freática com Lw = 8 H
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89
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0 1 2 3 4 5 6 78 9
1011
1213
1415
1617
1819
20
25
30
3540
4550
60708090100150200400
8
tan φ'FS
c'
γ H. tanφ'
c'
γ H FS
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
90º
80º
70º60º
50º40º
30º20º
trinca
superfície crítica
LW
Hβ
β
(x10-2)
(x10-2)
(x10-2)
Figura 88 - Ábaco de estabilidade de Hoek and Bray (1981): linha freática com Lw = 4 H
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90
0 1 2 3 4 56 7
89 10
1112
1314
1516
1718
1920
25
30
35
405060708090100
150200
400
8
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
90º
80º
70º60º
50º
tan φ'
FS
c'
γ H. tan φ'
LW
H
β
β
c'
γ H FS
(x10-2)
(x10-2)
(x10-2)
Figura 89 - Ábaco de estabilidade de Hoek and Bray (1981): linha freática com Lw = 2 H
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0 1 2 3 4 5 6 78
910
1112
1314
1516
1718
1920
25
30
3540455060708090100150200
400
8
80º
70º60º
50º40º
30º20º
10º
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
tan φ'FS
c'
γ H. tan φ'
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
c'γ H FS
H
β
βtrinca
superfíciecrítica
(x10-2)
(x10-2)
(x10-2)
Figura 90 - Ábaco de estabilidade de Hoek and Bray (1981): solo saturado
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Exemplo:15
60o
15 m
Dados:
c’= 20 kPa
φ’= 30 graus
γ =18 kN/m3
Etapas de cálculo:
Selecionar o ábaco que mais se adapta ao caso de linha freática na encosta; neste caso, é o ábaco
da Figura 87 (linha freática com Lw = 8 H ).
ii) Calcular o valor da seguinte razão adimensional:
13,030tan1518
20tan
=××
=φγH
c
iii) Entrar no ábaco selecionado (Figura 87) com o valor acima na linha radial, determinando-se o
ponto que corresponde ao talude com β = 60o. Obtém-se:
00,1 58,0tan=⇒=
φ FSFS
iv) O valor encontrado para o FS é muito baixo. Neste caso, será verificada uma solução de
estabilização por retaludamento, suavizando-se a inclinação do talude.
v) Entrando-se novamente no ábaco, mas com valores inferiores de ângulo β , obtém-se:
talude com β = 45 graus: 11,1 52,0tan=⇒=
φ FSFS
talude com β = 40 graus: 31,1 44,0tan=⇒=
φ FSFS
Foi então adotado um talude de 40 graus de inclinação média, implantando-se uma banqueta a meia
altura para facilitar a drenagem e manutenção (Figura 91 e Figura 119).
15 GeoRio (2000) - Manual de Taludes
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60o15 m40o
FS = 1,00 FS = 1,31
Figura 91 - Exemplo de solução de retaludamento para estabilização do talude
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8.5.3. Método das Fatias
O método das fatias permite a análise de
Solo heterogêneo
Superfície irregular
Incluindo distribuição de poropressões
O método de solução consiste nas seguintes etapas:
i) subdividir o talude em fatias e assumir a base da fatia linear
ii) efetuar o equilíbrio de forcas de cada fatia, assumindo que as tensões normais na base
da fatia são geradas pelo peso de solo contido na fatia
iii) calcular o equilíbrio do conjunto através da equação de equilíbrio de momentos
R
n
A
B
C D
x O
Figura 92 – Método das Fatias
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En
A b
En+1
Xn+1 xn w
α
l
N’
u
n
s
B
C
D
Figura 93 – Esforços na fatia n
En -En+1
Xn -Xn+1
FSφθ
′=
tantan
wθ
N’
u . l N
s
FSN φ′′ tan
FSlc′
Figura 94 – Esforços e polígono de forcas
Tensão cisalhante mobilizada na base da fatia
lS mob ×= τ
onde
Tensoes efetivas ⇒
FStgulN
FSlcTs
tguc
mob
mob
')('')('
φφστ
−+==
−+=
Tensoes totais ⇒
FSlsTs
s
umob
umob
==
== )0(φτ K
Por equilíbrio de momentos em relação ao centro do circulo, tem-se
RxW imobii ×=× ∑∑ τ
Substituindo τmob, tem-se, em termos efetivos:
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Tensoes efetivas ⇒
∑∑ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+×=×
FStgulN
FSlcRxW ii
')(' φ
ou
( )xW
tgulNlcRFS
i ×
−+×=
∑∑ ')(' φ
mas αsenRx ×=
α
φ
senW
tgulNlc
FSi
N
∑
∑ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+
=
′
')('876
Tensoes totais ⇒
∑∑ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛×=×
FSlsRxW u
ii
mas αsenRx ×=
( ) ( )αα senW
lssenWR
lsRFS
i
u
i
u
∑∑
∑∑ =
×=
Esta será, portanto a equação básica para determinação de FS para superfícies circulares.
Observe que para determinação de FS é necessário conhecer a força normal N. Sendo o
equilíbrio em um circulo estaticamente indeterminado, hipóteses sobre as forcas interlamelares
(E,X) serão introduzidas para tornar o problema solúvel. Nestas hipóteses reside a diferença
entre os 2 métodos mais utilizados na pratica: Bishop e Fellenius.
8.5.3.1. Método de Fellenius
Faz-se o equilíbrio de forças em cada fatia na direção normal à superfície de ruptura.
Com isso, obtem-se:
( ) ( ) 0cos 11 =−−−−+ ++ αα senEEWXXN nnnn
ou
( ) ( ) αα senEEXXWN nnnn 11 cos ++ −−−+=
Substituindo o valor de N’ na equação geral chega-se a
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[ ] ( ) ( )∑∑ ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−−+−+×
= ++ ''cos'cos' 11 φααφα tgsenEEXXtgulWlcxW
RFSdorasimplificahipotese
nnnni
444444 8444444 76
O método de Fellenius assume que
( ) ( ) 0'cos 11 =⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−− ++
444444 8444444 76 dorasimplificahipotese
nnnn senEEXX αα
Neste caso ⇒ αcosWN =
Com isso chega-se a
( )α
φαsenW
tgulWlcFS
i∑∑ −+
=')cos('
Observações importantes:
i) O método de Fellenius é conservativo; isto é tende a fornecer baixos valores de FS
ii) Em círculos muito profundos e com elevados valores de poropressão, o método tende a fornecer valores pouco confiáveis
iii) Existem lamelas em que o valor de ∝ é negativo; com isso a parcela relativa à tensão efetiva torna-se negativa!
00)cos( =′<−=′ NulWN Lα
Esta condição pode ocorrer em lamelas finas com elevado valor de poropressão. Nestes
casos recomenda-se que termo este termo seja anulado
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R
x O
∝
∝>0 ∝<0 (estabilizante)
Figura 95 – Ângulo das lamelas
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8.5.3.2. Método de Bishop
Faz-se o equilíbrio de forças em cada fatia na direção vertical à superfície de ruptura.
Com isso, obtem-se:
αταα senXXWulN nn −−+=+′ +1coscos
e considerando αcos×= lb
αφα senFS
NFS
lcXXWubN
mobilizadatensao
nn ×⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ′
′+′
−−+=+′ +
44 844 76tancos 1
αφαα senFS
NsenFS
lcubXXWN nn ×′
′−×′
−−−+=′ +tancos 1
ααφα senFS
lcubXXWFS
senN nn ×′
−−−+=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ′
+′ +1tancos
considerando
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ′+
=FS
m φαααtantan1cos
Tem-se
α
α
m
senFS
lcubXXWN
nn ×′
−−−+=′
+1
Substituindo o valor de N’ na equação geral e rearranjando os termos, chega-se a:
[ ]∑∑ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′−+−+= +
α
φα m
tgXXubWbcsenW
FS nni
)()('11
O método de Bishop assume que
[ ] 0')( 1 =− +∑α
φmtgXX nn
Esta hipotese equivale a deprezar as parcelas de esforço horizontal entre lamelas. Com
isso chega-se a
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100
[ ]∑∑ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′−+=
α
φα m
ubWbcsenW
FSi
1tan)('1
A solução do método é iterativa, visto que FS aparece em ambos lados da equação. Para
tal, arbitra-se um valor de FS1 e checa-se o valor fornecido pela expressão. Em geral, usa-se o FS
obtido por Fellenius como 1ª aproximação .
A Figura 96 mostra a planilha de cálculo do método
Nota: recomenda-se que
00)(cos2,0
=′⇒<=′⇒<<
NmFelleniusidemWNm
α
α αα
Figura 96 – Planilha para Método de Bishop
Observações Importantes
i) determinação de m∝
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101
Figura 97 – Ábaco para determinação de m∝
ii) Em casos de superfícies profundas, o termo⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ′+
FSφα tantan1 pode se tornar nulo ou
negativo, na região próxima ao pé do talude
se ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ′+
FSφα tantan1 =0 ⇒ m∝ =0 ⇒ FS = ∞
se ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ′+
FSφα tantan1 < 0 ⇒ o termo correspondente a tensão normal efetiva pode se
tornar negativo ⇒ inaceitável
iii) Na subdivisão das lamelas deve-se respeitar:
as lamelas devem estar
contidas no mesmo material;
isto é não podem existir 2
materiais na base da lamela
Base da fatia 2 materiais
Figura 98 – Erro na base
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102
Deve-se evitar a presença de
descontinuidades no topo das
fatias
Descontinuidade na superfície
Figura 99 – Erro no Topo
Recomenda-se numero de fatias de 6 a 10
iv) O FS mínimo é obtido por iterações
x x
x
x x
x x
x x
FS=2,0
FS=1,5
FS=1,3
v) métodos de Fellenius X Bishop
Tensões efetivas ⇒ FSBishop ≅ 1,25 FSFellenius
Tensoes totais ⇒ FSBishop ≅ 1,1 FSFellenius
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103
8.5.3.3. Presença da água
A força de percolação pF contribui com a instabilidade:
[ ] volumeiF wp ××= γv
⇒ xFM pinstab ×=Δ
No entanto, esta parcela é pequena se comparada aos Minst gerados pelo peso da massa
de solo
Equipotenciais
R
Fp
Figura 100 – Força de percolação
As poropressões são calculadas na base da fatia em função de suas condições no campo.
Caso haja NA externo, os esforços de água esternos ao talude também devem ser considerados
(Fw1 e Fw2)
Equipotenciais
R
Fw1
Fw2
b
a
Figura 101 – Poropressão sob condição de fluxo16
Fellenius ( )
αφα
senWaFbFtgulWlc
FSi
waw
∑∑ ++−+
= 1')cos('
16 Livro do Taylor
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104
Bishop [ ] aFbFm
ubWbcsenW
FS wawi
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′−+= ∑∑ 1
1tan)('1
α
φα
Caso não haja fluxo no talude, o calculo pode ser simplificado. Calculando o peso do solo
abaixo do NA com o peso especifico submerso, não é necessário considerar a poropressão.
R
γsub
γ
Figura 102 – Submersão parcial17
17 Chowdhurry
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105
8.5.3.4. Exemplos
Exemplo 1
Valores de u na base
Solo: c’=10kPa φ’=29º γt=20kN/m3
Método de Fellenius
3,15,2743,358
==FS
Método de Bishop
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Exemplo 2: Analise em tensões totais
)0( ==∑
∑ φαK
Wsenls
FS uFellenius
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8.5.4. Ábacos de Bishop & Morgenstern
Com base na expressão para o calculo do fator de segurança pelo método de Bishop
Simplificado (em termos de tensão efetiva), Bishop e Morgenstern apresentaram ábacos para
calculo de FS, tornando a geometria do problema adimensional, a partir da definição do parâmetro
de poropressão Ru
H
O
h DH
hp=u/γw
β
Figura 103 . Geometria talude - Ábacos de Bishop e Morgenstern
huurwv
u γσ==
Os requisitos para aplicação do método são:
Resistência definida em termos efetivos
0 parâmetro ru é aproximadamente constante ao longo da superfície de ruptura
A geometria é simples, ou seja, sem bermas no pé e nem sobrecarga no topo
O FS fica definido como
∑
∑
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡′−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′
=α
φγ α
senHh
Hb
mr
Hh
Hb
Hb
Hc
FSu
1tan)1(
Então, dados ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′Hc
γ, ru , φ’, o FS passa a depender exclusivamente da geometria. Nestas
condições, obtem-se
unrmFS −=
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Onde m e n são coeficientes de estabilidade, obtidos em função de c’, φ’, γ, H, D e β a
partir do uso de ábacos (por exemplo, Figura 104) ou tabelas (Tabela 10)
Figura 104 – ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′Hc
γ=0,05 e D = 1,25
8.5.4.1. Comentários Gerais
i) quando ru = 0 ⇒ FSBishop & Morgenstern = FSTaylor
ii) No caso especial em que c’= 0, a superfície de ruptura é paralela ao talude (β=∝) e,
então:
βφβ
ββφβ
βφtantan)sec1(
tantansectan)1( 2 ′
−=′+
′−= u
u rsen
FSsen
rFS
Esta equação relaciona diretamente o FS à geometria, φ’ e ru e despreza os efeitos
de extremidade, já que se considera talude semi-infinito. Analisando a equação
observa-se que se
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Se FS > 0 ⇒ ru < cos2β
Se ru = cos2β ⇒ a poropressão em qualquer ponto á igual à tensão normal no
plano paralelo à superfície do talude ⇒ FS = 0
iii) para taludes naturais ou aterros, em que as propriedades da fundação não diferem
significativamente das do aterro, a superfície critica pode penetrar abaixo da base
do talude, sendo necessário analisar diversas possibilidades para o fator de
profundidade (D)
iv) geralmente ru não é constante na seção do aterro (Figura 105). Neste caso
recomenda-se:
a. no centro do aterro, subdividir a base em fatias verticais
b. no centro de cada fatia, determina-se ru para uma serie de pontos
( )∑
+++=
hhrhrhr
r nunuuifatiau
K2211
c. ru médio do talude
( )∑
∑=i
iareauifatiau A
Arr
)(
a b c d
ru1ru1
ru2
ru3
h1
H2
h3
Figura 105. Situação de ru variável
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Tabela 10 – Coeficientes de estabilidade
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Exemplo
42m 3
1
S=1,5+σ’tan30o
γ=2tf/m2
ru=0,18
Calcula-se
018,04225,1
×=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′Hc
γ
D=1,0
Como não se dispõe de gráfico ou tabela com esta configuração, a determinação dos parâmetros m
e n é feita por interpolação:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′Hc
γ=0
D=1,0
Ábaco
3:1
φ’=30o
m ≈ 1,7
n ≈ 1,9 FS= 1,7-(1,9x0,18) =1,36
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′Hc
γ=0,025
D=1,0
Ábaco
3:1
φ’=30o
m ≈ 2,2
n ≈ 2,1 FS= 2,2-(2,1x0,18)= =1,82
Interpolando para ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′Hc
γ=0,018
0 0,025
FS
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′Hc
γ
1,36
1,82
FS=m-nru=1,74
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8.5.5. Ábacos de estabilidade para condição de rebaixamento rápido
Se o nível d’água a montante é rebaixado, estabelecem-se novas condições de contorno e
uma fase de transição no regime de fluxo da barragem. Se
Kbarragem é alta ⇒ Traçar as novas redes de fluxo
Kbarragem é baixa ⇒ Haverá um excesso de poropressão até se restabelecer nova condição
de regime permanente
A Figura 106 mostra os valores de poropressão:
antes do rebaixamento ⇒ wfhu γ=
apos o rebaixamento ⇒ {uhu
ou
wf Δ+= γ
P
ha
hf
Figura 106. Condição de Rebaixamento
Admitindo que
1σΔ=Δ Bu
wah γσ −=Δ 1 ⇒
wahuBγ
Δ−=
Após analisar vários casos, Morgenstern observou que 1≅B . Considerando a premissa
de talude homogêneo assente sobre fundação impermeável, é possível estimar m e n através de
ábacos, construídos especificamente para condição de rebaixamento18. Estes ábacos não estão
apresentados nesta apostila.
18 Paulo Cruz
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8.5.6. Método de Spencer1920
O método de Spencer é classificado como rigoroso, satisfazendo todas as equações de
equilíbrio. O método admite que
i) estado de deformação plana (comum a todos)
ii) as forcas interlamelares (Zn e Zn+1) podem ser representadas por sua resultante Q,
com inclinação θ; assumindo X e E como as componentes vertical e horizontal da força
interlamelar, tem-se é
n
n
EX
EX
EX
==== K2
2
1
1tanθ
iii) a resultante Q passa pelo ponto médio da base, aonde atuam os demais esforços:
W, N e S
R
β
Trinca de tração
z
Nd H
H y
x
Nx H
b
h
b
hQn+1
Qn
θn+1
θn
s α
N´
u b secα
W
u b secα
N´W
Q=Qn+1 - Qn
N´ tan(φ´mob)
(c´b secα) / FS
φmob
s
Esforços na fatia Equilibrio de forças Figura 107. Método de Spencer
19 Geotechnique 17, pag11-28 20 Brundsen & Prior - Slope Instability, John Wiley & Sons
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A partir do equilíbrio de forcas nas direções paralela e normal a base da fatia chega-se
a equação da resultante Q. Observa-se que Q e a inclinação θ variam para cada fatia
( )
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
′+−
−−′
+′
=)tan(tan1)cos(
seccostansec
θαφθα
αααφα
FS
WsenubWFSFS
bc
Q
Para garantir o equilíbrio global, a soma das componentes horizontal e vertical das forcas interlamelares deve ser nula; isto é:
0cos ∑∑ == θθ senQQ
Quanto ao equilíbrio de momentos, se o somatório de momentos das forcas externas em relação ao centro do circulo é nulo, então o mesmo ocorre com o somatório de momentos das forcas internas; isto é:
[ ] [ ] 0)cos(0)cos( =−⇒=×− ∑∑ θαθα QRQ
De modo a superar o problema de desequilíbrio entre numero de equações e de
incógnitas, Spencer sugere adotar um valor de inclinação θ constante para todas as fatias.
Esta hipótese significa assumir uma determinada função para as forcas interlamelares (este
tipo de abordagem é comum nos métodos rigorosos). Com isso
0cos ∑∑∑ === QsenQQ θθ
Procedimento do método de Spencer:
i) assume-se um valor para θ
ii) calcula-se Q para cada fatia
( )
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
′+−
−−′
+′
=)tan(tan1)cos(
seccostansec
θαφθα
αααφα
FS
WsenubWFSFS
bc
Q
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iii) calcula-se FS a partir da equação de equilíbrio de momentos
[ ] 0)cos( =−⇒ ∑ θαQFSmomentos
iv) calcula-se FS a partir da hipótese de valor de θ constante
0)( ∑ =⇒ QFShipotese θ
v) Para os diferentes valores θ comparam-se os valores de FS ate que estes sejam
idênticos (Figura 108)
Figura 108. Convergência do Método de Spencer
Observações
i) FS calculado por equilíbrio de momentos é pouco sensível ao valor de θ
ii) FSSpencer = FSBishop para consideração de θ = 0
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8.6. Superfícies não circulares
Os métodos mais utilizados na pratica são:
Jambu (simplificado ou Generalizado)
Morgenstern-Price
Sarma
Os métodos Morgenstern-Price e Sarma são os mais completos, pois satisfazem as 3 equações de equilíbrio. Sendo, portanto, os mais complexos e requerem o uso de computador
O método de Jambu generalizado também satisfaz as equações de equilíbrio, porem
com hipóteses diferentes das dos outros métodos, em particular com relação às forcas
interlamelares e também requer o uso de computador.
8.6.1. Método de Jambu
Jambu desenvolveu um método rigoroso, satisfazendo todas as equações de equilíbrio.
O método admite:
i) estado de deformação plana (comum a todos)
E
dx
E +dE
T+dTT
dw
αdN
dl
ds=
Pw+dPw
Pw
(y-yt)
yt
dP dQ
Figura 109 – Esforços na fatia - Método de Jambu generalizado
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ii) a resultante dos esforços normais dN passa pelo ponto médio da base, aonde atuam
os demais esforços: dW, dS, sendo que
{ { {
aconcentradac
adistribuidac
solopeso
dPdxqdWdWargarg
++= γ
iii) a posição na linha de empuxo é conhecida, estabelecendo, portanto, a posição do
esforço interlamelares (E); com isso estabelece-se uma relação entre
a. se c’= 0 ⇒ a resultante da linha de empuxo posiciona-se próximo ao terço médio
inferior da lamela
b. se c’> 0 ⇒ haverá regiões sob tração e outra sob compressão. Na zona de tração
assumir trinca de tração com profundidade zT ou introduzir uma forca teórica,
adicional, de tração (negativa), acima de zT
Considerando uma fatia infinitesimal e combinando-se as equações de equilíbrio vertical e
horizontal chega-se ao fator de segurança por
[ ][ ] αα
φndxtpdQEE
dxutpcFS
ba
1tan)(
tan)(
∑∑
+++−
′−++′=
onde α
αφα 2tan1
tantan)/1(1+
′+=
FSn
O método de Jambu simplificado sugere a utilização de um fator de correção fo que
incorpora a influencia da força entre fatias. A superfície de ruptura é descrita pelos seguintes
parâmetros mostrados na Figura 110:
d
Limites da fatia
α (-)
α (+)
L Q= empuxo de água na trinca
d
Equipotencial passando pelo centro da fatia
Superfície freática
wp
uhγ
=
u
hm
Δx
ΔW
Figura 110 – Parâmetros do método de Jambu Simplificado
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O Fator de Segurança é calculado por
{ }
( )∑∑
+
′−+
=QdW
nupbc
fFS o α
φ
α
tan
tan)('
fo = fator de correção obtido a partir de comparações entre FS
obtidos pelos métodos simplificado e generalizado, sendo
função da relação d/L e do tipo de solo
n∝ = função da geometria
p = peso médio por unidade de largura = dW/dx
u = poropressão media na base da fatia
Q= empuxo de água na trinca
dxhdW mγ=
No caso em que Q=0 e dx = cte
{ }
∑∑
′−+
=α
φ
α
tan
tan)('
Wnupc
fFS o
Procedimento:
iii) dividir o talude em fatias, sendo que a largura da fatia (Δx) deve considerar mudanças
nas propriedades do material e distribuições de poropressão
iv) determinar os parâmetros de peso
dxhdW mγ=
dxdWp =
v) determinar a distribuição de poropressões na base de cada fatia (u) e no caso de
existência de água na trinca
vi) Determinar
αtandW
{ }dxupc φχ ′−+′= tan)(
vii) Assumir um valor para FS e determinar n∝
viii) Determinar graficamente fator f0 (Figura 111) e n∝ (Figura 112)
ix) Calcular
( )∑
∑+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=QdW
nfFS o α
χ
α
tan
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x) Se o valor arbitrado de FS for diferente do calculado, retornar para o item (vii). Em
geral 3 iterações são suficientes para convergência do método
Os cálculos poderão ser feitos seguindo a tabela abaixo
Observações
0 coeficiente de correção (fo) foi obtido p/ taludes homogêneos
0 método de Jambu simplificado não fornece bons resultados para superfícies em
forma de cunha
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Figura 111 – Método de Jambu Simplificado - fator fo
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(a) ∝ negativo
(b) ∝ positivo
Figura 112 – Método de Jambu Simplificado - fator n∝
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Exemplo :
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sand clay
Shear strength of the clay/rock Interface as for clay
Piezometric height on failure surface
failure surface
clay
sand
calculations Trial 1 Trial 2 Trial 3 Values from section
slice
d=7,9m L=46,m
1
2 3
4 5
7 6
1
2
3
5
6
7
8
4
∝ u hm Δx p ΔW c tanφ Wtanφ x n∝ X/n∝ n∝ X/n∝ n∝ X/n∝
8.6.2. Método de Morgenstern & Price21
O método mais geral de equilíbrio limite para superfície qualquer foi desenvolvido por
Morgenstern e Price (1965) . Posteriormente Morgenstern (1968) publicou outro artigo sumarizado
nesta apostila.
A Figura 113 mostra os esforços na fatia.
21 Chowdhurry . Slope Analysis. Elsevier ( 1978)
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E
dx
E +dE
T+dTT
dw
α dPb
dN
n
ds
Pw+dPw
Pw
(y-yt)
yt
dW = peso da fatia
Pw = poropressão no contorno da fatia
dPb = resultante poropressão na base da fatia
E e T =esforços entre fatias atuando em (y-yt)
ds = resistência na base
Figura 113 – Esforços na fatia n
Para tornar o problema estaticamente determinado, a relação entre E e T é dada por
uma função:
ExfT )(λ= ou )(tan xfET λθ ==
Onde λ é um parâmetro que deve ser determinado a partir da solução e f(x) uma função
arbitraria, como mostra a Figura 114. Caso f(x) = 0 a solução é idêntica a de Bishop e quando f(x)
= constante, o método torna-se idêntico ao de Spencer.
Figura 114 – Distribuições de força entre fatias usadas por Morgenstern e Price22
22 Brundsen & Prior - Slope Instability, John Wiley & Sons
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127
Considerando as forças atuantes em uma fatia infinitesimal, o equilíbrio de momentos
com relação a base , para dx→0 é dado por
{ } { }dxdyP
dxhyPd
dxdyE
dxyyEd
T wwt −
−+−
−=−
)()(
Em que definem-se as seguintes funções:
y(x) representa a superfície de ruptura;
z(x) representa a superfície do talude,
h(x) representa a linha de ação da poropressão
yt(x) representa a linha de ação da tensão efetiva normal
O equilíbrio de forças na direção normal e tangencial à base da fatia, associada ao
critério de ruptura de Morh-Coulomb leva a seguinte equação:
FSdxdyP
dxdy
FSdxdW
dxdy
FSdxdP
dxdy
FSc
Edxdy
FSdxdf
dxdy
FSf
dxdy
FSdxdE
FSdxdyP
dxdy
FSdxdW
dxdy
FSdxdP
dxdy
FSc
dxdy
FSdxdT
dxdy
FSdxdE
uw
uw
φφφ
φλφλφ
φφφ
φφ
′
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
′+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
′+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
′
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
′+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
′+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ′
−⇒
′
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
′+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
′+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
′
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
′+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ′
−
tan1tan1.tan1
tantantan1
tan1tan1.tan1
tantan1
22
22
Onde dxdP
P bu αcos= e
dxdy
−=αtan
Considerando a subdivisão em n fatias, com coordenadas limítrofes xo, x1 ...xn. assume-se
no interior das fatias as seguintes funções: (x é contado do inicio de cada fatia)
32
2
xzxwvuhP
xWxvuP
srxPmkxf
qpxdxdW
BAxy
NNNNw
wwww
u
+++=
=+=
+=+=
+=
+=
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128
A equação pode ser simplificada na seguinte forma:
( ) PNxKEdxdELKx +=+−
Em que
[ ] [ ]
( ){ } { }ww
ww
VqAqAVAscFS
p
pAWArpAWFS
N
AFS
mFS
AL
AFS
kK
−+′+′++′−=
+−++−+′
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
′+
′−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
′=
φφφ
φ
φλφ
φλ
tantan)1(tan1
2)1(2tan
tantan1
tan
2
2
Integrando a equação simplificada tem-se
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
+= PxNxLE
KxLxE i 2
1)(2
Assim sendo
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
+=+ PbNbLE
KbLE ii 2
1 2
1
Onde b é a largura da fatia = xi – xi+1
Usando a relação entre E e T e a equação de equilíbrio de momentos e integrando na faixa
xo a xn, chega-se a
[ ])()(
)()()(
hyPdxdxdyPxM
onde
EdxdxdyfxMyyExM
w
x
xoweW
x
xoeWt
−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=−=
∫
∫ λ
O método é solucionado iterativamente assumindo-se valores para FS e λ e
calculando-se E e M(x) para cada fatia. Nos contornos (x=0 e x=n) os valores de E e M deverão ser nulos; isto é:
00
==⇒===⇒=
)()()()(
nnn
ooo
xExMxxxExMxx
Assim sendo o processo iterativo é repetido ate que as condições no contorno sejam satisfeitas. Faz-se necessário o uso de computadores para utilização do método. Como o
resultado depende da hipótese adotada para λ, é importante ter conhecimento prévio da
função adotada . (Figura 115)
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Figura 115 – Influencia de λ no valor do Fator de Segurança 23
8.6.3. Método de Sarma24
O método de Sarma foi inicialmente desenvolvido para estimar o valor da aceleração critica de terremotos (kc) necessária para fazer com que uma determinada massa de solo atinja
a condição de equilibrio limite. O método assume inicialmente um fator de aceleração horizontal (k), o qual é
proporcional a aceleração da gravidade. Com isso considera-se uma força horizontal kW, capaz de instabilizar o talude, onde W é o peso da massa e k o fator de cara horizontal. A força kW
é interna da mesma forma que o peso (W) da massa,
A massa de solo potencialmente instável é subdividida em fatias, sendo que em cada
fatia atuam os esforços mostrados na Figura 116. O método consiste em determinar valores de
k em função de FS e, por extrapolação, determina-se tanto o fator de aceleração critico kc , correspondendo à FS=1, ou o coeficiente de segurança estático (FS) correspondente a kc = 0.
Utilizam-se as equações de equilíbrio horizontal e vertical, além do equilíbrio de momentos de cada fatia. A indeterminação associada ao problema de estabilidade é
23 Brundsen & Prior - Slope Instability, John Wiley & Sons 24 Geotechnique 1973 (set e dez)
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solucionada assumindo-se uma determinada distribuição das forças cisalhantes (Xi) entre fatias.
Assume-se também que os esforços na base da fatia atuam no seu ponto médio
A distribuição de forcas cisalhantes (Xi) entre fatias é definida como função dos parâmetros de resistência. Com isso é possível considerar eventuais efeitos de anisotropia.
O método de Sarma tem como vantagens:
ser um método rigoroso,
não ter problema de convergência (observado no método de Morgenstern e Price),
permitir a incorporação da anisotropia
facilidade de uso, mesmo com calculadoras
E’i
bi
E’ i+1
Xi+1 Xi Wi
αi N’i
Ti
zi
Hi kWii
ρi
Ui
Pw i+1 Pw i
Parâmetros:
FS
blxxdxEEdE
PEEWrU
UNN
ii
iii
iii
iii
wii
iiiui
iii
i
φψ
α
α
′=′
=−=−=
+′=
=
+′=
+
+
tantan
sec
sec
1
1
Xgi e Ygi = coordenadas do centro de gravidade da fatia
Xmi e Ymi = ponto de aplicação de Ni
xG e yG = coordenadas do centro de gravidade da massa total em equilíbrio limite
Figura 116 – Esforços na fatia e parâmetros
Assim como os métodos de fatias, as incógnitas associadas ao método de Sarma estão
mostradas na Tabela 11.
Tabela 11. Incógnitas e Equações em n fatias
Equações 2n n
Equilíbrio de forcas Equilíbrio de momentos Envoltória de
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n resistência (T = f(N)) 4n TOTAL DE EQUACOES
Incógnitas 1 3n
3(n-1)
Fator de Segurança Ni, Ti, ρi Xi, Ei, Zi
6n-2 TOTAL DE INCOGNITAS
Assim sendo há uma diferença de (2n-2) incógnitas com relação ao numero de equações. Há, então a necessidade de hipóteses independentes para solucionar o problema. As
hipóteses no método de Sarma são:
(a) Os esforços atuam no ponto médio da base da fatia (n equações) - hipótese
comum a todos os metodos ; isto é
2i
ib=ρ
(b) Da mesma forma que nos demais métodos de equilíbrio limite, assume-se hipótese
relacionada às forças entre fatias. (n-1 equações). O valor de X é calculado
indiretamente a partir de uma função.
ii QX λ=
Isto é, não se conhece o valor real de X, mas sim um valor relativo, dado por
(Figura 117). Observe que no contorno (i=0 e i=n) os esforços E e X são nulos
Então
ii dQdX λ=
)( 1 iii QQdX −= +λ
ii PdX λ=
Figura 117 . Função de distribuição
Tem-se então (6n-1) equações e (6n-2) incógnitas. Observa-se que para
equilibrar o sistema, introduziu-se uma nova incógnita λ, a qual relaciona a
forca cisalhante (T) entre fatias a uma função de distribuição conhecida (Q(x)):
O Equilíbrio de Forças da Fatia i pode ser calculado por:
iiiiiiH
iiiiiiv
dEkWsenNTF
dXWsenTNF
−=+⇒=
−=+⇒=
∑∑
αα
αα
cos0
cos0
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Mas pelo critério de ruptura de Mohr-Coulomb tem-se a relação entre T=f(N); isto é
iiiiii
iiiii
LcuNTFS
LcFS
NT
′′+′−=
′+
′′=
ψ
φ
tan)(
tan
Combinando-se as 3 equações e eliminando-se Ni chega-se para cada fatia:
[ ] i
D
iiiiiiiiiiiiii kWsenULcWdEdXi
−−′′−′′′+−′=+−′444444444 3444444444 21
)sec(cos.)tan()tan( αψψψαψαψ
Somando-se todas as fatias tem-se
∑∑∑∑ −=+−′ iiiiii kWDdEdX )tan( αψ
ou
∑∑∑∑ −′−=+ )tan( iiiiii dXDdEkW αψ
O equilíbrio de momentos é feito com relação ao centro de gravidade da massa total em
equilíbrio limite; isto é com relação a (xG e yG). Na ausência de forças externas (K é uma força
interna), a equação que fornece o momento é dada por:
))(cos())(cos( ∑∑ −−=−+ imiiiiimiiii yyGsenNTxxGsenTN αααα
Mas, pelo equilíbrio de forcas pode-se reescrever a equação como
[ ] )()tan())((
))(())((
imiiiiimii
imiiimii
yyGdXDxxGdXW
yyGdEkWxxGdXW
−−′−=−−
−+=−−
∑∑∑∑
αψ
Realiza-se também o equilíbrio de momentos das fatias individuais em relação ao ponto de
aplicação da força N (ponto médio da base da fatia). Com isso tem-se
0]tan[]tan)([
)()()(
!1
1
=−−−+
+−++−+−
++
+
iiiiiiii
iiiiiiimiiimi
zElibzE
bXXyGykWxGxW
αα
ρρ
Na solução do problema substitui-se Xi através da sua função (Q ) e as equações de
equilíbrio são explicitadas em termos de k e λ. Com isso, para um dado valor de FS,
determina-se, diretamente, um valor correspondente de k e plota-se um gráfico de FS vs k. A
curva k (FS) é não linear sendo, desta forma, necessário um mínimo de três pontos para sua
definição. O coeficiente de segurança estático FS corresponde ao valor de k=0. Para FS=1 obtém-se o valor do fator de aceleração critico, ou seja, do fator de carga horizontal critico
requerido para levar a massa de solo/rocha uma condição de ruptura
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k=0 ⇒ Fator de segurança estático
FS=1 ⇒ k= kc : correspondente a condição
de ruptura por ação dinâmica de esforço horizontal
Figura 118 . Variação de k com o FS
Para se obter a solução do problema é necessário o conhecimento da funçao Q(x). Uma
escolha arbitrária desta função pode afetar consideravelmente os resultados obtidos. Existem, no
entanto, funções que pouco interferem nos resultados. Sarma sugere a utilização de uma
função Q que depende dos parâmetros de resistência e é neste momento que pode-se
considerar efeitos de anisotropia e heterogeneidade:
( )( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
−′= ii
iiiuiii Hc
HyrkfQ ii ˆ
2
ˆtanˆ 2 φ
Onde ( )[ ]
ii
iiiiiui sensen
Hycsenrsenk i
φβφφβ
′+
′′+′−−=′
1
ˆ/)cos4(211
iii φαβ ′+= 2
f = constante , em geral, igual a 1,
2
2
ii
wu H
Pr i
i γ=
Onde Pw é a pressão de água na seção e cy ˆ,ˆ,ˆ φ correspondem aos valores médios para a fatia e c´ e φ´correspondem aos valores na superfície de ruptura OBSERVAÇÔES
Assim como os demais métodos de estabilidade, existe a necessidade de se avaliar a
consistência das soluções; isto é:
A linha de empuxo (E,X) dentro dos limites que definem a massa potencial de
escorregamento; isto é 10 ≤≤ hz
Se λ < 0 , implica que a direção de X esta incorreta
0≥−=′ iii UNN , implica que não podem ocorrer as tensões efetivas negativas
na base
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As tabelas abaixo mostram as planilhas a serem seguidas para utilização do método. As
colunas A a D independem do FS. Para as demais colunas assume-se inicialmente FS igual a 1 e
calculla-se o valor de k. E necessário repetir o processo pelo menos 3 vezes para que o gráfico
FS x k possa ser traçado.
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Cal
culo
de
k e
FS
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Cal
culo
de
Q
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8.7. Comentários sobre os métodos de Equilibrio limite25
É útil comparar os FS obtidos entre os diversos métodos de equilíbrio limite. Os métodos
que usam fatias diferem entre si a partir da direção em que é feito o equilíbrio (vertical- horizontal
ou normal-tangente a base da fatia. As hipóteses adotadas com relação as forcas entre fatias
também são diferentes dependendo do método
Tabela 12 . Hipoteses dos metodos de estabilidade26
Metodo Hipótese com relação a força entre fatias Fellenius(1936) Resultante é paralela a inclinação media da fatia
Bishop Simplificado(1955) Resultante é horizontal
Jambu simplificado(1968)
Resultante é horizontal e um fator de correção é usado para considerar a força entre fatias
Jambu generalizado(1957)
A localização da força normal entre fatias é assumida como uma linha de empuxo
Spencer (1967, 1968) A resultante possui uma inclinação constante ao longo de toda massa Morgenstern e Price
(1965) A direção da resultante é definida por uma funçao
As diferenças no FS dependem exclusivamente do tipo de problema. Em alguns casos, as
analises simplificadas podem fornecer resultados satisfatórios.
A Tabela 13 mostra uma comparação entre alguns dos métodos de equilíbrio limite.
Observa-se que Fellenius sempre fornece valores menores (mais conservativos), podendo em
alguns casos tornar-se anti-economico.
Tabela 13. Comparação entre métodos
Caso Fellenius Bishop simplificado
Morgenstern e Price(*)
Solo homogêneo sem poropressão 1,49 1,61 1,58 a 1,62 Estabilidade a longo prazo em silte
orgânico 109 1,33 1,24 a 1,26
Estabilidade a curto prazo em silte orgânico 0,66 0,7 a 0,82(**) 0,73 a 0,78 Talude de enrocamento , submerso sobre
núcleo inclinado de solo argiloso 1,14 (γtotal +
poropressão) 1,84 (γsub)
2,0 2,01 a 2,03
(*) dependendo da hipótese de forcas interlamelares (**) problemas na determinação de σ’N na base da fatia (valores nativos de m∝)
25 Chowdhurry, pág 157 26 Day, Robert – Geotechnical and Foundation Engineering: Design and Construction, Mc Graw Hill
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As superfícies criticas são sempre diferentes considerando os diversos métodos.
Solos heterogêneos A superfície dependera da geomorfologia
Solo homogêneo sem poropressão
Cada método fornece uma superfície diferente E necessária experiência para identificar o problema que permite a utilização de métodos simplificados Regra geral:
i) superfícies profundas com altas poropressões ⇒ recomenda-se o uso de métodos rigorosos para evitar problemas na determinação de σ’N na base da fatia
ii) caso a superfície de ruptura seja conhecida⇒ recomenda-se método simplificado
A Tabela 14 apresenta um resumo dos principais métodos de equilíbrio limite normalmente
usados na prática da engenharia para análise da estabilidade de taludes.
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Tabela 14. Resumo dos métodos de análise de estabilidade de taludes em solo (GeoRio, 2000)
M étodo Superfície Considerações Vantagens Limitações Fator de Segurança Aplicação
Taylor (1948)
circular
Método do círculo de atrito. Análise em termos
de tensões totais. Taludes homogêneos.
Método simples, com
cálculos manuais.
Aplicado somente para algumas condições
geométricas indicadas nos ábacos.
Determinação do valor da altura crítica Hc Estudos preliminares.
Pouco usado na prática.
Talude inf inito
plana
Estabilidade global representada pela
estabilidade de um fatia vertical.
Método simples, com
cálculos manuais.
Aplicado somente para taludes com altura inf inita em relação à profundidade da superfície de
ruptura.
Escorregamentos longos, com pequena espessura da massa instável; por
exemplo, uma camada fina de solo sobre o
embasamento rochoso.
Método das cunhas
superfície poligonal
Equilíbrio isolado de cada cunha, compatibilizando-se as forças de contato
entre cunhas.
Resolução analítica ou gráfica, com
cálculos manuais.
Considera cunhas rígidas. O resultado é sensível ao ângulo (d) de inclinação das forças de
contato entre as cunhas.
Determinação gráfica dos erros em polígonos de força para fatores F
arbitrados. Cálculo de FS por interpolação para erro nulo.
Materiais estratif icados, com falhas ou juntas.
Bishop simplif icado
(1955) circular
Considera o equilíbrio de forças e momentos entre
as fatias. Resultante das forças verticais entre fatias é
nula.
Método simples, com
cálculos manuais ou em computador. Resultados
conservativos. .
Método iterativo. Aplicação imprecisa para solos
estratif icados.
Método muito usado na prática. O método
simplif icado é recomendado para projetos simples.
Bishop e Morgenster
n (1960) circular Aplica o método
simplif icado de Bishop.Facilidade de
uso.Limitado a solos homogêneos e
taludes superiores a 27o Retirado diretamente de ábacos.Para estudos preliminares
em projetos simples de taludes homogêneos.
( )ααα
αφ
γ
2u .sec r-1A
cosec . ecsB
.A tan
' tan B.z.'cFS
=
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
.z uru γ
=
( )[ ]α
φα m
' tg ubWbc senWlF ∑
∑−+
='
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=
Fm
' tan. tan1 . cos
φααα
γcNH sc = H
HFS c=
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Método Superfície Considerações Vantagens Limitações Fator de Segurança Aplicação
Spencer (1967) não circularMétodo rigoroso, satisfaz
todas as condições de equilíbrio estático.
Valores de FS mais realísticos. Complexidade dos cálculos.
Resultantes das forças entre fatias com inclinação constante em toda a massa. Determina fatores de segurança para
equilíbrio de momentos (Fm ) e equilíbrio de forças (Ff ). Calcula FS quando Fm=Ff .
Para análises mais sofisticadas, com restrições geométricas da superfície
de ruptura
Hoek e Bray (1981) circular
Massa instável considerada como um
corpo rígido. Solução pelo limite inferior.
Uso simples. Taludes
inclinados de 10o a 90o.
Para materiais homogêneos, com 5 condições específicas de nível
freático no talude.Retirado diretamente de ábacos
Para estudos preliminares, com riscos reduzidos de
escorregamento.
Janbu (1972) não circular
Satisfaz o equilíbrio de forças e momentos em
cada fatia, porém despreza as forças
verticais entre as fatias.
Superfícies de ruptura
realísticas. Implementação
simples em computadores.
Aplicado para solos homogêneos. Pode subestimar o fator de
segurança. O método generalizado não tem esta
limitação.
Pode ser calculado manualmente, com o auxílio de ábacos, ou por programas de
computador.
Grande utilização prática. Devem ser consideradas as
limitações das rotinas de calculo.
Morgenstern e Price (1965) não circular
Satisfaz todas as condições de equilíbrio
estático. Resolve o equilíbrio geral do
sistema. É um método rigoroso.
Considerações mais precisas que no método
de Janbu.
Não é um método simples. Exige cálculos em computador.
Calculado por interações, com o uso de computadores
Para estudos ou analises detalhadas (retroanálises).
Sarma (1973,1979) não circular
Método rigoroso, atende as condições de equilíbrio. Considera forças sísmicas
(terremotos).
Redução no tempo de cálculo,
sem perda de precisão.
Método exige cálculos em computador. O método de Sarma
(1973) pode ser resolvido manualmente.
Calculado por interações, com o uso de computadores.
É aplicado como uma alternativa ao método de
Morgenstern e Price
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141Estabilidade de Taludes 141
9. ESTABILIZAÇÃO DE TALUDES
Estabilizar uma encosta significa:
Prevenir: Aumentar o FS contra possíveis movimentos ⇒ Métodos de estabilidade
Corrigir: Frear o movimento ⇒ Monitorar movimentos para obter diagnostico
adequado
Antes de elaborar o projeto, o engenheiro deve estar apto para responder as seguintes
questões:
i) qual o “grau” de estabilidade necessário
ii) por quanto tempo
iii) qual a importância do seu custo
iv) quais técnicas são exeqüíveis (geometria, equipamentos disponíveis, etc.)
Cada problema tem sua peculiaridade e, portanto, as soluções são dificilmente repetidas.
Cada caso é um caso. Existem 3 grandes métodos de estabilização de talude:
9.1. Evitação ou abandono
Durante a fase de reconhecimento é possível prever os riscos de determinado talude, por
exemplo:
i) Drenagem superficial inexistente
ii) Zonas preferenciais de percolação
iii) Escorregamentos anteriores – mais difícil de ser detectado devido a mudanças
ambientais que alteram o estado da encosta (intemperismo, ação do homem, etc.)
iv) Encostas de talus – sempre devem merecer especial atenção por apresentarem, na
maioria dos casos uma condição de estabilidade marginal
Técnicas:
i) Relocação ⇒ mudança de eixo da estrutura para uma região mais segura. Em
alguns casos
ii) Sobrepassagem ⇒ colocação de estrutura
Em alguns casos, a solução por evitaçao representa um alto custo, mas muitas vezes a
segurança obtida compensa o investimento a longo prazo
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142Estabilidade de Taludes 142
9.2. Escavação (reduz esforços instabilizantes)
A remoção parcial da encosta acidentada tem por objetivo reduzir os esforços
instabilizantes
Técnicas:
i) Remoção da crista
Superfície circular
Superfície planar (pouco eficiente)
ii) Diminuição do ângulo do talude
iii) Execução de banquetas
Figura 119 - Exemplo de suavização de talude com implantação de banquetas
iv) Remoção total ou parcial de material
No caso de aterros, a presença de camada superficial de baixa resistência e pequena
espessura pode ser removida. Esta alternativa é extremamente cara quando se trata de grandes
áreas, ou a espessura da camada é grande
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143Estabilidade de Taludes 143
Remoção da camada superficial
9.3. Drenagem
i) Superficial:
a. Canaletas de drenagem
b. Revestimento superficial (nata de cimento, revestimento asfaltico, membranas
impermeáveis)
ii) Profunda
a. Drenos suborizontais
b. Trincheiras drenantes
c. Túneis de drenagem
d. Poços de drenagem
9.4. Estruturas de arrimo
i) Muros de peso
ii) Muros com contrafortes
iii) Muros flexíveis (crib-wall, gabião, terra armada)
iv) Cortinas ancoradas
v) Grampos
9.5. Métodos especiais
i) Consolidação do terreno
a. Injeção de cimento
b. Tratamento químico (troca de cátions do argilo-mineral com os da substancia
injetada, aumentando a resistência do solo)
c. Eletro-osmose (migração da poropressão acelerando a consolidação)
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144Estabilidade de Taludes 144
ii) Técnicas especiais de proteção
a. Cortinado de proteção contra a queda de detritos (malhas de aço penduradas no
talude, impedindo que detritos sejam lançados para longe do talude)
b. Telheiros de proteção contra a queda de detritos (estruturas que protegem trechos
de estradas, usado em regiões montanhosas)
c. Amarração de blocos de rocha por cabos de aço
d. Redes de aço para conter detritos
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145Estabilidade de Taludes 145
e. Obstaculizaçao (construção de paliçadas, grades, muros de impacto a jusante de
locais sob risco de queda ou rolamento de detritos)\
iii) Cortinas ancoradas
Concretoarmado
Ancoragens
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146Estabilidade de Taludes 146
iv) Grampos
Telas metálicas
Concreto projetado
Porca
Calda de cimento Barra de aço
150 mm
Barra de aço
Calda decimento
Centralizador80 mm
Placa metálica
Fibra de açoou tela
(a) (b)
50250
50
300
200
200
300
50
Grampo
Concretomoldado in loco
Concreto projetado
Dimensões em mm