03/05/2011

1

6.2. O critrio de Estabilidade de Routh-Hurwitz

A. Hurwitz e E.J. Routh publicaram independentemente um mtodo de investigar a

estabilidade de um sistema linear (vide Ogata).

O critrio de estabilidade de Routh-Hurwitz verifica se todos os plos de uma funo de

transferncia pertence ao semi-plano esquerdo do plano-s.

Suponha que a funo de transferncia da forma:

00

1

1

10

1

1

10

++++

++++=

aasasasa

bsbsbsbsG

nnnn

mmmm

,...

...)(

1passo: identifique apenas o denominador de G(s):

nnnn asasasasD ++++=

1

1

10...)(

2passo: verifique se qualquer destas constantes (ai) igual a zero ou, negativa na

presena de pela menos uma constante positiva. Se isto ocorrer, conclua que o

sistema instvel e no necessrio executar os prximos passos.

Do contrrio, nada pode-se concluir, v para o 3 passo.

(1)

1

3passo: construa a seguinte tabela:

Os elementos a0, a1, ...,an so os coeficientes do denominador D(s) da equao (1).

2

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2

Os elementos b1, b2, b3, ..., c1, c2, ... e todos os demais so calculados com as

seguintes expresses:

3

4passo: aplique o seguinte critrio de estabilidade de Routh-Hurwitz:

O nmero de razes de D(s) (plos de G(s)) com parte real maior que zero (positivo)

igual ao nmero de mudanas de sinal dos coeficientes da primeira coluna da

tabela construda no 3passo.

Obs.: se pelo menos um elemento da 1. coluna for nulo ou se uma linha toda for

nula, deve-se observar o caso especial que mostraremos mais adiante.

Exemplo: Seja estude sua estabilidade.5432

12

234++++

+=

ssss

ssG )(

Sol.:

1 passo: 5432234

++++= sssssD )(

2passo: todos coeficientes de D(s) so positivos portanto nada pode-se concluir.

4

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3

3passo:

Neste caso, os elementos da 1coluna so:

5

Exemplo: Determine se o sistema estvel ou instvel:

53

1

23

2

++

+=

sss

sssG )(

Sol.: 1 passo: 5323

++= ssssD )(

2passo: existe um coeficiente negativo na presena de outro positivo, logo

o sistema instvel e no precisa ir ao passo seguinte.

Exerccio: O piloto automtico de um avio tem a seguinte F.T.M.F.:

verifique se o sistema estvel ou instvel.

9244166761303524015

900165900150

2345

23

+++++

+++=

sssss

sss

s

s

r ,,,)(

)(

>>den=[1 3 -1 5];

>>roots(den) 6

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4

>>den=[1 3 -1 5];

>>roots(den)

Aparentemente o mtodo de Routh-Hurwitz seria desnecessrio, porm ele

extramente til para projetar controladores, o exemplo a seguir ilustra este fato.

O clculo dos plos de um sistema (razes de um polinmio) so fceis para os usurios

do MATLAB ou das calculadoras cientficas atuais. Por exemplo, os plos do exemplo

acima so calculados pelo MATLAB com o comando:

Exemplo: Determine o intervalo de k, ganho do controlador, para o qual o sistema

realimentado seja estvel.

7

sol.: A F.T.M.F. dada por:

)())((

)(

))((

)())((

)(

)(161

1

61

11

61

1

+++

+=

+

++

+

+

=sksss

sk

sss

sk

sss

sk

sH

Note que no possvel obter os plos de H(s) usando a calculadora.

Usemos o mtodo de Routh-Hurwitz:

1passo: D(s)=s3+5s2+(k-6)s+k

2passo: Para que todos os coeficientes sejam positivos:

k-6>0 k>6

e

k>0

k>6 satisfaz (I)

8

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5

3passo:

Para que elementos da 1 coluna sejam todos positivos, necessrio que:

574

30030403050

5

65,

)(>>>>>

kkkkk

kk (II)

e

k>0 (III)

Logo, para k>7,5 o sistema ser estvel.

Como j foi dito, se tiver um zero (0) na primeira coluna de tabela ou se

uma linha for nula, ento deve-se usar o caso especial a seguir. 9

Exerccio: Estude a estabilidade do sistema.

Exerccio: Estude a estabilidade do sistema.

10

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CASO ESPECIAL

Se o primeiro elemento de uma linha zero, e pelo menos um elemento na

mesma linha diferente de zero, ento substituiu-se o primeiro elemento de

linha, que zero, por um pequeno nmero , que poder ser negativo ou

positivo, e continua-se o clculo das prximas linhas da tabela. O exemplo

abaixo ilustra este caso.

Exemplo: Estude a estabilidade de

1011422

5

2345+++++

=sssss

sG )(

1passo: D(s)=s5+2s4+2s3+4s2+11s+10

Sol.:

2passo: todos os coeficientes so positivos, nada pode-se concluir.

3passo: construo da tabela:

11

neste caso aparece um 0 na 1 coluna e outros elementos

desta linha so diferentes de 0. Mostre que no possvel

calcular os elementos da linha s2 pois seria necessrio

dividir por 0. Substitua o 0 por e continue:

12

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7

para pequeno, 0, tem-se a seguinte tabela:

se 0 temos 6

13

Se 0 pela esquerda, ou seja 0, temos tambm 2 trocas de sinais na

primeira coluna.

Assim, o sistema instvel.

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8

Exerccio: Estude a estabilidade de:

96623

7

2345+++++

=sssss

SG )(

Exerccio: Encontre a faixa de K tal que o sistema abaixo seja estvel:

Exerccio: Determinar a faixa de valores de K para a qual o sistema a seguir

estvel:

15

Estabilidade de sistema com projeto de controlador dependente de dois

parmetros

Um controlador industrial muito utilizado o controlador P.I. (proporcional e

integral).

Neste caso a estabilidade fica dependente de dois parmetros. Um exemplo

de projeto ilustra o uso do critrio de estabilidade de Routh-Hurwitz para este

caso, e est mostrado a seguir.

Exemplo: Para o sistema controlado por um controlador P.I. dado abaixo,

encontre as faixas de kp e ki do controlador tal que o sistema abaixo seja

estvel:

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9

Sol.: A F.T.M.F.

ip

ip

ip

ip

ksksss

ksk

sss

ksksss

ksk

sR

sY

++++

+=

++

++

++

+

=))((

))((.)(

))((.

)(

)(

21

21

11

21

1

ip

ip

kskss

ksk

sR

sY

++++

+=

)()(

)(

2323

1passo: D(s)=s3+3s2+(2+kp)s+ki

2passo: para estabilidade necessrio que:

0>ike: 202 >>+ pp kk (I)

17

3passo:

1 coluna:

23>

ip

kk (II)

(III)e 0>ik

023 >+ ip kk )(

De (I), (II) e (III) tem-se a regio:

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10

Exerccio: Encontre a faixa de kp e ki do controlador abaixo tal que o sistema

seja estvel.

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Matlab (Simulink):

6.3. Estabilidade Relativa

A estabilidade estudada at agora neste curso conhecida como

estabilidade absoluta pois tem-se como referncia o lado esquerdo do plano-

s. Um outro conceito o conceito de estabilidade relativa.

Pode-se determinar a margem de segurana que um sistema apresenta no

tocante sua estabilidade. Por exemplo, no plano-s abaixo, pode-se dizer

que os plos z1 e z1 tem menor margem de estabilidade que os plos z2 e z3:

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11

Pode-se usar o critrio de Routh para estudar a margem de estabilidade

relativa de um sistema, neste caso necessrio usar uma translao de

eixo imaginrio.

Os eixos acima so relacionados atravs da

seguinte equao de translao de eixos:

ou ainda+= ss '

= 'ss

21

Exemplo: Verifique se o sistema abaixo tem todos os plos esquerda de s=-1:

24269

1

23+++

=sss

sG )(

Sol.: Neste caso, deve-se realizar a translao de eixos abaixo:

logo, s=s-1 em G(s):

A translao do eixo imaginrio feita substituindo s=s-1 em G(s):

24126191

1

23+++

=)'()'()'(

)'(sss

sG

22

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12

242626129121

1

22+++++

=')''()'')('(

)'(ssssss

sG

ento,

6116

1

23+++

='''

)'(sss

sG

logo,

este sistema estvel, sua estabilidade relativa engloba o eixo s=-1.

Portanto sua margem de estabilidade >1.

Obs.: Para determinar a margem de estabilidade (total) de um sistema

necessrio ir transladando o eixo s (imaginrio) at o surgimento de um zero

na 1 coluna da tabela de Routh-Hurwitz, indicando que existe plo sobre o

eixo imaginrio s. 23

Este trabalho pode ser evitado, utilizando-se as calculadoras cientficas para

obter todos os plos do sistema (ou o MATLAB), a margem de estabilidade

ser igual ao mdulo da parte real do plo mais prximo ao eixo imaginrio,

supondo-se que todos os plos so de sistema estvel.

Exerccio: Use o MATLAB/SciLab ou a calculadora para determinar a

margem de estabilidade do sistema.

46423

+++=

sss

ssG )(

Exerccio: Verifique, usando o critrio de Routh-Hurwitz se o sistema abaixo

tem todos seus plos esquerda de s=-2.

423

10

234++++

+=

ssss

ssG

,)(

Exerccio: Projete K tal que o sistema abaixo tenha margem de estabilidade

maior que 4.

24

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13

25

Exerccio: Use o MATLAB/SciLab ou a calculadora para determinar a

margem de estabilidade do sistema.

46423

+++=

sss

ssG )(

Soluo:

-->s=poly(0,"s")

s =

s

-->p=s^3+4*s^2+6*s+4

p =

2 3

4 + 6s + 4s + s

-->roots(p)

ans =

- 1. + i

- 1. - i

- 2.

-->s=poly(1,"s")

s =

- 1 + s

-->p=s^3+4*s^2+6*s+4

p =

2 3

1 + s + s + s

-->roots(p)

ans =

- 1.145D-17 + i

- 1.145D-17 - i

- 1.

-->s=poly(2,"s")

s =

- 2 + s

-->p=s^3+4*s^2+6*s+4

p =

2 3

2s - 2s + s

-->roots(p)

ans =

0

1. + i

1. - i

-->n=s

n =

- 2 + s

-->d=p

d =

2 3

2s - 2s + s

-->h=syslin('c',n./d);

-->plzr(h)

No SciLab:

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14

27

4122232

102

234++++

+=

)'()'()'()'(

,)'()'(

ssss

ssG

4275

91

234++

=

''''

,')'(

ssss

ssG

Usemos o mtodo de Routh-Hurwitz:

4275234

++= '''')'( sssssD2passo: existe um coeficiente negativo na presena de outro positivo, logo

o sistema instvel e no precisa ir ao passo seguinte.

Exerccio: Verifique, usando o critrio de Routh-Hurwitz se o sistema abaixo

tem todos seus plos esquerda de s=-2.

423

10

234++++

+=

ssss

ssG

,)(

Soluo:

1passo:

28

-->s=poly(2,"s")

s =

- 2 + s

-->n=s+0.1

n =

- 1.9 + s

-->d=s^4+3*s^3+s^2+2*s+4

d =

2 3 4

- 4 + 2s + 7s - 5s + s

-->real(roots(d))

ans =

0.8124973

- 0.7009008

2.4442018

2.4442018

-->h=syslin('c',n./d);

-->plzr(h)

No SciLab:

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Exerccio: Projete K tal que o sistema abaixo tenha margem de estabilidade

maior que 4.

Soluo: A F.T.M.F. dada por:

Kss

K

ss

Kssss

K

ssK

ssK

sH+++

=

++

+++

++=

+++

++=

4022

4022

4022

4022

4022

11

4022

1

2

2

2

2

2

2

.

.)(

Para que o sistema tenha margem de estabilidade maior que 4, s=-5, temos:

Kss

K

Kss

KsH

++=

+++=

451240522522 '')'()'(

)(

Usando o mtodo de Routh-Hurwitz:

1passo: KsssD ++= 45122 '')(

30

3passo: As razes de D(s) so dadas abaixo, para K=46, pelo SciLab:

2passo: para estabilidade necessrio que:

045 >+ K 45> K

-->s=poly(0,"s")

s =

s

-->K=46

K =

46.

-->p=s^2+12*s+45+K

p =

2

1 + 12s + s

-->roots(p)

ans =

- 0.0839202

- 11.91608

-->n=K

n =

46.

-->d=p

d =

2

1 + 12s + s

-->h=syslin('c',n./d);

-->plzr(h)

No SciLab: