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EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 3
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Esta aula: ! Análise nodal, ! Análise de malha.
Análise Nodal
Consideremos o circuito abaixo:
1R 3R2R
1I 2I
3
1 2
3
1R 3R2R
1I 2I
3
1 2
3 Redesenhando e designando o nó 3 como nó de referência, temos:
1R 3R2R
Ref
1v 2v21 vv −
1I 2I1R 3R
2R
Ref
1v 2v21 vv −
1I 2I
Designamos uma tensão para cada nó, com relação ao nó de referência.
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Usando agora a Lei de Kirchhoff das correntes: Nó 1:
12
21
1
1 IRvv
Rv
=−
+ ou ( ) 121211 IvvGvG =−+
Nó 2:
( ) 232212 vGIvvG +=−
Temos, então, um sistema de duas equações e duas incógnitas:
G1 +G2( )v1 −G2v2 = I1−G2v1 + G2 +G3( )v2 = −I2
"#$
%$
Exemplo numérico: Para Ω= 21R , Ω= 52R e Ω=13R ; AI 31 = e
AI 22 −= , teremos: Vv 51 = e Vv 5,22 =
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Outro exemplo:
S3
S1
S2
S4
S5A8− A25−
A3−
S3
S1
S2
S4
S5A8− A25−
A3−
Redesenhando
A8−
S4
S3
S1A25−
S5
S21v 2v 3v
Ref
A3−
A8−
S4
S3
S1A25−
S5
S21v 2v 3v
Ref
A3−
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Escrevendo a Lei de Kirchhoff das correntes para os três nós, temos o sistema:
!"
!#
$
−=−+
−=+−
−=−−
251124326311437
321
321
321
vvvvvvvvv
Resolvendo esse sistema de equações, chegamos à
Vv 11 = , Vv 22 = e Vv 33 =
Note que podemos reescrever o sistema da seguinte forma:
!"
!#
$
=+−−
=−+−
−=−−
251124326311437
321
321
321
vvvvvv
vvv
ou
!!!
"
#
$$$
%
&−
=
!!!
"
#
$$$
%
&
!!!
"
#
$$$
%
&
−−
−−
−−
25311
1124263437
3
2
1
vvv
A matriz é simétrica! Isso pode ser usado na verificação das equações.
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Consideremos agora esse mesmo circuito, mas com uma fonte de tensão entre os nós 2 e 3:
A8−
S4
S3
S1A25−
S5
1v 2v 3v
Ref
V22
Super nóA3−
A8−
S4
S3
S1A25−
S5
1v 2v 3v
Ref
V22
Super nóA3−
Dificuldade: não podemos associar a corrente entre os nós 2 e 3 à tensão do gerador de 22 V (a tensão do gerador independe da corrente). • Portanto, não podemos aplicar a Lei de
Kirchhoff das correntes nos nós 2 e 3. • No entanto: se a soma algébrica das correntes
que saem de um nó é nula, então a soma algébrica das correntes que saem dos nós 2 e 3 (dito super-nó) também deve ser nula (Lei de Kirchhoff Generalizada)
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Para o nó 1:
11437 321 −=−− vvv .
Para super-nó (nós 2 e 3):
0255)(43)(3 231312 =+−+−+−− vvvvvv ou
28947 321 =++− vvv .
Além disso, sabemos que 2223 =− vv .
Finalmente:
!"
!#
$
=+−
=++−
−=−−
222894711437
32
321
321
vvvvvvvv
Resolvendo, temos
Vv 5,41 −= , Vv 5,152 −= e Vv 5,63 −= .
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Consideremos agora a presença de um gerador de tensão dependente:
A8−
S4
S3
S1A25−
S5
1v 2v 3v
Ref
8xi
Super nóA3−
xi
A8−
S4
S3
S1A25−
S5
1v 2v 3v
Ref
8xi
Super nóA3−
xi
Novamente, como temos um gerador de tensão entre os nós 2 e 3, consideraremos este par de nós como um super-nó. Aplicando a Lei de Kirchhoff, temos, como antes, Super-nó: 28947 321 =++− vvv Nó 1: 11437 321 −=−− vvv
Entre os nós 2 e 3: 8
)(48
1323
vvivv x −
==−
Ou 05,05,0 321 =−+− vvv Resulta: Vv 11 = , Vv 22 = e Vv 33 =
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Resumo – Análise nodal
Procedimento
• Redesenhe o circuito, escolhendo um nó como referência,
• Atribua uma variável a cada um dos outros nós, para indicar a tensão daquele nó com relação ao nó de referência,
• Se o circuito contiver apenas fontes de corrente, escreva a Lei de Kirchhoff das correntes para cada um dos nós, com exceção do nó de referência; resolva o sistema de equações para obter as tensões nos nós.
• Se o circuito contiver fontes de tensão, escreva a Lei de Kirchhoff generalizada das correntes para os super-nós formados; além disso, relacione as tensões dos geradores às tensões dos nós; resolva o sistema de equações para obter as tensões nos nós.
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Análise de malhas
Algumas definições: Circuito planar: é aquele que pode ser desenhado em um plano, sem que um ramo cruze outro. Exemplo de circuito não planar:
Laço: percurso fechado formado por bipolos e que não passe duas ou mais vezes pelo mesmo bipolo ou nó. Malhas: laços em um circuito plano que não contém outros laços em seu interior. Corrente de malha: corrente que circula nos perímetro de uma malha
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Exemplos:
Não é laçoNão é laço Não é laçoNão é laço
É laço, mas não é malhaÉ malha É laço, mas não é malhaÉ laço, mas não é malhaÉ malhaÉ malha
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Análise de malhas: Aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões nas malhas do circuito, para obter as correntes de malha. Consideremos o circuito abaixo:
2i
V7
Ω1 Ω2
Ω1Ω2
Ω31i
2i
3iV6
1i
21 ii −
32 ii −
31 ii −
2i
V7
Ω1 Ω2
Ω1Ω2
Ω31i
2i
3iV6
1i
21 ii −
32 ii −
31 ii −
Três malhas = três equações a partir da Lei de Kirchhoff das tensões: Para a malha I:
( ) ( ) 0267 2121 =−−−−− iiii ou 123 321 =−− iii
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Repetindo para as outras malhas, chegamos ao sistema:
!"
!#
$
=+−−
=−+−
=−−
6632036123
321
321
321
iiiiiiiii
que resulta em: Ai 31 = , Ai 22 = e Ai 33 = . Note que podemos escrever o sistema de equação por meio de uma equação matricial:
!!!
"
#
$$$
%
&=
!!!
"
#
$$$
%
&
!!!
"
#
$$$
%
&
−−
−−
−−
601
632361213
3
2
1
iii
Matriz de resistência !!!
"
#
$$$
%
&
−−
−−
−−
=
632361213
R
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Se: • O circuito contiver apenas fontes de tensão
independentes, • As correntes de malhas são indicadas no
sentido horário, • As linhas de R contiverem os coeficientes de
…21,ii , (ordenados), • A i-ésima linha corresponde à i-ésima malha, então, R será uma matriz simétrica. Essa propriedade pode ser um teste para verificar a correção da matriz. Consideremos agora a presença de um gerador de corrente no circuito anterior, ou seja:
V7
Ω1 Ω2
Ω1Ω2
Ω31i
2i
3iA7
31 ii −
V7
Ω1 Ω2
Ω1Ω2
Ω31i
2i
3iA7
31 ii −
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Não podemos escrever a Lei de Kirchhoff das tensões para as malhas 1 e 3 (não sabemos relacionar sua tensão à sua corrente.) Porém, sabemos que 731 =− ii . Da 2a. malha, temos 036 321 =−+− iii Precisamos de mais uma equação: obtida pela aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões para o laço formado pelas malhas 1 e 3:
V7
Ω1 Ω2
Ω1Ω2
Ω31i
2i
3iA7
V7
Ω1 Ω2
Ω1Ω2
Ω31i
2i
3iA7
( ) ( ) 037 33221 =−−+−− iiiii
AiAiAiii
iiiiii
2,5,2,97
036744
321
31
321
321
===⇒"#
"$
%
=−
=−+−
=+−
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Consideremos, por fim, a presença de um gerador dependente:
A15
Ω1 Ω2
Ω1Ω2
Ω31i
2i
3i9xv xv
A15
Ω1 Ω2
Ω1Ω2
Ω31i
2i
3i9xv xv
Como antes, precisamos de três equações relacionando as correntes de malha. A primeira pode ser obtida da malha 2:
0)(32)(1 32212 =−++− iiiii
ou 036 321 =−+− iii
Seguindo o procedimento adotado para o caso da presença de gerador de corrente (abrir o circuito naquele ponto), resulta em um circuito com apenas a malha 2, de onde já extraímos uma equação.
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Porém, por inspeção, temos que Ai 151 = e
032
31
9 32113 =++−→=− iiiv
ii x ,
completando o conjunto de equações necessário, resultando em:
Ai 151 = , Ai 112 = e Ai 173 = .
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Resumo – Análise de mlaha
Procedimento Esse método é válido apenas para circuitos planos. • Indique as correntes de malha, • Se o circuito contiver apenas geradores de
tensão, escreva a Lei de Kirchhoff das tensões para cada uma das malhas e resolva o sistema de equações obtido.
• Se o circuito contiver geradores de corrente, substitua-os por circuitos abertos (o que reduz o número de malhas), escreva a Lei de Kirchhoff para as malhas restantes e resolva o sistema de equações obtido.