Especificações de Filtros
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1
Especificações de Filtros
Especificação em tempo contínuo
Especificação em tempo discreto
Resposta em frequência de um filtro
210log20atenuação
ARegião
irrelevante
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2
FIR
FIR – Finite Impulse Response Filter
(Resposta ao Impulso Finita)
M
m
mm
M
mm zbzHmnxbny
00
.)(][.][
Só tem zeros sempre sempre estáveisestáveis
M – ordem do filtroM – ordem do filtro
(ordem do polinómio (ordem do polinómio H(z)H(z)))
Numero de coeficientes é Numero de coeficientes é do filto é M+1=Ndo filto é M+1=N
Coeficientes da resposta impulsiva
do filtro
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3
IIR
IIR – Infinite Impulse Response Filter
(Resposta ao Impulso Infinita)
M
mm
N
kk mnxbknya
00
][.][.
Contêm zeros e pólos N – ordem do filtroN – ordem do filtro
Ordem do polinomio no Ordem do polinomio no denominadordenominador
N
k
kk
M
m
mm
za
zbzH
0
0
.
.)(
Corresponde a uma equação às diferenças.
Implementa uma equação às diferenças em que a saida não depende directamente apenas de valores passados da entrada mas tambem da saida.
Sistemas recursivos
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4
FIR vs IIR
FIR São sempre estáveis Permitem facilmente fase linear Podem necessitar de ordem elevada
IIR Menor peso computacional
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5
Projecto de Filtros FIR
deeHnh jjdd )(
21
][
Método da JanelaEspecificação de uma resposta ideal na frequência e determinação da resposta impulsiva correspondente(teoricamente ou numericamente (IFFT)):
)( jd eH
Multiplicação por janela:Pode ser infinita e não causal
truncagem
][][][ nwdnhnh d
cc ,0
0,1][
Mnnw
janela
Janela rectangular:
Atraso da janela
2/Md
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6
Janela Rectangular
]2/sin[]2/)1(sin[
)( 2/
MeeW Mjj
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7
Outras Janelas
cc ,0
0,1][
Mnnw
cc ,0
2/0,/222/0,/2
][ MnMnMnMn
nwRectangular
Bartlett (triangular)
cc ,0
0),/2cos(5.05.0][
MnMnnw
Hanning
Hamming
cc ,0
0),/2cos(46.054.0][
MnMnnw
Blackman
cc ,0
0),/4cos(08.0)/2cos(5.042.0][
MnMnMnnw
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8
Método das Janelas
c/1
2/c 2/c
1)( j
ideal eH
A largura da banda de transição Pode ser aproximada pela
Largura do lóbulo principal, Δω, da janela.
1
2/ c2/ c
A resposta em frequênciadepois de aplicar a janelacorresponde uma versão suavizada da resposta em
frequência do sistema original.
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9
JanelasRectangular
(o riple ou a atenuação nunca baixam de 20dB
por maior que seja a ordem! Fenómeno de
Gibbs)
triangular
Hanning
Hamming
Blackman
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10
Janelas
No método das janelas temos 1 = 2, = e portanto A=20log10
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11
Janela de Hanning
)(.22
22
)()(
]'[))/'2cos(5.05.0(]'[][))/2cos(5.05.0(][
jR
j
R
R
eWMM
eW
nwMnnwnwMnnw
)( jR eW
)( jeW
2/' Mnn
]2/sin[]2/)1(sin[)(
MeW j
R
WR – Janela Rectangular
W – Janela Hanning
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12
Janela Kaiser
cc ,0
)(])]/)[(1([
][0
2/120
InI
nw
ps
10log20A
21,0.05021),21(07886.0)21(5842.0
50),7.8(1102.04.0
AAAA
AA
285.2
8AM
Funções de Bessel modificadas de ordem zero
É simples obter e M dadas as especificações
Permite trocar largura do lobo principal por amplitude do
lobo secundário
21
Ordem do filtro
(dB)
2/MMn 0
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Ex: Projecto Diferenciadores em tempo discreto
A resposta em frequência de um diferenciador ideal será,2/)()( Mjj
ordifrenciad ejeH Nota:Nota: Tal corresponderá a amostragem do sinal derivada de um sinal de entrada amostrado
dentro dos limites do crtitério de Nyquistdentro dos limites do crtitério de Nyquist
A que corresponde um diferenciador com resposta impulsiva dada por:
Notar os limitações de aplicação!!!
2
)sin()cos(][X
X
X
X
nn
nnnh
0]2/[ Mh
2/MnnX
Notar que:
mnhnm ][*)(
deejnh njMj
).(21][ 2/
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14
Ex: Diferenciadores em tempo discreto
ordem par (20) tipo I
0 5 10 15 20
-1
0
1
ordem impar (21) tipo II(com janela de kaiser)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
1
2
3
0 5 10 15 20
-1
0
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
1
2
3
A implementação tipo I normalmente resulta numa oscilação maior devido ao zero em , mas reduz ruido de alta frequencia
fase
Angulo (rad)
amostras amostras
Angulo (rad)
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Projecto Equiriple de FIR
Janela rectangular minimiza
deHeH jjd
22 )()(21
Outro critério é o do erro máximo)()(max jj
d eHeH
Parks-McClellan algorithm
324.213)log(10 21M
Filtros de oscilação constante (equiriple)
Resulta em filtros de menor ordem do que pelo método das janelas
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Projecto Equiriple
Erro quadrático mínimo (janela rectangular) Óptimo sinais de banda larga, ex: ruído branco
Equiriple (erro máximo mínimo)Equiriple (erro máximo mínimo) Garante que qualquer sinal fora da banda é atenuado
pelo menos A dB Projecto para o pior caso, ie, sinais de banda estreita
junto à banda de transição
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Projecto de Filtros IIR
Conversão de Filtros Analógicos•Aproveita os resultados dos sistemas analógicos
Transformação Bilínear• Um mapa do plano-s para o plano-z
1
1
112
zz
Ts
zesT
Mapa exacto seria (AD->DSP->DA):
)2/tan(2
T
Provoca uma transformação na frequência
)2/arctan(2 T
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Transformação Bilínear
Transforma o semi-plano complexo esquerdo no circulo unitário!
Sistemas estáveis resultam em sistemas estáveis
Transformação na frequência:
Especificações devem ser ajustadas de forma a compensar a transformação
sTsT
z)2/(1)2/(1
1
1
112
zz
Ts
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19
Transformação bilinear
A transformação bilinear corresponde a utilização de um método de integração trapezoidal
1
1
112
zz
Ts
ssH /1)( Função de transferência de um integrador
2]1[][]1[][
11
2)()()( 1
1
nxnxTnynyzzT
zxzyzH
Área do trapézio
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20
Invariância ao Impulso
k
tsK
TL
k K
K tueAthss
AsH K ][)()(1
k
nkK
TZ
k k
K nuzAnhzz
AzH ][1
)( 1
Tsk
kez
amostragem
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Filtros Butterworth
São filtros que têm uma característica de amplitude maximamente plana na banda de passagem.
Têm a seguinte resposta em amplitude:
Nc
c jjjH 2
2
)/(11
)(
A sua transformada de Laplace é constituída apenas por pólos nas posições:
N
kksssH
1
)/1(1)()12)(2/( NkNjCk es
NCC jH 22 )//(1)(
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22
Filtros Chebyshev
Permitem oscilações na banda de passagem de forma permitir a utilização de filtros de menor ordem relativamente ao Butterworth.
)/(11
)( 22
2
cNc V
jH
1)(0 xV xxV )(1
12)( 22 xxV
)()(2)( 11 xVxxVxV NNN NC
NC jH 2122 )/(4/1)(
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Comparação de Filtros IIR
Butterworth Resposta em frequência maximamente plana
Chebyshev Maior atenuação mas pior resposta de fase
Qualquer deles tem distorção de fase ao contrário dos filtros FIR que têm fase linear!
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24
Filtros passa-banda
Projecto em tempo continuo Transformação passa-baixo passa banda Escolher o tal que,
Especificações ou mais apertadas
212
SSo
212
PPo
sBs
SBaixoPassaBandaPassa STsT 20
2)()(
12 PPB
2220 4
121
PassLowPassLow BB
BPassLow
20
2
12 PassLowP
11 PassLowP
12
121/2 PP
SSPassLowS
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25
Filtros passa-banda
1P 2P2S
1P
1S
12
12
PP
SSS
212
SSo 12 PPB
Deve-se escolher P1 e P2 de forma que:
212
PPo
Mas garantindo que P1< P1real e
P2> P2real