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ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

EN LA ESCUELA PRIMARIA

Perspectivas para la enseñanza de la Matemática

Clase 2

La resolución de problemas: priorizar en la escuela un

tipo de trabajo matemático

Hola colegas

En la clase anterior comenzamos a preguntarnos por el sentido de la matemática en la

escuela, lo que nos lleva ahora a reflexionar sobre las consecuencias que tiene para

nuestra labor profesional adherir a una perspectiva de enseñanza otra. Si buscamos la

inclusión plena de todos los alumnos y las alumnas, decidir cómo se enseña determina

las condiciones que posibilitan el acceso a la Matemática de unos pocos o de todos.

En esta clase revisaremos por qué dar tanto énfasis a la “resolución de problemas”, y

precisaremos el alcance de esa expresión, buscando identificar qué condiciones del

trabajo en el aula darían lugar a una práctica que contribuya a la construcción de sentido

de los conocimientos.

El aprendizaje por resolución de problemas

Actualmente buscamos en nuestros alumnos la adquisiciso énfasis a la

“resolución de problemas”, y precisaremos el alcance de esa expresión,

buscando identificar qué condiciones del trabajo en el aula darían lugar a una

práctica que contribuya a la construccinteresa que esos saberes puedan ser

expresados de manera adecuada y que estén vinculados entre sí de manera

organizada.

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Afirmamos que, para que esto ocurra, los alumnos deben resolver problemas. Pero, ¿por

qué?, ¿cuál es el origen de esta perspectiva?, ¿qué relación tiene con los principios

constructivistas?

En la primera clase estuvimos analizando los problemas a partir de los contextos en los

que se presentan. Nos preguntamos ahora: ¿a través de qué tipo de situaciones

adquieren significado los conceptos y procedimientos matemáticos?; ¿cuáles serían las

condiciones que deben reunir tales situaciones para propiciar la apropiación del saber por

quien aprende?

Ya en 1981, Gerard Vergnaud se había formulado estas preguntas. Las explicaciones

piagetianas, muy difundidas por aquella época, eran un punto de partida pero no eran

suficientes para pensar en aprendizajes escolares de contenidos específicos.

El funcionamiento del conocimiento en situaciones que den lugar a nuevos aprendizajes

podía pensarse como adaptación al medio en el sentido piagetiano pero, ¿cómo se puede

caracterizar?

Vergnaud plantea que la actividad de aprender es una acción en situación. Y que, en

Matemática, la acción en situación se entiende como la que se desarrolla en ocasión de

resolver un problema. Considera que la acción en situación “es la base y el criterio del

pensamiento conceptual”, es decir, la instancia que permite adquirir conceptos y también

el modo de evaluar si se ha aprendido.

No se trata, entonces, de un “saber hacer” sin posibilidad de fundamentar lo que se hace,

ni de un “saber teórico” que no pueda ser utilizado cuando es ocasión de hacerlo. Se

trata, en cambio, de un hacer sobre el que se pueden dar explicaciones teado cu, y

de unas nociones te el que se pueden dar explicacio cuando resulta necesario

hacerlo.

Consideremos un ejemplo, el caso de Ana María, para analizar los tipos de saberes.

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¿Qué relaciones podría establecer Ana María entre lo que leyó en el

Cuaderno para el aula y lo que aprendió durante su escolaridad?

Ana María conoce una técnica para multiplicar por dos cifras (un saber hacer) y conoce la

propiedad distributiva (un saber teórico) bajo una cierta representación, típica de muchos

libros de texto. Pero, para identificar que en el procedimiento de su alumno hay un uso

implícito de la propiedad distributiva, tendrá que reconocer que al multiplicar un número

por otro y descomponer (uno o ambos) en sumandos, es posible disponer sobre el papel,

de distintas maneras, los resultados parciales de cada producto para luego sumarlos. Así,

entonces, vería que la propiedad distributiva que ella conoce funciona como justificación

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del algoritmo.Si pensamos en la construcción de un concepto o de una propiedad en

situación –en ocasión en la que el concepto sea necesario para resolver la situación-

Vergnaud especifica:

“[estas situaciones son aquellas] para las que el sujeto no dispone de todas las

competencias necesarias, lo que lo obliga a un tiempo de reflexión y de exploración, a

dudas, a tentativas abortadas; y lo conduce eventualmente al triunfo, y eventualmente al

fracaso” - (Vergnaud, 1991: 135-136)

Volviendo sobre Ana María y la enseñanza de la cuenta de multiplicar por dos cifras: si

ella presentara ese problema a sus alumnos y les diera lugar a elaborar procedimientos

propios, originales, los chicos podrían realizar alguno como el que leyó en el Cuaderno

para el aula. Esto le permitiría analizar dos cuestiones:

• hacer los dos productos por separado es algo que los niños pueden justificar en el

contexto del problema calculando primero los botones para los puños y luego los

del frente.

▪ la distributividad -si no apareció antes- puede surgir de esa situación como nuevo

conocimiento (“teorema en acto”) que ella podrá retener y pensar cómo seguir

trabajando en nuevos problemas.

Esta idea de situación como instancia de aprendizaje nos hace pensar en que, para que

quien aprende adquiera un concepto nuevo, una propiedad nueva, el problema a resolver

ha de ser nuevo, esto es, debe permitirle encontrar soluciones que antes no conocía,

abordarlo inicialmente con conocimientos que ya domina pero que son insuficientes para

completar la solución y, entonces, producir soluciones originales: “la noción de problema

comporta, pues, la idea de novedad, de algo nunca hecho, de algo aún no comprendido”

(Vergnaud, Actividad y conocimiento operatorio).

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Reconocemos en estos aportes la idea de problema que se sostiene en el

enfoque actual de enseñanza: la de desafío intelectual a la medida de los

conocimientos de quien está resolviendo el problema.

En este sentido, es importante mencionar que una situación puede ser problema para

unos alumnos y no para otros. Si un alumno resuelve la tarea que se le plantea de

inmediato, seguramente ya disponía de los conocimientos necesarios para hacerlo y no

aprende algo nuevo. Lo mismo si la tarea requiere, para ser abordada, unos

conocimientos que el alumno aún no ha trabajado. En estos casos no hay problema.

Al respecto, en los Cuadernos para el aula se afirma:

“Consideramos que cada actividad constituye un problema matemático para un

alumno en la medida en que involucra un enigma, un desafío a sus conocimientos

matemáticos, es decir, si estos le permiten iniciar la resolución del problema y

para hacerlo, elabora un cierto procedimiento y pone en juego las nociones que

tiene disponibles, modificándolas y estableciendo nuevas relaciones”. (Cuaderno

para el aula 3, pág. 20, MEN, 2006)

También reconocemos en este aporte una primera cuestión asociada a la idea de

resolución de un problema: la necesidad de dar lugar en la clase a una producción

original del alumno, en la que pone en juego lo que sabe. Veamos en el próximo

apartado qué otros elementos incluir al pensar en la resolución.

b. os elementos incluir al pensa

Otra cuestión que aprendimos en estos últimos años, en el marco del enfoque que

estamos presentando, es la importancia de incluir en la clase instancias de trabajo

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grupal. ¿Cuál es el origen de esta derivación didáctica? ¿Por qué es importante incluir

estas instancias?

Entre los investigadores en Didáctica de la Matemática, Colette Laborde trabajó sobre

los aspectos sociales de las diversas situaciones en las cuales están comprometidos

estudiantes y docentes en la clase. De la escuela soviética y los estudios de Vigotsky

sobre la construcción de conocimientos en instancias de interacción social, surge la idea

de que las experiencias sociales intervienen en la evolución de los conocimientos. Esta

escuela considera el desarrollo cognitivo de los niños partiendo de procesos

interpersonales que luego se transforman en procesos intrapersonales.

Según señala Colette Laborde, existen fundamentalmente dos modalidades de

funcionamiento de procesos interpersonales: por un lado, si el problema propuesto tiene

en sí mismo una dimensión social, y por otro, si se trata de resolver el problema por un

grupo de alumnos y alumnas, al margen de que el problema suponga en sí la resolución

de un problema social.

En el primer caso se trata, por ejemplo, de producir un mensaje para que un compañero

identifique el dibujo de una figura entre varias. Hay un productor y un receptor del

mensaje que tienen que interactuar a propósito de su comprensión (veremos esta

cuestión en la próxima clase).

Centrándonos en un ejemplo del segundo tipo, pensemos nuevamente en la clase de Ana

María y el problema que leyó en el Cuaderno para el aula de tercer grado. Los alumnos

podrán realizar diferentes procedimientos.

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Cuando cada alumno desarrolló su procedimiento, el docente puede proponer un debate

analizando si acuerdan con las respuestas obtenidas y a qué elementos del contexto se

refiere cada número, comparando lo producido para establecer cuáles son las semejanzas

y diferencias. El docente espera obtener al finalizar la clase alguna conclusión sobre

procedimientos con sólo sumas y otros con sumas y multiplicaciones y también, entre

estas últimas, discutir sobre por qué creen que un chico eligió 8 y 4 para descomponer el

12 y otro 10 y 2. También podrá avanzar preguntando si son posibles otras

descomposiciones del 12, pidiendo que escriban cómo contar a otros esta forma de hacer

la multiplicación. Asimismo es central preguntar por qué están seguros de que su

respuesta es adecuada.

¿Qué efectos tendrán las interacciones en este caso?

Las interacciones durante el debate implican, para cada niño, volver a pensar en las

relaciones que estableció entre los elementos del problema y explicitarlas, reconocerlas.

También la interacción conlleva a pensar en nuevas relaciones, al intentar comprender lo

que hicieron sus compañeros. Esto último implica una descentración de su propio punto

de vista y un intercambio para negociar en el proceso que lleva a validar o rechazar una

estrategia. Así, las relaciones que habían funcionado en forma implícita en la resolución

del problema se explicitan y pueden ser retomadas por el docente y expresadas de una

forma comprensible para todos los niños y con una cierta cercanía con la forma

matemáticamente adecuada. También es parte del proceso de resolución la respuesta a

la pregunta para dar razones de lo realizado, pues tener oportunidad de validar lo hecho

permite avanzar hacia la autonomía en las respuestas.

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Al respecto, en los Cuadernos para el aula se dice:

“El trabajo que implica volver sobre lo realizado exige siempre una explicitación,

un reconocimiento y una sistematización del conocimiento implicado en la

resolución de los problemas, las formas de obtenerlo y validarlo. Sin este proceso,

los conocimientos matemáticos aprendidos en la escuela –las nociones y formas

de trabajar en matemática– no tendrán a futuro las mismas posibilidades de

reutilización.” (Cuadernos para el aula, pág. 16)

En síntesis, las interacciones con los compañeros y con el docente también contribuyen a

la construcción de conocimientos y forman parte de la resolución del problema En la

próxima clase revisaremos algunas nociones didácticas que fundamentan esta

perspectiva de resolución de problemas que venimos desarrollando.

A continuación les proponemos la actividad para esta clase:

Hacer Matemática resolviendo problemas

Actividad de producción de texto individual obligatorio

La idea no es que los chicos aprendan como nosotros aprendimos, sino

que logren aprendizajes diferentes, más adaptados a los tiempos que les

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toca vivir.

En esta actividad les proponemos que realicen una reflexión sobre la

expresión anterior que constituye la propuesta del Módulo PEM.

Para realizar este TP, les solicitamos que recuperen aspectos generales

de sus trayectorias escolares y en particular de sus vivencias con

respecto al aprendizaje de la Matemática.

Al focalizar en los recuerdos en la Matemática aprendida en la educación

primaria, pretendemos superar el mero anecdotario, y recuperar en sus

evocaciones el lugar que ocupó la resolución de problemas en las

clases de Matemática. De este modo podrán resignificar las

experiencias por las que han pasado a lo largo de su escolaridad primaria

para deconstruir sus matrices de aprendizaje y la influencia que las

mismas pueden tener en su actual accionar como docente. Al mismo

tiempo que podrán tensionar sus recuerdos con la propuesta del

Módulo para la enseñanza de la Matemática hoy en nuestras aulas.

El trabajo debe incluir:

1-Carátula:

Carrera: Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza

de la Matemática en la Escuela Primaria.

Módulo: Perspectivas para la Enseñanza de la Matemática.

Primaria

Título del trabajo: “Hacer Matemática resolviendo problemas”

Número de aula:

Nombre de la Tutora:

Nombre del /la cursante:

Datos de la institución en la que trabaja

2-Desarrollo de la actividad:

Algunos recuerdos que no pueden faltar en sus relatos para compartir

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cómo les enseñaron Matemática en la Escuela Primaria

años en los que cursaron la escuela primaria

notas distintivas de la escuela y del grupo de compañeros (en

ciudad, rural, pública, privada, pequeña, grande, compartida con

otras instituciones, grado numeroso, mixto, etc)

recuerdos de los modos de enseñanza de la Matemática de sus

maestros en general y en particular en relación a la resolución

de problemas

relaciones con el material teórico del Módulo citando en forma

apropiada (utilizar normas APA). Consignar párrafos breves de

una clase o de un texto de la bibliografía o de los Cuadernos para

el aula o los NAP que expresen las características y/o la

importancia de una enseñanza y un aprendizaje por resolución

de problemas.

A partir del relato, también les pedimos a modo de conclusión,

que expliciten qué significa para ustedes recuperar estas

experiencias vividas como alumnos de la educación primaria y

cuáles son los “nuevos” modos de enseñar Matemática que ponen

en práctica hoy en sus aulas.

Observación: Los ítems precedentes sólo pretenden ayudarlos a

ordenar y seleccionar recuerdos de su escolaridad primaria y

contrastarlos con la propuesta del Módulo. No hay que respetar el

orden pero sí su presencia en el texto.

3-Referencias bibliográficas.

Pautas de entrega

Modalidad: individual

Espacio de entrega: El documento deberá enviarse a través de la

sección: "Hacer Matemática resolviendo problemas", que se

encuentra al final de la clase.

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Forma de presentación

Tamaño de la hoja A4, fuente Arial 11 o similar

Márgenes justificados

Pie de página con número de página

Extensión máxima: el desarrollo de la actividad (ítem 2) no debe

superar las 600 palabras (ver tutorial para el conteo de palabras

en foro de consultas)

Fecha de entrega: 6 de Noviembre

Foro de Consultas

Este foro estará abierto durante toda la cursada, aquí podrán hacer

todo tipo de preguntas sobre las clases, las actividades, los trabajos

prácticos y final y en general, sobre cualquier temática en la que necesiten

ayuda y que no estén encuadrados en los otros foros habilitados para cada

clase.

Recuerden: el foro es un punto de encuentro que posibilita socializar las

dudas y, de esta manera, aprender con otros y de otros.

Agrasar, M. y Chemello, G. (2005) “Qué hay que saber sobre Matemática. Un

instrumento de formación del pensamiento", en Revista Monitor de la Educación Nº17,

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junio 2008, Ministerio de Cultura y Educación de la Nación

http://www.me.gov.ar/monitor/nro0/pdf/monitor17.pdf

Chevallard, Y. (2014) “Los números no muerden”. Entrevista de Leonardo Moledo. Página

12. 7 de mayo de 2014 http://www.pagina12.com.ar/diario/ciencia/19-245660-2014-05-07.html

Charlot, B. (2008) “La relación de los alumnos con el saber y con la escuela”,

conferencia dictada en el IV Congreso de Educación, Instituto Crandon, realizado

en Montevideo, los días 28 y 29 de junio de 2008.

Chevallard, Y. Bosch, M. y Gascón, J. (1997) “

ICE-Horsori, Barcelona.

Saiz, I. (2011) “La resolución de problemas en el aprendizaje de la Matemática.

Creencias y realidad”, en AA.VV, , Buenos

Aires, Novedades Educativas.

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Vergnaud, Gerard (1991) “El niño, la matemática y la realidad” , Ed Trillas.

México.

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Cómo citar este texto:

Instituto Nacional de Formación Docente. Clase 02: La resolución de problemas:

priorizar en la escuela un tipo de trabajo matemático. Módulo: Perspectivas para la

enseñanza de la Matemática. Especialización Docente de Nivel Superior en

Enseñanza de la Matemática en la Escuela Primaria. Buenos Aires: Ministerio de

Educación y Deportes de la Nación.

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