Espacio tridimensional
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Objetivos
Describir el espacio tridimensional a
través del sistema de coordenadas
cartesianas
Localizar puntos en el espacio
tridimensional cartesiano
Reconocer las ecuaciones
Sistema de Coordenadas
Cartesianas en Tres
dimensiones Las coordenadas cartesianas (x,y,z)
de un punto P en el espacio son los
números en los cuales los planos
perpendiculares atraviesan P y cortan
los ejes.
Sistema de Coordenadas
Cartesianas en Tres
dimensiones Muchas de las fórmulas establecidas para
el sistema de coordenadas
bidimensionales, puede extenderse a tres
dimensiones.
La distancia entre dos puntos en el
espacio, se usa dos veces el teorema
pitagórico.
Ejemplo: Distancia entre dos
puntos en el espacio Calcule la distancia entre los puntos
(2,-1,3 ) y (1,0,-2)
2 2 2(1 2) (0 1) ( 2 3)
= 1 1 25
= 27
=3 3
d
Vectores en el espacio
En el espacio los vectores se denotan mediante las ternas ordenadas
v = <v1, v2, v3>
El vector cero se denota 0 = <0, 0, 0 >
Usando los vectores unitarios
i =<1, 0, 0>; j = <0, 1, 0>; k = <0, 0, 1>
en la dirección del eje positivo z, la notación empleando los vectores unitarios canónicos o estándar para v es
v = v1i+ v2j +v3k
Vectores en el espacio
Si v se representa por el segmento de
recta dirigido de P(p1, p2, p3) a
Q(q1, q2, q3)
las componentes de v se obtienen
restando las coordenadas del punto
inicial de las coordenadas del punto
final, como sigue
v = <v1, v2,v3> =< q1- p1,q2- p2, q3- p3)
Ejemplo: Hallar las componentes
de un vector en el espacio Hallar las componentes y la longitud del vector v que
tiene punto inicial (-2,3,1) y punto final (0,-4,4). Después, hallar un vector unitario en la dirección de v.
Solución:
El vector v dado mediante sus componentes es
v = <q1- p1,q2- p2, q3- p3>=<0-(-2),-4-3, 4-1> = <2, -7, 3>
A
A
A
A
A