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E.Smerieri & L.Faè Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Il Teorema di Sovrapposizione
degli effettiLaboratorio Liceo Scientifico M.L. King – Genova
26 marzo 2007
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Linearità e sovrapposizione
• La sovrapposizione è valida ogni qualvolta la relazione tra due grandezze è di semplice proporzionalità
• Matematicamente un elemento descritto dall’equazione y = f(x) si
dice lineare se per essa valgono le seguenti proprietà
)( , )( 2211 xfyxfy )( 2121 xxfyy
)( 11 xfy )( 11 xafya
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
• Il teorema vale per circuiti con generatori che forniscono tensioni di forma qualsiasi e costituiti da soli elementi linearicostituiti da soli elementi lineari.
• Si dimostra che se un circuito è realizzato con componenti R - L - C a parametri costanti e da generatori ideali la sua risposta è lineare.
La sovrapposizione degli effettinei circuiti elettrici
La tensione (corrente) in ogni lato è data dalla La tensione (corrente) in ogni lato è data dalla somma algebrica delle tensioni (correnti) dovute ad somma algebrica delle tensioni (correnti) dovute ad ogni singolo generatore agente da solo e passivando ogni singolo generatore agente da solo e passivando gli altri.gli altri.
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Alcuni esempi
1. Circuito resistivo con una lampadina e con due generatori in continua
2. Circuito puramente resistivo (con tre resistenze) e due generatori in continua
3. Circuito RC con due generatori in continua
4. Circuito con due resistenze e un diodo e due generatori in continua
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Circuito con la lampadina
E
I [A] V [V] R[]
0,067 0,102 1,5
0,090 0,187 2,1
0,122 0,564 4,6
0,137 0,743 5,4
0,159 1,022 6,4
0,189 1,451 7,7
0,190 1,481 7,8
0,200 1,681 8,4
0,220 2,04 9,3
0,230 2,23 9,7
0,250 2,53 10,1
0,260 2,72 10,5
0,270 2,98 11,0
0,280 3,20 11,4
0,290 3,48 12,0
0,310 3,96 12,8
Dalla tabella voltamperometrica della prima esperienza effettuata si trova che in corrispondenza di una tensione di circa 4V la corrente è 310 mA
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Con la lampadina NON vale il teorema di sovrapposizione
E1
E1
E2
I [A] V [V]
0,067 0,102
0,090 0,187
0,122 0,564
0,137 0,743
0,159 1,022
0,189 1,451
0,190 1,481
0,200 1,681
0,220 2,04
0,230 2,23
0,250 2,53
0,260 2,72
0,270 2,98
0,280 3,20
0,290 3,48
0,310 3,96
E1 = 1.02 V I1=159 mA
E2 = 2.98 V I2=270 mA
ma in questo caso
E1+ E2 = 4 V
I1+ I2 = 429 mAE2
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Un altro semplice esempioCircuito Lineare
1. Studio con le Leggi di Kirchoff2. Studio con il teorema di sovrapposizione degli effetti
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Studio con i Principi di Kirchoff
213
33222
33111
III
IRIRE
IRIRE
Si trova facilmente
I1 = 2.87 mA I2 = 0.93 mA I3 = 3.8 mA
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Studio con il Teorema di sovrapposizione degli effetti
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Studio con il Teorema di sovrapposizione degli effetti
mA 797.3819.0978.2
mA 930.0377.1447.0
mA 866.2558.0424.3
''3
'33
''2
'22
''1
'11
III
III
III
Il segno meno per I2 indica semplicemente che la corrente circolanel verso opposto a quello prescelto come positivo.
Il risultato è lo stesso di quello ricavato applicando i Principi di Kirchoff
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Il circuito RC e la sovrapposizione degli effetti
• Primo caso : condensatore inizialmente SCARICO
• Secondo caso : condensatore inizialmente CARICO a 2 V
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Circuito RC - Condensatore scarico
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Circuito RC - Condensatore carico
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Il circuito RC e la sovrapposizione degli effetti - Considerazioni
1. Nel Primo caso con il condensatore inizialmente SCARICO il Teorema di sovrapposizione fornisce risultati corretti
2. Nel Secondo caso con il condensatore inizialmente CARICO il Teorema di sovrapposizione non fornisce risultati corretti
Il Teorema di sovrapposizione si può applicare Il Teorema di sovrapposizione si può applicare soltanto se gli elementi circuitali capacitivi (e/o soltanto se gli elementi circuitali capacitivi (e/o induttivi) sono scarichiinduttivi) sono scarichi
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Un semplice esempiodi circuito non lineare
1. Studio con le Leggi di Kirchoff2. Studio con il Teorema di sovrapposizione degli effetti (si vedrà
che non è applicabile)
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Studio con i Principi di Kirchoff
21
222
111
III
VIRE
VIRE
D
D
D
Si trova facilmente, considerando VD ≈ 0.7 V,
I1 = 6.5 mA I2 = 1.13 mA ID = 7.63 mA
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Studio con il Teorema di sovrapposizione degli effetti
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Studio con il Teorema di sovrapposizione degli effetti
mA 312.7873.0439.6
mA 052.1141.1069.0
mA 435.6069.0504.6
'''
''2
'22
''1
'11
DDD III
III
III
Il RISULTATO ottenuto è ERRATO.È differente da quello ricavato applicando i Principi di Kirchoff.
Il Teorema di sovrapposizione si può applicare Il Teorema di sovrapposizione si può applicare soltanto se gli elementi circuitali sono linearisoltanto se gli elementi circuitali sono lineari
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Strumentazione disponibilePrimo Alimentatore
Il generatore fornisce tensioni continue variabilida circa 1.5 V a 30 V e corrente massima 1A
Regolazione
Uscita
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Strumentazione disponibileMultimetro digitale
COM
10A
V – mA -
Funzione
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
• Molto economico
• Tensione d’uscita stabilizzata e variabile a scatti con valori 1.5V- 3V- 4.5V- 6V-7.5V- 9V-12V
Variatore di tensione
Strumentazione disponibileSecondo Alimentatore
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Circuiti per le esperienze proposte
Circuito a)
Circuito b)
1. Studio con Kirchoff2. Studio con la sovrapposizione degli effetti
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Esperienza 1a : Kirchoff1. Misurare le correnti I1,I2,I3 nel circuito a)
2. Calcolare le correnti I1,I2,I3 nel circuito a) applicando le Leggi di Kirchoff
3. Verificare la validità dei risultati ottenuti con il calcolo con quelli misurati
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Esperienza 2a: Sovrapposizione
1. Misurare le correnti I1,I2,I3 nel circuito a)
2. Calcolare le correnti I1,I2,I3 nel circuito a) applicando il teorema di sovrapposizione
3. Misurare le correnti I1,I2,I3 nel circuito a) applicando il teorema di sovrapposizione
4. Verificare la validità dei risultati ottenuti con il calcolo con quelli misurati
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Esperienza 2a: Sovrapposizione
Il Teorema di sovrapposizione si può applicare Il Teorema di sovrapposizione si può applicare perchè la resistenza è un elemento circuitale lineareperchè la resistenza è un elemento circuitale lineare
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Esperienza 1b : Kirchoff1. Misurare le correnti I1,I2,ID nel circuito b)
2. Calcolare le correnti I1,I2,ID nel circuito b) applicando le Leggi di Kirchoff
3. Verificare la validità dei risultati ottenuti con il calcolo con quelli misurati
Nota: Assumere la tensione VD ai capi del diodo circa uguale a 0.7 V
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Esperienza 2b: Sovrapposizione
1. Misurare le correnti I1,I2,ID nel circuito b)
2. Calcolare le correnti I1,I2,ID nel circuito b) applicando il teorema di sovrapposizione
3. Misurare le correnti I1,I2,ID nel circuito b) applicando il teorema di sovrapposizione
4. Verificare la validità dei risultati ottenuti con il calcolo con quelli misurati
Nota: Assumere la tensione VD ai capi del diodo circa uguale a 0.7 V
Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007
Esperienza 2b: Sovrapposizione
Il Teorema di sovrapposizione non si può applicare Il Teorema di sovrapposizione non si può applicare perchè il diodo è un elemento circuitale non lineareperchè il diodo è un elemento circuitale non lineare