esercizi svolti M4 rev.1 - uniroma2.it · compressore funzioni con lo stesso fluido e con le stesse...

1

Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”

Facoltà di Ingegneria

MATERIALE DIDATTICO DI SUPPORTO AL CORSO

DI

MACCHINE 4 Docente: Prof. Ing. Giuseppe Leo GUIZZI

Esercizi Parte 1a

a cura dell’Ing. Alessandro ZACCAGNINI

A.A. 2005/2006

Esercizi di MACCHINE 4 - 1a parte A.A. 2005/06

2

Esercizio n. 1 Un compressore dinamico sia stato progettato per funzionare con aria all’aspirazione a p1=760 mmHg e T1=15°C e con una pressione alla mandata di 4.052 bar (eff.) e presenti una correlazione )f(Φ=Ψ del tipo:

25.13571.11.6071nom

2

nomnom

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ

Φ⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ

Φ⋅−=

ΨΨ

Si calcoli la variazione di portata massica di fluido elaborata dal compressore nel funzionamento con lo stesso fluido, alla stessa velocità di rotazione e alla stessa pressione di mandata, ma con le seguenti condizioni all’aspirazione:

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 p’1 (mmHg) 730 780 730 750 T’1 (°C) 38 38 5 25

RISULTATI

m -mm′

(%) -16.82 -8,02 -0,26 7,01

Esercizio n. 2 Un compressore centrifugo presenti una correlazione )f(Φ=Ψ del tipo:

25.13571.11.6071nom

2

nomnom

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ

Φ⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Φ

Φ⋅−=

ΨΨ

Lo studente calcoli la variazione della portata massica elaborata nel caso in cui detto compressore funzioni con lo stesso fluido e con le stesse p1, T1 e p2 delle condizioni nominali, ma con una velocità di rotazione come di seguito variata:

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 n -n

n′

(%) 20 -10 30 -19

RISULTATI

m -mm′

(%) 37,53 -22,99 54,56 -58,70 (-72,90)*

* il doppio risultato del caso 4 è dovuto alla presenza di un massimo nella curva Ψ = f (Φ) e pertanto il valore tra parentesi è corrispondente ad un punto di funzionamento nel tratto “instabile” della caratteristica del compressore


3

Esercizio n. 3 Un compressore centrifugo sia stato progettato e realizzato per funzionare con i seguenti parametri nominali:

fluido elaborato: aria cp aria=0,25 kcal/kg°C (valore medio) p1 = 1,013 bar (abs.) T1 = 15°C β = 2,8 m = 10 kg/s ηtot= 0,82.

Ove detto compressore venga impiegato per comprimere un diverso fluido come indicato in tabella mantenendo inalterate le condizioni di aspirazione (p1, T1) ed il numero di giri, si calcolino le sue prestazioni (m e β) e l’incremento di potenza assorbita (P/Pnom) nel caso in cui il compressore venga fatto funzionare in condizioni cinematiche prossime a quelle di progetto (si assumano invariate all’ingresso).

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Fluido elaborato CO2 O2 H2 CH4

cp(medio) (kcal/kg°C) 0,20 0,22 3,56 0,43

RISULTATI

β’ 4,59 3,08 1,09 1,83 m′ (kg/s) 15,28 11,11 0,69 5,56 P -P

P′

(%) 52,78 11,11 -93,06 -44.44

Esercizio n. 4 Una pompa centrifuga venga fatta funzionare ad una velocità di rotazione superiore del 20% a quella nominale (n’/n=1.20) lasciando inalterati fluido, temperatura all’aspirazione e prevalenza. La portata elaborata: A – diminuisce? B – resta invariata? C – aumento meno del 20%? D – aumenta del 20%? E – aumenta più del 20%? Dire qual è la risposta esatta e spiegare il perché.


4

Esercizio n. 5 Una girante centrifuga presenti forma e triangoli di velocità caratterizzati dai parametri geometrici e cinematici all’ingresso ed all’uscita come riportati in tabella. Nel caso che detta girante (pompa) funzioni a n giri/min ed elabori acqua a partire da condizioni prossime all’ambiente, facendo le necessarie ed opportune assunzioni (ηv=0,96, ηi=0,95, ηm/e=0,96), si calcolino: • il rapporto b2/D2 (-) • la portata elaborata (litri/s) • la prevalenza (metri di colonna d’acqua) • la potenza assorbita (kW). • Il numero di giri specifico nS

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 D1 (cm) 30 20 50 15 30 15 b1/D1 0,4 0,4 0,4 0,4 0,2 0,4 c1m/u1 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28 0,28

Ingr

esso

c1t/u1 0 0 0 0,05 0 0,05 D2/D1 2,2 2,2 2,2 2,2 1,5 1,5 c2m/u2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

Usc

ita

c2t/u2 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 N (giri/min) 1500 1800 1200 3000 1500 1700

RISULTATI

B2/D2 0,053 0,053 0,053 0,053 0,086 0,166 q (litri/s) 716,30 254,68 2652,95 179,07 358,15 101,48 H (mH2O) 104,08 66,61 185,04 101,40 48,39 14,67 P (kW) 835,37 190,09 5500,37 203,45 194,17 16,68 ns 38,96 38,96 38,96 39,73 48,93 72,23

c2 w2b2

D1

u2

w1c1

u1b1

2


5

1,FUMI: ,f fm T

2, fT

1,

ACQUA:,w wm T

Esercizio n. 6 Uno scambiatore di calore a fasci tubieri e a scambio convettivo fumi-acqua presenti caratteristiche e prestazioni di cui alla tabella sottostante. Volendo aumentare il riscaldamento dell’acqua alla temperatura T’wf, si calcolino: • la nuova temperatura finale

dei fumi (°C); • l’incremento del flusso

termico scambiato (%); • l’incremento della superficie

di scambio (%)

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 fm (kg/s) 108 54 162 125

Tfi (°C) 200 300 166,7 200 Tff (°C) 100 100 100 100 Fu

mi

cpf (kcal/kg°C) 0,25 0,25 ,025 ,025

wm (kg/s) 30 30 30 30

Twi (°C) 50 50 50 50 Aria

cpw (kcal/kg°C) 1 1 1 1 T’wf (°C) 160,2 160,2 160,2 180

RISULTATI

Twf (°C) 140 140 140 154,17 T’ff (°C) 77,56 55,11 85,04 75,20

′Φ − ΦΦ

(%) 22,44 22,44 22,44 24,80

S -SS′

(%) 101,66 184,47 168,81 165,61

Esercizio n. 7 Un compressore monostadio con girante centrifuga a pale radiali di diametro esterno D2 (provvista all’imbocco di “invito” per un corretto accoppiamento del fluido con c1t=0), funzionando con aria aspirata a 15°C e 1.013 bar (abs), presenti le prestazioni nominali di portata volumetrica e rapporto di compressone come riportate in tabella.

D2


6

Si calcolino le nuove prestazioni (portata normale e rapporto di compressione) tali da garantire la similitudine cinematica all’ingresso, qualora detta girante venga “tornita” fino a ridurne il diametro esterno e venga fatta lavorare, alla stessa velocità di rotazione, con aria aspirata a temperatura e pressione come indicato in tabella. Si assuma un rendimento politropico di compressione pari a 0,9.

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 D2 (mm) 600 600 650 1200

q (Nm³/min) 30 25 40 52

β 3,6 5 3,6 2,5

D’2 (mm) 500 500 400 700

T’1 (°C) 30 50 5 30

p’1 (bar abs) 0.97 1,5 0,5 0,97

vm RISULTATI

q′ (Nm³/min) 27,31 33,01 20,45 47,33

β' 2,46 2,97 1,76 1,39

Esercizio n. 8 Un condensatore sia stato dimensionato per mantenere un determinato vuoto (pcond) riscaldando nel contempo la portata di acqua di raffreddamento da Twi a Twu come da tabella. Calcolare in prima approssimazione la nuova temperatura di condensazione ed il corrispondente vuoto (ata) generato, ove il condensatore sia fatto funzionare con la stessa portata (e lo stesso titolo) di vapore entrante, con la stessa temperatura d’arrivo dell’acqua di raffreddamento, ma con una portata di acqua di raffreddamento variata rispetto a quella di progetto.


7

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 pcond (ata) 0,06 0,06 0,05 0,05

Twi (°C) 18 15 15 18

Twf (°C) 26 26 23 26

w w

w

m -mm′

(%) -20 -30 +10 +10

RISULTATI

T’cond 39,57 43,38 31,17 31,39

p’cond 0,074 0,090 0,046 0,047

Esercizio n. 9 Un compressore centrifugo monostadio prodotto in USA sia garantito per fornire le seguenti prestazioni nominali:

• fluido aspirato: aria secca in condizioni ISO (T1=15°C p1=760 mm Hg) • portata massica elaborata: 30 kg/s • rapporto di compressione: β=2.8 • velocità di rotazione: n=3600 giri/min • rendimento globale: η=81.8%

Si calcolino le nuove prestazioni nominali:

• portata massica • rapporto di compressione

ove detto compressore venga installato in Italia e come tale azionato a n=3000 giri/min.

Esercizio n. 10 Una TG a ciclo aperto semplice di tipo heavy-duty risponda ai dati nominali (per funzionamento a scarico libero con aria ambiente pulita) indicati in tabella: Tale macchina venga utilizzata per la realizzazione di un impianto combinato in un sito industriale caratterizzato da aria pulverulenta. A tal fine: • all’ingresso del compressore venga installata una batteria di filtri che produca una

perdita di carico sull’aria aspirata come indicato in tabella;


8

• allo scarico del turboespansore venga installato un GVR che nel suo attraversamento da parte dei fumi produca una perdita di carico come indicato in tabella.

Sulla base di opportuni calcoli e, per quanto necessario, di ragionevoli assunzioni e semplificazioni, si valutino:

la nuova potenza utile il nuovo rendimento netto della TG.

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 β 10,5 10,5 10,5 10,5

Tmax (°C) 1080 1080 1080 1080

ηpol, esp. (%) 85 85 85 85

ηtot (%) 30,8 30,8 30,8 30,8

Lc/Le 0,60 0,60 0,60 0,55

P= potenza netta erogata (MW) 27,4 27,4 27,4 27,4

inp∆ (mm H2O) 400 100 1000 400

GVRp∆ (mm H2O) 700 1000 100 700

RISULTATI

P’ (MW) 22,47 23,27 20,87 22,90

η’globale (%) 26,29 26,41 26,01 26,79

Esercizio n. 11 Un compressore centrifugo monostadio fornisca le prestazioni nominali riportate in tabella, aspirando aria secca in condizioni ISO (T1=15°C p1=760 mm Hg). Si completino i dati nominali di cui alla tabella calcolando:

1) la portata massica elaborata m (kg/s); 2) la potenza assorbita dal compressore P(kW).

Ove detto compressore funzioni sempre a 3000 giri/min, ma aspirando aria umida alle nuove condizioni indicate in tabella, si calcolino le nuove prestazioni nominali (di max rendimento):

3) portata massica elaborata m′ (kg/s) 4) pressione di mandata p2’ (bar abs) 5) potenza assorbita P’(kW)

Si proceda sotto le seguenti assunzioni:


9

1,

FUMI: ,f fm T

2, fT

1,

ACQUA:,w wm T

• p.m. medio aria secca pari a 28,96 kg/kmole; • cp aria costante e pari a 1,05 kJ/(kg.K); • cp del vapore costante e pari a 2,10 kJ/(kg.K); • rendimento globale invariato

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 q (m³/s) 22 22 50 50

β 3,05 3,05 2,5 2,7

ηtot (%) 83 83 84 85

n (giri/min) 3000 3000 1500 1800

DATI DI FUNZIONAMENTO NOMINALE DERIVATO

T1’ (°C) 36 15 100 36

p1’ (mmHg) 720 760 750 740

u (%) 100 50 20 100

RISULTATI

m (kg/s) 26,95 26,95 61,24 58,82

P (MW) 3502 3502 6280 6533

m′ (kg/s) 23,23 26,86 43,08 54,30

p2’ (bar abs) 2,69 3,08 1,97 2,47

P’ (MW) 3019 3490 4148 6031

Esercizio n. 12 Uno scambiatore di calore a superficie funzionante in equicorrente presenti le seguenti caratteristiche operative nominali, che assumono i valori riportati in tabella: lato caldo: fumi

portata ( fm ) temperatura d’ingresso (Tf1) temperatura d’uscita (Tf2)

lato freddo: acqua portata ( wm ) temperatura d’ingresso (Tw1)

Si completi innanzitutto il calcolo delle grandezze nominali con: 1) il flusso termico scambiato Ф(kW) 2) la temperatura d’uscita dell’acqua Tw2 (°C)


10

3) il ∆T medio logaritmico dello scambio termico ∆Tml (°C) Nell’ipotesi di funzionamerto in un nuovo assetto operativo con fluidi e temperature d’ingresso dei due fluidi invariate, con portata del fluido freddo invariata ma con portata del fluido caldo variata come indicato in tabella si individuino:

4) La variazione del coefficiente di scambio termico K

KK −′ (%)

5) le nuove temperature di uscita dei fluidi caldo e freddo T’f2(°C) e T’w2 (°C) 6) il nuovo flusso termico scambiato Ф’(kW) Si proceda nei calcoli sotto le seguenti assunzioni, ipotesi e approssimazioni: • cp fumi costante e pari a 1,13 kJ/kg°C • c acqua costante e pari a 4,18 kcal/kg°C • assenza di perdite di calore dello scambiatore verso l’esterno

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 fm (kg/s) 2,0 1,0 2,0 2,0

Tf1 (°C) 200 180 210 170

Tf2 (°C) 92 72 88,7 110

wm (kg/s) 1,12 0,56 1,12 1,12

Tw1 (°C) 30 10 30 25

DATI DI OFF DESIGN

f

ff

mmm −′

(%) -20 +15 +20 -30

RISULTATI

Φ (kW) 244,1 122,0 274,1 135,6

Tw2 (°C) 82,1 62,1 88,6 54,0

∆Tml (°C) 56,25 56,25 25,21 93,57

KKK −′

(%) -16,3 +11,8 +15,7 -24,8

T’f2 (°C) 84,95 76,68 96,10 104,76

T’w2 (°C) 74,43 67,36 95,98 47,05

Φ’ (kW) 208,02 134,27 308,9 103,22

Esercizio n. 13 Un compressore centrifugo monostadio progettato per funzionare con aria risponda alle caratteristiche nominali (di progetto) riportate in tabella:


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Si completino i dati nominali con il calcolo di: 1) portata massica elaborata m (kg/s) 2) rapporto di compressione β 3) temperatura di mandata T2(°C) 4) potenza assorbita P(kW). Nel caso in cui il medesimo compressore venga impiegato a pari n (giri/min) per comprimere CO2 a partire dalle nuove condizioni all’aspirazione riportate in tabella si calcolino le nuove grandezze nominali della macchina e precisamente: 5) nuovo rapporto di compressione β’ 6) temperatura di mandata T’2 (°C) 7) portata elaborata m′ (kg/s) 8) potenza assorbita P’(kW). Si proceda sotto le seguenti assunzioni ed approssimazioni:

• p.m. medio aria secca pari a 28,96 kg/kmole; • cp e k=cp/cv costanti con T e pari rispettivamente a:

per l’aria cp=1,00 kJ/kg°C e k=1.41 per la CO2 cp=0,86 kJ/kg°C e k=1.28

• rendimenti interno e totale nel punto nominale invariati al variare del fluido elaborato

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Tasp (°C) 25 12 25 5

pasp (mmHg) 760 740 1082 730

pmandata (bar rel) 1,8 2,3 1,8 1,8

q (m³/s) 3 20 5 7

ηis (%) 88,5 88,5 88,5 88,5

ηtot (%) 81,5 81,5 81,5 81,5

DATI DI FUNZIONAMENTO NOMINALE DERIVATO T’asp (°C) 45 12 45 174

p’asp (bar rel) 0,4 0,2 0 0,4

RISULTATI m (kg/s) 3,551 24,10 8,43 8,53

β 2,78 3,33 2,25 2,85

T2 (°C) 141,5 147,0 114,5 116,9

P (kW) 449 3533 819 1036

β' 4,31 6,14 3,20 2,85

T’2 (°C) 180,5 169,0 149,0 304,1

m′ (kg/s) 7,05 45,03 8,43 11,71

P’ (kW) 892 6602 819 1422


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Esercizio n. 14

Un condensatore installato allo scarico di una TV risponda ai seguenti dati nominali di progetto che assumono i valori riportati in tabella: • portata vapore entrante : vm • titolo del vapore all’ingresso: x • pressione di condensazione: pcond • temperatura d’ingresso acqua di

raffreddamento:Tw1 • ∆T uscita-ingresso acqua di raffr. ∆Tw=8°C Lo studente completi innanzitutto i dati nominali calcolando: 1) la temperatura di condensazione Tcond(°C) 2) il flusso termico da sottrarre nella condensazione Ф (kW) 3) la portata di acqua di raffreddamento wq (m³/s) 4) il ∆T medio logaritmico di scambio nel condensatore ∆Tml (°C) Lo studente calcoli quindi, per condizioni di “fuori progetto”: 5) la nuova pressione di condensazione p’cond(bar abs) nel caso in cui, a parità di tutte

le altre grandezze entranti, la temperatura d’ingresso dell’acqua di raffreddamento sia variata come riportato in tabella;

6) la nuova portata di acqua di raffreddamento wq ′′ (m³/s) da assicurare al condensatore affinché nel predetto caso di incremento della Tw1 si ripristini la Tcond nominale.

Si proceda sotto le seguenti assunzioni ed approssimazioni: • c dell’acqua di raffreddamento del condensatore costante e pari a 4,18 kJ/kg°C • densità dell’acqua di raffreddamento del condensatore pari a 1000 kg/m³ • variazione di differenza entalpica di condensazione del vapore trascurabile al variare

delle condizioni di funzionamento


13

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 vm (kg/s) 60 85 110 60

x 0,88 0,95 0,85 0,88

Pcond (bar abs) 0,06 0,05 0,06 0,074

Tw1 (°C) 24 17 24 28

∆Tw (°C) 8 8 6 8

DATI DI OFF DESIGN

∆Tw1 (°C) +4 +5 +6 -4

RISULTATI

Tcond (°C) 36,16 32,88 36,16 40,04

Φ (kW) 127521 195657 225819 127032

wq (m³/s) 3,81 5,85 9,00 3,80

∆Tml (°C) 7,46 11,41 8,82 7,33

p’cond (bar abs) 0,074 0,066 0,083 0,060

wq ′′ (m³/s) 5,98 9,08 19,86 2,75


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SVOLGIMENTO ESERCIZI

Svolgimento Esercizio n. 1 (caso1) Per calcolare come richiesto la variazione di portata massica è necessario preventivamente calcolare il rapporto Ψ/Ψnom , dove il coefficiente di pressione Ψ reale è così definito:

( )12 21 1

1pisc TL

u u

εβ⋅ ⋅ −Ψ = =

Considerando che la velocità di rotazione è mantenuta costante, che la macchina elabora aria (ε = 0,2857) e che i valori di β(=βnom) e β’ possono essere così calcolati

2

1

2

1

4,052 1,013 5,001,013

4,052 1,013 5,217301,013760

pp

pp

β

β

+= = =

′ +′ = = =′ ⋅

Si può scrivere:

( )( )

( )( )

( )( )

0,285721 11

2 0,28571 1 1

1 1 5,21 1311,15 1,114288,151 1 5,00 1

p

p

c T Tuu c T T

ε ε

ε ε

β β

β β

′ ′ ′ ′⋅ ⋅ − ⋅ − −′Ψ= = = ⋅ =

′Ψ ⋅ ⋅ − ⋅ − −

Utilizzando quindi la correlazione data Ψ=f(Φ) è possibile ricavare Φ’/Φ (trascurando chiaramente la soluzione priva di significato fisico)

( )

( )

21,3571 1,3571 4 1,6071 1, 250,935

2 1,6071

′Ψ⎛ ⎞− − − ⋅ − ⋅ −⎜ ⎟′ ΨΦ ⎝ ⎠= =Φ ⋅ −

A questo punto è possibile scrivere, ricordando la legge di proporzionalità valida per il coefficiente di portata:

qn

Φ ∝

e quindi

qq

′ ′Φ=

Φ

Considerando poi la relazione che lega la portata massica a quella volumetrica si può calcolare quanto richiesto:


15

11 1 1

1

m q q m ρρ ρρ

′′ ′Φ Φ′ ′ ′ ′= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅Φ Φ

1 1 1

1 1 1

730 288,151 1 0,935 1 16,82%760 311,15

p Tm mm p T

ρρ

′ ′′ ′ ′− Φ Φ= ⋅ − = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − = −

′Φ Φ

Svolgimento Esercizio n. 2 (caso1) Per calcolare come richiesto la variazione di portata massica è necessario preventivamente calcolare il rapporto Ψ/Ψnom , dove il coefficiente di pressione reale Ψ è così definito:

( )12 21 1

1pisc TL

u u

εβ⋅ ⋅ −Ψ = =

Considerando che l’unica grandezza variata è la velocità di rotazione che viene aumentata del 20 %, mentre tutte le altre grandezze rimangono costanti (condizioni all’aspirazione e pressione di mandata) e che anche il fluido rimane lo stesso, si può scrivere:

( )( )

2 2 21 1 1

2 2 2 21 11

1 1 0,694(1,2 ) 1,21

p

p

c T u u nu u nc T

ε

ε

βψψ β

′ ′⋅ ⋅ −′= = = = =

′ ′ ⋅⋅ ⋅ −

Utilizzando quindi la correlazione data Ψ=f(Φ) è possibile ricavare Φ’/Φ (trascurando chiaramente la soluzione priva di significato fisico)

( )

( )

21,3571 1,3571 4 1,6071 1, 251,146

2 1,6071

′Ψ⎛ ⎞− − − ⋅ − ⋅ −⎜ ⎟′ ΨΦ ⎝ ⎠= =Φ ⋅ −

A questo punto è possibile scrivere, ricordando la legge di proporzionalità valida per il coefficiente di portata:

qn

Φ ∝

e quindi

q nq n

′ ′Φ= ⋅

′Φ

Considerando poi la relazione che lega la portata massica a quella volumetrica si può calcolare quanto richiesto:

11 1 1

1

n n nm q q m mn n n

ρρ ρρ

′′ ′ ′ ′ ′ ′Φ Φ Φ′ ′ ′ ′= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅Φ Φ Φ


16

1

1

1 1,146 1,2 1 37,53%nm mm n

′′ ′− Φ= ⋅ − = ⋅ − =

Φ

Svolgimento Esercizio n. 3 (caso1) Considerando che le condizioni di funzionamento in ingresso sono prossime a quelle di progetto è possibile assumere

1′Φ

=Φ

e di conseguenza dovrà essere

1′Ψ

=Ψ

Pertanto avendo supposto invariato il numero di giri si ha che:

( ) ( )1 11 1p pL c T c TL

ε εβ β′′ ′Ψ ′ ′ ′= ⇒ ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ −Ψ

È pertanto possibile ricavare il nuovo rapporto di compressione una volta noti i valori di ε per l’aria e ε’ per la CO2

( ) ( )1 1

0,2758 0,2257

0, 25 / 0,27581,986 /28,8 /

0,20 / 0,22571,986 /44 /

1 0,25 2,8 11 1 4,59

0,20

p

p

p

p

c kcal kgkcal kmoleRkg kmole

c kcal kgkcal kmoleRkg kmole

cc

ε ε

ε

ε

ββ

′

= = =

′′ = = =

′

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ − ⋅ −′ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + = + =

′⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Per ricavare la portata massica, essendo

qn

Φ ∝

si ha più semplicemente:

1 1

1 1

1q mq m

ρρ

′′ ′Φ= = ⋅ =

′Φ

⇓


17

1 1 1

1 1 1

. . 28,8 10 15,28 /. . 44

p R T p mm m m m kg sR T p p m

ρρ

′ ′ ′⋅′ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =′ ′⋅

Utilizzando le espressioni ricavate per i lavori specifici e per le portate massiche si determina l’incremento di potenza assorbita supponendo η’tot=ηtot :

. . 441 1 1 1 52,78%. . 28,8

P P m L m p mP m L m p m

′ ′ ′ ′ ′− ⋅= − = − = − = − =

⋅

Svolgimento Esercizio n. 4 Scrivendo l’espressione del coefficiente di pressione, con il lavoro espresso in forma idraulica, è possibile osservare che, risultando costante la prevalenza, tale coefficiente dovrà diminuire al crescere della velocità di rotazione:

2

H gu⋅

Ψ =

Considerando poi la generica curva caratteristica di una macchina operatrice si può affermare che ad una diminuzione di Ψ corrisponde un aumento di Φ. Ricordando inoltre la proporzionalità esistente per la portata volumetrica

3q n D∝ Φ ⋅ ⋅ ⇓

1, 2nq q qn

′ ′Φ′ = > ⋅Φ

è possibile trarre la conclusione che l’aumento di portata sarà maggiore del 20%.

Svolgimento Esercizio n. 5 (caso1) Essendo il fluido elaborato incomprimibile la portata volumetrica sarà costante in ogni sezione pertanto si ha che:

1 2 1 1 1 2 2 2g g m mq q b D c b D cπ π= ⇒ = Dividendo per 2

2D , riordinando e facendo le dovute semplificazioni è possibile scrivere:


18

2 3 331 1 1 12 1 1 1 1 2 1 1

2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2

/ 0, 280,4 2,2 0,053/ 0,2

m m m

m m m

c c c ub b D b D u b DD D D c D D u c D D c u

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Considerando l’equazione del moto rotatorio 60nu Dπ= è possibile calcolare la portata

volumetrica. Riferendoci quindi alla sezione di ingresso, dividendo e moltiplicando per 1u e per 1D l’espressione prima data di 1gq , si ha :

2 3 2 3111 1

1 1

1500 0,03 0,4 0,28 746,1 /60 60

mg

cbnq D l sD u

π π= = ⋅ ⋅ =

Da cui si ricava la portata elaborata dalla pompa:

716,30 /g vQ q l sη= ⋅ = La prevalenza di girante sarà data dal lavoro di Eulero:

22 2 22 2 1 1 2 2 22 12

2 2 1

1 1 1 15000,2 2.2 0,03 109,569,81 60

t t t tEg

u c u c c cL DH u u mg g g u g u D

π⋅ − ⋅= = = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Pertanto la prevalenza della pompa sarà:

109,56 0,96 104,08g iH H mη= ⋅ = ⋅ = Si può calcolare infine la potenza:

3

/ /

9,81 104,08 716,30 10 835,70,96

g gkW

v i m e m e

g H Q g H QP kWη η η η

−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =

⋅ ⋅

Il numero di giri specifico, esprimendo le portate in m³/s, le prevalenze in metri e la velocità di rotazione in giri al minuto è il seguente:

1/ 2

3/ 4 38,96sn QnH⋅

= =

Svolgimento Esercizio n. 6 (caso1) Come primo passo occorre completare i dati di funzionamento applicando l’equazione di bilancio termico:

( ) ( )f pf fi ff w pw wf wim c T T m c T TΦ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ −

⇓


19

( ) ( )108 0,25 200 100

50 14030 1

f pf fi ffwf wi

w pw

m c T TT T C

m c⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −

= + = + = °⋅ ⋅

Per il calcolo della nuova Tff è ancora necessario applicare le equazioni di bilancio termico e si ottiene quindi:

( ) ( )30 1 160,2 50200 77,56

108 0,25w pw wf wi

ff fif pf

m c T TT T C

m c

′⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −′ = − = − = °

⋅ ⋅

Per il calcolo dell’incremento del flusso termico ovviamente ci si può riferire al calore scambiato, nei due casi, da uno qualsiasi dei due fluidi, e, non essendoci variazione delle portate massiche l’equazione risulta così semplificata:

100 77,56 22,44 %200 100

ff ff

fi ff

T TT T

′−′Φ − Φ −= = =

Φ − −

Si possono quindi tracciare i profili di scambio termico, per i due casi. Avendo tracciato tali rette riportando in ascissa la percentuale di flusso termico scambiato, si ha un’apparente variazione della pendenza delle rette stesse, che non deve però essere interpretata come una variazione del coefficiente globale di scambio termico.

Infatti, come detto, le portate sono rimaste costanti, pertanto il coefficiente di scambio termico può anche esso essere ritenuto costante. Pertanto un maggior flusso termico scambiato si può ottenere solo con un aumento della superficie di scambio. Si scrive quindi l’equazione di scambio sia per il primo che per il secondo caso (attenzione NON è un funzionamento di off design, si stanno considerando due distinti scambiatori che operano in similitudine termica):

ml

ml

k S Tk S T

Φ = ⋅ ⋅∆′ ′ ′Φ = ⋅ ⋅∆

con

140,00

200,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Φ

T (°C)

160,20

200,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Φ'

T (°C)


20

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

200 140 100 5054,85

200 140lnln 100 50

200 160, 2 77,56 5033,30

200 160, 2lnln 77,56 50

fi wf ff wiml

fi wf

ff wi

fi wf ff wiml

fi wf

ff wi

T T T TT C

T TT T

T T T TT C

T TT T

− − − − − −∆ = = = °

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠−⎝ ⎠

′ ′− − − − − −′∆ = = = °

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞′−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ −′ ⎝ ⎠−⎝ ⎠

Facendo il rapporto tra le due espressioni è possibile ricavare il rapporto S’/S e quindi calcolare l’incremento percentuale di superficie:

( )( )

( )( )200 77,56' 54,851 1 1 101,66 %200 100 33,30

fi ffml ml

ml mlfi ff

T TT TS SS T TT T

′− −′ ∆ ∆− Φ= − = − = − =

′ ′Φ ∆ ∆ −−

Svolgimento Esercizio n. 7 (caso1) Per garantire la similitudine cinematica all’ingresso della girante è necessario che le portate volumetriche reali siano uguali nei due casi. Scrivendo quindi la relazione che lega la portata volumetrica normale a quella reale è possibile ricavare la nuova portata volumetrica normale:

n nn nq q qρ ρ

ρ ρ′= =

′

⇓

31 1

1 1

0,97 288,1530 27,31 / min1,013 303,15n n n

p Tq q q Nmp T

ρρ

′′′ = = = =

′

Per il calcolo del nuovo rapporto di compressione è necessario innanzitutto ricordare l’espressione del lavoro nella forma di Eulero, in modo da ricavare una relazione che lega il nuovo lavoro a quello nominale:

22 2 1 1 2E t tL c u c u u= ⋅ − ⋅ =

⇓ 2 2

2 22 22 2

E E Eu DL L Lu D′ ′

′ = =

Utilizzando poi l’espressione termodinamica del lavoro è possibile ricavare il nuovo rapporto di compressione :


21

1 1polE REALE pL L c T

εηβ

⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

⇓ 0,9

0,2857 0,28572 20,91 2

2 21 2

288,15 0,51 1 3,6 1 1 2,46303,15 0,6

pol

polT DT D

ηε ε

ηβ β⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞′⎢ ⎥′ ⎜ ⎟= − + = − + =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟′⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

Svolgimento Esercizio n. 8 (caso1) L’assunzione fatta riguardo la portata ed il titolo del vapore entrante ci permette di affermare che il flusso di calore scambiato è costante (per verificare la validità dell’assunzione fatta basta osservare che il calore di condensazione per Tcond che varia tra 308,15 e 312,15 K è compreso tra 577,5 e 575,2 kcal/kg cioè con una variazione massima dello 0,4%) Utilizzando quindi l‘equazione di equilibrio nei due diversi casi di funzionamento è possibile ricavare la nuova temperatura di uscita dell’acqua di raffreddamento.

1vap vapw w w

w w w vwap vap

m Hm c Tm c T m H

′ ′⋅ ∆′ ′′ ⋅ ⋅∆Φ= = ≅

Φ ⋅ ⋅∆ ⋅∆

⇓ 1 8 10

0,818 10 28

ww w

w

wu wi w

mT T Cm

T T T C

′∆ = ∆ = ⋅ = °′

′ ′= + ∆ = + = °

La variazione di portata, stante la costanza del flusso termico, determina quindi una variazione del salto di temperatura dell’acqua di raffreddamento, varia cioè l’inclinazione della retta relativa dei profili di scambio termico. Utilizzando ora l’equazione di scambio e supponendo che valga la nota relazione tra coefficienti globali di scambio termico e portate del fluido che scambia peggio, è possibile ricavare le nuove condizioni di condensazione del vapore.

0,8

1 ml w ml

ml w ml

k S T m Tk S T m T

⎛ ⎞′ ′ ′ ′′ ⋅ ⋅∆ ∆Φ= = = ⋅⎜ ⎟Φ ⋅ ⋅∆ ∆⎝ ⎠

È quindi necessario leggere da tabella la condT corrispondente a 0,06 ata,

(309,15 308,15)308,15 (0,06 0,05732) 308,98 35,83(0,06056 0,05732)condT K C−

= + − ⋅ = = °−

calcolare poi sia il vecchio che il nuovo mlT∆


22

0,8 0,8

26 18 13, 4335,83 18ln35,83 26

1 13, 43 16,060,8

ml

wml ml

w

T C

mT T Cm

−∆ = = °

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′∆ = ⋅ ∆ = ⋅ = °⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Ed infine, dall’espressione del mlT ′∆ la nuova condT ′

( ) ( )

1016,06

1016,06

ln

28 18 39,5711

w

ml

w

ml

cond wi cond wuml

cond wi

cond wu

TT

wu wicond T

T

T T T TT

T TT T

T e T eT Cee

′∆′∆

′∆′∆

′ ′ ′− − −′∆ =

⎛ ⎞′ −⎜ ⎟′ ′−⎝ ⎠

′ ⋅ − ⋅ −′ = = = °−−

È pertanto possibile tracciare i profili di scambio termico, validi nelle due condizioni di funzionamento:

Sempre da tabella si ricava la nuova pressione di condensazione:

( ) 0,07519 0,071280,07128 312,72 312,15 0,074313,15 312,15condp ata−′ = + − ⋅ =

−

26,0028,00

18,00

35,8335,83

39,5739,57

15,00

30,00

45,00

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Φ

T (°C)


23

Svolgimento Esercizio n. 9 Si tratta di individuare un nuovo punto di funzionamento nominale per il compressore, con fluido (aria; ε = 0,2857) e condizioni all’ingresso immutate ed unica variabile modificata il numero di giri. È quindi immediato ricavare la nuova portata massica partendo dalla proporzionalità che la lega al coefficiente di portata:

1

1

m Tp n

⋅Φ ∝

⋅

⇓

1 1

1 1

30001 30 25 /3600

T pm n nm m kg sm p T n n

′′ ′ ′Φ ′= = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ =′ ′Φ

e ricavare il nuovo rapporto di compressione dalla proporzionalità che lo lega al coefficiente di pressione:

( )12 2

1pisc TL

n n

εβ⋅ ⋅ −Ψ ∝ =

⇓ ( )( ) ( ) ( )

2 21

221

11 1 1

1p

p

c T n nn nc T

εε ε

ε

ββ β

β

′′ ′ ′⋅ ⋅ −′ ′Ψ ′= = ⋅ ⇒ − = − ⋅′Ψ ⋅ ⋅ −

( ) ( )1 1

2 2 0,28570,285730001 1 2,8 1 1

3600nn

εεβ β

⎡ ⎤ ⎡ ⎤′⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = ⋅ − + = ⋅ − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Svolgimento Esercizio n. 10 (caso1) Per poter calcolare la nuova potenza erogata, è necessario conoscere la nuova portata massica ed il nuovo lavoro di gruppo, come differenza tra il lavoro reale assorbito dal compressore e quello fornito dal turboespansore. Compressore Essendo l’impianto del tipo monoalbero, la velocità di rotazione è fissa ed imposta dalla frequenza di rete. Supponendo pertanto di lavorare in un punto nominale derivato, dovrà essere costante la portata volumetrica in ingresso al compressore, mentre la portata massica varierà in funzione dell’entità della perdita di carico all’ingresso:


24

11

1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

0,041 1 0,9611,02

amb in

q nm Tq

p

p pq m p T pm m m m mq m p T p p

∝ Φ ⋅⋅

∝

′ ′ ′ ′ − ∆⋅ ⋅ ⎛ ⎞′= = ⇒ = ⋅ = ⋅ = ⋅ − = ⋅⎜ ⎟′ ′⋅ ⋅ ⎝ ⎠

Chiaramente avendo assunto di lavorare in un punto di funzionamento nominale derivato risulterà costante anche il lavoro di Eulero ed il rendimento del compressore, e quindi il rapporto di compressione del compressore. È dunque possibile calcolare la nuova pressione di uscita dal compressore stesso:

( )2 1 1c c inp p p pβ β′ ′= ⋅ = ⋅ − ∆

Turboespansore Per semplicità si può supporre nulla la perdita nella camera di combustione, ed assumere pertanto:

2 3p p′ ′= Calcolando il nuovo βe del turboespansore si osserva subito che questo sarà minore per due motivi: 1 – riduzione della pressione di ingresso in turbina 2 – riduzione della pressione all’uscita della turbina Pertanto si può calcolare come segue:

3 1

4 4

1,02 0,04 0.91,02 0,07

c amb ine c c c

amb GVR

p p p pp p p p

ββ β β β′ ′ − ∆ −′ = = = = ⋅ = ⋅′ ′ − ∆ −

Supponendo ora costante la temperatura massima di ciclo, il calore specifico medio ed i rendimenti politropici di espansione, si calcola, semplificando, il rapporto tra i lavori reali di espansione:

( )( )

( )( )

0,2857 0,853

0,2857 0,853

1 10,5 0,9 10,941

10,5 11

pol

pol

p ee

e p e

c TLL c T

ε η

ε η

β

β

′ ′⋅ ⋅

⋅⋅

′ ′ ′⋅ ⋅ − ⋅ −′= = =

−⋅ ⋅ −

Gruppo Si hanno ora a disposizione tutti i dati necessari a poter calcolare la nuova potenza erogata, infatti essendo:

g e cL L L= − considerando che il lavoro del compressore è rimasto invariato, ed avendo come dato

0,6c eL L= ⋅


25

È possibile esprimere il rapporto tra i due lavori senza doverli calcolare:

0,941 0,6 0,8530,6

g e c e e

g e c e e

L L L L LL L L L L

′ ′ ′− ⋅ − ⋅= = =

− − ⋅

La nuova potenza erogata, quindi, assumendo in prima approssimazione il rendimento meccanico organico elettrico costante (in realtà sono le perdite ad essere costanti essendo fondamentalmente funzione del quadrato del numero di giri) può essere così espressa:

/ /

/ /

27,4 0,961 0,853 22,47g m o e

g m o e

LmP P MWm L

ηη

′′′ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

′

Per calcolare il nuovo rendimento globale, è necessario innanzitutto conoscere la legge con cui varia il flusso termico. Si osserva che la riduzione della portata massica determina una corrispondente riduzione del flusso termico (e quindi della portata di combustibile), avendo assunto costante il salto di temperatura, il calore specifico ed il rendimento in camera di combustione.

pComb cc

Comb cc p

m c TQ mQ m c T m

ηη

′ ′ ′⋅ ⋅∆′ ′= ⋅ =

′ ⋅ ⋅∆

Si ha quindi la seguente espressione del rendimento globale:

0,308 0,853 26,29 %

g

g g gtot tot

Comb Comb g gComb

LmPm L L LP P

mQ Q L LQm

η η

′′⋅ ⋅

′ ′′′ = = = ⋅ = ⋅ = ⋅ =′′ ⋅⋅

Svolgimento Esercizio n. 11 (caso1) Per calcolare la portata in massa è necessario calcare la densità dell’aria all’ingresso. Ciò può essere fatto sia applicando direttamente l’equazione di stato dei gas perfetti, esprimendo le pressioni in Pa, sia facendo riferimento alla densità in condizioni normali. Questo secondo metodo è indipendente dall’unità di misura utilizzata per le pressioni in quanto queste compaiono sotto forma di rapporto:

328,96 760 273,15 1,225 /22,414 760 288,15

nn

n

Tp kg mp T

ρ ρ= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

1,225 22 26,95 /m q kg sρ= ⋅ = ⋅ =

Si calcola quindi la potenza assorbita dal compressore


26

( )1 13502pis

tot tot

m c Tm LP kWεβ

η η

⋅ ⋅ ⋅ −⋅= = =

avendo preventivamente calcolato

, ,

/ . . 8,314 / 28,96 0,27341,05

aria ariaaria

p aria p aria

R R p mc c

ε∗

= = = =

Per determinare il valore assunto dalle stesse grandezze nelle nuove condizioni di funzionamento è sufficiente calcolare la densità della miscela di aria umida satura nelle condizioni date. Infatti, considerando che si sta ipotizzando di lavorare in un punto di funzionamento nominale derivato (di massimo rendimento) ed avendo ipotizzato di mantenere il numero di giri costante si avrà che la macchina elaborerà la stessa portata volumetrica di fluido e scambierà con esso lo stesso lavoro specifico. Ricavando quindi dalle tabelle del vapore saturo la pressione di saturazione del vapore a 36°C che è pari a psat = 0,0595 bar, ed utilizzando le note formule valide per l’aria umida si ha:

barp 960,00133,07201 =⋅=′

barTpup satvap 0595,0)( 1 =′⋅=

0411,00595,0960,0

0595,096,28

18....

=−

⋅=−′

⋅=vap

vap

aria

vap

ppp

mpmp

x

( ) 3

5

1

/014,115,309

96,288314

100595,0960,0 mkgTR

p

aria

ariaaria =

⋅

⋅−=

′⋅′

=ρ

( ) 3/056,11 mkgpx ariamisc =′⋅+=ρ

Pertanto la nuova portata massica sarà

skgqm misc /23,2322056,1 =⋅=⋅=′ ρ

e la nuova potenza:

3020350195,2623,23

=⋅=⋅′

=′ PmmP

Essendo però richiesto di calcolare anche il nuovo valore della pressione di mandata, è necessario completare il calcolo delle caratteristiche termodinamiche della miscela, e calcolare quindi:

KkgkJx

cxcc vappariap

miscp ⋅=+

⋅+= /091,1

1,,

,


27

KkgkJx

RxRR vaparia

misc ⋅=+

⋅+= /294,0

1

2694,0,

==miscp

miscmisc c

Rε

Dalla costanza del lavoro specifico si può quindi calcolare quanto richiesto:

( ) ( )11 1,1, −⋅⋅=−′⋅′⋅⇒=′ ariamisc TcTcLL ariapmiscpisisεε ββ

⇓

( ) ( ) 80,21

15,309091,1105,305,11

1 2694,01

2734.01

1,

, =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⋅−⋅

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

′⋅

−⋅=′

miscaria

Tcc

miscp

ariapεεβ

β

La nuova pressione di mandata sarà quindi:

barpp 69,280,2960,012 =⋅=′⋅′=′ β

Svolgimento Esercizio n. 12 (caso1) Come primo passo occorre completare i dati di funzionamento applicando l’equazione di bilancio termico:

( ) ( ) kWTTcm fffpf 1,2449220013,1221, =−⋅⋅=−⋅⋅=Φ

Ccm

TTww

ww °=⋅

+=⋅

Φ+= 1,82

18,412,11,2443012

( ) ( ) C

TT

TTTml °=

−−

−+−=

∆∆

∆−∆=∆ 25,56

1,829230200ln

1,829230200

ln2

1

21

Per il calcolo della variazione del coefficiente di scambio termico, ci si può avvalere con buona approssimazione della relazione che lo lega alla portata in massa del fluido che scambia peggio, in questo caso i fumi:

( ) %3,1618,018,011 8,0

8,08,0

−=−=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′=−

′=

−′

f

f

f

f

mm

mm

kk

kkk


28

Per il calcolo poi delle nuove grandezze, flusso termico e temperature di uscita dei fluidi, è necessario impostare un sistema di tre equazioni in tre incognite, in cui due incognite (le temperature di uscita dei fluidi) compaiono anche nell’argomento della funzione logaritmo naturale. Per la risoluzione del sistema è possibile seguire diverse strade, qui se ne propone una delle tante. Scrivendo le due equazioni di equilibrio in forma di rapporto si ha:

ΦΦ′

∆=′∆⇒∆

′∆=

∆⋅⋅′∆⋅⋅′

=ΦΦ′

www

w

www

www TTTT

TcmTcm

ΦΦ′

⋅′∆⋅

=′∆⇒∆⋅

′∆⋅′=

∆⋅⋅

′∆⋅⋅′=

ΦΦ′

f

fff

ff

ff

ffpf

ffpf

mTm

TTmTm

TcmTcm

,

,

facendo ora il rapporto tra queste due espressioni si ha un primo risultato:

39,0=′∆⋅=′∆⋅∆∆

⋅′

=′∆ AconTATTT

mm

T fff

w

f

fw

mentre sommando la prima alla seconda (si ricordi che lo scambiatore è in equicorrente) si ottiene:

CBconBm

TmTTTTT

f

ffwfw °=

ΦΦ′

⋅=ΦΦ′

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

′

∆⋅+∆=′∆−′∆=′∆+′∆ 14,18721

Scrivendo quindi l’equazione di scambio sempre in forma di rapporto, ed utilizzando il risultato appena ottenuto:

mlmlml

ml

TTT

B

kk

TTT

TTkk

TSkTSk

∆⋅

′∆

′∆ΦΦ′

⋅⋅

′=

∆⋅

′∆

′∆′∆−′∆

⋅′

=∆⋅⋅

′∆⋅⋅′=

ΦΦ′ 1

ln

1

ln2

1

2

1

21

che poi semplificando, riordinando e risolvendo il logaritmo si scrive:

( )C

ee

TT

ml

f

f

T

Bmm

°=−

=′∆

=′∆⋅

∆

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′51,1030200

25,5614,1878,0

12 8,08,0

Poiché poi: 222 TTT wf ′∆+′=′

e come sopra dimostrato:

fww TATT ′∆⋅+′=′ 12 per sostituzione si ottiene:


29

( ) ( ) CA

TTATT fw

w °=+

−⋅+=

+

′∆−⋅+′=′ 43,74

39,0151,1020039,030

1211

2

quindi:

CTTT wf °=+=′∆+′=′ 95,8451,1043,74222 ed infine:

( ) kWTcm www 02,2083043,7418,412,1 =−⋅⋅=′∆⋅⋅′=Φ′

Si ha pertanto una riduzione del flusso termico scambiato che risulta essere pari all’ 85,22 % di quello nominale. Dai dati così calcolati è possibile ricavare i profili di scambio termico nelle due condizioni di funzionamento, avendo riportato in ascisse il flusso termico nominale.

Svolgimento Esercizio n. 13 (caso 1) Calcolo dei dati nominali mancanti 1) Portata in massa: è sufficiente calcare la densità dell’aria all’ingresso:

328,96 760 273,15 1,184 /22,414 760 298,15

ρ ρ= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =nn

n

Tp kg mp T

1,184 3 3,55 /ρ= ⋅ = ⋅ =m q kg s

2) rapporto di compressione β : è necessario esprimere entrambe le pressioni con la

stessa unità di misura

23

1

(1,8 1,013) 2,813 2,78(760 1,333 10 ) 1,013

β −

+= = = =

⋅ ⋅p barp bar

3) Temperatura di mandata T2: dalla definizione di lavoro reale

82,1474,43

92,00

30

84,95

0

100

200

0 0,25 0,5 0,75 1

Φ

T (°C)

0,8522


30

( )( )

1

12 1

2 1

1β

η η η

−⎛ ⎞⋅ ⋅ −⎜ ⎟⋅ − ⎝ ⎠⋅ − = = = =is

kk

ppis

p Ris is is

c Tc T TLc T T L

0,4111,41

1

2 1

298,15 2,78 11298,15 414,6 141,5

0,885

β

η

− ⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ −⋅ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + = + = = °

kk

is

TT T K C

4) Potenza assorbita: può essere utile, per i passi successivi, calcolare a parte il lavoro

isoentropico

1

1 1 103,1 /β−⎛ ⎞

= ⋅ ⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

kk

is pL c T kJ kg

3,55 103,1 4490,815η

⋅ ⋅= = =is

tot

m LP kW

Calcolo delle nuove grandezze di funzionamento nominale derivato Lavorando sempre in condizioni nominali, dovranno rimanere costanti il coefficiente di portata e di pressione. Avendo inoltre ipotizzato di mantenere costante il numero di giri ed i rendimenti, risulteranno costanti sia la portata volumetrica che il lavoro specifico, essendo:

qn

Φ ∝

e

2Ψ ∝ isLn

Pertanto si potrà calcolare: 5) Il nuovo rapporto di compressione β’: essendo

1

1 1β′−′

⎛ ⎞′ ′ ′ ′= = ⋅ ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

kk

is is pL L c T

⇓ 1,28

1 0,28

1

103,11 1 4,310,86 318,15

β

′′−⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′⋅ ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠

kk

is

p

Lc T

6) la nuova temperatura di mandata T’2: essendo ancora

( )2 1′ ′ ′ ′= = ⋅ −R R pL L c T T


31

⇓ ( ) ( )2 1

2 1

1 141,5 2545 180,5

0,86⋅ − ⋅ −

′ ′= + = + = °′

p

p

c T TT T C

c

7) la nuova portata massica elaborata:

344 1,013 273,15 2,351 /22,414 1,413 318,15

ρ ρ′

′ ′= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =′

nn

n

Tp kg mp T

2,351 3 7,05 /ρ= ⋅ = ⋅ =m q kg s

8) la nuova potenza assorbita, considerando che:

ηη′ ′′ ′⋅

= ⋅ =′ ⋅

is tot

tot is

m LP mP m L m

e quindi

2,351 449 8921,184

ρρ

′ ′′ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

mP P P kWm

Svolgimento Esercizio n. 14 (caso1) Per completare i dati nominali è necessario leggere dalle tabelle del vapore saturo il valore della temperatura e dell’entalpia di condensazione corrispondenti alla pressione di 0,06 bar, che risultano essere:

36,162415 /

cond

v

T Cr H kJ kg

= °= ∆ =

Applicando quindi l’equazione di bilancio termico dal lato vapore, si ricava il valore del flusso di calore scambiato

60 0,88 2415 127521v vm x H kWΦ = ⋅ ⋅∆ = ⋅ ⋅ =

La portata massica di acqua necessaria per realizzare tale sottrazione di calore la si ottiene applicando la stessa equazione dal lato acqua di raffreddamento, da cui si ricava che

127521 3813 /4,18 8w

w w

m kg sc T

Φ= = =

⋅∆ ⋅

a cui corrisponde la portata volumetrica


32

33813 3,81 /1000

ww

w

mq m sρ

= = =

Infine, considerando che la temperatura di uscita dell’acqua sarà

CTTT www °=+=∆+= 3282412 è possibile calcolare il ∆T medio logaritmico di scambio, che per un condensatore assume la seguente forma

8 7, 4636,16 24lnln 36,16 32

wml

f

c

TT CTT

∆∆ = = = °

∆ −−∆

Per il calcolo delle grandezze in condizione di fuori progetto va considerato che l’assunzione fatta riguardo alla trascurabilità della variazione dell’entalpia di condensazione del vapore, unitamente alla costanza del titolo e della portata, ci permette di affermare che il flusso di calore scambiato rimane costante. Utilizzando quindi l‘equazione di equilibrio e di scambio nei due diversi casi di funzionamento, nominale e di off design, si ricava il risultato di validità generale per i due casi di fuori progetto

1≅∆⋅

′∆⋅=

∆⋅⋅′∆⋅⋅′

=∆⋅⋅

′∆⋅⋅′=

ΦΦ′

vv

vv

www

www

ml

ml

HmHm

TcmTcm

TSkTSk

Per il primo caso pertanto, avendo assunte costanti le portate in massa, dovrà essere

32,00

24,00

36,16 36,16

28,00

36,00

40,16 40,16

15,00

30,00

45,00

0 0,5 1

Φ

T (°C)


33

ww TT ∆=′∆ ed essendo

kk =′ (poiché il coefficiente globale di scambio termico dipende fondamentalmente dalle porte in massa), sarà anche

mlml TT ∆=′∆ Si vede quindi che la sola variazione della temperatura di ingresso dell’acqua (sotto le assunzioni fatte) non determina né la variazione della pendenza della retta del profilo termico lato acqua né la ∆T media logaritmica. Pertanto i profili dovranno risultare “traslati” della corrispondente variazione di temperatura dell’acqua di ingresso, e quindi di tanto varierà la temperatura di condensazione. Per convincersi di questo fatto abbastanza intuitivo, basta ricavare la nuova temperatura di condensazione dall’ultima relazione scritta,

c

f

w

c

f

w

TT

T

TT

T

∆

∆∆

=

′∆

′∆′∆

lnln

che semplificando e riordinando porta alla seguente:

( )1 236,16 2428 28 836,16 32 40,1636,16 2411 36,16 32

fw w

ccond

f

c

TT T

TT CTT

∆ −′ ′− ⋅ − ⋅ +∆ −′ = = = °∆ −

−−−∆

Dalle tabelle del vapore si ricava quindi la nuova pressione di condensazione

0,074condp bar abs′ = Il secondo caso di fuori progetto è invece un pò più complesso, in quanto variano anche, ed in maniera incognita, la portata d’acqua e quindi il coefficiente globale di scambio termico. Il metodo migliore di risoluzione sembra essere quello per tentativi. Assumendo che per il coefficiente di scambio termico valga la seguente relazione

8,0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′=

′′

w

w

mm

kk

sostituendo nella relazione di validità generale prima trovata si ha che


34

ml

ml

w

w

TT

mm

∆′′∆

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′=

8,0

1

A questo punto è necessario ipotizzare un valore del mlT ′′∆ di primo tentativo. Per cercare di utilizzare un valore il più vicino possibile a quello reale, si può considerare che in corrispondenza ad una riduzione di 4°C della temperatura di condensazione (per riportarla al valore iniziale di 36,16 °C) mantenendo fissa la temperatura di ingresso dell’acqua al nuovo valore di 28 °C, il mlT ′′∆ diminuirà sicuramente meno di 4 °C (rispetto ai 7,46 °C). Infatti dovendo il mantenere inalterato il flusso di calore scambiato, la diminuzione del mlT ′′∆ , richiede un miglioramento del coefficiente di scambio termico, che si ottiene aumentando la portata di acqua. Come conseguenza si ha però anche una riduzione del wT ′′∆ che tende ad aumentare le differenze di temperature utili ai fini dello scambio termico. Ipotizzando quindi un CTml °=′′∆ ° 51, di primo tentativo, si calcola un portata massica di acqua di primo tentativo pari a

1 10,8 0,8

,1,1

7, 463813 6287 /5

mlw w

ml

Tm m kg sT°

°

⎛ ⎞∆ ⎛ ⎞′′ = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟′′∆ ⎝ ⎠⎝ ⎠

ed utilizzando l’equazione di equilibrio si calcola anche la temperatura di uscita dell’acqua di primo tentativo

2,1 1,1

12752128 32,856287 4,18w w

w w

T T Cm c°

°

Φ′′ ′′= + = + = °′′ ⋅ ⋅

con i dati ottenuti si calcola il mlT ′′∆ corrispondente

32,85 28 5,3736,16 28lnln 36,16 32,85

wml

f

c

TT CTT

′′∆ −′′∆ = = = °′′∆ −−′′∆

che è un valore molto vicino a quello ipotizzato. Ripetendo i calcoli in un secondo tentativo ipotizzando un valore di ,2 5,18mlT C°′′∆ = ° , pari cioè alla media dei due precedenti valori si ha un 5,21mlT C′′∆ = ° . Ripetendo quindi un’ultima volta i calcoli con

,3 5, 20mlT C°′′∆ = ° si ha la convergenza con i seguenti valori assunti dalle grandezze incognite

33,10wT C′′ = °

5985 /wm kg s′′ =

35985 5,98 /1000

ww

w

mq m sρ

′′′′ = = =


35

I profili di scambio termico saranno dunque i seguenti:

32,00

24,00

36,16 36,16

28,00

33,10

15,00

30,00

45,00

0 0,5 1

T (°C)

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