ESERCIZI

CINEMATICA UNIDIMENSIONALE

Dott.ssa Silvia Rainò

1

CALCOLO DIMENSIONALE

Una grandezza G in fisica dimensionalmente si scrive

[G] = [MaLbTgKd…]

Ove a,b,g,d sono opportuni esponenti.

Ad esempio :

2

[Massa] = [M L0 T0 K0…] =[M] [Velocità] = [M0 L T-1 K0] = [LT-1] [Accelerazione] = [M0 L T-2 K0] = [LT-2]

Calcolo dimensionale – Esercizio 1

Determinare le dimensioni della densità di volume

(densità = massa/volume), superficiale e lineare

3

V

Mavolumetricdensità

3L

M 3 ML

S

Mdensità lesuperficia

2L

M 2 ML

L

Mdensità lineare 1 ML

Calcolo dimensionale – Esercizio 2 (1/2)

Verificare quale delle seguenti espressioni dell’

accelerazione centripeta è corretta

1. aC = V2 R

2. aC = V R2

3. aC = R2 / V

4. aC = V2 / R

5. aC = V2 R2

4

Equazione dimensionale per l’accelerazione è:

[Accelerazione] = [M0 L T-2 K0] = [LT-2]

1. aC = V2 R

2. aC = V R2

3. aC = R2 / V

4. aC = V2 / R

5. aC = V2 R2

5

Calcolo dimensionale – Esercizio 2 (2/2)

2321 TLLLTac

1321 TLLLTac

LTLT

Lac

1

2

222

LT

L

TLac

24222 TLLTLac

NO

NO

NO

SI!!!!

NO

Diagramma orario – esercizio 1 (1/2)

Una persona si allontana da casa camminando a velocità costante per circa mezz’ora lungo una strada rettilinea. Dopo aver percorso 2 km, si ferma per un’ora e quindi ritorna verso casa camminando più lentamente di prima. Disegnare il grafico che rappresenta la distanza da casa (in chilometri) in funzione del tempo (in ore)

6

Diagramma orario – esercizio 1 (2/2)

Rappresentiamo il percorso effettuato dalla persona del nostro problema in funzione del tempo.

7

d1=2km

t1=1h

Ferma per t2=1h

d2=2km

t1>1h

Richiamo

Moto uniforme : v(t) = v0 in ogni istante t; velocità

costante

v=v0 => a = 0

x = x0 + vt

Moto uniformemente accelerato : a costante

v = v0 + a t

x = x0 + v0t + ½ a t2

8

Moto uniforme – Esercizio 1 (1/2)

Su una strada di montagna un’ autovettura viaggia per

un’ ora alla velocità media di 40Km/h e per 2 ore alla

velocità media di 60 Km/h. Determinare :

a)Lunghezza del percorso complessivamente compiuto

b)Velocità media

9

Moto uniforme – Esercizio 1 (2/2) 10

Dati del problema:

t1=1h, v1 = 40 km/h

t2=2h, v2 = 60 km/h

Soluzione:

Percorso totale:

x1= v1 t1= 40 km/h 1 h = 40 km

x2= v2 t2= 60 km/h 2 h = 120 km

xtot= x1 + x2= 40 km + 120 km= 160 km

Velocità media sull’intero percorso:

vmedia = xtot/ttot = 160 km/ 3h = 53.3 km/h

Moto uniforme – Esercizio 2 (1/2)

Quanto impiega un aereo a reazione supersonico, che vola ad una velocità che è 2,4 volte quella del suono, per attraversare l’Atlantico, che è circa 5500 km? Si supponga che la velocità del suono sia pari a 350 m/s. Supponendo che si impieghino 2 h sia alla partenza che all’arrivo per consegnare o riprendere i bagagli, qual è la velocità media per il tragitto tra la località di partenza e quella di arrivo per l’aereo supersonico?

11

tempo impiegato = 6548 s (1 ora, 49 minuti , 8 secondi);

velocità media = 263 m/s = 945 km/h

Moto uniforme – Esercizio 2 (2/2) 12

vsuono = 350 m/s

vaereo = 2.4*vsuono = 2.4*350 m/s = 840 m/s

d = 5500 km = 5.5103 km = 5.5103103 m= =5.5106 m

Ricordando che per il moto uniforme lo spazio percorso è

d=vt

tviaggio = d/vaereo =

tbagagli=2h2=4h=43600s=14400s

ttot=tbagagli+tviaggio=14400s + 6548 s= 20948 s

vmedia = d/ttot = 5.5106 m / 20948 s = 263 m/s

ssm

m6548

840

1055 6

/

.

Moto Uniformemente Accelerato – Es. 1 (1/2)

Un’automobile parte da ferma con un’accelerazione costante di 8 m/s2

(a) A che velocità viaggia dopo 10 secondi?

(b) Qual è la velocità media nell’intervallo di tempo tra t = 0 s e t = 10 s?

(c) Quanta strada percorre in quell’intervallo di tempo?

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a) velocità a t = 10 s: 80 m/s;

b) velocità media = 40 m/s; vMEDIA

= (v+v0)/2

c) strada percorsa = 400 m

Moto Uniformemente Accelerato – Es. 1 (2/2) 14

v0 = 0 m/s

a = 8 m/s2

Ricordando che per il moto uniformemente accelerato, la

velocità è v=v0 + at = at (poiché v0=0)

v(t=10s)= 8m/s2 10 s = 80 ms-2s=80 m/s

La velocità media è data da vMEDIA = (v+v0)/2:

vmedia= (80+0)/2 m/s=40 m/s

Lo spazio percorso è x=x0+v0t+1/2 at2= 1/2 at2

assumendo l’origine del nostro sistema di riferimento

coincidente con il punto di partenza dell’auto, x0=0

x= 1/2 at2 = 0.5 8ms-2 (10s)2 = 400 m

Altri problemi 15

Due automobili A e B percorrono lo stesso rettilineo nei due modi seguenti:

o A al tempo t = 0 h è nella posizione sA0= 2.4 km e si sta muovendo con una velocità costante vA= 40 km/h.

o B al tempo t=0.5h è nella posizione sB0 = 0 km e si sta muovendo con una velocità costante vB = 70 km/h

C’è un sorpasso? In caso affermativo, chi sorpassa chi? A quale tempo? In quale posizione avviene il sorpasso?

16

Problema 1

Soluzione:

B sorpassa A ;

t= 1.25 h;

s = 52.4 km;

Soluzione (1/5)

17

Leggi orarie del moto rettilineo uniforme delle auto A e B:

sA = s0A + vA (t t0A)

sB = s0B + vB (t t0B)

Condizioni iniziali:

t0A = 0 h s0A = 2.4 Km

t0B = 0.5 h s0B = 0. km

vA= 40 km/h

vB= 40 km/h

Soluzione (2/5) 18

B A

s 2.4Km

O t=t0A= 0

t=t0B= 0.5 h

B A

s O

vB

vA

vA

Soluzione (3/5) 19

Il sorpasso avviene quando le due auto si trovano

nella stessa posizione:

avendo indicato con t* l’istante in cui avviene il sorpasso

sA ( t*) = sB ( t*)

s0A + vA (t*-t0A) = s0B + vB (t* t0B)

t0A=0

s0B=0 s0A + vA t* = vB (t* t0B)

Soluzione (4/5) 20

Allora l’istante in cui avviene il sorpasso è:

La posizione in cui avviene il sorpasso può essere determinata calcolando sA(t*) o equivalentemente sB(t*):

sA ( t*) = s0A + vA t* =

= 2.4 km + 40 km/h1.25 h = 52.4 km

h

h

km

kmhh

km

vv

stvt

AB

ABB 251

4070

42507000 .

..

*

Soluzione (5/5) 21

Diagramma orario

O t (h)

s (km)

0.5 1

10

20

30

40

A B

1.5

50

t*

Problema 2

La luce viaggia nello spazio ad un velocità di 3 108 m/s;

la distanza percorsa dalla luce in un anno è detta anno

luce. Determinare:

1. Il tempo che che impiega la luce per giungere dalla Luna alla

Terra (distanza Terra-Luna = 3.84 105 Km)

2. Il tempo impiegato dalla luce per giungere dal Sole alla Terra

(distanza Terra-Sole = 1.5 108 Km)

3. Distanza in Km e metri della stella Alpha Centauri che dista

dalla terra 4.2 anni luce

22

Soluzione (1/3) 23

vluce = 3108 m/s

Distanza Terra-Luna: dT-L= 3.84 105 Km= 3.84 108m

Tempo impiegato dalla luce ad arrivare dalla Luna alla Terra:

x=x0+vlucet = vlucet = dT-L (x0=0)

t = dT-L /vluce=

OLuna x(m) Terra

3.84 108m

ssm

m281

103

108438

8

./

.

24

vluce = 3108 m/s

Distanza Sole-Terra: dS-T= 1.5 108 Km= 1.5 1011m

Tempo impiegato dalla luce ad arrivare dal Sole alla Terra:

x=x0+vlucet = vlucet = dS-T (x0=0)

t = dS-T /vluce=

OSole x(m) Terra

1.5 1011m

ssm

m500

103

10518

11

/

.

Soluzione (2/3)

25

Quanto vale la distanza (anno-luce) percorsa dalla

luce in un anno?

1 anno = 365 giorni=365 24 h= 365 24 3600s =

31536000 s = 3.15107s

danno-luce = vlucet =3108m/s 3.15 107s =

= 9.45 1015m

Distanza alpha-Centauri:

dalpha-Centauri = 4.2 danno-luce = 4.29.45 1015m =

=39.71015m = 39.71015 (10-3km) = 39.71012km

Soluzione (3/3)

Problema 2.2.13 dal libro di esercizi 26

Una pietra viene lanciata verticalmente verso l’alto

dal bordo della cima di un edificio con una velocità

iniziale di 25.0 m/s. L’edificio è alto 50m.

Determinare:

Il tempo impiegato dalla pietra per raggiungere la

massima altezza.

La massima altezza raggiunta.