Esercitazioni di Matematica Discreta

1 Esercitazione del 26/02/2004

Definizione 1 ( Principio dei cassetti ) Se m oggetti sono distribuiti in ncassetti e m > n allora almeno un cassetto riceve almeno 2 oggetti.

Definizione 2 ( Principio dei cassetti generalizzato ) Se m oggetti sonodistribuiti in n cassetti e m > rn allora almeno un cassetto riceve almeno r + 1oggetti.

Esercizio 1 ( Il Principio dei cassetti e la teoria dei numeri )Dimostrare che dati 3 numeri naturali qualsiasi, ce ne due la cui somma e pari.

Soluzione Scegliamo come oggetti i 3 numeri naturali e come cassetti le classidi congruenza modulo 2, i.e. Z2 = {[0], [1]}. Per il principio dei cassetti almenouno dei cassetti contiene almeno 2 dei 3 numeri naturali, siano essi n1, n2.

Se n1, n2 ∈ [0] −→ 2|n1, 2|n2 quindi n1, n2 sono entrambi pari e anche laloro somma n1 + n2 risulta pari.

Se n1, n2 ∈ [1] −→ 2|n1 − 1, 2|n2 − 1, quindi n1, n2 sono entrambi dispari ela loro somma n1 + n2 e pari.

Esercizio 2 ( Il Principio dei cassetti e la teoria dei grafi )Un grafo G = (V, S) e individuato daun insieme V di vertici e da un insieme Sdi spigoli. I vertici sono generalmente rappresentati come punti materiali e glispigoli con segmenti congiungenti due vertici. Il grado di un vertice e il numerodegli spigoli che partono (o che terminano) da quel vertice. Considerate un grafoche ha 9 vertici e in cui ogni vertice ha grado 5 oppure 6. Dimostrate che almeno5 vertici hanno grado 6 oppure 6 vertici hanno grado 5.

Soluzione Distribuiamo i 9 vertici in due cassetti A e B individuati rispettiva-mente dai vertici di grado 6 e dai vertici di grado 5. Poiche 9 > 8 = 4× 2, per ilprincipio dei cassetti generalizzato almeno uno dei due cassetti contiene almeno5 vertici. Si presenatno i seguenti casi:

I caso: |A| ≥ 5, ovvero ci sono nel grafo almeno 5 vertici di grado 6;

II caso: |B| ≥ 5, ovvero ci sono nel grafo almeno 5 vertici di grado 5.

Occorre provare che |B| > 5 e a tal fine procediamo per assurdo, supponiamoche nel grafo ci siano esattamente 5 vertici di grado 5 e i rimanenti 4 verticiabbiano grado 6. Sappiamo che 2|S| =∑

v∈V δ(v) = 5× 5+ 6× 4 = 49 e quindiuna contraddizione.

Esercizio 3 (Altre applicazioni del principio dei cassetti)Ci sono 15 persone ad un festa e alcune di esse si scambiano un stretta di mano.Dimostrare che almeno due persone hanno stretto lo stesso numero di mani.

Soluzione Si scelgono 14 cassetti tanti quanti il numero delle strette di manoche si possono realizzare. Si noti che se c’e qualcuno che non ha stretto maniallora non ci sara qualcuno che ha stretto 14 mani. Si presentano le seguentisituazioni. In un caso i cassetti saranno

BOX(1) = {persone che stringono 1 mano},BOX(2) = {persone che stringono 2 mani},

......

BOX(14) = {persone che stringono 14 mani};

mentre nell’altro caso i cassetti saranno

BOX(0) = {persone che non stringono mani},BOX(1) = {persone che stringono 1 mano},

......

BOX(13) = {persone che stringono 13 mani}.

In entrambi i casi il numero dei cassetti e 14 e poiche 15 > 14 segue chealmeno un cassetto contiene almeno due oggetti, ovvero ci sono almeno duepersone alla festa che hanno stretto lo stesso numero di mani.

Esercizio 4 In una foresta ci sono un milione di alberi. Ciascun albero ha nonpiu di 600.000 foglie. Si dimostri che in ogni istante ci sono due alberi nellaforesta che hanno lo stesso numero di foglie.

Soluzione Distribuiamo gli alberi della foresta in 600.001 cassetti costruiti comesegue: per 0 ≤ i ≤ 600.000, definiamo il cassetto i-esimo quello individuato daglialberi che contengono un numero i di foglie. Poiche 1.000.000 > 600.000, esistealmeno un cassetto che contiene almeno due alberi e quindi ci sono almeno duealberi che contengono lo stesso numero di foglie.

Esercizio 5 Scrivere la formula esplicita per un quando:

u0 = 0, u1 = 1

un+2 = un+1 − un n ≥ 0

Soluzione L’equazione algebrica associata e t2 − t + 1 = 0 le cui soluzioni sono

t = 12 ± i

√32 . Poiche 12 + i

√32 = cos π3 + i sin π

3 , scriviamo

un = A(1

2+ i

√3

2)n +B(

1

2− i√3

2)n =

= A(cosπn

3+ i sin

πn

3) +B(cos

πn

3− i sin πn

3) =

= (A+B) cosπn

3+ i(A−B) sin

πn

3.

Imponendo le condizioni iniziali otteniamo:

un =2

3

√3 sin

πn

3.

Esercizio 6 (Applicazione del principio di induzione)Dimostrare che per ogni intero n > 0 il numero 7n3 − 7n+ 42 e un multiplo di21.

Esercizio 7 (Applicazione del principio di inclusione-esclusione)Una azienda vende 12.700 sets di cui 8.000 T.V., 5.000 V.H.S. Di questi setssono stati venduti 3.200 T.V + Decoder, 3.500 T.V. + V.H.S.,700 V.H.S +Decoder, 1.000 T.V.+ V.H.S.+ Decoder. Quanti decoder sono stati venduti?

Soluzione Indichiamo con A1 l’insieme delle T.V. vendute, A2 l’insieme deiV.H.S., A3 l’insieme dei decoder e per il principio di inclusione-esclusione abbi-amo

|A3| = |A1∪A2∪A3|−|A1|−|A2|+|A1∩A2|+|A1∩A3|+|A2∩A3|−|A1∩A2∩A3| =

= 12.700− 8.000− 5.000 + 3.500 + 3.200 + 700− 1.000 = 6.100

Esercizio 8 (Applicazione del principio di contare per righe e percolonne) In una classe ci sono 32 ragazzi e n ragazze. Ogni ragazzo conosce 5ragazze della classe e ogni ragazza conosce 8 ragazzi della clase. Quante ragazzeci sono nella classe?

Soluzione Realizziamo una matrice di ordine n× 32, disponendo le ragazze sullerighe e i ragazzi sulle colonne. Mettiamo un Xnel posto (i, j) della matrice se laragazza i-esima e il ragazzo j-esimo si conoscono. Contando il numero di Xperrighe, esso risulta 8n; mentre contando per colonne il numero di Xrisulta 5×32.Abbiamo 8n = 5× 32→ n = 20 e quindi nella classe ci sono 20 ragazze.

Esercizio 9 (Applicazione del principio di contare per righe e percolonne)Una azienda di 30 operai vuole partecipare ad un torneo di calcetto

( ogni squadra e composta da 5 giocatori) e tale torneo consiste di 28 incon-tri. Ogni giocatore deve giocare lo stesso numero di partite ed ovviamente devegiocare almeno una partita. E possibile che l’azienda partecipi a tale torneo dicalcetto, ovvero il problema ammette soluzione? Se gli incontri sono 24, quantepartite deve giocare ogni giocatore?

2 Esercitazione del 10/03/2004

Definizione 3 (Funzione di Eulero) Per ogni intero n ≥ 1, indichiamo conΦ(n) = il numero degli interi x tali 1 ≤ x ≤ n e tali che M.C.D.(x, n) = 1.

Esercizio 10 Quanti sono gli interi x multipli di 3 tali che 316 ≤ x ≤ 317?

Soluzione Φ(317) = numero degli interi x con 1 ≤ x ≤ 317 e coprimi con 317,poiche 3 e l’unico divisore primo di 317 segue che Φ(317) = numero degli interix con 1 ≤ x ≤ 317 e coprimi con 3. Analogamente Φ(316) = numero degli interix con 1 ≤ x ≤ 316 e coprimi con 3. Pertanto il numero cercato e

317 −Φ(317)− (316 −Φ(316)) = 317 − 317(1− 13 )− 316 + 316(1− 1

3 ) = 2 · 315.

Proposizione 4 Per ogni intero n ≥ 1, risulta∑

d|n Φ(d) = n.

Esercizio 11 Riflessioni sul teorema cinese del resto

Ricordiamo l’enunciato del teorema cinese del resto. Il sistema di congruenze{

x ≡ a(mod n)x ≡ b(mod m)

,

con a, b interi qualsiasi, ammette soluzioni se e soltanto se M.C.D.(m,n) = 1.Inoltre la soluzione generale si ottiene aggiungendo ad una soluzione particolareun arbitrario multiplo di n ·m. Tale risultato si generalizza ad un sistema conun numero finito qualsiasi di congruenze. Le nostre riflessioni iniziano dallaconsiderazione del seguente esempio

Esempio 5 Il seguente sistema{

x ≡ 1 (mod 7)x ≡ 2 (mod 7)

non ammette soluzioni e si noti che il gruppo Z7⊕Z7 non e ciclico. Una soluzionedella prima congruenza e del tipo x = 7t + 1, con t ∈ Z, sostituendola nellaseconda equazione otteniamo 7t + 1 ≡ 2(mod 7) → 7|7t + 1 − 2 = 7t − 1.Otteniamo un risultato contraddittorio infatti se esistesse un intero k tale che7t− 1 = 7k avremmo 7(t− k) = 1.

Ma la domanda che adesso dobbiamo porci e: esistono interi a, b tali che ilsistema

{

x ≡ 1 (mod 7)x ≡ 2 (mod 7)

ammetta soluzioni? Si, basti per esempio pensare al sistema con a = b ( casobanale). Presentiamo un caso non banale.

Esempio 6{

x ≡ 0 (mod 6)x ≡ a (mod 15)

Osserviamo cheM.C.D(6, 15) = 3 e che il sistema ammette soluzioni non appenascegliamo a ∈ [6t] = {[0], [6], [12], [3], [9]} e si noti che |〈6〉| = 5.

L’affermazione del teorema cinese del resto risulta molto forte, infatti garan-tisce la risolubita del sistema di congruenze qualunque sia la scelta delle con-dizioni iniziali a, b. Mentre seM.C.D(n,m) 6= 1, la risolubita del sistema dipendedalla scelta delle condizioni iniziali.

Esercizio 12 Un ristorante aperto tutti i giorni a partire da oggi propone ogni5 giorni come primo piatto lasagne, a partire da domani proporra ogni 6 giornicome secondo piatto pollo con contorno di patate, a partire da dopodomani pro-porra ogni 7 giorni come dolce il tiramisu. Possiamo stabile che nell’arco di unanno il menu del giorno sara: Lasagne, Pollo con contorno di patate e tiramisu.

Soluzione

x ≡ 1 (mod 5)x ≡ 2 (mod 6)x ≡ 3 (mod 7)

essendo M.C.D.(5, 6, 7) il sistema sopra proposto ammette soluzioni per ilteorema cinese del resto e adesso occorre determinarne le soluzioni.Calcoliamo l’ inverso di 6 · 7 modulo 5

42 · c1 ≡ 1(mod 5)→ 5| → 42c1 − 1→ c1 = 3;

Calcoliamo l’ inverso di 5 · 7 modulo 6

35 · c2 ≡ 1(mod 6)→ 6| → 35c2 − 1→ c2 = −1;

Calcoliamo l’ inverso di 6 · 5 modulo 7

30 · c3 ≡ 1(mod 7)→ 7| → 30c3 − 1→ c3 = 4.

Una soluzione particolare e

c = 1 · c1 · 6 · 7 + 2c2 · 5 · 7 + 3 · c3 · 5 · 6 = 126− 70− 360 = 416.

Poiche 416 ≡ 206(mod 210), la soluzione generale e

x = 206 + 210k k ∈ Z.

Altro metodo.

x ≡ 1(mod 5)→ 5|x− 1→ x = 5t+ 1,

la quale sostituita nella seconda equazione diventa

5t+ 1 ≡ (mod 6)→ 5t− 1 = 6k → t = −1.

Pertanto la soluzione del sistema{

x ≡ 1 (mod 5)x ≡ 2 (mod 6)

risulta x = −4 + 30n, con n intero qualsiasi. Quest’ultima sostituita nella terzaequazione del sistema di partenza da luogo a

−4+30n ≡ 3(mod 7)→ 7|−4+30n−3 = −7+30n→ −7+30n = 7k → n = 7;

la soluzione generale del sistema risulta

x = −4 + 210 + 210m = 206 + 210m ∀ m ∈ Z.

Esercizio 13 Contare il numero delle parole sull’alfabeto {a, b, c, d} di lunghezzacompresa tra 1 e 5 ( inclusi) che non soddisfano alcuna delle seguenti condizioni:

1. hanno lunghezza 3;

2. non contengono la lettera a.

Soluzione Sia A = {parole sopra indicate} e si osservi che |A| = 4 + 42 +43 + 44 + 45. Le parole del tipo considerato altro non sono che applicazioni diNn −→ {a, b, c, d}, con n = 1, 2, 3, 4. Sia A1il sottoinsieme di A individuato dalleparole che soddisfano la condizione 1 e A2 quello individuato dalle parole chesoddisfano la condizione 2. Il numero cercato e

|A| − |A1 ∪A2| = |A| − |A1| − |A2|+ |A1 ∩A2|.

Osservando che

|A1| = 43

|A2| = 3 + 32 + 33 + 34 + 35

|A1 ∩A2| = 33

otteniamo che |A| − |A1 ∪A2| = 964.

3 Esercitazione del 16/03/2004

Esercizio 14 Proprieta della funzione di EuleroSia n ≥ 2 intero la cui fattorizzione in primi distinti e n = pe11 p

e22 . . . per

r . Sidimostra che

Φ(n) = n(1− 1

p1)(1− 1

p2) . . . (1− r

pr).

Esercizio 15 Una donna ha 11 amici.

1. In quanti modi puo invitarne 5 a pranzo?

2. In quanti modi puo invitarne 5 a pranzo se due amici sono sposati e nonpartecipano separatamenre?

3. In quanti modi puo invitarne 5 a pranzo se due non sono in buoni rapportie non partecipano insieme?

Soluzione 1. Si tratta di selezione senza ripetizione e senza ordine di 5 oggettidistinguibili da un insieme di 11 oggetti distinguibili e pertanto tale numero e(

115

)

= 462 modi.

2. Indichiamo con A,B gli amici sposati e distinguiamo i seguenti casi:

• se A,B sono esclusi dall’invito allora avremo

(

95

)

= 126 modi;

• se A,B sono inclusi nell’invito allora avremo

(

93

)

= 84 modi;

in totale avremo 126 + 84 = 210 modi.

3. Se C,D non partecipano insieme. Se C,D partecipano insieme al pranzo,

i rimanenti 3 amici vengono scelti in

(

93

)

= 84 modi e quindi avremo

(

115

)

−(

93

)

= 462− 84 = 378

Esercizio 16 Quante colonne del totocalcio si possono realizzare se vogliamoche esse contengono 5 segni uguali a X?

Soluzione Le colonne del totocalcio non sono altro che parole di lunghezza 13nell’alfabeto 1, 2, X. Le colonne cercate contengono esattamente 5 simboli uguali

a X e pertanto

(

135

)

e il numero delle ”collocazioni ” del simbolo X in una

colonna. Una volta assegnato il simbolo x, dobbiamo sistemare i simboli 1, 2nei rimanenti 8 posti, cioe dobbiamo considerare tutte le parole di lunghezza 8

nell’alfabeto {1, 2}. Il numero cercato e

(

135

)

× 28.

Esercizio 17 In quanti modi possiamo selezionare un ordine di battitura di 11giocatori da una squadra di cricket (composta da 14 giocatori)?

Soluzione Si tratta di selezioni senza ripetizioni di 11 oggetti distinguibili da uninsieme di 14 e pertanto un ordine di battitura del tipo richiesto corrisponde aduna applicazione iniettiva f : N11 → N14. Il numero cercato e 14 · 13 · 12 . . . 5 · 4.

Esercizio 18 Quanti numeri telefonici di 5 cifre hanno almeno una cifra cheinterviene piu di una volta?

I numeri telefonici di 5 cifre non sono altro che applicazioni di N5 → N10 epertanto son 105; i numeri telefonici di 5 cifre senza ripetizione non sono altroche le iniezioni N5 → N10 e sono 10 · 9 · 8 . . . 6 = 30.240. Il numero cercato e105 − 30.240 = 69.760.

Esercizio 19 Quante sono le possibili cinquine al lotto?

Soluzione Si tratta di selezione senza ordine e senza ripetizione di 5 oggetti

distinguibili da un insieme di 90 oggetti e quindi il numero cercato come

(

905

)

.

Esercizio 20 Cinque ragazzi leggono un libro ciascuno. In quanti modi si pos-sono scambiare tra loro i libri in modo che ognuno riceva un libro diverso daquello letto?

Soluzione Applicazione del principio della segretaria distratta.

5!(1− 1! +1

2!− 1

3!+

1

4!− 1

5!) = 44

Esercizio 21 Si devono preparare delle vernici utilizzando 4 colori. Per ot-tenere una vernice si procede come segue: vi sono 6 misurini di eguale capacitaed ognuno viene riempito con un dei colori, poi il contenuto viene mescolato perottenere una singola vernice. Quante vernici si possono ottenere?

Esercizio 22 Si deve dipingere una palizzata di 10 pali disposti ordinatamentein fila, utilizzando alcuni colori fra 8 colori a disposizione ( fra cui c’e il rosso).In quanti modi si puo colorare la palizzata se si pretende che esattamente 3 palisiano colorati in rosso?

Esercizio 23 Un lucchetto ha la serratura a combinazione di 3 cifre; quantitentativi deve essere disposto a fare un ladro per essere certo di aprire il luc-chetto?

Soluzione Ogni combianzione del lucchetto corrisponde ad una applicazione diN3 → N10 e pertanto il numero cercato e 103 = 1.000

Esercizio 24 In quanti modi un insegnante puo scegliere uno o piu studenti tra6 studenti?

Soluzione Si tratta di selezione senza ordine e senza ripetizione di oggetti dis-tinguibili da un insieme di 6 oggetti. Si osservi che 26 = 64 e il numero deisottoinsiemi dell’insieme formato da 6 studenti. L’insieme ∅ deve essere trascu-rato poiche esigiamo che vengano scelti uno o piu studenti. Ci sono 26 − 1 = 63modi di scegliere gli studenti.

Esercizio 25 Quanti sono i possibili anagrammi della parola AMARENA ?

Soluzione Gli anagrammi considerati sono parole di lunghezza 7 nell’alfabeto{A,M,R,E,N} tali che la lettera A interviene esattamente 3 volte. In primo

luogo, occorre decidere dove sistemare la lettera A e per fare cio ci sono

(

73

)

modi. Rimangono 4 posti dove sistemare le 4 lettere M,R,E,N. Il numero degli

anagrammi e

(

73

)

· 4!.

Esercizio 26 Dato l’insieme A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}. Calcolare il numero deisottoinsiemi non vuoti di A che soddisfano almeno una delle condizioni:

1. hanno ordine pari;

2. sono sottonsiemi di {b, d, e, f, i}.

Soluzione Il numero cercato e 887

4 Esercitazione del 24/04/2004

Esercizio 27 In quanti modi si puo colorare una palizzata di 7 pali avendo adisposizione 4 colori da utilizzare contemporaneamente ?

Esercizio 28 13 amici viaggiano con 3 auto a, b, c. Devono salire 6 personesull’auto a, 4 sull’auto b e 3 sull’auto c. In quanti modi possono suddividersi?

Esercizio 29 Quante sono le schedine del totocalcio in cui ci sono sei 1, quattro2 e tre X?

Gli ultimi due esercizi chiedono di contare il numero delle applicazioni da unn-insieme ad un k-insieme, le cui fibre hanno ciascuna una cardinalita presta-bilita. Si osservi che supponiamo che gli elementi di tali insiemi siano oggettidistinguibili tra loro.

Definizione 7 Sia g : X → B una applicazione. Denotiamo col simbolo g−1 ={x ∈ X|g(x) = b} e chiameremo tale insieme fibra di g sull’elemento b di B ocontroimmagine di b mediante g.

Siano n, k, n1, . . . , nk interi non negativi tali che n1 + n2 + . . . nk = n.(

nn1, . . . , nk

)

= il numero delle applicazioni di X = {1, . . . , n} → A =

{a1, . . . , ak} per le quali la controimmagine di ai abbia ni elementi per ognii = 1, . . . , k.

Altra interpretazione.

Con il metodo del linguaggio, il numero multinomiale

(

nn1, . . . , nk

)

conta le

parole di lunghezza n nell’ alfabeto {a1, . . . , ak} di k lettere, in modo tale chela lettera a1 sia ripetuta n1 volte, la lettera a2 sia ripetuta n2 volte, . . . e ak siaripetuta nk volte.

Esercizio 30 Quante parole di 11 lettere si possono comporre con le letteredella parola MISSISSIPPI?

Soluzione(

111, 4, 4, 2

)

= 11× 10× 9× 7× 5.

Esercizio 31 Calcolare il numero delle applicazioni

f : A = {1, 2, 3, 4, 5, } → B = {a, b, c, d, e, f, g}

tali che immagini di A formino un insieme di ordine 3.

Soluzione(

73

)

3!S(5, 3) = 210S(5, 3).

Definizione 8 Sia X un insieme non vuoto di cardinalita v. Diremo che uninsieme B di k-sottoinsieme di X e un 1-disegno con parametri (v, r, k) se∀ x ∈ X appartiene esattamente a r dei k-sottoinsiemi di B; gli elementi di X sidicono punti del disegno, mentre i k-sottoinsiemi si dicono blocchi del disegno.

Sappiamo che C.N.S. per l’esistenza di un 1-disegno di parametri (v, k, r)

• k|vr;

• vr

k≤(

vk

)

.

Esercizio 32 Sia B l’insieme dei blocchi di un disegno di parametri (v, k, r) esia B′ l’insieme dei complemenatri Bc dei blocchi B in B. Dimostrare che B′ eanche un disegno e individuarne i parametri.

Soluzione Siano (v′, k′, r′) i parametri del disegno cercato. L’insieme dei puntie X e quindi v′ = v.B′ = {Bc|B ∈ B} pertanto i suoi elementi saranno (v − k)-sottoinsiemi di X

e quindi k′ = v − k. Qualsiasi x ∈ X appartiene esattamente a r blocchi di Be quindi non appartiene ai rimanenti vr

k− r blocchi di B. Abbiamo che ogni x

appartiene esattamente a vrk−r blocchi di B′ e quindi r′ = vr

k−r. Concludiamo

che B′ sono i blocchi di un disegno di parametri (v, v − k, vrk− r).

Esercizio 33 Qual e il valore di r del disegno i cui blocchi sono tutti i k-sottoinsiemi di un v-insieme?

Soluzione

(

vk

)

= numero dei blocchi. Qualsiasi x ∈ X appartiene esattamente

a r blocchi del disegno e si osservi che

(

v − 1k

)

= numero dei blocchi che non

contengono x. Il numero dei blocchi che contengono x risulta(

vk

)

−(

v − 1k

)

=v(v − 1)!

k!− (v − 1)!

k!= (v − 1)

(

v − 1k

)

.

Pertanto r = (v − 1)

(

v − 1k

)

.

Esercizio 34 Per quali valori (v, k, r) esiste un disegno con questi parametri?

1. (6, 3, 1);

2. (7, 3, 3);

3. (5, 2, 1);

4. (9, 6, 4).

5 Esercitazione del 27/04/2004

Definizione 9 Un grafo G = (V, S) consiste di un insieme V , i cui elementichiameremo punti o vertici, di un insieme S di 2-insiemi di V che chiameremospigoli e di una relazione di adiacenza R tra i vertici definita come segue:∀ v1, v2 ∈ V, v1 6= v2 v1Rv2 ↔ {v1, v2} ∈ S.

La proprieta caratterizzante un grafo e la relazione di adiacenza che sussistetra i suoi vertici. Cio motiva la seguente definizione.

Definizione 10 Due grafi G1 = (V1, S1) e G2 = (V2, S2) si dicono isomorfi seesiste α : V1 −→ V2 applicazione biunivoca tale che ∀ x, y ∈ V1, x 6= y

{α(x), α(y)} ∈ S2 ↔ {x, y} ∈ S1.

L’applicazione biunivova α si dice isomorfismo di grafi. Quando due grafiG1 e G2 sono isomorfi, essi possono essere presentati come lo ”stesso” grafo.Pertanto due grafi non sono isomorfi se non esiste alcuna applicazione biunivocadall’insieme dei vertici di uno all’insieme dei vertici dell’altro che porta spigoliin spigoli.

Osserviamo che

• Se due grafi sono isomorfi allora presentano lo stessso numero di vertici;

• Se due grafi sono isomorfi allora presentano lo stessso numero di spigoli.

Domanda: Se due grafi presentano lo stesso numero di vertci e di spigoli, essirisultano isomorfi? In generale no.

Per rispondere a questa domanda, presentiamo alcune riflessioni. Si noti chese α : G1 −→ G2 e un isomorfismo di grafi tali che α(v) = w. Ogni spigolocontenente il vertice v viene trasformato mediante α in uno spigolo contenentew e pertanto δ(v) = δ(w).

Conseguenza: se G1 e un grafo con un vertice x tale che δ(x) = n e G2 e ungrafo che non presenta vertici di grado n allora i due grafi non sono isomorfi.

Esempio 11 Sia G1 = (V1, S1) con V1 = {1, 2, 3, . . . , 6} eS1 = {{1, 4}, {3, 4}, {2, 4}, {2, 6}, {6, 5}, {5, 2}};

Sia G2 = (V2, S2) con V2 = {a, b, . . . , f} eS2 = {{a, b}, {b, c}, {c, d}, {d, e}, {e, f}, {g, h}}. I grafi G1 e G2 presentano 6vertici e 6 spigoli ma non sono isomorfi; infatti δ(1) = 1 mentre G2 e un grafo2-regolare.

Ricordiamo che

• Il numero delle componenti connesse di un grafo e un invariante sottol’azione degli isomorfismi;

• Il numero cromatico di un grafo e un invariante sotto l’azione degli iso-morfismi.

Esercizio 35 Si consideri il grafo G i cui vertici sono i numeri interi 1, 2, . . . , 30e in cui due vertici distinti x, y sono adiacenti se il prodotto xy e pari.

1) Il grafo proposto e connesso?

2) Esiste un cammino e un circuito euleriano?

3) Determinare il numero cromatico di G.

Esercizio 36 Sia G un grafo bipartito con un numero dispari di vertici. Di-mostrare che G non possiede un circuito hamiltoniano

Esercizio 37 A partire da un insieme finito X di cardinalita n ≥ 5, si definiscaun grafo Gn = (V, S) nel modo seguenteV consiste di tutti i sottoinsiemi di X di cardinalita 2S = {{v′, v′′}, v′, v′′ ∈ V | v′ ∩ v′′ = ∅}.Segnare l’affermazione sbagliata.

a) Gn e connesso per ogni n ≤ 5;

b) ogni vertice di Gn ha grado (n−2)(n−3)2 ;

c) esistono in Gn cammini euleriani per ogni n ≤ 5.

6 Esercitazione del 3/05/2004

Definizione 12 Sia G = (V, S) un grafo. Ghiameremo grafo complementare Gdi G un grafo che consiste dell’insieme dei vertici di G e i cui spigoli congiungonocoppie di vertici non adiacenti in G

Pertanto G = (V, S) dove ∀ x, y ∈ V, x 6= y

{x, y} ∈ S ←→ {x, y} /∈ S.

SeG ha n vertici v1, v2, . . . , vn e i loro gradi sono rispettivamente d1, d2, . . . , dn;quali sono i gradi dei vertici in G?

Il grafo G e il complementare di G nel grafo completo Kn. In Kn ogni verticeha grado n− 1 e pertanto δ(vi) = n− 1− di per i = 1, 2, . . . , n.

Esercizio 38 Si dimostra che due grafi G e H sono isomorfi se e soltanto se iloro grafi complementari G e H sono isomorfi.Soluzione La dimostrazione segue immediatamente dalla definizione di isomor-fismo α dei due grafi, infatti ∀ u, v ∈ VG

{u, v} /∈ SG ←→ {α(u), α(v)} /∈ SH .

Esercizio 39 I grafi G1 e G2 sotto proposti sono isomorfi?

Figure 1: Grafo1

Figure 2: Grafo2

Soluzione Si considerino i grafi complementari G1 e G2, i quali sono chiaramentiisomorfi come si evince dalla loro rappresentazione grafica:

Poiche G1 w G2 segue che G1 w G2.

Esercizio 40 Trovare tutti gli automorfismi del grafo G1 dell’esercizio prece-dente.Soluzione Gli isomorfismi conservano i gradi dei vertici, i.e. δG(u) = δH(α(u))se α : G 7→ H e un isomorfismo. L’identita e sempre un automorfismo. Siaα : G 7→ Gun automorfismo non identico del grafo G. Poiche v4 e il solovertice di grado 5, allora α(v4) = v4. Inoltre v5 e il solo vertice adiacente siaa v2 che a v3 tale che δG(v2) = 4 = δG(v3). Quindi abbiamo α(v5) = v5. Seα(v2) = v3 → α(v3) = v2, α(v0) = v1, α(v1) = v0.

Esercizio 41 Determinare il numero cromatico di G1.

Esercizio 42 Trovare grafi 4-regolari non isomorfi con 7 vertici.Soluzione Due grafi sono isomorfi se e soltanto se lo sono i loro grafi complemen-tari. Nel nostro caso, i grafi complentari hanno 7 vertici ciascuno di grado 2 edessi sono i seguenti:

Esercizio 43 Si consideri il grafo G = (V, S) costituito da 9 vertici v1, v2, . . . , v9e i cui spigoli sono definiti come segue:

{vi, vj} ∈ S ←→ |i− j| ≥ 2

. Dire quale delle seguenti affermazioni e corretta:

(a) G e un grafo connesso regolare;

(b) χV (G) = 8;

(c) χV (G) < 8;

(d) non ci sono in G cammini euleriani.

7 Esercitazione dell’ 11/05/2004

Esercizio 44 Quale delle seguenti liste risultano quelle di possibili gradi di tuttii vertici di un grafo? Nel caso affermativo, si fornisca una rappresentazionegrafica del grafo.

1) 2, 2, 2, 3; 2) 1, 2, 2, 3, 4; 3) 2, 2, 4, 4, 4; 4) 1, 2, 3, 4.

Soluzione La lista 1) non e quella dei gradi di un grafo, infatti otteniamo unacontraddizione essendo 2|S| =∑

v∈V δ(v) = 2 + 2 + 2 + 3 = 9.

Nel caso 2) si osservi che |S| = 6 e pertanto l’eventuale grafo dovrebbepresentare 5 vertici e 6 spigoli. La costruzione del grafo cercato G si ottienea partire dal grafo completo K5 come segue. In primo luogo osserviamo cheK5 presenta 10 spigoli di cui dobbiamo eliminarne opportunamente 4 ed inoltrepensiamo K5 avente come circuito esterno il pentagono di vertici v1, v2, v3, v4, v5.Poiche nel grafo cercato G esiste un solo vertice di grado 1 (sia esso v1), togliamodal grafo K5 i seguenti 3 spigoli: {v1, v2}, {v1, v3}, {v1, v4}. In G c’e un solovertice di grado 4 e questo necessariamente deve essere v5; non possiamo toglierenessuno degli spigoli uscenti dal vertice v5 ma possiamo togliere esattamente unodei seguenti spigoli: {v2, v4}, {v2, v3}, {v3, v4}. In questo modo otteniamo il grafocercato, infatti δ(v1) = 1, δ(v2) = 2, δ(v3) = 2, δ(v4) = 3, δ(v5) = 4.

Nel caso 3) il grafo cercato G = (V, S) presenta 8 spigoli. Dal grafo completoK5, costruito come visto prima, dobbiamo eliminare in modo opprtuno 2 spigoli.In G ci sono tre vertici, siano essi v3, v4, v5, di grado uguale a quattro. Pertantodegli spigoli di K5 possiamo eliminare soltanto lo spigolo {v1, v2} ottenendo intal modo un grafo con 5 vertici ma 9 spigoli.

Nel caso 4) il grafo G presenta 4 vertici v1, v2, v3, v4 di gradi rispettivamente1, 2, 3, 4, presenta 5 spigoli. Impossibile esibire un grafo del tipo descritto.

Esercizio 45 Si considerino i seguenti quattro grafi Gi = (Vi, Si) con i =1, 2, 3, 4 dove

(a) V1 e l’insieme delle parole binarie di lunghezza 3, S1 e l’insieme dei 2-insiemidi parole di V1 che differiscono esattamente in una posizione;

(b) V2 = X ∪ Y con X = {x1, . . . , x4}, Y = {y1, . . . , y4}; mentre l’insiemeS2 = {{xi, yj}, i, j = 1, . . . , 4, i 6= j}

(c) V3 ha elementi v1, . . . , v8.

S3 = {{vi, vj} : i− j invertibile inZ8}.

(d) G e un grafo connesso bipartito con 8 vertici, regolare di grado 3.

Segnare quale dei suddetti grafi non e isomorfo al cubo ordinario.Soluzione Sappiamo che, a meno di isomorfismi, esiste un solo grafo con le pro-prieta di G4 ( che poi sono quelle caratterizzanti il cubo ordinario); pertantooccorre controllare se tali proprieta risultano soddisfatte o meno dai rimanentigrafi G1, G2, G3. Osserviamo che G1 = (V1, S1) e un grafo con 8 vertici e con-nesso, i.e. due qualsiasi vertici u, v sono congiungibili mediante un cammino inG1. Partizioniamo l’insieme dei vertici V1 = A ∪B nel modo seguente:

A = {u ∈ V1|u contiene un numero pari di1},

B = {u ∈ V1|u contiene un numero dispari di1}.

Costruiamo la seguente applicazioneα : V −→ N2 = {a, b} definita come segue∀ v ∈ V

α(v) =

{

a v ∈ Ab v ∈ B

Si noti che ∀ {u, v} ∈ S1 −→ α(u) 6= α(v), infatti le parole u, v differiscono inuna sola posizione e pertanto se per esempio u ∈ A segue che v ∈ B e viceversa.Se n e il numero di 1 che contiene la parola u allora sara n+1 oppure n il numerodi 1 della parola v. Segue che il grafo G1 e bipartito. Per ogni v ∈ V1, v e unaparola binaria di lunghezza di 3 e poiche a partire da essa modificando i bits inuna sola posizione possiamo individuare 3 parole binarie di lunghezza 3 segueche G1 e un grafo 3-regolare.

Analogamente si procede per provare che G2 = (V2, S2)4 e un grafo connesso3-regolare con 8 vertici. Risulta particolarmente efficace la rappresentazionegrafica di G2.

In Z8 gli elementi invertibili sono 4 e sono 1, 3, 5, 7; segue che in G3 ognivertice ha grado 4 e quindi G3 non e isomorfo al cubo ordinario.

Generalizzando quanto detto sopra, si dimostra che:

Esercizio 46 Il k-cubo Qk e il grafo i cui vertici sono le parole binarie dilunghezza k e i cui spigoli sono i 2-insiemi di tali parole che differiscono esatta-mente in una posizione. Si verifichi che:

• Qk e un grafo k-regolare;

• Qk e un grafo bipartito.

Definizione 13 Sia G = (V, S) un grafo. ”Colorare gli spigoli” del grafo Gsignifica stabilire una applicazione β : S −→ Nn ( detto insieme dei colori) suri-ettiva tale che ∀ {a, x}, {a, y} ∈ S con x 6= y risulta β({a, x}) = β({a, y}); i.e.due qualsiasi spigoli contenenti lo stesso vertice hanno colori diversi. Denoter-emo col simbolo χS(G) il minimo numero di colori che occorre per colorare glispigoli di G e lo chiameremo numero cromatico degli spigoli di G.

Dalla definizione segue facilmente che se G1 w G2 allora χS(G1) = χS(G2);mentre il viceversa non e in generale valido. Poiche in un grafo bipartito G,χS(G) = max dei gradi di G segue che χS(Q3) = 3. Sia G1 il grafo definito comesegue

I grafi G1 e Q3 non sono isomorfi pur presentando lo stesso numero cromaticodegli spigoli.

Esercizio 47 Sia G2 = (V2, S2) il grafo precedentemente definito. Si consid-erino le seguenti applicazioni γi : S2 −→ Z4

(a) γ1({xi, yj} = i;

(b) γ2({xi, yj} = |i− j|;

(c) γ3({xi, yj} = 3i+ j(mod 4);

(d) γ3({xi, yj} = 2i+ j(mod 4);

indicare quale tra le γi risulta una colorazione degli spigoli di G2.

Esercizio 48 Dimostrare che

χS(Kn) =

{

n n > 1 disparin− 1 n pari

Soluzione Sia n > 1 un intero dispari qualsiasi e consideriamo il grafo completoKn costruito a partire da un poligono regolare con n lati. Ogni spigolo di Kn eparallelo ad un unico lato di tale polignono che ovviamente fa parte del grafo.Coloriamo i lati del poligono con i colori 1, 2, . . . , n e coloriamo con il colore i lospigolo di Kn ( che non fa parte del circuito esterno ) con il colore i se questoe parallelo al lato di questo colore. Questa descritta e una colorazione deglispigoli di Kn che utilizza n colori. Adesso proviamo che non puo esistere unacolorazione degli spigoli di Kn che utilizzi n− 1 colori.

Fissato un colore A, al massimo possono esserci n−12 spigoli non confluenti

aventi tutti il colore A ( altrimenti ci sarebbero spigoli aventi un vertice in

comune colorati con il colore A ). Si consideri la seguente rappresentazionegrafica di K5

Per esempio se coloro con A lo spigolo {v1, v2} di K5, degli spigoli uscenti dalvertice v3 non confluenti in v1, v2 possiamo scegliere lo spigolo {v3, v5} e nessunaltro.

In generale con n−1 colori si possono colorare al massimo (n−1)(n−2)2 spigoli.

Poiche inKn ci sono esattamente n(n−1)2 spigoli segue che non e possibile colorare

tutti gli spigoli di Kn con n− 1 colori.

Consideriamo il caso n pari e coloriamo gli spigoli di Kn−1 con n− 1 coloricome suggerito precedentemente, dove con Kn−1 intendiamo il sottografo di Kn

ottenuto da esso eliminando il vertice v e tutti gli spigoli uscenti da v. Denotiamocon vi il vertice del sottografo Kn−1 da cui si dipartono tutti gli spigoli coloratico 1, 2, . . . , n − 1 tranne il colore i. A questo punto coloriamo con i lo spigolo{v, vi} del grafo Kn ed otteniamo la colorazione degli spigoli richiesta. Si osserviche n− 1 e il minimo numero di colori necessario per colorare gli spigoli di Kn,essendo χS(Kn) ≥ n− 1. Illustriamo quanto detto con un esempio.

Esercizio 49 Consideriamo il grafo G = (V, S) dove V = X ∪ Y conX = {x1, x2, x3} e Y = {y1, y2, y3, y4},S = {{xi, yj} con i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4}.

1) In G esistono cammini o circuiti euleriani?

2) In G esistono cammini o circuiti hamiltoniani?

3) Determinare χS(G).

8 Esercitazione del 18/05/2004

Esercizio 50 Costruzione del campo F9 con nove elementi.

Poiche il polinomio x2 + 2x + 2 risulta irriducibile nell’anello Z3[x] ( bastaosservare che esso non presenta fattori lineari), possiamo pensare il campo F9come Z3[x]\(x2 + 2x+ 2) i cui elementi sono le classi ∼ di equivalenza definitacome segue:∀ a(x), b(x) ∈ Z3[x]

a(x) ∼ b(x)↔ x2 + 2x+ 2 divide a(x)− b(x).

Convenendo di denotare col simbolo [a(x)] la classe di equivalenza individuatadal polinomio a(x), definiamo l’addizione e la moltiplicazione in modo ovvio:

[a(x)] + [b(x)] = [a(x) + b(x)], [a(x)][b(x)] = [a(x)b(x)];

si verifica che rispetto a tali operazioni l’insieme delle classi di equivalenza ac-quista struttura di campo, che denotiamo col simbolo F9. Si osservi che i poli-nomi di grado 0, 1 con coefficienti in Z3[x]

F9 = {0, 1, 2, x, x+ 1, x+ 2, 2x, 2x+ 1, 2x+ 2}

formano un insieme completo di rappresentanti per tali classi di equivalenza epertanto il campo F9 contiene 9 elementi. Sappiamo che il gruppo moltiplicativodi F9 e il gruppo ciclico C8 e che presenta Φ(8) = 4 generatori.

Pensando F9 come Z3[x]\(x2 + 2x+ 2), vogliamo controllare se il polinomiox2+2x+2 risulta primitivo in Z3[x], i.e. se il polinomio x risulta un generatoredel gruppo moltiplicativo di F9. A tal fine occorre calcolare tutte le potenze dix, abbiamo

x, x2 = −2x−2 = x+1, x3 = 2x+1, x4 = 2, x5 = 2x, x6 = 2x+2, x7 = x+2, x8 = 1.

Le potenze di x ci danno tutti gli elementi non zero di F9 e il periodo di x euguale a 8, scriviamo C8 = 〈x〉. Invece controlliamo che il polinomio x + 1 none elemento primitivo di F9, infatti abbiamo

x+ 1, (x+ 1)2 = 2, (x+ 1)3 = 2x+ 2, (x+ 1)4 = 1.

Si verifica che anche x + 2 e un generatore del gruppo moltiplicativo di F9 ed’altra parte si osserva che

x(x+ 2) = x2 + 2x = −2 = 1,

i.e. l’inverso di x e il polinomio x+2. Essendo (x+1)(2x+2) = 2x2+2x+2x+2 =2(x+1)+4x+2 = 6x+4 = 1 segue che l’inverso di x+1 e il polinomio 2x+2 epertanto 2x+ 2 non puo essere un generatore per il gruppo moltiplicativo di F9e che 2x e 2x+ 1 ( inversi l’uno dell’altro) risultano i candidati per i rimanentigeneratori del gruppo moltiplicativo di F9. Si lascia allo studente la verifica diquanto teste affermato.

Il fatto che il polinomio x2+2x+2 sia un polinomio primitivo ha il vantaggiodi semplificare la nostra costruzione di F9. Per esempio la tavola delle potenzedi x puo semplificare la moltiplicazione di due elementi di F9.

Domanda: Quali elementi di F9 = Z3[x]\(x2+2x+2) hanno radici quadratenel campo?

Poiche il polinomio x e un elemento primitivo di campo, gli elementi nonzero del campo si scrivono nella forma

x, x2, . . . , x8 = 1.

Ovviamente le potenze pari di x hanno radici nel campo essendo x2m = (xm)2;mentre per le potenze dispari di x abbiamo x2m+1 = β2 = (xk)2 = x2k →x2(m−k)+1 = 1; segue che l’intero dispari 2(m − k) + 1 deve essere un multiplodi 8 e quindi troviamo un risultato contraddittorio. Concludiamo che i quadratinon zero di F9 sono 2 = {x2, x4, x6, x8 = 1} e sono in numero di quattro.

Esercizio 51 Risolvere in F9 = Z3[x]\(x2 + 2x+ 2) la seguente equazione

y2 + 2y + 2 = 0

Soluzione Calcoliamo il discriminante ∆4 = 1−2 = −1 e ricordiamo che, essendo9 ≡ 1(mod 4), −1 ha radice in F9. Se pensiamo F9 costruito come il campoZ3[x]\(x2 + 2x + 2), ci proponiamo di determinare le soluzioni dell’equazioneproposta. Dalla tavola delle potenze di x ricaviamo che x4 = 2 = −1 e quindi lesoluzioni sono −1± x2, i.e. i polinomi x e 2x+ 1.

Esercizio 52 In Z3[x]\(x2 + 2), il polinomio x risulta invertibile?

Soluzione Prima di rispondere a questa domanda, osserviamo che l’anello de-scritto sopra non risulta un campo, infatti il polinomio x2 + 2 non e irriducibilein Z3[x]. Cio significa che non tutti gli elementi non zero presentano inverso,che non possiamo a priori stabilire se il polinomio x risulta o non invertibile mache occorre verificarlo. A tal fine osserviamo che x2 = −2 = 1 e pertanto ilpolinomio x coincide col suo inverso.

Esercizio 53 Qual e il numero degli elementi primitivi nel campo F32? Dedurredalla risposta che il polinomio x5+ x2+1 risulta primitivo irriducibile in Z2[x].

Soluzione Il numero degli elementi primitivi di F32 e Φ(31) = 30 e quindi tutti,tranne 0 e 1, sono generatori del gruppo moltiplicativo di F31. Controlliamo cheil polinomio x5 + x2 + 1 risulta irriducibile in Z2[x]. In primo luogo osserviamoche non puo presentare fattori lineari essendo

05 + 02 + 1 = 1, 15 + 12 + 1 = 1.

In secondo luogo, non presenta fattori quadratici poiche l’unico polinomio ir-riducile in Z2[x] e x2 + x + 1 e x5 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x3 + x2) + 1.Possiamo concludere che il polinomio x5 + x2 + 1 risulta irridubile in Z2[x] eche F32 ' Z2[x]\(x2 + x + 1). Il polinomio x, per quanto sopra detto, risultaun generatore del gruppo moltiplicativo di F32 e quindi il polinomio x5 + x2 +1risulta primitivo irriducibile in Z2[x].

9 Esercitazione del 25/05/2004

Esercizio 54 Siano dati i seguenti codici:

1. C1 = {0000, 1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011, 1111} in V 4;

2. C2 = {10000, 01010, 00001} in V 5.

Si chiede di:

(a) trovare la distanza minima δ per ciascuno dei suddetti codici;

(b) determinare di ciascun codice il numero di errori che puo essere individuatoe corretto;

(c) quale dei dati codici puo essere esteso con l’inclusione di una ulteriore parolasenza modificare δ.

Soluzione Ricordiamo che δ = min{∂(a, b)|a, b ∈ C, a 6= b}, dove la distanza∂(a, b) conta il numero di bits in cui le parole a, b differiscono. Le parole diC1, tranne 0000, 1111, sono tutte quelle che contengono due bits uguali a 1 epertanto δ = 2. Ricordando che un codice con distanza minima δ individua alpiu δ − 1 errori, segue che C1 individua al piu un errore.

Dalla diseguaglianza 2 ≥ 2e + 1 segue che e ≤ 12 e quindi e = 0, i.e. il

codice C1 non corregge errori. Tale codice non puo essere esteso aggiungendo adesso una ulteriore parola binaria senza modificare δ; infatti potremmo aggiungeresoltanto una parola binaria con 3 bits uguali a 1 e in tal caso la sua distanza dallaparola 1111 risulterebbe uguale a 1, modificando δ = 1. Infine osserviamo chequello presentato risulta un codice lineare essendo C1 un sottogruppo del gruppoaddittivo V 4; tenendo conto di tale osservazione avremmo potuto calcolare ladistanza minima δ come il minimo peso di C4, ovvero il minimo numero di bits1 contenuto dalle parole del codice.

Calcoliamo le distanze

∂(10000, 01010) = 3, ∂(10000, 00001) = 2, ∂(01010, 00001) = 2.

le quali ci assicurano che δ = 2 e quindi il codice C2 individua al piu unerrore e non corregge errori. Aggiungiamo a C2 la parola 10101 e calcoliamo ledistanze

∂(10000, 10101) = 2, ∂(01010, 10101) = 5, ∂(00001, 10101) = 2.

Questo codice (non lineare ) chiarisce il fatto che il peso minimo coincide con ladistanza minima se e soltanto se il codice e lineare, infatti il peso minimo di C2e uguale a 1 6= 2 = δ.

Definizione 14 Un codice C si dice ciclico se esso risulta lineare e sea0a1a2 . . . an−1 ∈ C → an−1a0a1 . . . an−2 ∈ C.

Esercizio 55 Siano dati i seguenti codici

(i){000, 100, 010}, (ii){000, 100, 010, 001},(iii){0000, 1100, 0110, 0011}, (iv){0000, 1010, 0101, 1111}.

Quali dei precedenti codici risulta ciclico?

Soluzione Il codice (i) non e ciclico perche per esempio non contiene la parola001. Il codice (ii) non e ciclico perche non e lineare, infatti non contiene la parola011 = 010 + 001.

Il codice (iii) non e ciclico perche non lineare, infatti esso non contiene laparola 1111 = 1100 + 0011.

Infine osserviamo che il codice (iv) e ciclico infatti abbiamo

1010→ 0101→ 1010.

Infine occorre controllare che esso risulta anche lineare:

1010 + 0101 = 1111

1010 + 1111 = 0101

0101 + 1111 = 1010

Esercizio 56 Scrivere tutte le parole codice appartenenti al codice lineare asso-ciato alla seguente matrice di controllo

1 1 0 1 0 0 10 0 0 1 1 0 11 0 1 1 0 0 10 0 0 0 0 1 1

.

Individuare i parametri n, k, δ di tale codice.

Soluzione n = 7, ovvero il numero delle colonne della matrice di controllo. Ilcodice contiene tutte e sole le parole binarie x1x2x3x4x5x6x7 soddisfacenti ilsistema di equazioni:

1 1 0 1 0 0 10 0 0 1 1 0 11 0 1 1 0 0 10 0 0 0 0 1 1

x1x2x3x4x5x6x7

= 04×1.

Esplicitiamo le equazioni del suddetto sistema

x1 + x2 + x4 + x7 = 0x4 + x5 + x7 = 0

x1 + x3 + x4 + x7 = 0x6 + x7 = 0

Le soluzioni sono le parole del tipo (x3 + x5, x3, x3, x5 + x7, x5, x7, x7) al variaredi x3, x5, x7 ∈ {0, 1} e pertanto il codice presenta dimensione k = 3. Nel codiceci sono 2k = 23 = 8 parole binarie. Tenendo conto della struttura della genericaparola-codice segue facilmente che il peso minimo del codice e uguale a 2 e chepertanto δ = 2. Dalla diseguaglianza δ ≥ 2e+1 segue che e = 0 e quindi il codicenon corregge errori.

Esercizio 57 Sia C il codice lineare definito dalla seguente matrice di controllo

1 1 0 1 0 11 1 1 0 1 01 0 1 1 0 0

.

Se la parola ricevuta e 110110 e un solo errore e stato commesso nella trasmis-sione dei dati, qual e la parola codice inviata?

Soluzione Calcoliamo

1 1 0 1 0 11 1 1 0 1 01 0 1 1 0 0

110110

=

1 + 1 + 11 + 1 + 11 + 1

=

110

.

Otteniamo la seconda colonna della matrice di controllo, pertanto e statocommesso un errore nella trasmissione della parola, in realta la parola inviata e100110.

Esercizio 58 Sia C un codice lineare con distanza minima δ, sappiamo cheesso individua al piu δ− 1 errori ma che puo correggere e errori con δ ≥ 2e+1.Cerchiamo di chiarire le espressioni C corregge al piu e errori e individua alpiu δ − 1 con il seguente esempio. Si consideri il codice lineare descritto dallaseguente matrice di controllo

1 1 0 1 0 11 1 1 0 1 01 0 1 1 0 1

e supponiamo che la parola arrivata dopo la trasmissione dei dati sia 011000.Osserviamo che

1 1 0 1 0 11 1 1 0 1 01 0 1 1 0 1

011000

=

101

.

Se supponiamo che nella trasmissione dei dati sia stato commesso un solo errore,non siamo in grado di stabilire se tale errore e stato commesso nel quarto bitoppure nel sesto bit della parola arrivata. Il codice non e in grado di correg-gere l’errore. Calcoliamo le parole del codice risolvendo il seguente sistema diequazioni:

1 1 0 1 0 11 1 1 0 1 01 0 1 1 0 1

x1x2x3x4x5x6

= 03×1,

esplicitiamo le equazioni del sistema

x1 + x2 + x4 + x6 = 0x1 + x2 + x3 + x5 = 0x1 + x3 + x4 + x6 = 0

Le soluzioni sono le parole binarie del tipo (x5, x3, x3, x4, x5, x5 + x3 + x4), conx3, x4, x5 ∈ {0, 1}, e pertanto il codice ha dimensione k = 3. Si osservi che ladistanza minima δ = 2 infatti il peso minimo delle parole del codice e 2, comesi evince dalla loro ”struttura”. Questo significa che il codice individua al piuun errore ma non risulta sempre in grado di corregerlo, sara in grado di farlo sel’errore e stato commesso nel primo, nel secondo, nel terzo o nel quinto bit dellaparola inviata.