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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS
PROYECTO FIN DE CARRERA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA
Y MÉTODOS INFORMÁTICOS
ESTUDIO DE LA APLICABILIDAD DE LAS APROXIMACIONES
UNIFORMES AL ANÁLISIS DE SERIES HISTÓRICAS.
APLICACIÓN AL CASO DE LOS PRECIOS DEL COBRE
RAFAEL BARAÑANO MUÑOZ SEPTIEMBRE DE 2013
TITULACIÓN: INGENIERO DE MINAS PLAN: 1996
Autorizo la presentación del proyecto
ESTUDIO DE LA APLICABILIDAD DE LAS APROXIMACIONES
UNIFORMES AL ANÁLISIS DE SERIES HISTÓRICAS
APLICACIÓN AL CASO DE LOS PRECIOS DEL COBRE
Realizado por
Rafael Barañano Muñoz
Dirigido por
Julián Alonso Martínez Carlos Macías Evangelista
Firmado: Prof. Julián Alonso Martínez Fecha: 11/10/2013
AGRADECIMIENTOS
Al profesor Julián Alonso, mi tutor de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de
Minas, por proporcionarme la oportunidad de realizar el Proyecto Fin de Carrera.
Al profesor Carlos Macías Evangelista, mi cotutor en la Escuela Técnica Superior de
Ingenieros de Minas.
A Manuel Hervás Maldonado, Secretario académico de la Escuela Técnica Superior
de Ingenieros de Minas, quien siempre me ha estado orientando, y asesorando en
cualquier tipo de duda referente al proyecto.
Y, por último, a mis familiares, y especialmente a mi padre, quien con sus
conocimientos en las áreas de matemáticas e informática, nos ha ayudado a
solventar las distintas dudas que nos han ido surgiendo a lo largo del proyecto.
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Contenido
DOCUMENTO Nº1: Memoria
1 OBJETIVO Y ALCANCE. 2
2 DEFINICIÓNDELPROBLEMATRATADO . 5
2.1 Introducción. 10
2.2 Sensibilidad de la muestra. 10
3 ANTECEDENTES. 13
3.1 Introduccion a la teoría de aproximación. 13
3.1.1 Concepto de aproximación. 13
3.1.2 Mejor aproximación en un espacio métrico. _________________________________ 16
3.1.3 Mejor aproximación en un espacio vectorial normado. _______________________ 16
3.1.4 Mejor aproximación enun espacio prehibertiano. ____________________________ 17
3.2 Ortogonalización. ______________________________________________________ 23
3.3 Aproximación de funciones. ___________________________________________________ 24
3.3.1 Teorema de Weierstrass. _________________________________________________ 26
3.4 Interpolación. _________________________________________________________ 31
3.5 Aproximaciones uniformes. ___________________________________________________ 34
3.5.1 Soporte de Tchebichef. ___________________________________________________ 35
3.5.2 Ortogonalidad de los polinomios de Tchebichef. ____________________________ 40
3.6 Aproximaciones uniformes. ___________________________________________________ 41
3.6.1 Teorema de Haar. ________________________________________________________ 42
3.6.2 Teorema de La Vallée Poussin. ___________________________________________ 45
3.6.3 Teorema de Tchebichef. _________________________________________________ 46
4. ANÁLISIS DE LA MUESTRA. 53
5. ANÁLISIS DE RESULTADOS. 65
5.1 Resultados obtenidos. 65
6. CONCLUSIONES. 66
7. REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA. 68
ii
DOCUMENTO Nº 2: ESTUDIO ECONÓMICO
1 ESTUDIO ECONÓMICO. 73
DOCUMENTO Nº 3: ANEXOS
ANEXO A: TEORÍA DE MÍNIMOS CUADRADOS. 77
ANEXO B : GRÁFICOS . 88
iii
Resumen
El objetivo de este proyecto de investigación es comparar dos técnicas matemáticas
de aproximación polinómica, las aproximaciones según el criterio de mínimos
cuadrados y las aproximaciones uniformes (“minimax”). Se describen tanto el
mercado actual del cobre, con sus fluctuaciones a lo largo del tiempo, como los
distintos modelos matemáticos y programas informáticos disponibles.
Como herramienta informática se ha seleccionado Matlab®, cuya biblioteca
matemática es muy amplia y de uso muy extendido y cuyo lenguaje de programación
es suficientemente potente para desarrollar los programas que se necesiten.
Se han obtenido diferentes polinomios de aproximación sobre una muestra (serie
histórica) que recoge la variación del precio del cobre en los últimos años. Se ha
analizado la serie histórica completa y dos tramos significativos de ella. Los
resultados obtenidos incluyen valores de interés para otros proyectos.
Abstract
The aim of this research project is to compare two mathematical models for
estimating polynomial approximation, the approximations according to the criterion
of least squares approximations uniform (“Minimax”). Describes both the copper
current market, fluctuating over time as different computer programs and
mathematical models available.
As a modeling tool is selected main Matlab® which math library is the largest and
most widely used programming language and which is powerful enough to allow you
to develop programs that are needed.
We have obtained different approximating polynomials, applying mathematical
methods chosen, a sample (historical series) which indicates the fluctuation in copper
prices in last years. We analyzed the complete historical series and two significant
sections of it. The results include values that we consider relevant to other projects.
ESTUDIO DE LA APLICABILIDAD DE LAS APROXIMACIONES
UNIFORMES AL ANÁLISIS DE SERIES HISTÓRICAS.
APLICACIÓN AL CASO DE LOS PRECIOS DEL COBRE
DOCUMENTO Nº 1: MEMORIA
2
1 Objetivo y alcance
En el mundo actual, más que nunca, es de vital importancia establecer
predicciones fiables, respecto a comportamientos futuros, de magnitudes variables
(físicas, económicas, etc…), a partir de la información, sobre dichas magnitudes,
recogida, en forma de series históricas, más o menos extensas en el tiempo. Tales
predicciones se llevan a cabo mediante metodologías muy distintas, basadas todas
ellas, en el establecimiento de unos modelos que, no siempre, han demostrado su
eficacia. No hay más que remitirnos a la actual crisis económica para constatar la
ineficacia que han demostrado muchos de estos modelos dada la inexactitud; a veces,
enorme, de las predicciones realizadas.
Muchos de estos modelos terminan estableciendo, o al menos hacen uso de
funciones (casi siempre polinómicas) calculadas para que aproximen
“suficientemente bien” un conjunto de valores históricos conocidos de las
magnitudes objeto del estudio y es, a partir de dichas expresiones, mediante técnicas
de análisis, más o menos sofisticadas, como se deducen valores para el futuro.
En la mayor parte de los casos, el concepto de aproximación “suficientemente
buena” se apoya en, o incluso termina siendo, un ajuste de la nube de puntos de la
serie histórica, mediante la técnica de mínimos cuadrados. Un ejemplo,
extremadamente simplificado, de lo anterior es el caso de la conocida “recta de
regresión” que, como es sabido, no es más que un ajuste mínimo-cuadrático de tipo
lineal mediante un polinomio de grado uno.
En todo lo que sigue nos preguntamos si dicha técnica de aproximación es tan buena
como creemos o, dicho de otra manera, si el criterio mínimo-cuadrático es preferible
o no a otros criterios de medición de bondad de ajuste. Es sabido que dicha técnica
de ajuste utiliza, como criterio de bondad, el que la suma de los cuadrados de las
desviaciones entre los datos conocidos y la curva representativa de la función de
ajuste, sea la mínima posible. Parece, a primera vista, un criterio razonablemente
bueno y, no en vano, dispone de un amplísimo bagaje matemático y consideraciones
de naturaleza estadística que lo sustenta. Pero también es cierto que los errores,
3
medidos como desviaciones entre los datos y la curva de ajuste, si bien, en media
(media cuadrática), podrían ser aceptables, analizados individualmente, pueden ser
en algunos casos de una magnitud inaceptable.
La situación descrita se hace especialmente patente cuando existen irregularidades
puntuales en los datos o dicho de otra manera, aparecen puntos atípicos, lo que
ocurre cuando nos enfrentamos a series históricas que reflejan la evolución de una
variable medida en períodos de tiempo en el que existen momentos de gran
fluctuación como; por ejemplo, ocurre con las magnitudes de índole económica en
los momentos actuales. ¿ No sería deseable que dispusiésemos de una metodología
que limitase el error máximo que se produce en el ajuste de los datos de la serie
histórica a nuestra curva de ajuste ?. O mejor aún, ¿ no convendría utilizar una
metodología que minimizase, en el peor de los casos, dicho error ?.
Afortunadamente, tal metodología existe en el arsenal matemático del que hoy día
disponemos. Se trata de las aproximaciones uniformes, también denominadas
aproximaciones “minimax”, que se basan en considerar, como criterio de bondad de
un ajuste, la minimización del error absoluto máximo o, planteando el problema de
otra manera: elegir, del conjunto de las infinitas funciones de ajuste, de un tipo
predeterminado, aquella que nos garantice que el error máximo, definido como antes
hemos hecho; es decir, como la mayor desviación, ahora en valor absoluto, entre los
valores-dato y sus valores ajustados, sea mínima en el conjunto de todos los datos.
En lo que sigue nos proponemos, tras un breve repaso de las restantes técnicas de
aproximación, llevar a cabo un estudio exhaustivo de las aproximaciones uniformes
para datos de tipo discreto, a sabiendas de que la obtención de dichas curvas de
aproximación se basan en algoritmos muchísimo más complicados que en el caso
mínimo-cuadrático y conocedores del escaso desarrollo matemático que tales
aproximaciones han merecido hasta la fecha, si lo comparamos con la metodología
del ajuste mediante el criterio de los mínimos cuadrados.
4
En concreto, en nuestro proyecto, partiremos de un conjunto de datos
relativos a la evolución del precio del cobre, en los últimos años y, sobre dicha serie
histórica, elaboraremos nuestros estudios. Individualizaremos las curvas de ajuste de
un tipo (mínimos cuadrados) y otro (minimax) y analizaremos, comparativamente,
los resultados obtenidos tratando de llegar a conclusiones respecto a la conveniencia
o no de utilizar una u otra metodología.
Como paso previo a todos los estudios, se ha realizado un pretratamiento de los
datos con el fin de homogeneizarlos, eliminando de la muestra, aquellos puntos que
se han considerado poco relevantes o que alteraban en exceso la homogeneidad de la
serie histórica. Hay que añadir, no obstante, que la fiabilidad de los resultados es
limitada puesto que la muestra no ha sido calibrada ni validada como hubiese sido
deseable. No obstante, dado el carácter marcadamente teórico de este proyecto y el
tipo de conclusiones a que esperamos llegar, el hecho de la no absoluta fiabilidad de
los datos de la serie histórica, podría considerarse irrelevante.
Como parte fundamental de este proyecto se ha desarrollado un programa
informático que implemente a el algoritmo de obtención de aproximaciones
uniformes de tipo polinómico, sobre datos de naturaleza discreta. Dicha aplicación
informática, soportada, tanto en el entorno de desarrollo MATLAB® como en el
entorno de OCTAVE, llevará a cabo la obtención numérica del polinomio
aproximante, mediante las dos metodologías ya indicadas, y llevar a cabo la
presentación gráfica de los resultados que se obtengan.
5
2 Definición del problema tratado
2.1 Introducción
Antes de realizar las estimaciones y el estudio detallado con los dos métodos
mencionados anteriormente, conviene explicar algunos antecedentes relevantes del
mercado del cobre y hacer algunas precisiones conceptuales.
El mercado del cobre, así como el de otros metales y productos primarios se
caracteriza por fuertes oscilaciones y por tendencias persistentes. Estas últimas
sugieren que el nivel de equilibrio del mercado es cambiante en el tiempo.
Por ejemplo, si consideramos promedios móviles del precio del cobre de veinte años
para el periodo 1920-2013, encontramos un mínimo de aproximadamente 125 c/lb, y
un máximo de aproximadamente 250 c/lb. Esto es un claro indicio de que el
equilibrio del mercado no ha sido constante y sugiere, además, que usar el promedio
histórico para formarse una idea del precio futuro es una mala estrategia.
El crecimiento del consumo de cobre ha sido altamente volátil año a año, y ha
presentado niveles de crecimiento desiguales en distintos periodos. Considerando el
crecimiento anual en periodos de veinte años, encontramos un mínimo de
aproximadamente 1,2% y un máximo de 5,4% para el periodo 1946-2013. En
resumen, el precio del cobre, ha presentado fuertes oscilaciones, y tendencias
persistentes y diferentes a lo largo del tiempo.
Es por esto último, por lo que debemos analizar a conciencia la muestra con sus
posibles fluctuaciones en el tiempo y estudiar el comportamiento de las dos técnicas
de aproximación (mínimos cuadrados y aproximaciones minimax) que deseamos
contrastar.
Podemos afirmar, en un primer análisis del problema tratado, que según sea el
intervalo considerado de la series históricas objeto de nuestro estudio, podría ser
suficiente una aproximación por mínimos cuadrados en la zona en que dicha serie se
comporta de manera suave, sin fluctuaciones importantes, lo que ocurre en los
primeros años estudiados. En concreto, desde el año 2000 hasta el año 2006 la nube
de puntos tiene un comportamiento muy regular lo que nos permite la utilización de
6
este método. Es a partir del año 2006, donde la serie presenta fuertes irregularidades
(fluctuaciones) y es, precisamente en esta zona de la serie donde el método por
mínimos cuadrados tiene una gran carencia en cuanto a precisión se refiere
presentando errores (desviaciones) muy grandes. A raíz de lo anterior surge la idea
de escoger un método que aproxime con mayor rigor este tipo de puntos.
Afortunadamente las aproximaciones uniformes, también denominadas
aproximaciones minimax, proporcionan una aceptable respuesta, notablemente
mejor que la que se obtiene de la aplicación de aproximaciones mínimo-cuadráticas.
Ya veremos en los diferentes estudios efectuados como existe una gran diferencia de
error cometido cuando la elección del método es uno u otro, haciendo especial
hincapié en los puntos atípicos (zona fluctuante).
Sin desviarnos de nuestro objetivo principal, vamos a continuar haciendo un pequeño
análisis del mercado del cobre tratando de analizar el comportamiento del precio del
cobre a lo largo de los últimos años y el porqué, a partir de 2006, ha surgido tanta
variabilidad en el precio.
En lo que sigue, vamos a analizar los valores del precio del cobre a largo plazo y
como han ido variando con el tiempo, lo que nos va ayudar a entender mejor que
componentes inciden de manera directa en la determinación de dichos precios.
Las estimaciones del precio de largo plazo han sido también variables en el tiempo,
como puede apreciarse en la siguiente gráfica realizada por la comisión chilena del
cobre (Cochilco) y que presenta las estimaciones anuales frente a valores de
“consenso” (trimestrales) obtenido como el promedio de varias proyecciones , y
proyecciones puntuales de Brook Hunt (experto analista en la determinación del
precio en minería) al final del periodo.
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Estimaciones del precio del cobre a largo plazo
El precio de equilibrio de largo plazo es aquel para el cual no existen
incentivos para la entrada o salida de empresas. En el caso de la minería esto implica
que los factores de producción reciben su pago y que los retornos de las empresas en
producción son suficientes, mientras que los retornos que obtendrían los proyectos
que no están en producción serían insuficientes en el largo plazo.
Cuando el precio está alejado de este equilibrio, y en ausencia de impactos (o
“shocks”) a la demanda o la oferta, el precio del cobre converge hacia el equilibrio
de largo plazo, a través de la entrada o salida de empresas de la producción, un
proceso que; sin embargo, no es instantáneo, generándose así oscilaciones
persistentes en la serie de precios.
Es importante distinguir impactos de corto y largo plazo. Un alza puntual del precio
del petróleo, por ejemplo, no llevará inmediatamente a la salida de empresas de
producción, pero si la visión de largo plazo del precio del petróleo sube
sustancialmente, algunas compañías dejarán de ser rentables y se verán forzadas
a salir del mercado, disminuyendo la oferta y afectando el precio de equilibrio.
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De lo anterior se desprende que el precio de equilibrio no es estático, y que diversos
impactos pueden moverlo en una y otra dirección, como la difusión de nuevas
tecnologías, variaciones en las reservas, o la calidad de los yacimientos, y también
cambios de largo plazo en el crecimiento de la demanda.
Lo que generalmente se denomina “precio de largo plazo” es un resumen de la
proyección del precio de equilibrio de largo plazo del mercado. Cuando la
proyección del precio de equilibrio es estable, podemos resumirla en un único
número, algo que implícitamente se hace al evaluar proyectos con un precio fijo. Si
el precio de equilibrio sigue una trayectoria, el uso de un solo precio de largo plazo
no es recomendable, pues será un promedio que depende del horizonte considerado.
En la figura siguiente se presentan estos conceptos de modo ilustrativo (no son
estimaciones). El gráfico de la izquierda presenta un precio de equilibrio con
una clara tendencia (en este caso una tendencia cuadrática), que se proyecta hacia el
futuro. Una tendencia cuadrática tiene algún sustento económico en el caso de los
metales. En la primera parte primarían el aumento de las reservas y las mejoras
tecnológicas, mientras que en la segunda parte primaría la escasez. El gráfico de la
derecha presenta un precio de equilibrio de largo plazo variable, pero sin una
tendencia determinada, de modo que la proyección es una línea horizontal.
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En ambos casos el precio observado oscila en torno al precio de equilibrio de largo
plazo. El carácter cíclico de dichas oscilaciones es reflejo de la persistencia
antes descrita. El precio de equilibrio de largo plazo no se observa
directamente, y debe ser estimado. Es este en último punto, donde nosotros vamos a
incidir, tratando de determinar el precio futuro del cobre, apoyándonos al máximo
del histórico de puntos ya conocidos puesto que, nuestros modelos matemáticos, y en
concreto, más especialmente el método por aproximaciones Mininax será tanto más
rico, en cuanto a precisión se refiere, cuanto mayor sea el historial de puntos en el
que se apoye.
Otro aspecto importante que se desprende de estas ilustraciones es que la proyección
del precio de equilibrio de largo plazo es la proyección óptima del precio cuando el
horizonte es mayor. La proyección del precio observado converge rápidamente hacia
el equilibrio de largo plazo. En la evaluación de proyectos mineros, los primeros
años suelen corresponder a la construcción, por lo que corresponde usar el precio de
equilibrio para el momento en que el proyecto entraría en producción. De
cualquier manera, si el proyecto comenzara a producir en un horizonte cercano,
puede usarse una proyección del precio observado para los primeros años.
Un último aspecto conceptual a considerar es la influencia del crecimiento de la
demanda en el precio de equilibrio de largo plazo.
Una curva de oferta de largo plazo horizontal implicaría que el nivel de la demanda
no tiene efectos de largo plazo. Sin embargo, en el caso de la producción de cobre, la
diferencia en la calidad de los yacimientos conduce a una oferta que no es
horizontal sino creciente. En otras palabras, aún cuando se use la misma
tecnología y los mismos precios de factores, el costo marginal será diferente en
minas diferentes debido a factores técnicos como las reservas, la ley del mineral, el
tipo de mineral, la razón lastre mineral, y otras particularidades de cada yacimiento.
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2.2 Sensibilidad de la muestra
Puede apreciarse que las proyecciones tienen una tendencia ligeramente decreciente
hasta el 2006, y a partir de entonces se incrementan abruptamente. El precio del
cobre había experimentado su mínimo en 2001, lo que sugiere que ante la
persistencia de los precios altos, lo que en un principio fue considerado como
variaciones cíclicas, más adelante ha sido interpretado como un cambio de nivel
permanente.
Al respecto, puede notarse que ha existido una tendencia decreciente en el
crecimiento del consumo de cobre en el periodo considerado (1946-2008),
reflejo de una caída sistemática en la intensidad de uso del cobre (la razón entre
consumo de cobre y producto), que; sin embargo, se ha estabilizado en los
últimos años con la irrupción de China como importante consumidor de cobre a altas
tasas de crecimiento. Esto ha llevado a una visión más optimista sobre la trayectoria
futura del consumo de cobre en el mediano y largo plazo.
El crecimiento del consumo en China ha sido elevado y significativo sobre el
promedio mundial. Sin embargo, al mismo tiempo puede observarse que el
crecimiento del resto del mundo ha presentado una tendencia decreciente, de modo
que China ha compensado en parte esa caída. A pesar del alto nivel de crecimiento
de China, el crecimiento anual del consumo mundial en los últimos diez años ha
sido de 3,2%, que se ha considerado como el escenario central de la proyección.
Esto se justifica porque, aun cuando pueda observarse una estabilización del
consumo de otras regiones consumidoras, existe consenso en que la trayectoria
del crecimiento en China será a tasas elevadas, pero menos que en el periodo
reciente. BGRIMM (Beijin General Research Institute Mineral Metallurgy) ha
proyectado un consumo en China más cercano al 6-7% para los próximos años,
cayendo hacia un nivel de aproximadamente 5,4% hacia el 2015.
Esta visión, comparativamente pesimista, se basa en que el estudio atribuye
importancia creciente al uso de chatarra, a los efectos de la sustitución, y a poco
crecimiento en el uso de cobre en productos de uso final, así como a una
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moderación en otros sectores de uso final. Brook Hunt, por su parte, ha ido
disminuyendo progresivamente sus proyecciones de crecimiento del consumo Chino.
A finales de 2007 proyectaba una tasa de crecimiento para China de 7,1% para el
periodo 2008-2020, mientras que en el tercer trimestre de 2008, esa proyección ha
caído a 6,3% anual.
Como vemos, el precio del cobre ha fluctuado mucho en diversos momentos a lo
largo de estos años. Todos estos cambios responden a diferentes causas de
distinta índole y que en la siguiente gráfica quedan, de manera sintetizada
reflejados.
Entre 1972 y 1978, por ejemplo, la desaceleración mundial a causa de la crisis
petrolera, significó una fuerte caída en el precio real del cobre, que no ha llegado a
recuperar los altísimos valores que alcanzó en 1966 cuando registró un fuerte
aumento.
Asimismo, entre 1997 y el 2003, el precio del cobre volvió a experimentar una caída
afectada por una desaceleración de la economía mundial y por los envites de la crisis
asiática.
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Posteriormente, el cobre experimentó un "boom", sufriendo un alza significativa
explicada fundamentalmente, por la irrupción de China y su fuerte demanda de
cobre.
No obstante, entre 2008 y 2009 el precio del cobre registró una caída producto de la
recesión mundial causada por” la crisis subprime”.
En 2010 el precio siguió avanzando, superando en un 46% el precio del año anterior.
Este desempeño fue impulsado por unas bases sólidas en el mercado y por el
respaldo de China como principal motor en el crecimiento de la demanda de metales.
Por último, en 2011 el precio del cobre disminuyó, afectado por las bajas
expectativas de crecimiento de diversos países.
En lo anteriormente comentado, se pone de manifiesto que la irrupción del
mercado chino ha tenido una influencia directa en el mercado del precio del cobre
empezando en el año 2004 y haciéndose claramente notoria a partir del año 2006.
Vamos por tanto, a hacer especial hincapié en este intervalo, que será motivo de
discusión en cuanto a la elección del método se refiere. Asímismo, no hemos
hablado hasta ahora, pero, si antes hacíamos referencia al fuerte crecimiento del
precio del cobre a partir del año 2006, también debemos reflejar en este apartado
el fuerte decrecimiento que se produjo en el mercado del cobre en el año 2008,
llegando a alcanzar un precio de 2,267 dólares por libra, en el precio del cobre.
Este descenso tan acusado se debe en gran medida a la crisis mundial financiera,
si bien es cierto que otros agentes influyeron de manera también notoria. Tal es el
caso del mercado chino que en el primer trimestre de 2008 tuvo un crecimiento
económico inferior al esperado aunque este descenso ya lo reflejaba Cochilco
desde el año anterior, llegando a producirse un descenso del 11,87% con respecto
a 2007. Además, El ánimo en el mercado se vio sacudido por el temor a un
debilitamiento de la demanda en China, el recrudecimiento de la crisis europea y la
timidez de la recuperación en EEUU.
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Todo lo anterior queda reflejado en la gráfica siguiente en la que hemos
diferenciado, para nuestro estudio dos zonas: una zona de comportamiento suave.
que hemos marcado en azul y una zona claramente fluctuante que se muestra
marcada en color rojo.
3. Antecedentes
3.1 Introducción a la teoría de la aproximación
3.1.1 Concepto de aproximación
Definido un elemento ƒ de un conjunto E, el Análisis Numérico trata de los
procedimientos para su obtención práctica. La necesidad de este estudio surge del
hecho de que los elementos del conjunto E no son, en el caso más general, fácilmente
manejables. Nos encontramos por tanto, con un primer problema, consistente en la
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 2040
50
100
150
200
250
300
350
400
450PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013). Zonas suave y fluctuante
Meses desde Enero/1996
Cen
tavo
s de
dól
ar (
US
D)
por
libra
Marzo/2006 →
Abril/2008 →
Dicbre/2008 →
Febrero/2011 →
14
definición del elemento ƒ, estudio de sus características para poder situarlo en un
conjunto E cuyas propiedades puedan ser estudiadas con generalidad, o lo hayan
sido anteriormente, por tratarse de un conjunto conocido. El segundo problema,
obtención práctica del elemento ƒ, tratará, si ésta no es inmediata, de su sustitución
por otro Φ de un conjunto F, cuyos elementos presenten especiales características de
manejabilidad. Esta sustitución convendrá hacerla de forma que Φ sea en cierta
forma lo más próximo a ƒ.
Este concepto de proximidad nos lleva a definir el conjunto E como un espacio
métrico, es decir, un conjunto en el que se ha definido una distancia, aplicación
numérica
� ∶ �ƒ, Φ� ∈ E × E → �ƒ, Φ� ∈ ℝ
Tal que ∀ ƒ , Φ , h ∈ �
��ƒ, Φ� = 0 ƒ = Φ ��ƒ, Φ� = ��Φ, ƒ� ��ƒ, Φ� ≤ ��ƒ, h� + d�h, Φ�
Asimismo, consideraremos que F es un subconjunto de E.
Podemos ahora enunciar el principio de la aproximación:
Dado un elemento ƒ∈ E, obtener un elemento Φ* ∈F, siendo E un espacio métrico
con la distancia ��ƒ, Φ� y F ⊂ E, tal que
��ƒ, Φ∗� ≤ ��ƒ, Φ� ∀� ∈ F
Se nos plantea entonces varios problemas
- Existe el elemento Φ*?
- Si existe, es único ?
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- Existe un procedimiento para su obtención?
- El valor de la distancia ��ƒ, ϕ∗�, es lo suficientemente pequeño, para que la
sustitución de ƒ por Φ* sea aceptable?
No existe una respuesta para todos estos problemas, ya que en el caso más general,
ésta sería negativa. Sin embargo, dependiendo de las características de los conjuntos
E y F, podemos en unos casos asegurar la existencia de Φ*, aunque no pueda
garantizarse su unicidad y será también posible en otros, elegir un subconjunto F ⊂
E, denso en E de forma que ��ƒ, Φ∗� sea tan pequeña como se quiera.
Respecto al procedimiento de obtención, éste debe comportar un número finito de
operaciones. Asimismo, el procedimiento debe ser tal que si ƒ∈ E, el elemento
obtenido sea el mismo ƒ
Φ* = ƒ
El elemento Φ* que cumple la condición se denomina mejor aproximación de ƒ∈ E
en F, según la distancia ��ƒ, Φ�, o también proyección de ƒ sobre F. A la distancia ��ƒ, Φ∗� se le denomina distancia de ƒ a F.
Conviene aclarar que la existencia de la mejor aproximación no garantiza la validez
de la sustitución de ƒ por Φ*, si
��ƒ, Φ∗� > �
donde � representa la desviación máxima admisible. Por otra parte puede no existir
la mejor aproximación y, sin embargo, existir un elemento Φ*∈F, tal que
��ƒ, Φ∗� < �
en cuyo caso, la sustitución de ƒ por Φ* sería perfectamente válida.
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3.1.2 Mejor aproximación en un espacio métrico
Teorema.- Si F es un subconjunto compacto del espacio métrico E, existe al
menos un elemento Φ*∈F tal que
��ƒ, Φ∗� = min"∈# d�ƒ, Φ�
En efecto la función numérica continua
$: � ∈ F → D�Φ� = d�ƒ, Φ� ∈ ℝ
definida en un conjunto compacto alcanza su cota inferior.
3.1.3 Mejor aproximación en un espacio vectorial
normado
Consideremos el caso de que E sea un espacio vectorial normado, es decir, un
espacio vectorial en el que se ha definido una norma, aplicación numérica
‖ · ‖: ) ∈ E → ‖)‖ ∈ ℝ
tal que ∀* ∈ ℝ y ∀), + ∈ �
‖)‖ = 0 ) = ,
‖) + +‖ ≤ ‖)‖ + ‖+‖
‖*)‖ = │*│ · ‖)‖
Podemos definir en él la distancia
��), +� = ‖) − +‖), + ∈ �
Teorema.- Si F es un subespacio vectorial de dimensión finita, del espacio vectorial
normado E, para todo ) ∈ �, existe al menos un elemento Φ*∈F, tal que
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‖) − Φ∗‖ = min"∈# ‖) − Φ∗‖
En efecto, si existe el elemento Φ* , ha de encontrarse en la bola cerrada ./(0,2‖)‖� de radio r= 2‖)‖ y centro en el elemento neutro del espacio vectorial, es decir, ‖1 ∗ ‖ ≤ 2, ya que para todo elemento Φ exterior a la bola
‖1‖ > 2
se tendría
‖) − 1‖ ≥ |‖)‖ − ‖1‖| > 2 2⁄
y puesto que si 0∈ � es el elemento neutro del espacio vectorial
‖) − ,‖ = 2 2⁄
sería
‖) − 1‖ > ‖) − ,‖
Se deduce que Φ* sólo puede encontrarse en un subconjunto compacto de F, por lo
que de acuerdo con el teorema anterior Φ* existe.
3.1.4 Mejor aproximación en un espacio prehibertiano
Se ha demostrado la existencia de la mejor aproximación en los espacios
mencionados. Sin embargo, han quedado sin contestación algunas de las preguntas
formuladas al principio de esta exposición, así como al valor de la distancia entre f y
Φ* , medida del error de la aproximación y que permitiría decidir sobre la validez de
la misma.
Un espacio que merece un tratamiento específico, por su gran importancia en el
estudio de los problemas del Cálculo numérico y en el cual las preguntas planteadas
tienen respuesta afirmativa, es el prehilbertiano.
Sea (f,g) el producto escalar definido en el espacio vectorial E
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�), +�: 6), 78 ∈ � × � → �), +� ∈ ℝ
tal que ∀), +, 9 ∈ �, :∀* ∈ ℝ
�), +� = �+, )� �), + + 9� = �), +� + �), 9� �*), +� = *�), +� �), )� ≥ , �), )� = , ) = ,
Puede entonces definirse la norma
‖)‖ = ;�), )�
La existencia de un elemento Φ*∈ < en el subespacio vectorial F de dimensión finita
de E, está garantizada por el teorema anterior. El siguiente teorema, uno de los más
importantes de la teoría del Análisis Numérico, indica las condiciones que ha de
cumplir Φ* .
Teorema.- Una condición necesaria y suficiente para que Φ*∈ < sea una mejor
aproximación de ) ∈ =, siendo F un subespacio vectorial de dimensión finita, del
espacio prehilbertiano E, según la norma es que se cumpla
�) − >∗, >� = 0∀> ∈ <
La condición es necesaria. Supongamos que
∃>@ ∈ <:�A − >∗, >@� = * ≠ 0
Definamos el elemento >C ∈ <
>C = >∗ + D‖EF‖G >@
Se tiene
‖A − >C‖C = HA − >∗ − *‖>@‖C >@, A − >∗ − *‖>@‖C >@I = ‖A − >∗‖C − *C‖>@‖C
19
es decir
‖A − >C‖C < ‖A − >∗‖C
y Φ* no sería la mejor aproximación.
La condición es suficiente. Sea >@ ∈ < tal que
�) − >@, >� = 0∀> ∈ <
Puesto que > − >@ ∈ < se tiene
‖A − >‖C = ‖�) − >@� − �> − >@�‖C= J�) − >@� − �> − >@�, �) − >@� − �> − >@�K= ‖) − >@‖C + ‖> − >@‖C
es decir
‖) − >@‖C ≤ ‖) − >‖C
lo que indica que >@es una mejor aproximación de d∈ � en F.
Teorema.-La mejor aproximación Φ*∈ < de ) ∈ � en un espacio prehilbertiano es
única.
En efecto, supongamos que ∃>@∗, >C∗ ∈ <, tales que
‖) − >@∗‖ = ‖) − >C∗‖ < ‖) − >‖E∈L
Debe tenerse ∀> ∈ <
�) − >@∗, >� = 0 �) − >C∗ , >� = 0
y puesto que M = >@∗ − >C∗ ∈ <
‖>@∗ − >C∗‖ = �>@∗ − >C∗ , M� = �>@∗ − ) + ) − >C∗ , M�= −�) − >@∗, M� + �) − >C∗ , M� = 0
20
lo que implica >@∗ = >C∗.
Si la dimensión de F es n+1 y NOP, Q = 0. . ST es una base de dicho espacio la
condición se cumple si se cumplen las n+1 condiciones
�>∗, OP� = �), OP�Q = 0. . S
como puede verse, dado que todo elemento > ∈ < puede expresarse como
combinación lineal de los elementos NOPT. Sea
>∗ = U VWOWXY
Sustituyendo esta expresión en se obtiene el sistema
U VWJOW, OPK = �), OP�XY Q = 0. . S
Si NOPT es una base ortogonal resulta
VP = �), OP�‖OP‖C Q = 0. . S
y en el caso de ser una base ortonormal
VP = �), OP�Q = 0. . S
Los coeficientes NVPT, se denominan coeficientes de Fourier del elemento ) según el
sistema NOPT. Es importante notar que la base en la que se expresa >∗ puede ser distinta de a
utilizada para expresar la condición, de forma que la expresión más general es
U VWJOW , MPK = �), MP�XY Q = 0. . S
21
En la que NOPT, NMPT son dos bases de F y las VP los coeficientes de Fourier respecto a NOPT De acuerdo con lo expuesto, se deduce que en un espacio prehilbertiano, existe la
mejor aproximación, ésta es única y se dispone de un procedimiento para su
obtención. Falta determinar si la distancia
��), >∗� = ‖) − >∗‖
puede hacerse tan pequeña como se quiera.
Se ve en primer lugar que
‖) − >∗‖C = Z) − U VPOPZC = [) − U VPOP , ) − U VPOP\= ‖)‖C − 2 U VP�), OP�P + U VPVW�OP, OW�PW
pero si el sistema NOPT es ortonormal, se deduce teniendo en cuenta además
‖) − >∗‖C = ‖)‖C − U VPCXY
de donde resulta la desigualdad de Bessel
U VPCXY < ‖)‖C
Esta desigualdad se cumple para cualquier valor de n, luego la serie ∑ VPC converge.
Sin embargo, la serie ∑ VP OP puede no converger a ). Se deduce que para ello es
necesario que sea una igualdad
22
U VPC = ‖)‖C∞
Y
denominada igualdad de Parseval. Cuando esta igualdad se cumple ∀) ∈ �, el
sistema NOY, O@, … , OXT se denomina cerrado. El recíproco viene dado por el
siguiente.
Teorema (Riesz-Fisher).- Sea NOPT un sistema ortonormal en un espacio de
Hilbert. Dado un conjunto de números NVPT tales que la serie
U VPC
converge, existe un elemento ) ∈ �, tal que
VP = �), OP� y
U VPC = ‖)‖C
Sea
> = U VPOPXY
La sucesión N>XT es una sucesión fundamental en virtud de la convergencia de la
serie ∑ VPC , puesto que
‖>X _ − >X‖C = ` U VPOPX _X @ `C = U VPC
X _X @
23
Puesto que le espacio E es completo, esta sucesión tiende a un elemento ) ∈ �. Por
otra parte
J),φaK = J>X, φaK + J) − >X,φaK
Tomando n≥ Q resulta
J),φaK = VP + J) − >X,φaK
pero por la desigualdad de Cauchy-Buniakowsky
bJ) − >X,φaKb ≤ ‖) − >X‖ · cφac
tiende a cero cuando S → ∞. Por tanto
J),φaK = VP Los NVPT son los coeficientes de Fourier del elemento ) ∈ � y puesto que la serie ∑ VP φa converge a ), ha de verificarse la igualdad de Parseval.
3.2 Ortogonalización
La importante simplificación que se introduce en la solución del sistema cuando la
base del espacio prehilbertiano F es una base ortonormal, hace conveniente proceder
a la búsqueda de una base ortonormal a partir de una base cualquiera. Esto puede
conseguirse con el algoritmo de ortogonalización de Schmidt.
Sea N>P , Q = 0. . ST una base de F. Hagamos
Md = e>Yf = 0>Y − U�>d, OP�OP
dg@Y f ≠ 0h
Od = Md‖Md‖
Evidentemente para cualquier valor de k, es ‖Od‖ = 1. Además
24
�O@, OY� = 1‖M@‖ �>@ − �>@, >Y�OY, OY� = 0
Supongamos que se verifica
�Oj, O_� = 0k = 0. . l − 1∀l < f
Se tiene entonces
�Od, O_� = 1‖Md‖ �Od, O_� = 1‖Md‖ m>d − U�>d, OP�dg@Y OP, O_n
= 1‖Md‖ 6�>d, O_� − �>d, OP�8 = 0
Luego
�O@, O_� = o1pQk = 10pQk ≠ 1h El sistema NOPT definido por las fórmulas es, por tanto, un sistema ortonormal.
3.3 Aproximación de funciones
Los conceptos expuestos son válidos, cualesquiera que sean los elementos que
constituyan el conjunto E. Uno de los casos más importantes, dentro del Análisis
Numérico, es aquel que en dicho conjunto, es el espacio vectorial de funciones
continuas en un intervalo (a,b). Pueden considerarse distintos subconjuntos F⊂E,
siendo uno de los más utilizados el de los polinomios de grado igual o menos que n.
Es posible también elegir entre un conjunto de distintas normas, según el tipo de
problema estudiado. Señalemos en particular
a) ‖A‖ = maxs∈�t,u�|A�v�|
25
utilizada en las aproximaciones uniformes,
b) ‖A‖ = ∑|A�vP�| en la que NvPT representa un conjunto discreto de puntos.
En realidad se trata de una seminorma, por no cumplir la primera de las condiciones.
No obstante es posible, a partir de la misma, definir una norma en el espacio cociente
E/R, respecto de la relación de equivalencia
Awx ⇔ ‖A − x‖ = 0
se utiliza en las aproximaciones obtenidas por interpolación.
Si E es el espacio z@�V, {�, de funciones integrables�V, {�, puede definirse la norma
‖A‖ = | |A�v�|�vut
La norma definida en b) es un caso particular de ésta, cuando el intervalo�V, {� se
sustituye por el conjunto discreto de puntos NvPT ‖A‖ = }U AC�vP�
en la que NvPT representa un conjunto discreto de puntos.
Se trata como en el caso b) de una seminorma. Es la utilizada en las aproximaciones
efectuadas con el criterio de los mínimos cuadrados en conjuntos de puntos.
Si E es el espacio zC�V, {�, de funciones de cuadrados integrable, resulta un espacio
prehilbertiano, con el producto escalar
�A, x� = | A�v�x�v��vut
y la norma
26
‖A‖ = }~ AC�v��vut
Las aproximaciones obtenidas son como en el caso anterior las conocidas, como de
la media cuadrática, o mínimos cuadrados, para intervalos continuos.
Las razones que justifican la utilización de los polinomios en la aproximación de
funciones son fundamentalmente las dos siguientes.
La facilidad del cálculo de expresiones polinómicas en un ordenador digital.
La posibilidad de aproximar uniformemente una función, por un polinomio con la
precisión deseada. Quiere esto decir que con la distancia uniforme, el conjunto de los
polinomios es siempre denso en el de las funciones continuas, lo que se demuestra en
el siguiente teorema.
3.3.1 Teorema de Weierstrass
Teorema. Si A�v� es una función continua en el intervalo �V, {�, puede ser
aproximada uniformemente en dicho intervalo, con la precisión deseada, por un
polinomio, es decir: Dado un valor positivo cualquiera �, existe un polinomio de
grado S��� tal que
maxs��t,u�|A�v� − �X�v�| < �
Puede demostrarse este teorema utilizando los polinomios de Bernstein.
Supondremos, sin restringir la generalidad, que el intervalo �V, {� se ha transformado
previamente en el �0,1�. Los polinomios de Bernstein se definen por
.@�v� = A�0��1 − v� + A�1�v
.C�v� = A�0��1 − v�C + 2A�1 2⁄ �v�1 − v� + A�1�vC
.��v� = A�0��1 − v�� + 3A�1 3⁄ �v�1 − v�C + 3A�2 3⁄ �vC�1 − v� + A�0�v�
27
y en general
.X�v� = U [Sf\ A HfSI vd�1 − v�XgdXd�Y
Consideremos la identidad
�� + ��X = U [Sf\Xd�Y �d�Xgd
Derivando dos veces respecto a p resulta
S�� + ��Xg@ = U [Sf\Xd�Y f�dg@�Xgd = 1� U f [Sf\X
Y �d�Xgd
S�S − 1��� + ��XgC = U [Sf\ f�f − 1��dgCXd�Y �Xgd
= 1�C U fCXY [Sf\ �d�Xgd − 1�C U fX
Y [Sf\ �d�Xgd
y sustituyendo el segundo término del segundo miembro por su valor deducido de la
igualdad anterior
S�S − 1��� + ��XgC = 1�C U fCXY [Sf\ �d�Xgd − S� �� + ��Xg@
Haciendo en las tres igualdades anteriores � = v, � = 1 − v
U [Sf\ vd�1 − v�XgdXY = 1
U fS [Sf\ vd�1 − v�XgdXY = v
28
U fCSC [Sf\ vd�1 − v�XgdXY = vC − vCS + vS
Puesto que A�v� es una función continua
∃�: ∀v@, vC ∈ �0,1�|v@ − vC| < � ⇨ |A�v@� − A�vC�| < �2
Por otra parte en virtud de la primera de las y de la definición de .X
A�v� − .X�v� = A�v� U [Sf\ vd�1 − v�XgdXY
− U [Sf\ A HfSI vd�1 − v�XgdXY
= U [Sf\ mA�v� − A HfSIn vd�1 − v�XgdXY
Consideremos todos los términos de la suma anterior para los que
|f − Sv| < S�
y sea ∑ ´ su suma. Sea ∑ ´ ´ la suma del resto de los términos
|A�v� − .X�v�| = �U � < �U ´� + �U ´ ´� puesto que
�fS − v� < �
para todos los términos de ∑ ´ es
�A�v� − A HfSI� < �2
y por tanto
29
�U ´� ≤ U ´ [Sf\ �A�v� − A HfSI� vd�1 − v�Xgd < �2 U ´ [Sf\ vd�1 − v�Xgd≤ �2 U [Sf\ vd�1 − v�XgdX
Y
�U ´� ≤ �2
Por otra parte si M es una cota superior de |A�v�| en el intervalo �0,1� |A�v@� − A�vC�| ≤ 2�∀v@, vC ∈ �0,1�
por lo que
�U ´ ´� ≤ U ´ ´ [Sf\ �A�v� − A HfSI� vd�1 − v�Xgd ≤ 2� U ´ ´ [Sf\ vd�1 − v�Xgd
Ahora bien por ser, para todos los términos de ∑ ´ ´
�f − Sv�S � ≥ 1
�f − Sv�C�CSC ≥ 1
y por tanto
�U ´ ´� < 2�SC�C U ´ ´ [Sf\ �f − Sv�Cvd�1 − v�Xgd< 2�SC�C U [Sf\ �f − Sv�Cvd�1 − v�XgdX
Y
30
Desarrollando �f − Sv�C y teniendo en cuenta
U�f − Sv�C [Sf\ vd�1 − v�XgdXY
= SC U HfSIC [Sf\ vd�1 − v�XgdXY
− 2SCv U fS [Sf\ vd�1 − v�Xgd +XY SCvC U [Sf\ vd�1 − v�XgdX
Y= SCvC − SvC + Sv − 2SCvC + SCvC = Sv�1 − v�
y, puesto que v�1 − v� ≤ 1 4⁄ ∀v ∈ �0,1� �U ´ ´� < 2�SC�C Sv�1 − v� ≤ �2S�C
finalmente
|A�v� − .X�v�| < �U ´� + �U ´ ´� < �2 + �2S�C
por lo tanto, tomando
S > ���C
se cumple
kVv|A�v� − .X�v�| < �∀v ∈ �0,1�
como quería demostrarse
Si las funciones N>P�v�T forman una base linealmente independiente en el espacio de
los polinomios, el teorema sigue siendo válido, de forma que una función continua A�v� en el intervalo �V, {� puede aproximarse uniformemente por la expresión
:�v� = U VPXY >P�v�
31
3.4 Interpolación
Consideramos el problema de obtener la mejor aproximación de una función F Є E
en un subconjunto F с E, según la distancia
d(f, g)=Σ |f(xi ) – g(xj) |
Siendo i = { x i ,i=0…m} un conjunto discreto de puntos.
Supondremos que F es un espacio vectorial de dimensión finita, lo que asegura, la
existencia de al menos una solución. Sea n+1 la dimensión de F y { φ i, i=0…n}
una base de F.
Podemos distinguir tres casos:
a) m>n. La solución puede obtenerse utilizando los algoritmos de la
programación lineal
b) m<n. El problema tiene infinitas soluciones y para todas ellas resulta
d(f ,y)=0
c) m=n. Igual que en el caso anterior resulta
d(f, y)=0
Este último caso es el que corresponde a los problemas, que se estudian bajo la
denominación general de interpolación.
Dado el conjunto de funciones coordenadas {φi(x), i=0…n} denominado base y
dado un conjunto de puntos {xi ,i=0…n} denominado soporte se denomina función
de interpolación, a
y(x) = a0 φ0(x)+ a1φ1(x)+……..+ anφn(x)
que cumple las condiciones
y(xi) = f(xi) i=0….n
32
Estas condiciones se escriben
∑ a�ɸ��xa� = f�xa�XW�Y i=0….n
sistema de n+1 ecuaciones que definen los n+1 coeficientes {ai, i=0…n}.
Teorema Para que un problema de interpolación tenga solución única para
cualquier conjunto de valores {xi, yi, i=0….n}, es condición necesaria y suficiente
que se cumpla la condición de Haar, que establece que ninguna función y∈F puede
tener más de n ceros en el intervalo [a,b], definido por el menor y el mayor de los
puntos {xi}.
A una base {φi}, de un espacio vectorial de funciones F, que cumple la condición de
Haar, se le denomina sistema de Tchebichef.
La condición es suficiente. En efecto, si se cumple la condición de Haar, no existe
ninguna función y(x)∈F
y(x) = ∑ a�ɸ��xa�W
tal que
∑ a�ɸ��xa� = 0W i=0…n
por lo que el determinante del sistema es distinto de cero y el problema de la
interpolación tiene solución única. La condición es también necesaria, pues si existen
n+1 valores { x i ,i=0…n}, que anulasen la función
y(x) = ∑ a�ɸ��xa� ∈F
el determinante del sistema resultante, para el problema de interpolación con el
soporte { xi }, sería nulo, por lo que el sistema sería incompatible o con infinitas
soluciones.
Por tanto, si { φ i, i=0…n} es un sistema de Tchebichef, es posible encontrar los
coeficientes{ ai } de la expresión, que cumple las condiciones .
La solución se obtiene resolviendo el sistema
33
∑ a�ɸ��xa� = f�xa�XW�Y i=0….n
Puede asimismo obtenerse la expresión de y(x), escribiendo la condición para que el
sistema de n+2 ecuaciones formado por la y las n+1 ecuaciones tenga solución. ��
:�v�∅Y�x0� ∅@�x0� … ∅n�x0�A��Y�∅Y�x1� ∅@�x1� … ∅��x1�A�v@�∅Y�x1�∅@�x1� …∅��x1�… … … … … … … … … … … … . . … …A�vX�∅Y�xn�∅@�xn� …∅��x����=0
Es evidente que si F es el espacio de los polinomios de grado menor o igual que n, se
cumple la condición de Haar, por lo que el problema de la interpolación tiene
solución única en el. El sistema {xi, i=0…n}es un sistema de Tchebichef y es
posible encontrar los coeficientes {ai} del polinomio
y(x)=∑ a�xaXY
la ecuación se convierte en
��:�v�1 xxC …vXA��Y�1 xYxYC … xY�A�v@�1v@v@C …x@�… … … . … … … … …A�vX�1v�vXX …x��
��=0
y a y(x) se le denomina polinomio de interpolación respecto al soporte {xi, i=0…n}
El determinante del sistema de ecuaciones es el determinante de Vandermonde
��1 x� v�C vYX1 v@ v@C v@X1 vC vCC vCX… … … …1 vX vXC vXX
�� Si todos los puntos del soporte son distintos, ese determinante no es nulo, por lo que
el sistema tiene solución única, como ya se había demostrado por otra parte.
34
No obstante, dados los valores tan diferentes de los coeficientes de las incógnitas,
resultan en general sistemas mal condicionados. Por este motivo era preferible elegir
un conjunto de funciones coordenadas que permitan una solución más directa del
sistema.
3.5 Aproximaciones uniformes
Se obtienen estas aproximaciones cuando la distancia utilizada es la distancia
uniforme
��ƒ, Φ∗� = mins∈6�.�8 |f�x� − y�x�|
Es decir, son aquellas en las que el valor máximo del error absoluto es un mínimo.
Por este motivo se les denomina asimismo aproximaciones con el criterio del
Minimax.
De acuerdo con lo expuesto anteriormente , si F es un subespacio vectorial de
dimensión finita, de un espacio vectorial E con la norma
‖A‖ = mins∈6�,�8 |f�x�|
existe la mejor aproximación de F de todo elemento de E. Más adelante se establecen
las condiciones para la unicidad de la solución.
Las aproximaciones obtenidas con el criterio del Minimax o de la
convergencia uniforme son, sin duda, las más adecuadas para la representación de
una función en un determinado intervalo. Sin embargo su obtención es muy
laboriosa. No es posible, en general, llegar directamente a las expresión de y(x),
siendo preciso la realización de una serie de aproximaciones sucesivas.
Para aquellos casos, en que no está justificado este trabajo, existen métodos
simplificados que proporcionan una aproximación cercana a la teórica. En el caso de
35
que F sea el espacio de los polinomios de grado igual o menor que n (E representa el
de las funciones continuas en [a, b]), figuran los siguientes:
1. Interpolaciones realizadas con un soporte de Tchebichef. Como más
adelante se verá, al exponer el teorema de Tchebichef, se deduce que toda
aproximación uniforme es un polinomio de interpolación de la función a
aproximar con todos los puntos del soporte en el intervalo de aplicación
de la aproximación. El problema está, por tanto, en efectuar una buena
elección de los puntos de soporte.
2. Algoritmo de Lanczos. Conocido también como economización de una
serie, es menos eficaz del anterior, pero más simple.
3.5.1 Soporte de Tchebichef
El error de una interpolación viene dado por la formula
E(x) = ���F����X @�! π(x-xi)
donde ξ es un valor del intervalo [min(xi), máx(xi)].
Si el valor de f (n+1) (x) en este intervalo acotado y M es una cota superior, se verifica
|E(x) | ≤ ��X @�!|π(x-xi) |
El valor máximo de |π(x-xi) | depende de los valores de {xi}. Cuando este conjunto
está definido, la formula anterior permite estimar el valor máximo del error. Por otra
parte, si es posible efectuar una selección de los puntos xi, un criterio razonable para
la elección de los mismos consistirá en conseguir que el valor máximo de |π(x-xi) |
sea un mínimo.
36
Este criterio no proporciona exactamente la mejor aproximación de f(x) según la
distancia uniforme, es decir, el mínimo de ||E||, sino que minimiza el valor máximo
del segundo miembro de la desigualdad anterior. Por otra parte es el que permite
acotar más estrictamente el error absoluto máximo.
El conjunto de puntos {xi}, para el que el valor de ||π|| es minimo, se denomina
soporte de Tchebichef y corresponde a los ceros del polinomio de grado n+1, de un
conjunto de polinomios denominados de Tchebichef.
Se considera que el intervalo [a, b] es el [-1, 1] lo que no supone una restricción a la
generalidad, puesto que con un adecuado cambio de variable puede llegarse a la
hipótesis anterior.
Polinomios de Tchebichef
Sea Tn(x) la función definida por
Tn(x)=cos(n arc cos x)
Tn(x) es un polinomio de grado n. En efecto, puesto que
cos(n+1)O+cos(n-1)O=2cosO��pSO
se deduce haciendo x = cosO
Tn+1(x)+Tn-1(x) = 2xTn(x)
o sea
Tn+1(x) = 2xTn(x) - Tn-1(x)
37
de lo anterior se deduce que T0(x)=1, T1(x)=x, luego utilizando la fórmula se
concluye por inducción que Tn(x) es un polinomio de grado n. En la gráfica adjunta
se muestran los primeros polinomios de Tchebichef (hasta el grado 8).
Este conjunto de polinomios Tn(x) denominamos polinomios de Tchebichef tiene
importantes aplicaciones en el cálculo numérico. Los primeros polinomios
calculados, utilizando la ecuación recurrente, a partir de T0 y T1 son
T0(x)=1
T1(x)=x
T2(x)=2x2-1
T3(x)=4x3-3x
T4(x)=8x4-8x2+1
T5(x)=16x5- 20x3+5x
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1El dibujo corresponde al caso n = 8
38
T6(x)=32x6-48x4+18x2-1
Se demuestra fácilmente, teniendo en cuenta las expresiones, que:
a) El coeficiente de xn+1 en Tn+1 (x) es 2n.
b) Tn+1 (x) tiene n+1 ceros distintos en el intervalo [-1,1] dados por
(n+1) arc cos v = C + f¡
es decir
vd = ��p Cd @CX C ¡, k=0..n
c) Tn+1 (x) oscila entre -1 y +1 .Los extremos de Tn+1(x) en [-1,1]
ocurren en los n+2 puntos definidos por
�S + 1�V2���pv = f¡
es decir
v = ��p d X @ f = 0. . S + 1
En estos puntos
¢X @�vd� = £= 1�V2Vf = 2¤= −1�V2Vf = 2¤ + 1h
Teorema. El polinomio 2-nTn+1(x) es, de entre todos los polinomios de
grado n+1, en los que el coeficiente de xn+1 es igual a la unidad (polinomios
mónicos), el que proporciona el menor valor de su máximo valor absoluto en [-1,1].
39
Sea P(x) = xn+1 + … un polinomio de grado n+1, cuyo valor máximo en [-1,1] sea
p < 2-n. En tal caso el polinomio.
Q(x)=2-nTn+1(x)-P(x)
de grado n, por anularse el término en xn+1 , tendría en los n+2 puntos definidos por
la fórmula anterior, el mismo signo que Tn+1(X), es decir
¥�v� £> 0�V2Vf = 2¤< 0�V2Vf = 2¤ + 1h y puesto que xi≠xj,∀i, j i≠j se llega al absurdo de que Q(x) tendría n+1 ceros en el
intervalo [-1,1]. Por tanto el teorema es cierto.
Consecuentemente con el criterio expuesto se obtiene
π(x)=2-nTn+1(x)
El primer método simplificado para la obtención de una aproximación cercana a la
uniforme, se basa en la fórmula anterior y consiste en una interpolación con el
soporte de Tchebichef.
En el caso de que f(x) sea un polinomio de grado n+1, el valor de f(n+1)(x) es
an+1(n+1)! Siendo an+1(n+1)! siendo an+1 el coeficiente del término de mayor grado,
por lo que
E(x)= f(x)-y(x)=an+1 π(x)
En este caso ‖�‖ y ‖VX @¡‖ coinciden y la aproximación obtenida resulta ser la
uniforme.
Por otra parte, y también en este caso, el polinomio y(x) se obtiene directamente por
la expresión , es decir
y(x)=f(x)- an+12-nTn+1(x)
y el máximo error en el intervalo [-1,1] es ‖�‖= 2-n an+1.
40
3.5.2 Ortogonalidad de los polinomios de Tchebichef
Una importante propiedad de los polinomios de Tchebichef es que el conjunto {Tn}
es ortogonal respecto al producto escalar
J¢W , ¢dK = U ¢W�v¦�¢d�v¦�X¦�Y
En la que {xr} representa al conjunto de los ceros del polinomio de Tchebichef, de
grado n+1. Debe hacerse la aclaración de que no se trata estrictamente de un
producto escalar, ya que no cumple la condición.
(f,f)=0 � f=0
no obstante, puede resolverse este problema considerando definido el producto
escalar en el conjunto cociente F/R de las funciones f§F, respecto a la relación de
equivalencia
f R g � f(x)=g(x) ∀v§NvPT Esta propiedad de ortogonalidad se demuestra y haciendo xr=cosO¦
O¦ = C¦ @CX C 2 = 0. . S [5.11]
Con lo que
∑ ¢W�v¦�¢d�v¦� = ∑ cos�«O¦� cos�fO¦� = @C ∑ cos�« + f� O¦ +X¦�YX¦�YX¦�Ycos«−fO2«,f§N0..ST
Para calcular el valor de esta expresión comencemos por obtener
U cos�kO¦� ,k = 0. .2SX¦�Y
41
Para ello se considera la igualdad
U cos�kO¦� + Qp¬S�kO¦� = U ¬P_®X¦�Y X
¦�Y
Teniendo en cuenta
U ea°φ± = ea°C� @C� Cπ±ea °� @π − ea °C� Cπea °� @π − 1 = ea°π − 12Qp¬S k¡2S + 2 ¡X
¦�Y
Igualando la parte real de los dos miembros se obtiene
U cos�kO¦� = p¬Sk¡2p¬S k¡2S + 2X
¦�Y
Si como ocurre en este caso es m<2n+2, la expresión anterior es nula para todo valor
de m distinto de cero. La evaluación directa del primer miembro de un valor igual a
n+1 para m=0.Teniendo en cuenta este resultado se obtiene de la expresión [
J¢W , ¢dK = ² 0�V2V« ≠ fX @C �V2V« = f ≠ 0S + 1�V2V« = f ≠ 0h
3.6 Aproximaciones uniformes
Vamos a demostrar a continuación, que si E es el espacio de las funciones continuas
en el intervalo [a,b] y la dimensión del subespacio vectorial F⊂E es n+1, la unicidad
de la solución se garantiza si se cumple la condición de Haar, que establece que
ninguna función y ∈ F se puede tener más de S¤ ceros en el intervalo [a,b].
Es evidente que si F es el espacio de los polinomios de grado igual o menor que n,
esta condición se cumple. En este espacio hemos encontrado anteriormente una
aproximación que cumple el criterio de la aproximación uniforme. Nos referimos al
42
caso de ser f un polinomio de grado n+1, siendo entonces el polinomio que cumple
la condición del mínimas o aproximación uniforme en el intervalo [-1.1] el
polinomio yn de grado n, cuyos valores coinciden con los de f(x), en los ceros del
polinomio del Tchebichef de grado n+1. El error de la aproximación viene dado por
la fórmula.
En(x)=f(x)-yn(x)=an+12–n Tn+1(x)
que tiene n+2 extremos alternados, iguales en valor absoluto en el intervalo [-1,1].
Esta es una propiedad característica de las aproximaciones obtenidas con el criterio
de la aproximación uniforme o minimax, como vamos a ver enseguida.
Estudiaremos el problema en el caso general de que E sea el espacio de las funciones
continuas en [a,b] y F un espacio vectorial de dimensión n+1.
3.6.1 Teorema de Haar
Una condición necesaria y suficiente para que en un espacio vectorial de dimensión
n+1, la aproximación uniforme de una función continua, en el intervalo [a,b], sea
única, es que cualquier función del espacio F tenga n ceros a lo sumo, en el intervalo
[a,b]
Demostremos en primer lugar que la condición es necesaria, y para ello supongamos
que la misma no se cumple, es decir,
∃y0(x)∈F: y0(x i)=0 i=0..n
Con esta hipótesis, y si {∅i} es una base de F, resulta nulo el determinante ∅0(x0)
³ ∅Y�xY� ∅@�xY� … ∅��xY�∅Y�x@� ∅@�x@� … ∅��x@�… … … … … … … … . . … … .∅Y�x��∅@�x�� …∅X�x��³ y, por tanto,∃bo,b1,…,bn no todos nulos, tales que
43
U {PX
P�Y ∅W�vP� = 0« = 0. . S
entonces ∀y(x) ∈ <
U {P:�vP� = U {PX
P�YX
P�Y U VW∅W�vP� = U VW U {PX
P�YX
W�YX
W�Y ∅W�vP� = 0
Definamos una función g(x), tal que
x�v� = ´ 1, pQ{P > 0−1, pQ{P ≤ 0h ‖x − :‖=1
se tiene
‖x − :‖>1 ∀y ∈ <
ya que en otro caso y(x) tendría el mismo signo que g(x) en cada uno de los puntos
{ vi}, lo que implicaría
biy(xi)>o ∀bi≠0
y, por tanto, no podría cumplirse
U {P:�vP� = 0
La función
f(x)=g(x)(1-λ |yY�x�|) cumple las condiciones, impuestas a la función g(x), siempre que
λ | y0| ≤ 1
44
En efecto, por anularse y0(x) en los puntos {xi, i=0..n}, es
f(x i)=g(xi) i=0..n
Mientras que la condición garantiza que ‖A‖=1. La función f debe, por ello, cumplir
la condición
‖A − :‖≥1 ∀y ∈ <
Entonces, si o≤�≤1
|f(x)- λ�yo(x)| ≤ |f(x)|+ λ�|y0(x)| ≤ 1-λ|y0(x)|+ λ�|y0(x)| = 1- λ(1-�)|y0(x)| <1
por tanto
‖f − λ�yY‖≤1
De donde teniendo en cuenta que y∈ <
‖f − λ�yY‖=1
Lo que demuestra que ∀�: 0≤� < 1, la función
y(x) = λ�yo(x)
es una aproximación uniforme de f(x). Así, pues, es posible encontrar infinitas
soluciones al problema de la aproximación uniforme de la función f(x), lo que
demuestra que la condición de Haar es una condición necesaria.
Supondremos, por tanto, que el espacio F cumple la condición de Haar y vamos a
demostrar entonces la unidad de la solución, así como las condiciones que la
caracterizan.
La obtención de una cota superior del error máximo de una aproximación uniforme
y* es simple, ya que por definición
D = ‖A − :∗‖ ≤ ‖A − :‖ , ∀y ∈ <
Por otra parte, el siguiente teorema permite obtener una cota inferior:
45
3.6.2 Teorema de La Vallée Poussin
Si en los n+2 puntos {x i, i=0..n+1}
a≤ xo≤ x1≤ x2≤…≤ xn+1≤ b
se tiene
f(x i)-y(xi)=(-1) iλi i=0..n+1
con todos los λi positives o negativos, entonces la aproximación uniforme y* es tal
que
‖A − :∗‖>min| λi |
En efecto si
‖A − :∗‖ <min| λi |
podríamos poner
|f(xi) - y*(x i) |<| λi |=|f(xi) - y(xi)|, i=0..n+1
y por tanto
y*(x i) - y(xi) = (f(xi)-y(xi)) - (f(xi)-y*(x i))
tendría el signo de f(xi)-y(xi), es decir, el de (-1) iλi , luego por hipótesis cambiaría de
signo n+1 veces, lo que está en contradicción con el hecho de que y(x)-y*(x)∈ <
debe cumplir la condición de Haar.
Expuesto el teorema de La Vallée Poussin, podemos enunciar el siguiente Teorema,
que caracteriza a las aproximaciones uniformes:
46
3.6.3 Teorema de Tchebichef
Una condición necesaria y suficiente para que y(x) sea una aproximación uniforme
(y ∈ <) de f(x) en [a,b] es que
E=f(x)-y(x)
tenga al menos n+2 extremos alternados en [a,b] iguales en valor absoluto, es decir, ∃xi , i=0..n+1
a≤xo≤x1≤x2≤…≤xn+1≤b
tales que
E(xi) = (-1) i∅‖A − :‖
Siendo ∅=±1
Las condiciones son suficientes, puesto que de acuerdo con el teorema de La Vallée
Poussin se tendrá
‖A − :∗‖ ≥ ‖A − :‖
pero puesto que ha de ser
‖A − :∗‖ < ‖A − :‖
resulta
‖A − :∗‖=‖A − :‖
y por tanto y(x) es una aproximación uniforme.
Las condiciones son necesarias. Sea k el número de extremos alternados. Al menos
hay dos, puesto que en otro caso la función g(x)∈ <
g(x)=y+_ás�·g¸� _íX�·g¸�C
47
sería una mejor aproximación, puesto que
máx(f-g) = -mín(f-g) = _ás�·g¸�g_íX�·g¸�C < ‖A − :‖
y por tanto
‖A − x‖ < ‖A − :‖
Supongamos sin restringir la generalidad ∅=−1 en la fórmula y designemos por D a ‖A − :∗‖y definamos los puntos {¹i,i=0..k} de forma que
¹0=a≤x0< ¹1<x1< ¹2<…< ¹k-1< xk-1≤b=¹k
y que en los intervalos [¹0,¹1], [¹1,¹2], …,[¹k-1,¹k], se cumpla alternativamente, para
algún valor * >0
-D ≤ E(x) ≤D−* si x ∈ [¹2i,¹2i+1]
-D+* ≤ E(x) ≤D si x∈ [¹2i+1,¹2i+2]
lo que indica que en cada intervalo [¹j,¹j+1] existe un extremo y con signo alternado.
Sea ¡(x) una función de F, tal que
¡(¹i) =0, i=1..k-1
Esta función existe siempre que k<n+2, según se demostró anteriormente por
cumplirse en F la condición de Haar.
Consideramos la función q(x) ∈ <
q(x) = y(x)+º¡(x)
entonces
f(x)-q(x) = (f(x)-y(x)) -º¡(x)
puesto que ¡(x) cambia consecutivamente de signo en los intervalos considerados y
su valor está acotado, puede elegirse º de forma que
48
|º¡�x�|<*
y que el signo de º¡(x) coincida en cada uno de los intervalos con el del extremo
correspondiente. Se tendrá entonces ∀x ∈[a,b]
|f(x)-q(x)|-|f(x)-y(x)-º¡(x)| < D
luego y(x) no sería la mejor aproximación y, por tanto, la hipótesis k<n+2 debe de
ser falsa, es decir,
k>n+2
podemos ya demostrar que la condición de Haar es una condición suficiente para la
unidad de la aproximación uniforme. En efecto, si y1 y y2 son dos aproximaciones
uniformes
ZA − ¸�@� ¸�C�C Z<@C ‖f − y@‖+
@C ‖f − yC‖=‖f − y∗‖
Por lo que (y1+y2)/2 es también una aproximación uniforme, y existen n+2 puntos en
los que f(x)-(y1(x)+y2(x))/2 toma valores extremos alternados.
En dichos puntos
[@C �AvP� − :@�vP�� + @C �A�vP� − :C�vP��\=D
pero puesto que
|f�xi� − y@�xa�| ≤D, |f�xa� − yC�xa�| ≤D
debe de ser
f(x i)-y1(xi)=f(x i)-y2(xi)=±D
luego y1(x) - y2(x) s e anula en n+2 puntos. Ahora bien y1(x)-y2(x)∈ < y debe
cumplir la condición de Haar, luego
y1(x)≡y2(x)
49
Una conclusión del Teorema de Tchebichef es que si F es el espacio de los
polinomios de grado igual o menor que n, una aproximación uniforme resulta ser un
polinomio interpolante de la función a aproximar con todos los puntos del soporte en
el intervalo de definición de la función. El primer procedimiento simplificado para la
obtención de una aproximación próxima a la uniforme partía de este hecho, buscando
el soporte más adecuado para la interpolación, que resultaba ser un soporte de
Tchebichef.
Situación de los extremos alternados
El Teorema de Tchebichef garantiza la existencia de al menos n+2 extremos
alternados de la función de error E(x). En general serán exactamente n+2 extremos,
aunque el cumplimiento estricto de las hipótesis establecidas para la demostración
del teorema no permita asegurarlo. Una situación distinta a la anterior ocurre
frecuentemente para funciones con simetría respecto a la ordenada en el punto medio
del intervalo [a,b], en cuyo caso aparecen 2n+3 extremos.
Tampoco garantiza el Teorema de Tchebichef, que dos de los extremos alternados se
produzcan necesariamente en a y b, aunque ésta sea la situación normal. Se da, a
continuación, una condición suficiente, aunque no necesaria, para que se dé la
situación mencionada
Teorema
Si las n+2 funciones
{f, ∅i,i=0..n}
son linealmente independientes y el espacio vectorial ℰ generado por las mismas
cumple la condición de Haar en el intervalo [a,b], entonces la mejor aproximación
uniforme y∈ < es tal que la función
50
E(x)=f(x)-y(x)
a) Presenta exactamente n+2 extremos alternados.
b) Los extremos del intervalo [a,b] pertenecen al conjunto de extremos
alternados.
c) E(x) es estrictamente creciente o decreciente entre dos extremos alternados.
Por tanto en [a,b] no existen otros extremos que los alternados.
En efecto:
a) Si existiesen más de n+2 extremos alternados, E(x) se anularía en al menos
n+2 puntos. Ahora bien E*(x)∈ ℰ, por lo que no se cumpliría la hipótesis
efectuada.
b) Si en a y b no se produjeran dos de los extremos alternados, sería posible
encontrar *, de forma que la función
E(x)-*
del espacio vectorial de funciones ℰ, tuviera al menos n+2 ceros en [a,b].
c) Si E(x) no fuese estrictamente creciente o decreciente entre dos extremos
alternados consecutivos, sería posible asimismo encontrar *, de forma que la
E(x)-* tuviera al menos n+3 extremos en [a,b].
Obtención de la solución
La obtención de la mejor aproximación uniforme de una función continua no puede
efectuarse, salvo en condiciones muy particulares, por un procedimiento directo. Es
necesario, en general, utilizar un procedimiento iterativo que obtiene una sucesión de
funciones que tienden en el límite a la solución buscada.
En lo que sigue, nos referiremos al caso de que F sea el espacio de los polinomios de
grado igual o menor que n.
El procedimiento iterativo mencionado parte de un conjunto de n+2 puntos, en los
que se supone se verifica la condición
51
f(x i) - y(xi)=(−1) iD, i=0..n+1
es decir, que corresponden a los extremos alternados.
Este conjunto de n+2 ecuaciones permite obtener los n+1 coeficientes del polinomio
y1(x)=∑ VPvPXP�Y
así como el valor de D. El polinomio y1(x) cambia n+1 veces de signo en [a,b], por lo
que tiene n+2 extremos en este intervalo. Sin embargo, éstos no serán en general
iguales en valor absoluto, ni se producirán en los n+2 puntos que se definieron.
Se modifican por ello los puntos {xi}, sustituyéndolos por los correspondientes a los
extremos de f(x)-y1(x), repitiendo el proceso para obtener un nuevo polinomio y2(x).
De forma idéntica se obtienen nuevos polinomios y3(x),…, y m(x) hasta conseguir
que todos los extremos sean iguales en valor absoluto. El conjunto inicial de los
puntos {xi} se elige arbitrariamente. Una buena elección sería
xi=t uC + ugtC cos
PX @ i=0..n+1
hipótesis que correspondería al caso ideal, si f(x) fuese un polinomio de grado n+1.
Procedimiento operativo
En la hipótesis de que el conjunto de puntos {xi} corresponda a los extremos
alternados, entonces si d(x) es una función, tal que
d(xi)=(−1)i, i=0..n+1
resulta
y(x)=f(x)+D∙d(x)
por tanto, y(x) pasa por los n+2 puntos
{x i,f(x i)+(−1)iD }, i=0..n+1
52
Estos n+2 puntos definen un polinomio de grado n+1, cuya expresión puede
obtenerse utilizando la fórmula de interpolación de Newton con la función
f(x)+Dd(x). Resulta
y(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+…+an+1(x-x0)…(x-xn)
siendo
ak =f[x0,x1,…,xk]+D∙d[x0,x1,…,xk]
El valor de D debe calcularse de forma que y(x) degenere en un polinomio de grado
n. Para ello
an+1 =0
es decir
D=−�6¾Y,¾@,…,¾� @8¿6¾Y,¾@,…,¾� @8
Con este valor de D se calcula la expresión de y(x), sustituyendo en cada coeficiente
ak por el resultante de introducir en el valor D deducido. Se calcula a continuación la
situación de los extremos de f(x)-y(x), que en general no coincidirán con los
iniciales. Se repite de nuevo el proceso sustituyendo el conjunto de puntos extremos
iniciales por los nuevos y así sucesivamente hasta conseguir que todos los extremos
sean iguales.
53
4 Análisis de la muestra
A continuación, vamos a analizar en profundidad la muestra que hemos seleccionado
para nuestro estudio y sobre la cual realizaremos nuestras conclusiones. Hemos
tomado los datos desde el año 1996 hasta septiembre de 2013, siendo cada punto de
la muestra el valor del precio del cobre en cada mes contando desde enero del primer
año en estudio. Esto último, nos proporciona un conjunto total de 204 puntos, que si
bien es cierto no refleja todo el histórico del cobre, pero refleja un gran período la
evolución del precio del cobre.
Sobre estos puntos, adoptaremos diferentes criterios en la elección del método de
aproximación analizando, en cada caso, si es más conveniente aplicar una u otra
metodología. Distinguiremos para tal fin, tres partes dentro de nuestro estudio. Una
primera será la evaluación de la muestra conjunta, aplicando sobre ella ambos
métodos y determinar cuál de ellos se aproxima mejor a nuestra muestra. Luego,
dividiremos la muestra en dos partes, una que la denominaremos zona suave y otra
zona fluctuante. Cabe señalar en este último punto, que cuando nos referimos a zona
suave, no nos referimos estrictamente al sentido económico del término ya que, en
dichas zona existen unas variaciones en el precio del cobre. Cuando hablemos de la
zona suave, queremos decir que tiene un comportamiento matemático suave o
regular y que; por tanto, las aproximaciones serán más fiables en cualquiera de los
dos métodos elegidos.
Por otra parte, nuestra principal preocupación será la zona fluctuante, pues es ahí,
donde la elección del método tiene una repercusión mayor en la aproximación
realizada y; por tanto, un error cometido mayor o menor.
En ambos métodos, iremos realizando diferentes variaciones en cuanto al grado del
polinomio se refiere, siendo, a priori, mejor la aproximación cuanto mayor sea el
grado del polinomio, aunque más adelante, veremos que tiene sus limitaciones.
54
En esta primera gráfica el conjunto de datos estudiados ha sido la totalidad de la
muestra, abarcando un total de 204 puntos.
Sobre ella, hemos aplicado ambos métodos, tanto aproximación por mínimos
cuadrados como aproximación Minimax.
Para esta primera gráfica, hemos querido hacer una aproximación con un polinomio
de primer grado, con objeto de ilustrar el caso más simple de una aproximación.
Como se observa en la gráfica, el error cometido global en uno y en otro modelo son
muy similares. En este primer gráfico; por tanto, será indistinta la aplicación de uno
u otro método; si bien parece ser más conveniente, la aplicación del método por
aproximaciones Minimax ya que nos proporciona un menor error.
Cabe observar, que en los meses en torno al 2006 las aproximaciones por uno y por
otro modelo matemático son muy parecidas, llegando a producirse casi un error nulo
en ese punto, pareciendo mostrarnos la separación entre zona suave y zona fluctuante
a la que estamos aludiendo.
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 2040
50
100
150
200
250
300
350
400
450
PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 1
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 135.28 (minimax) y 146.63 (min.cuad)
Cen
tavo
s de
dól
ar (
US
D)
por
libra
Marzo/2006 →
Abril/2008 →
Dicbre/2008 →
Febrero/2011 →DatosMinimaxMin.Cuad
55
Para esta segunda gráfica, hemos querido hacer una aproximación con un polinomio
de segundo grado.
Como observamos en la gráfica, al aplicar una aproximación de segundo grado, las
diferencias se hacen más notorias en uno y otro método, siendo el error máximo
cometido global muy diferente. De hecho, si el error cometido en la aproximación
por el método Minimax se ve reducida con respecto al polinomio de grado uno, en el
caso del método por mínimos cuadrados, lejos también de verse reducido, ocurre
todo lo contrario, llegando aumentar en un 11,3% el error. En este segundo gráfico,
por tanto, será clara la aplicación del método Minimax ya que nos proporciona un
menor error.
Cabe destacar, que el fenómeno antes mencionado de “mínimo error”, en torno a los
meses del 2006, en la aproximación por el método Minimax, se sigue conservando y
como veremos en las posteriores gráficas mantendrá dicha singularidad. Parece
indicar, que existe algún tipo de relación entre el error cometido por el modelo y la
posición de determinados puntos. En nuestro caso el intervalo de tiempo
comprendido en los meses de 2006.
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 2040
50
100
150
200
250
300
350
400
450
PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 2
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 132.93 (minimax) y 163.19 (min.cuad)
Cen
tavo
s de
dól
ar (
US
D)
por
libra
Marzo/2006 →
Abril/2008 →
Dicbre/2008 →
Febrero/2011 →DatosMinimaxMin.Cuad
56
Para esta tercera gráfica, hemos querido hacer una aproximación con un polinomio
de tercer grado, y ver si se produce una gran diferencia de error con respecto al
polinomio de segundo grado.
Como observamos en la gráfica, al aplicar una aproximación de tercer grado las
diferencias se hacen aún más notorias en uno y otro método, provocando un
diferencia de error global mucho más abrupta que en el anterior caso. Quizás, lo más
destacable de esta aproximación, es constatar algo que ya podíamos divisar en el
anterior caso, y es la gran diferencia de error que se produce al aumentar el grado del
polinomio con uno y otro método. De hecho, todo hace pensar que cuanto mayor
está siendo el grado del polinomio para realizar la aproximación, mayor es la
precisión alcanzada. Si nos fijamos como antes en el error cometido, podemos ver
que la aproximación por el método Minimax es prácticamente la misma que con un
polinomio de segundo grado, mientras que el método por mínimos cuadrados sigue
aumentando con respecto al polinomio de 1º grado hasta llegar a un 18,3% el error.
En este tercer gráfico, por tanto, será igualmente clara la aplicación del método
Minimax, ya que el error se siguen manteniendo a diferencia del otro modelo.
Las dos siguientes gráficas corresponden a aproximaciones de cuarto y quinto grado
y las analizaremos de manera conjunta por reproducir un error similar.
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 2040
50
100
150
200
250
300
350
400
450
PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 3
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 132.26 (minimax) y 173.46 (min.cuad)
Cen
tavo
s de
dól
ar (
US
D)
por
libra
Marzo/2006 →
Abril/2008 →
Dicbre/2008 →
Febrero/2011 →DatosMinimaxMin.Cuad
57
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 2040
50
100
150
200
250
300
350
400
450
PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 4
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 128.46 (minimax) y 178.68 (min.cuad)
Cen
tavo
s de
dól
ar (
US
D)
por
libra
Marzo/2006 →
Abril/2008 →
Dicbre/2008 →
Febrero/2011 →DatosMinimaxMin.Cuad
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 2040
50
100
150
200
250
300
350
400
450
PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 5
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 127.65 (minimax) y 180.94 (min.cuad)
Cen
tavo
s de
dól
ar (
US
D)
por
libra
Marzo/2006 →
Abril/2008 →
Dicbre/2008 →
Febrero/2011 →DatosMinimaxMin.Cuad
58
Para esta cuarta y quinta gráfica, hemos adoptado unas aproximaciones con
polinomios de cuarto y quinto grado respectivamente.
Este análisis que podría parecer redundante con respecto a sus predecesores no es ni
mucho menos en vano su estudio, puesto que sacamos valiosas conclusiones. Una de
ellas, es dar un nuevo escalón, en cuanto precisión se refiere, con respecto a los
anteriores polinomios. Además, como ya veremos en la zona de fluctuación, este
orden de polinomios tan alto se adapta, en el caso de las aproximaciones uniformes,
relativamente bien a estas fuertes oscilaciones. En concreto, las que presenta el
precio del cobre desde el año 2006.
Sí seguimos haciendo hincapié en el error cometido, podemos ver que la
aproximación por el método Minimax es prácticamente la misma aplicando
polinomios de cuarto y quinto grado, pero, con un pequeño salto de precisión con
respecto a los polinomios de grado tres. Esto mismo ocurre de manera opuesta con el
modelo por mínimos cuadrados donde se ve incrementado el error con respecto al
polinomio original (de grado 1) hasta llegar a un 23,4%. En estos gráficos, por tanto,
se aprecia, igualmente, la conveniencia de la aplicación del método Minimax como
ya venimos aplicando en los anteriores casos ya que el error se sigue rebajando en
contraposición al otro modelo.
Como curiosidad, cabe mencionar, que si bien es cierto que la precisión se va
mejorando cada vez más, a medida que el grado del polinomio aumenta, observamos
que la estimación que se realizara, mediante extrapolación, para los siguientes
puntos, en definitiva, para la predicción del precio del cobre, parece distar mucho
con respecto al último conocido. Esto, además, parece tener una relación más o
menos ligada con el fenómeno antes mencionado de separación entre zona suave y
zona fluctuante, ya que si nos fijamos en estos dos últimos gráficos se hace palpable
la separación de la curva con respecto al intervalo antes mencionado. Esta
singularidad, podría ser objeto de un estudio más profundo y deberse a otros factores
que puedan influir en los resultados obtenidos de dichos modelos.
59
Para esta última gráfica, hemos querido hacer una aproximación con un polinomio de
sexto grado, y estudiar con minuciosidad esta aproximación ya que será objeto de
comparación cuando tratemos la zona fluctuante.
Tiene como principal particularidad, que es la aproximación con el orden de
polinomio de mayor grado y, es, a partir de este polinomio, donde el parámetro que
estamos evaluando (el error), se dispara tanto, en las aproximaciones por mínimos
cuadrados como en las aproximaciones Minimax. El motivo de tan significante
cambio en el error cometido, lo hallamos en la matriz del correspondiente sistema de
ecuaciones y su mal condicionamiento a partir de un polinomio de grado seis. Luego,
aunque en un principio podríamos llegar a pensar que podemos obtener un error nulo
con un grado de polinomio muy elevado, la práctica, nos indica la limitación que
tienen este tipo de aproximaciones (algo análogo a lo que ocurre con la
interpolación).
En cuanto al error cometido, podemos ver que la aproximación por el método
Minimax continúa con una leve mejora de precisión mientras que el método por
mínimos cuadrados sigue disparando el error cometido.
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 2040
50
100
150
200
250
300
350
400
450
PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 6
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 121.71 (minimax) y 181.33 (min.cuad)
Cen
tavo
s de
dól
ar (
US
D)
por
libra
Marzo/2006 →
Abril/2008 →
Dicbre/2008 →
Febrero/2011 →DatosMinimaxMin.Cuad
60
En las próximas gráficas correspondientes a la zona suave de la muestra el conjunto
de datos estudiados ha sido un total de 126 puntos.
Sobre ella, hemos aplicado ambos métodos, tanto aproximación por mínimos
cuadrados como aproximación Minimax
Para esta primera gráfica de la zona suave, hemos querido hacer una aproximación
con un polinomio de primer grado, como en el caso de la primera gráfica global.
Como se observa en la gráfica, el error cometido en uno y en otro modelo es muy
inferior si los comparamos con la primera gráfica global evaluada, llegando a ser
menor de la mitad el error cometido con el método Minimax y de un sustancial
descenso también por mínimos cuadrados. Esto último, ya nos hace plantear la idea
de la conveniencia de estudiar, separadamente, ambas zonas (zona suave / zona
fluctuante). En este primer gráfico, de nuevo se ve la conveniencia de aplicar el
método Minimax.
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 2040
50
100
150
200
250
300
350
400
450
PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 1
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 61.92 (minimax) y 100.08 (min.cuad)
Cen
tavo
s de
dól
ar (
US
D)
por
libra
Marzo/2006 →
DatosMinimaxMin.Cuad
61
Para esta segunda gráfica suave, hemos querido hacer una aproximación con un
polinomio de segundo grado, observando un error muy inferior con respecto a la
obtenida con el polinomio de grado 1. En concreto, con esta aproximación se
cometen, en ambos casos, errores muy inferiores a la mitad que con la aproximación
lineal.
Como se observa en la gráfica, esta aproximación se ajusta muy bien a esta zona
suave de puntos tanto en un método como en otro. Pese a todo, la calidad al aplicar el
método Minimax sigue siendo mejor que con el método por mínimos cuadrados.
Quizás, en este caso, no sería del todo inconveniente aplicar el método de mínimos
cuadrados ya que no existe una diferencia sustancial en este caso.
Es en esta gráfica es donde se ve más claro o mejor dicho se intuye mejor el concepto
de suavidad de una muestra. Cuando nos referimos a una zona suave, desde el punto
de vista matemático, estamos haciendo referencia a un comportamiento regular, que
hace que la aproximación sea muy satisfactoria lo que se traduce en descenso brusco
del error.
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 2040
50
100
150
200
250
300
350
400
450
PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 2
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 27.22 (minimax) y 39.48 (min.cuad)
Cen
tavo
s de
dól
ar (
US
D)
por
libra
Marzo/2006 →
DatosMinimaxMin.Cuad
62
Las dos siguientes gráficas corresponden a aproximaciones de tercer y cuarto grado y
las analizaremos de manera conjunta para reproducir un error prácticamente idéntico.
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 2040
50
100
150
200
250
300
350
400
450
PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 3
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 19.95 (minimax) y 25.01 (min.cuad)
Cen
tavo
s de
dól
ar (
US
D)
por
libra
Marzo/2006 →
DatosMinimaxMin.Cuad
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 2040
50
100
150
200
250
300
350
400
450
PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 4
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 19.72 (minimax) y 29.61 (min.cuad)
Cen
tavo
s de
dól
ar (
US
D)
por
libra
Marzo/2006 →
DatosMinimaxMin.Cuad
63
Para esta tercera y cuarta gráfica, hemos adoptado unas aproximaciones con
polinomios de tercer y cuarto grado respectivamente.
En ambas aproximaciones, tanto con polinomios de tercer como de cuarto grado los
modelos matemáticos se ajustan bastante bien al intervalo considerado (zona suave)
si bien el error, en el caso de mínimos cuadrados parece comenzar a subir
(probablemente por un mal condicionamiento del correspondiente problema
numérico) mientras que en la aproximación minimax continúa descendiendo.
Podemos deducir de lo anterior, que la aproximación en la zona suave de la muestra
podemos ajustarla tanto con un modelo matemático como con otro.
Por último, vamos analizar las gráficas correspondientes a la zona fluctuante de la
muestra. El conjunto de datos estudiados ha sido un total de 78 puntos. Partiendo del
punto representativo de Marzo de 2006
Sobre ella, hemos aplicado ambos métodos, tanto aproximación por mínimos
cuadrados como aproximación Minimax
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 2040
50
100
150
200
250
300
350
400
450
PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 4
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 105.77 (minimax) y 134.90 (min.cuad)
Cen
tavo
s de
dól
ar (
US
D)
por
libra
Marzo/2006 →
Abril/2008 →
Dicbre/2008 →
Febrero/2011 →DatosMinimaxMin.Cuad
64
Para esta primera gráfica de la zona fluctuante, hemos querido hacer una
aproximación con un polinomio de cuarto grado, ya que nos parecía innecesario
mostrar polinomios de menor grado por carecen de importancia matemática, a la luz
de los resultados anteriormente obtenidos.
Como vemos, el polinomio de grado cuatro se ajusta bastante bien a la zona
fluctuante, siendo notablemente recomendable la aplicación del modelo el modelo
Minimax, pues consigue una aproximación bastante buena en comparación con el
otro método.
Por último, hemos considerado un polinomio de grado seis con objeto de intentar
conseguir una precisión mayor. Efectivamente, con este polinomio se consigue una
mejor precisión siendo mayor en el caso Minimax.
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 2040
50
100
150
200
250
300
350
400
450
PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 6
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 89.40 (minimax) y 113.25 (min.cuad)
Cen
tavo
s de
dól
ar (
US
D)
por
libra
Marzo/2006 →
Abril/2008 →
Dicbre/2008 →
Febrero/2011 →DatosMinimaxMin.Cuad
65
5. Análisis de resultados
5.1 Resultados obtenidos.
A continuación se muestra una tabla con el fin de ver de manera numérica los
resultados obtenidos con uno y otro método según se estudie la gráfica global o las
zonas suave y fluctuante, de la muestra.
GRÁFICA GLOBAL (Toda la serie histórica)
Grado del polinomio Desv.Mínimos Cuadrados Desv.Aprox.minimax
1 146,63 135,28
2 163,19 132,93
3 173,46 132,26
4 178,68 128,46
5 180,94 127,65
6 181,33 121,71
GRÁFICA: ZONA SUAVE
Grado del polinomio Desv.Mínimos Cuadrados Desv.Aprox.minimax
1 100,08 61,92
2 39,48 27,22
3 25,01 19,95
4 29,61 19,72
GRÁFICA: ZONA FLUCTUANTE
Grado del polinomio Desv.Mínimos Cuadrados Desv.Aprox.minimax
4 134,90 105,77
6 113,25 89,40
66
6. Conclusiones
La utilización de la metodología para la obtención de aproximaciones uniformes, en
contraste con la de mínimos-cuadrados nos ha deparado mejores resultados de los
que, en principio, esperábamos (veánse los gráficos expuestos y la tabla resumen de
resultados numéricos). Es evidente que a igualdad de datos (misma serie histórica) y
utilizando un mismo polinomio de aproximación para representarla, la desviación
absoluta máxima entre la curva-dato y nuestro polinomio aproximante es
notablemente mejor, por su propia definición, en el caso de una aproximación
uniforme que en cualquier otro caso.
Es cierto que la obtención del polinomio mediante la técnica de mínimos cuadrados
es directa (resolución del sistema de ecuaciones normales) mientras que el algoritmo
para obtener la aproximación polinómica, en el sentido minimax, es iterativo y de
difícil implementación. En nuestro caso, en que, como hemos dicho, hemos escogido
MATLAB® como soporte matemático y como lenguaje de programación, no
disponíamos de una función para obtención de aproximaciones uniformes (a
diferencia de Maple y Mathematica que, al parecer, sí lo tienen incorporado). En
consecuencia, ha sido necesaria la realización de un programa que, siguiendo las
directrices del algoritmo de Remez, principal referente en la literatura matemática al
respecto, nos permitiese, actuando sobre datos discretos (el algoritmo de Remez está
previsto para aproximaciones de funciones continuas), llevar a cabo nuestro objetivo.
En ambos casos, no obstante, ha sido necesario enfrentarnos a un problema común al
proceso de obtención de ambos tipos de aproximación. Nos referimos al mal
condicionamiento de las matrices que definen los correspondientes sistemas de
ecuaciones lineales que terminan apareciendo en la formulación numérica de ambas
metodologías de aproximación. Sin embargo, pese a ser, el método de mínimos
cuadrados, un método directo que involucra la resolución de un único sistema de
ecuaciones lineales para obtener la solución y que, por el contrario, en el método de
obtención de la aproximación uniforme, por tratarse de un algoritmo iterativo que
conlleva la resolución de un sistema de ecuaciones lineales en cada iteración, el mal
condicionamiento que se observa al ir aumentando el grado del polinomio de
aproximación, es mucho mayor en el caso de mínimos cuadrados, lo que limita el
67
grado del polinomio elegido como función de aproximación. Se podría haber
reducido la influencia del citado mal condicionamiento eligiendo una expresión
alternativa del polinomio de aproximación (elección de polinomios ortogonales)
pero, en este estudio, no se ha considerado necesario dado el carácter eminentemente
teórico del mismo y la dificultad adicional que conllevaría la obtención de dicho tipo
de polinomios.
La serie histórica del cobre presenta unas características que la hacen especialmente
adecuada para poner de manifiesto el contraste entre ambos métodos y, a la luz de los
resultados obtenidos, mostrar la bondad de las aproximaciones obtenidas con método
de aproximaciones uniformes sobre las que se obtienen mediante la técnica de
mínimos-cuadrados. Se trata, como hemos visto a lo largo de este proyecto, de una
serie que presenta una primera parte suave y regular y otra parte, aproximadamente
desde la mitad de la serie hasta el final, caracterizada por la presencia de fuertes
fluctuaciones. Tanto en el estudio conjunto de las dos partes de la serie como en cada
una de las partes y, sobre todo en la zona de fluctuaciones, ha resultado nítidamente
preferible la aproximación minimax frente a la de mínimos-cuadrados, obteniéndose
una desviación máxima mucho mayor en esta última que en aquella, para los
diferentes polinomios que hemos ensayado.
En base a todo lo anterior nos mantenemos en nuestra idea inicial, que ha dado vida a
este proyecto, y proponemos la utilización de las aproximaciones uniformes si no
como reemplazo de las actuales técnicas de aproximación (basadas principalmente en
la metodología de mínimos cuadrados) sí como método a tener en cuenta, al menos,
como contraste, en los estudios matemáticos y estadísticos de análisis de series
históricas, tanto explicativos como predictivos, que se lleven a cabo en el futuro.
68
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ESTUDIO DE LA APLICABILIDAD DE LAS APROXIMACIONES
UNIFORMES AL ANÁLISIS DE SERIES HISTÓRICAS.
APLICACIÓN AL CASO DE LOS PRECIOS DEL COBRE
DOCUMENTO Nº 2: ESTUDIO ECONÓMICO
73
1 Estudio Económico
Los costes de este proyecto, son bastante bajos, si los comparamos con otros, en los
cuales requieren de obras civiles, y por consiguiente, de maquinarias pesadas.
En este caso, al tratarse de un proyecto de investigación, no lleva consigo unos costes
elevados, puesto que en su gran mayoría el coste principal será de un buen equipo
informático, que sea capaz de tratar grandes volúmenes de información, y a ser
posible, en el menor tiempo posible.
Aunque, si bien es cierto, deberemos proveernos de un gran material didáctico, que
nos permita documentarnos sobre el tema en estudio, para lo cual, tendremos que
comprar varios libros de carácter matemático, que en su mayoría son de un coste
elevado. Asímismo, ha sido necesario recopilar una gran cantidad de datos referentes
al precio del cobre, con el tiempo y esfuerzo que ello conlleva.
Por otro lado, para el desarrollo de este proyecto hemos usado como herramienta
principal de trabajo, el Matlab. Esta aplicación, aunque su coste es, también, alto, es
tremendamente útil cuando se abordan problemas matemáticos.
Es por esta última razón, que hemos recurrido a dicha aplicación, y no a otros
programas del mercado, que si bien nos hubieran permitido abaratar el coste, ya que
no es necesaria la adquisición de una licencia, por el contrario no habríamos podido
disfrutar de la enorme potencia y versatilidad de Matlab.
Finalmente, he creído conveniente, introducir una partida presupuestaria adicional, la
cual consistiría en la necesidad de formación, durante un periodo aproximado de
doce meses, en dicha aplicación. Esto es bastante importante, ya que el manejo con
esta aplicación, resulta en ocasiones bastante difícil. Deberemos contratar, al menos,
a un empleado, con un nivel de estudios superiores, que sea capaz de abordar, con
ciertas garantías, el problema que se plantea en este proyecto.
74
Como consecuencia hará falta la asignación de un sueldo durante doce meses, lo que
supondrá, con toda seguridad, la mayor partida presupuestaria.
A continuación, recogeré lo anterior en una tabla, con el objetivo de facilitar todos
los puntos descritos:
Costes del proyecto
Costes Del Proyecto
Licencia de Matlab (Anual) 60,00 €
Datos del precio del cobre 0,00 €
Meses de trabajo 6
Número de ingenieros 1
Sueldo 1500,00 € / mes
Ordenador de sobremesa 1200,00 €
TOTAL PROYECTO 10260,00 €
ESTUDIO DE LA APLICABILIDAD DE LAS APROXIMACIONES
UNIFORMES AL ANÁLISIS DE SERIES HISTÓRICAS.
APLICACIÓN AL CASO DE LOS PRECIOS DEL COBRE
DOCUMENTO Nº 3: ANEXOS
77
Teoría Mínimos Cuadrados
En muchos problemas de hoy en día es necesario trabajar a menudo con conjuntos
de datos experimentales (x1,y1),..., (xN,yN), donde las abscisas {xk} (distintas entre
sí) representan la variable independiente, y las ordenadas {yk} la medida realizada.
Interesa entonces determinar la función y = f (x) que mejor se aproxime a los datos,
proceso matemático que se denomina aproximación discreta en consonancia con el
número finito N de puntos (xi,yi) que se utilizan como datos de partida.
En ocasiones la representación gráfica de los datos puede ser fuente de
información que nos permita elegir el tipo de función f que mejor se ajusta a los
mismos; pero también puede ocurrir que, conociendo suficientemente el fenómeno
físico en estudio, dispongamos de un modelo matemático y de la forma de la
función f que lo describe, a falta de mayor concreción en parámetros físicos del
modelo o, simplemente, de mayor precisión en las medidas tomadas por
limitaciones instrumentales y humanas. En ambos casos, lo que queda es hallar los
valores más adecuados de los M parámetros {cj (j = 1,...,M)} que definen la
función matemática f (x,c1,...,cM) que mejor aproxima el cumplimiento de las N
condiciones estipuladas:
yi = f (xi,c1,...,cM) (i = 1,...,N)
Estas condiciones representan un sistema algebraico de ecuaciones lineales que
habrá que resolver para determinar los parámetros {cj (j = 1,...,M)}.
La aproximación discreta y la interpolación de funciones son conceptos
cercanos pero en el primero no se exige como en el segundo que la función
aproximante verifique exactamente los datos discretos del problema; esta
diferencia evita las dificultades observadas en la interpolación de grandes
cantidades de datos, especialmente si éstos muestran algún tipo de ruido o
perturbación proveniente de los errores experimentales.
78
Común a ambos tipos de aproximación, discreta o continua, es el carácter
lineal o no lineal de la misma, que definiremos a continuación, como paso previo
al desarrollo del capítulo; así, diremos que un método de aproximación es
lineal si la función aproximante f (x,c1,...,cM) es lineal en los parámetros
{ cj (j = 1,...,M)}; y no lineal en el caso contrario. El siguiente ejemplo pone de
manifiesto el caso lineal.
El ajuste polinomial mediante la función
f (x) = c1 + c2x + c3x2 + …+ cnxn−1
es un problema de aproximación lineal, porque un polinomio es lineal en sus
coeficientes, aunque no lo es en general en la variable independiente x. Sin embargo,
el ajuste exponencial mediante la función.
f (x) =c1¬ÀCs+ c3¬ÀÁs+…+ c2n-1¬ÀCXs
es un problema de aproximación no lineal.
APROXIMACIÓN DISCRETA.
¿Cómo se determina la mejor aproximación f (x) que pase cerca (no por cada
uno) de los N puntos dato (xk,yk)? Para responder esta pregunta hay que
considerar los errores (también llamados desviaciones) que se definen a
continuación:
e k = f (xk) −yk (k = 1,...,N)
Hay varias normas (formas de medir estos errores) que podemos usar para
medir la distancia entre la curva y = f (x) y los datos. Las más utilizadas son:
79
Error máximo: E∞(f) = max1≤f≤ÂbA�vf� − :fbǀ
Error medio: E1(f) = 1Â ∑ ǀbA�vf� − :fbÂÄ=1 ǀ
Error cuadrático medio: E2(f) = 1Â }∑ ÅA�vf� − :fÆǀÂÄ=1 ǀ2
La función mejor aproximación es aquélla que minimiza la función error y,
por tanto, dependerá, fundamentalmente, de la norma que elijamos para la
definición del mismo
APROXIMACIÓN DISCRETA MÍNIMO-CUADRÁTICA:
CASO LINEAL.
Dados N puntos {(xk,yk) (k = 1,...,N)} con abscisas distintas, y M funciones
linealmente independientes { fj (x) (j = 1,...,M)}, se trata de encontrar M
coeficientes {cj} tales que la función f (x) definida como la combinación lineal
f(x)=∑ �«A«�v��«=1
minimice la suma de los cuadrados de los errores cometidos en cada punto:
E(c1,c2,…,cM)=∑ JA�vf� − :fK2 = ∑ ��∑ �«A«�vf�� − :f�2«=1Âf=1Âf=1
80
es decir, E = N [E2( f )]2. Minimizar E es equivalente a minimizar E2( f ), y para
que la magnitud escalar E alcance un mínimo relativo para un conjunto dado de
valores de los parámetros {c1,..., cM}, es necesario que se verifiquen las
condiciones Ç E /Ç ci = 0 para i = 1, 2,..., M. Calculando estas derivadas e igualando
a cero se obtiene un sistema de ecuaciones lineales cuya
solución es {cj}. En efecto,
Ç�Ç�Q=0=∑ 2��∑ �«A«�vf�� − :f�«=1Âf=1 �A«�vf�
⇨∑ ∑ �«A«�vf�AQ�vf� = ∑ :fAQ�vf�Âf=1�«=1Âf=1
y permutando los signos de sumatorio queda el siguiente sistema de ecuaciones en
cj :
∑ �∑ A«�vf�AQ�vf���« = ∑ AQ�vf�:fÂf=1Âf=1�«=1 (i=1,2,…,M)
que reciben el nombre de ecuaciones normales o ecuaciones normales de Gauss.
A pesar de su carácter aproximado, la solución obtenida mediante mínimos
cuadrados alisa (filtra) los errores aleatorios de los datos y permite captar la
tendencia de fondo mostrada por el fenómeno medido. Precisamente, el método fue
desarrollado por Gauss para calcular las órbitas celestes de planetas y cometas. Las
órbitas elípticas de estos cuerpos quedan determinadas por cinco parámetros, es
decir, en principio, por cinco observaciones de su posición. Sin embargo, debido a la
imprecisión de los instrumentos de medida y del factor humano, el cálculo de una
órbita a partir de tan solo 5 observaciones es escasamente fiable, y la solución
correcta se obtiene mediante el ajuste por mínimos cuadrados de numerosas
observaciones.
81
Obsérvese que hemos pasado del sistema rectangular de ecuaciones de dimensión
NxM al sistema final cuadrado de dimensiones MxM . Entonces el sistema de
ecuaciones es equivalente a:
∑ �«A«�vQ� ≈ :Q�«=1 (i=1,..,N) → Éc≈b £VQ« = A«�vQ�{Q = :Q h
En la fila genérica i se establece que la función f (x) verifica (aproximadamente) el
dato (xi,yi). Las dimensiones de la matriz de coeficientes A y del vector b son NxM y
Nx1 respectivamente, y estaremos tratando con un sistema lineal de ecuaciones
rectangular sobredeterminado si, como ocurre en general, N > M.
Para obtener la solución de mínimos cuadrados del sistema rectangular A c ≈ b
definiremos el vector residuo y minimizaremos el cuadrado de su norma euclídea:
Ê = Ë − ÌÍ;‖Ï‖CC = ÏÐÏ = �Ñ − ÌÒ�Ð�Ñ − ÌÒ� = ÑÐÑ − 2ÒÐÌÐÑ + ÒÐÌÐÒ
anulando las derivadas con respecto a los parámetros c, para obtener: −2 AT b + 2 AT Ac=0 → ÉÐÉÍ = ÉÐË
Éste es un sistema de M ecuaciones con M incógnitas (matriz de coeficientes ATA
de dimensión MxM ) que se conoce como sistema de ecuaciones normales. Si el
rango de la matriz A es M (las columnas de A son linealmente independientes), el
sistema de ecuaciones obtenido es no singular y tiene solución única.
Efectivamente, entonces A c representa un vector del espacio generado por las
columnas de A (dimensión M en general; el plano en la figura) que en el caso
habitual del método de los mínimos cuadrados (N > M ) no incluye al vector b de
82
dimensión N. Por tanto en lugar de una solución exacta buscaremos el vector A c
(del espacio generado por las columnas de A) más cercano a b (en la norma
euclídea); entonces, este vector A c deberá coincidir con la proyección ortogonal de
b en el espacio columna de A (el plano), como se muestra en la figura:
b r = b − A c
Ac
Figura
Por tanto, el vector residuo r = b − A c será perpendicular al espacio columna de
A, y se verificará la condición de ortogonalidad (producto escalar nulo) de todos
las vectores columnas de A con el vector (columna) r; en formato matricial:
0 = AT r = AT (b − Ac) AT Ac = AT b
que es el mismo sistema de ecuaciones normales obtenido anteriormente.
Aproximación polinomial.
Es un caso particular de la aproximación discreta mínimo-cuadrática
lineal. Veremos aquí su formulación y características específicas. Cuando en el
método general descrito se tienen de nuevo N puntos, pero se utilizan M funciones
{ fj (x) = xj (j = 0,1, .., M1)}, la función aproximante f (x) ser· un polinomio de
grado menor o igual que M−1:
f(x)=c1+ c1x+c1x2+…+ cM-1=∑ �«v«�−1«=0
83
Entonces, procediendo análogamente al caso anterior:
E=∑ JA�vf� − :fK2 = ∑ ��∑ �«vf« � − :f�2 = ���0, … , Ó�−1��−1«=0Âf=1Âf=1
y minimizando E:
Ç�Ç�Q = 0 = U 2��U �«vf« � − :f�−1«=0
Âf=1 �vfQ ⇨
∑ �∑ vdW @��W =ÔW�@�g@W�Y ∑ :dvdPÔW�@ (i=0,1,….,M-1)
Obsérvese que la matriz de coeficientes de este sistema es simétrica, pues VPW = VWP; además, aij es cte. para i+j = cte., con lo que también son iguales todos
los elementos alineados perpendicularmente a la diagonal principal.
Aproximación polinómica lineal. Determinación de la recta de regresión.
Se trata del caso particular en que el grado del polinomio es 1 y el número
de coeficientes a determinar es M = 2. La recta de regresión o recta óptima en (el
sentido de los) mínimos cuadrados es la de ecuación
y = f (x) = Ax + B
que minimiza el error cuadrático medio E2( f ). Recordemos que la cantidad E2( f )
será mínima sí lo es el valor E = N [E2( f )]2; en este caso:
� = Â6�C�<�8C U�Ìvd + . − :d�CÔÕ�@
84
valor que puede visualizarse geométricamente como la suma de los cuadrados de
las distancias verticales desde los puntos hasta la recta. Particularizando a este caso
las fórmulas generales para polinomios (4), los coeficientes de la recta de regresión
resultan ser la solución del siguiente sistema lineal de ecuaciones normales:
Ö×Ø×Ù�U vdC�Ì + �U vd�. = U :dvd
Ôd�@
Ôd�@
Ôd�@�U vd�Ì +Ô
d�@ Â. = U :dÔ
d�@h
Recuérdese que el sistema de ecuaciones normales también puede obtenerse
matricialmente.
Aproximación polinómica cuadrática
Eligiendo como función de aproximación un polinomio de grado 2, y M = 3
coeficientes a determinar, la parábola óptima en el sentido de los mínimos
cuadrados:
y = f (x) = Ax2 + Bx + C
se determina sustituyendo los coeficientes A = c3, B = c2 y C = c1 en el sistema
de ecuaciones normales (4):
Ö××××Ø××××Ù �U vdÁ�Ì + �U vd��. + �U vdC�ÓÔ
d�@ = U :dvdCÔ
d�@Ô
d�@Ô
d�@ �U vd��Ì + �U vdC�. + �U vd�Ó = U :d
Ôd�@ vd
Ôd�@
Ôd�@ Ô
d�@�U vdC�Ì + �U vd�. + ÂÓ = U :d
Ôd�@
Ôd�@
Ôd�@
h
85
y resolviendo el sistema de tres ecuaciones para las incógnitas A, B y C. Obsérvense
las simetrías en la matriz de coeficientes, y recuérdese que el sistema de ecuaciones
normales también puede obtenerse matricialmente según.
Inconvenientes de la aproximación polinomial.
Ortogonalización
Si los datos no muestran una naturaleza polinomial, puede ocurrir que la
curva resultante presente oscilaciones grandes. Este fenómeno, llamado oscilación
polinomial, se hace más pronunciado conforme aumenta el grado del polinomio,
y por esta razón no se suelen usar polinomios de grado seis o mayor a no ser que
se sepa que la función de la que provienen los datos es un polinomio.
Por otra parte el sistema de ecuaciones normales es un sistema mal
condicionado, que se ve muy afectado por los errores de redondeo. De hecho, se
puede demostrar que, al formar el sistema de ecuaciones normales, el número de
condición de la matriz A de coeficientes original (que empeora sensiblemente al
aumentar el grado del polinomio de aproximación) queda elevado al cuadrado en
la matriz de coeficientes ATA resultante.
cond( AT A) = [cond( A)]2
86
APROXIMACIÓN MÍNIMO-CUADRÁTICA:
CASOS NO LINEALES.
El ajuste exponencial: y = Ce Ax .
Lo mismo que en el caso anterior, en muchos procesos, como por ejemplo
los de desintegración radiactiva, los datos experimentalmente obtenidos siguen
exponenciales decrecientes. Supongamos de nuevo que queremos aproximar N
puntos (xk,yk) mediante una función
exponencial de la forma y = CeAx, donde los parámetros a determinar son C y A.
Se trata de una aproximación no lineal en el coeficiente A; el método de los
mínimos cuadrados consiste en minimizar la función:
E�A, C� = U�Ceܾݖ yß�Càß�@
Para ello hallamos las derivadas parciales de E(A,C) respecto de A y C:
Ö×Ø×Ù
Ç�ÇÌ = 0 = U 2�Ó¬ásâ − :d�Ó¬ásâvdÔ
Õ�@Ç�ÇÓ = 0 = U 2Ôd�@ �Ó¬ásâ − :d�¬ásâ
h
y tras simplificar se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones normales:
87
Ö×Ø×ÙÓ U vd¬Cásâ − U vd:d¬ásâ
Ôd�@ = 0Ô
Õ�@Ó U ¬Cásâ
Ôd�@ − U :d¬ásâ
Ôd�@ = 0 h
que es un sistema algebraico no lineal de ecuaciones cuya resolución no es
inmediata como en los casos lineales, sino que se obtiene a través de un proceso
iterativo. Para evitar esta dificultad se puede utilizar el procedimiento de
linealización de los datos que se describe a continuación:
Linealización de los datos.
Muchos casos en los que se desea ajustar los datos a una curva no lineal en sus
parámetros, pueden transformarse en un problema de aproximación lineal mediante
adecuados cambios de variable. Veamos a continuación algunos caso
Linealización de los datos para y = Ce Ax .
Sean N datos (xk,yk) a los que queremos ajustar una curva exponencial de la forma:
y= CeAx Tomando logaritmos:
ln(y) = ln(C) + A x Cambio de variable:
Y = ln(y), X = x Ecuación linealizada
(B = ln(C)): Y = A X + B
Los datos originales (xk,yk) se han transformado en (Xk,Yk) = (xk,ln(yk)); el
problema ahora es calcular la recta de regresión de los puntos (Xk,Yk), para lo que
planteamos las correspondientes ecuaciones normales definidas por
88
Ö×Ø×Ù�U vdC�Ì + �U vd�. = U ãd�d
Ôd�@
Ôd�@
Ôd�@�U vd�Ì +Ô
d�@ Â. = U ãdÔ
d�@h
Éste es un sistema de ecuaciones lineal más sencillo de resolver que el sistema no
lineal correspondiente a los datos iniciales no transformados. Calculados A y B, se
obtiene el par·- metro original C = eB, y con ello la función a determinar y = CeAx.
Este procedimiento minimiza el error cuadrático calculado en las variables X, Y
(es decir, el de la recta Y = A X + B respecto a los puntos (Xk,Yk)), pero, tras
deshacer el cambio, el error cuadrático de la exponencial y = CeAx respecto a los
datos (xk,yk) originales no es el mínimo. No obstante, la diferencia suele ser
pequeña, lo cual permite utilizar a menudo el proceso de linealización por ser
computacionalmente más sencillo.
Otros casos de linealización.
La técnica de linealización mostrada en el apartado anterior se puede emplear en
otros casos de aproximación no lineal a funciones tales como
y = A ln(x) + B o y = A/x + B.
El tipo de función de aproximación se puede elegir a la vista de la representación
gráfica del conjunto de datos. Una vez elegida dicha función, si Ésta es no lineal en
los parámetros que la definen, hay que realizar el cambio de variables adecuado de
manera que las nuevas variables se relacionen linealmente. La siguiente tabla
muestra algunos de los cambios más utilizados.
89
Función: y=f(x) Linealización: Y=AX+B Cambios
: = Ìv + . : = Ì. 1� + . � = 1v ; ã = :
: = $v + Ó : = −1Ó . �v:� + $Ó � = v. :; ã = :
: = 1Ì. v + . 1: = Ì. v + . � = v; ã = 1:
: = vÌ. � + . 1: = Ì + .. 1� � = 1v ; ã = 1:
: = Ì. ln�v� + . : = Ì. ln�v� + . � = ln��� ; ã = :
: = Ó. ¬á.s ln�:� = Ì. v + ln�Ó� � = v; ã = ln�:�
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0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 2040
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450PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)
Meses desde Enero/1996
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Abril/2008 →
Dicbre/2008 →
Febrero/2011 →
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PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 1
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 135.28 (minimax) y 146.63 (min.cuad)
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PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 2
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 132.93 (minimax) y 163.19 (min.cuad)
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Abril/2008 →
Dicbre/2008 →
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PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 3
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 132.26 (minimax) y 173.46 (min.cuad)
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PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 4
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 128.46 (minimax) y 178.68 (min.cuad)
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PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 5
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 127.65 (minimax) y 180.94 (min.cuad)
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PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 6
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 121.71 (minimax) y 181.33 (min.cuad)
Cen
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Abril/2008 →
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PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 1
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 61.92 (minimax) y 100.08 (min.cuad)
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PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 2
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 27.22 (minimax) y 39.48 (min.cuad)
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Marzo/2006 →
DatosMinimaxMin.Cuad
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PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 3
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 19.95 (minimax) y 25.01 (min.cuad)
Cen
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ar (
US
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libra
Marzo/2006 →
DatosMinimaxMin.Cuad
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PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 4
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 19.72 (minimax) y 29.61 (min.cuad)
Cen
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ar (
US
D)
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Marzo/2006 →
DatosMinimaxMin.Cuad
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0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 2040
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450
PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 4
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 105.77 (minimax) y 134.90 (min.cuad)
Cen
tavo
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dól
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US
D)
por
libra
Marzo/2006 →
Abril/2008 →
Dicbre/2008 →
Febrero/2011 →DatosMinimaxMin.Cuad
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350
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450
PRECIOS DEL COBRE (Enero/1996 - Enero/2013)Ajustes Minimax y Mínimos Cuadrados
Grado del polinomio = 6
Meses desde Enero/1996
Desviaciones máximas: 89.40 (minimax) y 113.25 (min.cuad)
Cen
tavo
s de
dól
ar (
US
D)
por
libra
Marzo/2006 →
Abril/2008 →
Dicbre/2008 →
Febrero/2011 →DatosMinimaxMin.Cuad