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ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL No. 115 “EMILIANO ZAPATA” PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS DE PENSAMIENTO NUMÉRICO Y ALGEBRAICO PROF. ING. JAIME CHÁVEZ CARRILLO NOMBRE DEL ALUMNO GRUPO GOBIERNO DEL ESTADO DE MÉXICO SECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR Y SUPERIOR DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

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ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL No. 115

“EMILIANO ZAPATA”

PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS DE PENSAMIENTO NUMÉRICO Y ALGEBRAICO

PROF. ING. JAIME CHÁVEZ CARRILLO

NOMBRE DEL ALUMNO

GRUPO

GOBIERNO DEL ESTADO DE MÉXICO

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR Y SUPERIOR

DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

Portafolio de Evidencias de Pensamiento Numérico y Algebraico

ÍNDICE

TEMA PÁGINA

Evidencia No. 1 “Mapa Conceptual” 1

Temas para la Primera Exposición 1

Evidencia No. 2 “Reporte de la Primera Exposición” 4

Evidencia No. 3 “Mapa Mental de los Números Reales R” y Complejos 5

Evidencia No. 4 “Conceptos Temáticos de la Unidad I” 7

Evidencia No. 5 “Escenario Didáctico de la Unidad I” 9

Evidencia No. 6 “Conocimiento de los Números Reales R” 12

Temas para la Segunda Exposición 14

Evidencia No. 7 “Reporte de la Segunda Exposición” 15

Evidencia No. 8 “Operaciones con Números Enteros Z” 16

Evidencia No. 9 “Operaciones con Números Racionales Q” 18

Evidencia No. 10 “Problemas con Números Enteros Z” 20

Evidencia No. 11 “Aplicación de las Propiedades de los Números Reales R” 24

Evidencia No. 12 “Ejercicio de Conocimiento de Números Imaginarios y Complejos” 28

Evidencia No. 13 “Operaciones con Números Imaginarios y Complejos” 30

Leyes de los Exponentes “Descripción de las Principales Leyes” 32

Leyes de los Radicales “Descripción de las Principales Leyes” 32

Evidencia No. 14 “Operaciones Aplicando Las Leyes de los Exponentes” 33

Evidencia No. 15 “Operaciones Aplicando Las Leyes de los Radicales” 36

Evidencia No. 16 “Ejercicios de Notación Científica” 38

Evidencia No. 17 “Ejercicios de Lenguajes Común ↔ Lenguaje Algebraico” 41

Temas para la Tercera Exposición 45

Evidencia No. 18 “Ejercicios de Valor Numérico” 46

Evidencia No. 19 “Operaciones Básicas con Monomios y Polinomios” 48

Productos Notables “Descripción de las Principales Reglas” 53

Evidencia No. 20 “Ejercicios de Productos Notables” 54

Factorización “Descripción de las Principales Reglas” 57

Evidencia No. 21 “Ejercicios de Factorización” 58

BIBLIOGRAFÍA:

Ejercicios tomados de: ÁLGEBRA CON ARITMÉTICA; PROF. TORIBIO CRUZ SÁNCHEZ; EDICIONES MATEMÁTICAS FÁCILES. Programa de Estudio de la Materia de Pensamiento Numérico y Algebraico. Departamento de Bachillerato General. EPOEM.

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Evidencia No. 1

MAPA CONCEPTUAL

Realización de un Mapa Conceptual (con todas sus características) de las Once Competencias

de los Estudiantes de Nivel Media Superior. Este se deberá encontrar en su cuaderno de

apuntes y ahí será evaluado. No incluir en el Mapa Conceptual los Atributos de la

Competencia.

Objetivo:

Que el Estudiante, conozca e inicie en su práctica académica, la aplicación de las características con las

cuales un Estudiante de Educación Media Superior debe Egresar, y poder desarrollarse en su vida

Familiar, Profesional y ante la Sociedad.

Competencias a desarrollar en esta Evidencia:

➢ Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que

persigue

➢ Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos

géneros

➢ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados

➢ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

Rubricas:

➢ Ante todo, una limpieza impecable

➢ Los cuadros y/o rectángulos, las líneas bien definidas y realizadas con una regla

➢ Las líneas que conectan los cuadros y/o rectángulos, también bien definidas y con regla

➢ Los conceptos o ideas que van en los cuadros y/o rectángulos, con letra Mayúscula

➢ Las palabras de enlace o conectores, con letra Minúscula

Esta evidencia deberá encontrarse al 100% de efectividad, no se aceptará incompleta.

Valor Total de la Evidencia: 11 puntos

Valor obtenido en la Evidencia: ____________

Porcentaje de Efectividad de la Evidencia (Vo x 100)/Vt: ___________________

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Temas para la 1ª Exposición (si el Maestro la solicita)

➢ Equipo 1: Lo Natural de Contar

✓ Descripción Histórica

✓ Definición

✓ Tres Ejemplos Contextualizados

➢ Equipo 2: Los Números Naturales

✓ Breve descripción Histórica

✓ Definición

✓ ¿Cuáles son?

✓ Representación Matemática y Lógica

✓ Tres Ejemplos Contextualizados

➢ Equipo 3: Los Números Enteros

✓ Breve descripción Histórica

✓ Definición

✓ ¿Cuáles son?

✓ Representación Matemática y Lógica

✓ Tres Ejemplos Contextualizados

➢ Equipo 4: Los Números Racionales

✓ Breve descripción Histórica

✓ Definición

✓ ¿Cuáles son?

✓ Representación Matemática y Lógica

✓ Tres Ejemplos Contextualizados

➢ Equipo 5: Los Números Irracionales

✓ Breve descripción Histórica

✓ Definición

✓ ¿Cuáles son?

✓ Representación Matemática y Lógica

✓ Tres Ejemplos Contextualizados

➢ Equipo 6: Los Números Imaginarios y Complejos

✓ Breve descripción Histórica

✓ Definición

✓ ¿Cuáles son?

✓ Representación Matemática y Lógica

✓ Tres Ejemplos Contextualizados

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➢ Equipo 7: El Cero y el Infinito

✓ Breve descripción Histórica

✓ Definición

✓ ¿Cuáles son?

✓ Representación Matemática y Lógica

✓ Tres Ejemplos Contextualizados

➢ Equipo 8: Resumen

✓ Mediante un Cuadro Sinóptico, realizará un Resumen General de la 7

Exposiciones realizadas por sus compañeros, en donde describirá todos los

tipos de Números Reales y Complejos, indicando su representación

Matemática y/o Lógica.

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Evidencia No. 2

REPORTE DE EXPOSICIÓN (si el Maestro lo solicita)

Reporte de la Exposición, este será desarrollado por los Estudiantes y en Equipo(s) de

Trabajo. Antes de la Exposición de los Estudiantes, éste reporte deberá estar en manos del

Profesor para que se pueda llevar a cabo la evaluación, de lo contrario, al equipo se le

realizará un descuento del 50% de su evaluación en la exposición y la evaluación del reporte

será anulada. La Evaluación de la Exposición será en forma Individual.

Las características de la Exposición y del Reporte, se encuentran desarrolladas y explicadas

en el Documento que se encuentra pegado en su Cuaderno de Apuntes.

Objetivos:

Que el Estudiante aprenda:

➢ A trabajar en Equipos de trabajo

➢ A realizar de investigaciones

➢ A realizar una exposición

➢ Y finalmente a elaborar un reporte

Competencias a desarrollar en esta Evidencia:

➢ Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que

persigue

➢ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados

➢ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

➢ Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos

de vista de manera crítica y reflexiva

➢ Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

➢ Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos

➢ Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas

y prácticas sociales

Valor Total de la Evidencia: 10 puntos

Valor obtenido en la Evidencia: ____________

Porcentaje de Efectividad de la Evidencia (Vo x 100)/Vt: ___________________

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Evidencia No. 3

MAPA MENTAL DE LOS NÚMEROS REALES Y

COMPLEJOS

Objetivos:

➢ Identificar los tipos de numeración, con base a definiciones y épocas de aparición en la Historia.

➢ Clasificar los tipos de numeración para identificar la aplicación de los números.

➢ Construye conceptos y generalizaciones para manipular de forma eficiente los números.

Competencias a desarrollar en esta Evidencia:

➢ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados

➢ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

➢ Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

➢ Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos

➢ Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas

y prácticas sociales

Rubricas:

➢ Diseño.

➢ Imaginación.

➢ Incluye toda la Clasificación de los Números.

➢ Limpieza y Presentación

Valor Total de la Evidencia: 10 puntos

Valor obtenido en la Evidencia: ____________

Porcentaje de Efectividad de la Evidencia (Vo x 100)/Vt: ___________________

Realizar el Mapa Mental en la Siguiente Hoja

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Mapa Mental de los Números Reales y Complejos

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Evidencia No. 4

CONCEPTOS TEMÁTICOS

Objetivos:

➢ Conoce y analiza entre el carecer de algo o no tener nada y el tener tanto que no se puede llevar a

cabo la numeración.

➢ Conoce, Analiza e Identifica los diferentes Tipos de Números o Numeraciones que se utilizan para

realizar el conteo tradicional.

➢ Construye conceptos y generalizaciones para manipular de forma eficiente los números.

➢ Profundiza en el conocimiento de la construcción y uso de los números y su influencia en el conteo.

Competencias a desarrollar en esta Evidencia:

➢ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados

➢ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

➢ Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

➢ Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos

➢ Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas

y prácticas sociales

Rubricas:

➢ Limpieza y presentación.

➢ Letra clara y legible.

➢ Tiene todos los conceptos bien desarrollados.

➢ Alineación derecha.

Valor Total de la Evidencia: 10 puntos

Valor obtenido en la Evidencia: ____________

Porcentaje de Efectividad de la Evidencia (Vo x 100)/Vt: ___________________

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1. Número:

2. Conteo:

3. Números Naturales (N). Definición y Representación Matemática:

4. Números Enteros (Z). Definición y Representación Matemática:

5. Números Racionales (Q). Definición y Representación Matemática:

6. Números Irracionales (Q’). Definición y Representación Matemática:

7. Números Imaginarios (i). Definición y Representación Matemática:

8. Números Complejos (C). Definición y Representación Matemática:

9. El Cero. Definición y Representación Matemática:

10. El Infinito. Definición y Representación Matemática:

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Evidencia No. 5

ESCENARIO DIDÁCTICO

Objetivos:

➢ Conoce el concepto básico de Conteo y Numeración y lo asocia en las diferentes culturas y

civilizaciones a lo largo de la Historia.

➢ Conoce y analiza entre el carecer de algo o no tener nada y el tener tanto que no se puede llevar a

cabo la numeración.

➢ Conoce, Analiza e Identifica los diferentes Tipos de Números o Numeraciones que se utilizan para

realizar el conteo tradicional.

➢ Analiza y Contextualiza en su vida cotidiana la aplicación de los números y la aplicación en un

conteo.

➢ Profundiza en el conocimiento de la construcción y uso de los números y su influencia en el conteo.

Competencias a desarrollar en esta Evidencia:

➢ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados

➢ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

➢ Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

➢ Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos

➢ Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas

y prácticas sociales

Rubricas:

➢ Limpieza y presentación.

➢ Letra clara y legible.

➢ Tiene todos los conceptos bien desarrollados.

➢ Alineación derecha.

Valor Total de la Evidencia: 10 puntos

Valor obtenido en la Evidencia: ____________

Porcentaje de Efectividad de la Evidencia (Vo x 100)/Vt: ___________________

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Escenario Didáctico de la Unidad I

Es un gélido día, fuertes ventiscas de nieve azotan sin cesar la entrada de una cueva. En su interior un grupo

de humanos están muy juntos para darse calor y abrigo. El alimento se acaba, Am indica que hay que salir a

buscar comida, el grupo de siete hombres se cubren con las píeles toscas producto de animales cazados con

anterioridad. Al salir de la cueva el viento aúlla y la nieve golpea sus rostros, van unidos entre sí con una

burda cuerda. Al frente Am dirige la temeraria marcha internándose penosamente en la tundra.

Han transcurrido varios días sin ver un solo animal, Am sabe que atrás,

en la cueva, ancianos, mujeres y niños dependen de lo que él y los otros

lleven para comer. Cansados y hambrientos deciden dormir junto a la

saliente de una roca que les sirve de precario refugio.

Mientras el frío y el viento arrecian Am sueña, que muchos animales se

alimentan en la pradera y junto con sus hombres se acercan

sigilosamente, a un gesto suyo sus hombres se levantan, los animales se

asustan y corren sin cuidado a un acantilado, decenas de bisontes caen y

en el fondo los que sobreviven son rematados con fuertes golpes.

Las mujeres y los niños desollan con filosos pedernales los cuerpos inertes

con rapidez, y pronto una gran cantidad de carne es asoleada en tendederos

a fin de que se seque. Hay alegría por doquier.

Una vez cubierta la necesidad de alimento y abrigo, Am y algunos hombres

se auxilian de antorchas empapadas en sebo para alumbrar la cueva e

ilustrar con brillantes colores las escenas más sobresalientes de la cacería.

En su refugio la temperatura cae peligrosamente, todo se congela, la

tormenta de nieve no amaina. Esto nunca había sucedido y Am y sus

acompañantes no están preparados.

Sin darse cuenta, Am pasa del sueño a la muerte. Con una sonrisa en los labios admira la

escena de un mamut.

En la cueva donde tiempo atrás los esperaba el fuego, ahora se apaga sin que nadie pueda

evitarlo.

Preguntas de Interés

1. ¿En qué época vivieron Am y sus hombres?

2. ¿Qué tipo de personas formaban la tribu?

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3. ¿Cuántas personas se necesitaban para cazar un mamut?

4. ¿A qué temperatura descendió el ambiente mientras Am y sus amigos se quedaron resguardados en la roca?

5. ¿Cuántas personas se alimentaban con un mamut?

6. ¿En dónde ocurrió esta historia?

7. ¿Cuál es la diferencia entre un mamut y un elefante?

8. ¿Qué pasó con las personas que estaban en la cueva?

9. ¿Qué significa la expresión “todo se congela” en relación a la “temperatura bajo cero” y en representación

Matemática?

10. ¿Cómo registraban las cosas que tenían?

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Evidencia No. 6

CONOCIMIENTO DE LOS NÚMEROS REALES R

Objetivos:

➢ Conoce, Analiza e Identifica los diferentes Tipos de Números o Numeraciones que se utilizan para

realizar el conteo tradicional.

➢ Analiza y Contextualiza en su vida cotidiana la aplicación de los números y la aplicación en un

conteo.

➢ Profundiza en el conocimiento de la construcción y uso de los números y su influencia en el conteo.

Competencias a desarrollar en esta Evidencia:

➢ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados

➢ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

➢ Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

➢ Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos

➢ Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas

y prácticas sociales

Rubricas:

➢ Limpieza y presentación.

➢ Letra clara y legible.

➢ Tiene todos los conceptos bien desarrollados.

➢ Alineación derecha.

Valor Total de la Evidencia: 18 puntos

Valor obtenido en la Evidencia: ____________

Porcentaje de Efectividad de la Evidencia (Vo x 100)/Vt: ___________________

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En los siguientes enunciados, indicar con un V si es Verdadero y con una F si es Falso.

El Símbolo Є significa que lo Primero es un Elemento del Segundo, o bien, lo Primero Pertenece a lo

Segundo.

4 Q …………………………………………………………………….…….. ( )

15 Z …………………………………………………………………….……… ( )

2 'Q …………………………………………………………… ……………. ( )

70 N …………………………………………………………………………. ( )

1 R …………………………………………………………………………… ( )

1

2Z ………………………………………………………………..………….. ( )

82 Q …………………………………………………………………………. ( )

3 8 N ………………………………………………………………………….. ( ) 2 R …………………………………………………………………………… ( )

9'

4Q …………………………………………………………………………. ( )

N sólo contiene los Esteros Positivos …………………………………………… ( )

es un número Irracional ……………………………………………………… ( )

Los Números Racionales incluyen a los Enteros ……………………………….. ( )

El 0 es un Número Natural ……………………………………………………… ( )

Z consta de los Enteros Positivos y Negativos ……………….…………………. ( )

El 1 es un Número Real …………………………………………………………. ( )

1

4es un Número Irracional ……………………………………………………. ( )

El primer elemento de los Números Naturales es el 1 …………………………… ( )

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Temas para la 2ª Exposición (si el Maestro la Solicita)

Equipo 1: Los Números y su Valor Absoluto y Relativo.

➢ Definiciones

➢ ¿Qué son y Cuáles son?

➢ Mínimo 3 ejercicios por cada subtema

Equipo 2: Operaciones Aritméticas de Suma y Resta con Números Enteros

➢ Definiciones

➢ Procedimiento para la realización de una Suma o una Resta con los Números Enteros

➢ Mínimo 3 ejercicios por cada subtema

Equipo 3: Operaciones Aritméticas de Multiplicación y División con Números Enteros

➢ Definiciones

➢ Procedimiento para la realización de una Multiplicación o una División con los Números

Enteros

➢ Mínimo 3 ejercicios por cada subtema

Equipo 4: Operaciones Aritméticas de Suma y Resta con Números Racionales

➢ Definiciones

➢ Procedimiento para la realización de una Suma o una Resta con los Números Racionales

➢ Mínimo 3 ejercicios por cada subtema

Equipo 5: Operaciones Aritméticas de Multiplicación y División con Números Racionales

➢ Definiciones

➢ Procedimiento para la realización de una Multiplicación o una División con los Números

Racionales

➢ Mínimo 3 ejercicios por cada subtema

Equipo 6: Las Leyes de los Exponentes (Suma, Resta, Multiplicación, División, Potencias)

➢ Definiciones

➢ Reglas

➢ Mínimo 3 ejercicios por cada subtema

Equipo 7: Las Leyes de los Radicales (Extracción e Introducción de Factores en los Radicales)

➢ Definiciones

➢ Reglas

➢ Mínimo 3 ejercicios por cada subtema

Equipo 8: Notación Científica (conversión de Números Reales a Numeración con Potencias de Base 10) y

operaciones de Suma, Resta, Multiplicación y División

➢ Definiciones

➢ Reglas

➢ Mínimo 3 ejercicios por cada subtema

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Evidencia No. 7

REPORTE DE EXPOSICIÓN (si el Maestro lo solicita)

Reporte de la Exposición, este será desarrollado por los Estudiantes y en Equipo(s) de

Trabajo. Antes de la Exposición de los Estudiantes, éste reporte deberá estar en manos del

Profesor para que se pueda llevar a cabo la evaluación, de lo contrario, al equipo se le

realizará un descuento del 50% de su evaluación en la exposición y la evaluación del reporte

será anulada. La Evaluación de la Exposición será en forma Individual.

Las características de la Exposición y del Reporte, se encuentran desarrolladas y explicadas

en el Documento que se encuentra pegado en su Cuaderno de Apuntes.

Objetivos:

Que el Estudiante aprenda:

➢ A trabajar en Equipos de trabajo

➢ A realizar de investigaciones

➢ A realizar una exposición

➢ Y finalmente a elaborar un reporte

Competencias a desarrollar en esta Evidencia:

➢ Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que

persigue

➢ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados

➢ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

➢ Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos

de vista de manera crítica y reflexiva

➢ Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

➢ Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos

➢ Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas

y prácticas sociales

Valor Total de la Evidencia: 10 puntos

Valor obtenido en la Evidencia: ____________

Porcentaje de Efectividad de la Evidencia (Vo x 100)/Vt: ___________________

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Evidencia No. 8

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Z

Objetivos:

➢ Aprender a resolver operaciones con los operadores básicos, que son: La Suma, la Resta, la

Multiplicación y la División con Números Enteros.

➢ Profundiza en el conocimiento de la construcción y uso de los números y su influencia en el conteo.

Competencias a desarrollar en esta Evidencia:

➢ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados

➢ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

➢ Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

➢ Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas

y prácticas sociales

Rubricas:

➢ Limpieza y presentación.

➢ Números claros y legibles.

➢ Tiene todas las operaciones bien desarrolladas.

➢ Alineación derecha.

➢ Las cantidades que tienen punto decimal, deberá llevar dos decimales.

➢ El procedimiento de las operaciones deberán encontrarse en la página de la izquierda, de lo contrario,

no será validada la Evidencia.

Valor Total de la Evidencia: 20 puntos

Valor obtenido en la Evidencia: ____________

Porcentaje de Efectividad de la Evidencia (Vo x 100)/Vt: ___________________

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Operaciones con Números Enteros Z

Sumas:

35 + 28 + 876 =

16 + 105 + 325 =

225 + 13 + 28 =

486 + 325 + 3579 =

10768976 + 76876975 + 765798765 =

Restas:

7897 – 9765 =

8765 – 5321 =

4576 – 9758 =

62578 – 10035 =

769768797652 – 973345678912 =

Multiplicaciones:

72538 x 726 =

51825 x -357 =

-235 x 72 =

-4257 x -325 =

87657654 x 276 =

Divisiones:

725 ÷ 75 =

-4576 ÷ 187 =

35297 ÷ -18 =

-197659 ÷ -133 =

15778769565 ÷ 1578 =

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Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 18 de 63

Evidencia No. 9

OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES Q

Objetivos:

➢ Aprender a resolver operaciones con los operadores básicos, que son: La Suma, la Resta, la

Multiplicación y la División con Números Racionales.

➢ Profundiza en el conocimiento de la construcción y uso de los números y su influencia en el conteo.

Competencias a desarrollar en esta Evidencia:

➢ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados

➢ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

➢ Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

➢ Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas

y prácticas sociales

Rubricas:

➢ Limpieza y presentación.

➢ Números claros y legibles.

➢ Tiene todas las operaciones bien desarrolladas.

➢ Alineación derecha.

➢ Representar los resultados finales en Fracción Propia o Impropia y en su mínima expresión. Pero

nunca con decimales ni con Fracciones Mixtas.

➢ El procedimiento de las operaciones deberán encontrarse en la página de la izquierda, de lo contrario,

no será validada la Evidencia.

Valor Total de la Evidencia: 24 puntos

Valor obtenido en la Evidencia: ____________

Porcentaje de Efectividad de la Evidencia (Vo x 100)/Vt: ___________________

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Operaciones con Números Racionales Q

5 3

2 8

6 9

5 7

8 3

5 4

5 7

9 18

5 3

8 8

6 9

5 5

5 3

2 8•

6 9

5 7•

8 3

5 4•

5 7

9 18•

5 3

8 8•

6 9

5 5•

5 3

2 8

6 9

5 7

8 3

5 4

5 7

9 18

5 3

8 8

6 9

5 5

5 3

2 8

6 9

5 7

8 3

5 4

5 7

9 18

5 3

8 8

6 9

5 5

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Evidencia No. 10

PROBLEMAS CON NÚMEROS ENTEROS Z Y

RACIONALES Q

Objetivos:

➢ Aprender a resolver problemas reales de la vida cotidiana, con operaciones utilizando los operadores

básicos, que son: La Suma, la Resta, la Multiplicación y la División con Números Enteros y

Racionales.

➢ Profundiza en el conocimiento de la construcción y uso de los números y su influencia en el conteo.

Competencias a desarrollar en esta Evidencia:

➢ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados

➢ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

➢ Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

➢ Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas

y prácticas sociales

Rubricas:

➢ Limpieza y presentación.

➢ Números claros y legibles.

➢ Tiene todas las operaciones bien desarrolladas.

➢ Alineación derecha.

➢ Las cantidades que tienen punto decimal, deberá llevar dos decimales.

➢ El procedimiento de las operaciones deberá encontrarse en la página de la izquierda, de lo contrario,

no será validada la Evidencia.

Valor Total de la Evidencia: 36 puntos

Valor obtenido en la Evidencia: ____________

Porcentaje de Efectividad de la Evidencia (Vo x 100)/Vt: ___________________

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Problemas con Números Enteros Z y Racionales Q

1.- Sumar a 43542 el número 34121

2.- Calcular el resultado de la siguiente suma: 230891 + 231489 + 120212

3.- Hacer la suma: 87133 + 51237 + 12639 + 9182

4.- Restar a 50342 el número 32185

5.- Hacer la siguiente resta: 450873 – 321541

6.- Calcular: 347192 + 23063 – 21897

7.- Calcular: 81504 – 23765 + 12310

8.- Efectuar el producto: 121 x 236501

9.- Hacer la multiplicación 30412 x 2612

10.- Calcular: 723 x 712 x 354

11.- Hallar el cociente y el residuo de la siguiente división: 321784 ÷ 402

12.- Efectuar la división hallando el cociente y el residuo: 7532123 ÷ 6754

13.- Hallar el cociente y el residuo de la división: 1216703 ÷ 230887

14.- Calcular: (234 + 21) x 137

15.- Hallar la siguiente serie de operaciones: (426 ÷ 3) – 21

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16.- Un señor, al morir, deja una herencia de $ 45,890.00, pero sus 3 hijos han de hacer frente a unas

deudas de $ 18,974.00. ¿Qué herencia le toca a cada hijo si el reparto fue a partes iguales?

Hijo 1:

Hijo 2:

Hijo 3:

17.- Una empresa fue fundada por 5 socios, que llamaremos a, b, c, d y e. El socio a puso $ 2,880.00,

el socio b puso la mitad que a más $ 1,500.00, el socio c puso la tercera parte que a más

$ 1,800.00, el socio d puso la suma de todos los socios juntos anteriores y el socio e puso la

tercera parte de la suma de todos los anteriores. Indicar la cantidad que puso cada socio y el

capital total de la empresa.

Socio a:

Socio b:

Socio c:

Socio d:

Socio e:

Capital de la Empresa:

18.- Sumar a – 2378 el número 7811

19.- Calcular el resultado de la siguiente suma: – 96206 + 457829 + (– 320691)

20.- Hacer la siguiente suma/resta – 55803 – 27146

21.- Un ama de casa realiza la contabilidad de su hogar de un mes. Ingresaron por salarios $ 3127.00,

cobraron de rentas $ 350.00 y recibieron unos intereses de $ 45.00. Gastaron en alimentación

$ 712.00 y pagaron tres recibos iguales de $ 123.00. En un sorteo de su banco les condonaron la

quinta parte de su deuda hipotecaria valorada en $ 190540.00. Expresar el ejercicio en forma de

problema de cálculo aritmético y hallar el resultado del balance económico de ese mes.

Ingresos:

Egresos:

Cantidad Condonada:

Nueva deuda hipotecaria:

Saldo:

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22.- Tres hermanos reciben una paga semanal de $ 12.00, $ 9.00 y $ 6.00, respectivamente, el primero

de ellos gasta cada semana la mitad de su paga más $ 2.00, el segundo la mitad de lo que gasta su

hermano más una tercera parte de su paga y el tercero gasta la tercera parte de su paga

multiplicada por 2. Deciden comprar un juego en común y el primero pone sus ahorros de 3

semanas, el segundo los suyos de 5 semanas y el tercero los de 7 semanas. Expresar en forma

matemática el ejercicio y hallar el precio del juego.

Precio del Juego:

23.- Al terminar un negocio en común, 5 socios que llamaremos, a, b, c, d y e se han de repartir una

deuda generada por el mismo de $ 26940.00. Al socio a le corresponde la tercera parte de la

deuda, b se hará cargo de la quinta parte restante más $ 500.00, c se hace cargo de la mitad

restante y d pagará lo mismo que b menos $ 712.00. ¿Qué parte le corresponde pagar a e?.

El Socio e paga:

24.- Calcular 173 x (– 271) x (– 235)

25.- Hallar el cociente y el residuo de la siguiente división: 346787 ÷ (– 512)

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Evidencia No. 11

APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LOS

NÚMEROS REALES R

Objetivos:

➢ Identificar en una expresión matemática, que propiedad de los Números se le aplica o aplicó.

➢ En una expresión matemática, aprender a aplicar las diferentes propiedades de los Números.

Competencias a desarrollar en esta Evidencia:

➢ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados

➢ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

➢ Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

➢ Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas

y prácticas sociales

Rubricas:

➢ Limpieza y presentación.

➢ Números claros y legibles.

➢ Tiene todas las operaciones bien desarrolladas.

➢ Alineación derecha.

Valor Total de la Evidencia: 60 puntos

Valor obtenido en la Evidencia: ____________

Porcentaje de Efectividad de la Evidencia (Vo x 100)/Vt: ___________________

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Ejercicios de Aplicación de las Propiedades de los Números Reales R

Término Inverso Multiplicativo Inverso Aditivo

2x 2

1

x 2x

325a

2

y

4x y

5

4

x

y

4 25 4n n

3 28x y

59

5y

2 3 4x y z

a b c

abc

Propiedad Conmutativa (Aditiva y Multiplicativa)

(3 )(2 )(5 )a b c (5 )(2 )(3 )c b a

5 5 5a b c

6 5 34• •

a b c

4 5 6

a b c

x y z• •

5 3 2x x

(6 )(9 )(12 )q r s

4 7 3

5 3 8x x

(4 5)(6 8)x x

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Propiedad Asociativa (Aditiva y Multiplicativa)

(4 8) 2 4 (8 2)

7 ( )a b• •

( )x a b• •

( )x y z

1 2 3

0.1 0.2 0.3

(5 8) 3

(3 3 ) 3a b c

(3 6 ) 9x y z

10 (12 14)x x

Propiedad Distributiva

( )x a b c ax bx cx

( )a x y z

5 (2 2 2 )x a b c

( )p q r s z

(5 10 )5x y z

2(3 6 9 )x y z

(3 6 9 )j a b c

3(5 25 225 )x y z

(4 8 12)x

(2 2 )xy a b

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Indique que tipo de Propiedad se Aplicó en la Expresión

8( ) 8 8t u t u

8 4 4 8

5 7 7 5

7 0 7c c

10 ( 10) 0 INVERSO ADITIVO

1

3 5 13 5

a ba b

5 4 3 5 4 325 1 25x y z x y z•

( )j a b ja jb

( ) ( )x y z x y z

3 2 3 210 ( 10 ) 0r q r q

(3 )(4 ) (4 )(3 )ab xy xy ab

3 ( ) 3 3a x y ax ay

5 1 5x x•

3 2 3 2100 ( 100 ) 0a b c a b c

(5 2) 9 5 (2 9)• • • •

67 76 5092•

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Evidencia No. 12

EJERCICIOS CON NÚMEROS COMPLEJOS a + bi

Objetivos:

➢ Aprender a identificar cuando es un Número Real, cuando se tiene un Número Complejo y cuando es

un Número Imaginario

Competencias a desarrollar en esta Evidencia:

➢ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados

➢ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

➢ Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

Rubricas:

➢ Limpieza y presentación.

➢ Números claros y legibles.

➢ Tiene todas las operaciones bien desarrolladas.

➢ Alineación derecha.

Valor Total de la Evidencia: 20 puntos

Valor obtenido en la Evidencia: ____________

Porcentaje de Efectividad de la Evidencia (Vo x 100)/Vt: ___________________

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Ejercicios con Números Complejos a + bi

a + bi

a = es la Parte Real bi = es la Parte Imaginaria

Describa los Números Siguientes, utilizando la palabra apropiada: Complejo, Real o Imaginario.

a).- 0 12i

b).- 9 0i

c).- 2 3i

d).- 0 6i

e).- 7 5i

f).- 8 3 0i

g).- 3

2i

h).- 1 11i

i).- 1 3

2 2i

j).- 2

03

i

k).- 6 2 7 3i

l).- 6 i

m).- 4 2

5 5i

n).- x yi

o).- 4

3i

p).- 2 6 3 10i

q).- 6 10i

r).- 5

07

i

s).- a bi

t).- 3 121i

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Evidencia No. 13

OPERACIONES CON NÚMEROS IMAGINARIOS (ai) Y

COMPLEJOS (a + bi)

Objetivos:

➢ Aprender a resolver operaciones con los operadores básicos, que son: La Suma, la Resta, la

Multiplicación y la División con Números Complejos e Imaginarios.

➢ Profundiza en el conocimiento de la construcción y uso de los números y su influencia en el conteo.

Competencias a desarrollar en esta Evidencia:

➢ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados

➢ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

➢ Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

Rubricas:

➢ Limpieza y presentación.

➢ Números claros y legibles.

➢ Tiene todas las operaciones bien desarrolladas.

➢ Alineación derecha.

➢ Las cantidades que tienen punto decimal, deberá llevar dos decimales.

➢ El procedimiento de las operaciones deberán encontrarse en la página de la izquierda, de lo contrario,

no será validada la Evidencia.

Valor Total de la Evidencia: 40 puntos

Valor obtenido en la Evidencia: ____________

Porcentaje de Efectividad de la Evidencia (Vo x 100)/Vt: ___________________

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Operaciones con Números Imaginarios (ai) y Complejos (a + bi)

Sumas:

i i i i i

5 9 12i i i

5 6 2 3i i

2 3 2i i

5 6i i

1 4 1 4i i

3 2 2 7m ni m ni

6 3 6 3 5 3i i i

7 5 8 2 19i i i

15 12 18 8 2i i i

Restas:

20 11 25 2i i

15 2 6 4i i

10 9 3 7i i

3 5 2i i

7 5 7 5i i

2 5 2 3i i

1 4 1 4i i

6 3 6 3i i

5 3 5 3i i

0.25 0.75i i

Multiplicaciones:

20 11 25 2i i

15 2 6 4i i

10 9 3 7i i

3 5 2i i

7 5 7 5i i

2 5 2 3i i

1 4 1 4i i

6 3 6 3i i

5 3 5 3i i

0.25 0.75i i

Divisiones:

20 11 25 2i i

15 2 6 4i i

10 9 3 7i i

3 5 2i i

7 5 7 5i i

2 5 2 3i i

1 4 1 4i i

6 3 6 3i i

5 3 5 3i i

0.25 0.75i i

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Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 32 de 63

LEYES DE LOS EXPONENTES

( )( )m n m na a a PRODUCTO DE

POTENCIAS DE LA MISMA BASE

2 2 3 1 2 2 3

3 5

( 2 )(3 ) 6

6

ax a x a x

a x

( )m n mna a POTENCIA DE UNA POTENCIA

3 5 (3)(5) 15( )x x x

( )m m mab a b POTENCIA DE UN PRODUCTO

3 2 3 (1)(3) (3)(3) (2)(3)

3 9 6

9 6

(2 ) 2

2

8

x y x y

x y

x y

0

m m

m

a ab

b b

POTENCIA DE UNA FRACCION

3 3 3 3 3

3 3 3 3

3 3

3 3

33 3

4 44

27

64

axax a x

by b yby

a x

b y

mm n

n

aa

a

DIVISIÓN DE POTENCIAS DE LA

MISMA BASE, SI m > n

77 5 2

5

63 3

2

aa a

a

1m

n n m

a

a a

DIVISIÓN DE POTENCIAS DE LA

MISMA BASE, SI n > m

6

9 9 6 3

1 1x

x x x

0 1a EXPONENTE

CERO 0 0 0(10 ) 10 (1)(1) 1x x

1a a EXPONENTE

UNO 1 1 1(10 ) 10 (10)( ) 10x x x x

LEYES DE LOS RADICALES

n

n a a POTENCIA DE UNA

RAIZ 5

5 3 3a a

n n na b ab

PRODUCTO DE RAICES DE IGUAL

INDICE

6 2 2 2 26 6ax by abx y

n

n

n

a a

bb

COCIENTE DE DOS RAICES

4

4

4

3 3

55

a a

bb

n na a

RAIZ DE UNA POTENCIA

3 38 2a a

m n mna a

RAIZ DE UNA RADICAL

4 34 3 5 5 5127 7 7a a a

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Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 33 de 63

Evidencia No. 14

OPERACIONES APLICANDO LAS LEYES DE LOS

EXPONENTES

Objetivos:

➢ Aprender a resolver operaciones con los operadores básicos, que son: La Multiplicación, la

Potenciación y la División aplicando las Leyes de los Exponentes.

➢ Profundiza en el conocimiento de la construcción y uso de los números y su influencia en el conteo.

Competencias a desarrollar en esta Evidencia:

➢ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados

➢ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

➢ Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

Rubricas:

➢ Limpieza y presentación.

➢ Números claros y legibles.

➢ Tiene todas las operaciones bien desarrolladas.

➢ Alineación derecha.

Valor Total de la Evidencia: 54 puntos

Valor obtenido en la Evidencia: ____________

Porcentaje de Efectividad de la Evidencia (Vo x 100)/Vt: ___________________

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Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 34 de 63

Operaciones Aplicando las Leyes de los Exponentes

Productos

1. 2 5 2 2 =

2. m 3 m6 =

3. x 4 x 5 x =

4. (6 x 4) (-5 x 3) =

5. (3 m3) (2 m2) (x 2) =

6. ( x ) (-3 x ) ( x 2 ) =

7. (x 2 k ) (x k ) =

8. ( x a+b) (x a+b) =

9. ( a 1/3 ) ( a 5/6 ) =

10. 4 11 51 116

2 2x x x

11. a 2 a5 a =

12. a 2 b 4 a4 b 3 =

13. x 2 y 3 z 4 x 3 y 2 z 2 =

14. (- 5 a2 ) ( - 6 a3) =

15. (4 y2) (-5 y3) (- y) =

16. (3 x3 y2 z) (-2 xy2 z3) =

17. (3x2 y) (-2 xz2) (-4 y2z) =

18. (a n) ( a 5n ) ( a 3n) =

19.

2 4 2 3 21 3 7

3 4 2a b b x a x

20. 2 8 51

3 46

x x x

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Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 35 de 63

Potencias

1. (-3a )2 =

2. (2x3)4 =

3. (a2 b4)3 =

4. (m6 n3)2 =

5. (3a3 b3)3 =

6. (x3y4z2)2 =

7.

2

4 21

2a b

8. (x4y3y)5 =

9. (3a2x4y)4 =

10. (-3ª)3 =

11. (x2 y3)3 =

12. (2ab2)3 =

13. (x2 y2 z)4 =

14. (2y2 z3)5 =

15. (a4 b5 c2)3 =

16. (a2 x3 y4)3 =

17. (2m4 n6)5 =

18.

2

5 21

4a x y

Divisiones

61

1.2

9

2.a

b

4

23.

3

x

y

3

224.

5

x

x

3

2 3

3 4

35.

5

m n

m n

2

4 5

2 3

46.

5

x y

x y

6

2

37.

2

a m

a

3

8.n

m

y

x

33

9.4

4

210.

a

b

5

3

11.2

a

4

2

3

312.

2

a

ab

5

2

213.

ax

a x

2

2 5

3

1014.

9

a d

a d

5

2 3 4

4 3 2

215.

5

p q r

p q r

4

3 2

4

216.

3

x y

y

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Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 36 de 63

Evidencia No. 15

OPERACIONES CON RADICALES:

Objetivos:

➢ Radicalización de Expresiones Algebraicas, mediante la Factorización y completando un Radical.

➢ Profundiza en el conocimiento de la construcción y uso de los números y su influencia en el conteo.

Competencias a desarrollar en esta Evidencia:

➢ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados

➢ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

➢ Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

Rubricas:

➢ Limpieza y presentación.

➢ Números claros y legibles.

➢ Tiene todas las operaciones bien desarrolladas.

➢ Alineación derecha.

Valor Total de la Evidencia: 20 puntos

Valor obtenido en la Evidencia: ____________

Porcentaje de Efectividad de la Evidencia (Vo x 100)/Vt: ___________________

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Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 37 de 63

Simplificar extrayendo los factores (factorización) que se puedan en los siguientes radicales:

a) 75a3 b2 = 25a2 b2(3a) = 52 a2b2(3a) = 5ab 3a b) 3 16x3y8z4 = 3 23x3y6z3 (2y2z) = 3 (2xy2z)3 (2y2z) = 2xy2z 3 2y2z c) 25x4y3 = d) 20a4b2= e) 8a2b5 = f) 18x3y2z = g) 45a3b4 = h) 3 54x4y5 = i) 3 48x2y4 = j) 4 16x8y4 z2 = k) 5 32x5y15 = l) 5 -32a10b5 =

Introducir en el radical todos los factores que no estén dentro de él: 2 2 2 3 2 6 2 83 33 33 (3 ) ( ) 27 ( ) 27a a b a a b a a b a b

22 2 2

2 2 2

1 1 42 1 4 1 4 4 1

4 4 4

xx x x x

x x x

1. 2a xy

22. 3 5m mn

23. 3 5x xy

3 534. 2a a

2

1 15. 2

4a

a

2 2 236. 4x y z

3

17. 3

27a

a

2

2

58. x

x

2

49. 2

4

xx

x

1

10. (1 )1

xx

x

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Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 38 de 63

Evidencia No. 16

NOTACIÓN CIENTÍFICA

Objetivos:

➢ Transformar un Número Real en Notación Científica (Potencias de Base 10).

➢ Aprender a resolver operaciones con los operadores básicos, que son: La Multiplicación y la División

con Números en Notación Científica.

➢ Profundiza en el conocimiento de la construcción y uso de los números y su influencia en el conteo.

Competencias a desarrollar en esta Evidencia:

➢ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados

➢ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

➢ Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

Rubricas:

➢ Limpieza y presentación.

➢ Números claros y legibles.

➢ Tiene todas las operaciones bien desarrolladas.

➢ Alineación derecha.

Valor Total de la Evidencia: 30 puntos

Valor obtenido en la Evidencia: ____________

Porcentaje de Efectividad de la Evidencia (Vo x 100)/Vt: ___________________

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Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 39 de 63

Escribe en notación científica las siguientes cantidades. NOTACION CIENTIFICA El diámetro de un átomo de hidrógeno es 0. 000 000 000 1 m = ________________

El radio del Sol mide aproximadamente 690, 000, 000 m = ________________

La longitud de una molécula de agua es 0.000 000 000 3 m = ________________

La longitud de una célula muscular e 0.000 07 m = ________________

El radio de la Tierra mide 6, 370, 000 m = 6.37 x 106 m___

El diámetro de un glóbulo rojo es 0.000 075 m= ________________

La atmósfera es una capa que rodea a la Tierra y su altura es 1, 200, 000 m = ________________ El virus tiene de la bacteria de la tuberculosis pulmones es 0.000 03 m = ________________

La longitud de la circunferencia del Ecuador de la Tierra es 12, 700, 000 m = ________________ El virus tiene una longitud real de 0.000 000 04 m = ________________

El radio de la Luna mide 1, 600, 000 m = ________________

La distancia de Neptuno al Sol es de 4, 500, 000, 000 km = ________________

La superficie aproximada de la Tierra es 510, 000, 000 km2 = ________________

El virus de la poliomielitis tiene una longitud de 0.000 000 021 m = ________________

Una célula sanguínea mide 0.0012 cm = ________________

Un virus animal mide 0.000 015 m = ________________

La longitud de onda de los rayos ultravioleta es 0.00039 m = ________________

La longitud de onda de los rayos X es 0.000 000 358 m = ________________

El diámetro de un glóbulo rojo es 0.000 000 75 m = ________________

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Resolver las siguientes operaciones utilizando la Notación Científica a) 6000 x 30000 = (6 x 103) (3 x 104)= (6 x 3) x 103+4 = 18 x 107 = 1.8 x 108 b) 50000 x 0.002 = c) 300 x 0.0004 = d) 0.000 005 x 800000 = e) (5 x 102) (3 x 10-9) (1 x 1011) = f) (2 x 103) (3 x 10-11) (9 x 102) = g) 0.0004 = 0.00002 h) 0.000006 x 0.00000007 = 0.003 i) 2.5 x 103 x 4 x 104 = 5 x 108

j) 3 x 105 x 8 x 10-7 = 4 x 10-9

k) (2.5 x 106) (6 x 10-6) = 5 x 102

l) (6 x 1012) (6 x 10-6) = 1.2 x 106

m) (102)3 = 6 x 106

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Evidencia No. 17

LENGUAJE COMÚN ↔ LENGUAJE ALGEBRAICO

Objetivos:

➢ Aprender a traducir del Lenguaje Algebraico al Lenguaje Común

➢ Aprender a traducir del Lenguaje Común al Lenguaje Algebraico

Competencias a desarrollar en esta Evidencia:

➢ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados

➢ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

➢ Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

Rubricas:

➢ Limpieza y presentación.

➢ Números claros y legibles.

➢ Tiene todas las operaciones bien desarrolladas.

➢ Alineación derecha.

Valor Total de la Evidencia: 43 puntos

Valor obtenido en la Evidencia: ____________

Porcentaje de Efectividad de la Evidencia (Vo x 100)/Vt: ___________________

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Relacionar las columnas del Lenguaje Algebraico con el Lenguaje Común

( ) 3

2 2a b 1.- El séxtuplo del cuadrado de un número

( ) 3

x y 2.- El producto de la suma de tres números, con su diferencia

( ) 23 2 21x x 3.- El doble de la raíz cuadrada, del cuadrado de un número

( ) 2 2 2

2

x y z

4.- El triple del cuadrado de un número, aumentado en el doble del

mismo, disminuido en veintiuno

( ) 3 3 12a b 5.- La semidiferencia de los cuadrados de tres números

( ) 22

xx 6.- La suma de los cubos de dos números disminuido en doce

( ) 3a b x 7.- El doble de un número, aumentado en la mitad del mismo

( ) m a x 8.- Un número disminuido en la tercera parte de otro

( ) ( )( )x y z x y z 9.- La diferencia de dos números aumentado en el triple de otro

número

( ) 26a 10.- El producto de un número con la suma de otros dos números

( ) 22 x 11.- El cubo de la mitad de la suma de dos números

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( ) 23 2 21x x 12.- El cuadrado de la diferencia de los cubos de dos números

( ) 3

2

a b

13.- La raíz cúbica del triple del cuadrado de un número

( ) 2

3 3x y 14.- La raíz cúbica del doble del producto dos números

( ) 3 2ab 15.- El cuadrado de la suma de los recíprocos de dos números

( ) 2

1 1

x y

16.- El doble de un número disminuido en el cubo de otro

( ) 3 23x 17.- El triple del cuadrado de un número aumentado en cinco

( ) , 1K K 18.- La diferencia de los cuadrados de dos números

( ) 4

a b 19.- La cuarta parte de la suma de dos números

( ) 2 2m n 20.- Dos números consecutivos

( ) 23 5x 21.- El cubo de la diferencia de dos números

( ) 32a x 22.- El cubo de la suma de los cuadrados de dos números

( ) 3

xa

23.- El triple del cuadrado de un número, aumentado en el doble del

mismo, aumentado en veintiuno

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Traducir al Lenguaje Algebraico

1.- La mitad del triple de un número, aumentado en cinco

2.- La tercera parte de un número, disminuido en doce

3.- El doble de la suma de tres números

4.- El doble de la diferencia de tres números

5.- El triple producto de tres números

6.- El doble producto de dos números, aumentado en el cubo de otro número

7.- La suma del triple del cuadrado de un número, con otro número

8.- La mitad de la diferencia de tres números

9.- El triple de la suma de dos números

10.- El triple de la diferencia de tres números

11.- La suma de dos números, y con el doble de otro número

12.- El doble del cubo de un número aumentado en cuatro

13.- El cuadrado del cociente de dos números

14.- La suma de los cuadrados de tres números, disminuido en tres

15.- La semidiferencia de los cuadrados de dos números

16.- El producto de la suma de dos números, con su diferencia

17.- La raíz cuadrada de la mitad de un número

18.- La raíz cúbica del doble producto de tres números

19.- El doble de la raíz cúbica de la diferencia de dos números

20.- El triple del cubo de un número, aumentado en el doble del cuadrado del mismo,

disminuido en siete

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Temas para la 3ª Exposición (si el Maestro la solicita)

Equipo 1: Valor Numérico de Expresiones Algebraicas. Operaciones Básicas de Suma con Monomios,

Binomios y Trinomios. Operaciones Básicas de Resta con Monomios, Binomios y Trinomios.

➢ Definiciones

➢ Mínimo 3 ejercicios por cada subtema

Equipo 2: Operaciones Básicas de Multiplicación con Monomios, Binomios y Trinomios. Operaciones

Básicas de División con Monomios, Binomios y Trinomios.

➢ Definiciones

➢ Mínimo 3 ejercicios por cada subtema

Equipo 3: Definición de Producto Notable. Función y Característica Principal de un Producto Notable. Regla

del Producto Notable del Cuadrado de un Binomio (Suma y Diferencia). Regla del Producto

Notable de los Binomios Conjugados.

➢ Definiciones

➢ Mínimo 3 ejercicios por cada subtema

Equipo 4: Regla del Producto Notable de Dos Binomios con Término Común. Regla del Producto Notable

del Cubo de un Binomio (Suma y Diferencia).

➢ Definiciones

➢ Mínimo 3 ejercicios por cada subtema

Equipo 5: Definición de Factorización. Función y Característica Principal de la Factorización. Factorización

por Factor Común y por Término Común.

➢ Definiciones

➢ Mínimo 3 ejercicios por cada subtema

Equipo 6: Regla para la Factorización por Agrupación. Regla para la Factorización de un Trinomio

Cuadrado Perfecto.

➢ Definiciones

➢ Mínimo 3 ejercicios por cada subtema

Equipo 7: Regla para la Factorización de una diferencia de Cuadrados. Regla para la Factorización de un

Trinomio Cuadrado que no es Perfecto de la Forma ax2 + bx + c, para “a = 1”.

➢ Definiciones

➢ Mínimo 3 ejercicios por cada subtema

Equipo 8: Regla para la Factorización de un Trinomio Cuadrado que no es Perfecto de la Forma

ax2 + bx + c, para “a ≠ 1”. Regla para la Factorización del Cubo de un Binomio.

➢ Definiciones

➢ Mínimo 3 ejercicios por cada subtema

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Evidencia No. 18

VALOR NUMÉRICO

Objetivos:

➢ Aprender a encontrar el Valor Numérico de una Expresión Algebraica, cuando se conoce los valores

de las Variables.

Competencias a desarrollar en esta Evidencia:

➢ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados

➢ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

➢ Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

Rubricas:

➢ Limpieza y presentación.

➢ Números claros y legibles.

➢ Tiene todas las operaciones bien desarrolladas.

➢ Alineación derecha.

➢ Las cantidades que tienen punto decimal, deberá llevar dos decimales.

➢ El procedimiento de las operaciones deberán encontrarse en la página de la izquierda, de lo contrario,

no será validada la Evidencia.

Valor Total de la Evidencia: 8 puntos

Valor obtenido en la Evidencia: ____________

Porcentaje de Efectividad de la Evidencia (Vo x 100)/Vt: ___________________

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Hallar el Valor Numérico de:

1.- 2 2 3x x Para: x = 2 V.N. =

2.- 2 2 2 2 2a b c ab ac abc Para: a = 5, b = 7, c = 3 V.N. =

3.- 2 2 2x a x a

a b a b

Para: x = 1, a = 3, b = 1 V.N. =

4.- 5 4 3 23 2 8 2x x x x Para: x = 1 V.N. =

5.- 1 1 1ab bc ac

c a b a b c Para: a = 1, b = 2, c = 3 V.N. =

6.- 23 5

4

a ab b

x ax Para: a = 2, b =

1

3, x =

1

6 V.N. =

7.- 2 2 2c d

ma d

Para: a = 1, c = 3, d = 4, m = 1

2 V.N. =

8.- 24 1

3 2

a b

aac ab Para: a = 2, b = 9, c =

1

3 V.N. =

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Evidencia No. 19

OPEACIONES CON MONOMIOS, BINOMIOS Y

TRINOMIOS (POLINOMIOS)

Objetivos:

➢ Aprenderá a simplificar expresiones algebraicas o polinomios.

➢ Resolverá las operaciones básicas de Suma, Resta, Producto y División de Monomios, Binomios,

Trinomios y en general Polinomios.

Competencias a desarrollar en esta Evidencia:

➢ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados

➢ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

➢ Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

Rubricas:

➢ Limpieza y presentación.

➢ Números claros y legibles.

➢ Tiene todas las operaciones bien desarrolladas.

➢ Alineación derecha.

Valor Total de la Evidencia: 39 puntos

Valor obtenido en la Evidencia: ____________

Porcentaje de Efectividad de la Evidencia (Vo x 100)/Vt: ___________________

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Sumas/Restas de Monomios

1) 3x + 2y-z +5x -4y + z + 4x +8y = 12x + 6y + 0z = 12x + 6y

2) - 2a + 4b - 6 + 3a - 9b + 5 + 5a - 6b =

3) 2 2 2- 5x - 3x + 2 - 3x + 6 - 4x -7x =

4) 3 2 3 213x y + 3x y - 5 y + x y + 4x y - 3xy + 3y =

5) 2ab + 3bc - x + 3ab + 3bc + x + 18 =

6) 2 2 24a - 6a - 4 +6a -30a + 20 + a - 2a =

7) 3 2 2 35x - 7 - 3x + 16x + 4 + 9x - 20x -10x =

8) 4 3 2 4 3 24m - 7m +6m - m + 1 - m + m - 5m + 6m - 9 =

9) 0.3x + 0.2y - 0.6z + 0.5z - 1.4y + 0.7z =

10)

2 25 1 1 3a - a - 3 + a - a + 2 =

6 4 6 4

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Sumas de Binomios y Trinomios

4ax – 3ab m2 – 3m + 1 x2 + 18xy

- 2ax – 5ab m2 + 9m – 6 10x2 - xy

ax + 10ab . 2m2 +3 . 3x2 + 4xy

3ax + 2ab a3 – ab2 + a2b 2x + 3y + z x4 – ax3

-2a3 – ab2 + a2b 4x + 2y - z - 2ax3 – bx2

a3 + 4ab2 + 6a2b -3x + y – 2z -2x4 + ax3 + 4bx2

Restas de Binomios y Trinomios

1) (5x2+4x-10) – (-3x2+7x-3) = (5x2+4x-10) + (3x2-7x+3) = 8x2 – 3x – 7

2) (4a2+2a+1) - (a2-4a+3)=

3) (3x2-4xy-7y2 ) – (2x2-3xy+4y2) =

4) (5m2-6m+3) – (2m2-9m-6)=

5) (10x3+7x2) – (2x3-5x2)=

6) (2a3-3a2+4) – (a2-2a-2)=

7) (2x3-3x2 y+7) – (x3- 2x2y-y3)=

8) (2a4-3a2) – (a4 -10a2)=

9) (x4-2x3-3x2) – (2x4-3x3+x2)=

10) (0.4x-0.5y) – (0.1x+0.3y)=

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Productos de Binomios y Trinomios

a) (x-5) (x-3) = x2 - 3x - 5x + 15 = x2 – 8x + 15

b) (m+3) (m-7) =

c) (y-59) (y+8) =

d) (a+3b) (2a-5b) =

e) (5x2-9y2) (2x2+3y2) =

f) (10x+y) (x2-5y2) =

g) (6m4+5) (6m4-5) =

h) (x+y+z) (x+y) =

i) (3a2 + a - 1) (a2 + a + 1) =

j) (2x2 + 2x – 3) (5x2 – 4x -7) =

División de Polinomios

2x2 – x + 3

a) x3+2x2-1 2x5+3x4+x3+4x2+x-3 e) a2+5a 3a4 +21a 3 +39a2+45a

-2x5-4x4 +2x2

-x4 + x3+6x2+x-3

+x4+2x3 -x 3x3 +6x2 -3 3x3-6x2 +3 0

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b) x-1 x3 -3x2+3x-1 f) 3m2-4m+5 18m4 - 3m3 - 22m2 + 670 c) 3a+4 12a3+34a2 -30 g) 2a2-3ab+b2 2a4+a3b-15a2b2+17ab3 d) 3a-2b 12a3 -17a2 b+15ab2 -6b3 h) 2a2-4a-3 6a4 -41a2+3a+6

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PRODUCTOS NOTABLES

La transformación de productos notables en expresiones algebraicas, se resumen

en la siguiente tabla.

Título Expresión Algebraica Definición

Cuadrado de una

suma ( x + y )2 = x2 + 2 xy + y2

El Cuadrado del Primer Término,

Más el Doble Producto del Primer

Término con el Segundo Término,

Más el Cuadrado del Segundo

Término

Cuadrado de una

diferencia ( x - y )2 = x2 - 2 xy + y2

El Cuadrado del Primer Término,

Menos el Doble Producto del

Primer Término con el Segundo

Término, Más el Cuadrado del

Segundo Término

Binomios

conjugados ( x + y) (x - y) = x2 – y2

El Cuadrado del Primer Término,

Menos el Cuadrado del Segundo

Término

Producto de dos

Binomios que tienen

un término común

( x + a) ( x + b) = x2 + x( a + b ) + ab

El Cuadrado del Término Común,

Más el Producto del Término

Común con la Suma de los

Términos No Comunes, Más el

Producto de los Términos No

Comunes

Cubo de la suma de

un Binomio ( x + y )3 = x3 + 3 x2y + 3 xy2 + y3

El Cubo del Primer Término, Más

el Triple Producto del Cuadrado

del Primer Término con el

Segundo Término, Más el Triple

Producto del Primer Término con

el Cuadrado del Segundo Término,

Más el Cubo del Segundo Término

Cubo de la

diferencia de un

Binomio

( x - y )3 = x3 - 3 x2y + 3 xy2 - y3

El Cubo del Primer Término,

Menos el Triple Producto del

Cuadrado del Primer Término con

el Segundo Término, Más el Triple

Producto del Primer Término con

el Cuadrado del Segundo Término,

Menos el Cubo del Segundo

Término

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Evidencia No. 20

PRODUCTOS NOTABLES

Objetivos:

➢ Aprenderá a identificar una expresión algebraica y determinar que tipo de Producto Notable es.

➢ Una vez identificado el tipo de Producto Notable, aplicará las reglas, procedimientos y/p formula

correspondiente para resolver el producto en cuestión.

➢ Aplicar el Producto Notable para la simplificación de operaciones numéricas/algebraicas de

expresiones algebraicas.

Competencias a desarrollar en esta Evidencia:

➢ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados

➢ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

➢ Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

Rubricas:

➢ Limpieza y presentación.

➢ Números claros y legibles.

➢ Tiene todas las operaciones bien desarrolladas.

➢ Alineación derecha.

Valor Total de la Evidencia: 56 puntos

Valor obtenido en la Evidencia: ____________

Porcentaje de Efectividad de la Evidencia (Vo x 100)/Vt: ___________________

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Aplicando las reglas de los Productos Notables, resuelva los siguientes productos:

Binomios al Cuadrado

1) (x + 2)2 = x2 + ___4x___ + 4

2) (a + 5)2 = a2 + __________ + 25

3) (2x + 1)2 = 4x2 + __________ + __________

4) (2x - 1)2 = 4x2 - __________ + __________

5) (a +b)2 = __________ + 2ab + __________

6) ( _______ -3)2 = 25 x2 - __________ + __________

7) ( 2x + _______)2 = __________ + 8x + __________

8) ( ________ + ________ )2 = a2 + 2a + 1

9) (b – 1)2 =

10) (3x – 4)2 =

11) (5x + 6y)2 =

12) (3x – 2)2 =

13) (2a + 2b)2 =

14) (2x – 1)2 =

15) (81x – 16y)2 =

Binomios Conjugados

1) (a + 4) (a – 4) = a2 – 42 = a2 – 16

2) (a + m) (a – m) =

3) (3x – y) (3x + y) =

4) ( -5x + b) (5x + b) =

5) (mn – 10) (mn + 10) =

6) (3a2 + 4b2) (3a2 - 4b2) =

7) (9x + 12y) (9x-12y) =

8) (8m – 5n2) (8m + 5n2) =

9) (m6 - 2) (m6 + 2) =

10) (11a2 + 7b3) (11a2 - 7b3) =

11) (7x2 + 5y4) (7x2- 5y4) =

12) (2x2 – 4y2 z3) (2x2 + 4y2 z3) =

13) (a + 1)(a –1) =

14) (2a - 1)(2a + 1) =

15) (x + y)(x - y) =

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Binomios con Término Común

1) (x+5) (x+3)= x2 + (5+3)x + (5)(3) = x2 + 8x + 15

2) (x+6) (x-3) =

3) (x-2) (x+7) =

4) (x+5) (x-9) =

5) (x-5) (x-7) =

6) (x-9) (x-2) =

7) (x-10) (x+5) =

8) (x-15) (x+2) =

9) (x+11) (x-4) =

10) (x-20) (x+3) =

11) (2x+1) (2x+6) =

12) (2x-5) (2x-1) =

13) (3x+6) (3x-9) =

14) (4x-8) (4x+3) =

15) (x2-6)(x2+4) =

Binomios al Cubo

1) (x - y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y2

2) (a - 2)3 =

3) (m - 4)3 =

4) (2 + y)3 =

5) (4a + 5)3 =

6) (2x + 3y)3 =

7) (x + 3y)3 =

8) (1 - a)3 =

9) (4m – 5n )3 =

10) (5a + 8b)3 =

11) (1 – 2ab)3 =

12) (6xy + 7z)3 =

13) (x2 - 1)3 =

14) (a2 - 2)3 =

15) (m2 + 4)3 =

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FACTORIZACIONES NOTABLES

LOS 10 CASOS BÁSICOS DE FACTORIZACION SON:

Trinomio cuadrado perfecto

x2 + 2xy + y2 = ( x + y )2 Cuadrado de

una suma

x2 - 2xy - y2 = ( x - y )2 Cuadrado de una diferencia

Diferencia de cuadrados

x2 - y2 = ( x + y ) ( x – y ) Binomios

conjugados

Trinomio de segundo grado

x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)

Producto de dos Binomios

con un término común

Trinomio de segundo grado

acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b) (cx + d)

Producto de dos Binomios con término

semejante y el otro no común

Cubo perfecto

X3 + 3x2 y+ 3xy2 + y3 = (x + y)3 Cubo de la suma de un

Binomio

X3 - 3x2 y+ 3xy2 - y3 = (x - y)3 Cubo de

diferencia de un Binomio

Binomio de la forma xn ± yn

X3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2 )

Factores cuyo producto da una suma de

cubos

X3 - y3 = (x - y) (x2 + xy + y2 )

Factores cuyo producto da

una diferencia de cubos

Polinomio de cuatro

términos Ax + ay + bx + by = (a + b) (x + y)

Producto de dos Binomios que no tienen

un término común

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Evidencia No. 21

FACTORIZACIONES NOTABLES

Objetivos:

➢ Aprenderá a identificar diversas expresiones algebraicas las cuales puedan ser Factorizables.

➢ Descompondrá una expresión algebraica (Factorización) en el producto de Dos Factores (Binomios)

aplicando las diferentes Reglas y/o procedimientos ya establecidos.

Competencias a desarrollar en esta Evidencia:

➢ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de

medios, códigos y herramientas apropiados

➢ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos

➢ Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

Rubricas:

➢ Limpieza y presentación.

➢ Números claros y legibles.

➢ Tiene todas las operaciones bien desarrolladas.

➢ Alineación derecha.

Valor Total de la Evidencia: 70 puntos

Valor obtenido en la Evidencia: ____________

Porcentaje de Efectividad de la Evidencia (Vo x 100)/Vt: ___________________

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Factorización por Factor Común

1) 12x2y-20x3y = 4x2y (3-5x)

2) 18a3b4+12a2b3=

3) 15x3y3z3-5xyz=

4) 6x3-4x2-2x=

5) 12xy-18xz+6x2y=

6) 9ab2-6ab-3ª=

7) 12a3b2+6a2b-15a2b2=

8) 10m6n2-4m5n3+2m4n4=

9) 22a3x2+11ax-3a2x2=

10) 36xy-48xz+60x2y=

11) 2m4-8m3+am2-6m=

12) X6-5x5-2x4+3x3=

13) 15y5+12y4-27y3-3y2=

14) 5a2b-100a2b3+20a2b4=

15) 18xy+14xz-10x2y=

Factorización de Trinomios Cuadrados Perfectos

1) 4x2 – 4xy + y2 = (2x – y)2

2) x2 y2 – 8xy + 16 =

3) a2 – 6a + 9 =

4) x2 – 10x + 25 =

5) a2 – 4ab + 4b2 =

6) y2 – 4xy + 4x2 =

7) 4x2 + 20x + 25 =

8) 16x2 – 40x + 25 =

9) 9x2 + 12x + 4 =

10) 9m2 + 36m + 36 =

11) 9y2 – 30y + 25 =

12) 16y2 + 56y + 49 =

13) 25a2 – 20ab + 4b2 =

14) 25x2 – 20xy + 4y2 =

15) 16x2 + 72xy + 81y2 =

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Factorización de Diferencias de Cuadrados

1) x2 – y2 = (x + y)(x – y)

2) x2 – 9 =

3) n2 – 1 =

4) 4a2 – 9b2 =

5) 100a2 – 4b2 =

6) 16x2 – 25y2 =

7) 25m2 – n2 =

8) 144a2 – 81x2 =

9) m4 – n2 =

10) m4 – 1 =

11) 49x4 – 25y10 =

12) 225a6 – b4 =

13) 64a2 – 121b4 =

14) 81m8 – 16n6 =

15) 25x2 y2 – 4z2 =

Factorización de Trinomios Cuadrados no Perfectos de la forma ax2 + bx + c,

para cuando a = 1

1) x2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3)

2) x2 + 6x + 8 =

3) x2 + 8x + 15 =

4) x2 - 5x + 6 =

5) x2 - 4x + 4 =

6) x2 -12x + 27 =

7) x2 - 8x + 7 =

8) x2 + 2x - 15 =

9) x2 + 5x – 24 =

10) x2 + x – 72 =

11) x2 – x – 6 =

12) x2 + x – 30 =

13) x2 – 2x – 63 =

14) x2 – 3x – 28 =

15) x2 – 3x – 40 =

Portafolio de Evidencias de Pensamiento Numérico y Algebraico

Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 61 de 63

Factorización de Trinomios Cuadrados no Perfectos de la forma ax2 + bx + c,

para cuando a ≠ 1

1) 12x2 + 11x + 2 = (4x + 1)(3x + 2)

2) 5x2 + 16x +3 =

3) 3x2 + 14x + 8 =

4) 6x2 – 13x – 5 =

5) 6x2 + 5x – 6 =

6) 6x2 - 7x + 2 =

7) 5x2 – 3x – 2 =

8) 10x2 – 11x – 6 =

9) 12x2 – 5x – 2 =

10) 12x2 – 7x – 10 =

11) 6x2 – 23x + 15 =

12) 4x4 + 23x2 – 35 =

13) 40x2 – 18xy – 9y2 =

14) 12x2 – 13xy – 14y2 =

15) 2a2x2 – ax – 55 =