ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL - Repositorio...
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La versión digital de esta tesis está protegida por la Ley de Derechos de Autor del Ecuador. Los derechos de autor han sido entregados a la “ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL” bajo el libre consentimiento del (los) autor(es). Al consultar esta tesis deberá acatar con las disposiciones de la Ley y las siguientes condiciones de uso: Cualquier uso que haga de estos documentos o imágenes deben ser sólo para efectos de investigación o estudio académico, y usted no puede ponerlos a disposición de otra persona. Usted deberá reconocer el derecho del autor a ser identificado y citado como el autor de esta tesis. No se podrá obtener ningún beneficio comercial y las obras derivadas tienen que estar bajo los mismos términos de licencia que el trabajo original. El Libre Acceso a la información, promueve el reconocimiento de la originalidad de las ideas de los demás, respetando las normas de presentación y de citación de autores con el fin de no incurrir en actos ilegítimos de copiar y hacer pasar como propias las creaciones de terceras personas. Respeto hacia sí mismo y hacia los demás.
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La versión digital de esta tesis está protegida por la Ley de Derechos de Autor del
Ecuador.
Los derechos de autor han sido entregados a la “ESCUELA POLITÉCNICA
NACIONAL” bajo el libre consentimiento del (los) autor(es).
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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
ANÁLISIS DE PEQUEÑA SEÑAL DE SISTEMAS DE REGULACIÓN DE
VELOCIDAD Y TURBINAS HIDROELÉCTRICAS DE GENERADORES
SINCRÓNICOS UTILIZANDO EL PROGRAMA COMPUTACIONAL DIGSILENT
POWER FACTORY
PROYECTO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIERO
ELÉCTRICO EN LA ESPECIALIZACIÓN DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE
POTENCIA
BENIGNO RAFAEL CEVALLOS PASQUEL
DIRECTOR: DR. JESUS JÁTIVA IBARRA
Quito, enero 2013
II
DECLARACIÓN
Yo, Benigno Rafael Cevallos Pasquel, declaro bajo juramento que el trabajo aquí
descrito es de mi autoría; que no ha sido previamente presentada para ningún grado
o calificación profesional; y, que he consultado las referencias bibliográficas que se
incluyen en este documento.
A través de la presente declaración cedo mis derechos de propiedad intelectual
correspondientes a este trabajo, a la Escuela Politécnica Nacional, según lo
establecido por la Ley de Propiedad Intelectual, por su Reglamento y por la
normatividad institucional vigente.
____________________________________
BENIGNO RAFAEL CEVALLOS PASQUEL
III
CERTIFICACIÓN
Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por Benigno Cevallos, bajo mi
supervisión.
____________________________
DR. JESÚS JÁTIVA IBARRA
Director del Proyecto
IV
AGRADECIMIENTO
Son muchas las personas que han formado parte de mi vida estudiantil y que
hicieron posible la culminación de este trabajo y de mi carrera profesional, a las
quiero dejar mediante estas cortas líneas un testimonio de gratitud por todos sus
consejos, apoyo, animo a lo largo de mi carrera. En especial quiero agradecer a mi
profesor PhD Jesús Játiva, por su paciencia, apoyo y amistad brindada hacia mi
persona y a mis amigas y amigos José, Andrés, Lizeth, Eduardo y Eliana con quienes
he compartido incontables momentos en este gran camino llamado vida, y a todas
aquellas personas que siempre me brindaron su apoyo muchas gracias.
V
DEDICATORIA
A Dios por bendecirme
para llegar hasta
donde he llegado,
y a mis padres
por el apoyo que siempre
me han brindado para
cumplir mis objetivos
VI
CONTENIDO
DECLARACIÓN ...........................................................................................................II
CERTIFICACIÓN ........................................................................................................ III
AGRADECIMIENTOS ................................................................................................ IV
DEDICATORIA ........................................................................................................... V
CONTENIDO .............................................................................................................. VI
ÍNDICE DE FIGURAS ............................................................................................... IX
ÍNDICE DE TABLAS ................................................................................................ XIII
RESUMEN ................................................................................................................ XV
PRESENTACIÓN ..................................................................................................... XVI
OBJETIVOS CONTENIDO ................................................................................... XVIII
ALCANCE ................................................................................................................ XIX
JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO .......................................................................... XX
CAPÍTULO I .................................................................................................................1
INTRODUCCIÓN .........................................................................................................1
1.1 Estabilidad de sistemas eléctricos de potencia .....................................................1
1.1.1 Estabilidad de ángulo ..........................................................................................3
1.1.2 Estabilidad de voltaje...........................................................................................9
1.1.3 Estabilidad de frecuencia ....................................................................................9
1.2 Conceptos Fundamentales de Estabilidad de Sistemas Dinámicos ..................... 10
1.2.1 Ecuación de estado ........................................................................................... 11
1.2.2 Linealización de un sistema no-lineal ................................................................ 13
1.3 Valores y Vectores Propios de la Matriz de Estado .............................................. 16
1.3.1 Valores propios ................................................................................................. 16
1.3.2 Vectores propios ............................................................................................... 18
1.4 Matrices Modales ................................................................................................. 19
1.5 Movimiento Libre de un Sistema Dinámico .......................................................... 20
1.6 Modos, Sensitibidad y Factores de Participación ................................................. 22
1.6.1 Modos ................................................................................................................ 22
1.6.2 Sensitividad ....................................................................................................... 23
VII
1.6.3 Factor de participación ...................................................................................... 23
1.7.1 Controlabilidad .................................................................................................. 25
1.7.2 Observabilidad .................................................................................................. 27
1.7.3 Medidas de Controlabilidad y Observabilidad de los modos de oscilación........ 28
1.8 Criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz ............................................................. 33
1.9 Criterio de estabilidad de Bode ............................................................................ 35
1.10 Criterio de estabilidad de Nyquist ....................................................................... 38
CAPÍTULO 2 .............................................................................................................. 40
MODELO DE UN GENERADOR SINCRÓNICO CON SISTEMA DE REGULACIÓN DE VELOCIDAD Y TURBINA HIDRÁULICA .............................................................. 40
2.1 Representación del Generador Sincrónico en Variables de Estado ..................... 41
2.1.1Representación del modelo clásico del generador ............................................. 41
2.2 Representación del Sistema de Regulación de Velocidad en Variables de Estado ................................................................................................................................... 46
2.2.1 Gobernadores isócronos ................................................................................... 47
2.2.2 Reguladores de velocidad para turbinas hidroeléctricas ................................... 49
2.2.3 Regulador mecánico hidráulico ......................................................................... 52
2.2.4 Regulador electrohidráulico ............................................................................... 54
2.2.5 Regulador de velocidad con PID ....................................................................... 55
2.2.5 Regulador de velocidad con control doblemente derivativo ............................. 56
2.3 Representación de turbinas hidráulicas en variables de estado ......................... 57
2.3.1 Función de transferencia de la turbina hidráulica .............................................. 57
2.3.2 Turbina hidráulica no ideal ............................................................................... 62
2.3.3 Características de las turbinas hidráulicas ........................................................ 63
2.4 Modelación de la Planta Turbina Hidráulica – Regulador de Velocidad - Generador con el Programa Computacional DIgSILENT Power Factory ................... 64
2.4.1 Características de la central hidroeléctrica Paute fase AB ................................ 65
2.4.2 Procedimiento para la modelación de los elementos de control de la planta en el programa DIgSILENT Power Factory ......................................................................... 67
2.4.3 Sintonización de los sistemas reguladores de velocidad .................................. 70
2.5 Funciones de Transferencia, Variables de Entrada y Salida de la Planta ............ 75
VIII
CAPÍTULO 3 .............................................................................................................. 86
APLICACIÓN A SISTEMAS ELÉCTRICOS DE PRUEBA .......................................... 86
3.1Sistema Generador de la fase AB de la central Paute Molino – Barra Infinita....... 87
3.1.1 Descripción de la Planta General ...................................................................... 87
3.1.2 Pruebas del modelo de regulador de velocidad ................................................ 88
3.1.3 Análisis modal de la planta ................................................................................ 97
3.2 Sistema de Nueve Barras del IEEE ...................................................................... 99
3.2.1 Descripción del sistema..................................................................................... 99
3.2.2 Pruebas en el sistema de 9 barras .................................................................. 100
3.2.3 Análisis modal del sistema de nueve barras ................................................... 107
3.3 Análisis de Resultados de las Respuestas Dinámicas en el Tiempo y la Frecuencia................................................................................................................ 111
3.3.1 Modelo de la planta ......................................................................................... 112
3.3.2 Analisis en el dominio del tiempo .................................................................... 114
3.3.3 Analisis en el dominio de la frecuencia............................................................ 115
3.4 . Comparación de los Índices de las Respuestas Dinámicas con Valores Estándar del IEEE ................................................................................................................... 117
3.4.1 Sistema generador barra infinita ..................................................................... 119
3.4.2 Sistema multimáquina ..................................................................................... 125
CAPITULO 4 ............................................................................................................ 127
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ........................................................... 127
4.1 Conclusiones ...................................................................................................... 127
4.2 Recomendaciones .............................................................................................. 129
1.8 Referencias Bibliograficas ................................................................................. 130
ANEXOS .................................................................................................................. 131
IX
ÍNDICE DE FIGURAS
CAPITULO 1
Figura 1.1 Clasificación de la estabilidad ..................................................................3
Figura 1.2 Diagrama unifilar del sistema de potencia .................................................4
Figura 1.3 Oscilación de potencia de un generador ...................................................5
Figura 1.4 Naturaleza de la respuesta frente a pequeñas perturbaciones con regulador de voltaje de campo constante .....................................................................7
Figura 1.5 Naturaleza de la respuesta frente a pequeñas perturbaciones con voltaje de campo constante .....................................................................................................8
Figura 1.6 Conceptos de estabilidad ........................................................................ 11
Figura 1.7 Modelación de un sistema mediante variables de estado ....................... 12
Figura 1.8 Representación de un elemento no-lineal ............................................... 13
Figura 1.9 Diagrama de bloques de la representación de espacio de estado .......... 15
Figura 1.11 Diagrama de Bode ................................................................................ 17
Figura 1.12 Ancho de Banda .................................................................................... 17
Figura 1.13 Frecuencia de corte .............................................................................. 17
Figura 1.14 Sistema estable e inestable ................................................................... 17
Figura 1.15 Sistema de control de lazo cerrado ....................................................... 17
CAPITULO 2
Figura 2.1 Diagrama del sistema de control y generación de potencia .................... 40
Figura 2.2 Circuitos equivalentes de un generador sincrónico ................................. 42
Figura 2.3 Representación de un generador sincrónico en estudios de estabilidad . 42
Figura 2.4 Diagrama de bloques de un generador – barra infinita ............................ 45
Figura 2.5 Sistema de regulación de velocidad de un generador aislado ............... 47
Figura 2.6 Esquema de un regulador isócrono ......................................................... 47
Figura 2.7 Respuesta de un generador con un regulador isócrono .......................... 48
Figura 2.8 Regulador de velocidad con caída de velocidad ..................................... 49
Figura 2.9 Diagrama de bloques con caída de velocidad ......................................... 50
Figura 2.10 Diagrama de bloques reducido .............................................................. 50
X
Figura 2.11 Características ideales de estado estable de un gobernador con caída de velocidad ............................................................................................................... 51
Figura 2.12 Regulador de velocidad con estatismo permanente .............................. 51
Figura 2.13 Esquema de un regulador mecánico hidráulico para una hidroturbina .. 52
Figura 2.14 Regulador de velocidad para una turbina hidroeléctrica ........................ 54
Figura 2.15 Regulador de velocidad con PID ........................................................... 55
Figura 2.16 Regulador de velocidad con doble derivativo ........................................ 56
Figura 2.17 Esquema de una planta hidroeléctrica .................................................. 58
Figura 2.18 Respuesta de la turbina a la apertura de compuerta de los inyectores . 63
Figura 2.19 Red de prueba ....................................................................................... 66
Figura 2.20 Representación del modelo compuesto ................................................ 68
Figura 2.21 Selección del modelo compuesto .......................................................... 69
Figura 2.23 Selección de los slots ............................................................................ 72
Figura 2.24 Velocidad del generador en la prueba de +10% de psetp y con variación de .......................................................................................................................... 73
Figura 2.25 Velocidad del generador en la prueba de +10% de psetp y con variación de ............................................................................................................. 75
Figura 2.26 Velocidad del generador en la prueba de +10% de psetp y con variación de .......................................................................................................................... 76
Figura 2.27 Modelo compuesto de la planta ............................................................. 78
Figura 2.28 Diagrama de función de transferencia del regulador de velocidad IEEEG3 ...................................................................................................................... 84
CAPITULO 3
Figura 3.1 Planta general de una de las unidades de la fase AB de Paute .............. 87
Figura 3.2 Respuesta de un sistema de control frente a una entrada paso ............. 89
Figura 3.3 Eventos de simulación ............................................................................. 90
Figura 3.4 Cuadro de dialogo del Parámetro de ajuste ............................................ 90
Figura 3.5 Curvas del PCU en prueba de estado estable y escalones de +/-10% de la potencia de referencia (psetp) ................................................................................ 91
Figura 3.6 Curvas del PCU en prueba de estado estable y escalones de +/-10% de la potencia de referencia (psetp ................................................................................. 92
XI
Figura 3.7 Curvas del PCU en prueba de estado estable y escalones de +/-10% de la potencia activa ........................................................................................................ 94
Figura 3.8 Lugar geométrico de generación con excitación constante ..................... 95
Figura 3.9 Curvas del PCU en prueba de estado estable y escalones de +/-10% de la potencia reactiva .................................................................................................... 96
Figura 3.10 Valores propios del sistema generador barra infinita con regulador de velocidad .................................................................................................................... 98
Figura 3.11 Modos de participación del sistema generador barra infinita con regulador de velocidad ............................................................................................... 99
Figura 3.12 Sistema de 9 barras del IEEE ............................................................... 99
Figura 3.13 Potencia de la turbina y frecuencia en estado estable y cambios de la carga resistiva tipo escalón de + 10% con y sin regulador de velocidad .................. 102
Figura 3.14 Potencia activa y reactiva en estado estable y cambios de la carga resistiva tipo escalón de + 10% con y sin regulador de velocidad ............................ 103
Figura 3.15 Voltaje L-N y ángulo interno en estado estable y cambios de la carga resistiva tipo escalón de + 10% con y sin regulador de velocidad ............................ 104
Figura 3.16 Potencia activa y reactiva en las líneas, en estado estable y cambios de la carga resistiva tipo escalón de + 10% con y sin regulador de velocidad .............. 105
Figura 3.17 Voltaje Línea - Neutro en las líneas, en estado estable y cambios de la carga resistiva tipo escalón de + 10% con y sin regulador de velocidad .................. 106
Figura 3.18 Valores propios del sistema generador barra infinita sin regulador de velocidad .................................................................................................................. 108
Figura 3.19 Modos de participación del sistema 9 Barras del IEEE sin elementos de control ...................................................................................................................... 109
Figura 3.20 Valores propios del sistema generador barra infinita con regulador de velocidad .................................................................................................................. 110
Figura 3.21 Modos de participación del sistema 9 Barras del IEEE con regulador de velocidad .................................................................................................................. 111
Figura 3.22 Modelo generador barra infinita con regulador de velocidad implementado en Matlab .......................................................................................... 113
Figura 3.23 Respuesta al paso de la función de transferencia ............................... 114
Figura 3.24 Diagrama de polos y ceros de la función de transferencia .................. 115
Figura 3.25 Diagrama de Bode ............................................................................... 116
Figura 3.26 Diagrama de Nyquist ........................................................................... 117
XII
Anexos
Fig. A.1: Diagrama unifilar de la central Hidroeléctrica Paute .................................. 133
Fig. A.2: Diagrama fasorial del voltaje interno de un generador de polos salientes . 135
XIII
ÍNDICE DE TABLAS CAPITULO 1
Tabla 1.1: Métodos de analisis de estabilidad ........................................................... 33
CAPITULO 2
Tabla 2.1: Características eléctricas de una unidad de generación de Paute AB ...... 65
Tabla 2.2: Características mecánicas de una unidad de generación de Paute AB .... 66
Tabla 2.3: Características físicas de la tubería de la central Paute AB ...................... 66
Tabla 2.4: Características de los transformadores de Paute AB................................ 66
Tabla 2.5: Datos de generación y carga con fp. 0.9 en atraso ................................... 67
Tabla 2.6: Efectos de la variación del tiempo de reajuste en el regulador de velocidad de un sistema aislado. ................................................................................ 72
Tabla 2.7: Efectos de la variación del estatismo transitorio en el regulador de velocidad de un sistema aislado. ................................................................................ 74
Tabla 2.8: Efectos de la variación ganancia del servomotor en el regulador de velocidad de un sistema aislado ................................................................................. 75
Tabla 2.9: Variables de Entrada del generador sincrónico ........................................ 77
Tabla 2.10: Variables de Salida del generador sincrónico ......................................... 78
Tabla 2.11: Variables de Entrada y Salida del Regulador de Velocidad pcu_IEEEG3 ................................................................................................................................... 78
Tabla 2.12. Descripción, Valores y Rangos de Parámetros de las Variables del pcu_IEEEG3 para el sistema aislado ......................................................................... 79
CAPITULO 3
Tabla 3.1: Modos del sistema generador barra infinita con regulador de velocidad . 97
Tabla 3.2: Datos de los generadores del sistema de 9 barras ................................. 100
Tabla 3.3: Datos de las Cargas ............................................................................... 100
Tabla 3.4: Descripción, Valores y Rangos de Parámetros de las Variables del pcu_IEEEG3 para el sistema multimáquina ............................................................. 101
XIV
Tabla 3.5: Modos del sistema de 9 barras del IEEE sin regulador de velocidad ..... 108
Tabla 3.6: Modos del sistema de 9 barras del IEEE con regulador de velocidad .... 109
Tabla 3.7: Parámetros del modelo generador barra infinita con regulador de velocidad .................................................................................................................. 113
Tabla 3.8: Índices de desempeño de la figura 3.23 ................................................. 114
Tabla 3.9: Índices de desempeño de la figura 3.25 ................................................. 116
Tabla 3.10: Rango de frecuencias permitidas.......................................................... 118
Tabla 3.11: Indicadores de desempeño de las pruebas internas del sistema generador con regulador de velocidad - barra infinita .............................................. 120
Tabla 3.12: Índices de desempeño de las pruebas externas +10% de potencia activa con regulador de velocidad ...................................................................................... 122
Tabla 3.13: Índices de desempeño de las pruebas externas +10% de potencia activa sin regulador de velocidad ....................................................................................... 122
Tabla 3.14: Índices de desempeño de las pruebas externas +10% de potencia reactiva con regulador de velocidad ......................................................................... 124
Tabla 3.15: Índices de desempeño de las pruebas externas +10% de potencia reactiva sin regulador de velocidad .......................................................................... 124
Tabla 3.16: Índices de desempeño de las pruebas externas +10% de potencia reactiva con regulador de velocidad ......................................................................... 126
Tabla 3.17: Índices de desempeño de las pruebas externas +10% de potencia reactiva con regulador de velocidad 126
XV
RESUMEN
El estudio de estabilidad es una de las ramas más importantes y complejas de
la ingeniería eléctrica, por esta razón el presente trabajo se enfoca en el análisis de
pequeña señal de los sistemas de regulación de velocidad y turbinas hidráulicas y
como influencian al mejoramiento de la estabilidad en un sistema eléctrico de
potencia. La función de regulación de energía de un sistema eléctrico es mantener la
frecuencia del sistema estable ante variaciones de carga o pérdida de generación.
Se establece una metodología para la sintonización de los reguladores de
velocidad para centrales hidroeléctricas, ya sea para funcionamiento en modo aislado
o en modo de operación integrada a un sistema de potencia. Una de las principales
aplicaciones es ayudar a controlar las oscilaciones de baja frecuencia producidas
entre áreas de un sistema interconectado.
Se efectúan pruebas para la verificación y validación de la calibración de los
reguladores de velocidad, cuyos resultados se analizan en base a los índices de
desempeño para análisis de estabilidad de pequeña señal en reguladores de
velocidad establecidos por el IEEE.
XVI
PRESENTACIÓN
El análisis de estabilidad de pequeña señal de los sistemas de regulación de
velocidad y turbinas hidroeléctricas se ha organizado bajo la siguiente estructura:
Capítulo 1 INTRODUCCIÓN
Se realiza un resumen de la estabilidad de sistemas eléctricos de potencia,
enfocado a describir los conceptos fundamentales de estabilidad de los sistemas
dinámicos, su clasificación y su origen, especialmente en la estabilidad de pequeña
señal; así como, las principales herramientas para el análisis de estabilidad en
pequeña señal utilizando técnicas de linealización, la matriz de estado y sus modos
de oscilación.
Capítulo 2. MODELO DE UN GENERADOR SINCRÓNICO CON SISTEMA DE
REGULACIÓN DE VELOCIDAD Y TURBINA HIDRÁULICA
Este capítulo contiene la formulación en variables de estado del generador
representado por el modelo clásico del sistema regulador de velocidad y turbina
hidráulica para centrales hidroeléctricas. Se realiza también la modelación del
regulador de velocidad y de la turbina hidráulica para la sintonización del sistema
regulador de velocidad IEEEG3 utilizando la técnica de estimación de parámetros y el
análisis modal del sistema.
Capítulo 3. APLICACIÓN A SISTEMAS ELÉCTRICOS DE PRUEBA
En este capítulo se desarrolla las pruebas para la verificación y validación de
funcionamiento del regulador de velocidad en un sistema aislado tomando como
aplicación a un sistema generador de la Fase AB de la central Paute Molino – Barra
XVII
Infinita; y, en un sistema multimáquina tomando como aplicación al Sistema de
Nueve Barras del IEEE.
Capítulo 4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.
Se presentan las conclusiones y recomendaciones obtenidas a lo largo del
desarrollo del proyecto de titulación.
XVIII
OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL
· Realizar un análisis de estabilidad de pequeña señal en el dominio del
tiempo y la frecuencia de sistemas de regulación de velocidad y turbinas
hidráulicas de plantas de generación eléctrica.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
· Presentar los fundamentos de estabilidad de pequeña señal.
· Describir los métodos para análisis de estabilidad de sistemas regulación
en el dominio del tiempo y la frecuencia.
· Presentar un análisis de los sistemas de regulación de velocidad y turbinas
hidráulicas para plantas de generación eléctrica de gran potencia.
· Aplicar los métodos de análisis de estabilidad en el dominio del tiempo y de
la frecuencia a la planta compuesta por turbina hidráulica, regulador de
velocidad y generador sincrónico.
· Analizar la respuesta en el dominio del tiempo y la frecuencia con
referencia a índices establecidos por la normativa del IEEE.
· Utilizar el programa computacional DIgSILENT Power Factory para analizar
la estabilidad de pequeña señal en una unidad de generación hidroeléctrica
de la fase AB de la central Paute-Molino con turbina hidráulica y sistema de
regulación de velocidad.
XIX
ALCANCE
· Se implementará un regulador de velocidad para el control de una turbina
hidráulica de una unidad de la fase AB de generación eléctrica Paute-Molino
conectada a través de un transformador de elevación a una carga eléctrica
constante e independiente del voltaje y la frecuencia. Los datos serán tomados
de la referencia 3 de los temas afines.
· Los parámetros y constantes del regulador de velocidad serán determinados a
partir de los datos del generador, momentos de inercia de las partes móviles,
dimensiones del rodete y tubería de presión, altura neta y tiempos de
actuación de servomotores y válvulas.
· La modelación de la turbina hidráulica estará basada en la constante de
tiempo del agua.
· El sistema de regulación de velocidad ajustado será probado en el sistema de
9 barras del IEEE.
· Mediante el diagrama de polos y ceros así como la respuesta en el dominio
del tiempo, se presentarán las características dinámicas de la planta.
XX
JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO
El efecto de los sistemas de regulación de velocidad y turbinas hidráulicas en
generadores sincrónicos y la disponibilidad de herramientas computacionales para
análisis de estado dinámico posibilitan el estudio de índices de estabilidad de
sistemas de sistemas dinámicos incorporados a generadores sincrónicos de
centrales hidroeléctricas de gran potencia.
El programa computacional DIgSILENT Power Factory dispone de módulos de
estabilidad de pequeña señal que permiten obtener la respuesta del sistema de
regulación de velocidad, turbina hidráulica y del generador en conjunto tanto en el
dominio del tiempo como de la frecuencia. Las respuestas en estos dos dominios
deben ser contrastadas con indicadores establecidos por la normativa del IEEE.
El desarrollo de sistemas digitales de control de velocidad reproduce la funcionalidad
de los sistemas analógicos cuyos modelos están siendo incorporados a la lista
estandarizada del IEEE, y que deben ser analizados con las herramientas
computacionales disponibles en la actualidad
CAPÍTULO I
1. INTRODUCCIÓN
1.1 ESTABILIDAD DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA [1], [2],
[3]
El estudio de estabilidad de un Sistema Eléctrico de Potencia (SEP) sin duda es el
campo más fascinante y complejo de la ingeniería eléctrica, ya que comprende desde
el diseño del sistema, diseño de sus protecciones y los respectivos elementos de
control. Mantener en sincronismo el sistema ante los distintos eventos que pueden
presentarse en su operación (variación de carga, pérdida de una línea de
transmisión, salida de un generador, entre otros) es el problema a resolverse en un
SEP en vista de que a medida que evoluciona, su control se hace cada vez más
complejo, obligando a que los generadores trabajen cerca de los limites de
estabilidad.
Debido a que un sistema opera bajo un esquema de crecimiento de la demanda,
obliga a que la capacidad de un SEP, de mantenerse estable, se mantenga en
continua investigación, por esta razón ingenieros y matemáticos han desarrollado
distintas teorías sobre estabilidad y distintos medios para simular un SEP y prevenir
un resultado fatal frente a perturbaciones de magnitud.
Definición de estabilidad de un sistema eléctrico de potencia
Un sistema eléctrico de potencia está en estado estable cuando los parámetros de
sus principales variables eléctricas también lo están o se encuentran dentro de los
límites aceptables de operación. También se puede decir que un SEP está en
estado estable, si cuando sufre una perturbación desde un estado operativo
aceptable es capaz retornar a su estado inicial en un tiempo prudencial.
Un SEP puede llegar a ser inestable de diferentes formas dependiendo de la
configuración y del modo de operación que tenga el sistema. Tradicionalmente el
problema de estabilidad ha estado en mantener el sincronismo. Este aspecto de la
2
estabilidad viene dado por el dinamismo que tiene el ángulo del rotor y por la relación
ángulo-carga.
La inestabilidad también puede ser alcanzada sin perder el sincronismo, por ejemplo
un sistema generador conectado a un motor de inducción a través de una línea de
transmisión puede llegar a ser inestable debido a un colapso de voltaje.
En los estudios de estabilidad se analiza el comportamiento de un sistema eléctrico
de potencia frente a transitorios de larga duración como el caso de un cambio de la
carga eléctrica, donde el sistema debe de adaptarse a la nueva condición de
equilibrio. Además debe ser capaz de soportar perturbaciones de naturaleza severa
como un cortocircuito, pérdida de carga eléctrica de grandes magnitudes o salidas de
unidades de generación.
Los estudios de estabilidad de un sistema eléctrico más comunes, son:
· -Estabilidad de ángulo
· -Estabilidad de voltaje
· -Estabilidad de frecuencia
En la figura 1.1 se indica la clasificación de los estudios de estabilidad más comunes
de un sistema eléctrico de potencia.
3
Estabilidad de un Sistema de
Potencia
Habilidad de mantenerse en un punto de operacion
Equilibrio entre fuerzas opuestas
Estabilidad de
ángulo
Estabilidad de
voltaje
Habilidad de mantener el sincronismo
Estabilidad de
frecuencia
Balance del torque en los generadores
Estabilidad
Transitoria
Estabilidad de
pequeña señal
Inestabilidad No
oscilatoria
Inestabilidad
oscilatoria
Estabilidad de
frecuencia
(Gran Señal)
-Insuficiente torque
sincronizante
-Insuficiente torque de
amortiguamiento -Inestable acción del control
Modos entre
áreas Modos locales
Modos entre
máquinas
Modos de
control
Modos de
torsión
-Grandes
Perturbaciones Períodos superiores a los
10s
Estabilidad de Voltaje ante
grandes perturbaciones
(Gran Señal)
Estabilidad de Voltaje ante
pequeñas perturbaciones
(Pequeña Señal)
Habilidad de mantener el voltaje en un
rango aceptable
Balance de potencia reactiva
--Grandes Perturbaciones
-Eventos de swicheo
-Dinamismo de los ULTC
-Coordinación de Protecciones
-Severos cambios
-Grandes Voltajes,
-Dinamismos del
sistema rápidos y
lentos
-Tiempo de estudio
de algunos min.
-Frecuencia del
sistema uniforme.
-Dinamismo del
sistema lento
-Tiempo de estudio
de varios min.
Corto Plazo Largo Plazo
-Estabilidad marginal, reserva de Q
-Relación P/Q – V
Figura 1.1 Clasificación de la estabilidad
El presente proyecto tiene como objetivo el análisis de estabilidad de pequeña señal
que ocurre dentro del estudio de estabilidad del ángulo del rotor.
1.1.1 ESTABILIDAD DE ÁNGULO
En este tipo de estudio se analiza el comportamiento del ángulo del rotor de una
determinada máquina con respecto a una máquina de referencia luego de ocurrida
una perturbación. Este ángulo es una función del balance entre la potencia mecánica
y la potencia eléctrica que existe en cada generador del sistema. Para determinar la
relación entre el ángulo interno del generador y la potencia suministrada se requiere
establecer un modelo que permita visualizar los parámetros de los elementos que
4
intervienen. El modelo más simple contiene generador, línea de transmisión y motor
sincrónico, como se indica en la figura 1.2.
G
xL xMxG
M
Figura 1.2 Diagrama unifilar del sistema de potencia
La ecuación (1.1) relaciona la transferencia de potencia activa desde el generador al
motor y el ángulo entre los rotores de las respectivas máquinas sincrónicas.
(1.1)
Donde:
· : son los voltajes internos del generador y motor respectivamente
· : la sumatoria de las reactancias del sistema.
· : la diferencia entre los ángulos internos del motor y generador
Como se puede observar la ecuación (1.1) es altamente no lineal, por lo que una
variación en la potencia eléctrica se transforma llevando a la aceleración o
desaceleración de los rotores de las máquinas de acuerdo a las leyes dinámicas de
cuerpos rotativos. Si un generador tiene una velocidad angular alta, la diferencia
angular de su rotor frente a una máquina con velocidad angular más lenta, aumenta,
y es lo que puede llevar a perder el sincronismo.
En la figura 1.3 se indica el comportamiento del ángulo del rotor ante una variación
de carga. Como se puede observar la variación de potencia eléctrica produce
oscilaciones alrededor del punto de operación, cuyo amortiguamiento depende de las
características del sistema y de los elementos de control de la máquina sincrónica.
5
Figura 1.3 Oscilación de potencia de un generador
La pérdida de estabilidad se puede ver reflejada en un incremento en las oscilaciones
de ángulo de las máquinas con respecto a una tomada como referencia. Estas
oscilaciones se las conoce como oscilaciones electromecánicas debido a que afectan
tanto a variables mecánicas en los ejes de las máquinas (velocidad, torque, ángulo)
así como variables eléctricas (potencia activa y reactiva, ángulos eléctricos,
frecuencia).
Para concebir la naturaleza de los problemas de estabilidad angular se la clasifica en
dos categorías:
-Estabilidad de pequeña señal
-Estabilidad transitoria
1.1.1.1 Estabilidad de pequeña señal [1], [2]
Este tipo de estabilidad está dada por el sistema cuando es capaz de mantener el
sincronismo bajo pequeñas perturbaciones que generalmente se presentan en las
condiciones de operación relacionadas con variaciones de carga y de generación.
6
En este estudio solamente se consideran aquellas perturbaciones que puedan ser
linealizadas a la vez que puedan ser aproximadas al comportamiento real del
sistema.
Para analizar la estabilidad de pequeña señal se considera que existe un único
generador que provee de energía a un sistema eléctrico. Para el análisis se
necesitan las ecuaciones eléctricas de la máquina y la ecuación relacionada a su
comportamiento mecánico, dada por la formulación de Newton aplicada a un cuerpo
giratorio (1.2):
(1.2)
Donde:
= Constante proporcional a la inercia de la máquina
= Ángulo interno del generador
= Coeficiente de torque de amortiguamiento
= Potencia mecánica
= Potencia eléctrica
= Velocidad del generador
La inestabilidad de pequeña señal puede ser producida de dos formas
-Incremento de las oscilaciones del rotor debido a falta de torque de
amortiguamiento
-Incremento del ángulo del rotor debido a falta de torque sincronizante
El torque de amortiguamiento determina la rapidez con la que disminuye la amplitud
de las oscilaciones, el mismo que está determinado por componentes mecánicas:
pérdidas por fricción del viento y fricciones viscosas; y, componentes eléctricas:
devanados de amortiguamiento, cargas dinámicas, entre otras. Normalmente el
7
torque de amortiguamiento es pequeño y positivo, no obstante puede hacerse
negativo por la presencia de los reguladores de voltaje, provocando que la amplitud
de las oscilaciones crezca, tal como se indica en la figura 1.4.
Figura 1.4 Naturaleza de la respuesta frente a pequeñas perturbaciones con
regulador de voltaje de campo
En cambio el torque sincronizante es encargado de mantener unidos eléctricamente
a los generadores dentro de un SEP. En la estabilidad de pequeña señal, el torque
sincronizante está relacionado con la frecuencia de las oscilaciones de potencia,
matemáticamente es la pendiente en el punto de operación de la curva - potencia
ángulo. Si el torque sincronizante es pequeño o negativo produce una inestabilidad
no oscilatoria es decir el ángulo del rotor se incrementa como lo indica la figura 1.5,
considerando el voltaje de campo constante.
8
Figura 1.5 Naturaleza de la respuesta frente a pequeñas perturbaciones con voltaje
de campo constante
La estabilidad de pequeña señal puede ser local o global dependiendo del lugar
donde comenzó a existir la falta de torque sincronizante.
a) Modos entre áreas: estas oscilaciones ocurren cuando un grupo de
generadores de un área del sistema presenta una oscilación en oposición a
otro grupo de generadores en otra área, los cuales están unidos a través de
una línea de transmisión que constituye un enlace débil. Puede ser una
interconexión de dos países o regiones. Estas oscilaciones se encuentran en
el orden de 0,2 a 0,7 Hz.
b) Modos locales: una oscilación de este tipo ocurre cuando una central o parte
del sistema oscila contra otras máquinas de una misma área. Estas
oscilaciones se encuentran entre 0,8 y 1,8 Hz.
c) Modos entre máquinas: estas oscilaciones ocurren en una central eléctrica y
los generadores que en esta existen comienzan a oscilar unos con otros, sin
que el resto del sistema se vea afectado. Estas oscilaciones se encuentran
entre el orden de 1,5 a 3 Hz y dependen de las características de la central.
9
d) Modos de control: este tipo de oscilaciones son generadas por los propios
sistemas de control de cada generador. Su frecuencia de oscilación es mayor
a 4 Hz.
e) Modos de torsión: estas oscilaciones son producidas por los elementos
compensadores de la red o los elementos de control de red con los modos
naturales mecánicos de las turbinas. Su frecuencia de oscilación está entre
los 10 y 46 Hz.
1.1.1.2 Estabilidad Transitoria
En estabilidad transitoria las perturbaciones son más severas y se presentan en
condiciones de falla, como por ejemplo: pérdida de carga o generación, y depende
del estado inicial de operación del sistema. Este estudio se realiza mediante
métodos de simulación con tiempos de estudio superiores a los 10 s.
1.1.2 ESTABILIDAD DE VOLTAJE
En estudios de estabilidad de voltaje, las variables a ser consideradas son los
voltajes en cada una de las barras del sistema luego de una perturbación, la cual
puede ser local o en el sistema. Si es local el sistema no sentirá el impacto de
inestabilidad, sin embargo si la inestabilidad afecta al área, ésta deberá ser
desconectada del resto del sistema como una acción preventiva. El voltaje muchas
veces se ve afectado por varios factores como el aumento paulatino de la carga,
eventos de swicheo, entre otros, donde la carga juega un papel importante dentro de
este tipo de estabilidad.
1.1.3 ESTABILIDAD DE FRECUENCIA
En este estudio se analiza la capacidad de un sistema eléctrico de mantener la
frecuencia dentro de un rango aceptable de operación luego de una perturbación que
ocurre por el desequilibrio generación – carga. Cuando las perturbaciones son de
10
gran envergadura pueden provocar la salida de las unidades de generación o de la
carga con el fin de mantener la estabilidad en todo el sistema.
La estabilidad de frecuencia puede ser de corto plazo o de largo plazo, dependindo
del tipo de control que se aplique para una determinada perturbación que ocurra en
el sistema.
1.2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ESTABILIDAD DE
SISTEMAS DINÁMICOS [1], [3]
Como se mencionó la estabilidad de un sistema es la capacidad que tiene para
retornar de un punto inestable por así llamarlo a un punto estable, el cual se lo
considera como referencia del sistema. Dependiendo de la ubicación del estado x y
su trayectoria hacia el estado inicial indicara el tipo de estabilidad que se estaría
considerando, de acuerdo a esto se dan las siguientes definiciones:
1) Un estado de equilibrio es estable si hay un con las siguientes
propiedades: Para todo , , hay un , tal que si ,
de modo que para todo
2) Un estado de equilibrio es asintóticamente estable si éste es estable y hay
un , tal que además como
3) Un estado de equilibrio es globalmente asintóticamente estable si es
estable y con un estado arbitrario inicial como
La primera definición dice: que el estado de equilibrio es estable si la trayectoria
total de es muy cercana al estado de equilibrio con algún pequeño , si el
estado inicial es definido lo bastante cerca del estado de equilibrio. Para un
estado asintóticamente estable, cuando converge al estado de equilibrio cuando
, es decir si todos los polos de la función de transferencia están a la izquierda
del plano “s”. Un estado de equilibrio es globalmente asintóticamente estable cuando
converge al punto del estado inicial .
11
Estos conceptos de estabilidad son llamados internos ya que representan las
propiedades del estado de un sistema. En la literatura de ingeniería eléctrica algunas
veces la estabilidad la definimos como estabilidad marginal y la estabilidad
asintóticamente estable como estabilidad.
En la figura 1.6 se encuentran expuestas las definiciones mencionadas.
Inestable
Estable
Asintóticamente
Estable
ε 0
ε 1
ε 0
Globalmente
asistoticamente
estable
Figura 1.6 Conceptos de estabilidad
1.2.1 ECUACIÓN DE ESTADO
Las ecuaciones que definen el comportamiento de un sistema eléctrico de potencia
son ecuaciones diferenciales que requieren de una metodología para efectuar un
análisis más real de los sistemas. De la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias
se conoce que los coeficientes tienen repercusión en la solución de un sistema de
ecuaciones y es por esta razón que una modelación así no podría ser considerada
como exacta.
El modelado de sistemas mediante variables de estado es una metodología muy
común, caracterizada por definir al sistema mediante entradas y cuyas salidas estén
dadas en función de las entradas, como se muestra en la figura 1.7.
12
Sistema
Señal de entradaSeñal de salida
U(t)
Z(t)
Y(t)
∆α
Cambios en los
parámetros Cambios en la
entrada
Figura 1.7 Modelación de un sistema mediante variables de estado
Para el análisis de un sistema utilizando esta metodología, las condiciones de
entrada se suponen constantes y la dinámica del sistema es representada mediante
un modelo de variables de estado. El proceso dinámico puede ser alterado por
cambios en sus parámetros.
A un sistema dinámico se lo puede representar por una serie de ecuaciones
diferenciales de orden “n”, en la cual el tiempo es una variable independiente del
mismo. El sistema de ecuaciones diferenciales puede ser representado en forma
matricial de primer orden, con el número de ecuaciones igual al de las variables de
estado del sistema, utilizando diagramas de bloques mediante el uso de funciones de
transferencia.
Considere un sistema representado por los vectores de la ecuación diferencial de la
forma general (1.3):
(1.3)
Donde x es un n-vector que describe el estado del sistema y u es la entrada, también
representada en forma vectorial. Estas son las señales externas que influyen en el
comportamiento del sistema. La variable del tiempo es denotada con la letra t y la
derivada de la variable de estado n con respecto al tiempo por , si las derivadas de
las variables de estado no son independientes del tiempo la ecuación puede ser
expresada de la forma dada en la ecuación (1.4):
13
(1.4)
Las variables de salida pueden ser observadas y analizadas de la misma forma:
(1.5)
Donde el vector y es el vector de salidas, y g es el vector de las funciones no lineales
relacionadas a las funciones de estado y a la variables de salida, ecuación (1.5).
1.2.2 LINEALIZACIÓN DE UN SISTEMA NO-LINEAL
Un sistema es no lineal cuando a partir de un cambio en la excitación se obtiene una
respuesta variable a la salida del sistema.
dfdx x0
y0
x0 x
y
Figura 1.8 Representación de un elemento no-lineal
Un sistema no-lineal puede ser linealizado cerca al punto de operación, donde los
cambios de pequeña magnitud que se generan alrededor de dicho punto son
pequeños.
(1.6)
(1.7)
Dichas variaciones alrededor del punto deben cumplir con las ecuaciones (1.4) y
(1.5) respectivamente.
(1.8)
(1.9)
14
Si las variaciones son pequeñas, se las puede expresar en términos de la expansión
en series de Taylor, despreciando los términos de orden superior, para obtener la
linealización del sistema como:
(1.10)
(1.11)
Expresada de una manera simplificada las ecuaciones (1.10) y (1.11)
respectivamente, se tiene:
(1.12)
(1.13)
Dónde:
= Variación del vector de estado
= Variación del vector de entrada
= Variación del vector de salida
A = Matriz de estado
B = Matriz de entrada
C = Matriz de salida
D = Matriz de transmisión directa
Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones (1.12) y (1.13) se obtienen
las ecuaciones de estado en el dominio de la frecuencia (1.14) y (1.15):
(1.14)
(1.15)
15
En la figura 1.9 se representa el diagrama de bloques de la matriz de estado, donde
se indica la función de transferencia del sistema. Las condiciones iniciales son
asumidas como cero.
Una solución de las ecuaciones de estado puede ser obtenida resolviendo y
evaluando .
B
D
C
A
Σ Σ +
+
++
∆u ∆y∆x∆x 1s I
.
Figura 1.9 Diagrama de bloques de la representación de espacio de estado.
Rescribiendo la ecuación (1.14)
Por lo tanto
(1.16)
Y para la salida
(1.17)
Aplicando la transformada de Laplace a y se obtienen dos componentes, una
que depende de las condiciones iniciales y la otra de las entradas. Estos son las
16
transformadas de Laplace de las componentes de estado libre, estado cero y los
vectores de salida.
1.3 VALORES Y VECTORES PROPIOS DE LA MATRIZ DE ESTADO
1.3.1 VALORES PROPIOS
En los estudios de estabilidad de sistemas dinámicos surge el problema de
encontrar, los vectores escalares y los vectores derechos para una solución no
trivial ( ) tales que cumplan la ecuación (1.18).
(1.18)
Para saber si la ecuación (1.18) tiene solución, se la puede plantear de la forma
(1.19):
(1.19)
Si la ecuación se transforma en una ecuación homogénea, la cual tiene solución
única , esto ocurre cuando el ; este caso no interesa. El valor se
dice Valor Propio de la matriz si cumple la ecuación (1.20).
(1.20)
A la ecuación (1.20) se la conoce como la ecuación característica de la matriz . Las
n soluciones de son los valores propios de , cuyas propiedades son:
· El número de valores propios es igual al número de estados del sistema.
· Los valores propios representan los modos naturales de oscilación de un
sistema y caracterizan su respuesta temporal frente a una pequeña
perturbación.
· Para un sistema estable todos los valores propios tiene parte real y parte
imaginaria.
17
Los valores propios son la parte exponencial de la solución de la ecuación diferencial
que describe el sistema, por lo que se puede decir que estos determinan su
estabilidad, por esta razón su importancia. En la figura 1.10 se representan las
distintas respuestas asociadas a los valores propios que se pueden obtener de un
sistema. Como se puede observar los valores propios pueden ser reales o
imaginarios, cuando son imaginarios presentan dos partes conjugadas, los valores
propios del semiplano izquierdo son respuestas consideradas estables, mientras que
los valores propios del semiplano derecho indican que el sistema es inestable.
Figura 1.10 Respuesta a los distintos valores propios que puede tener un sistema.
1.3.1.1 Valores propios reales
Un valor propio real corresponde a un modo no oscilatorio, este puede ser positivo o
negativo:
· Un valor propio real negativo representa un decaimiento del modo.
· Un valor propio positivo representa una inestabilidad aperiódica.
1.3.1.2 Valores propios complejos
Un valor propio complejo aparece siempre en pares conjugados y cada par
corresponde a un modo de oscilación donde:
18
· La parte real será una medida del amortiguamiento del modo:
1. Una parte real negativa representa una oscilación amortiguada
2. Una parte real positiva representa una oscilación que incrementa en
amplitud
· La parte imaginaria da una medida de la velocidad angular de oscilación
que el modo presenta
Dado el valor propio:
(1.21)
Se tiene que:
= Frecuencia natural de oscilación
= Porcentaje de disminución de la amplitud de la oscilación del modo
Para un modo de oscilación debidamente representado por un valor propio complejo,
su frecuencia de oscilación y amortiguamiento están dadas por las ecuaciones (1.22)
y (1.23):
(1.22)
(1.23)
El amortiguamiento determina la velocidad de decaimiento de la amplitud de la
oscilación.
1.3.2 VECTORES PROPIOS
1.3.2.1 Vectores propios derechos
Si es un valor propio de la matriz y si es el vector no nulo tal que
entonces se dice vector propio derecho de correspondiente al valor propio . Los
vectores propios tienen la forma:
19
1.3.2.2 Vectores propios izquierdos
Por conveniencia se asume que los vectores propios son normalizados. De esta
manera se obtiene:
(1.24)
Donde son los vectores propios izquierdos.
1.4 MATRICES MODALES
El vector propio izquierdo o derecho correspondiente a un diferente valor propio son
ortogonales en otras palabras si no es igual a se tendrá que:
(1.25)
El vector propio está determinado solo por un múltiplo de un escalar, ésta es una
práctica común para normalizar estos vectores tanto que como se indica en la
ecuación (1.26):
(1.26)
Para continuar con las propiedades de la matriz es conveniente introducir las
matrices modales (1.27) y (1.28):
(1.27)
(1.28)
La relación existente entre las ecuaciones (1.18) y (1.26) puede ser rescrita de la
siguiente forma:
(1.29)
(1.30)
Dónde:
= Matriz diagonal que contiene los valores propios de la matriz A
Despejando la matriz diagonal de la ecuación (1.29), se tiene:
(1.31)
20
1.5 MOVIMIENTO LIBRE DE UN SISTEMA DINÁMICO
El movimiento libre de un sistema dinámico está dado cuando la entrada del sistema
es cero, de ahí que la ecuación solo depende de las condiciones iniciales, y la
ecuación de estado se reduce a la expresión (1.32):
(1.32)
Como se puede analizar, el problema es: como el cambio de las derivadas de las
variables de estado es linealmente dependiente de los cambios de las variables de
estado, en otras palabras es ver como cada una de las variables de estado influyen
directamente en el movimiento del sistema.
Para eliminar el acoplamiento entre las variables de estado se introduce un nuevo
vector que está relacionado con el vector de las variables de estado, por lo tanto la
ecuación (1.31) queda de la forma de las ecuaciones (1.33) y (1.34):
(1.33)
(1.34)
La nueva ecuación de estado puede ser escrita como:
(1.35)
Introduciendo la ecuación (1.35) en la ecuación (1.31) se obtiene un sistema de
ecuaciones de primer orden desacoplado:
(1.36)
También puede ser expresada en términos de variables de estado y valores propios
(1.37)
La ecuación (1.35) es una ecuación diferencial de primer orden cuya solución es
(1.38)
21
Donde es la condición inicial del el valor
Retomando la ecuación (1.33), la respuesta en términos del vector de estado inicial
es:
(1.39)
(1.40)
De la ecuación 1.39:
(1.41)
Esto implica que:
(1.42)
Condiciones iniciales en t=0:
(1.43)
Utilizando el término que representa la magnitud de la excitación del i-
ésimo modo resultado de las condiciones iniciales, la ecuación (1.40) puede ser
escrita de la forma (1.44):
(1.44)
En otras palabras el tiempo de respuesta de la i-ésima variable de estado está dado
por la expresión (1.45):
(1.45)
22
1.6 MODOS, SENSITIVIDAD Y FACTORES DE PARTICIPACIÓN
1.6.1 MODOS
La respuesta del sistema como ya se mencionó pude ser expresada en términos de
los vectores de estado y del vector de transformación z, como se define en la
ecuación (1.39) , donde son las variables originales de
la ecuación de estado, designadas para representar al sistema dinámico. Las
variables , son la transformación de las variables de estado tal que cada
variable está asociada con un único modo, en otras palabras cada variable esta
directamente relacionada con un modo.
(1.46)
(1.47)
La ecuación (1.46) contiene los vectores propios derechos que dan los modos de
operación, y relaciona la actividad de las variables de estado cuando un modo
particular es excitado. Por ejemplo, el punto de actividad de la variable de estado
en el i-ésimo modo es dado por el elemento del vector propio derecho.
Las magnitudes de los elementos de proporcionan el grado de actividad de la
variable de estado n en el i-ésimo modo y el ángulo de los elementos dan los
desplazamientos de fase de las variables de estado con respecto al modo.
Los vectores propios izquierdos identifican que combinación de las variables de
estado originales muestran solamente el i-ésimo modo. De tal modo que el k-ésimo
elemento del vector propio derecho mide la actividad de la variable en el i-
ésimo modo, y el k-ésimo elemento del vector propio izquierdo pondera la
contribución de esta actividad al i-ésimo modo.
23
1.6.2 SENSITIVIDAD
Se analiza la sensitividad de los valores propios de la matriz de estado, para ello se
parte de la ecuación (1.18) que contiene los valores y vectores propios de una matriz
de estado.
Para el análisis de sensitividad de la ecuación de estado se deriva con respecto al
elemento de la matriz :
(1.48)
Multiplicado por y tomando en cuenta que y se puede
simplificar la ecuación (1.48) a:
Todos los elementos de la derivada son cero excepto para el elemento en la
k-ésima fila y j ésima columna que es igual a 1, por lo tanto se tiene:
(1.49)
De esta manera la sensitividad del valor propio al elemento de la matriz de
estado es igual al producto del elemento del vector propio izquierdo y el elemento del
vector propio derecho.
1.6.3 FACTOR DE PARTICIPACIÓN
Uno de los problemas en usar los vectores propios izquierdo y derecho
individualmente para identificar la relación entre los estados y los modos, es que los
24
elementos de los vectores propios son dependientes de las unidades y el
escalamiento asociados a las variables de estado. Como una solución a este
problema, se propone la matriz de participación P que combina los vectores propios
derecho e izquierdo, según se muestra en la ecuación (1.50), como una medida de la
relación entre las variables de estado y los modos.
o
(1.50)
1.7 CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD
Como se analiza en la sección 1.2.2, existe una relación entre la entrada y el estado,
y el estado y la salida. En general estas medidas indican como el i-ésimo modo es
excitado por las entradas y observado en las salidas del mismo. Se analiza los
criterios para determinar la controlabilidad y la observabilidad de los sistemas
dinámicos, así como las medidas de controlabilidad y observabilidad de los modos de
oscilación.
La controlabilidad y la observabilidad están enfocadas a analizar los modos de
oscilación de un sistema dinámico con el objetivo de determinar la ubicación de los
controladores y las señales para el diseño eficiente de los lazos de control.
Se dice que un sistema es controlable en el tiempo si se puede llevar de cualquier
estado inicial a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin
restricciones, es un intervalo de tiempo finito.
Se dice que un sistema es observable en el tiempo si, con el sistema en el estado
es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida
durante un intervalo de tiempo finito.
25
1.7.1 CONTROLABILIDAD
Considere la ecuación de entrada del sistema (1.51):
(1.51)
Se dice que el sistema es controlable si es posible construir una señal de control sin
restricciones tal que transfiera cualquier estado inicial a cualquier estado final en un
intervalo de tiempo finito. Si todos los estados son controlables, se dice que el
sistema de estado es completamente controlable.
Para desarrollar la condición de controlabilidad completa de un estado se parte de
que el estado inicial es el origen del espacio de estado y que el tiempo inicial es cero
.
La solución de la ecuación 1.51 es
(1.52)
Aplicando la condición de estado recién establecida se obtiene:
o bien
(1.53)
Donde:
(1.54)
Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (1.53) se obtiene:
(1.55)
26
Definiendo
(1.56)
Así la ecuación (1.55) se convierte en
(1.57)
(1.58)
Si el sistema es completamente controlable, entonces, dado cualquier estado inicial
, la ecuación (1.58) debe satisfacerse. Es decir el rango de la matriz n x n
(1.59)
sea n.
Esta matriz se la conoce como matriz de controlabilidad.
Otra forma de conocer la controlabilidad de un sistema es a partir de la
transformación a variables z de la ecuación (1.12), utilizando los conceptos de
vectores derecho donde la ecuación se tiene:
(1.60)
La ecuación de estado en la forma desacoplada puede ser escrita de la siguiente
forma:
(1.61)
Dónde:
(1.62)
Donde se obtiene las siguientes conclusiones, si la i-ésima fila de la matriz es
cero, no existe ningún efecto de las entradas en el i-enésimo modo. En tal caso, el i-
ésimo modo se lo considera como incontrolable ya que depende exclusivamente de
los vectores de estado.
27
1.7.2 OBSERVABILIDAD
Se dice que un sistema es completamente observable si el estado se determina
a partir de las observaciones de durante un intervalo de tiempo finito .
Por lo tanto, el sistema es completamente observable si todas las transiciones del
estado afectan eventualmente a los elementos del vector de salida. El concepto de
observabilidad es muy importante porque, en la práctica, la dificultad que se
encuentra en el control mediante la realimentación del estado es que algunas de las
variables de estado no son accesibles para la medición directa por lo que se hace
necesario estimar las variables de estado no medibles para construir las señales de
control.
Para analizar la observabilidad se considera el sistema sin excitación como el que se
obtiene mediante las ecuaciones:
(1.63)
(1.64)
El vector de salida es
(1.65)
Remitiéndose a la ecuación (1.54) se obtiene:
(1.66)
Si el sistema es completamente observable entonces debe cumplir que la matriz
(1.67)
sea de rango n.
Esta matriz se la conoce como matriz de controlabilidad.
Otra manera de determinar si un sistema es observable es partir del cambio a
variable Z, de la ecuación (1.13), donde queda:
(1.68)
La ecuación de estado anterior en forma desacoplada puede ser escrita como en la
ecuación (1.69):
28
(1.69)
Donde
(1.70)
En la ecuación (1.69) la i-ésima columna de la matriz determina si la variable
contribuye en la salida. Si la columna es cero se considera que el modo es
inobservable.
1.7.3 MEDIDAS DE CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD DE LOS
MODOS DE OSCILACIÓN [6], [7]
El objetivo de analizar la observabilidad y controlabilidad de los sistemas dinámicos
es determinar la ubicación de los controladores y el diseño de los lazos de control.
La información acerca de la controlabilidad y observabilidad de los modos de
oscilación se obtienen en base a: la medida geométrica relacionada con la prueba de
los vectores propios de Popov Belevich Hautus, por sus siglas PBH, y la otra es la
medida basada en residuos. Ambas medidas son utilizadas en la selección de las
señales tanto de entrada como de salida del sistema regulador que permitirán el
amortiguamiento de las oscilaciones principalmente las interárea. Estas medidas de
controlabilidad y observabilidad permiten la selección de las variables de entrada y
salida que mayor impacto tienen en el modo en el cual se desea amortiguar con el
uso de un controlador global como un PSS’s Multibanda [6].
1.7.3.1 Medida geométrica
Considerando el sistema dinámico linealizado dado por las ecuaciones 1.12 y 1.13,
con los valores propios de todos diferentes, y es el vector propio izquierdo
correspondiente a , definido en 1.3.2.1, entonces el i-ésimo modo de no es
controlable si y son ortogonales.
La controlabilidad de un modo de oscilación de un sistema varía dependiendo del
ángulo entre el vector propio izquierdo correspondiente y la matriz de entradas del
sistema, por lo tanto, el coseno de este ángulo sirve como medida de controlabilidad.
29
Entonces, la Medida Geométrica de Controlabilidad para el i-ésimo modo en un
sistema de múltiples entradas se define matemáticamente como:
(1.71)
Relacionando la dualidad entre la controlabilidad y la observabilidad en los sistemas
lineales, se puede decir que el i-ésimo modo no es observable si y son
ortogonales. La observabilidad de un modo de oscilación varía en relación al angulo
entre el vector derecho correspondiente y la matriz de salidas del sistema y por lo
tanto el coseno de este ángulo sirve como medida de la observabilidad del modo.
Entonces, la Medida Geométrica de Observabilidad para el i-ésimo modo en un
sistema de múltiples entradas se define como:
(1.72)
Donde:
j- ésima columna de la matriz de entradas del sistema
Vector propio izquierdo asociado al i-ésimo modo vector
k- ésima fila de la matriz de salidas del sistema
Vector propio izquierdo asociado al i-ésimo modo vector
Valor absoluto y norma euclidiana
El índice de observabilidad calculado en (1.72), interpreta geométricamente la
observabilidad como el coseno del ángulo entre los vectores y . Si el coseno es
cercano a cero indica que los vectores y son ortogonales, con lo que se tiene
un pequeño aporte del modo en la salida, caso contrario si el coseno es cercano a
uno la contribución del modo en la salida es alto.
Otra forma de analizar la contribución que tiene un modo es con la Medida
Geométrica Conjunta de Controlabilidad y Observabilidad; y, se la define como se
muestra en la ecuación (1.73). Si esta medida es diferente de cero se puede tener el
control del i-ésimo modo usando la entrada y la salida . Las entradas y salidas
30
para el diseño del lazo de control son aquellas en las que se obtiene el mayor rango
de . Si ese valor se obtiene con y que corresponden a la misma
componente del sistema, entonces el i-ésimo modo puede ser amortiguado usando
un esquema de control local. Por lo contrario si las señales están asociadas a
diferentes componentes del sistema, es necesario un esquema de control global.
(1.72)
1.7.3.2 Medida con base en Residuos
Otra medida de controlabilidad y observabilidad modal es con base en residuos.
Para ello se considera las ecuaciones (1.12) y (1.13) con sus respectivos valores
propios, todos diferentes, cuya función de transferencia está dada por la ecuación
(1.17).
(1.73)
(1.74)
(1.75)
Donde es el polinomio característico del sistema. La medida de controlabilidad
en base a residuos se define de la siguiente forma:
(1.76)
(1.77)
(1.78)
(1.79)
Donde:
Norma de Frobenius
Por lo anterior la Medida Conjunta de Observabilidad y Controlabilidad se define
como:
(1.80)
31
La controlabilidad y observabilidad del i-enésimo es casi nula cuando todos los
elementos de tienen un cero cercano a .
Las medidas de controlabilidad y observabilidad descritas en las ecuaciones (1.72) y
(1.80) están relacionadas directamente con la Matriz de Residuos del sistema lineal
. Considerando que puede ser expresada, según la Sección 1.4, y
remplazando en la ecuación (1.74) se tiene las ecuaciones (1.81) a (1.83):
(1.81)
(1.82)
(1.83)
Donde:
Con lo que las ecuaciones se pueden escribir:
(1.84)
Donde
Donde es la matriz de residuos asociada al i-enésimo modo. Por lo que la Medida
Conjunta de Observabilidad y Controlabilidad definida por la ecuación (1.80) puede
ser expresada por la ecuación (1.85):
(1.85)
Donde:
j- ésima columna de la matriz de entradas del sistema
Vector propio izquierdo asociado al i-ésimo modo vector
32
k- ésima fila de la matriz de salidas del sistema
Vector propio izquierdo asociado al i-ésimo modo vector
Medida con base en Residuos de Controlabilidad
Para el i-ésimo modo de la ecuación (1.76) se puede rescribir considerando un par
de valores propios complejos conjugados y con sus
correspondientes vectores propios izquierdos y en
términos de las entradas del sistema, con lo que la ecuación (1.86) expresa la
controlabilidad en base a residuos.
(1.86)
Medida con base en Residuos de Observabilidad
Para el i-ésimo modo de la ecuación (1.76) se puede rescribir considerando un par
de valores propios complejos conjugados, con sus correspondientes vectores propios
derechos y en términos de las entradas del sistema,
con lo que la ecuación de Observabilidad en base a residuos queda de la forma dada
por la ecuación (1.87).
(1.87)
Donde * representa el conjugado transpuesto de la componente del vector propio.
En este capítulo se ha referido a la representación y análisis de un sistema dinámico
y algunas técnicas de análisis lineal que permiten el estudio de estabilidad de
pequeña señal de un sistema dinámico. En la tabla 2.1 se presenta un resumen de
los métodos de análisis y sus principales características.
33
Tabla 1.1: Métodos de análisis de estabilidad
Método Características Ecuaciones
Análisis Modal
Se basa en el estudio de los valores propios y vectores propios del sistema, permitiendo el análisis del amortiguamiento y la frecuencia de amortiguamiento de los modos oscilatorios correspondientes a los valores propios del sistema.
Ecuaciones desde la 1.12 a
la 1.45
Factores de participación
Se basa en los vectores propios, ya que permite relacionar las variables de estado con los modos de oscilación del sistema.
Ecuación 1.50
Medida Geométrica de Controlabilidad
Esta medida relaciona las entradas del sistema con los modos de oscilación mediante el coseno del ángulo conformado entre los vectores izquierdos y la matriz de entradas del sistema.
Ecuación 1.71
Medida Geométrica de Observabilidad
Esta medida relaciona las salidas del sistema con los modos de oscilación mediante el coseno del ángulo conformado entre los vectores derechos y la matriz de entradas del sistema.
Ecuación 1.72
Medida con Base en Residuos de Controlabilidad
Esta medida relaciona las entradas con los modos de oscilación del sistema mediante un valor directamente proporcional a la norma Frobenius del producto entre los valores propios izquierdos correspondientes y la matriz de entradas del sistema
Ecuación 1.76
Medida con Base en Residuos de Observabilidad
Esta medida relaciona las salidas con los modos de oscilación del sistema mediante un valor directamente proporcional a la norma Frobenius del producto entre los valores propios derechos correspondientes y la matriz de salidas del sistema
Ecuación 1.78
1.8 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH – HURWITZ [4],[8]
Un sistema de control es estable si cumple con la condición que todos sus polos en
lazo cerrado estén en el semiplano izquierdo del plano s. La ecuación (1.88)
representa la función de transferencia de un sistema de control lineal donde el
polinomio debe tener los términos ordenados en potencias decrecientes de s,
Condición necesaria pero no suficiente para que el sistema sea estable.
(1.88)
Donde a y b son constantes y m≤n.
34
El criterio de Routh Hurwitz permite determinar el número de polos en lazo cerrado
en el semiplano derecho del plano s sin necesidad de factorizar el polinomio.
Arreglo de Routh
Para aplicar este criterio se debe considerar al denominador como un polinomio
ordenado como se indica en la ecuación (1.89)
.
(1.89)
Los coeficientes del polinomio deben ordenarse en filas y columnas, según el
siguiente arreglo:
(1.90)
Donde
Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, entonces existe al menos una raíz
imaginaria o con parte real positiva. El criterio de Routh Hurwitz establece que el
35
número de raíces con parte real positiva, es igual al número de cambios de signo de
la primera columna.
Condición necesaria y suficiente de estabilidad de Routh establece que:
Un sistema es estable si y solamente si todos los elementos de la primera columna
del arreglo de Routh son positivos.
1.9 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE BODE [4],[8]
Una función de transferencia senoidal puede representarse mediante dos graficas
distintas: Una que ofrece la magnitud vs la frecuencia y la otra que muestra el angulo
de fase (en grados) vs la frecuencia. Ambas se grafican en escala logarítmica.
La representación común de la magnitud logarítmica G(jω) es , en
donde la base del logaritmo es 10. La unidad que utiliza está magnitud es el decibel
(dB). Ver la figura 11.
Figura 1.11 Diagrama de Bode
36
Las definiciones para determinar la estabilidad mediante los diagramas de bode son:
Valor máximo de Resonancia ( ): Determina una medida de las oscilaciones del
sistema en lazo cerrado. Para un sistema de segundo orden, se tiene la ecuación
(1.91):
(1.91)
para
para
Frecuencia de resonancia ( ): Es la frecuencia donde ocurre el máximo valor de
resonancia. Este valor de frecuencia se obtiene para valores entre ;
esta dado por la ecuación (1.92)
(1.92)
Ancho de Banda (BW): Está definido para un sistema a lazo cerrado como una
medida de la posibilidad que tiene el sistema reproducir fielmente, una señal de
entrada. Se puede medir como la frecuencia a la cual la magnitud de la respuesta
frecuencial está 3 dB por debajo de su valor a baja frecuencia.
Figura 1.12 Ancho de banda
Frecuencia de corte ( ): Es la frecuencia en la cual la magnitud de la respuesta en
frecuencia está 3 dB debajo del valor en la frecuencia w = 0. Figura 1.13
37
Figura 1.13 Frecuencia de corte
Margen de Fase: Es el retardo de fase adicional en la frecuencia de la ganancia de
cruce que se requiere para llevar al sistema de fase mínima a la frontera de la
inestabilidad. La frecuencia de Ganancia de cruce es la frecuencia en la cual la
magnitud es 0 dB.
Margen de Ganancia: Es el recíproco de la Magnitud en la frecuencia de cruce de la
fase. Esta frecuencia es donde el ángulo de fase f = 180°, entonces:
Figura 1.14 Diagrama de Bode – Sistema estable e inestable
38
Como se detalla en la Figura 1.10 un sistema es estable cuando el margen de fase y
de ganancia es positivo. Un sistema es inestable cuando el margen de fase y de
ganancia es negativo.
1.10 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST [4],[8]
El criterio de estabilidad de Nyquist de un sistema de control con realimentación
simple como el de la figura 1.15, se obtiene analizando las raíces de la ecuación
característica (1.93).
Figura 1.15 Sistema de control de lazo cerrado
(1.93)
Para que el sistema sea estable, todos los ceros de deben de estar localizados
en el semiplano izquierdo del plano s. Las raíces pueden estar en el
semiplano derecho.
El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta en frecuencia lazo abierto
con el número de ceros (Z) y polos (P) de la ecuación característica
que se encuentra en el semiplano derecho del plano s. Donde
ecuación característica está dada por la ecuación (1.94)
(1.94)
39
Criterio de estabilidad de Nyquist
Un sistema de control con realimentación simple es estable si y solamente si, en el
contorno en el plano no rodea el punto (-1+j0), cuando el número de polos
de en la parte derecha del plano s es cero (Sistema de fase mínima).
Un sistema de control con realimentación simple es estable si y solamente si, en el
contorno el número de rodeos al punto (-1+j0) en el sentido anti horario es igual al
número de polos con partes reales positivas.
40
CAPÍTULO 2
2 MODELO DE UN GENERADOR SINCRÓNICO CON SISTEMA DE REGULACIÓN DE VELOCIDAD Y TURBINA HIDRÁULICA
El generador es el elemento más importante de un sistema eléctrico de potencia ya
que es el encargado de proveer la potencia necesaria a la carga, por tal motivo
requiere de un sistema de control, que asegure la generación de potencia eléctrica
de la manera más eficiente y confiable, dentro de los límites de voltaje y frecuencia
permitidos por los entes reguladores.
En la figura 2.1 se detallan los elementos principales de control y generación de
potencia, a este tipo de control se le conoce como control de potencia-frecuencia, en
el cual intervienen algunos elementos como el control automático de generación
(AGC) que es muy utilizado en determinados generadores del sistema eléctrico de
potencia para mantener la frecuencia del sistema estable ante las variaciones de la
demanda de potencia eléctrica.
Cambiador de
velocidad
Regulador de
velocidad
Válvulas ó
compuertasGeneradorTurbina
Sistema Eléctrico
-Cargas
-Sistema de transmisión
-Otros generadores
AGCPotencia de intercambio
Frecuencia
Velocidad
Sistema suministrador de
energía
Figura 2.1 Diagrama del sistema de control y generación de potencia
Se hace un análisis del generador hidroeléctrico, turbina hidráulica y sistema
regulador de velocidad, para la comprensión de cada uno de estos elementos y el
papel que desempeñan dentro del estudio de estabilidad.
41
2.1 REPRESENTACIÓN DEL GENERADOR SINCRÓNICO EN
VARIABLES DE ESTADO [4], [1]
Un generador es un dispositivo que convierte la energía mecánica a energía
eléctrica. Este proceso se lo conoce como conversión electromecánica, que involucra
un campo magnético que actúa como intermediario en este proceso, ya que el
principio de funcionamiento de un generador está basado en la ley de inducción
electromagnética de Faraday.
Un generador sincrónico está formado por dos partes importantes, el rotor y el
estator. El rotor o campo es la parte móvil, cuya bobina se excita mediante la
inyección de corriente continua para producir un campo eléctrico. Existen dos tipos
de rotor: Generadores de rotor liso que generalmente se utilizan para centrales cuya
velocidad es relativamente alta y Generadores de polos salientes para velocidades
bajas. El estator es en donde se produce la inducción del campo eléctrico y por ende
de la energía eléctrica. Está formado por un núcleo de láminas de hierro con ranuras
en donde van alojados los devanados trifásicos distribuidos en forma sinusoidal.
Los devanados del generador están distribuidos a lo largo del estator formando pares
de polos y separados entre ellos , la relación que existe entre el número de
polos y la velocidad de funcionamiento de un generador es la frecuencia a la que
este estará generando cuya relación está dada por:
(2.1)
2.1.1 REPRESENTACIÓN DEL MODELO CLÁSICO DEL GENERADOR [1], [5]
El modelo clásico de un generador de rotor cilíndrico consta de una fuente interna,
una reactancia y una resistencia de armadura, para un generador de polos salientes
este está formado por la resistencia armadura, una reactancia del eje directo y otra
del eje de cuadratura y una fuente interna, como se indica en la figura 2.2.
42
xd
E δ V 0
Ra
Vq
Ra
jXqIqVd
Ra
jXdId
jEf = ωLdfif3
1Iq
Id
Ie
A) Modelo de rotor cilíndrico
B) Modelo de Polos salientes
Figura 2.2 Circuitos equivalentes de un generador sincrónico.
Para estudios de estabilidad con un tiempo de análisis pequeño, el circuito
equivalente de un generador sincrónico queda reducido a una fuente interna
constante, la potencia mecánica inyectada al generador también constante, una
reactancia cuya aproximación para generadores de polos salientes es ignorar el
efecto de los polos salientes por la aproximación de , con una resistencia de
armadura despreciable, acoplado a una barra infinita con lo que el voltaje y la
frecuencia son independientes de la potencia inyectada o extraída de la misma
durante una perturbación.
En la figura 2.3 se indica el modelo de un generador para estudios de estabilidad.
xd
E δ
V 0
Figura 2.3 Representación de un generador sincrónico en estudios de estabilidad
Donde:
(2.2)
43
La potencia compleja está dada por:
(2.3)
Con la resistencia del estator despreciable la potencia en el entrehierro es igual
a la potencia terminal en por unidad con lo que el torque en el entrehierro es igual a
la potencia en el entrehierro.
Por lo tanto:
(2.4)
Linealizando la ecuación anterior cerca a un punto de operación , se tiene:
(2.5)
Las ecuaciones de movimiento en por unidad están dadas por:
(2.6)
(2.7)
Donde es la variación de la velocidad en por unidad, es el angulo del rotor en
radianes eléctricos, es la velocidad eléctrica nominal del rotor en radianes por
segundo.
Linealizando la ecuación (2.6) y sustituyendo el término de la ecuación (2.5) se
obtiene:
(2.8)
Donde es el coeficiente de torque sincronizante y viene dado por:
(2.9)
44
Linealizando la ecuación (2.7) se tiene:
(2.10)
Escribiendo las ecuaciones (2.8) y (2.10) en forma matricial vectorial:
(2.11)
Esta ecuación es de la forma . Los elementos de la matriz de estado A
dependen de los parámetros del sistema , , y de las condiciones de operación
iniciales, representada por los valores y . Aplicando la transformada de Laplace
para obtener la representación del generador conectado a una barra infinita en
variables de estado se obtiene:
(2.12)
Reorganizando:
(2.13)
La ecuación característica está dada por:
(2.14)
Esta es la forma general de la ecuación característica.
(2.15)
45
La figura 2.4 puede ser usada para describir la representación de un generador
sincrónico para pequeña señal.
Σ 1
2H s
KD
ω0
s
KS
+
-
-
∆Tm
∆Te
∆ωr ∆δ
Componente de torque
sincronizante
Componente de torque
amortiguador
Figura 2.4 Diagrama de bloques de un generador – barra infinita
Donde:
= Coeficiente de torque sincronizante en p.u
= Coeficiente de torque de amortiguamiento en p.u
= Constante de inercia en Mw*s/MVA
= Variación de la velocidad en p.u
= Variación del ángulo del rotor en rad. eléctricos
= Operador de Laplace
= Velocidad sincrónica en radianes eléctricos/s
Por lo tanto, la frecuencia natural está dada por:
(2.16)
La variación de amortiguamiento es:
(2.17)
46
De las ecuaciones (2.16) y (2.17) se observa que si el torque sincronizarte aumenta,
la frecuencia natural también lo hace en cambio el coeficiente de amortiguamiento
disminuye. Un incremento en el torque de amortiguamiento el amortiguamiento
también lo hace, mientras que un incremento de la inercia, decrece la frecuencia
natural y la variación de amortiguamiento.
2.2 REPRESENTACIÓN DEL SISTEMA DE REGULACIÓN DE
VELOCIDAD EN VARIABLES DE ESTADO [1], [4]
Los reguladores de velocidad o gobernadores juegan un papel importante dentro de
los centros de control y regulación de energía de un sistema eléctrico y es el
mantener la frecuencia del sistema estable. Para poder hacer esto posible se han
desarrollado varios conceptos de teoría de control o sistemas de control.
Cuando la carga de eléctrica suministrada un generador dentro de un sistema
eléctrico de potencia aumenta o disminuye, por ende su potencia mecánica, el déficit
o excedente de potencia es entregada por la energía cinética almacenada en su
sistema rotativo. La reducción de energía cinética causa que la velocidad de la
turbina y consecuentemente la frecuencia del generador disminuyan, este cambio es
monitoreado por el sistema de regulación de velocidad, quien realiza acciones de
control en los inyectores de las turbinas para de esta manera la velocidad y la
frecuencia del generador retornen a la nominal.
En la figura 2.5 se muestra el regulador de velocidad de un generador sincrónico
aislado de la carga. Como se pude observar en este modelo no intervienen los
parámetros eléctricos del sistema.
47
Turbina
Gobernor
G
Tm
Te
Pm Pe
Velocidad Carga
PL
Válvula
Vapor ó Agua
Figura 2.5 Sistema de regulación de velocidad de un generador aislado
Donde:
= Torque Mecánico
= Potencia mecánica
= Torque eléctrico
= Potencia eléctrica
= Carga eléctrica
2.2.1 GOBERNADORES ISÓCRONOS
Este tipo de gobernadores son los más sencillos que existen, debido a su
funcionamiento, ya que ajustan las válvulas o compuertas de la turbina de tal manera
que la velocidad o la frecuencia del generador sean las nominales, por esta razón se
los conoce como gobernadores de velocidad constante, figura 2.6.
El principio de funcionamiento es en base a una señal de error de la velocidad,
comparando la velocidad medida y la de referencia, para luego esta ser amplificada e
integrada para producir una señal de control que actúa sobre los inyectores o
compuertas de la turbina, dicha señal cambiara cuando el error de velocidad sea
cero, esto se debe a las características del control integral.
Turbina
Integrador -K Σ
G
Compuerta
Agua / Vapor
∆ωr
ωr
ω0
Pm
∆Y
Pe
48
Figura 2.6 Esquema de un regulador isócrono
Donde
= Posición de la compuerta
= Velocidad del rotor
= Potencia mecánica
Los cambios que se producen en la potencia de salida se ven reflejados en la
velocidad de la máquina, cuando existe un incremento de la potencia eléctrica se da
una disminución en la frecuencia, debido a la inercia del rotor del generador. Para
que retorne a su velocidad nominal, la potencia mecánica debe comenzar a aumentar
hasta conseguir que la velocidad sea la nominal. El valor de la potencia que se debe
aumentar es igual a la carga eléctrica aumentada.
Figura 2.7 Respuesta de un generador con un regulador isócrono
Este tipo de generadores funcionan de una manera propicia cuando trabajan de
manera aislada o cuando en un sistema multimáquina solo uno de los generadores
es el encargado de responder a los cambios de carga, ya que si todos lo hicieran el
sistema se volvería inestable, debido a que todos los generadores tratarían de
compensar esa deficiencia de carga.
49
2.2.2 REGULADORES DE VELOCIDAD PARA TURBINAS HIDROELÉCTRICAS
Las turbinas hidráulicas tienen una característica especial debido a la inercia del
agua. Un cambio en la posición de la compuerta produce un cambio en la potencia
inicial de la turbina opuesto al deseado, por ello que para poder tener un control de
velocidad adecuado es necesario tener un lazo de retroalimentación de la velocidad
en el control de apertura o cierre de la compuerta de la turbina.
2.2.2.1 Gobernadores con características de caída de velocidad
Cuando existe un sistema multimáquina, los generadores isócronos no pueden ser
utilizados ya que cuando exista una variación de carga en el sistema cada uno de
ellos tratara de llevar a la frecuencia del sistema a su propia velocidad de referencia,
produciéndose oscilaciones en el sistema. Por esta razón los reguladores de
velocidad están diseñados para permitir una disminución de la acción de la
compuerta cuando exista un incremento de la carga con el fin de darle tiempo al
generador de alcanzar la potencia de salida requerida. La característica de
decaimiento de la velocidad se obtiene adicionando un lazo de realimentación al
integrador de la figura 2.5 como se muestra en la figura 2.8.
Turbina
Integrador K Σ
G
Compuerta
∆ωr
ωr
ω0
Pm
∆Y
Pe
Σ
R
-
-
Agua / Vapor
Figura 2.8 Regulador de velocidad con caída de velocidad
50
El diagrama de bloques de la función de transferencia puede ser reducido tal como
se indica en la siguiente figura, la cual es típica de un controlador proporcional con
una ganancia 1/R.
Σ K
R
∆ωr 1s ∆Y
-
-
Figura 2.9 Diagrama de bloques con caída de velocidad.
∆ωr 11+sTG
∆Y1R-
Figura 2.10 Diagrama de bloques reducido.
Donde:
El estatismo R está dado a razón de la variación de la velocidad o frecuencia para
cambiar la posición de las compuertas o potencia de salida
Típicamente, el valor del estatismo permanente para reguladores de turbinas
hidroeléctricas se fija cerca del 5%, tal que para una variación del 5% de la velocidad
cause un cambio del 100% en la posición de la compuerta distribuidora, figura 2.11.
51
El estatismo permanente asegura un comportamiento equitativo de la carga eléctrica
entre las unidades conectadas al sistema.
ω en vacio
ω0 = f0
ω a plena carga
∆P
∆f=∆ω
R=∆f/∆P
∆f=f-f0
1.0
Potencia de salida
ó posición de la
válvula
Frecuencia ó
Velocidad
Figura 2.11 Características ideales de estado estable de un gobernador con caída
de velocidad.
2.2.2.2 Requerimientos de un regulador con estatismo transitorio
Para asegurar un comportamiento estable en el regulador de velocidad es necesario
retardar la acción de la compuerta hasta que la potencia de salida se equilibre. Esto
se consigue con un lazo de realimentación que disminuya la ganancia transitoria. Por
lo tanto con ello se consigue un regulador con alto estatismo (baja ganancia) para
desviaciones de alta velocidad y el estatismo bajo (alta ganancia) en estado estable,
figura 2.12.
Σ Servomotor
RP
Velocidad de
referencia
YΣ
Σ
δ sTR
1+sTR
+ +
+
+
ωr
- -
52
Figura 2.12 Regulador de velocidad con estatismo permanente.
Donde
Estatismo permanente
Tiempo de reajuste
Estatismo transitorio
2.2.3 REGULADOR MECÁNICO HIDRÁULICO
Los reguladores de velocidad antiguos utilizaban el sistema mecánico hidráulico para
la regulación de velocidad. Como se observa en la figura 2.13, la detección de la
velocidad, la realimentación del estatismo permanente y las funciones de cálculo son
realizadas a través de componentes hidráulicas. Un amortiguador de aire se utiliza
para realizar la función de estatismo transitorio. Un arreglo de bypass es utilizado
para habilitar el amortiguador deseado.
Flyballs
Varilla de Velocidad
Válvula Piloto
Válvula Relé
Servomotor de la
compuerta
g
a
b
d
Rápido
Lento
Calibrador de velocidad
Válvula tipo aguja
Calibrador de estatismo
permanente
Calibrador de estatismo
Transitorio
Válvula servo
piloto
Compensador
amortiguador
Figura 2.13 Esquema de un regulador mecánico hidráulico
para una hidroturbina.
53
La función de transferencia que relaciona al servomotor y la válvula está dada por la
ecuación (2.18).
(2.18)
La función de transferencia de la válvula piloto y el servo piloto esta expresada en la
ecuación (2.19).
(2.19)
Donde determina la relación de la palanca de realimentación y determina las
zonas de operación de la válvula piloto.
Relacionando las ecuaciones (2.18) y (2.19) se tiene.
(2.20)
Dónde:
= Ganancia del servo piloto
= Constante de tiempo válvula piloto / servomotor
Asumiendo que el flujo de amortiguador a través de la válvula tipo aguja es
proporcional a la del compensador amortiguador, entonces la función de
transferencia queda:
(2.21)
Donde es el estatismo permanente y está dado por la relación de la palanca, es
el tiempo de reajuste y esta dado por el tiempo de ajuste de la válvula de aguja.
El agua es un fluido que no se comprime muy fácilmente, por tanto los movimientos
de las compuertas están limitados. Un cierre muy rápido de las compuertas, puede
hacer que se rompan las tuberías de presión de los inyectores.
54
La figura 2.14 tiene incorporados los efectos de las bandas muertas, cuyas
magnitudes y ubicación son muy difíciles de determinar. Es por esta razón que los
efectos de las bandas muertas en estudios de estabilidad no son considerados.
x
RP
Velocidad de
referencia Σ
Σ
δ sTR
1+sTR
+ +
+
+
ωr
- -
Ks1
1+sTP
1s
Banda
Muerta
Válvula
piloto y
servomotor
Estatismo transitorio
Estatismo Permanente
1+sTG
1
Compuerta del
servomotor
Rmax open
Rmax close
Max. gate
position = 1
Min. gate
position = 0
g
Figura 2.14 Regulador de velocidad para una turbina hidroeléctrica
Parámetros
= Válvula de tiempo y constante de tiempo del servomotor
= Ganancia del servo
= Constante de tiempo del servo
= Estatismo permanente
= Estatismo transitorio
= Tiempo de reajuste
Constantes
Max gate position = Límite máximo de la posición de la válvula
Min gate position = Límite mínimo de la posición de la válvula
= Tasa máxima de la apertura de la válvula
= Tasa mínima de la apertura de la válvula
2.2.4 REGULADOR ELECTROHIDRÁULICO
55
Los reguladores de velocidad modernos son tipo electrohidráulicos ya que con esta
tecnología consigue mejorar los tiempos de operación, debido a que la comparación
de velocidades, realimentación del estatismo transitorio, estatismo permanente y
envió de las señales de control se realiza eléctricamente, su dinámica de
funcionamiento es muy similar a la de un regulador de velocidad mecánico hidráulico.
2.2.5 REGULADOR DE VELOCIDAD CON CONTROL PROPORCIONAL
INTEGRAL Y DERIVATIVO (PID)
Algunos reguladores de velocidad modernos tienen las características de acciones
de control Proporcional –Integral y Derivativa. De esta manera se consigue una
respuesta más rápida del sistema reduciendo e incrementando la ganancia
transitoria. La acción derivativa es beneficiosa para la operación aislada y
particularmente para plantas cuyo tiempo de arranque es o más, figura 2.15.
Σ Servo
Piloto
Servo
CompuertaΣ Σ
Kp
sKD
Rp
K1
sVelocidad
de ref.
ωr
++
-
+
-
+++
+
Figura 2.15 Regulador de velocidad con PID
Los valores típicos son: , y , una alta ganancia derivativa o
un incremento en la ganancia transitoria resultan en excesivas oscilaciones y
probablemente el sistema se vuelva inestable. Por esta razón, la ganancia derivativa
se la considera cero con lo que el regulador se convierte en un regulador PI y este es
equivalente a un regulador mecánico hidráulico. Las ganancias proporcional e
56
integral podrán ser sintonizadas para obtener el estatismo transitorio y el tiempo de
reajuste deseado.
2.2.6 REGULADOR CON CONTROL DOBLE DERIVATIVO
Un regulador doblemente derivativo es una variación del regulador con
características PID. Este regulador está formado por un término proporcional y dos
términos derivativos para procesar la señal de error en la entrada. La suma de estos
tres términos es luego integrada a la salida del controlador del gobernador. este
integrador final puede ser electrónico o hidráulico. El control doblemente derivativo
puede ser usado estratégicamente para obtener un pico de sobrevelocidad al
momento del arranque de la unidad, y esto resulta en un pequeño
sobredesplazamiento en el límite de la posición del actuador. Este controlador
también elimina los efectos producidos por el control proporcional y derivativo cuando
existe un cambio en la referencia. La sintonización típica para un regulador
doblemente derivativo son: para la primera ganancia derivativa (similar al termino
proporcional de un regulador PID), la segunda ganancia derivativa (similar al termino
derivativo de un regulador PID), y en general la ganancia integral. El diagrama de
bloques típicos para un regulador doblemente derivativo se muestra en la siguiente
figura.
K2
K1
bp
s sΣ
Σ Σ
Σ
Velocidad
de ref
ωr
KT
s
+
-
Setpoint Turbina
+
+
+
+
+
+
-
Figura 2.16 Regulador de velocidad con doble derivativo
57
Donde:
= ganancia del primer término derivativo,
= ganancia del segundo término derivativo,
= ganancia integral total,
= estatismo permanente, .
= operador de Laplace
2.3 REPRESENTACIÓN DE TURBINAS HIDRÁULICAS EN
VARIABLES DE ESTADO
Las turbinas hidráulicas son las encargadas de transformar la energía cinética del
agua en energía mecánica, la cual posteriormente se transforma en energía eléctrica
en los generadores.
Las turbinas hidroeléctricas se clasifican de acuerdo al caudal del agua por ello se
han clasificado en dos tipos de turbinas de reacción e impulso.
Turbinas de impulso.- se las conoce como Pelton, y son muy utilizadas en
grandes caídas de agua (mayores a 300 m) donde el flujo del agua no sufre un
cambio de presión importante al paso a través del rodete.
Turbinas de reacción.- son utilizadas para caídas de agua menores, en las que el
flujo del agua sufre un cambio de presión al paso a través del rodete.
Las características transitorias de las turbinas hidráulicas están determinadas por la
dinámica del flujo de agua en la tubería de presión. La conversión de flujo y altura a
potencia en la turbina involucra solamente relaciones no dinámicas.
Los modelos más precisos de presión de agua y flujo en la tubería de presión son
aquellos que tratan el fenómeno como de ondas viajeras.
2.3.1 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LA TURBINA HIDRÁULICA
Una turbina hidráulica está relacionada por las siguientes consideraciones:
· La resistencia del agua es despreciable
58
· La tubería de presión es inelástica y el agua es incomprensible
· La velocidad del agua varía directamente con la apertura de la compuerta y
con la raíz cuadrada del salto o altura neta del agua.
· La potencia de salida de la turbina es proporcional al producto de la altura de
caída del agua y al volumen del flujo
En la figura 2.17 se encuentra el esquema de una planta hidroeléctrica
Generador
Turbina H
U
L
Nivel de embalse
Tubería de presión
Compuerta
Figura 2.17 Esquema de una planta hidroeléctrica
Las características de la turbina así como de la tubería de presión están dadas por
tres conceptos básicos
a. Velocidad del agua en la tubería de presión
b. Potencia mecánica de la turbina
c. Aceleración de la columna de agua
Velocidad del agua en la tubería de presión
La velocidad del agua en la tubería de presión está dada por la ecuación (2.22):
(2.22)
Donde
U = Velocidad del agua
59
= Constante de proporcionalidad
G = Posición de la compuerta
H = Altura de caída del agua
Analizando para pequeños desplazamientos cercanos al punto de operación de
estado estable.
(2.23)
Resolviendo la ecuación diferencial cercana al punto de equilibrio donde H= , G=
y dividiendo para las condiciones iniciales
(2.24)
ó
Donde el subíndice “o” indica que es un valor de las condiciones iniciales, el prefijo ∆
indica que existe una pequeña variación y las letras con énfasis “-” indica que están
en valores base.
Potencia mecánica de la turbina
La potencia de una turbina hidráulica es directamente proporcional a la presión y al
caudal de agua.
(2.25)
Analizando para pequeños desplazamientos cercanos al punto de operación de
estado estable.
(2.26)
Resolviendo la ecuación diferencial cercana al punto de equilibrio donde ,
y dividiendo para las condiciones iniciales obtiene:
60
ó
(2.27)
Sustituyendo de la ecuación (2.24) se llega:
(2.28)
También se puede remplazar
(2.29)
Aceleración de la columna de agua
Esta aceleración se debe a la energía potencial, basada en la segunda ley de
Newton.
(2.30)
Donde:
ρ = Densidad de la masa del agua
L = Longitud de la tubería de presión
A = Área de la tubería de presión
= Aceleración debida a la gravedad
ρLA = Masa del agua dentro de la tubería de presión
= Cambio incremental de la presión sobre la compuerta de la turbina
t = Tiempo en segundos
La ecuación de aceleración (2.30) normalizada en por unidad (dividiendo por
)
(2.31)
ó
61
Donde
(2.32)
La variable , representa el tiempo que tarda el agua almacenada a una cierta
altura H en adquirir una velocidad U, a esta constante se la define como constante de
arranque del agua. El rango de valores típicos de en una central a plena carga es
entre 0,5 y 4 segundos
La ecuación (2.31) representa una característica de las plantas hidroeléctricas, que
indica que la aceleración es negativa ante un cambio en la presión al final de la
tubería. Esto es debido a que se genera un vacío en el flujo del caudal de agua por la
tubería por la apertura o cierre de válvula.
Las ecuaciones (2.24) y (2.31) pueden ser expresadas en función del cambio de
velocidad y la apertura de la compuerta.
(2.33)
Aplicando Laplace a la ecuación anterior
(2.34)
Despejado
(2.35)
Remplazando en la ecuación de la potencia mecánica (2.29) se obtiene:
(2.36)
62
La ecuación (2.36) representa la función clásica de transferencia de una turbina
hidráulica ideal, sin pérdidas. Donde se aprecia que la potencia mecánica de la
turbina está directamente relacionada con el cambio de apertura o cierre de la
turbina.
2.3.2 TURBINA HIDRÁULICA NO IDEAL
Para el análisis de una turbina real se consideran las pérdidas en la turbina así como
en la velocidad del agua. La expresión representa la variación de la velocidad.
(2.37)
(2.38)
Donde:
Las variaciones de la velocidad para pequeñas perturbaciones pueden ser
despreciadas ya que si el generador está acoplado a un sistema eléctrico dichas
variaciones son insignificantes.
Por lo tanto, las ecuaciones quedarían
(2.39)
(2.40)
Remplazando las ecuaciones (2.39) y (2.40) en las ecuaciones (2.24) y (2.28)
respectivamente se obtiene la función de transferencia:
63
(2.41)
Los valores típicos para una turbina ideal son
0.5 0 1
1.5 0 1
2.3.3 CARACTERÍSTICAS DE LAS TURBINAS HIDRÁULICAS
La función de transferencia de una turbina hidráulica presenta una característica
especial, dada por un polo y un cero. El polo en el plano izquierdo determina que la
función de transferencia es estable, pero el cero en el lado derecho indica que las
condiciones iniciales de la potencia de salida presenta un cambio opuesto al de la
apertura de la válvula de la turbina. Esto es debido a que el flujo de agua no cambia
inmediatamente, por efecto de la inercia del agua.
Usando el teorema de valor inicial en la ecuación (2.41)
Teorema del valor final
64
Fig. 2.18: Respuesta de la turbina a la apertura de la válvula
La figura 2.18 indica el comportamiento de la turbina ante la apertura de las válvulas.
Como se puede apreciar el cambio de la posición de la compuerta genera un cambio
opuesto en la potencia de salida de la turbina.
Este modelo es muy usado en la sintonización de los sistemas de control mediante
técnicas de análisis lineal. Debido a su simplicidad en este modelo están embebidas
las características de respuesta de una turbina hidráulica.
La respuesta en el tiempo de la función de transferencia está dada por la ecuación
(2.42):
(2.42)
2.4 MODELACIÓN DE LA PLANTA TURBINA HIDRÁULICA –
REGULADOR DE VELOCIDAD - GENERADOR CON EL
PROGRAMA COMPUTACIONAL DIGSILENT POWER
FACTORY
Se analiza cada uno de los elementos que conforman el sistema de regulación de
velocidad y turbina hidráulica. Para la modelación de dichos elementos se utiliza el
65
programa computacional DigSILENT Power Factory, el cual cuenta con módulos de
simulación dinámica y transitoria para estudios de estabilidad, además de las
funciones propias para dicho estudio como son: la comprobación de las condiciones
iniciales del sistema en estudio, el flujo de potencia, la definición de los tiempos de
simulación, análisis modal y la identificación de parámetros.
Para la modelación de la planta turbina hidráulica – regulador de velocidad –
Generador se utiliza una de las unidades de la Central Hidroeléctrica Paute de la
Fase AB en el programa computacional DIgSILENT Power Factory.
2.4.1 CARACTERÍSTICAS DE LA CENTRAL HIDROELÉCTRICA PAUTE FASE
AB
La central Hidroeléctrica Paute de la Fase AB cuenta con 5 generadores Siemens de
origen Alemán, cuyas características son idénticas. En las tablas 2.1, 2.2 y 2.3 se
detallan los parámetros eléctricos y mecánicos de la misma.
Tabla 2.1: Características eléctricas de una unidad de generación de Paute AB Parámetros eléctricos
Potencia 111 MVA
Tensión Nominal 13,8 kV +5%
Corriente Nominal 4643,9 A
Frecuencia 60Hz
Factor de Potencia 0,9
Numero de fases 3
Clase de Aislamiento B
Numero de Polos 20
Conexión del estator Estrella
Velocidad de Rotación 360 rpm
Reactancia del eje directo Xd [p.u] 1,09
Reactancia del eje de cuadratura [p.u] 0,74
Límite de potencia reactiva mínima [MVAr] -60
Límite de potencia reactiva máxima [MVAr] 60
Reactancia secuencia cero Xo [p.u.] 0,11
Reactancia secuencia negativa X2 [p.u.] 0,195
66
Parámetros eléctricos
Resistencia secuencia negativa R2 [p.u.] 0,00042
Reactancia eje directo subtransitorio xd’’ saturada [p.u.] 0,0975
Resistencia del estator [p.u.] 0,00284
Relación de corto circuito 1,02
Constante de inercia H [MJ/MVA] 3,604
Constante de tiempo transitoria de eje directo Td’’, corto circuito [s] 2,257
Constante de tiempo subtransitoria de eje directo Td’’ corto circuito [s] 0,026
Constante de tiempo subtransitoria de eje cuadratura Tq’’ cortocircuito [s]
0,038
Reactancia eje directo transitoria Xd’ [p.u.] 0,35
Reactancia eje directo subtransitoria Xd’’ [p.u.] 0,0975
Reactancia eje cuadratura subtransitoria Xq’’ [p.u.] 0,0975
Tabla 2.2: Características mecánicas de una unidad de generación de Paute AB Parámetros mecánicos y físicos
Peso Radio
Rodete 14600 kg 1,815 m
Eje y Aux 20453 kg 0,39 m
Rotor 214000 kg 2,241 m
Tabla 2.3: Características físicas de la tubería de la central Paute AB Altura Total = 669 m
Longitud = 809,8 m
Radio de la tubería = 0,777 m
Eficiencia = 0,87
La Fase AB de la central Hidroeléctrica Paute Molino se encuentra conectada al
sistema nacional interconectado a través de dos transformadores de potencia cuyas
características se indican en la tabla 2.4.
Tabla 2.4: Características de los transformadores de Paute AB Transformador 1 Transformador 2
Tipo Trifásico Tridevanado
Potencia 114 MVA 375
Voltaje primario 13,8 kV 138 kV
Voltaje secundario 138 kV 230 kV
Núm. de fases 3 3
67
Frecuencia 60 Hz 60 Hz
Xo 0,118 p.u 0,129
El modelo general de la planta a implementada en DIgSILENT Power Factory se
indica en la figura 2.19, y la tabla siguiente se detalla las características de la carga.
G
Trans 1 Trans 2
13.8 kV 138 kV 230 kV
Figura 2.19 Red de prueba
Tabla 2.5: Datos de generación y carga con fp. 0.9 en atraso Potencia [MVA] Potencia Activa [MW] Potencia Reactiva [MVAr]
Generador de Paute AB 111 99,9 48,38
Carga 1 [80%] 88,8 79,92 38,704
Carga 2 [10%] 8,88 7,992 3,8704
Donde la carga 2 es una carga adicional que posteriormente es usada para los
eventos de variación de carga.
2.4.2 PROCEDIMIENTO PARA LA MODELACIÓN DE LOS ELEMENTOS DE
CONTROL DE LA PLANTA EN EL PROGRAMA DIGSILENT POWER
FACTORY
Para la modelación de los elementos de control primero se debe obtener la
información del modelo a analizarse, una forma de obtener esta información es el
modelo provisto por el fabricante del equipo, otra son los equipos de investigación
entre, ellos está el IEEE.
El modelo del elemento de control puede estar dado por ecuaciones diferenciales o
funciones de transferencia. Para el modelamiento de los elementos de control, el
programa contiene una herramienta de simulación en lenguaje DSL, se parte de los
diagramas de bloques, que es la representación disponible más común de los
68
dispositivos de control. Para el desarrollo de estos modelos DigSILENT Power
Factory tiene dos formas de implementación de los modelos de control:
· Desarrollo a través del código del lenguaje de simulación DSL
· Desarrollo gráfico empleando bloques predefinidos en el programa
La diferencia está en que en la segunda forma no se requiere de un desarrollo en el
lenguaje DSL, ya que las ecuaciones están inmersas en los diagramas de bloques de
la biblioteca del programa.
Una vez que se tiene la información del modelo de control a implementarse en una
máquina sincrónica se debe crear un Modelo Compuesto (Composite Model), que es
una herramienta utilizada para administrar los elementos asociados en el
funcionamiento del generador y hace referencia al marco compuesto (Composite
Frame), la cual es una estructura donde se definen las interfaces o vías de
comunicación de las distintas señales o bloques dentro del Modelo Compuesto. En
las figuras 2.20, 2.21 y 2.22 se puede observar lo antes expuesto.
Power
System
Stabilizer
(PSS)
Turbina
(PMU)
Regulador de
velocidad
(PCO)
Regulador de
Voltaje
(VCO)
Generador
(Elm Sym)
U
P
∆f
Figura 2.20 Representación del modelo compuesto
Para crear el modelo compuesto se debe de ubicar en la base de Datos, se
selecciona el área (Grid) donde está el generador, luego crear un nuevo objeto, el
cual despliega un menú de selección de elementos donde se selecciona Modelo
Compuesto para la creación del mismo.
69
Figura 2.21 Selección del modelo compuesto
Luego de esto se despliega otro menú para la selección del marco compuesto, en el
submenú seleccionar se escoge de la biblioteca el Marco o Frame, el cual es una
interfaz entre los distintos elementos de un generador, ya que este contiene los slots
que componen el modelo compuesto. En la figura 2.22 se puede observar el menú de
selección del Composite Frame.
Figura 2.22 Selección de los slots
Una vez seleccionado el Frame se procede a seleccionar los elementos asociados al
generador, en la fila que contiene sym Slot se selecciona el generador al cual se
implementan los elementos de control. Para el análisis de estabilidad de pequeña
señal de sistemas de regulación de velocidad solo se implementa el regulador de
velocidad. En este proyecto se analiza a la unidad de Paute con modelo de regulador
70
de velocidad pcu_IEEEG3, el cual está definido en la biblioteca de DIgSILENT Power
Factory.
2.4.2.1 Características principales del regulador de velocidad IEEEG3
El sistema de regulación de velocidad IEEEG3 está formado por los siguientes
bloques: Banda Muerta, válvula piloto, válvula distribuidora y servomotor de
inyectores e inyectores controlados por el regulador. El servomotor de compuertas
puede ser limitado para cambios de grandes excursiones de velocidad. Sin embargo,
la realimentación de caída transitoria reduce la probabilidad de limitación por
velocidad de cambio en análisis de estabilidad. Existen límites de posición que
corresponden a los extremos de apertura de los inyectores.
2.4.3 SINTONIZACIÓN DE LOS SISTEMAS REGULADORES DE VELOCIDAD
Para la sintonización de los reguladores de velocidad se utiliza la técnica de
estimación de parámetros, que consiste en determinar los parámetros mediante
minimización del error entre la respuesta que genera el sistema y la respuesta de un
modelo de referencia, en este caso es un sistema de segundo orden. Para ello se
debe tomar en consideración 2 puntos importantes:
· Operación estable bajo la condición de sistema aislado u operación aislada
· Velocidad de respuesta aceptable para tomar y rechazar carga bajo
operación normal del sistema
Bajo la condición de isla lo recomendable es calibrar las constantes de estatismo
transitorio y tiempo de reajuste en función de las constantes del agua y la
inercia del generador. Las ecuaciones (2.43), (2.44) muestran la relación indicadas [9].
(2.43)
(2.44)
71
Adicionalmente, la ganancia del servomotor debe ser sintonizada lo más alta
posible. Con la correcta calibración de estas constantes en el regulador de velocidad,
se asegura un buen funcionamiento en la condición de isla, que es la condición más
crítica.
Para una buena estabilidad del control de velocidad en modo aislado la sintonización
del regulador de velocidad muestra un conflicto para cambios rápidos de carga bajo
operación sincrónica. Para cambios rápido de carga lo deseable es que el regulador
tenga también un cambio rápido, sin embargo, si la respuesta es muy rápida causa
una inestabilidad de frecuencia.
Para la segunda condición, cuando el sistema se encuentra en la condición de toma
y rechazo de carga dentro de un sistema eléctrico, la sintonización bajo las
condiciones de las ecuaciones (2.43) y (2.44) puede causar que la respuesta sea
muy lenta. En este caso lo recomendable es que el tiempo de reajuste sea menor
a 1,0, en lo posible alrededor de 0,5 s.
Para el correcto funcionamiento del regulador de velocidad bajo estas condiciones se
aconseja usar el bypass del estatismo transitorio como:
- Con el estatismo transitorio sin bypass las ecuaciones deben satisfacer los
requisitos para condiciones en condición aislada
- Con el estatismo permanente con bypass el tiempo de reajuste toma un
valor reducido a fin de que las velocidades de respuesta sean aceptables para
tomas de carga.
Un método conveniente para analizar los efectos de las variaciones de estos
parámetros en la estabilidad de oscilaciones de frecuencia es mediante el análisis de
los valores propios que describen el comportamiento del sistema.
En la figura 2.23 se muestra la respuesta del generador ante la variación de los
principales parámetros que influyen en la calibración de un sistema regulador de
velocidad. Se realiza una prueba de variación de +10% de la potencia de referencia
(psetp) en el regulador de velocidad IEEEG3. Los parámetros que se variaran son el
estatismo transitorio , tiempo de reajuste y la ganancia del servomotor .
72
Figura 2.23 Velocidad del generador en la prueba de +10% de psetp y con variación de .
En la figura 2.23 se puede ver que mientras más pequeño es el parámetro la
respuesta del regulador de velocidad es más rápida, por lo que el sistema comienza
a oscilar, pero a medida que este aumenta la respuesta es más lenta y el sistema
comienza a ser más amortiguado.
Lo recomendable es que la respuesta del sistema se asemeje a la de un sistema de
segundo orden amortiguado. En la tabla 2.6 se indican los efectos que tiene la
variación del parámetro en los modos de oscilación, para ello se utiliza la
herramienta de análisis modal del programa computacional DIgSILENT Power
Factory.
Tabla 2.6: Efectos de la variación del tiempo de reajuste en el regulador de velocidad de un sistema aislado.
Parámetros del regulador Modos
Ks Delta Tr 4 5 6 7 8 Frec Hz Amort Frec Hz Amort
5 0,3957 1,5 -3,973 -1,112 -0,047 + 0,415i -0,047 + 0,415i -0,293 0,066 0,113
5 0,3957 2,5 -3,818 0,772 -0,124 + 0,349i -0,124 + 0,349i -0,334 0,056 0,335
5 0,3957 5.705 -3,702 -0,439 + 0,407i -0,439 + 0,407i -0,171 + 0,124i -0,171 + 0,124i 0,065 0,733 0,020 0,812
5 0,3957 10 -3,666 -0.446 + 0,495i -0.446 + 0,495i -0,140 + 0,033i -0,140 + 0,033i 0,079 0,669 0,005 0,973
5 0,3957 15 -3,65 -0.446 + 0,527i -0.446 + 0,527i -0,19 -0,068 0,084 0,646
60.00047.98035.96023.94011.920-0.1000 [s]
1.008
1.006
1.004
1.002
1.000
0.998
PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de Tr=1.5)PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de Tr=2.5)
PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de Tr=5.705)PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de Tr=10)
PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de Tr=15)PAUTE_AB: Velocidad, Estado Estable
8.418 s 1.007 p.u.
8.518 s 1.006 p.u.
8.718 s 1.005 p.u.
9.618 s 1.004 p.u.
9.218 s 1.004 p.u.
73
La tabla 2.6 contiene los valores propios asociados con la variación de .
Se nota que mientras más bajo es este parámetro, el amortiguamiento también lo es.
Nótese además que el amortiguamiento puede llegar a tomar su máximo valor
alrededor del valor dado por la ecuación (2.43) para un sistema aislado. La
frecuencia en cambio continúa subiendo a medida que aumenta , por lo que se
podría decir que el parámetro está relacionado con el amortiguamiento de este
modo de oscilación, que repercute en el amortiguamiento del sistema aislado.
En la figura 2.24 se muestra el efecto que tiene la variación del el estatismo
transitorio en la prueba de variación de +10% de la potencia de referencia psetp.
Figura 2.24 Velocidad del generador en la prueba de +10% de psetp y con variación del estatismo transitorio
En la figura 2.24 se puede ver que la variación del estatismo transitorio, tiene un
comportamiento similar al tiempo de reajuste , mientras más pequeño es la
velocidad de respuesta del regulador de velocidad es más rápida, por lo que el
generador tiene un amortiguamiento bajo, es decir el sistema es más oscilatorio,
pero a medida que esté aumenta la respuesta es más lenta y el sistema es mucho
más amortiguado.
45.00035.98026.96017.9408.9200-0.1000 [s]
1.008
1.006
1.004
1.002
1.000
0.998
PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de delta=0.20)PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de delta=0.25)
PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de delta=0.30)PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de delta=0.35)
PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de delta=0.45)PAUTE_AB: Velocidad, Estado Estable
6.818 s 1.006 p.u.
7.118 s 1.006 p.u.
7.418 s 1.005 p.u.
8.018 s 1.005 p.u.
10.018 s 1.004 p.u.
74
En la tabla 2.7 se encuentran tabulados los modos relacionados a la variación del
estatismo transitorio .
Tabla 2.7: Efectos de la variación del estatismo transitorio en el regulador de velocidad de un sistema aislado.
Parámetros del regulador Modos
Ks Delta Tr 4 5 6 7 8 Frec Hz Amort Frec Hz Amort
5 0,2 5,705 -3,019 -0,151 + 0,593i -0,151 + 0,593i -0,212 + 0,069i -0,212 + 0,069i 0,094 0,247 0,011 0,951
5 0,25 5,705 -3,163 -0,229 + 0,555i -0,229 + 0,555i -0,206 + 0,086i -0,206 + 0,086i 0,088 0,381 0,014 0,923
5 0,3 5,705 -3,327 -0,304 + 0,509i -0,304 + 0,509i -0,198 + 0,102i -0,198 + 0,102i 0,081 0,513 0,016 0,889
5 0,35 5,705 -3,513 -0,376 + 0,457i -0,376 + 0,457i -0,185 + 0,115i -0,185 + 0,115i 0,073 0,635 0,018 0,849
5 0,45 5,705 -3,951 -0,507 + 0,346i -0,507 + 0,346i -0,155 + 0,129i -0,155 + 0,129i 0,055 0,826 0,021 0,769
Con los datos anteriores se puede notar que a medida que aumenta el estatismo
transitorio la velocidad de respuesta del sistema también lo hace, esto se puede
concluir analizando los modos asociados a esta variación. El amortiguamiento de los
modos 5 y 6 aumenta haciendo que el sistema sea más amortiguado, mientras la
frecuencia disminuye; no obstante este efecto es contrario para los modos 7 y 8,
donde la frecuencia aumenta y el amortiguamiento decae desde un amortiguamiento
alto hacia uno amortiguamiento que sin embargo no es tan bajo.
El efecto que tiene la variación del estatismo transitorio se podría decir que ayuda al
aumento del amortiguamiento del sistema acompañado de una disminución en el
tiempo de establecimiento del sistema. En la figura 2.25 se observa el efecto que
tiene el sistema ante la variación de la constante de tiempo del servomotor .
75
Figura 2.25 Velocidad del generador en la prueba de +10% de psetp con variación
de la constante de tiempo del servomotor
La variación de la ganancia del servomotor tiene un comportamiento similar al de
las otras dos variables es decir, a medida que aumenta el sistema se amortigua
pero no tan rápidamente como en los dos casos anteriores. En la tabla 2.8 se
encuentran tabulados los valores propios asociados al cambio de .
Tabla 2.8: Efectos de la variación ganancia del servomotor en el regulador de
velocidad de un sistema aislado
Parámetros del regulador Modos
Ks Delta Tr Modo 4 Modo 5 Modo 6 Modo 7 Modo 8 Frec Hz Amort Frec Hz Amort
2,5 0,3957 5,705 -2,558 -0,326 + 0,346i -0,326 + 0,346i -0,175 + 0,133i -0,175 + 0,133i 0,055 0,686 0,021 0,796
5 0,3957 5,705 -3,702 -0,439 + 0,407i -0,439 + 0,407i -0.171 + 0,124i -0,171 + 0,124i 0,065 0,733 0,020 0,812
10 0,3957 5,705 -9,923 -0.533 + 0,418i -0.533 + 0,418i -0.170 + 0,120i -0,170 + 0,120i 0,067 0,787 0,019 0,817
En la tabla 2.8 se puede notar que la variación en este parámetro influye en la
rapidez con la que actúa la válvula del servomotor y esta constante de tiempo está
asociada con el modo 4. Su influencia dentro del sistema es casi imperceptible ya
que este parámetro no actúa sobre un modo oscilatorio.
45.00035.98026.96017.9408.9200-0.1000 [s]
1.00625
1.00500
1.00375
1.00250
1.00125
1.00000
0.99875
PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de Tg=2.5)PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de Tg=5.0)
PAUTE_AB: Velocidad, con +10% de Potencia nominal (Valor de Tg=10)PAUTE_AB: Velocidad, Estado Estable
10.518 s 1.005 p.u.
9.418 s 1.005 p.u.
9.618 s 1.004 p.u.
76
Se puede observar que los modos 5, 6, 7 y 8 ante esta variación mantienen su
frecuencia y amortiguamiento casi estables, por esta razón el sistema tiene una
respuesta casi imperceptible cuando se varía este parámetro.
2.5 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA, VARIABLES DE ENTRADA
Y SALIDA DE LA PLANTA
En la figura 2.77 se indica el modelo compuesto de la planta implementada en
DigSILENT Power Factory, donde se puede observar todas las variables de entrada y
salida de los distintos interfaces de los elementos de control asociados al generador.
Figura 2.26 Modelo compuesto de la planta
cosn
sgnn
w
pgt
pt
ui
ur
i_i
i_r
xmt
xme
fe
pgt(1..
u(1)
ie
w(1)
upss
pg
u
ve
vco slotE lmVco*
curgn
ps ie
pg
qg
a
b
c
a
b
c
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0
1
2
3
pcu SlotE lmPcu*
fe
psco
pturb
c
d
e
f
g
h
pturb
a
b
c
d
e
f
g
h
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
sym SlotE lmSym*
xm dm
a
b
c
d
e
f
g
h
i1:bus1
ps ie
Qsum :bus1
b
c
d
ee
g
h
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2020
22
23
pss slotE lmPss*
b
c
a
b
c
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
77
En las tablas 2.9 y 2.10 se encuentran descritas las principales variables de entrada y
salida del generador, para el modelo compuesto de la planta.
Tabla 2.9: Variables de entrada del generador
Variables de entrada
Ve Voltaje de excitación
pt Potencia de la turbina
Tabla 2.10: Variables de salida del generador Variables de salida
S Potencia aparente
q Potencia reactiva total
p Potencia activa total
pgt Potencia eléctrica
U Voltaje terminal
I Corriente eléctrica
w Velocidad
fe Frecuencia eléctrica
ie Corriente de excitación
cosn Factor de potencia nominal
pset Potencia activa de operación
sgn n Potencia aparente nominal total
xmt Torque mecánico
xe Torque eléctrico
En la figura 2.27 se muestra el diagrama de funciones de transferencia del regulador
de velocidad IEEEG3 implementado en DigSILENT Power Factory con el nombre de
pcu_IEEEG3.
78
Figura 2.27 Diagrama de la función de transferencia del regulador de velocidad
IEEEG3 En la tabla 2.11 se indican las variables de entrada y salida del regulador de
velocidad IEEEG3 implementado en DIgSILENT Power Factory:
Tabla 2.11: Variables de entrada del regulador de velocidad pcu_IEEEG3
Nombre Descripción
Variables de entrada
Pgt Potencia eléctrica
sgnn Potencia nominal aparente
cosn Factor de potencia
psetp Señal paso de potencia
W Velocidad
Variables de salida
Nombre Descripción
pt Potencia eléctrica de la turbina
pturb Potencia mecánica de la turbina
En la tabla 2.12 se encuentran descritos los parámetros del regulador de velocidad
IEEEG3 y sus rangos de calibración.
pgt
sgnn
cosn
pt
pturbatdw
wo
w
pref
psco
psetp
-
-
ksT/(1+sT)delta,Tr
KSigma
{1/s}
Pmax
Pmin
{1/(1+sT)}Tp
Uo
Uc
1/KTg
KSigma
Turb(1)Pturb
0
1
2
3a23(1+(a11-a13a21/a23)sTw)/(1+a11sTw)
a11,a13,a21,a23,Tw
pcu_IEEEG3: IEEE Type 3 Speed-Governing Model
4
3
5
0
1
2
1
0
DIg
SIL
EN
T
79
Tabla 2.12. Descripción, valores y rangos de parámetros de las variables del
pcu_IEEEG3 para el sistema aislado
Descripción
Parámetros Fase AB
Rango de Parámetros
Característica de regulación permanente 0,05 0 < < 0,1
Tg Constante de tiempo del servomotor de compuerta 0,2 4* < < 1,0
Tp Constante de tiempo de la válvula piloto 0,04 4* < < 0,1
Delta Caída temporal 0,3957 0.2< <1,0
Tr Constante de tiempo del regulador 5.705 1,0 < < 50
a11 Primer Contante transitoria de la turbina 0,5 0 < < 1,5
a13 Segunda Contante transitoria de la turbina 1 0 < < 1,5
a21 Tercera Contante transitoria de la turbina 1,5 0 < < 1,5
a23 Cuarta Contante transitoria de la turbina 1 0 < < 1,5
Tw Constantes de tiempo del agua 1,141 4* < < 10
Pturb Potencia de la turbina 0 0 ≤ ≤1
Uc Límite de velocidad de cierre -0,2 -0.3 ≤ ≤ 0
Pmin Potencia mínima 0 0,5 ≤ ≤ 0,5
Uo Límite de velocidad de apertura 0,2 0 ≤ ≤0,3
Pmax Potencia máxima 1 0,5 ≤ ≤ 1
2.5.1 ANÁLISIS DE LA CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD DE LA
PLANTA
El análisis de controlabilidad y observabilidad permite determinar las características
de respuesta de los elementos de un sistema. Este análisis se lo realiza con la
ayuda del programa computacional Matlab, para dicho análisis se utiliza la función
linearize que permite linealizar un modelo no lineal en un punto de operación.
Primero se introduce el modelo en el módulo Simulink de Matlab, con todos sus
parámetros, luego se define las entradas y salidas. Una vez seleccionadas las
entradas y salidas del modelo en la ventana de trabajo de Matlab se ejecuta la
función linearize (‘Modelo’).
2.5.1.1 Análisis de controlabilidad y observabilidad del generador representado por el
modelo clásico
El análisis de observabilidad y controlabilidad del generador se realiza a partir de su
modelo clásico dado en la sección 2.1.1. El cálculo de los parámetros del generador
se presenta en el Anexo 1.
80
En las ecuaciones (2.45) y (2.46) se describe el modelo del generador de la sección
2.1.1 en variables de estado linealizadas por medio de Matlab.
11
0
2
1
466,21095
1387,00
2
1u
x
x
x
x
dt
dúû
ùêë
é+ú
û
ùêë
éúû
ùêë
é--
=úû
ùêë
é (2.45)
[ ] [ ] [ ] 10
2
103771 u
x
xy
dt
d+ú
û
ùêë
é= (2.46)
Donde:
Variación del ángulo delta
Variación de la velocidad
Variación del torque mecánico
Variación del ángulo delta
De esta manera el generador representado por el modelo clásico es un sistema de
segundo orden, con esta información se parte a encontrar la matriz de
controlabilidad, aplicando la ecuación descrita en 1.7.1,
se obtiene la matriz:
úû
ùêë
é-
=466,21
1387,00Co (2.47)
Si el sistema es controlable debe cumplir con la condición de que el rango de su
matriz de controlabilidad es igual al número de variables de estado, con lo que su
determinarte debe ser distinto de cero. El número de filas o columnas es igual a su
rango.
81,303)det( =Co (2.48)
Como se puede observar el determinante en la ecuación (2.48) es distinto de cero,
por lo tanto el rango de la matriz es igual a 2, con lo que el sistema es
completamente controlable.
81
A continuación se muestra la matriz de observabilidad (2.49)
descrita en la sección 1.7.2, donde:
úû
ùêë
é=
2889,520
0377Ob (2.49)
Para establecer si el sistema es observable debe cumplir con la condición de que el
rango de su matriz de manera similar sea igual al número de variables de estado, con
lo que su determinarte debe ser distinto de cero.
9,19712)det( =Ob (2.50)
Como se observa el determinante en (2.50) es distinto de cero, por lo tanto el rango
de la matriz es 2 y consecuentemente el sistema es completamente observable.
2.5.1.2 Análisis de controlabilidad y observabilidad del regulador de velocidad y turbina
hidroeléctrica
A continuación se analiza la controlabilidad y la observabilidad del sistema regulador
de velocidad y turbina hidráulica IEEG3 descrito en la sección 2.4.2.1.
La matriz de variables de estado que describe el sistema regulador de velocidad y
turbina hidráulica calculado en Matlab está dado por las ecuaciones (2.51) y (2.52):
1
1
0
0
0
4
3
2
1
2504457,006936,0
0753,110
125000
0011753,0
4
3
2
1
u
x
x
x
x
x
x
x
x
dt
d
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
+
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
--
-
-
=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
(2.51)
82
[ ] [ ] [ ] 10
4
3
2
1
0259.5201 u
x
x
x
x
ydt
d+
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
-= (2.52)
Donde
Suma de las respuestas de los estatismos
Posición de la válvula
Torque de salida de la turbina
Velocidad de respuesta del servomotor
Torque de salida de la turbina
Cambio requerido de torque mecánico
La matriz de controlabilidad es (2.53):
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
-
-
-
=
2504457,006936,0
0753,110
125000
0011753,0
Co (2.53)
Donde el determinante de la matriz de controlabilidad es (2.54):
610*08,3)det( =Co (2.54)
Por lo que se concluye que el sistema regulador de velocidad turbina hidráulica es
controlable.
Calculando la matriz de observabilidad (2.55) se tiene:
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
--
-
--
-
=
62,15986319,2886,3080478,482
12,6907154,16251,10234,17
2502155,9257,50
0257,520
Obs (2.55)
83
Donde el determinante de la matriz de controlabilidad (2.56) es:
610*3,3)det( =Ob (2.56)
Por lo que el sistema regulador de velocidad - turbina hidráulica es observable.
2.5.1.1 Análisis de controlabilidad y observabilidad de la planta
En la figura 2.29 se muestra el diagrama de bloques del modelo general de la planta
representada por el modelo clásico del generador con su respectiva turbina hidráulica
y regulador de velocidad IEEEG3. En este sistema se procede a analizar su
controlabilidad y observabilidad.
Los valores de los parámetros del modelo clásico de la máquina sincrónica son
presentados en el Anexo 1.
RP
Σ
Σ
RTsTR
1+sTR
-
+
+
∆ωr
-
Ks1
1+sTP
1s
Válvula
piloto y
servomotor
Estatismo transitorio
Estatismo Permanente
1+0,5Tws
1-Tws
Turbina
Rmax open
Rmax close
Max. gate
position = 1
Min. gate
position = 0
Po
Σ 1
2H s
KD
ω0
s
KS
+
-
-
∆ωr∆δ
Componente de torque
sincronizante
Componente de torque
amortiguador
∆Te
∆Tm
Fig. 2.29: Diagrama de bloques de la planta
84
El sistema matricial en variables de estado de la planta generador, regulador de
velocidad y turbina hidráulica está dado por las ecuaciones (2.57) y (2.58).
1
0
0
0
0
1
0
6
5
4
3
2
1
00001387,00
025009512,01387,0007909,0
00753,1100
01250000
10950259,52466,20
000101753,0
6
5
4
3
2
1
u
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dt
d
úúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêê
ë
é-
+
úúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêê
ë
é
úúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêê
ë
é
---
-
---
-
=
úúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêê
ë
é
(2.57)
[ ] [ ] [ ] 10
6
5
4
3
2
1
377000001 u
x
x
x
x
x
x
ydt
d+
úúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêê
ë
é
= (2.58)
Donde:
Compensación de caída transitoria
Velocidad
Integrador del regulador de velocidad
Turbina
Válvula piloto y servomotor
Integrador de la velocidad
Variación del ángulo
Variación de la carga
La matriz de controlabilidad (2.59) es:
úúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêê
ë
é
--
--
-
--
---
-
=
54,2663622,1062218,203420,01387,00
641,43840129,16823673,738095,31387,00
9671,1005858,50613375,17000
1359,21026692,917019,47633,1700
76,14310262,19203733,76879,145466,21
93,9254231,4793375,17000
Co (2.59)
85
Cuyo determinante tiene el valor de:
81,303)det( =Co (2.60)
Por lo que se puede concluir que el sistema regulador de velocidad turbina hidráulica
es controlable, ya que el rango es igual al número de ecuaciones en variables de
estado.
Calculando la matriz de observabilidad (2.61) se tiene:
úúúúúúúú
û
ù
êêêêêêêê
ë
é
---
--
--
---=
94,4401572728,791925319,27811359,15597876,1004155704,3129
23,8347868671,393422818,3805850,1533001,4019739,130
84,14119647,130721937,1160886,52362,76230
44,57257099,274571,10494,1280
0000289,520
37700000
Obs (2.61)
Donde el determinante de la matriz de observabilidad es:
1610*71,2)det( =Ob (2.62)
Por lo que se puede concluir que el sistema regulador de velocidad turbina hidráulica
es observable, ya que el rango es igual al número de variables de estado.
86
CAPÍTULO 3
APLICACIÓN A SISTEMAS ELÉCTRICOS DE PRUEBA
El modelo de un sistema eléctrico de potencia para estudios de estabilidad debe
reflejar el comportamiento real del mismo frente un determinado fenómeno, evaluado
mediante la comparación de los resultados de simulación con los registros
oscilográficos.
Para la modelación de un sistema se requiere conocer sus características, como por
ejemplo: tamaño del sistema, número y tipos de generadores, dependencia de
cargas con la frecuencia, entre otras.
En este capítulo se presenta el análisis para pequeña señal del sistema de
regulación de velocidad IEEEG3, tanto en un sistema aislado como incorporado al
sistema de 9 barras del IEEE. Las simulaciones para dicho análisis se realizan en el
programa computacional DigSILENT Power Factory.
Los casos de estudio para el análisis de estabilidad de pequeña señal comprenden
los siguientes:
· Simulación del generador de la fase AB de la central Paute-Molino con su
respectivo regulador de velocidad funcionando de manera aislada.
· Simulación de los generadores del sistema de prueba 9 barras del IEEE con
un regulador de velocidad en uno de los generadores.
· Análisis de resultados de las respuestas dinámicas en el tiempo y la
frecuencia
· Comparación de los índices de las respuestas dinámicas con valores estándar
del IEEE.
87
3.1 SISTEMA GENERADOR DE LA FASE AB DE LA CENTRAL
PAUTE MOLINO – BARRA INFINITA
Para verificar el funcionamiento del regulador de velocidad se utiliza un sistema
asilado compuesto de una de las unidades de la fase AB de la Central Hidroeléctrica
Paute - Molino.
3.1.1 DESCRIPCIÓN DE LA PLANTA GENERAL
La modelación de una unidad generadora de la central Hidroeléctrica Paute –Molino,
se realiza al 80% de su capacidad nominal alimentando a una carga 1, independiente
de las variaciones de voltaje y frecuencia, a través de 2 transformadores de elevación
de 13,8 kV a 138 kV y de 138 kV a 230 kV, como se muestra en la figura 3.1. Una
carga 2, independiente también de las variaciones de voltaje y frecuencia, se utiliza
para las pruebas de variaciones de carga, cuyas características se indican en las
tablas 2.1 a 2.5 del Capítulo 2.
Figura 3 1 Planta general de una unidad de la fase AB de Paute - Molino
Tra
nsfo
rmad
or_1
-87.96-44.9491.77
88.1956.2791.77
Transf ormador_2
-87.91-42.5727.90
87.9644.9427.90
-0.0
0-0
.00
27.9
0
G~
PAUTE_AB
88.1956.2794.25
Carga_2
7.993.87
Carga_1
79.9238.70
AB_PAUTE_230_kV215.040.9323.41
AB_PAUTE_138_kV
130.300.9424.53
AB_PAUTE_13.8_kV
13.801.000.00
88
3.1.2 PRUEBAS DEL MODELO DE REGULADOR DE VELOCIDAD
La respuesta del regulador de velocidad incorporado en el modelo de planta general
para el análisis estabilidad de pequeña señal, se analiza en dos condiciones: aislada
y como parte de un sistema multimáquina. En la condición aislada se realizan las
distintas pruebas internas y externas al regulador de velocidad y su comportamiento
en estado estable. Las variables analizadas son: Velocidad, Potencia de referencia,
Potencia activa, Potencia reactiva, Potencia de la turbina, Voltaje fase-neutro y
Frecuencia.
3.1.2.1 Pruebas internas: Respuesta al escalón del sistema de control de velocidad
Una vez determinados los modelos dinámicos a usarse así como la sintonización de
los valores de los parámetros, se verifica la respuesta del regulador de velocidad
ante la prueba de escalón en la potencia de referencia del regulador de velocidad.
La respuesta al escalón del sistema de control de velocidad presenta una frecuencia
de oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar un valor estable. En la figura 3.2 se
muestra el comportamiento típico de un sistema frente a un entrada de escalón o
paso, siendo los indicadores de mayor interés: tiempo de establecimiento, sobre
impulso, tiempo para alcanzar su pico máximo, tiempo de crecimiento,
amortiguamiento y frecuencia de oscilación. Estos indicadores se analizan en la
sección 3.4.
Para estudios de estabilidad de pequeña señal no es posible determinar cuáles son
los rangos de respuesta aceptables frente a este tipo de pruebas, debido a que son
una medida de la velocidad relativa de la acción de control, principalmente
determinados por las características dinámicas del generador. Generalmente la
señal de salida analizada tiene relación directa con la señal de entrada.
89
Sobreimpulsó
Tiempo de
Crecimiento
Tiempo para
alcanzar el valor pico
Tiempo de establecimiento
90%
10%
Valor
Pico
Estado estable
Tiempo de retardo
Banda especificada para
el tiempo de establecimiento
Figura 3.2 Respuesta de un sistema de control frente a una entrada paso
Para las pruebas de respuesta al paso, DIgSILENT Power Factory cuenta con una
herramienta específica, pero presenta limitantes debido a que solo se analiza la
respuesta al escalón máquina sincrónica – carga, omitiendo el resto de elementos
que conforman la red, como transformadores y líneas de transmisión. Además
analiza únicamente las variables de salida relacionados a la respuesta al paso del
incremento de la potencia de referencia, como son potencia de la turbina, velocidad y
potencia eléctrica.
Con el evento de simulación parámetro de ajuste: variación de la constante de la
potencia de referencia del regulador de velocidad, se analizan las variables que no
están consideradas en la herramienta misma del programa, como son voltaje terminal
del generador, potencia reactiva entregada y velocidad rotacional. En la figura 3.3 se
indican los eventos de simulación para el análisis de estabilidad de pequeña señal
del regulador de velocidad.
90
Figura 3.3 Eventos de simulación
El parámetro de ajuste dentro del evento de simulación es la potencia de referencia
(psetp) con un cambio de 10% de su valor inicial. El valor inicial de esta variable es
0,804 p.u., en la figura 3.4 se indica el ingreso del nuevo valor de la variable.
Figura 3.4 Pantalla de dialogo del parámetro de ajuste
En las figuras 3.5 y 3.6 se presentan las respuestas frente al escalón de +/-10% de la
potencia de referencia psetp en el sistema generador barra infinita.
91
F
igu
ra 3
5
Cu
rva
s d
el P
CU
en
la p
rueb
a d
e e
sta
do e
sta
ble
y e
sca
lon
es
de
+/-
10%
de
la p
ote
nci
a d
e r
efe
ren
cia
(pse
tp)
40.0
00
31.9
80
23.9
60
15.9
40
7.9
20
0-0
.100
0[s
]
0.9
2
0.8
8
0.8
4
0.8
0
0.7
6
0.7
2
0.6
8
pcu_IE
EE
G3: P
ote
nc
ia d
e refe
rencia
, con
+10%
de P
ote
ncia
nom
inal
pcu_IE
EE
G3: P
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ia d
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rencia
, con
+10%
de P
ote
ncia
nom
inal
pcu_IE
EE
G3: P
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, E
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do E
sta
ble
19.0
18 s
0.8
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19.5
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0.8
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18 s
0.7
24
40.0
00
31.9
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0[s
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0.8
08
0.8
06
0.8
04
0.8
02
0.8
00
0.7
98
0.7
96
PA
UT
E_A
B: P
ote
ncia
Elé
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a, con +
10
% d
e P
ote
ncia
nom
inal
PA
UT
E_A
B: P
ote
ncia
Elé
ctric
a, con +
10
% d
e P
ote
ncia
nom
inal
PA
UT
E_A
B: P
ote
ncia
Elé
ctric
a, E
sta
do E
sta
ble
7.3
18
s 0
.806
p.u
.
7.1
18
s 0
.798
p.u
.
37.9
18 s
0.8
05
p.u
.
8.1
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DIgSILENT
93
Como se muestra en las figuras 3.5 y 3.6, las variables de salida del generador
tienen una respuesta amortiguada, en razón de los ajustes de los parámetros del
regulador efectuados para que tenga una respuesta lenta y no produzcan
oscilaciones de potencia. La respuesta de las potencias del sistema y la velocidad
tiene una componente inicial opuesta al cambio de incremento o decremento de la
potencia de referencia, esto se debe a la característica de la turbina hidráulica.
3.1.2.2 Pruebas externas
El principal fenómeno directamente relacionado con el análisis de estabilidad de
pequeña señal es el desbalance entre generación y carga, provocado por una
variación de la carga. Para este punto se analiza la respuesta del sistema de
regulación de velocidad frente a un incremento de carga activa y reactiva:
· Toma y rechazo de 10% de carga activa
· Toma y rechazo de 10% de carga reactiva
Toma y rechazo de 10% de carga activa
Esta prueba consiste en aumentar y disminuir una carga activa al sistema, mediante
el cierre del disyuntor de la carga 2 con un valor del 10% de la carga de operación
del generador al tiempo 0,1 s. Luego, después de estabilizarse el sistema se realiza
la apertura del disyuntor 2 al tiempo 100 s. La carga 1 corresponde al 80% de la
capacidad del generador.
En esta prueba se analiza las variables: potencia activa, potencia reactiva, voltaje
terminal, frecuencia, velocidad y potencia de la turbina, a partir del estado estable,
con y sin el regulador de velocidad, como se detallan en la figura 3.7.
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3
DIgSILENT
95
Al existir un incremento de carga activa, la velocidad del sistema decae esto se
puede apreciar analizando la ecuación de movimiento (2.6), al no existir un regulador
de velocidad la frecuencia decae sin tener un amortiguamiento mientras que con el
regulador de velocidad esta se amortigua tratando de retornar a su frecuencia
nominal, pero debido al estatismo del generador esta no lo hace.
El voltaje a la salida del generador disminuye esto se debe a que al variar la potencia
activa cambia el punto de operación del generador, manteniendo el voltaje de campo
constante, lo que produce una disminución en la potencia reactiva y por ende en el
voltaje de salida, esto se puede apreciar en la figura 3.8 del diagrama de operación
de un generador.
P0
P1
Q0
Q1δ0
If
Q
P
E = f( If )
I
Q = f(V)
Figura 3.8 Lugar geométrico de generación con excitación constante
Toma de +/-10% de carga reactiva
Esta prueba consiste en aumentar y disminuir una carga reactiva al sistema de
prueba, mediante el cierre del disyuntor de la carga 2 la cual es el 10% de la carga
de operación del generador al tiempo 0.1 s, después de estabilizarse el sistema se
realiza la apertura del disyuntor 2 al tiempo 100 s, la carga 1 es el 80% de capacidad
del generador. En esta prueba se analiza las variables: potencia activa, potencia
reactiva, el voltaje terminal, la frecuencia, la velocidad y la potencia de la turbina,
todas estas respuestas se las analizara en estado estable, con el regulador de
velocidad y sin este, figura 3.9.
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DIgSILENT
97
En la figura 3.9 se muestra el efecto del regulador de velocidad en el sistema
aislado. En la prueba de aumento de carga reactiva, como se puede observar
se produce una disminución en el voltaje, adicionalmente por el cambio del
punto de operación se produce una disminución en la potencia activa
entregado y con ello una potencia de aceleración que produce un aumento de
la frecuencia.
Sin la presencia del regulador de velocidad, la velocidad de la máquina
aumenta y no se estabiliza por el insuficiente amortiguamiento del sistema.
3.1.3 ANÁLISIS MODAL DE LA PLANTA
Este tipo de análisis es usado para determinar si un sistema es estable frente a
cambios pequeños en el balance generación - carga, así como la naturaleza de
las oscilaciones producidas en un sistema.
El programa DIgSILENT Power Factory cuenta con una herramienta para
realizar el análisis modal, por el cual se identifican los modos de oscilación y
modos de participación de un sistema eléctrico de potencia.
En la tabla 3.1 se encuentran listados los valores propios asociados al sistema
generador con sistema regulador de velocidad - barra infinita, así como los
principales parámetros, como por ejemplo: amortiguamiento, coeficiente de
amortiguamiento, frecuencia y relación de amplitudes A1/A2.
Tabla 3.1 Modos del sistema generador barra infinita con regulador de
velocidad
En la figura 3.10 se muestran los valores propios del sistema aislado, en el que
el generador tiene implementado el regulador de velocidad.
98
Figura 3.10 Valores propios del sistema generador con regulador de velocidad
- barra infinita
Los valores propios 6, 7, 8 y 9 son modos oscilatorios, pero su frecuencia de
amortiguamiento es muy baja por lo cual no se podría considerar que
pertenezcan a un tipo particular que pueda producir una inestabilidad
oscilatoria. Al estar el sistema aislado, los modos que pueden presentarse son
modos de control, torsión y locales.
La velocidad de decaimiento que presentan estos modos oscilatorios es muy
alta, esto se puede deducir de la relación A1/A2, dada por la amplitud de la
primera oscilación y la segunda. Como se muestra en la figura 3.11, estos
modos de participación presentan un amortiguamiento alto, que no afecta en
mayor medida la estabilidad del sistema.
-5.2359-10.472-15.708-20.943-26.179 Parte real [1/s]
0.4074
0.2444
0.0815
-0.0815
-0.2444
-0.4074
Parte imaginaria [rad/s]
Valores propios establesValores propios inestables
E.P.N PRUEBAS EN EL REGULADOR DE VELOCIDAD Gráfica Valores Propios
Central Hidroeléctrica Paute Fase AB PCU_IEEEG3
DIg
SIL
EN
T
99
Figura 3.11 Modos de participación del sistema generador con regulador de velocidad - barra infinita
3.2 SISTEMA DE NUEVE BARRAS DEL IEEE [3]
En esta sección se realiza el análisis de estabilidad de pequeña señal en un
sistema multimáquina, en el que un generador tiene regulador de velocidad.
3.2.1 DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA
El sistema eléctrico de potencia de 9 barras, mostrado en la figura 3.12, es uno
de los sistemas clásicos utilizados en estudios de estabilidad. Este sistema se
encuentra incorporado en la biblioteca del programa computacional DIgSILENT
Power Factory, cuyas características se detallan en las tablas 3.2 y 3.3.
G
G
G
Carga C
Carga A Carga B
Gen 1
Gen 2 Gen 3
1
2 3
4
5 6
7
8
9
Figura 3.12 Sistema de 9 barras del IEEE
100
Tabla 3.2 Datos de los generadores del sistema de 9 barras
Generador 1 2 3
Potencia [MVA] 247,5 192,0 128,0
Voltaje [kV] 16,5 18 13,8
Factor de potencia 1 0,85 0,85
Tipo Hidráulica Térmica Térmica
Velocidad [rpm] 180 3600 3600
0,1460 0,8958 1,3125
0,0969 0,8645 1,2578
0,0608 0,1198 0,1813
0,0969 0.1969 0,25
Tabla 3.3 Datos de las Cargas
Carga A B C
Potencia Activa [MW] 125 90 100
Potencia Reactiva [MVAr] 50 30 35
Las reactancias de las tablas 3.2 y 3.3 están dadas en base de 100 MVA.
3.2.2 PRUEBAS EN EL SISTEMA DE 9 BARRAS
Las pruebas para comprobar el funcionamiento y la estabilidad de pequeña
señal del sistema multimáquina con un sistema regulador de velocidad se
realizan mediante un incremento de 10% de la carga activa. La variación de
carga activa se define debido a su directa relación con la velocidad. La prueba
se efectúa mediante la variación de 12,5 MW de la carga A, a partir de su valor
inicial de 125 MW y 50MVAr.
Las variables observadas en la prueba de incremento de carga son: Voltaje
terminal y potencia de la turbina en cada uno de los generadores, frecuencia
eléctrica, ángulo del rotor respecto al ángulo del voltaje de la barra de
referencia, potencia activa y reactiva de generación y los voltajes en las barras.
3.2.2.1 Sintonización del sistema regulador de velocidad
El sistema de 9 barras del IEEE tiene dos generadores térmicos y uno
hidráulico, al cual se ha incorporado el regulador de velocidad.
101
La sintonización del regulador de velocidad se realiza para que tenga una
respuesta rápida, es decir los valores de y deben ser bajos con el objeto
de que la respuesta del regulador de velocidad sea rápida. En la tabla 3.4 se
indican los valores del regulador de velocidad implementado en el generador 1.
Tabla 3.4 Descripción, Valores y Rangos de Parámetros del Modelo
pcu_IEEEG3 del Generador 1 en Sistema de 9 Barras
Descripción Parámetros Fase AB
Rango de Parámetros
Característica de regulación permanente 0,05 0 < < 0,1
Tg Constante de tiempo del servomotor de compuerta 0,2 4* < < 1,0
Tp Constante de tiempo de la válvula piloto 0,04 4* < < 0,1
Delta Caída temporal 0,3 0.2< <1,0
Tr Constante de tiempo del regulador 2.5 1,0 < < 50
a11 Primer Contante transitoria de la turbina 0,5 0 < < 1,5
a13 Segunda Contante transitoria de la turbina 1 0 < < 1,5
a21 Tercera Contante transitoria de la turbina 1,5 0 < < 1,5
a23 Cuarta Contante transitoria de la turbina 1 0 < < 1,5
Tw Constantes de tiempo del agua 1,141 4* < < 10
Pturb Potencia de la turbina 0 0 ≤ ≤1
Uc Límite de velocidad de cierre -0,2 -0.3 ≤ ≤ 0
Pmin Potencia mínima de 0 0,5 ≤ ≤ 0,5
Uo Límite de velocidad de apertura 0,2 0 ≤ ≤0,3
Pmax Potencia máxima 1 0,5 ≤ ≤ 1
En las figuras 3.13, 3.14, 3.15, 3.16 y 3.17 se muestran las respuestas de las
distintas variables frente a la variación de carga activa para el sistema de 9
barras del IEEE.
10
2
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107
En las figuras 3.13 a 3.17 se puede notar que el sistema tiene una respuesta
amortiguada en las principales variables de control, como son voltaje y frecuencia del
sistema. Las potencias y ángulos del sistema tienen una respuesta con pequeñas
perturbaciones al inicio de la actuación del regulador de velocidad, debido a que el
efecto del regulador de velocidad es insignificante en oscilaciones de modo local o
modos entre máquinas ya que estas frecuencias oscilan entre 1 Hz y 3 Hz.
Típicamente los reguladores de velocidad tienen una aplicación más real al controlar
las oscilaciones de baja frecuencia, debido a que su tiempo de actuación es
relativamente alto en comparación con los reguladores de voltaje, estas oscilaciones
generalmente se presentan en sistemas interconectados.
3.2.3 ANÁLISIS MODAL DEL SISTEMA DE NUEVE BARRAS
El análisis modal en el sistema de 9 barras será efectuado sin y con el regulador de
velocidad en el generador 1.
3.2.3.1 Análisis modal sin reguladores de velocidad
En la tabla 3.5 se indican los valores propios del sistema. Como se puede apreciar la
principal diferencia es que el sistema sin reguladores presenta dos modos
oscilatorios (dos pares de modos complejos conjugados). En un sistema eléctrico sin
sistemas de control, el número de modos electromecánicos es igual al número de
generadores menos uno.
En la figura 3.18 se presentan los valores propios del sistema de 9 barras sin
reguladores de velocidad.
108
Tabla 3.5 Modos del sistema de 9 barras del IEEE sin reguladores de velocidad
Figura 3.18 Valores propios del sistema de 9 barras sin reguladores de velocidad
Las frecuencias que presentan los modos oscilatorios 2 y 3; y, 4 y 5 son de 3,044 y
1,932 Hz, respectivamente. Estos son modos electromecánicos causados por
oscilaciones generadas en las partes móviles de los generadores. Además, los
coeficientes de amortiguamiento de estos modos son relativamente bajos: 8% y 6%.
El límite del coeficiente de amortiguamiento para pequeña señal es 5%.
-3.7274-7.4548-11.182-14.910-18.637 Parte real [1/s]
19.131
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Parte imaginaria [rad/s]
Valores propios establesValores propios inestables
EPN PRUEBAS CON EL REGULADOR DE VELOCIDAD Gráfica Valores Propios
Sistema de 9 barras del IEEE PCU_IEEEG3
DIg
SIL
EN
T
109
En la figura 3.19 se muestran los factores de participación de los modos
electromecánicos 2 y 3, que son producidos por una oscilación del generador 3 en
contra de los dos generadores restantes; en tanto que, los modos 4 y 5 son
producidos por una oscilación del generador 1 en contra de los otros dos.
Figura 3.19 Modos de participación del sistema de 9 Barras del IEEE sin elementos de control
3.2.3.2 Análisis modal con regulador de velocidad en el generador 1
En la tabla 3.6 se presentan los modos de oscilación del sistema de 9 barras del
IEEE con un regulador de velocidad implementado en el generador 1.
Tabla 3.6: Modos del sistema de 9 barras del IEEE con regulador de velocidad
110
El ingreso del regulador de velocidad en el generador 1 produce 4 valores propios
adicionales, que mejoran la estabilidad del sistema, debido a que su frecuencia es
baja y su amortiguamiento alto. De esta forma los límites de estabilidad no
disminuyen sino más bien ayudan a que los valores propios del sistema se desplacen
más a la izquierda del semiplano izquierdo. En la figura 3.20 se encuentran
graficados los valores propios del sistema de 9 barras del IEEE con un regulador de
velocidad en el generador 1.
Figura 3. 20 Valores propios del sistema de 9 barras con regulador de velocidad en el generador 1
La figura 3.21 muestra los factores de participación 2, 3, 5 y 6 del sistema con
regulador de velocidad en el generador 1, cuyos valores son casi similares a los que
se tienen cuando el sistema está sin reguladores de velocidad, debido a que
corresponden a los modos electromecánicos de los generadores.
Por el contrario, los factores de participación 17 y 18 corresponden a los modos
producidos por el regulador de velocidad IEEEG3 en el generador 1. Como se puede
observar, los factores 17 y 18 no producen oscilación entre generadores, ya que los
tres tienen una participación en la misma dirección.
-4.6040-9.2079-13.812-18.416-23.020 Parte real [1/s]
19.130
11.478
3.8261
-3.8261
-11.478
-19.130
Parte imaginaria [rad/s]
Valores propios establesValores propios inestables
EPN PRUEBAS CON EL REGULADOR DE VELOCIDAD Gráfica Valores Propios
Sistema de 9 barras del IEEE PCU_IEEEG3
DIg
SIL
EN
T
111
Los factores 14 y 15, producidos por el regulador de velocidad, no son considerados
para el análisis debido a que presentan un amortiguamiento alto, haciendo que
tengan una respuesta sobreamortiguada. Lo mismo se puede apreciar en la tabla
3.6, al analizar la relación de amplitudes A1/A2 que tiende a infinito.
Figura 3.21 Factores de participación del sistema 9 barras del IEEE con regulador
de velocidad en el generador 1
3.3 Análisis de Resultados de las Respuestas Dinámicas en el Tiempo y la
Frecuencia
Para realizar el análisis de las respuestas dinámicas en el tiempo y la frecuencia se
considera el sistema aislado de un generador representado por el modelo clásico con
regulador de velocidad y turbina hidráulica.
3.3.1 MODELO DE LA PLANTA
El coeficiente de torque sincronizante se calcula a partir de un flujo de potencia en
una de las unidades de la fase AB de la central Paute Molino, como se detalla en el
Anexo 3. Para calcular el coeficiente de torque de amortiguamiento se considera que
112
el generador tiene un amortiguamiento de 10%. Utilizando la ecuación (2.17), que
relaciona el coeficiente de torque sincronizante con el amortiguamiento de la
máquina, se tiene la ecuación (3.1):
(3.1)
Donde es el coeficiente de torque sincronizante dado en la ecuación (2.9)
El cálculo de estos valores está dado en el Anexo 3.
Para el análisis en el dominio del tiempo y la frecuencia se considera como variable
de entrada el torque eléctrico, de esta forma se simulan los eventos de cambios de
carga, directamente relacionados con el análisis de estabilidad de pequeña señal, en
tanto que la variable de salida es la variación del ángulo del rotor.
En la figura 3.22 se indica el modelo implementado en el programa Simulink de
Matlab y en la tabla 3.7 se detallan los valores de los parámetros del modelo.
113
Figura 3.22 Modelo generador barra infinita con regulador de velocidad implementado en Matlab
Tabla 3.7 Parámetros del modelo generador barra infinita con regulador de
velocidad
Descripcion Valor
Torque sincronizante = 2,9056
Torque de amortiguamiento = 17,7715
Inercia = 3,604
Tiempo de arranque del agua =1.1410
Ganancia del servo = 5
Tiempo de tiempo de la válvula
piloto
= 0.04
Sigma Estatismo permanente = 0,05
Delta Estatismo Temporal = 0,3957
La función de transferencia de la figura 3.22 con los valores listados en la tabla 3.6
esta dado en la ecuación (3.2) :
114
(3.2)
3.3.2 ANÁLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
En la figura 3.23 se muestra la respuesta en el dominio del tiempo del sistema
generador - barra infinita al paso de carga.
Figura 3.23: Respuesta al paso de la función de transferencia del sistema generador con regulador de velocidad – barra infinita
En la figura 3.23 se puede apreciar que el sistema tiene una respuesta amortiguada
en la señal del ángulo interno del generador. Los indicadores de la curva de
respuesta están dados en la tabla 3.8.
Tabla 3.8: Índices de desempeño de la figura 3.23
Parámetro Valor
Sobreimpulso 73,7%
Tiempo de crecimiento 0,0914 s
Tiempo de establecimiento 3,13 s
Valor inicial 0
115
Valor Final -0,344
Valor pico -0,598
Amortiguamiento 0,807
3.3.3 ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
El análisis de la estabilidad del sistema en el dominio de la frecuencia se realiza
mediante la gráfica de polos y ceros de la función de transferencia, el diagrama de
Bode y el diagrama de Nyquist. En la figura 3.24 se muestran los polos y ceros en el
plano jw – s.
Figura 3.24 Diagrama de polos y ceros de la función de transferencia del sistema generador con regulador de velocidad – barra infinita
Los polos de la función de transferencia dada en la ecuación (3.2), correspondientes
al sistema generador – barra infinita son:
116
Se puede apreciar que todos los polos se encuentran en el semiplano izquierdo, de lo
que se deduce que el sistema es estable. En la figura 3.25 se presenta el diagrama
de Bode.
Figura 3.25 Diagrama de Bode del sistema generador con regulador de velocidad – barra infinita
En la tabla 3.9 se puede apreciar los indicadores de estabilidad calculados para el
sistema de la figura 3.22 y los rangos permitidos para este tipo de pruebas según la
norma IEEE- 1207-2004.
Tabla 3.9 Indicadores de desempeño de la figura 3.25
Parámetro Valor Rango de valores
Margen de ganancia 2,9056 2 dB a 20 dB Margen de fase 41 grados 20 a 80 grados Sobreimpulso 73,7 % 0% – 80% Pico de resonancia 4,72 dB 0 dB a 12 dB Amortiguamiento 0,80 0,25 – 1,0 Tiempo de restauración 3,13 s 100 s Tiempo de subida 0,09 s 0 a 25s
Como se puede apreciar los valores de los indicadores están dentro de los rangos de
aceptación para un sistema de control.
117
En la figura 3.26 se muestra el diagrama de Nyquist para el sistema de la figura 3.22.
Figura 3. 26: Diagrama de Nyquist
El diagrama de Nyquist sirve para determinar la estabilidad absoluta de un sistema
de control con realimentación. El criterio de estabilidad de Nyquist dice que para que
un sistema sea estable la traza polar que describe el sistema no debe encerrar el
punto -1 j0. Como se aprecia en la figura 3.26 la traza de Nyquist no encierra el
punto, es decir el sistema se considera estable. El diagrama de Nyquist también
sirve para analizar la estabilidad relativa de un sistema, este indicador se mide como
la distancia existente entre el punto de origen (1+j0) y la traza. Como se aprecia el
sistema generador con regulador de velocidad – barra infinita es estable ya que la
traza que describe esté sistema no encierra al punto (1+j0).
3.4 COMPARACIÓN DE LOS INDICADORES DE LAS RESPUESTAS
DINÁMICAS CON VALORES ESTÁNDAR DEL IEEE
Las respuestas dinámicas de las simulaciones del sistema aislado y el sistema
multimáquina se compara con los indicadores de aceptación para estudios de
118
régimen permanente establecidos por el IEEE a fin de verificar y validar sus
resultados.
· Las variaciones de voltaje deben estar en un rango de 0,95 a 1,05 p.u (tanto
en operación normal como de simple contingencia).
· En condiciones de pequeñas perturbaciones se permite una sobrecarga
máxima del 20%.
· La frecuencia de operación debe permanecer dentro de los rangos permitidos
por el operador del sistema eléctrico. La tabla 3.10 se puede tomar como
referencia.
Tabla 3.10: Rango de frecuencias permitidas
Rango de
Frecuencia
Tiempos límites
permitidos
Mayor a 61,7 Hz 0 segundos
61,6 Hz – 61,7 Hz 30 segundos
60,6 Hz – 61,6 Hz 3 minutos
59,4 Hz – 60,6 Hz Operación continua
58,4 Hz – 59,4 Hz 3 minutos
57,8 Hz – 58,4 Hz 30 segundos
57,3 Hz – 57,8 Hz 7,5 segundos
57,0 Hz – 57,3 Hz 45 ciclos
Menor a 57,0 Hz 0 segundos
· Los límites establecidos por estabilidad permanente o de pequeña señal se
determinan para satisfacer una relación de amortiguamiento . Un
menor a esté valor puede causar inestabilidad al sistema, mientras que un
cercano a la respuesta del sistema se hace subamortiguada.
La comparación de los indicadores de las respuestas dinámicas con los valores
estándar del IEEE se realiza tanto con el sistema aislado generador barra infinita
como con el sistema multimáquina.
119
3.4.1 SISTEMA GENERADOR BARRA INFINITA
En la tabla 3.11 se encuentran tabulados los indicadores de desempeño del sistema
generador con regulación de velocidad - barra infinita, con los datos de la prueba
realizada en la sección 3.1.2.1 (Pruebas internas: Respuesta al escalón del sistema
de control de velocidad de una de las unidades de Paute).
En la tabla 3.11 se presentan los indicadores de desempeño para pequeña señal y
de los principales parámetros: frecuencia, velocidad, potencia de la turbina, potencia
activa y voltaje línea neutro.
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Como se observa los indicadores medidos están dentro del rango de aceptación para
este tipo de pruebas. La potencia de la turbina presenta un porcentaje de
sobreimpulso de 450%, sin embargo el valor máximo alcanzado está dentro de su
potencia nominal y su tiempo de restablecimiento es bajo. Estos valores son
calculados a partir de las figuras 3.5 y 3.6 analizadas en la sección 3.1.2.1.
En las tablas 3.12 y 3.13 se presentan los valores de los indicadores de desempeño
de los principales variables de las pruebas realizadas en la sección 3.1.2.2 (Pruebas
externas), con más 10% de la carga resistiva tanto para el sistema sin y con el
regulador de velocidad.
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Analizando los valores de las tablas 3.12 y 3.13 se puede apreciar que el sistema sin
el regulador de velocidad produce que su frecuencia no se estabilice dentro de los
rangos permitidos por el IEEE, como se observa en la figura 3.7. Los indicadores de
desempeño de las variables con el regulador de velocidad están dentro de los rangos
permitidos de respuesta debido a que el regulado tratando de retomar los variables
analizadas sus valores en condiciones iniciales.
En las tablas 3.14 y 3.15 se presentan los valores de los indicadores de desempeño
de los principales variables en las pruebas realizadas en la sección 3.1.2.2 (Pruebas
externas), con + 10% de la carga inductiva sin y con el regulador de velocidad.
Analizando los valores tabulados en las tablas 3.14 y 3.15 para el incremento de
+10% de potencia reactiva del sistema sin y con regulador, se puede observar que el
sistema sin el regulador de velocidad tiene una respuesta de frecuencia por encima
de los permitidos por el IEEE. Pero sin embargo esto no afecta a su funcionamiento
del mismo al estar en operación aislada.
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3.4.2 SISTEMA MULTIMÁQUINA
En las tablas 3.16 y 3.17 se presentan los indicadores de respuesta al evento de
incremento de la carga A del sistema de 9 barras de IEEE, sin y con el regulador de
velocidad en el generador 1. Las variables a ser consideradas son el voltaje línea -
neutro en las líneas de transmisión y la frecuencia del sistema, debido a que estos
dos parámetros son los que requieren mayor control dentro de un sistema
interconectado.
Como se puede observar los parámetros del sistema con el regulador de velocidad
tienen una respuesta amortiguada y los índices de despeño están dentro de los
rangos permitidos, mientras que el sistema sin el regulador de velocidad las variables
analizadas se estabilizan por efectos del amortiguamiento propio del sistema cuya
respuesta como se puede observar en las figuras de la sección 3.2.2.
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20
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s
0.9
07
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23
,4 s
1
16
,66
%
5,1
32
s
0,8
34
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76
8
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6
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s
0.6
31
s
23
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5
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s
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s
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,18
s
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2 s
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02
127
CAPÍTULO 4
4 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
4.1 CONCLUSIONES
· El estudio de estabilidad de pequeña señal está relacionado con el efecto de
pequeñas perturbaciones que generalmente provienen de los cambios de
carga dentro del sistema eléctrico. En vista que el sistema de generación
opera bajo un esquema de crecimiento de carga, el sistema debe estar en la
capacidad de mantener el balance entre oferta y demanda. Por esta razón la
importancia del estudio de este tipo de eventos que de no ser analizados de
forma adecuada pueden llevar a un escenario de cortes de carga en el sistema.
· El análisis de estabilidad en el dominio de la frecuencia no solo permiten
determinar la estabilidad absoluta sino también su estabilidad relativa que tiene
un sistema de control en lazo abierto y cerrado.
· La simulación de los sistemas de potencia a diferentes ecenarios permiten el
conocer la causa o el origen de los modos de oscilación, para a su vez poder
tomar las medidas correctivas necesarias para su mitigación.
· El regulador de velocidad es un elemento de control fundamental dentro del
funcionamiento de una central, su principal función es la de realizar el
seguimiento de la demanda de la carga, a fin de mantener la frecuencia del
sistema. Además, permite efectuar la sincronización del generador con el
resto del sistema.
· La respuesta relativamente lenta de los reguladores de velocidad no afectan
de forma significativa las oscilaciones de potencia en un sistema eléctrico; sin
embargo, la falta de sintonización de los parámetros de los reguladores de
velocidad influye en la disminución del amortiguamiento del sistema.
128
· La inercia de los elementos rotativos del generador se opone a los cambios
producidos por la variación de la carga, por lo que si un generador tiene una
inercia alta, será de beneficio a la estabilidad del sistema.
· Típicamente los reguladores de velocidad tienen aplicación en el control de las
oscilaciones de baja frecuencia, que generalmente se presentan en sistemas
interconectados con valores entre 0,2 Hz y 0;8 Hz, debido a que sus tiempo de
actuación son relativamente grandes en comparación a los reguladores de
voltaje.
· El torque sincronizante mide el grado de acoplamiento eléctrico de las
máquinas en un sistema eléctrico; y, en análisis de pequeña señal determina
la frecuencia de las oscilaciones. Mientras más grande es el torque
sincronizante, el sistema es más estable debido a que la distancia de los polos
hacia el origen es más grande, además se tiene un mayor ancho de banda y
un menor tiempo de respuesta.
· El torque de amortiguamiento es determinado por varios parámetros
mecánicos y eléctricos del sistema. El torque de amortiguamiento determina
la rapidez con la que disminuyen las amplitudes de las oscilaciones, es decir si
el torque de amortiguamiento es muy pequeño puede ocasionar que el
sistema se vuelva oscilatorio.
· El análisis modal se lo debe hacer conjuntamente con el análisis de los modos
de participación, para de esta manera determinar la frecuencia de oscilación
que tiene cada uno de los modos y su participación para predecir su origen así
como determinar las medidas correctivas del correspondiente sistema de
control, ya sea sintonizando los parámetros o cambiando el regulador de
velocidad.
· Las pruebas realizadas permiten observar el funcionamiento del regulador de
velocidad tanto en un sistema aislado como en un sistema multimáquina y
determinar el comportamiento de sus principales variables.
129
· Las turbinas hidráulicas presentan una característica especial ya que la
potencia inicial presentan un cambio contrario al de la apertura o cierre de la
compuerta y esto se debe a que presentan un cero en el semiplano derecho,
sin embargo son estables ya que su polo está en el semiplano izquierdo.
4.2 RECOMENDACIONES
· Para la calibración de los reguladores de velocidad se debe considerar el tipo
de operación que está realizando el generador, si está operando de modo
aislado el regulador de velocidad debe considerar una velocidad de respuesta
lenta para que este no llegue a la inestabilidad, mientras que en operación
interconectada la respuesta requerida debe ser rápida para asegurar un control
óptimo de potencia – frecuencia.
· El análisis de los factores de participación nos permiten medir la relación entre
las variables de estado y los modos de oscilación por lo que se recomienda
dicho análisis para identificar el origen de las oscilaciones que se producen en
un sistema interconectado y de esta manera tomar acciones correctivas sobre
los mismos.
· La respuesta de valores de las variables deben estar dentro de los índices
recomendados por el IEEE, para de esta manera asegurar el funcionamiento
óptimo del mismo.
· Se recomienda el análisis de un sistema eléctrico de potencia bajo diferentes
escenarios para conocer el origen de los modos oscilatorios ue se puedan
presentar en el sistema y de esta manera tomar acciones que permitan que
este retome a condiciones establecidas por el IEEE.
130
Referencias Bibliográficas
1. KUNDUR Prabha, Power System Stability and Control, McGraw – Hill, 1994.
2. http://recursosbiblioteca.utp.edu.co/tesisdigitales/texto/621381533A282.pdf
3. ANDERSON P.M., FOUAD A.A., Power System Control and Stability, IEEE
PRESS, 2003.
4. OGATA Katsuhiko, Ingeniería de control Moderna, Prentice Hall, 1998.
5. ROUCO L., GONZÁLEZ M, Ajuste de Reguladores de Turbinas Hidráulicas con
Técnicas de Estimación de Parámetros
6. http://www.bdigital.unal.edu.co/5980/2/7108503.2012.pdf
7. BROKERING Walter, Los Sistemas Eléctricos de Potencia, Pearson 2010.
8. BENJAMIN, Kuo, “Sistemas de Control Automático”, Prentice Hall, 1996
9. IEEE Std 1207-2004, Guide for the Application of Turbine Governing Systems
for Hydroelectric Generating Units, Energy Development and Power Generation
Committee, Power Engineering Society, November 2004.
10. IEEE Committee Report, Dynamic Models for Steam and Hydro Turbines in
Power System Studies, 1972.
11.- AGUDELO Viviana, Parra Diego, “Control De Oscilaciones Electromecánicas en
Sistemas Eléctricos De Potencia Usando el Análisis Modal”, EPN 2008
12. Yu Yao-nan,”Electric Power System Dynamics”, Academic Press, 1983
Anexos
A.1 Cálculo de las constantes del regulador de velocidad IEEEG3
A.1.1 Constante de inercia
La inercia es la propiedad de un cuerpo frente al cambió en su movimiento o reposo,
para un generador hidroeléctrico esta propiedad no es ajena ya que este tiene un
sinnúmero de partes móviles, las cuales intervienen al momento de generar energía.
En el análisis de un generador para estudios de estabilidad la inercia es una parte
importante, así como para la calibración de los elementos de control. En el caso de
Paute Fase AB se calcula su inercia en base a los datos referidos en la Tabla 2.2 del
Capítulo 2 y a la ecuación de inercia:
(A.1)
Donde:
J = Trabajo en Joules
= Velocidad del rotor en radianes (37,7 rad / s, para el caso de Paute AB)
= Potencia nominal (111 MVA)
El trabajo de una parte móvil viene dado por:
(A.2)
Donde:
W = Peso [Kg]
R = Radio [m]
Con lo que la constante de inercia de Paute queda:
s
132
A.1.2 Constante de tiempo el agua
La constante de tiempo de arranque del agua es uno de los parámetros más
importantes dentro del estudio de estabilidad en turbinas hidráulicas ya que está
relacionada con la velocidad de respuesta de la turbina.
Para el cálculo de la constante de tiempo del agua se parte de los datos de la tabla
2.3 y con la ecuación (2.32) dadas en el Capítulo 2.
(2.32)
Donde
= Constante de tiempo del agua
= Longitud de la tubería
= Velocidad del agua
= Gravedad
= Altura de la represa
Los parámetros dados en la ecuación (2.32) están en función de la velocidad del
agua, para no depender de esta variable se utiliza la ecuación de potencia de la
turbina en función del caudal y la altura, dada por la ecuación (A.3).
(A.3)
Donde:
= Potencia de la turbina
= Densidad del agua
= Gravedad
= Eficiencia
= Caudal del agua
= Altura
133
El caudal de un líquido está dado por la ecuación (A.4):
(A.4)
Donde es la velocidad del líquido y es el área que ocupa.
Por lo que, la ecuación de tiempo de arranque del agua queda de la siguiente
expresión:
Remplazando los valores el tiempo de arranque del agua es:
s
A.1.3 Constante del coeficiente sincronizante
Para el cálculo del coeficiente de torque sincronizante dado en la ecuación (2.9) se
parte de un flujo de potencia de una de las unidades de la central hidroeléctrica
Paute AB, cuyo diagrama unifilar se muestra en la figura A.1.
G
xt1 xt2xg
V1 Vt
Fig. A.1: Diagrama unifilar de la central Hidroeléctrica Paute
Para el flujo de potencia se considera que el generador está entregando el 80% de
su capacidad a un factor de potencia del 0,9.
Los datos en p.u en base de 100 MVA y 13,8 kV, se listan a continuación:
=0,7992 p.u.
134
=0,38704 p.u.
=0,667 p.u.
=0,9819 p.u.
=0,1035 p.u.
=0,0344 p.u.
=0,3153 p.u.
Para el cálculo del voltaje interno del generador se considera que el voltaje terminal
es en p.u. A continuación se calcula el voltaje en terminales del generador.
Donde:
Flujo de potencia:
Resolviendo:
135
A.1.4 Generador de polos salientes
Para encontrar el voltaje interno del generador de la central hidroeléctrica Paute con
los datos expuestos anteriormente, se procede gráficamente. En la figura A.2 se
muestra los fasores que conforman el voltaje interno de una máquina sincrónica de
polos salientes.
Fig. A.2: Diagrama fasorial del voltaje interno de un generador de polos salientes
Donde los triángulos es semenjante al trianguloi , por lo que se puede
establecer la siguiente ralacion:
Si bien el voltaje no tiene una interpretación física, este es una herramienta que
ayuda a la construcción del diagrama fasorial de un generador de polos salientes ya
que el vector apunta al eje de cuadratura donde está el voltaje interno del
generador , cuya dirección es la misma que el del voltaje interno. Una vez
calculado el ángulo se procede a calcular el voltaje interno.
136
Con los datos anteriores se procede a calcular el torque sincronizante:
Donde:
