Escoamento incompressível de fluidos não viscosos
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Mecânica dos Fluidos
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Prof. João Felipe Bassane
Engenharias
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Escoamento incompressível de fluidos não viscosos
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Capítulo 4 – Escoamento incompressível de fluidos
não viscosos
Neste capítulo, em vez das equações de Navier-Stokes, nós vamos estudar a
equação de Euler, que se aplica a um fluido sem viscosidade. Embora não
existam fluidos reais sem viscosidade, muitos problemas de escoamento
(especialmente em aerodinâmica) podem ser analisados com sucesso pela
aproximação de μ = 0.
4.1) Equação da quantidade de movimento para
escoamento sem atrito: a equação de Euler
A equação de Euler é dada por:
𝜌𝐷𝑉
𝐷𝑡= 𝜌𝑔 − 𝛻𝑝 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎 →
𝐷𝑉
𝐷𝑡=
𝜕𝑉
𝜕𝑡+ (𝑉 ∙ 𝛻)𝑉
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• Em termos das coordenadas retangulares:
4.1) Equação da quantidade de movimento para
escoamento sem atrito: a equação de Euler
𝜌𝜕𝑢
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧= 𝜌𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
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• Em termos das coordenadas cilíndricas:
4.1) Equação da quantidade de movimento para
escoamento sem atrito: a equação de Euler
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4.2) As equações de Euler em coordenadas de
linhas de corrente
A equação de Euler na direção da linha de corrente, com o eixo z dirigido
verticalmente para cima é dada por:
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4.2) As equações de Euler em coordenadas de
linhas de corrente
A equação de Euler na direção da linha de corrente, com o eixo z dirigido
verticalmente para cima é dada por:
−1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑠− 𝑔
𝜕𝑧
𝜕𝑠=
𝜕𝑉
𝜕𝑡+ 𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑠
Para escoamento permanente:
−1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑠− 𝑔
𝜕𝑧
𝜕𝑠= 𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑠
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4.3) A equação de Bernoulli – Integração da
equação de Euler ao longo de uma linha de
corrente. A equação de Euler apesar de ser mais simples que outras equações
equivalentes de escoamentos viscosos ainda apresenta dificuldades
consideráveis para a sua solução. Uma aproximação conveniente para um
problema de escoamento em regime permanente é integrar a equação de
Euler ao longo de uma linha de corrente.
−1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑠− 𝑔
𝜕𝑧
𝜕𝑠= 𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑠
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4.3) A equação de Bernoulli – Integração da
equação de Euler ao longo de uma linha de
corrente.
−1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑠− 𝑔
𝜕𝑧
𝜕𝑠= 𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑠
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4.3) A equação de Bernoulli – Integração da
equação de Euler ao longo de uma linha de
corrente.
𝑝
𝜌+
𝑉2
2+ 𝑔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Equação de Bernoulli
Restrições para o uso da equação de Bernoulli:
1) Escoamento permanente;
2) Ausência de atrito;
3) Escoamento ao longo de uma linha de corrente;
4) Escoamento incompressível
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4.3) A equação de Bernoulli – Pressões Estática, de
Estagnação e Dinâmica
Pressão estática – É a pressão utilizada na dedução da equação de
Bernoulli (pressão termodinâmica). É a pressão “sentida” pela partícula
fluida em movimento.
Como medir a pressão de um fluido em movimento?
Nestes casos a tomada de pressão é um
pequeno orifício perfurado na parede do
tubo de modo a ter seu eixo perpendicular
à superfície.
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4.3) A equação de Bernoulli – Pressões Estática, de
Estagnação e Dinâmica
Como medir a pressão de um fluido em movimento?
Numa corrente de fluido afastada da
parede, ou onde as linhas de corrente são
curvas, medições precisas da pressão
estática podem ser feitas com o emprego
criterioso de uma sonda de pressão
estática.
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4.3) A equação de Bernoulli – Pressões Estática, de
Estagnação e Dinâmica
Pressão de estagnação – É a pressão obtida quando um fluido em
escoamento é desacelerado até a velocidade zero por meio de um
processo sem atrito.
Este termo é usualmente
chamado de pressão dinâmica
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4.3) A equação de Bernoulli – Pressões Estática, de
Estagnação e Dinâmica Pressão de estagnação – É a pressão obtida quando um fluido em
escoamento é desacelerado até a velocidade zero por meio de um
processo sem atrito.
A equação acima estabelece que
a pressão de estagnação (ou
total) é igual à pressão estática
mais a pressão dinâmica.
Exemplo: Uma maneira de
descrever as três pressões é
imaginar o vento batendo contra
a palma de sua mão em regime
permanente. A pressão estática
será a pressão atmosférica; a
pressão maior que você sente no
centro da palma da sua mão será
a pressão de estagnação; e o
acréscimo de pressão (em
relação pressão atmosférica)
será a pressão dinâmica.
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4.3) A equação de Bernoulli – Pressões Estática, de
Estagnação e Dinâmica Resolvendo a equação para V temos:
Assim, se a pressão de estagnação e a pressão estática puderem ser medidas
em um ponto, a equação acima dará a velocidade local do escoamento. A
pressão de estagnação é medida por meio de um sonda com orifício posicionada
na direção do escoamento e em sentido oposto a ele. Tal instrumento é chamado
de sonda de pressão total (ou de estagnação) ou tubo pitot (ou tubo de Pitot)
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Exemplo 1
Dados:
𝜌𝑎𝑟 = 1,23 𝑘𝑔/𝑚3
𝜌𝐻𝑔 = 13600 𝑘𝑔/𝑚3
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Exemplo 2
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Exemplo 3
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4.4) A equação de Bernoulli – Linha de energia e
Piezométrica Se dividirmos a equação de Bernoulli por g, obtemos:
𝑝
𝜌𝑔+
𝑉2
2𝑔+ 𝑧 = 𝐻
Onde H é altura de carga total do escoamento. Ela mede a energia
mecânica total em unidades de metros. Definindo a altura de carga total
como sendo a linha de energia LE e através dela encontramos uma
aproximação gráfica muito útil.
𝑝
𝜌𝑔+
𝑉2
2𝑔+ 𝑧 = 𝐿𝐸
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4.4) A equação de Bernoulli – Linha de energia e
Piezométrica A linha de energia pode ser medida usando um tubo pitot (carga total).
Colocando este tubo no escoamento mede-se a pressão total,
𝑝0 = 𝑝 +𝜌𝑉2
𝑣, de modo que isso causará um aumento de altura na coluna
de um mesmo fluido ℎ =𝑝0
𝜌𝑔=
𝑝
𝜌𝑔+
𝑉2
2𝑔.
Definindo z como a posição vertical do tubo pitot medida a partir de algum
ponto referencial, a altura de coluna de fluido, medida a partir do ponto
referencial, será:
ℎ + 𝑧 =𝑝
𝜌𝑔+
𝑉2
2𝑔+ 𝑧 = 𝐿𝐸 = 𝐻
Ou seja, a altura da coluna, medida a partir do ponto referencial,
anexado a um tubo Pitot indica diretamente a LE.
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4.4) A equação de Bernoulli – Linha de energia e
Piezométrica A Linha Piezométrica é definida por:
𝐿𝑃 =𝑝
𝜌𝑔+ 𝑧
Ela pode ser medida utilizando a tomada de pressão estática, que causará
um aumento de altura na coluna de um mesmo fluido ℎ =𝑝
𝜌𝑔.
Se a posição da tomada é também z então a altura da coluna do fluido,
medida a partir do ponto referencial será h + z =𝑝
𝜌𝑔+ 𝑧 = 𝐿𝑃
Ou seja, a altura da coluna anexada à tomada de pressão estática
indica diretamente a LP.
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4.4) A equação de Bernoulli – Linha de energia e
Piezométrica A partir das linhas de energia e
piezometrica podemos obter:
𝐿𝐸 − 𝐿𝑃 =𝑉2
2𝑔= 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑑𝑖𝑛â𝑚𝑖𝑐𝑎
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