Es_08 Meccanica applicata
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Fondamenti di Meccanica Applicata 1 Esercizi © Politecnico di Torino Pagina 24 di 61 Data ultima revisione 20/03/01 Autore: Stefano Pastorelli Politecnico di Torino CeTeM Esercizio 8 Un disco uniforme, di massa m e raggio r, è vincolato a due molle di rigidezza k, come indicato in figura. Il disco rotola senza strisciare su un piano di appoggio inclinato dell’angolo ϑ sull’orizzontale. Sono dati: m = 500 kg; k = 10 kN/m; ϑ = 30°. Nell’ipotesi di piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio statico, disegnare il diagramma di corpo libero del disco e determinare: 1. l’allungamento statico della molla collegata con il centro del disco; 2. la frequenza naturale del sistema. [x st =49 mm; f n =1.3 Hz] In figura 8.1 è raffigurato il diagramma di corpo libero del disco in un generico istante durante il moto. Con x si indica lo spostamento del centro del disco rispetto alla configurazione corrispondente a molle non deformate e con γ la sua rotazione. Il disco ruota intorno a C , centro di istantanea rotazione, quindi l’allungamento della molla superiore è il doppio di quello della molla collegata al centro del disco. In condizioni di equilibrio statico il disco è fermo con 0 = = γ & & & & x .
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esercizio dinamica
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Fondamenti di Meccanica Applicata
1 Esercizi
Politecnico di Torino Pagina 24 di 61 Data ultima revisione 20/03/01 Autore: Stefano Pastorelli
Politecnico di Torino CeTeM
Esercizio 8 Un disco uniforme, di massa m e raggio r, vincolato a due molle di rigidezza k, come indicato in figura. Il disco rotola senza strisciare su un piano di appoggio inclinato dellangolo sullorizzontale. Sono dati: m = 500 kg; k = 10 kN/m; = 30. Nellipotesi di piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio statico, disegnare il diagramma di corpo libero del disco e determinare:
1. lallungamento statico della molla collegata con il centro del disco;
2. la frequenza naturale del sistema. [xst=49 mm; fn=1.3 Hz]
In figura 8.1 raffigurato il diagramma di corpo libero del disco in un generico istante durante il moto. Con x si indica lo spostamento del centro del disco rispetto alla configurazione corrispondente a molle non deformate e con la sua rotazione. Il disco ruota intorno a C , centro di istantanea rotazione, quindi lallungamento della molla superiore il doppio di quello della molla collegata al centro del disco.
In condizioni di equilibrio statico il disco fermo con 0== &&&&x .
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Politecnico di Torino Pagina 25 di 61 Data ultima revisione 20/03/01 Autore: Stefano Pastorelli
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Per lequilibrio alla rotazione intorno a C risulta: 022sin = rxkrkxrmg stst
essendo r il raggio del disco e stx lo spostamento del centro del disco in condizioni statiche. Risulta quindi:
mmk
mgxst 495sin
==
Durante il moto di oscillazione del dico, per lequilibrio alla rotazione attorno a C si ha: 0sin22 =+++ rmgrxmkxrrxkI G &&&&
indicando con xd lo spostamento del centro del disco dalla posizione assunta nella configurazione di equilibrio statico risulta:
std xxx +=
dxx &&&& =
rx
rx d&&&&&& ==
Ricordando 2
2rmIG = , lequazione del moto diventa:
( ) 0sin52
2
=+++ rmgrxmxxkrrxrm dstd
d &&&&
03
10=+ dd xm
kx&&
Dal confronto con lequazione canonica risulta la pulsazione naturale del sistema:
mk
n 3102
=
e la frequenza naturale:
Hzmkf nn 30.13
1021
2===
