Es Optimization Inventory Models

Algoritmos de optimizacion para

Modelos de Inventario

Ariel J. Bernal 1

24 de Julio de 2003

1Trabajo final realizado para la catedra de Modelos y Simulacion II, UniversidadCaece en Mar del Plata, Argentina. Email: [email protected]

Resumen

Presentacion de metodos deterministas y estocasticos para obtener lotes optimosde pedido, que minimizen el costo considerando distintos tipos de demandas,utilizando para ello algoritmos de minimizacion de convergencia por excursiondinamica.

Indice general

1. Introduccion 3

2. EOQ 52.1. Modelo EOQ de Revision Continua . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1. Definicion del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.2. Determinacion del Costo Total Esperado . . . . . . . . . . 72.1.3. Calculo de variables esperadas optimas . . . . . . . . . . . 82.1.4. Comentarios sobre el modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Modelo EOQ de Revision Periodica . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.1. Definicion del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2. Determinacion del Costo Total Esperado . . . . . . . . . . 102.2.3. Calculo de variables esperadas optimas . . . . . . . . . . . 112.2.4. Comentarios sobre el modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3. Modelo EOQ con Retropedidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.1. Definicion del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.2. Determinacion del Costo Total Esperado . . . . . . . . . . 142.3.3. Calculo de variables esperadas optimas . . . . . . . . . . . 142.3.4. Comentarios sobre el modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Demanda Variable 173.1. Modelo de demanda variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.1. Definicion del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2. Modelo EOQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.1. Detalle de la Implementacion . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.2. Resultados Obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3. Busqueda exhaustiva del lote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.1. Detalle de la Implementacion . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.2. Resultados Obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4. “Simulated Annealing” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4.1. Detalle de la Implementacion . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5. “Fast Search” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5.1. Detalle de la Implementacion . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4. Conclusiones 26

1

Indice de figuras

2.1. Inventario vs. tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Curva de costo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Inventario vs. tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4. Funcion de Costo EOQ con retropedidos . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1. Inventario vs. tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2. Demanda vs. tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3. Inventario EOQ vs. tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4. Costo vs. lote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5. “Simulated Annealing” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2

Capıtulo 1

Introduccion

En el presente trabajo se intentara dar solucion al problema de hallar el me-jor lote de pedido para una demanda determinada, este problema dista muchode ser sencillo para demandas no lineales y puede se irresoluble analiticamentepara demandas no deterministas con ciertas distribuciones.

La determinacion de la demanda a priori es una tarea complicada para esce-narios en donde la resultante dependa de un numero considerable de variables,pero para determinados escenarios, la demanda es una propiedad mas del nego-cio.

Para establecer el valor del lote optimo, aplicaremos distintos algoritmos,algunos de los cuales si bien no fueron disenados para el presente problema seproponen como una innovacion al tema.

Como primer paso empezaremos detallando los distintos modelos en sus va-riantes continuos y priodicos, esta diferenciacion se realiza por el hecho de quesu implementacion como algoritmo de computadora hace infeasible la formula-cion de una simulacion continua.

Luego continuaremos con la aplicacion de metodos para la busqueda de lo-tes optimos sobre demandas en general, para esto expresaremos en terminos dealgoritmia el costo total esperado en un periodo determinado.

Hasta hace unos anos la creacion de algoritmos como los presentados aquı,era impensable puesto que los tiempos de respuesta de las computadoras no sellevaban de la mano con los tiempos que requieren hoy por hoy los negocios,pero con el advenimiento de nuevos procesadores con mayor capacidad de cal-culo hoy estamos en posibilidad de realizar decenas de megaflops, lo que haceposible que podamos disenar y aplicar algoritmos que esperen realizar decenasde millones de iteraciones en tiempos razonables de calculo.

Sobre el final del presente trabajor mostraremos un metodo innovador di-senado exclusivamente para el presente problema, dicho metodo se basa sobreideas heurısticas y no se da demostracion de convergencia alguna, pero no resul-tarıa, dificil llevarlo al terreno de la matematica analıtica para demostrar que

3

la solucion tiende a un mınimo global. De manera similiar a como se realizael analisis de convergencia para metodos tales como “Simulated Annealing” o“Algoritmos Geneticos”.

4

Capıtulo 2

EOQ

En este capıtulo describiremos las variantes sobre el modelo de ordenamientoconstante osea que los pedidos de compra son lotes de igual tamao. Encontra-remos que existen distintas maneras de evaluar el inventario en el tiempo yveremos como se relacionan.

5

2.1. Modelo EOQ de Revision Continua

2.1.1. Definicion del Problema

Figura 2.1: Inventario vs. tiempo

El modelo de EOQ como ya vimos es un modelo determinista, en donderealizamos las siguientes suposiciones:

Demanda constante en el tiempo

Reabastecimiento instantaneo

Clientes satisfechos, no hay ventas perdidas

No existe desabastecimiento

requerimos los siguientes parametros:

T es el perıodo de tiempo total.

D es la demanda total en el perıodo T

b es el costo de adquisicion de una unidad

K es el costo de ordenamiento por lote o pedido

C es el costo de almacenamiento de una unidad por unidad de tiempo

y esperamos obtener los siguientes datos:

τo tiempo de reposicion optimo

qo tamano del lote optimo

Ψo costo total esperado optimo

6

2.1.2. Determinacion del Costo Total Esperado

La suposicion de continuidad sobre la demanda nos hace plantear el stockde la siguiente manera:

s(t) = s0 −∫ t

0

d(x) dx, t ≤ τ (2.1)

en donde d(x) es la demanda en funcıon del tiempo y s0 es el stock inicial, y τ esel tiempo para el cual el stock llega a ser nulo. Por definicion d(x) es constantey podemos expresarlo como d y sera igual a D/T y s0 sera igual a q, luego

s(t) = q − D

Tt (2.2)

Si τ es el tiempo para el cual s(t) se anula entonces podemos decir que:

τ =q T

D(2.3)

El costo total esperado en un determinado lote podemos expresarlo comosigue:

ΨL = b q + K + C

∫ τ

0

s(t) dt (2.4)

donde el primer termino representa el costo de adquisicion del lote, el segundoel costo de ordenamiento del lote y tercero el costo de almacenamiento.

Reemplazando (2.2) en (2.4) y resolviendo la integral del ultimo miembro de(2.4) obtenemos:

ΨL = b q + K + C

[q τ − D

T

τ2

2

](2.5)

reemplazando el valor de τ obtenemos

ΨL = b q + K + Cq2 T

2 D(2.6)

Ahora si queremos hallar Ψ costo total esperado en el tiempo T entonces,sea nL la cantidad de lotes existentes en el tiempo T osea que nL = T/τ = D/qluego

Ψ = nL ΨL (2.7)

y reemplazando nL en (2.7) obtenemos:

Ψ = b D +K D

q+

C T q

2(2.8)

La Fig.2.2 muestra las distintas curvas dadas por (2.8) y se puede observarclaramente en el grafico donde se halla el mınimo de la funcion Ψ(q).

7

Figura 2.2: Curva de costo

2.1.3. Calculo de variables esperadas optimas

Para obtener el mejor lote y el mejor tiempo de reabastecimiento es necesariominimizar la funcıon de costo total, para realizar esto hallaremos su derivadarespecto a q:

∂Ψ(q)∂q

=C T

2− K D

q2(2.9)

e igualando a 0 obtenemos q al cual llamaremos q0 puesto que suponemos opti-miza la funcion de costo.

qo =

√2 K D

C T= EOQ (2.10)

para verificar que realmente es un mınimo hay que ver como se comporta laderivada segunda respecto a q para q > 0

∂2Ψ(q)∂q2

=2 K D

q3> 0 (2.11)

es evidente que sera mayor que cero si q es mayor que cero, esto era lo que estaba-mos esperando, luego podemos estar seguros de que se trata de un mınimo de Ψ.

De la relacıon T/τ = D/q podemos obtener el tiempo de reabastecimientooptimo τo

τo =

√2 K T

C D(2.12)

8

y reemplazando q en (2.8) obtenemos el costo total esperado optimo Ψo

Ψo = b D +√

2 K D C T (2.13)

2.1.4. Comentarios sobre el modelo

El lote optimo de reabastecimiento qo es llamado EOQ y como vimos este nodepende del costo de adquisicion de las unidades puesto sin importar el tamanodel lote se deben adquirir D unidades en total.

De la formula podemos ver que si incrementamos la demanda D o si in-crementamos el costo de ordenamiento K, EOQ se incrementa, pero si incre-mentamos el costo de almacenamiento C el lote se reducira y esto se debe quedisponer de stock inmovil genera gastos y cuanto mayor sea el stock mayor seranlos gastos.

Otra cuestion interesante de resaltar es que en (2.8) obtenemos tanto el costode ordenamiento

K D

q=

√K D C T

2

como el costo de almacenamiento

C q T

2=

√K D C T

2

de lo cual podemos inferir que el costo total de almacenamiento es igual al costototal de ordenamiento.

Este modelo asi como otros de revision continua no son generalmente usadosen simulaciones puesto que para que sean aplicados es necesario utilizar un pasotemporal ∆T lo suficientemente pequeno como para aproximar al continuo, conlo cual la perdida de performance es apreciable. Pero pueden ser utilizados comouna manera de acotar inferiormente los modelos de revision periodica.

9

2.2. Modelo EOQ de Revision Periodica


Este modelo se basa en revision periodica del inventario determinada porintervalos de tiempo ∆T constantes.

Las suposiciones para este modelo son:

Demanda constante y discretizada en intervalos de tiempo ∆T iguales



No hay desabastecimiento


T es el perıodo de tiempo total

n es la cantidad de intervalos de tiempo tal que ∆T = T/n y n ∈ N

D es la demanda total en el perıodo de tiempo T



C es el costo de almacenamiento de una unidad de tiempo






Dado el regimen discreto de la demanda escribimos el inventario evaluandolosolo en los intervalos de tiempo ∆T , entonces

sk = s0 −k∑

i=1

dk , 0 < k < kτ

donde sk es el stock a tiempo k ∆T , s0 es el stock inicial al cual podemospodemos denominar q, dk es la demanda en el perıodo k pero dado que supusimosque era constante podemos escribirla solo como d, kτ es el valor para el cual sk

se anula. Luego de reemplazar y calcular el valor de la sumatoria, obtenemos

sk = q − d k

resolviendokτ =

q

d(2.14)

10

kτ es un valor entero luego nuestro lote debera ser proporcion entera con res-pecto a la demanda establecida.

Ahora veamos como se calcula el costo total sobre un lote.

ΨL = b q + K + C ∆T

kτ−1∑i=0

si

en donde el primer termino es el costo de adquisicion del lote, el segundo esel costo de ordenamiento y el tercero representa el costo de almacenamiento.Observemos ademas que el limite superior de la sumatoria llega hasta kτ − 1puesto que no se permite desabastecimiento.

Resolviendo la sumatoria obtenemos

ΨL = b q + K + C∆T

[q kτ − d

kτ (kτ − 1)2

]

y reemplazando

ΨL = b q + K +C ∆T q2

2 d+

C ∆T q

2dado que

n =T

∆T=

D

d

siendo D la demanda total tal que D = n d luego podemos expresar a d como

d =D

T∆T

reemplazando obtenemos

ΨL = b q + K +C T q2

2 D ∆T+

C q

2

de aquı podemos calcular el costo total pero primero tenemos que definir lacantidad de lotes nL = D/q que tendremos en el intervalo T entonces

Ψ = nL ΨL

reemplazando

Ψ = b D +K D

q+

C T q

2+

C D T

2 n(2.15)

este resultado debe ser acorde a las restricciones impuestas en (2.14) de otramanera los resultados no seran los esperados.


Al igual que realizamos con el modelo continuo, para minimizar la funcionde costo total se obtiene la derivada respecto de q que como podemos observar,por analogıa, dara el mismo resultado de

qo =

√2 K D

C T+ ∆q

11

pero en este caso deberemos obtener el valor de qo mas cercano para que secumpla con (2.14) es por eso que sumamos el termino ∆q de manera que

kτ =qo

d∈ N

luego de obtener qo podemos calcular τo = kτ∆T en donde, reemplazando

τo =

√2 K T

C D+

∆q T

D

Para poder obtener ahora el valor del costo total del modelo debemos re-emplazar qo en (2.15), pero debido a la condicion de discretizacion impuestapresentaremos dos valores correspondientes a los valores de los enteros inferiory superior respectivamente

qo1 =

[√2 K

C D Tn

]D

ny qo

2 =

([√2 K

C D Tn

]+ 1

)D

n

luegoΨo = mın(Ψ(qo

1), Ψ(qo2))


De (2.15) podemos asegurar que los costos de ambos modelos son semejan-tes y que a medida que incrementemos la cantidad de divisiones temporales derevision obtendremos un valor mas aproximado al de revision continua, ademasvemos que el costo en el modelo continuo siempre se halla por debajo del costoen revision periodica.

Asi podremos escribirlım

n→∞ΨP = ΨC

siendo ΨP el costo total periodico y ΨC el costo total continuo. Tambien pode-mos observar que

qo = lımn→∞ qo

1 = lımn→∞ qo

2

12

2.3. Modelo EOQ con Retropedidos



En este modelo esta permitido el desabastecimiento y los clientes que no fue-ron satisfechos, lo son tan pronto como llega el siguiente pedido, es por eso quese denomina con retropedidos (“Backlogged”), pero existe un costo asociado aese desabastecimiento. Aquı se supone que el tiempo de reabastecimiento es ins-tantaneo y nosotros decidimos cuando realizar el siguietne pedido de manera deequilibrar el costo por almacenamiento respecto del costo de desabastecimiento.

Las supociciones que realizamos entoces son las siguientes:




Desabastecimiento permitido, con costo asociado







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π es el costo de desabastecimiento de una unidad por unidad de tiempo




so stock optimo



El costo total del lote podemos escribirlo como

ΨL = b q + K + Cs τ0

2+ π

(q − s)(τ − τ0)2

en donde τ0 es el tiempo para el cual el stock se anula, de ahı que

τ0 =s T

D

al igual que antes tenemos que la cantidad de lotes nL = T/τ = D/q y dadoque

Ψ = nL ΨL

podemos escribir el costo total como

Ψ = bD +KD

q+ C

s2T

2q+ π

T (q − s)2

2q(2.16)

La Fig. 2.4 muestra el costo como funcion de q y de s.


Como vimos anteriormente la funcion de costo no solamente depende deltamao del lote a pedir sino tambien del stock que resulta de restarle al lotepedido la cantidad de pedidos no satisfechos. Luego para calcular estos valoresoptimos debemos derivar en principio sobre una de las variables y luego sobrela otra.

∂Ψ(s, q)∂s

=T

q(s(π + C) − qπ)

igualando a cero y despejando s obtenemos:

so =π q

π + C

para verificar que el punto crıtico hallado anteriormente es un mınimo veremosque la derivada segunda respecto a s es mayor que cero, de esta manera

∂2Ψ(s, q)∂s2

=T

q(π + C) > 0, ∀s

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Figura 2.4: Funcion de Costo EOQ con retropedidos

y puesto que ası es entonces so es mınimo. Ahora derivemos respecto de q de lasiguiente manera

∂Ψ(so, q)∂q

= −K D

q2+

C T π

2(C + π)

igualando a cero y despejando q obtenemos

qo =

√s K D

C T

√C + π

π

si realizamos la derivada segunda veremos que

∂2Ψ(so, q)∂q2

=2 K D

q3> 0, si q > 0

de esta manera determinamos que qo es un mınimo para la funcion de costo yde este valor podemos ahora calcular los restantes valores optimos buscados elvalor del tiempo optimo de pedido

τo =

√s K T

C D

√C + π

π

el stock optimo

so =

√s K D

C T

√C + π

π

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y por ultimo el valor del costo total esperado optimo

Ψo = b D +√

2 K D C T

√π

C + π


El valor de π no es facil de determinar excepto que se halle determinadopor algun tipo de contrato en donde se specifique de antemano. Conforme π →∞ tanto el valor de q como Ψ tienden a los valores obtenidos de EOQ sindesabastecimiento.

16

Capıtulo 3

Demanda Variable

Durante la aplicacion de EOQ vimos que la demanda era constante y que-daba determinda por la demanda total y el tiempo total de evaluacion. Es poreso que podemos ver a la demanda como la derivada respecto del tiempo de lademanda total, aunque no hay que confundir estos terminos, la demanda totalexpresa el total de articulos, mientras que la demanda como tal esta en unidadesde articulos requeridos por unidad de tiempo, y luego

D =∫ T

0

d(t) dt

pero para la aplicacion de estos modelos en la realidad debemos utilizar ecua-ciones discretas, de manera que

D =kT∑0

dk ∗ ∆T

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3.1. Modelo de demanda variable


k-1 k k+1

DT

tiempo

I(t)


Para establecer el problema determinaremos las siguientes suposiciones



Existe desabastecimiento solo en un ∆T por Lote







π es el costo de desabastecimiento de una unidad por unidad de tiempo

ξ el coeficiente de repedidos “relogged”, tal que 0 es ninguno y 1 todos.



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Como vemos en la Fig. 3.1 el modelo para establecer el costo a tiempo tkse basara en el punto anterior tk−1, con esto estamos afirmando que la relacionrespecto del continuo se dara por exceso.

El algoritmo para establecer el costo total lo expondremos de la siguientemanera:

Funcion Costo(). I0 = q.. mientras(k < n). Ik = Ik−1 − dk−1

. si(Ik > 0)

. Ψk = Ik−1 C ∆T

. sino

. Ψk = Ik π ∆T

. Ik = q − Ik ξ

. Ψk = Ψk + Ik b + K

.

. Ψ =∑n−1

0 Ψk

como podemos observar en el algoritmo, detallamos tanto el costo por desa-bastecimieto π como el coeficiente de repedidos ξ, pero resulta claro del modelo,que π debe ser mayor que cero y de hecho, debe ser un valor apreciable puestoque sino resultarıa un modelo en el cual la mejor solucion serıa la no inversion,osea que el lote sea nulo. Esto aunque parezca absurdo es moneda corriente enlas empresas en donde solo buscan disminuir su costo para incrementar los mar-genes de utilidad e incrementar ası la ganancia, llegando a veces al caso extremoy absurdo de no vender para no entrar en gastos.

Por esta razon es que vemos al problema de minimizacion de costos como unsubproblema o problema incompleto del modelo real en donde debemos maximi-zar la utilidad para obtener los mejores resultados. El desarrollo de un modelocomo el propuesto se deja como idea abierta para implementar a futuro.

Ahora utilizaremos la funcion expresada anterirormente para definir las dis-tintas soluciones al problema de la busqueda de un lote optimo de pedido.

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3.2. Modelo EOQ

3.2.1. Detalle de la Implementacion

tiempo

0 50 100 150 200 250 300 350

dem

anda

0

10

20

30

40E(d)

Figura 3.2: Demanda vs. tiempo

La aplicacion de este modelo es muy sencilla, tomamos el valor esperado dela demanda sobre un periodo de tiempo T y calculamos D luego aplicamos lasformulas para la obtencion de el EOQ continuo y obtenemos el lote optimo, apartir de este valor calculamos el costo con la funcion definida anteriormente.

3.2.2. Resultados Obtenidos

El resultado obtenido con este modelo no es de lo mejor si lo comparamoscon el metodo para obtener el mınimo por exploracion exhaustiva, pero la velo-cidad de calculo determina su funcionalidad.

Se puede realizar pruebas sobre un modelo donde la demanda sea constan-te y se llega a ver que el resultado del costo sobre el algoritmo es superioral costo obtenido en el modelo continuo esto se debe a que la aplicacion delmetodo da como dijimos anteriormente una solucion por exceso y que debidoa que en el modelo discreto no existe la posibilidad de pedir menos de un lote,el costo de adquisicion y de ordenamiento son indivisibles para el ultimo pedido.

Las diferencias antes mencionadas se hacen mınimas si se incrementa el nu-mero de divisiones temporales, haciendo tender ∆T a cero, tambien dependedel numero de lotes que se establesca puesto que si se incremente este valor severa minimizado el ultimo pedido.

20

En la Fig. 3.3 podemos observar la realizacion del inventario en funcion deltiempo para el lote optimo obtenido mediante el modelo anterior.

En la figura se puede observar como el invetario en algunas oportunidadesno llega a anularse antes de realizarse el siguiente pedido puesto que inmedia-tamente de existir el desabastecimiento se realiza el pedido que compensa lademanda insatisfecha en el mismo ∆T .

tiempo

50 100 150 200 250 300 350

inve

ntar

io

0

50

100

150

200

250

300

Figura 3.3: Inventario EOQ vs. tiempo

Los valores utilizados para la obtencion de este grafico y del grafico de lademanda dado en la Fig. 3.2 son los siguientes:

Demanda: di = 20 + 10 sin(6 π i) + N (0, 5) suma de un seno mas ruidoGaussiano.

T=365 dıas, n=365

b=10, K=1000, C=0.5

π=50, ξ=0

Los resultados fueron:

qo = 281,68

Ψo = 123808,72

ΨD = 134880,47

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3.3. Busqueda exhaustiva del lote


Para poder implementar una busqueda exhaustiva primero hay que definirel rango donde se quiere buscar el mınimo, esto es obvio puesto que no podemosexplorar el conjunto infinito de los reales, ası que nos limitamos a revisar solouna intervalo definido por (qmax, qmin) el cual, por ser nuevamente infinito paravalores reales de tamano de lote, no podemos explorar, luego debemos definirun ∆q para poder movernos en el intervalos, tambien definiremos un ni tal quesea el numero maximo de iteraciones que vamos a realizar.

Luego de definir las variables anteriores, iteramos sobre q enviandolo a lafuncion de costo, definida anteriormente.

3.3.2. Resultados Obtenidos

Como primera medida podemos observar que la definicion para mejorar elcosto depende directamente de la precision con que dispongamos ∆q en la me-dida que mejoremos este valor, mejoraremos el valor de nuestor costo.

Es previsible que este metodo sea demasiado lento para converger a valoresaceptables para tamanos de lotes variables, pero para nuestro caso de lote cons-tante, este metodo resulta efectivo para, al menos poder verificar otros metodosmas eficientes.

Tambien resulta interesante el siguiente grafico, donde se puede observar lodificil de que resulta identificar un mınimo global puesto que la funcion poseedemasiados dientes de sierra, que pueden ser facilmente confundidos.

q (lote)

0 200 400 600 800 1000

cost

o

2.0e+4

4.0e+4

6.0e+4

8.0e+4

1.0e+5

1.2e+5

1.4e+5

Figura 3.4: Costo vs. lote

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3.4. “Simulated Annealing”

El metodo de optimizacion surge a mediados de los ’80 fue establecido porS. Kirkpatrick, C.D. Gellatt y M.P. Vecchi con la presentacion de una publica-cion en la revista “Science”, en base a resultados previos de Metropolis, la cualmostraba una aplicacion del metodo al problema del agente del viajero y otrosproblemas NP-completos.

Dicha solucion establecia una conexion entre la mecanica estadıstica, queexpresa el comportamiento de sistemas con muchos grados de libertad en uneequilibrio termico a temperatura finita, y una optimizacion combinatorial, en-contrando el mınimo de una funcion que depende de muchos parametros.

La idea del metodo se basa en determinar una temperatura (imaginaria)inicial alta para el estado incial, en el cual podemos excursionar con grandessaltos por todo el espacio, en donde queremos hallar el mınimo, y luego al bajarla temperatura vamos disminuyendo los saltos hasta llegar el punto donde nosquedamos inmoviles. Dicho punto se puede asociar a un estado de energia mıni-mo en el cual todo ya se ha estabilizado. En analogıa con los procesos fısicos,podemos asemejar al proceso de reduccion de la temperatura sobre un vidrio enestado liquido, si se disminuye la temperatura rapidamente este, se quebrara ose llenara de imperfeciones tales como burbujas de aire, pero si la temperaturase disminuye lentamente el proceso produce un cristal perfecto.

La solucion brindada por Kirkpatrick permitio calcular el problema del via-jero para mas de 6000 ciudades, dando asombrosos resultados, y siendo 50 ciuda-des el maximo establecido hasta ese entonces puesto, que el orden del problemaes !n.


El algoritmo basicamente responde a:

Funcion SimulatedAnnealing(). mientras(k < ni). q = qo(1 + α (U [0, 1) − 0,5). Ψ = costo(q). siΨ < Ψo

. Ψo = Ψ y qo = q

. sino

. si e(Ψ−Ψo

kT ) > U [0, 1). Ψo = Ψ y qo = q.. kT = kT ∆kT

Para poder implementar este metodo necesitamos determinar:

ni que es el total de iteraciones maximo

kT0 Temperatura Inicial

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α Umbral de excursion

∆kT Coeficiente de disminucion de la Temperatura

El metodo converge, segun se demuestra, al mınimo global, conforme nuestronumero de iteraciones aumente, la diferencia de este metodo respecto de otroscon caracteristicas de busquda sobre vecindarios y exhaustivos es que, este tienela posibilidad de salir de un mınimo local puesto que acepta un valor mayor comooptimo en caso de que se cumpla la desigualdad de la exponencial respecto delnumero uniforme.

x

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

y

35

40

45

50

55

60

65

Minimo LocalMinimo Global

Figura 3.5: “Simulated Annealing”

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3.5. “Fast Search”

Este metodo resulta una variante muy interesante del metodo “SimulatedAnnealing”, para situaciones en donde el numero de variables es pequeno yexiste una envolvente sobre la funcion a minimizar.Este metodo resulta mas eficiente que los demas probados hasta el momentopuesto que tanto la simplicidad del algoritmo, como las caracteristicas intrıncicasde este lo hacen converger mucho mas rapido.


Este nuevo algoritmo responde a:

Funcion FastSearch(). mientras(k < ni). q = q + ∆q α (U [0, 1) − 0,5). Ψ = costo(q). si Ψ < Ψo

. Ψo = Ψ y qo = q

.

. si k mod nj = 0

. ∆q = β∆q y qo = q

Los factores a determinar para utilizar dicho metodo son:

ni que es el total de iteraciones maximo

α Umbral de excursion

nj total de iteraciones de excursion

β Coeficiente de disminucion del lote

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Capıtulo 4

Conclusiones

La solucion de problemas de inventarios son aplicables directamente a la in-dustria y sectores empresariales, puesto que los inventarios representan su fuentese subsistencia, es por ello que debemos entender como funcionan los procesosque hacen a la teorıa de inventarios.

La investigacion de metodos que solucionen el problema de la determinacionde cuanto y cuando realizar los pedidos dentro de una empresa, puede hacer queeviten errores y se minimizen costos innecesarios que ayuden a una empresa adiferenciarse de su competencia por su eficiencia.

El presente trabajo deja como problemas abiertos, la soluciones del problemacompleto que incluye la utilidad tal que se pueda maximizar la ganacia.

Otro problema que se deriva de los anteriores tratados, es la solucion debusqueda de n lotes variables que minimizen el costo total asociado con unademanda variable. Este no es un problema sencillo puesto que la funcion aminimizar debe responder a lo siguiente:

fΨ(n, q1, q2, . . . , qn)

en donde el numero de variables a simular depende de la variable n y tal que

D =n∑

i=1

qi

pero sin duda alguna este modelo es el que mejor representa la realidad de undepartamento de compras, que tiene una demanda estacional la cual suple conel pedido de lotes diferentes en tamno.

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Bibliografıa

[1] S.Kirckpatrick, C.D. Gellatt,Jr., M.P. Vecchi, Optimization by SimuatedAnnealing, Journal Science, 4598 Vol.220 (1983)

[2] E.Aarts, J.Korst, Simulated Annealing and Boltzmann Machines, John Wi-ley & Sons, Ch 2–4

[3] Metropolis N., Ulam S., The Montecarlo Method, Journal of American Sta-tistical Association, 44N247, 335–341 (1949)

[4] Bennet Fox, Faster Simulated Annealing, SIAMJ Optimization, Society forIndustrial and Applied Mathematics, 5 No. 3 pp488-505 (1995)

[5] D. Bertsekas, Dynamic Programming: Deterministic and Sthocastic Models,Prentice-Hall, Ch 1 (1987).

[6] S.Ferrando,A.J.Bernal, L.J.Bernal, E.Dolittle Probabilistic matching per-suit with gabbor dictionaries, Journal Signal Processing, Elsevier 5N33(2000).

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