METODOS NUMERICOS

Definición de Métodos Numéricos.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal

forma que sean resueltas con operaciones aritméticas, Aunque hay muchos tipos de métodos

numéricos todos comparten una característica común, llevan cabo un buen número de tediosos

cálculos aritméticos.

Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de

resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir

esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar

correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad

para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensión

de los principios científicos básicos.

Los métodos numéricos son adecuados para la solución de problemas comunes de ingeniería,

ciencias y administración, utilizando computadoras electrónicas.

Para resolver el problema con una computadora significa mucho más que el trabajo que ejecuta

la maquina. 

Identificación y definición de objetos. Descripción matemática.

Análisis Numérico.

Programación de la computadora.

Verificación del programa.

Producción.

Interpretación.

TEORIA DE ERRORES

Exactitud, Precisión.

La exactitud de una medición hace referencia a su cercanía al valor que pretende medir.

La precisión está asociada al número de cifras decimales utilizados para expresar lo medido.

Un instrumento inexacto nos entrega resultados sesgados, "desplazados"; uno impreciso,

resultados "ambiguos", "difusos".

Ejemplo. Una pesa es exacta si nos entrega el peso correcto, sin agregarle ni quitarle.

Asimismo, es más precisa en la medida que el aparato usado es capaz de detectar diferencias

de peso más pequeñas.

La exactitud y precisión exigibles a una medición, dependerán de los objetivos del estudio que

la utiliza.

1

Estos son errores de precisión y exactitud ajenos al proceso de medición inicial y son

introducidos típicamente por los métodos numéricos usados y por la aritmética del computador

que tiene una precisión finita para representar interiormente a los números.

Errores

Todos los resultados de la aplicación de métodos numéricos van acompañados de un error que

es conveniente estimar.

En muchas ocasiones esto no es posible hacerlo de un modo cuantitativo, en otras, en cambio,

pueden llevarse a cabo análisis de errores que pueden ser:

a priori, cuando no se utilizan los resultados en el análisis, que puede llegar a ser muy

complejo (Ejemplo: las expresiones del error de una simple división basadas en las del

cálculo diferencial).

a posteriori, cuando se utilizan los propios resultados en el análisis de los errores.

Es conveniente tener presente en todo momento cuáles son las fuentes de los errores, lo que

puede ser una ayuda definitiva a la hora de resolver eventuales problemas prácticos, si bien es

cierto que éstas actúan siempre juntas, haciendo muy difícil el conocimiento detallado de la

contribución de cada una en cada caso.

FUENTES DE ERROR

Son tres, que dan lugar a una clasificación de los errores de acuerdo con ellas:

Inherentes.

Asociado a la precisión de los datos de ingreso. ( Ejemplo. El uso de en lugar

de 1/3.) Su característica principal es que se propaga a la salida. Esta propagación

puede estudiarse mediante análisis de sensibilidad, que permiten detectar

hipersensibilidades de los resultados hacia variables específicas en rangos

particulares, de modo que puedan tomarse precauciones especiales en esos casos.

Truncamiento.

Asociado a la sustitución de procesos infinitos por procesos finitos, tales como el

truncamiento de series, el uso de sumas limitadas para el cálculo de integrales o el uso

de diferencias finitas para el cálculo de derivadas. Los errores de truncamiento causan

inexactitud de los resultados.

Cuando se comparan unos métodos numéricos con otros suelen estudiarse algunas

propiedades asociadas con los errores, en estos casos es al error de truncamiento al

que se refiere, , que se expresa en función de algún parámetro conveniente, h, que

tiende a 0 (o a ) cuando el error es nulo.

Es frecuente comparar:

Convergencia:

cuando

2

Comportamiento asintótico

cuando

Estimación real del error:

para todo

Redondeo.

Asociado a la precisión limitada con la que se realizan las operaciones (cifras

significativas). Su mayor peligro radica en su tendencia a acumularse.

Ejercicio 2. Calcular los errores inherentes, de truncamiento, de redondeo y total resultantes de

la evaluación de sí el valor de x es 0.3333, se aproxima por una serie de Taylor con

cuatro términos.

y las operaciones se hacen con cuatro cifras:

CLASIFICACION DE LOS ERRORES

ERRORES INHERENTES.

Son aquellos errores cometidos por la persona al tomar los datos de lecturas de instrumentos

de medición, al pasar éstos datos a la computadora o bien por verdaderas equivocaciones por

el manejo de los datos.

ERRORES POR REDONDEO.

3

Velocidad de convergencia:

Es aquel tipo de error en donde el número significativo de dígitos después del punto decimal se

ajusta a un número específico provocando con ello un ajuste en el último dígito que se toma en

cuenta.

ERRORES POR TRUNCAMIENTO.

Para llevar a cabo operaciones de algunas funciones matemáticas los compiladores ejecutan

estas funciones utilizando series infinitas de términos, pero es difícil llevar a cabo estos cálculos

hasta el infinito, por lo tanto la serie tendrá que ser truncada.

El error absoluto de una cantidad es igual al valor absoluto de la diferencia entre la cantidad

absoluta y su aproximación incluye sus unidades físicas.

__

X = X + Ex donde

X = cantidad verdadera

__

X = cantidad aproximada

Ex = error absoluto

__

Ex = |X – X |

FORMA RELATIVA.

El error relativo de una cantidad cualquiera es igual al cociente de el error absoluto entre la

cantidad verdadera, generalmente expresado como porcentaje ya que no tiene unidades.

__

Erx = Ex / X Ex / X

EJEMPLO:

Dos cantidades al ser medidas nos dan los siguientes resultados:

Error absoluto Error relativo

A = ( 100 + 1 )m Ea = 1m Era = Ea = 1m = 0.01 = 1%

X 100m

B = ( 8 + 0.8 )ft Eb = 0.8ft Erb = Eb = 0.8ft = 0.1 = 10%

B 8ft

4