ACADEMIA MEXICANA DE INGENIERIA

COMISION DE ESPECIALIDAD DE INGENIERIA CIVIL

EROSION AGUAS ABAJO DE PRESAS MEDIANTE ECUACIONES

DE ESTABILIDAD

ING. JOSE ANTONIO MAZA ALVAREZ

I. INTRODIJCCION

Las presas, una de las obras de ingeniería de mayor provecho para el hombre,

causan cambios notables en los ríos donde son construidas. En general, puede

decirse que en el embalse y en el tramo de río aguas arriba de ál ocurren --

principalmente procesos de sedimentación, mientras que aguas abajo de la cor

tina tienen lugar procesos erosivos y cambios morfológicos a lo largo del -

cauce principal. Por otra parte, en el embalse mismo se modifica el hidrogra

ma de la corriente y tiene lugar un cambio brusco en el transporte de sedi -

mentos. La tabla 1.1 muestra en forma sucinta las alteraciones mgs importan-

tes que sufren los ríos debido a las presas y en la tabla 1.2 se presenta una

lista mgs detallada de las modificaciones, cambios e impactos de estas obras.

Este trabajo sólo tratará la erosión que se produce en el "primer tramo" de

río inmediato aguas abajo de la descarga de la obra de toma, -ya sea que asta

tenga fines agrícolas o hidroeléctricos-, teniendo en cuenta los cambios mor-

fológicos que sufre el cauce, tanto por el proceso erosivo como por la modifi

cación del hidrograma medio anual (fig 1).

Lo que comúnmente se conoce con el nombre genérico de "erosión aguas abajo de

grandes presas" consiste en el descenso gradual del fondo del río a lo largo

-1-

de un tramo cuya longitud aumenta con el tiempo, y que se produce debido a

que todas las descargas de la presa estgn casi libres de sedimentos. Por

tanto, las partículas del fondo del río transportadas aguas abajo no son -

reemplazadas por otras que provengan de aguas arriba.

En otras palabras, justo al terminar la construcción de la presa o, mejor

dicho, al cerrar la obra de desvío, el tramo del río aguas abajo es el mis

mo que antes de la construcción y conserva su misma geometría y pendiente

y, por consiguiente, su capacidad de transporte de sedimentos. Cuando pos

teriormente se inician las descargas por la obra de toma, el material trans

portado no se sustituye con el sedimento que sale del embalse, puesto que -

todo se deposíta en él, sino que se toma del fondo de las primeras seccio--

nes del río, con lo que se produce un descenso paulatino del mismo. Ese des

censo o erosión es mayor en las secciones inmediatas aguas abajo de la des-

carga y disminuye hacia aguas abajo hasta una sección que permanece "maite

rada", en cuanto a esta erosión se refiere (figs 1 y 2).

Con el transporte de sedimentos ocurre lo contrario, ya que tiende a ser mí

fimo en las primeras secciones aguas abajo de la descarga, y aumenta progre

sivamente hasta alcanzar su mayor valor en la primera sección inalterada,

donde termina el tramo en proceso de erosión, para permanecer constante aguas

abajo de ella.

Hacia aguas abajo de esa primera sección inalterada, se considera que el ma

terial del cauce y la pendiente no varían con respecto a su condición origi

nal antes de la construcción de la presa, por lo que, si el gasto es cons--

tante, tambign lo es el transporte de sedimentos; es decir, hay continuidad

en el transporte líquido y sólido. A este segundo tramo, donde no ocurre la

erosión señalada, se le denomina "segundo tramo" del río aguas abajo de la

presa.

La erosi6n descrita se produce lenta y continuamente a lo largo de la vida

de la presa, siempre y cuando la corriente que produce las descargas en el

río tenga capacidad para transportar el material del fondo. Por tanto, el

tramo afectado por este proceso erosivo o primer tramo, aumenta en longitud

también en forma continua y gradual, así como desciende el fondo en cada -

una de las secciones del tramo afectado (figs 1 y 2). Por lo anterior se -

concluye que la erosión es máxima en la primera sección aguas abajo de la

-2-

descarga y que disminuye hacia aguas abajo hasta la primera secci6n maite

rada o no erosionada; ésta, segin se ha indicado, se desplaza paulatinamen

te hacia aguas abajo, señalando el principio del segundo tramo.

La erosi6n aguas abajo de las grandes presas depende principalmente de los

gastos descargados, de su variaci6n y permanencia, de las propiedades físi

cas del material del fondo y en consecuencia del transporte de sedimentos

que tiene lugar en el tramo inalterado o segundo tramo.

Aunque complejo, el cálculo del proceso erosivo puede llevarse a cabo con

facilidad, siempre y cuando el material en el fondo y en las profundidades

afectadas por la erosi6n sea el mismo en todo el primer tramo y si la des-

viaci6n estándar geométrica de los tamaños del material es menor que 3

(cJ g <3).

Este proceso se complica notablemente y, por tanto, su determinaci6n anal

tica, no s6lo cuando la erosi6n descubre materiales con diferentes granulo

metrías sino también si el material del fondo o el de los estratos descubier

tos por la erosi6n se acorazan. Si en todo el tramo y en toda la profundi-

dad el material es el mismo, pero la granulometría es extendida o bien gro

duada, con Og<3 (por lo que puede acorazarse) se debe tener en cuenta la

condici5n crítica mgxjma, ya que s6lo los gastos que la sobrepasen destru-

yen la coraza y producen transporte de sedimentos. En algunos ríos donde -

esto ocurre, s6lo hay transporte de sedimentos, y por ende erosi6n, cuando

se descargan grandes gastos por el vertedor. Para las descargas pequeñas

de la obra de excedencias o de la obra de toma, el fondo acorazado impide

el transporte de sedimentos y la erosi6n del fondo.

Como el principal obstáculo al que hay que hacer frente al estudiar la ero

si6n aguas abajo de embalses es la falta de observaciones sisternticas y

completas, su estudio ha sido para la mayoría de los investigadores ms un

ejercicio mental y matemgtico que una explicaci6n científica de un hecho

real.

-3-

2. METODOS DE SOLUCION

La mayoría de los autores que han tratado de determinar la erosión aguas aba

jo de grandes presas lo han hecho estableciendo un modelo unidimensional del

flujo y utilizando las siguientes ecuaciones diferenciales parciales: de con

tinuidad de líquido, de cantidad de movimiento y de continuidad del transpor

te de sedimentos.

Normalmente, el sistema de ecuación indicado se resuelve por diferencias fi-

nitas, aplicándolo a cada uno de los tramos en que se divide la longitud del

río en estudio. Hasta el presente, debido a la complejidad de las ecuaciones,

se consideran constantes las secciones transversales durante todo el proceso

erosivo; es decir, se considera que ellas se desplazan verticalmente sin carn

biar de forma. Por tanto, el ancho del fondo, donde tiene lugar el transpor-

te de sedimentos, también es constante. Por otra parte, esta solución no es

comprensible para el ingeniero proyectista de obras hidráulicas, al menos en

una primera instancia.

El método que se muestra en este trabajo, que tampoco toma en cuanta la tota

lidad de los fenómenos naturales que ocurren en un río, ofrece, sin embargo,

las siguientes ventajas: la principal consiste en considerar tanto el proce

c

-4-

so erosivo corno al cambio morfol6gico del cauce dentro del mismo tramo; es

decir, las variaciones del ancho de la secci6n simultáneamente al cambio -

de la pendiente, del tirante y del transporte de sedimentos. En segundo lu

gar, no presenta las inestabilidades que ocurren con algunos métodos num-

ricos. Tercero, se considera que es ms accesible para un ingeniero proyec

tista, siempre y cuando tenga conocimientos de hidrgulica fluvial.

Para cuantificar la erosi6n aguas abajo de presas dicho método utiliza las

ecuaciones que propusieron Maza-Cruickshank en 1973 para estudiar la esta-

bilidad de cauces.

Cn

-5-

3. ESTABILIDAD DE CAUCES

El método propuesto por los autores mencionados se basa en el concepto de

los tres grados de libertad de una corriente natural y emplea tres ecua--

ciones fundamentales: una de resistencia al flujo o fricción, una de trans

porte de sedimentos y una última que toma en cuenta la resistencia de las

orillas.

Como en un cauce estable existe continuidad tanto del gasto líquido como -

de los sedimentos, las dos primeras ecuaciones deben intervenir. La terce-

ra ecuación puede ser alguna relación que minimice el trabajo que el río -

tiene que realizar para transportar los sedimentos y el gasto líquido. La

que los autores consideraron adecuada como tercera fórmula fue una empíri-

ca que relaciona el ancho y el tirante del escurrimiento y en la cual inter

viene la resistencia de las orillas.

A continuación se presentan las fórmulas fundamentales del método de esta-

bilidad propuesto, así como algunos comentarios pertinentes al tramo de río

inmediato de aguas abajo de las presas.

L

3.1 Resistencia al flujo

Para tener en cuenta las pérdidas por fricci6n, es indispensable usar una

f6rmula que se pueda aplicar cuando hay transporte de sedimentos, por ejem

pio, las de Engelund, Allam-Lovera y Kennedy, Einstein-Barbarossa, Cruick-

shank-Maza, etc. Esta ifltima es la tmnica que no requiere de gráficas adi--

cionales para su aplicaci6n y que, por ser de manejo muy sencillo,se eligi6

en este trabajo.

Dicha f6rmula establece que

d 0.634 0.456

S U = 7.58 W50

84

Esta ecuaci6n se aplica s6lo al régimen inferior, el cual se presenta al -

existir rizos o dunas en el fondo. Dicha condici6n exige que se cumpla la

relacion

0.35

> 83.5 ( d

(2)

En las ecuaciones anteriores el significado de las variables es

U velocidad media del flujo en m/s

S pendiente hidráulica

velocidad de caída de las partículas con diámetro D 50 , en m/s

D 84

tamaño de las partículas del material del fondo, en que el 84 por

ciento es menor que ál, en m

(ys - y)/y

d tirante de la corriente, en m. Se obtiene dividiendo el área de la sec

ci6n transversal entre el ancho de la superficie libre

A d

b (3)

-7-

Para facilitar las operaciones y la presentaci6n de las f6rmulas de diseño

se agrupan las variables que dependen del material en una nueva variable.

Con ello la ec 2 toma la forma

U = a d 0634 s °456

(4)

donde

/ . a = 7.58 w D

0634A 0456 (5)

50 8

Por continuidad, Q = bdU, con lo que se obtiene la primera f6rmula fundamen

tal que se aplica en este trabajo

1.634 0.456 Q= ctbd S

(6)

Conviene tener en cuenta que si existen datos del río cuando por él escurra

el gasto formativo o uno muy similar, la constante a puede derivarse direc-

tamente, con lo que su valor se ajusta a la realidad.

Al estudiar la erosi6n aguas abajo de grandes embalses, a debe valuarse con

la ec 5 cuando la grariulometría del fondo se modifique durante el proceso -

erosivo; si esto no ocurre, se puede considerar como constante.

Las condiciones normales de escurrimiento de un río son con régimen inferior,

esto es, con la presencia de dunas o rizos en el fondo ya que s6lo se presen

ta régimen superior o de transici6n en grandes avenidas. Puesto que los gas-

tos descargados por la presa están controlados y el tramo estg sujeto a ero-

si6n y, por tanto, las velocidades medias del escurrimiento tienden a dismi-

nuir, en el tramo en estudio se tendrá régimen inferior. Si en algiin caso es

pecial se sospechara la presencia de régimen superior, se deberá usar la f5r

mula correspondiente que podrá consultarse en la referencia 3.2.

En la ec 6 el gasto es conocido. Antes de la construcci6n de la presa es igual

al formativo del río. Construida la obra, el nuevo gasto formativo es igual

al gasto medio de la obra de toma. Si además de esta descarga, la obra de -

excedencias de la presa opera frecuentemente y por largos periodos, se debe

rá también utilizar el gasto medio de las excedencias. En el cálculo tendrán

que intervenir ambos gastos, asociando a cada uno el tiempo durante el cual

pasan anualmente por el río.

3.2 Transporte de sedimentos

Para calcular el transporte de sedimentos en ríos cuyo fondo está formado -

por arenas y gravas, los autores han utilizado las fórmulas de Meyer-Peter

y Müller y la de Engelund. La primera sirve específicamente para obtener

el transporte en la capa de fondo mientras que la segunda permite conocer

el transporte total del fondo. Sin embargo, se ha demostrado que cuando

= (DS/LDm ) < 0.3, prácticamente todo el transporte tiene lugar en la ca-

pa de fondo, y ásta es la condición que prevalece en muchas secciones del -

tramo sujeto a erosión aguas abajo de grandes embalses. Por otra parte, co-

mo la fórmula de Engelund da un transporte mayor que el real para condicio-

nes cercanas y menores que la crítica, exige que esta condición extrema ten

ga que conocerse o determinarse por separado. La ventaja de la fórmula de -

Engelund radica en que permite obtener el transporte total del fondo, cosa

que no ocurre con la de Meyer-Peter y MUhler. Por ello se debe utilizar en

los ríos donde haya transporte del fondo en suspensión, esto es Si T* > 0.3.

Por su parte, la fórmula de Meyer-Peter y MUhler indica la condición críti-

ca y es más precisa cuando el transporte es reducido, como acontece en mu -

chas secciones del tramo que nos ocupa.

La dificultad que presenta la fórmula de Engelund en la solución del tema

de este trabajo se supera con la fórmula de Shields. Con ella se puede de-

terminar el transporte total del fondo cuando áste se encuentra en suspen-

sión y, además, establecer la condición crítica como lo hace la fórmula de

Meyer-Peter y Mühler. Cuando T* > 0.3, se obtienen valores del mismo orden

de magnitud con los criterios de Engelund y Shields.

1

A continuación se presenta la fórmula de Meyer-Peter y Müller ya que en

gran parte del tramo en estudio sólo existirá arrastre en la capa del -

fondo; además, esta fórmula fue obtenida expresamente para material grue

so (arenas y gravas). Si se deseara utilizar la fórmula de Shields o al-

guna otra que hubiera sido calibrada o verificada para el tramo en estu-

dio, el manejo subsecuente de la ecuación es enteramente similar al que

aquí se muestra para la fórmula de Meyer-Peter y Müller.

La fórmula que los autores mencionados propusieron en 1948 -y que sólo

sirve para cuantificar el arrastre en la capa de fondo-, establece que

= 8B (g A D ) 0.5

[(- n'---) 1.5 dS 1.5

5 AD - 0.0471 (7) m

Puesto que el transporte no tiene lugar en todo el ancho de la superfi-

cie libre, se considera generalmente que el ancho del fondo donde ocurre

transporte es 0.8b, es decir

B = 0.8b (8)

Hay que verificar en el campo el valor propuesto de B y modificarlo de -

acuerdo con esa observación. El ancho del fondo debe darse como una fun-

ción de b para respetar las ecuaciones que se muestran adelante. Por otra

parte, conviene agrupar los términos conocidos que dependen del material

del fonda, con lo que la expresión anterior también se puede escribir como

1.5 = Eb(NdS - 0.047) (9)

en que

c 6.4 (gAD 35)

0.5 (10)

N = (.JL) '-al n AD5 (11)

El significado de las nuevas variables es

-10-

arrastre en la capa del fondo, expresado en m 3 /s

D m diámetro medio del material del fondo, en m. Se obtiene de

D m = 0.01 E D. p 1 (12)

p 1 porcentaje en peso, con respecto al total, del material con dig-

metro D i

D 1 diámetro medio de cada franja, con porcentaje p 1 , en que se ha -

dividido la curva granulomtrica. Se obtiene de

1/2 D = (D xD ) (13) max i mm.

donde D ma - x, -' mm y D - . son los diámetros máximo y mínimo de cada franja 11

n' rugosidad de Manning asociada a las partículas que, según Meyer-

Peter y Müller, vale

1/6 D 90

n' = D 90 enm (14) 26

n rugosidad total según Manning en el tramo en estudio, que es igual

a

d 2/3 n = (15)

donde d, S y U deben ser medidos en el tramo en estudio.

En las pruebas experimentales realizadas por los autores del método se -

utilizaron partículas cuyos diámetros variaron entre 0.4 y 30 mm.

-11-

Según la ec 9, si el arrastre es nulo, el término Q se elimina y queda

la relaci6n que establece la condiciún crítica de arrastre

, 1.5

n dS - 0.047 = 0 (16)

tDm

En estas circunstancias y si Dm > 0.0005 m, se puede considerar n'/n = 1,

ya que las ondulaciones del fondo tienden a desaparecer. Por tanto, la ec

16 tambín se escribe como

= 0.047

(17)

T = 0.047 ( y5 - Y ) D m (18) c

Por otro lado, si el transporte de sedimentos es grande o Si T* > 1, el -

término 0.047 se puede eliminar, con lo que la ec 7 se simplifica a

1.5

QB = e b (NdS) (19)

Además, conviene tener en cuenta que al efectuar el producto e N 15 se 1.

simplifican los términos D 5 . En esas circunstancias el transporte de

sedimentos, según los autores, no depende explícitamente del diametro me-

dio del material del fondo.

3.3 Resistencia de las márgenes

Todas las f6rmulas actuales que relacionan el ancho de la superficie li-

bre de un cauce con un tirante son empíricas. Al seleccionar entre dife-

rentes fuentes se escogi6 la f6rmula de Gluschkov, que establece que

bm = Kd (20)

-12-

donde

m exponente que vale

AD50 0.1

m = 0.72 dS

(21)

o bien

m = 0.72 T* 0.1 (22)

K coeficiente. Segcin Altunin, varia de 2 a 4 para cauces con material -

cohesivo, de 8 a 12 para cauces arenosos y de 16 a 20 para material -

arenoso muy suelto.

Si se toma cualquier autor de los incluidos dentro de la teoría del régimen,

a partir de sus f6rmulas de diseño se puede deducir una ecuaci6n del tipo de

la ec 20. Así, si se considera lo expresado por Lacey, Blench, Simons y Albert

son, se obtienen los siguientes valores promedio

Lacey Blench Simons y

Albertson

K - fondo y orillas de arena 10.65 6-13 10.2

K - fondo arenoso y orillas cohe 4-6 6.3 sivas

K - material grueso 7.0

m 0.66 0.66 0.7

De acuerdo con los estudios realizados por Stebbings y Friedkin en canales de

laboratorio, donde observaron la variaci6n del ancho y del tirante en seccio-

nes con diferente transporte de sedimentos, encontraron que el exponente m es

igual a .7 en todos los casos, mientras que el coeficiente K variaba de 8.22

a 25.82 entre el mínimo y mgximo transporte. Por tanto, en el estudio de la -

erosi6n aguas abajo de grandes embalses y si no se tienen datos para calibrar

-13-

las ecuaciones presentadas, se recomienda que K adquiera los siguientes va-

lores: K C = 10 para las secciones inmediatas aguas abajo de la presa donde

el transporte de sedimentos es casi nulo y Kr = 18 para la última secci6n

de aguas abajo del tramo sujeto a erosi6n, ya que no se tiene la seguridad

de que el transporte en ella sea múximo. Para las secciones intermedias, en-

tre los dos extremos señalados, se han probado diferentes variaciones de K

y los resultados mgs congruentes se obtienen cuando K varía en forma elípti

ca según la relaci6n

Iy_ _—7'x 2K. = K + (K - K ) (23)

C r c L 1

donde

Kc coeficiente en la primera secci6n del tramo en estudio inmediato,

aguas abajo de la presa, K 10

K coeficiente en la última secci6n del tramo sujeto a erosi6n. Corres- r

ponde a la del tramo del río no afectado por la erosi6n

K 18

L longitud del tramo sujeto a erosi6n. Distancia entre las, secciones

antes mencionadas, la cual aumenta con el tiempo

x distancia entre la primera secci6n y aquella donde se desea conocer

K. 1

3.4 Fúrmulas de diseño

A partir de las fórmulas fundamentales se obtuvieron las ecuaciones de diseño

que se presentan adelante. Puesto que tanto las características físicas del -

líquido y de los sedimentos como el gasto líquido son conocidos, lo usual es

que las variables dependientes sean b, d y S, cuyos valores están expresados

por las siguientes expresiones implícitas generales de diseño.

-14-

Para el ancho

2/3 2/3 2/3 2.583 2.193 b(2.583m ~ .526) [Q + O.047(cb) 1= Nc K (Q/a) (24)

Para el tirante, ya conocido b, es

d = bm,K (25)

Para la pendiente

2/3 1.089 2 2/3 2/3 0.0893 Q 2+3m 1.178m+0.696 O.047c K W E _) 3W (_9

(26) )S w - _____________ QB N K w 0.304

w

en que

= 6.4 (cD3 )0.5

' m

1.5

LD m

7.58w /D 0 634 0.456 a =

50 84

= l+l.634m (27)

En el estudio de la erosi6n aguas abajo de presas y según lo explicado al pre-

sentar las ecs 20 a 23, el exponente m adquiere un valor igual a 0.7, con lo -

que las ecs 24 a 26 toman la forma

Para el ancho

b 2/3

0.047 b 4

= NK 2.583 ()2.193

(28) c a

-15-

para el tirante, una vez conocida b

d = b°7 (29)

K

y para la pendiente

2/3 0.142 0.042 0.637 0.851 0.508 0.311

( S = NK () s - 0.047 K () (30) s cv o.

En la ref 32 se describen las simplificaciones ms notables que se pueden en-

contrar al estudiar la estabilidad de cauces, sin embargo, para el problema

aquí tratado las f6rmulas generales presentadas son suficientes.

-16-

4. METODO PROPUESTO

El método propuesto se basa en las fórmulas de estabilidad presentadas, ecs

24 a 26 o 28 a 30, y permite determinar tanto la erosión como el ajuste mor

fológico del primer tramo de un río situado aguas abajo de un embalse, el

cual, como se ha mencionado, aumenta en longitud con el tiempo. Antes de pre

sentar las ecuaciones y el procedimiento, conviene tener en cuenta que la -

solución exacta del problema se dificulta por los siguientes aspectos:

1 ° No existen mediciones de casos reales, sistemáticas, completas y realiza

das durante varios años, que permitan comparar los resultados analíticos

con esa realidad.

2 ° Se ha visto ya la cantidad de variables que intervienen en la cuantifica-

ción de la erosión y del cambio morfológico. Sin embargo, algunas de esas

variables deben obtenerse a partir de datos reales pero, por no disponer

de ellos, se suponen o se acepta su valor analítico sin ningón ajuste pos

tenor, como ocurre con el exponente m y el coeficiente K.

3 ° Para cuantificar la erosión aguas abajo de las presas, se supone la exis-

-17-

tencia del mismo material en el fondo del cauce, en las orillas y a lo

largo de toda el tramo, lo cual no es necesariamente cierto. Además,

se acepta que se trata del mismo material en toda la profundidad erosio

nada. Tángase en cuenta que si la erosión es grande pueden descubrirse

otros estratos con diferente material.

40 Al producirse un transporte limitado de sedimentos, áste tiende a aco-

razarse, tendencia que es mayor cuanto mayor es la desviación estándar

geométrica de sus tamaños. No se ha observado la variación de ese aco-

razamiento a lo largo del primer tramo, ni tampoco se ha medido la for

ma en que cambia el acorazamiento del centro de la sección hacia las -

orillas hasta llegar a la superficie libre del agua, sobre todo en las

secciones sujetas a erosión y especialmente en las primeras de aguas -

arriba.

Con este método se desea conocer en el primer tramo la erosión que sufre -

el fondo del cauce, las modificaciones de las secciones del río por el carn

bio del gasto formativo debido a la presencia de la presa, el cambio de --

pendiente provocado por la erosión antes señalada, así como estimar el tiem

po en que se producen esas alteraciones. De esta forma, se sabrán el perfil

del fondo, las variaciones en el tiempo de los anchos y tirantes en cada --

sección y de la longitud tótal del primer tramo con el transcurso del tiempo.

4.1 Cálculos preliminares

Para ello se efectuarán los cálculos que se indican y se tendrán en cuenta

las hipótesis que se señalan en 4.2.

1. Antes de construir la presa conviene conocer el gasto formativo, la peri

diente y las secciones transversales del tramo de río aguas abajo de la

futura obra, hasta una longitud aproximada de 30 km. Con ello se obtie-

nen K, m y c para ese tramo, sin necesidad de suponerlos.

Con esos parámetros ajustados a observaciones reales, el cálculo de la

socavación es más preciso.

—18-

Al final del primer tramo; es decir, a una cierta distancia de la presa

que varía en longitud con el tiempo, el cauce no es afectado por la ero

siún aquí tratada. Desde ese punto hacia aguas abajo, la pendiente hi--

dráulica del río se conserva igual a la original S

Por tanto, S = S r

Se calcula el nuevo gasto formativo de la descarga de la presa. Cuando

se tiene una planta hidroeláctrica puede considerarse el promedio de los

máximos diarios. Si el vertedor descarga durante periodos largos se tra

bajará además con el dominante asociado a esas decargas.

Con S.r y el nuevo gasto formativo Q, se obtiene el ancho br y el tirante

d r del cauce en el tramo no afectado por la erosi6n o segundo tramo.

Esos parámetros corresponden, por supuesto, a la última secci6n del primer

tramo. Para ello

4.1 Se calcula QB con la ec 26, dado S = S r

4.2 Conocido QB , se obtiene br con ayuda de la ec 24

4.3 Conocido br , se obtiene d con ayuda de la ec 25

En la primera secciún inmediata aguas abajo de la descarga de la obra de

toma o de excedencias de la presa no afectada por la erosi6n local, el -

transporte de sedimentos se considera nulo, por lo que se tendrá la pen-

diente hidráulica crítica S = S . Dicha pendiente se calcula con la ec

26, aceptando QB = 0, la cual toma la forma

0047 W

= N K w w j 1.178m+1

c (31)

Para el cálculo, el primer tramo se divide en n tramos iguales. En cada

uno de ellos se aplican las ecs 24 a 26. Puede notarse que las inc6gni-

tas son cuatro: Q5 , S, b y d en cada uno, pero como se dispone de s6lo

tres ecuaciones, se aceptarán algunas de las hipótesis que se indican en

4.2.

-19-

7. Si en el primer tramo del cauce las márgenes son de roca o muy resisten

tes, se pierde un grado de libertad, ya que el ancho b se considera cons

tante durante todo el proceso erosivo, y s6lo se requieren dos ecuacio--

nes, la 6 y la 9 para resolver el problema.

De ellas se obtiene

0 849' 2

/ 3 _ 1 B + O.047]1387

s (32) = ( )

N 1387 b

0.849 N 0.387

d= /cb 213 + 0.047

(33)

Se tienen dos ecuaciones con tres incógnitas: QBT , d y S; entonces el

procedimiento de ciculo que hay que seguir es similar a lo que se ex-

plica para tres grados de libertad.

4.2 Hip6tesis

Debido a que se tienen ms inc6gnítas que ecuaciones se establecen las si-

guientes hip6tesis:

a) El transporte de sedimentos varía de acuerdo con una ley preestablecida

desde cero en la primera secci6n, a QBr en la ititima secci6n del primer

tramo. Ambas secciones están separadas una distancia L r (medida a lo lar

go del río) que crece con el tiempo. Inicialmente se ha escogido en este

trabajo la variaci6n lineal, pero puede ser otra cualquiera, siempre que

sea continua. Se requiere posteriormente para verificar cuál es la corree

ta, que se cumpla con el principio de continuidad de sedimentos en cada

tramo.

Aceptada la variación Q5 , se obtienen b, d y S para todos los tramos en

que se divide la longitud L r utilizando las ecs 24 a 26.

-20-

En lugar de la hip6tesis anterior, se puede aceptar una variaci6n conocí

de 5 y obtener a partir de ella a b, d y QBT' dentro del primer tramo su

jeto a erosi6n.

Se ha indicado que el coeficiente K depende tambín del transporte de se

dimentos, ya que para un inico material de fondo, y en forma experimental

se obtuvo un valor de K = 8.22 para QB = O y de KMax = 25.82 para QB máxi

mo. Por tanto, se aceptará que K varía de K C = 10 en la primera secci6n, a

K = K r en la íltima secci6n. Aparentemente, tal variaci6n no es lineal,

por lo que se sugiere iniciar el cálculo con una f6rmula del tipo de la ec

23

'

= K + (Kr - Kc) 2

jl - ( ( 34) L

Si se desconoce Kr por falta de datos, se sugiere iniciar el cálculo de

K = 18.

La diferencia entre la ec 23 y 34 se debe a la posici6n del origen. En la

ec 23 está en la primera secci6n de aguas arriba y en la ec 34 en la jiltima

de aguas abajo (fig 3).

4.3 Cálculo de la erosi6n

Para ello se efectían los siguientes pasos

1. Considárese las figs 3 y 4. Se selecciona una longitud Lr para el tramo -

afectado por la erosi6n, un kil6metro por ejemplo, medido a lo largo del

río. Se elige un sistema coordenado donde el origen coincida con la últi-

ma secci6n del tramo erosionado (al final de L r ,medido a lo largo del río);

el eje x es horizontal y dirigido hacia la presa y el eje y es vertical y

dirigido hacia arriba. La distancia horizontal de la presa al origen de los

ejes es L; por tanto

—21

L = LCOSa

S = tana r

a = tan' Sr

Se divide L en n tramos, por ejemplo, 20; n = 20

En cada tramo se supone conocido QBi ,que, como primera opción, varía li-

nealmente de cero a Q 5 . Así se cumple

x. Q = ( l-----)

Bi L Q Br (38)

o bien

L. ri

Q Bi L Br =(1----)Q (39)

r

Recurdese que hacia aguas abajo del origen se cumple que

S = S r Y QB = QBr

Se calcula K para cada sección con ayuda de la ec 34 para

1, 2, .... n.

Conocidos QBi y K y con ayuda de las ecs 24 y 26, se obtienen b, d i y

S i para cada sección.

Se obtiene el perfil de la línea de energía, iniciando en x 0 = O y terini-

nandoenx n =x ma - x =L

-22-

s. + s.

H 1 = _1 11

2 )

x + FI (40)

donde

Ax = L/n (41)

para i = 1, 2, 3,..., n.

Para la condición x = x 0 = 0, H vale

U 2 H =d +-2--+Z (42) o ° 2g

donde d y U son respectivamente el tirante y la velocidad media de la

jiltima sección de aguas abajo del primer tramo e iguales a la condición

teórica uniforme del segundo tramo. Z 0 puede tomarse como la elevación del

fondo en la sección arriba indicada, o se le puede asignar un valor cero.

Puesto que S . = S r y S = S c

s i + so

H 1 = ( ) + H (43) 2 n

s 2 + s 1 H =

+ H 1 (44)

( )

2 2 n

s +s }J

_ ( C n-1 L +11 - )-:;--- Hmáx (45)

2

para i = 1, 2, 3,..., n.

-23-

Se calcula el perfil del fondo erosionado, midiendo su elevaci6n sobre

el eje x

2 U.

Z, = H. - d. - (46) 1 1 1 2g

0, 1, 2, 3,..., n.

Por tanto, Z 0 = 0, o Z O = elevaci6n del fondo del río en la secci6n

cero, y

U n Z =Z... H —d - (47) n max sax 2g

Cuando la socavación progresa mucho y L es grande (mas de 10 km), d y

U tienden al valor de d y U , respectivamente, en régimen uniforme.

Conocida cada H 1 , se calculan las profundidades de socavaci6n E 1 , me-

didas desde el fondo original

E 1 = y - z 1 (48)

donde

Y 1 . = L 1 , S r + Z O (49)

para i = 1, 2, 3,..., n.

A la condici6n inicial x 0 = O a Z 0 se le puede asignar el valor cero, o

la elevaci6n del fondo del río en ese punto. Así se cumple tambign que

Y 0 = Z0 = elvaci6n del fondo, en x o = 0.

—24-

Se obtiene el volumen erosionado

- n b 1 +b_ 1 E +E1_1 L

2 1=0 2 (50)

Se calcula el tiempo en que el volumen Ve fue erosionado. Para ello se

sabe que el volumen de sedimentos que pasa por la sección O en el tiem

po t, sin considerar huecos, es

Br =

Br (51)

es un volumen de sólidos inicamente. Si el material original en el

fondo del río tiene una relación de vacíos e, o una porosidad ñ, el -

volumen total ' ocupado por los sedimentos es

= (l+e) Y B (52)

o bien

(53) (1-fl)

Como Yr = ' e Y tomando en cuenta las ecs 50 a 53, el tiempo necesario

para erosionar e > desde el momento en que se cerró la presa, vale

- (l+e) QBr (54)

o bien

(l-i) Y e t = n (55)

r

-25-

Recurdese que en una muestra de suelo se cumplen las relaciones

- e n n= y e= l+e l-ñ

El mismo procedimiento se repite para otras longitudes L, pero también

puede simplificarse cuando al incrementar L no se modifican las carac-

terísticas del material del río y su pendiente, ya que tampoco hay ra-

z6n para modificar la variaci6n de QB ni la de K. Por tanto, se cum--

plen las siguientes relaciones adimensionales, siempre y cuando n tam-

bin sea constante

F. F 13 ; 13 13 maxi

L. F L L. inax j

donde j estg asociada a cada nueva longitud L; es decir, a cada tiempo

t. Además, se cumple

U 2 F. = H. -d - ° = H. - Ji - Z

1 1 o 2g 1 o o

y, por tanto, si Z = O, se obtiene

F0 = O

En lo anterior, F es el desnivel entre la elevaci6n del gradiente de

energía en una secci6n cualquiera y la de elevaci6n del gradiente de

energía en la secci6n inicial O.

Después de terminar el cglculo para la primera longitud L (paso 9), es

decir, de L. para j = 1, se calculan las relaciones

(56)

-26-

= xii (57)

1 L1

- F máx i

F = (58) max L1

F.

- u

F. = (59)

1 F mx1

o bien

= 11 (60)

1 L 1

13. Se selecciona una nueva longitud Lrj y se trazan los ejes cartesianos -

adecuadamente al final de esa longitud. Al dividir nuevamente en n tra-

mos, siendo n igual al anterior, se cumple que cada i, b 1 y S i tienen

los mismos valores anteriores

b1 = b 11 (61)

= S 11 (62)

Ademgs, se cumple

= X L. (63)

= (64)

F(65) maxj max 1

-27-

y, por tanto, también que

= F i . F. (66)

Los resultados de las ecs 64 y 66 deben ser iguales

Se calcula la nueva H. . Segiín las hip6tesis aceptadas (d 0 + U0 /2g) =

cte para cualquier L 1 . Cuando no se trabaja con elevaciones sino que

Z 0 = 0, se cumple que H0 = cte.

Se calculan las nuevas H.1J con la relaci6n

H.. = F . . +H +Z (67)

1) 1) o oj

Se obtienen las nuevas Z 1J

Z.. =H.. -d. - (68)

1J 1J 1 2g

Se calculan las nuevas E y Y 11 con ayuda de las ecs 48 y 49, respec

t ivamente

Se obtienen Vei y t con las ecs 50 y 54

Hecho lo anterior para varias longitudes L hasta unos 50 km, se procede

a dibujar lo que a continuaci6n se indica. Tngase en cuenta que se ha

observado erosi6n hasta unos 35 km aguas abajo de algunas presas, después

de 25 o 30 años de construida la obra.

a) Perfil del fondo para cada longitud L

Curva de L contra tiempo

Curva de Zmáxjcontra tiempo

Curva de H.áXjcontra tiempo

Para cualquier secci6n prefijada del ro en la que se desee conocer

la evoluci6n de la erosi6n, y con ayuda de las primeras dos figuras

a y b, se obtiene la profundidad del fondo y la elevaci6n de la su-

perficie libre, ambas contra el tiempo para esa secci6n. La elevaci6n

de la superficie libre para cualquier punto vale

Elev. superficie = H. U

(69)

Con lo anterior se conoce la elevaci6n del fondo y por tanto la de la

superficie libre para cualquier gasto, en secciones o lugares de inte

rs como: puentes, estaciones de bombeo, muelles, tomas de agua direc

tas, etc.

4.4 Comentarios adicionales

Con el procedimiento de cglculo presentado y mientras no se tengan datos

preliminares de la evoluci6n de la erosi6n en los primeros años, se pro-

pone utilizar los siguientes valores

m = 0.7 y constante en todo el tiempo

Kr = K0 l8

K C = 10

K = segimn lo expresado en la ec 34

Se debe revisar si hay continuidad de sedimentos en cada tramo. Para ello

considrese la fig 5 y un tramo cualquiera comprendido entre las secciones

i e (i + 1), en dos tiempos diferentes: j y (j + 1). Las elevaciones del

fondo para cualquier punto y tiempo dado valen Y1 . Cuando las Yi,se dieron

como elevaci6n respecto a una línea horizontal comín de referencia se cumple

—29-

[ve] 1,1+1 (b + b1 ) (L vi + Lr (j+l) j+1 j j+1

[(Z - z )+(Z - Z ) ] (70)

•i+1 - 2 2 i+1 i+1 i i

Si en el cálculo de cada perfil se consider6 Z 0 = 0, al aplicar la ec 70

se tendrá que considerar como nivel de referencia al eje x en el instante

(j + 1) y, por tanto, para el instante j, todos los valores deben incre

mentarse en S r [ AL ]J+l , que es la diferencia de elevaci6n entre dos ejes

x del instante j y del (j + 1).

Tngase en cuenta que

[AL] j+1

= L j+1 j

-L. (71)

En cambio, todas las Z 11+1 conservaron su valor.

Queda así definido un volumen [ve] y se debe cumplir la siguiente 1,1+1

ecuaci6n de continuidad para el sedimento

1,1+1 j,j+1

(Q Bi B (i+1) - Q ) At (1+e) - [ Le ] j,j+i = [ A e ] (72)

donde At es el tiempo transcurrido entre j y j + 1.

Lo indicado se hace en los n tramos, por lo que se conocerán todas las

Av e Tngase en cuenta que mientras la hip6tesis a) de 4.2, dada por

las ecs 38 o 39 se cumple, se debe escribir

(Q 5 — Q51 ) = QB

(73)

Cuando la variaci6n lineal de Q explicada en el párrafo a) de 4.2 es

correcta, todas las [LWe] deben ser cero. Si ello no ocurre habrá que

seleccionar otra variaci6n de QB , por ejemplo, exponencial, elíptica

-30-

o parab6lica, hasta obtener que todas las AY, cumplan con la condici6n j,j+1

= O i,i+1

Para los ejemplos estudiados, la variaci6n lineal cumple casi esa condi

ci6n aunque hasta el momento no se ha encontrado la variaci6n del trans

porte de sedimentos que cumpla rigurosamente con la condici6n señalada.

III. Debe notarse que no se ha considerado en forma explícita el cumplimien-

to de la ecuaci6n de la energía expresada por la ecuací6n de Bernoulli

entre secciones, y que se ha trabajado con flujo permanente asociado pa

ra cada secci6n, por lo que los resultados son err6neos cuando L es muy

pequeña. A medida que L crece, los tirantes obtenidos cumplen dicha ecua

ci6n. Para satisfacer la duda razonable que pueda surgir sobre este pun-

to, conviene obtener el perfil de la superficie libre mediante la aplica

ci6ri ordenada de la ecuaci6n de Bernoulli que, en primera instancia, se

escribe como

193 Q 2 Q 2 ___ ____

Z i + d i + = Z + d + + () +

d3.5841 (74)

+1 +1 2gd 1+1 b 1 1 1 2gd b 2n a i+1 i

donde d es la inc6gnita, si se aceptan las b 1 ya obtenidas; a se obtiene

de la ec 5. 1

412

-31-

5. EJEMPLO NUMERICO

Para mostrar los resultados que se obtienen con el método propuesto, éste

se aplicará a los datos que adelante se indican. Por no contar con obser-

vaciones tomadas de un caso real, no se puede comparar la realidad con los

resultados calculados. Con objeto de cubrir esta deficiencia se han selec-

cionado diez secciones aguas abajo de la presa de El Caracol que se levan-

taron poco después del cierre de la presa y que se observarn dos veces por

año durante los siguientes cinco años. De ellas se obtendrgn ademas la ele

vaci6n del agua para un mismo gasto y la granulometra del material del

fondo.

Los datos de este ejemplo se aplicaron también a un modelo unidimensional

desarrollado en el Instituto por Berezowsky y Lara con las ecuaciones dife

renciales señaladas al principio de este trabajo.

5.1 Planteamiento del problema

Se desea conocer la socavaci6n y cambio morfol6gico aguas abajo de una pre

sa. La descarga de la obra de toma es aproximadamente constante e igual a

-32-

ri

300 m 3/s. Las características del material del fondo son las siguientes:

Ys = 2650 kgflm 3 ; D90 0.9 mm; D 84 = 0.7 mm; D 50 0.5 mm; Dm 0.6 mm.

5.2 Soluci6n

Se consider6 que el coeficiente K varía entre 18 en el río (tramo no ero

sionado) y 10 en la primera secci6n inmediata aguas abajo de la presa.

Para las secciones intermedias se utiliz6 la ec 36. Se acept6 que el trans

porte de sedimentos varía linealmente desde O en la secci6ri inmediata aguas

abajo de la presa hasta QB = Q en la última secci6n del primer tramo.

5.3 Resultados

El perfil del fondo erosionado al cabo de 228 y 729 días se muestra en la

fig 6. Por otra parte, en la Hg 7 se ha dibujado el perfil del fondo al -

cabo de 210 y 390 días, calculado con ecuaciones diferenciales y resuelto

por diferencias finitas.

Se puede observar que los perfiles para 228 y 210 días obtenidos con cada uno

de los métodos son parecidos. Las diferencias que se notan en los perfiles

de la superficie libre se deben al hecho de haber usado en cada método una

ecuación diferente de resistencia al flujo.

-33-

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-38-

Tabla 1.1 Alteraciones de un río aguas abajo de grandes presas

CONSTRUCCION DE UNA PRESA

Control de gastos Control de gastos

líquidos s6lidos

(los uniformiza)

(los suspende)

Procesos hidrol6gicos Proceso erosivo

Ajuste y cambio morfológico

Alteraciones hidráulicas, ecológicas, y

en el control de avenidas

Tabla 1.2 Alteraciones en los ríos aguas abajo de presas

CANB lOS

COMENTARIOS

Hidrológicos y en el - Modificación del gasto formativo control de inundaciones

- Mayor uniformidad del hidrograma

- Incremento de los gastos mínimos

- Reducción de la frecuencia y magnitud de las avenidas

- Mayor control de los gastos máximos descargados

- Mayor seguridad contra inundaciones

- Reducción de greas inundadas

Morfológicos - Modificación del ancho y tirante de la sección transversal y pendiente del cauce

- Tendencia a formar un solo cauce es-table, cuando originalmente el río - es trenzado o tiene islas y bifurca-ciones

- Reducción de la pendiente general del "primer tramo" de río (tramo sujeto a erosión)

- Modificación de la erosión lateral en las curvas

-i

Hidrgulicos - Cambio de funcionamiento de las obras disipadoras de energía por descenso - del nivel de la energía en el río. Cuando hay tanques amortiguadores se puede barrer el salto hidrgulico si - su formación depende del nivel de ener gía del río. Cuando el control hidru-lico se tiene al final del tanque se - llega a producir una nueva rápida y salto hidráulico inmediatamente aguas abajo del tanque, con la posible erosión al pie de esa estructura

- Descenso del nivel de la superficie li-bre del agua (y del gradiente de energía). Afecta a todas las obras hidr.ulicas y fluviales que dependen de ese nivel: obras de toma, muelles, estaciones de bombeo, etc.

CAMBIOS

COMMTAPTfl

Hidrgulicos - Pérdida de la capacidad hidráulica del cauce por crecimiento de vegetaci6n en islas y bancos, y por el cambio morfo-16gico de la geometría de las secciones transversales y de la pendiente

En el fondo y - Descenso del nivel del fondo del río - erosivos en el "primer tramo" incremento de la

erosi6n o socavaci6n total en obras construidas en ese tramo: pilas y estri bos de puente, obras de toma, plantas de bombeo

- Nodificaci6n del proceso erosivo local en las descargas de las obras de exceden cias de la presa

- Acorazamiento del primer tramo

- Posible falla de protecciones marginales, sobre todo revestimientos y diques longi-tudinale s

- Mayores posíbilidades de navegaci6n

Ecol6gicos - Se impide el humedecimiento natural de los suelos agrícolas y el recibir nutrientes y sedimentos en suspensí6n, al evitar o reducir las inundaciones

- Se evita o reduce el llenado con sedimen tos de las partes bajas de la planicie

- La construcci6n de presas para agua pota-ble y sobre todo para uso agrícola reduce. las aportaciones de agua dulce a lagunas y mares interiores

- Se garantizan los cultivos

- Cuando las presas no tienen dispositivos para que suban los peces, se interrumpe el ciclo vital de algunas especies

- Desaparecen o cambian de lugar espacios para recreo

- Se destruyen zonas adecuadas para refugio de animales.

Cortina

Em be le. fl Descargas de la obra de excedencias $ y obra de toma

-v

Erosi& local producida por los descargas de las obras de excedencias o de toma

L3

ler. tramo ; sujeto a la erosión aguas abajo de presas y a cambios morfológicos. La longitud de este tramo aumenta con el tiempo

Afluente

2o. tramo; sujeto a cambios morfológicos. Zona inc Iterada respecto a la erosión 09140$

abajo de presos

Fig 1.1 . Alteraciones que sufre un río aguas abajo de una presa

La profundidad de la erosión es mayor cuanto más se avanza hacia aguas arriba

Embalse Incremento paulatino ¡dad

Q8r

08T

El transporte de sedimentos se incrementa hacia aguas a

Incremento paulatino de la longitud del tramo afectado por la erosión aguas abajo de presas

Fig 1.2. Efectos de la erosión aguas abajo de presas

Cor f ¡ no

Embalse II Descargas de la obra de excedencias $$ y obra de toma

Erosidn local producida por las descargos de las obras de excedencias o de toma

ler. tramo sujeto a la erosión aguas abajo de presas y a cambios morfoldgicos. La longitud de este tramo aumenta con el tiempo

Afluente

2o.tromo;sujeto a cambios morfolóçicos. Zona inalterada respecto a lo erosión aguas abajo de presas

Fig 1 Alteraciones que sufre un r(o aguas abajo de una presa

La profundidad de la erosión es mayor cuanto más se avanza hacia aguas arriba

Embalse Incremento paulatina

08r

de la profundidad

o

El transporte de

Incremento paulatino de la longitud del tramo afectado por la erosión aguas abajo de presas

Fig 2 Efectos de la erosi6n aguas abajo de presas

Q Gradiente de energ(a inicial

/29 Ç Superficie del agua inicial

® Gradiente de energ(a con erosi6n

® Superficie libre con erosi6n

®Fondo inicial

® Fondo erosionado

1

H éx

—Superficie d& oguo,iniciai

.1 Prf ji del agua con erosion

L(nea de energÇa con erosidn

a ,iniciai

z

Zm - _______ _____ ______ _______ E z1 HO

x Sr —Fonda erosionado LX

L 2 X 2

LX mdx

1 Perfil longitudinal 2 0

b r

Planta

Fig 3 . Erosi6n aguas abajo de presas. Variables con el eje como referencia

•l. i-1

Fig 4 . Elemento de c6lculo

w

Secck$n Sección Seccidn

Seccidn

(i+1),j (1+1),(j+1) i,j ,(j+i)

L rj/n

Fondo en

Fondo en j+1

Z(1) Z(11)(])

-

Plano horizontal de referencia

Fig 5 Volumen erosionado entre las secciones i , 1. + 1 entre los instantes j,j+1

6

Metros

4

2 1 • Fondo erosionado

Perfil original del fondo

228 dios 729 s

Superficie libre agua del

0' - 20 15 10 5 0

Numero de intervalos

Fig 6 . Socavacidn aguas abajo de presas. Variacidfl lineal del transporte de sedimentos

6

Metros

4

2 1

- Perfil original del fondo - 210 dios

390 dios

Superficie libre del agua

Perfil erosionado

QL 20

15 10 5 0 Nimero de intervalos

Fig 7. Socavación aguas abajo de presas. Cálculo por diferencias finitas