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Computação quântica:!realizações e desafios!
Ernesto F. Galvão Instituto de Física - UFF
XV Escola Regional de Informática – PR 2009
Resumo
• Introdução – de Turing à computação quântica
• Mecânica quântica para cientistas da computação
• Realizações
• Perspectivas
Turing e complexidade computacional
Alan Turing (1935) - Formalização matemática dos conceitos de:
- procedimento preciso para calcular algo - algoritmo - um tipo simples de computador
Máquina de Turing
CPU se movimenta de acordo com programa, lendo e apagando dados
- simples, mas capaz de qualquer computação: Tese de Church-Turing
Resultados:
- existem problemas incomputáveis - à la Gödel
- problemas computacionais podem ser divididos, grosso modo, entre tratáveis e intratáveis.
Intratabilidade computacional
• Considere - Problema computacional com entrada de d dígitos; - Algoritmo que usa N portas lógicas/passos computacionais.
Problema tratável: N é proporcional a polinômio de d. - Ex.: multiplicação de dois números de d dígitos.
N ~ d2
Problema intratável: N cresce mais rápido do que qualquer polinômio. - Ex.: fatoração de inteiro de d dígitos. - Melhor algoritmo conhecido: N ~ 2d ➡ resultado: fatorar um número de 400 dígitos levaria bilhões de anos neste computador!!
• Problemas intratáveis são importantes:
- Fatoração: chave para quebrar códigos criptográficos (RSA) - Otimização: aumento de rendimento na indústria - Problemas científicos em geral
Mas...
• A ciência da computação não levava em conta que a computação é um processo físico.
• Leis físicas determinam os limites dos computadores:
- Termodinâmica
- computação reversível versus irreversível - Irreversibilidade aparece quando apagamos memória Energia dissipada: kT*ln2 por bit apagado
- qual a teoria mais abrangente que descreve a dinâmica de máquinas que computam?
Física Quântica
Física quântica
• Desenvolvida na década de 1920 para descrever sistemas microscópicos: fótons (luz), elétrons, átomos, etc.
• Muito diferente das teorias físicas anteriores (“clássicas”):
- Descrição probabilística
- Possibilidade de “superposição” - combinação peculiar de propriedades contraditórias
- Emaranhamento quântico - correlações fortes entre propriedades de partículas separadas
Deus não joga dados!
Fantasmagórica ação a distância!
Superposições
• Física clássica: objeto tem posição bem-definida • (2 posições codificam 1 bit)
• Física quântica: elétron pode estar numa situação de superposição de 2 posições
0 1 bit
Ponto quântico duplo
1
Superposições
• A física quântica permite novas operações sobre o elétron: - estado inicial: 0 - Operação especial com eletrodos cria superposição
Medida da posição revela - 50% das vezes em 0 - 50% das vezes em 1 p=1/2
p=1/2
• A superposição é sensível ao que fizermos nas duas posições! Pulsos lasers nas duas posições afetam o elétron
Medida da posição revela mudanças nas probabilidades de encontrar o elétron em cada ponto. P=3/4
p=1/4
0 1
0 1
➡ um pouco como se o elétron estivesse nos dois lugares ao mesmo tempo!
Não-localidade quântica
qbit
Computação clássica (com notação quântica)
N. David Mermin – introdução à computação quântica para cientistas da computação
• Bit - dois estados distinguíveis, os vetores-base:
€
0 ↔10
, 1 ↔
01
• N bits: produto tensorial de N vetores-base de 1 bit. Exemplo: 2 bits têm 4 estados, representados por vetores 4x1
€
ψ A ⊗ φ B ↔A0A1
⊗
B0B1
=
A0B0A0B1A1B0A1B1
€
1 A ⊗ 1 B ↔ 3 AB ↔01
⊗
01
=
0001
• 3 representações para vetores-base descrevendo a memória:
Computação clássica
€
ψF = PψI
€
ψ = α i ii=1
2N
∑ ,
• Com esta notação, estado dos N bits no meio da computação é:
• Computação reversível arbitrária = permutação do vetor 2N x 1 correspondente ao estado inicial:
Algoritmo:
• Escolha de P • Decomposição de P em operações (“portas”) envolvendo só 1 ou 2 bits por vez.
onde todos os , exceto , indicando que o estado atual é .
€
α i = 0
€
αk =1
€
k
€
0AB
= 0A0
B
1AB
= 0A1
B
2AB
= 1A0
B
3AB
= 1A1
B
€
0AB
= 0A0
B
1AB
= 0A1
B
2AB
= 1A0
B
3AB
= 1A1
B
Computador
Computação quântica – a memória
€
ψ =α0 0 +α1 1 ↔α0
α1
, α0
2+ α1
2=1.
• Bit quântico = qbit
• Estado de 1 qbit = vetor complexo 2x1, normalizado
• Estado de N qbits = vetor complexo com 2N componentes, normalizado
€
ψ = α i ii=1
2N
∑ , α ii∑
2=1
Ex.: dois qbits A e B
€
ψ AB =α0 0 A 0 B +α1 0 A 1 B +α2 1 A 0 B +α3 1 A 1 B
€
ψ = cos(θ /2) 0 + exp(iφ)sin(θ /2)1
• Estados são combinações lineares dos vetores-base clássicos.
Computação quântica – a dinâmica
• Dinâmica = algoritmo = aplicação de matrizes unitárias ( ) UU† = U†U = 1
Ex.: matrizes de Pauli correspondem a 3 rotações diferentes:
• Dinâmica quântica é mais rica que a clássica, levando a estados arbitrários de descrição complexa:
€
X =0 11 0
Y =
0 i−i 0
Z =
1 00 −1
€
ψ = α i ii=1
2N
∑ , α ii∑
2=1
Só uma pequena parte da informação presente nos pode ser obtida ao final, no processo quântico de medida
€
α i
Computação quântica: o processo de medida (output)
• Resultado = medida quântica em
• Medida é irreversível:
- Resultado (output): sequência de N bits correspondente a um dos vetores-base k
- Probabilidade do resultado k associado a :
- Após medida com resultado k, o estado do sistema é
€
ψF =UψI = α i ii∑
€
ψ = k€
€
k
€
pk = αk2
• É preciso escolher o algoritmo U cuidadosamente para que ao final o processo de medida nos dê a solução do problema com alta probabilidade.
Bits x Qbits Bits Qbits
Estado de N (q)bits
Operações reversíveis Permutações Transf. unitárias
Medida revela o estado? Sim Não
Como descobrir o estado É só olhar! Medida quântica
Informação adquirida k k com probabilidade
Estado depois da medida O mesmo: Diferente:
€
i , 0 ≤ i ≤ 2N
€
α i i∑ , α i∑2
=1
€
αk2
€
k
€
k
Emaranhamento quântico
• Vimos que estado geral de sistema de 2 qbits é dado por:
• Por outro lado, se
- qbit A está no estado - qbit B está no estado
€
α0α3 ≠α2α1€
€
ψ AB =α0 0 A 0 B +α1 0 A 1 B +α2 1 A 0 B +α3 1 A 1 B
€
φ A =α 0 A + β 1 A
€
φ B = γ 0 B + δ 1 B
€
φ AB =αγ 0 A 0 B +αδ 0 A 1 B + βγ 1 A 0 B + βδ 1 A 1 B
• não é geral – nele ambos A e B têm estados bem-definidos (estado separável).
• Quando temos estados emaranhados, e os subsistemas não têm estados bem-definidos.
• Emaranhamento quântico é um recurso usado em várias aplicações.
€
φ AB
Pioneiros da computação quântica
• Richard Feynman (1982)
- cálculo de propriedades de sistemas quânticos parece ser um problema intratável
- sistema quântico muito bem controlado poderia servir para calcular essas propriedades de maneira eficiente
computador quântico
• David Deutsch (1985)
- estudou as propriedades de uma máquina de Turing quântica - mostrou que ela poderia resolver um problema em menos passos que um computador clássico
Pioneiros da computação quântica
• Peter Shor (1994)
- computadores quânticos podem fatorar inteiros em tempo polinomial - exponencialmente mais rápido!
- o algoritmo (quântico) de Shor abriu caminho para o crescimento da pesquisa em informação quântica e computação quântica
• Lov Grover (1996)
- algoritmo de busca em base de dados - desempenho (número necessário de consultas à base de dados)
- útil para acelerar solução de problemas intratáveis
Computando com qbits
• Escolhemos sistema quântico para codificar zeros e uns. Ex: níveis de energia eletrônicos de íons presos em armadilha
Foto de íons armadilhados
• Modificamos as superposições quânticas de maneira controlada. Ex: pulsos laser em conjuntos de íons
• Medimos o sistema ao final das manipulações. Ex: pulsos laser especiais para identificar os níveis de energia.
Só que há muitas dificuldades experimentais…
Ion trap Steane group
(Oxford)
Computando com qbits
• Dificuldades:
- acesso experimental x isolamento
- fragilidade das superposições (descoerência)
- controle preciso dos sistemas usados
• Situação experimental atual:
- demonstração de pequenas simulações quânticas Lanyon et al., arXiv:0905.0887
- demonstração do algoritmo de fatoração em RNM Vandersypen et al., Nature 414, 883(2001)
- criação de superposições e controle de poucos qbits em diversos sistemas
• Há outras aplicações interessantes além da computação…
Outras aplicações de informação quântica
Criptografia quântica Fótons individuais
A B F
• A se comunica com B através de canal quântico (ex: polarização de fótons)
• Interceptação pelo espião (F) resulta em perturbação inevitável do fóton
medida quântica
Garantia de segurança absoluta na troca de mensagens
Criptografia quântica comercial
• Já há pelo menos 4 companhias que já comercializam sistemas de criptografia quântica:
- IdQuantique (Suíça)
- Smartquantum (França)
- QuintessenceLabs (Austrália)
- MagiQ Technologies (EUA)
Sistemas físicos sendo investigados
• Armadilhas de íons
- correntes e cargas elétricas prendem íons individuais no vácuo - qbits codificados no estado eletrônico - interações entre qbits são feitas com lasers e através do balanço conjunto dos íons
Foto de íons armadilhados (NIST)
micro-armadilha de íons (NIST)
Sistemas físicos sendo investigados
• Outras alternativas:
- elétrons presos em pontos quânticos - ressonância nuclear em líquidos - átomos em redes óticas - luz laser (ótica quântica) - circuitos supercondutores - [??????]
??????
Séc. XIX: tecnologias limitadas pela termodinâmica e mecânica clássica
Importância estratégica
Séc. XX: tecnologias limitadas pela mecânica quântica
Séc. XXI: tecnologias usando os efeitos mais sutis da mecânica quântica:
Informação quântica, spintrônica, … ?
Computação • Tratabilidade/intratabilidade com computadores quânticos • Que problemas tratáveis (classicamente) admitem aceleração polinomial com CQ? • Simulação de sistemas quânticos (novos materiais, etc) • Códigos quânticos de correção de erros
Criptografia • fatoração rápida = quebra da criptografia RSA • desenvolvimento de protocolos seguros mesmo contra CQs • criptografia quântica com segurança absoluta
Protocolos interativos com comunicação quântica/emaranhamento • vantagem quântica (até exponencial) em complexidade de comunicação e outras tarefas
Metrologia • vantagem em medidas de precisão usando estados emaranhados da luz
Design de células solares, cálculos de química quântica, …
[ver A Federal Vision for Quantum Information Science (Janeiro 2009) – relatório do Conselho Nacional de Ciência e Tecnologia – E.U.A.]
Novas tecnologias usando informação quântica
Perspectivas – Computação Quântica
Física Matemática
Ciência da Computação
CQ
No Brasil:
Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia (INCT) de Informação Quântica - CNPq - 20 grupos de pesquisa em 7 estados, predominância de físicos
Fora:
IQC & Perimeter (Waterloo, Canadá), Caltech, MIT, CQCT (Austrália), Cambridge, Viena, …
Perspectivas – Computação Quântica
• Área interdisciplinar em pleno desenvolvimento
• Computação quântica em grande escala pode levar décadas, mas antes: - criptografia quântica - simulações de sistemas quânticos - outras novas tecnologias
• Por volta de 2020 já não conseguiremos mais miniaturizar os transístores...
Melhor aprender desde já como processar informação quanticamente!
Sugestões de leitura
A face oculta da Natureza: o novo mundo da física quântica Anton Zeilinger (Ed. Globo - 2005)
O que é computação quântica? Ernesto F. Galvão (Ed. Vieira&Lent – 2007)
A revolução dos q-bits • Ivan Oliveira e Cássio Leite (Zahar – 2009)
Quantum computer science: an introduction N. David Mermin (Cambridge UP – 2007)
Computação quântica e informação quântica Nielsen, Chuang (Ed. Bookman – 2005)
Visitem o meu site para mais dicas de leitura na web:
http://profs.if.uff.br/ernesto/
Usando emaranhamento: computação distribuída
• Complexidade de comunicação: cada pessoa tem parte dos dados, e Clara precisa calcular f(x,y,z). Qual o mínimo de comunicação necessária entre as pessoas?
x z
y
A
B
C
f(x,y,z)?
• Aplicações: design de circuitos eletrônicos, computação em rede • Vantagem quântica: usamos emaranhamento ao invés de comunicação
x z
y
A
B
C Solução clássica Solução quântica