Érettségi feladatsorok

rettsgi feladatsorok

Kzpszint

1. feladatsor

I. rsz (10 feladat, 30 pont):

1. A = {10, 20, 30, , 90}, B = {0, 3, 6, }. a) A + B = {30, 60, 90};b) A \ B = {10, 20, 40, 50, 70, 80}.

2. Ha B jelli a tervezett bevtelt, akkor az j bevtel B $ 0,95 $ 1,08 = 1,026B.A nvekeds 2,6%-os volt.3. B = 26 $ 54 $ 75, gy:

a) a legnagyobb kzs oszt: (A, B) = 25 $ 54;b) a legkisebb kzs tbbszrs: [A, B] = 26 $ 36 $ 57 $ 75.

4. a) A mdusz 6;b) a medin 4;

c) az tlag 100

11 1 15 2 17 3 19 4 10 5 28 6$ $ $ $ $ $+ + + + += 3,86.

5. -8 # x - 3 # 8, innen -5 # x # 11.6. a) Hamis. Ellenplda a (nem specilis) hrtrapz.

b) Igaz. Ez az egyik lehetsges definci.c) Igaz. Az egyenl tlj paralelogramma a tglalap.

7. A turista 1,5 ra alatt 4,5 km-t tesz meg, teht tlagsebessge 3 km/ra.2 ra 45 perc alatt 8,25 km-t tesz meg, gy 10 ra 45 perckor cljtl 7,75 km t-volsgra lesz. 8. A kt szlshelyzetben egyforma szn golykat hzunk ki. Annak valsz-

nsge, hogy a negyedik hzsra piros golyt hzunk, legalbb 0,2 s legfel-jebb 0,5.9. Ha x = 0, akkor y = log2 3; ha y = 0, akkor log2 (x + 3) = 0-bl x = -2.

A metszspontok: (0; log2 3), illetve (-2; 0).10. Az egyenl szr hromszgben az alaphoz tartoz magassg felezi az ala-pot. Pitagorasz ttelbl a homlokzat m magassgra m2 = 52 - 32, innenm = 4 (m). A felletet t-vel, a hztet skja s a talaj hajlsszgt {-vel jellve

a) t =2

6 4$= 12 (m2);

b) sin { = 0,8, innen {. 53,1. ({ csak hegyesszg lehet.)

II./a rsz (3 feladat, 36 pont):

11. a) h(0) = 25 mter.

b) h maximlis, ha t =( )2 5

20

$ -

-= 2; ekkor a magassg h(2) = 45 mter.

c) A fldre rkezs ideje a -5t2 + 20t + 25 = 0 egyenletbl szmthat ki.Innen t1 = -1 hamis gyk, t2 = 5 a keresett megolds. t ! [0; 5].

12. a) 2310 - (382 + 1661 + 204) = 63 (darab).b) 301 + 1680 + 65 + 198 = 2244 (darab).

c) ,382

3010 788. , a kiadott verses mvek, illetve antolgik szma 21,2%-

kal cskkent.

d) ,2244

16800 749. , teht 2002-ben az sszes kiadott m 74,9%-a volt re-

gny.e) Az egyb szpprza kategriba sorolhat mvek 2002-es pldny-

szma 12 229 - (396 + 11 150 + 188) = 495 (ezer darab). Az tlagospldnyszm az egyes mfajok szerint rendre 1316, 6637, 2892, 2500,teht a regnyeket adtk ki a legnagyobb tlagos pldnyszmban. Ateljes tblzat a kvetkez:

13. Az AB szakasz felezpontja FA B

2=

+= (1; 4), az AF szakasz hossza

4 32 2+ = 5. A keresett k kr kzppontja F, sugara r = 5, innen egyenlete k: (x - 1)2 + (y - 4)2 = 25.A metszspontokat az

(1) y = x,(2) (x - 1)2 + (y - 4)2 = 25

egyenletrendszer megoldsai adjk. (1)-et (2)-be helyettestve x2 - 5x - 4 = 0,innen x1 . 5,70, x2 . -0,70, a metszspontok: M(5,70; 5,70), N(-0,70; -0,70).

MN . ,2 6 4$ = 9,05.

545012 22922442310sszesen:

2500495198204egyb szpprza28921886563sznm663711 15016801661regny, elbeszls1316396301382verses m, antolgia

tlagos pldnyszm

(2002)

pldnyszm(2002,

ezer darab)20022001mfaj

418 rettsgi feladatsorok

II./b rsz (2 feladat, 34 pont):

14. a) A hromszg terlete t =sinAB BC

2

$ $ b, innen sin b. 0,348,

b1 = 20,4, b2 = 159,6. A koszinuszttelbl AC2 = AB2 + BC2 -

- 2 $AB $BC $ cos b, ebbl AC = 8,73 cm vagy AC = 47,24 cm.b) A leghosszabb magassg a legrvidebb oldalhoz tartozik. Az els eset-

ben mb = AC

t2= 22,91 cm, a msodik esetben mc = AB

t2= 8,70 cm.

c) Az ltalnos szinuszttelbl R =sin

AC

2 b, gy R = 25,09 cm vagy

R = 135,75 cm.15. Az els esetben 12 vig tart a trleszts, s ezalatt12 $ 12 $ 19 000 = 2 736 000 Ft-ot fizetnk vissza.A msodik esetben a havi kamat 0,5%, az adssgunk az els hnap vgn 2 $ 106 $ 1,005 - 2 $ 104 Ft;a msodik hnap vgn 2 $ 106 $ 1,0052 - 2 $ 104 $ 1,005 - 2 $ 104 Ft;a harmadik hnap vgn 2 $ 106 $ 1,0053 - 2 $ 104 $ 1,0052 - 2 $ 104 $ 1,005 - 2 $ 104 Ft;az n. hnap vgn 2 $ 106 $ 1,005n - 2 $ 104 $ 1,005n-1 - 2 $ 104 $ 1,005n-2 - - 2 $ 104 $ 1,005 - 2 $ 104 Ft.Ha a teljes visszafizets n hnapig tart, akkor 2 $ 106 $ 1,005n - 2 $ 104 $ 1,005n-1 - 2 $ 104 $ 1,005n-2 - - 2 $ 104 $ 1,005 - 2 $ 104 = 0.A mrtani sorozat sszegkplett alkalmazva ekvivalens talaktsokkal 2 $ 106 $ 1,005n - 2 $ 104 $ (1,005n-1 + 1,005n-2 + + 1,005 + 1) =

= 2 $ 106 $ 1,005n - 2 $ 104 $,

,

1 005 1

1 005 1n

-

-= 2 $ 106 $ 1,005n - 4 $ 106 $ (1,005n - 1) =

= 1,005n(2 $ 106 - 4 $ 106) + 4 $ 106 = 0, ebbl kapjuk, hogy 1,005n = 2. Innen

n = log1,0052 = ,lg

lg

1 005

2= 138,98, teht 139 hnapig (11 v 7 hnap) fizetjk a

trlesztst, s a teljes visszafizetett sszeg 139 $ 20 000 = 2 780 000 Ft.16. sin (2x) ! 0. sin (2x)-szel val szorzs utn sin2 (2x) - sin (2x) cos (2x) = 1,innen cos2 (2x) = cos (2x) sin (2x).

Ha cos (2x) = 0, akkor 2x = k2

+r

r, s innen x = k4 2

+r r

, k ! Z. (Ekkor

sin (2x) ! 0.)

Ha cos (2x) ! 0, akkor sin (2x) = cos (2x), s innen 2x = m4

+r

r, x= m8 2

+r r

,

m ! Z. Mindkt megolds kielgti az eredeti egyenletet.

Kzpszint 419

2. feladatsor


1. 12013 = 1 $ 33 + 2 $ 32 + 1 = 46.

2. a) X $ Y = 15 $ 10-10 = 1,5 $ 10-9;

b)Y

X= 0,6 $ 10290 = 6 $ 10289.

3. a) A medin 4;b) a mdusz 5;

c) az tlag 30

3 1 2 2 7 3 7 4 11 5$ $ $ $ $+ + + += 3,7.

4. a) Igaz; 4 s 5 relatv prmek.b) Hamis; 4 s 6 nem relatv prmek. Egy ellenplda a 12.c) Igaz. Ha a szm alakja 24k (k ! N), akkor a szm felrhat 4 $ (6k) s

6 $ (4k) alakban is.

5.2

1111 1-= 555, az sszeg 556 tag. A szmtani sorozat sszegkplett al-

kalmazva

S = 1 + 3 + 5 + 7 + + 1111 =( )

2

1 1111 556$+= 5562 = 309 136.

Megjegyzs: Kzvetlenl is alkalmazhat az els n pratlan termszetes szmsszegre vonatkoz ttel (mely szerint ezek sszege az n. ngyzetszm).6. a1 . 23,58, a2 . 156,42.7. A szm vgzdse 00, 25, 50, 75 lehet. Az egyes esetekben az els hrom

szmjegyet - a feladat feltteleinek megfelelen - rendre 0, 7 $ 7 $ 6, 8 $ 7 $ 6,illetve 7 $ 7 $ 6-flekppen vlaszthatjuk, gy a keresett szmokbl sszesen 294 + 336 + 294 = 924 darab van.

8. A 20. tag 81

238$ = 2 $ 34 = 162.

9. A fggvny grafikonja:

Az rtkkszlet ]1; 6].


9.

10. Az egyenes meredeksge m =( )1 2

9 3

- -

-= 2, az egyenlete e: y = 2x + 7.


11. Legyen az ABCD deltoidban Bs = Ds.a) Ha a deltoid trapz, akkor pl. az AB s CD oldalak prhuzamosak, As

s Ds egymst 180-ra egszti ki. Mivel Bs = Ds, gy As s Bs is ki-egszt szgek, ezrt az AD s BC oldalak is prhuzamosak. Ha egyngyszg szemkzti oldalai prhuzamosak, akkor a ngyszg paralelog-ramma, gy A + B = {paralelogrammk}.

b) A hrngyszgek szemkzti szgeinek sszege 180, gy B + C a derk-szg deltoidok halmaza (vagyis olyan deltoidok, melynek szemkztiegyenl szgei derkszgek).Vagy mskppen: B + C olyan hrngyszgek halmaza, melyeknek t-krtengely tlja egyttal a krlrt kr tmrje is.

c) A + C = {hrtrapzok} vagy A + C = {szimmetrikus trapzok}.12. A feladatot az a = 2x helyettestssel msodfok egyenlet megoldsra ve-zethetjk vissza.

a ! 3. aa

a43

541+

-= - , innen 5a2 - 56a + 128 = 0. Az egyenlet megoldsa

a1 = 3,2, a2 = 8. Az exponencilis egyenlet szigor monotonitsa miatt x1 = log2 3,2 . 1,68, x2 = 3.13. Jelljk a Fld sugart R-rel, a torony magassgt m-mel, a lttvolsgotd-vel (bra).

a) Pitagorasz ttelbl (R + m)2 - R2 = d2, innen d = Rm m2 2+ .17,8 km.b) d . 19,5 km.

Kzpszint 421

13.


14. a) A msik csapat ngy tagja a 7 fibl kerl ki. A kivlasztott fik sor-

rendjre nem vagyunk tekintettel, gy a msik csapat 74

J

LKK

N

POO= 35-flekp-

pen llthat ssze.b) A lnyokat hromflekppen oszthatjuk kett. (Most szmt a kt csa-

pat sorrendje; feltehetjk pl., hogy a legjobban jtsz lny mindig az el-

s csapatban van.) Az els csapathoz 72

J

LKK

N

POO, a msikhoz

52

J

LKK

N

POO-flekppen

vlaszthatjuk ki a fikat. Eredmny: 372

52

$ $J

LKK

J

LKK

N

POO

N

POO= 630.

Msik megoldsi lehetsg: az I. csapatba 42

72

$J

LKK

J

LKK

N

POO

N

POO, a II-ba

22

52

$J

LKK

J

LKK

N

POO

N

POO-

flekppen vlaszthatjuk a tagokat. A kt csapat tagjait fel is cserlhet-

jk, gy az eredmny 2

42

72

22

52

$ $ $J

LKK

J

LKK

J

LKK

J

LKK

N

POO

N

POO

N

POO

N

POO

= 630.

c) Ha kivlasztunk 4 jtkost, akkor egyttal a msik csapatot is meghat-

roztuk. Eredmny:2

84

J

LKK

N

POO

= 35.

15. brzoljuk a csonkakp alaplapra merleges fl-skmetszett!a) A csonkakp trfogata

V = ( )m R r Rr3

2 2+ +r

, innen

m =( )R r Rr

V32 2+ +r

. 11,17 cm.

b) A fellet F = (r2 + (R + r)a), ahol a az alkot hossza. Pitagorasz tte-lbl a2 = m2 + (R - r) 2, innen a . 11,27 cm, s F . 293,82 cm2.

c) Ha a tejfl magassgt y, fedkrnek sugart x je-lli, akkor a megfelel derkszg hromszgek ha-sonlsga s a trfogatok egyenlsge miatt

(1) y

x r

m y

R x

m

R r-=

-

-=

-,

(2) ( ) ( )( )y r x rx m y R x Rx3 3

2 2 2 2+ + = - + +r r

.

(2)-t talaktva m y

y

r x rx

R x Rx2 2

2 2

-=

+ +

+ +, a bal oldalt


15.

(1)-bl kifejezve R x

x r

r x rx

R x Rx2 2

2 2

-

-=

+ +

+ +. Innen x3 - r3 = R3 - x3,

x =R r

2

3 3

3+

= 3,89 (cm).

A tejfl magassga (1)-bl y =( )

R r

m x r

-

-= 6,65 (cm).

16. Kiktsek: x + 8 > 0, y + 4 > 0, x > 0 s -2y > 0; sszestve x > 0 s -4 < y < 0.

5 = log2 32, gy (2)-bl -2xy = 32. 3 = log2 8, gy (1)-bl y

x

4

88

+

+= . Az egyen-

letekbl x-et kifejezve y2 + 3y + 2 = 0, innen y1 = -1, y2 = -2, s ekkor x1 = 16,x2 = 8. A (16; -1) s (8; -2) szmpr egyarnt megoldsa az eredeti egyenlet-rendszernek.

3. feladatsor


1. A = 50 $ 0,4 $4

3= 15 (km), B = 1,6 $ 2,5 $

5

18= 14,4 (km). A > B, vagyis 50 ki-

lomter 40 szzalknak a hromnegyede a nagyobb.2. 666 = 2 $ 32 $ 37, a keresett szm 2 $ 37 = 74.3. Egy pozitv szmllj trt negatv, ha a nevezje negatv. (A trt nulla

nem lehet.) Megolds: x > 7.4. A szmjegyek sszege 15, a szm mindig oszthat 3-mal. Az utols he-

lyirtken 2 vagy 4 llhat. Az 5 egyformn valszn lehetsgbl 2 felel meg, a

keresett valsznsg5

2.

5. a) Hamis, egy ellenplda az brn lthat ngyszg.b) Igaz. Ha egy ngyszg tli felezik egymst, akkor a

ngyszg paralelogramma; ennek szemkzti oldalaiegyenlk, s a deltoid tulajdonsga miatt ez a szom-szdos oldalakra is igaz. (Teht ha egy ngyszg del-toid s paralelogramma, akkor rombusz is.)

c) Hamis; a konkv deltoid ltalban nem bonthat fel.6. A 100. tag -3 + 88 $ 4 = 349.

7. A HBC hromszg terlete 3

2-a az ABC terletnek; a HBN hromszg

terlete 4

1-e a HBC terletnek. Innen THBN = 10 cm

2, TAHNC = 50 cm2.

Kzpszint 423

5.

8. A havi kamat 12

9= 0,75%. Egy v alatt 1 000 000 $ 1,007512 . 1 093 807 Ft-

ra emelkedik az sszeg.9.

Az rtkkszlet [0; 6[.

10. Ha a kt szg egybeesik (a kztk lv esetleges peridustl eltekintve),x = 2x + k $ 360, k ! Z. Innen x1 = 0, x2 = 360.Ha a kt szg 180-ra egszti ki egymst (a peridustl eltekintve), akkor 2x = 180 - x + m $ 360, m ! Z. Innen x = 60 + m $ 120, x3 = 60, x4 = 180, x5 = 300.


11. a) Ha a bezrt szget { jelli, akkor a trigonometrikus terletkpletblsin

2

450 410$ $ {= 5,8 $ 104, innen sin { = 0,629, {1 . 39, {2 . 141.

b) Ha a harmadik oldal hossza c, akkor a koszinuszttelbl c2 = 4502 + 4102 - 2 $ 450 $ 410 $ cos {. Innen c1 = 289,5 m; c2 = 810,8 m.

12. a) f(2) = 44,8 C.b) f(-1) = 87,5 C.

c) 70 $ 0,8t = 90, innen t = log7

9,0 8 . -1,13; 70 $ 0,8

t = 10, innen

t = log7

1,0 8 . 8,72. Ennyi id utn a termoszban lv tea tveszi a kr-

nyezet hmrsklett, teht t ! [-1,13; 8,72]. Ezen az intervallumon r-ja le (kzeltleg) az f fggvny a tea hmrsklett.

13. 3x2 + 2x - 1 2x2 - 3x + 5, ha x2 + 5x - 6 0. Az x2 + 5x - 6 = 0 egyenletmegoldsai x1 = 1, x2 = -6. Az egyenltlensg megoldsa x # -6 vagy 1 # x.


9.


14. Az A-bl indul aut t id mlva az A + t $ (2; 1) = (-7 + 2t; 2 + t) pont-

ban lesz. BC = C B- = (8; 9) - (2; -9) = (6; 18), teht a B-bl indul aut vbsebessgvektora (v; 3v) alak. Mivel a sebessg nagysga 40 , vb = (2; 6). A B-bl indul aut t id mlva a B + (t - 2) $ (2; 6) = (2t - 2; 6t - 21) pontban lesz, ha t 2.

a) t = 11 esetn az autk helyzete (15; 13), illetve (20; 45).b) t id elteltvel a kt aut tvolsgnak ngyzete 52 + (5t - 23)2 =

= 25t2 - 230t + 554. Ez minimlis, ha t =2 25

230

$, vagyis ha t = 4,6.

(A minimlis tvolsg , ,25 4 6 230 4 6 5542$ $- + = 5 egysg.) 15. a) Ha a dobott 5-sk szma x, akkor a 2-esek szma 2x. Az tlag

x

x x

35 3

5 1 2 2 9 3 12 4 5 9 6$ $ $ $ $ $

+

+ + + + += 3,58, innen x = 5. Teht 5

darab 5-st s 10 darab 2-est dobtunk.

b) A 4-es rtk relatv gyakorisga 50

12= 0,24.

c) A medin s a mdusz is 4.d) A D2(a) = D2(x) - (x - a)2 sszefggst alkalmazzuk, x = 4 esetre.

(Az tlag a = 3,58.) 5 $ (4 - 1)2 + 10 $ (4 - 2)2 + 9 $ (4 - 3)2 + 5 $ (4 - 5)2 +

+ 9 $ (4 - 6)2 = 45 + 40 + 9 + 5 + 36 = 135, D2(4) =50

135= 2,7. A sz-

rsngyzet teht D2(a) = 2,7 - (4 - 3,58)2 = 2,5236, a szrs kzeltrtke D(a) = 1,589.

16. a) Az ABC hromszg C cscsbl kiindul CF magassga Pitagorasz tte-

lbl mc = 4 5 42

4-b l = 8 cm. Az ABC hromszg terlete

t =2

8 8$= 32 cm2, a gla trfogata V =

t m

3

$= 128 cm3.

b) Ha a gla D cscsbl hzhat testmagassgnak talppontjt E-vel jell-jk, akkor az AED, BED, CED hromszgek egybevgk (megegyezikkt oldaluk s a nagyobbik oldallal szemkzti derkszgk). EzrtAE = BE = CE, vagyis E az ABC hromszg k-r rt kr kzppontja (bra).

Jelljk a krlrt kr sugart r-rel! Ekkor az AFE de-rkszg hromszgben r2 = AF2 + (mc - r)

2, innen r == 5 cm. A gla AD oldalle az AED derkszg hrom-

szg tfogja, gy AD = r m2 2+ = 13. A hrom oldallhossza 13 cm.

Kzpszint 425

16.

4. feladatsor

1. Az A \ B halmaznak 11 eleme van.

2. log 32

19 = , sin 30 2

1 = , teht a kt szm egyenl.

3.( )n n

2

121

-= , ahonnan n 7= . Teht a hzibulin 7-en vettek rszt.

4. Ha x 4=- , akkor y 8 6 14= + = . Teht a krdses pont az x tengelytl 14 egysg tvolsgra van.

5. TAB 90 84 6 s = - = , gy 76 6 70 = - ={ .6. a) x 1 4+ = , x 3= , b) x 1 4- = , x 5= , c) x1 4- = , x 3=- .7. Y 0= , s a szmjegyek sszegnek oszthatnak kell lennie 3-mal, vagyis

X 2= , 5 vagy 8.8. A henger magassga m 16= cm. A felszne:

A = ,2 8 2 8 16 384 1206 42$ $ $ .+ =r r r (cm2).9. a) hamis, b) hamis, c) igaz.

10. A nk szma: ,1260 0 3 378$ = . gy a felnttek szma: 378 386 764+ = .Teht a kiskorak szma: 1260 764 496- = .

11.

12. a) a 11=- , a 32= , teht a sorozat differencija: d 4= . Az els 100 elemsszege:

( )S

2

2 99 4 10019 700100

$ $=

- += .

b) ( )n100 1 1 4 999$# #- + - " n27 251# # .Teht a sorozatnak 225 hromjegy tagja van.

13. a) 50 40 22 112+ + = , 14 8 22+ = , ,112

22100 19 64$ = %.

b) 1 v mlva a rendszeresen dohnyzk szma: 33, a ritkn: 64, a soha: 15.

,33

15100 45 45$ = %.


11.

14. a) HB4

3= a - b, b) GA

4

3=- a - b,

c) FH BE2

1+ = b -

4

3a + b -

2

1a =

=2

3b -

4

5a.

15. a) Az AB szakasz felezmerlegese met-szi ki az x tengelybl a keresett M pon-tot (ld. bra). Az AB szakasz F felez-pontja: F(5; 4). Az AB szakasz egy irnyvektora:vAB(6; 2). Ez egyben a felezmerleges egy normlvektora. A felezme-rleges egyenlete: x y3 19+ = .

Ez az egyenes ott metszi az x tengelyt, ahol y 0= , azaz x3

19= .

Teht a buszmegllt az ;M3

190

J

L

KK

N

P

OO pontba kell helyezni.

b) MA MB= =3

192 3

3

5 102

2- + =J

L

KK

N

P

OO .

A megptend t: ,3

10 1010 541. km. Ennek kltsge:

, ,10 541 2 6$ . 27,4 mFt. Teht az nkormnyzatnak , , ,27 4 18 2 9 2- = mFt llami tmogatst kell krnie.

c) FB 9 1 10= + = . Az FMB derkszg hromszgben:

,sin

3

5 10

100 6= ={ " ,36 9.{ .

Teht a buszmegllbl a kt falut sszekt szakasz kb. 73,8o-os szg-ben ltszik.

16. a) x x x16 39 0 3 132 "$ # #- + - .b) Az rtelmezsi tartomnyban 11 egsz szm van. A kztk lev prm-

szmok vagy ngyzetszmok: 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13.

Teht a keresett valsznsg: ,11

70 63. o o .

c) .... ( )x x x16 39 8 252 2- + - = =- - + .

Teht ( )( )

f xx 8 25

1

2=

- - +

. A nevez rtke 5, vagy annl kisebb

pozitv vals szm, gy az rtkkszlet: ( )f x5

1$ .

Kzpszint 427

15.

17. a) A vzszint emelkedse egy olyan henger ma-gassgval egyenl, melynek sugara 12 cm, strfogata egyenl a hrom gla trfogatnaksszegvel. Egy tetrader m magassga:

m 62

6 23 22

2

= - =

J

L

KKK

N

P

OOO

.

A glk trfogata: ,V3 33

6 3 2152 7

2

$$

.= cm3.

Ha a vzszintemelkeds x, akkor ,x12 152 72 $ $ =r , ahonnan,x 0 3376. cm.

b) Egy gla felszne: ,4 6 44

6 3393 42

2

$ $ .+

J

L

KKK

N

P

OOO

cm2. Teht a festshez

sszesen: ,

,54

393 47 285. , azaz 8 doboz festkre lesz szksg.

5. feladatsor

1. , , x0 6 0 2 460$ $ = " ,x 3833 3= o2. Az A B, halmaznak 23 eleme van.

3. Az bra alapjn: tg38

25={ ,33 34.{

4.2

180 7254

-= . A keresett szg:

180 54 126 = - =a .5. !2 3 12$ = .6. A tglalap kerletnek harmadolsval kap-

juk a hromszg oldalt.7. Prmek vagy ngyzetszmok: 1, 2, 3, 4, 5.

A keresett valsznsg: 6

1.

8. AB felezpontja: F(4; -1), irnyvektora: (4; 6). A felezmerleges egyik normlvektora(2; 3). A felezmerleges egyenlete: x y2 3 5+ = .

9. Az bra alapjn tg12

5=a " ,22 62.a ,

azaz ,2 45 24.a .


17.

2.

3.

9.

10. a) Lsd az brt! b) <

gy a msodik egyenlet: y y3 10 168 02+ - = " y6

561=- , y 62= .

Negatv gyk nem lehetsges, gy az egyenletrendszer megoldsa:x 10= , y 6= .

b) Ha van ilyen k, akkor errea a ak3

21 $= , azaz [ ( ) ]k22 10 10 1 6

2 $ $= + - .Ennek azonban nem lehet pozitv egsz k megoldsa, hiszen a jobb ol-dal 10-zel oszthat, mg a bal oldal nem. Teht nincs ilyen k.

16. a) A lgtr egy tglatest s egy hromszg alap hasb trfogatnaksszege.

,,

,V 6 4 1 22

4 2 26 55 2$ $

$$= + = m3

b) A falfellet

, ,,

A y2 6 1 2 2 4 1 2 22

4 2 22 6$ $ $ $ $

$$ $= + + + ;

, ,y 2 2 2 2 9732 2 .= + , teht ,A 68 476. m2.

Ennek 90%-a festend: , , ,68 476 0 9 61 6284$ . m2.

A szksges festkmennyisg: ,

,,

4 5

61 628413 69. , azaz 14 vdr.

c) Az bra ABP s AQT hromszgei hason-lk.

,

, x

2 2

0 4

2= , ahonnan , .x 0 3636=

A hasznos alapterlet:( ) , .x2 6 2 19 6363$ $ - = m2.

17. a) Az bra jellseivel:Alkalmazzuk a koszinuszttelt az AMKhromszgre:

, , cosAK 2 4 5 2 2 4 5 342 2 2 $ $ $= + - ",AK 3 29. km.

Most alkalmazzuk a szinuszttelt azAMK hromszgre:

,

,

sin

sin

34 3 29

2 4

=

{" 24.{ " AKB 84s = .

Ismt koszinuszttellel az AKB hromszgre:, , , , cosAB 3 29 1 6 2 3 29 1 6 842 2 2 $ $ $= + - " ,AB 3 5. km.


16/c.

17/a.

b) A-bl s B-bl az orszgtra lltott merlegesek hossza legyen m1 s m2.Ezekkel

,sin

m34

2 4

1= " ,m 1 3421. km,

,sin

m72

1 6

2. " ,m 1 52172. km.

Az A falu kltsge: , , ,1 342 4 6 6 173 2$ = mFt.A B falu kltsge: , , ,1 5217 6 6 10 04$ = mFt.Teht a B falu tbbet fizet az trt.

6. feladatsor

1. (110 200 + 98 600) ,1 12 233856$ = Ft.2. brzoljuk a halmazokat egy szmegyenesen:

Az A B C+ + almaz elemei: < x3 10#- .3. a) igaz, b) hamis4. ( ) ( )x y2 4 252 2- + + = , r 5= , a kr kerlete: 10r.5. Janurban s oktberben, novemberben s decemberben.6. Az bra alapjn:

48=a .

7. !2 3 12$ = .8. >x 1. x2 2 4- = " x 3= .9. a) hamis, b) hamis, c) igaz.

10. ( )f x x 2= - .

Kzpszint 431

2.

6.

10.

11. a b 14+ = , a b 2- = " a 8= , b 6= , tg8

6=a , ,36 87.a .

12. a) Az bra jellseivel:x x d x d2 33+ + + + = , x d 11+ = -encsak hegedlnek.

b) Ha x 5$ , akkor x d 11+ = miatt< d1 6# , gy x d12 2 17# #+ . Teht

legalbb 12-en, legfeljebb 17-en vannak,akik csak zongorznak.

13. a) A harmadik cscsnak illeszkednie kellAB felezmerlegesre, azaz az y 4=egyenesre. gy a harmadik cscs azy 4= s a y x3 4- = egyenesek C met-szspontja C(8; 4)

b) AC 10 2 1042 2= + = . gy a hromszg K kerlete:

K AB AC2 4 2 104= + = + .14. a) Elkszthetjk az albbi tblzatot:

gyerekek szma:csaldok szma:Az tlagos gyerekszm:

,60

3 22 39 28 35 48 21 83 4

+ + + + + + += .

b) Az eredeti tblzat alapjn 94 fi s 110 lny van a megkrdezett csa-ldokban.

15. a) OQV s RPV hromszgek hason-lk, hiszen mindkett derkszgs V-nl kzs szgk van. gy r-hatjuk:

PV

x

x

x

3

2

62 2= =

+

"

,x5

125 36" .= km.

b) PD x 15

14412= + = + =

,5

1495 459.= km;

( ) ,PNy x 2 3 4 52 2 .= - + km.

Teht a nyugati kapuhoz rdemes sietni.

0138771311379876543210


12/a.

15.

Kzpszint 433

16. a)! !

!

!3 4

8

3

5 6 7 8280

$

$ $ $= = .

b) A krdses szm akkor oszthat 4-gyel, ha 12-re vagy 24-re vagy 44-revgzdik.

12-re vgzdbl van: !

!

2 4

615

$= db;

24-re vgzdbl van: ! !

!

3 3

620

$= db;

44-re vgzdbl van: !

!

2 3

660

$= db.

Teht a 4-gyel oszthatk szma: 15 20 60 95+ + = , gy a keresett val-

sznsg: ,280

950 339. .

17. a) Pitagorasz ttelnek hromszori alkalmazsval:

( ) ( ) ( )x x3 2 4 4 4 3 62 2 2 2 2 2- + + - + = - + " x x7 4 02- + = ,

,x 6 371= , ,x 0 62772= .

De nyilvn

Emelt szint

1. feladatsor

1. A halmazbra:

A felttelek szerint

x y z a b c10+ + + = + + s b ac

22

= = .

Az osztlyltszm:

( ) ( )a b c x y z a b c a a a3 2 7 2 2 4 7+ + + + + + = + + - = + + - =( )a7 2 1= - .

Teht az osztlyltszm oszthat 7-tel, gy csak a c) llts lehet igaz.2. a) a 21=- , a 32= " d 5= .

( )...S

2

4 99 5 10024 550100

$ $=

- += = .

b) ( )n10 2 1 5 99$# #- + - " n4 21# # .

Teht a sorozatnak 18 db ktjegy tagja van.3. A 60o-os, r sugar krcikk terlete a rombusz terletnek a fele:

r a2

6 2

32 2$ =

r" r a

2

3 3=

r.

A kutya ktelnek k hosszra:

< ,k a r3 20 3 202

3 316 46.- = -

rm.


1.

3.

4. ( )f xx x

x

2 1 2 3

4 2=

+ + -

-.

Ha x2

3$ , akkor ( )f x

x x

x

2 1 2 3

4 21=

+ + -

-= .

Ha

24-re vgzdk szma: !

( )!

n

nn

11

+= + .

Teht a 4-gyel oszthatk szma: ( )( ) ( )( )n n n n1 1 1 1 2+ + + = + + .

A megadott valsznsgre:

!

( )!

( )( )

n

n

n n

n3

1 2

3

1

8

1

+

+ +=

+= " n 5= .

7. a) AC 22

4 3 312$

$= = , teht a gla oldal-

lei is 12 hosszak.

m 12 4 3 4 622

= - =b l .A lgtr:

V 64

4 3 3

3

4 6288 2 407

2

$ $ .= =b l

m3.

b) m 12 2 3 2 3312

2

= - =b l .

A tetszerkezet kls fellete: ,A 62

4 3 2 33238 8$

$.= m2.

A fests kltsge: ,238 8 16 000 3 820 800$ . Ft.8. a) b ac4 20022- = . Ekkor b pros kell, hogy legyen, azaz b k2= . Ezzel

k ac4 4 20022- = .Ez azonban lehetetlen, hiszen a bal oldal oszthat 4-gyel, mg a jobb ol-dal nem.b ac4 20032- = . Ekkor b pratlan, azaz b k2 1= + . Ezzel

k k ac4 4 1 4 20032+ + - = .

Ez sem lehetsges, mert a bal oldal 4-gyel osztva 1 maradkot ad, mg ajobb oldal 3-at.

b) Most b-nek pratlannak kell lennie. Vlasszunkegy tetszleges pratlan szmot, melynek ngy-zete nagyobb 2005-nl. Legyen pl. b 45= . Ekkor ac45 4 20052- = " ac 5= , ahonnanpl. a 1= , c 5=

9. a) Az bra jellseivel:( )a x a y2 - = + " y a x2= - .

A koszinuszttellel:

( ) ( ) cosd x a x x a x2 2 2 602 2 2 $ $ $= + - - - "

" d x ax a7 52 2= - + .


7.

9.

A gyk alatti msodfok alaknak akkor van minimuma, ha x a14

5= .

Ezzel

,y a a7

50 8= - = m.

b) x s a rtkt d kifejezsbe helyettestve a legkisebb tvolsg:

,,

, ,7196

252 8

14

5 2 8 52 8 0 91652

22$ $

$ $.- + m.

2. feladatsor

1. a) brzoljuk mindkt oldalt grafikusan: x x x4 4 22- + = - . Az egyenltlensg megoldsa: x0 2# # .

b) >x 0. Legyen lg x = a, ekkor 2 2- = -a a.Az egyenltlensg megoldsa: 2#a , azaz lg lgx 100# . Teht ez esetben azegyenltlensg megoldsa: < x0 100# .

2. A y x2 5- = egyenes krdses pontjt az AB szakasz felezmerlegesemetszi ki ebbl az egyenesbl. AB felezpontja: F(2; 0). AB irnyvektora:vAB(8; -2), ez egyben az AB felezmerlegesnek egy normlvektora.Ezek szerint AB felezmerlegesnek egyenlete: x y4 8- = . A y x2 5- = , x y4 8- = egyenesek M metszspontja: M(3; 4).

Ennek a P ponttl val tvolsga: PM 4 3 52 2= + = .

Emelt szint 437

1/a. 1/b.

3. a)

b) sszes tanul: 175, kollgista fi: 54; , %175

54100 30 85$ . .

c) ,752

282

5550

7560 136f .= =J

LKK

J

LKK

N

POO

N

POO

.

4. Az bra megfelel derkszg hromszgeire felrhat-juk Pitagorasz ttelt:

( )r

x r x y2

2

2 2+ = - +J

L

KK

N

P

OO s ( )y r x x

2 2 2= - - .

Innen az rint kr keresett sugara:

,x r20

7

20

790 31 5$= = = cm.

5. a) Ha a, b, c szmtani sorozat szomszdos tagjai, akkor

( )b d x by b d- + = + .

Ez az egyenes az x tengelyt xb d

b d=

-

+-ben, az y tengelyt y

b

b d=

+-ben

metszi. A koordintatengelyekkel alkotott hromszg terlete:

( )

( )

b b d

b d

2

1

2

12$

-

+= " d bd32=- d 0=Y_ i " d b3=- .

Az egyenes egyenlete:

bx by b4 2+ =- , azaz x y4 2+ =- .


3/a.

4.

b) Ha a, b, c mrtani sorozat szomszdos tagjai:

q

bx by bq+ = "

qx y q

1+ = .

Ez az x, illetve y tengelyt x q2= , illetve y q= -ban metszi. Teht a hrom-szg terlete ez esetben:

q

2 2

13= , ahonnan q 1= .

Ez azt jelenti, hogy a mrtani sorozat csak lland lehet, vagyis ezen k-vl nincs olyan mrtani sorozat, mely a feltteleknek megfelelne.

6. a)! !

!424 2 38

42111930

$f= = =

J

LKK

N

POO .

b)! !

!

! !

!182

242 2 16

18

2 22

2442 228$

$$

$f= = =

J

LKK

J

LKK

N

POO

N

POO .

c) Ha 2 n van a bizottsgban, akkor 17242

$J

LKK

N

POO, ha 3 n van a bizottsgban,

akkor 243

J

LKK

N

POO. Teht ez esetben a lehetsgek szma:

......17242

243

6716$ + = =J

LKK

J

LKK

N

POO

N

POO .

7. sin cos cos sin cos cos sin sinx y x y x y x y$+ + ,sin cos cos sin cos cos sin sinx y x y x y x y 0$+ - - ,

( ) ( )sin cos sin cos sin cosx y y x y y 0$- + - ,( )( )cos sin sin cosy y x x 0$- - .Innen cos siny y$ s sin cosx x$ vagycos siny y# s sin cosx x#A keresett ponthalmaz (bra):8. a) A raktt a t 0= pillanatban lttk ki,

teht annak a fldtl val tvolsga:

( )f 0 10= km.

b) Az ( )f t t t t6 9 103 2= - + + fggvny3- -tl az els szlsrtkhelyig szi-

goran monoton nvekv. gy az elsszlsrtke (ha van) biztosan maxi-mum. A szlsrtkhelyt a derivltsegtsgvel kapjuk meg.

( )f t t t3 12 92= - +l .

Ha ( )f t 0=l , azaz t t3 12 9 02- + = ,

Emelt szint 439

7.

akkor t 11= , t 32= . Mivel a fggvnyt - a megfigyels idtartamt figyelembe vve - a [0; 5]intervallumban vizsgljuk, gy t 1= -ben helyi maximuma, t 32= -ban pe-dig helyi minimuma van, azaz t = 0-tl t = 1-ig szig. monoton nvekv,t = 1-tl t = 3-ig szig. monoton cskken,t = 3-tl 3- -ig szig. monoton nvekv.A helyi maximum rtke t 1= -ben: ( )f 1 1 6 9 10 14= - + + = km.Meg kell mg vizsglnunk, hogy a [0; 5] intervallum fels hatrban mek-kora a fggvnyrtk:

( )f 5 5 6 5 9 5 10 303 2$ $= - + + = km.

Teht a rakta a vizsglt idszakban legtvolabb a vizsglat utols pilla-natban, azaz a 60. perc vgn volt, mgpedig 30 km tvolsgra.

c) Azt kell megvizsglnunk, hogy a t 3= -ban mennyi a minimum rtke:

( )f 3 27 54 27 10 10= - + + = km.

Teht a fldhz legkzelebb a kilvs pillanatban, valamint t 3= -ban,azaz a 36. perc vgn lesz a rakta, mgpedig 10 km tvolsgra. Ezek sze-rint a 7000 m magassgig rzkel radar egyetlen pillanatban sem szlel-hette ezt a raktt.

9. a) ( )k p k k kp11 112 - = - = prm.E kt tnyezs szorzat csak gy lehet prm, ha valamelyik tnyezje 1, amsik pedig prm.Ha k 1= , akkor p-11 = prm. Ez csak akkor teljesl, ha a jobb oldal r-tke 2, ahonnan p 13= .Ha kp 11 1- = , akkor k-nak prmnek kell lennie s kp 12= . Ez akkorteljesl, ha p 2= , k 6= vagy p 3= , k 4= . De egyik esetben sem lesz krtke prm, gy a feltteleknek eleget tev egyetlen szmpr: k 1= ,p 13= .

b) k k n12 52 2- + = ,( )k n6 36 52 2- - + = ,( )k n6 312 2- - = ,( )( )k n k n6 6 31- - - + = .Innen k n6 1- - = s k n6 31- + = ,Azaz k2 12 32- = " k 22= .


3. feladatsor

1. a)

( )t t60 80 1 270+ - = " ,t 2 5= ra.Teht 10 ra 30 perckor tallkoznak Maktl 150 km-re.

b) A beszlgets kezdetre

( )t t60 80 1 40 270+ - + = " ,t 2 2. ra.Teht a beszlgets kezdete: 10 ra 12 perc.A beszlgets vgre:

( )t t60 80 1 40 270+ - - = " ,t 2 78. ra.Teht a beszlgets vge kb. 10 ra 46 perc. A beszlgets idtartama: kb.34 perc.

2. a) Az sszes autk szma: 21 653, a kombik szma: 9435. A keresett szza-lk:

, %21 653

9 435100 43 57$ . .

b)

c), , , ,

,21653

7547 2 5 8645 7 5 4557 12 5 904 17 57 22

$ $ $ $.

+ + +v.

Emelt szint 441

1/a.

1/b2.

1/b1.

2/b.

3. a) A 4-gyel oszthat ngyjegy szmokra a 10001= , d 4= , a 9996n= .

( )n9996 1000 1 4$= + - " n 2250= .

Az 5-tel oszthat ngyjegy szmokra: a 10001= , d 5= , a 9995n= .

( )n9995 1000 1 5$= + - " n 1800= .

b) 2250 1800 4050+ = .Az A B+ halmazba a 20-szal oszthat szmok vannak. Ezek szmra:

a 10001= , d 20= , a 9980n= .

( )n9980 1000 1 20$= + - " n 450= .Ezekbl azonban kett van az urnban. gy a keresett valsznsg:

,4050

9000 2. o .

4. Az bra megfelel derkszg hromszgeire

( ) ( ) ( ) ( )r x x r r x r x2 42 2 2 2+ - - = + - - "

" x r2

3

2

312 18$= = = cm.

5. a) Az egyenes egyenletbl x y2 10= - . Ezt a kr egyenletbe helyette-stve:

( ) ( )y y y y2 10 6 2 10 8 02 2- + - - - = " y 41= , y 82= .

Az egyenes s a kr M metszspontjai: M1(-2; 4), M2(6; 8).

E kt pont d tvolsga: d 64 16 80= + = .b) Azon pontok halmaza, melyekbl a krhz hzott rintk merlegesek

egymsra, egy olyan krn vannak, melynek kzppontja azonos az ere-deti kr kzppontjval, sugara pedig az eredeti kr sugarnak 2 -szerese, Teht az ilyen pontok az

( ) ( ) ( )x y3 4 5 22 2 2- + - =

egyenlet krn vannak. E krnek s az adott egyenesnek a metszspont-jait az egyenletrendszer megoldsa adja:

( ) ( )y y y y2 10 6 2 10 8 25 02 2- + - - - - = " y y12 27 02- + = "

" y 91= , y 32= .

Az egyenes keresett pontjai: (8; 9), (-4; 3).


4.

6. a) A KPL s BTL hromszgek ha-sonlk, gy

,

,

,

x

0 4

0 3

3 2= " ,x 2 4= m.

Az MPL s ATL hromszgekszintn hasonlk, gy

,

,

,

,d

3 2

2 4

0 4

0 7+= " ,d 3 2= m.

b) tg MLP4

7s = " ,MLP 60 25s . .

tg KLP4

3s = " ,KLP 36 87s . .

,MLP KLP 23 38s s .= -a .

7. a) A hromszgek szma: !

!6

52

52 3

6 5 5300$ $

$

$ $== =

J

LKK

N

POO .

A ngyszgek szma: ! !

! !3

52 2 3 2 3

3 5 5300

2

$$ $ $

$ $= =

J

LKK

N

POO .

Teht ugyanannyi hromszg van, mint ngyszg.

b) A hromszgek szma: 262

5 252

6 252

5 370$ $ $ $ $ $ f+ + = =J

LKK

J

LKK

J

LKK

N

POO

N

POO

N

POO .

A ngyszgek szma: 262

52

52

4002

$ $ f+ = =J

LKK

J

LKK

J

LKK

N

POO

N

POO

N

POO .

Teht b) esetben ngyszgbl van tbb.

8. a) a a1= , a b2= , a a

b3 = , a a

14 = , a b

15 = , a b

a6 = , a a7= , a b8= .

Innen kiolvashat, hogy a sorozat tagjai hatosval periodikusan ismtld-nek. gy

a a a aa b

a b1 1

2002 2003 2005 2006+ + + = + + + .

A jobb oldalon egy-egy pozitv szmnak s reciproknak sszegei szere-pelnek, gy ez az sszeg valban legalbb 4.

b) Ha a b

a b n1 1

+ + + = , akkor a b

k1 1

+ = egsz. Ez azonban csak akkor

teljesl, ha a b 1= = vagy a b 2= = .9. a) A felttelek szerint az ( ) ( )f x g x 10 0$ =-l l egyenletnek egy megoldsa

van.

( )( )x a x b2 2 10 0+ + =- , azaz ( )x x a b ab4 2 1 002

0+ + + + = .

Emelt szint 443

6/a.

Ez utbbi egyenletnek akkor s csak akkor van egymegoldsa, ha diszkriminnsa 0.

( ) ( )a b ab4 16 1 02+ - + = , ahonnan ( )a b 42- = .

Mivel >a b, ezrt innen a b 2- = , vagyis a b 2= + .Ezzel

( ) ( )h x x b x b x bx b x2 2 2 22 2= + + + - - - - = - .

b) A kt fggvny x 1= -ben metszi egymst, ha ( ).g x f xA keresett terletet az albbi fiktv bra szemllteti.

[ ( ) ( )] ( )g x f x dx x bx b x bx x b dx2 20

12 2

0

1

- = + + + - - - - =# #

( )x dx2 20

1

= - =# ( ) ( )x x2 2 1 0 120

1- = - - =9 C .


9/a.

9/b.

Érettségi feladatsorok

Documents

Transcript of Érettségi feladatsorok