Equivalence entre les représentations d images à l aide de complexes et d ordres Sylvie...
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Equivalence entre les représentations d ’images à
l ’aide de complexes et d ’ordres
Sylvie Alayrangues
Jacques-Olivier Lachaud
Séminaire IRCOM-SIC juin 2002
Plan
• Motivations
• Equivalence ordre/complexe propriétés intéressantes sur une sous-catégorie
d ’ordres et de complexes : ordres et complexes SN• ex : complexes simpliciaux, polyédriques, Zn
• Applications :Homotopies Groupe fondamental Simplification d ’un objet dans un espace
Motivations
• Représentations topologiques des images
• Modèles généraux : indépendants de la dimension, sans contrainte sur la nature du support de l ’image, sans contrainte géométrique…
Représentations à l ’aide d ’ordres et de complexes
• Ordres développés par Bertrand et al. Approche ensembliste
• Complexes proposés par Dominguez et al. Topologie combinatoire : complexes plongés dans un espace
euclidien
• Différents résultats : définitions et algorithmes purement discrets :
• surfaces, homotopie, points simples / squelettisation, segmentation
définitions par analogie avec le continu :• surfaces, groupe fondamental, théorème de Seifert/Van Kampen
Points communs
• Eléments répartis entre deux classes : “pixels” de l ’image :
-terminaux / n-cellules
liens entre ces pixels :• non -terminaux / k-cellules avec k < n
• Ordre |X| = (X,α) X : ensemble d’éléments α : relation d ’ordre (i.e. relation binaire réflexive,
transitive, antisymétrique)• α-1 = β
• (X, β) ordre dual
• Ordre CF : X dénombrable localement fini : fini
• α-terminal
Ordre CF
)(x
xx)/(
Représentation des ordres
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x2 x1 x3 x6x5 x4 x7
x8 x9 x10
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x2 x1 x3 x6x5 x4 x7
x8 x9 x10
x12 x13
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x11
• Complexe cellulaire abstrait : C=(E,,dim)E : ensemble d’éléments abstraits, EE : relation binaire non réflexive ,
antisymétrique, transitive (relation de bord) dim : EI Z telle que
dim(e) < dim(e’) ssi e e’ (dimension)
• Complexe localement fini de dimension n: fini
Complexe cellulaire abstrait
cl(e)st(e) ne
Ee
)dim(max
Représentation des complexes
• Restriction à des complexes polyédriques
e5
e4e2e1
e7
e10 e11
e12 e9
e8
e6
e3
• C=(E,<,dim) |X|=(X,
Lien complexe / ordre
?
???
Construire un complexe à partir d ’un ordre (1)
• -décomposition de l’ordre : famille {Xi}
• fonction dimxXi, dim(x) = i
x7
x1 x2
x3 x4
x5 x6
x8 x9
x10 x11 x12
X0
X1
X2
X3
X4
Construire un complexe à partir d ’un ordre (2)
• Complexe cellulaire abstrait associé à |X| : C |X|
=(E,,dim) xX, (x) E, (x,x’)XX, x’ (x)/{x} then (x’)(x),dim((x)) = dim(x).
• Complexe cellulaire abstrait dual associé à |X| : C*
|X|=(E*,*,dim*) xX, *(x) E*, (x,x’)XX, x’ (x)/{x} then *(x’)*(x),dim(* (x)) = (dim(x)) - dim(x)) = dim*
(x)) .
Exemple
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x4 x5 x6 x7
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Exemple
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x4
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x9x8x7
x2
x1 x5 x6
*
ordre dual e1
e2
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e4 e10 e11
e12
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e6
e9
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e7
Ordre / Complexe dual
-terminaux représentés par des n-cellules
• complexe pur :toute k-cellule est face d’au moins une n-cellule
Correspondances ordre/complexe dual
• *((x)) = st(*(x))
• *((x)) = cl(*(x))
• topologies d’Alexandroff : ouverts de |X| fermés de C*
|X|
fermés de |X| ouverts de C*|X|
Images des adhérences
*((x)) = st(*(x))
• *((x)) = cl(*(x))
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x3 x4 x5 x6 x7
x8 x9
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x3 x4 x5 x6 x7
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Ouverts dans les ordres
• Ordre CF :S ouvert
S={xS/(x)S}
• Complexe dual : *(S) fermé
*(S)=cl(*(S) )
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Fermés dans les ordres
• CF-Order :S fermé
S={xS/(x)S}
• Dual abstract complex :*(S) ouvert
*(S)=st(*(S))
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Connexité entre les -terminaux / n-cellules
• Sélectionner des non -terminaux / des k-cellules (k<n) définir les adjacences entre -terminaux / n-cellules
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e*14
Deux approches pour déterminer la connexité maximale
• Topologique : par équivalence
homotopique suppression itérative de
points par rétractions élémentaires sans changement de la topologie
• -noyau
• Ensembliste : par examen des
intersections des clôtures combinatoire de tout ensemble de n-cellules
nombre minimal de k-cellules qui connectent le maximum de n-cellules
• Support
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Exemple d ’extraction d ’un noyau
Exemple de détermination d ’un support
Configuration problématique
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2
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e*6 e*
4
e*3
x3
Ordres et Complexes ”Strongly Normal”
• complexe SN pur : complexe localement fini l ’intersection des clôtures de tout ensemble de n-cellules est soit
vide, soit la clôture d ’une cellule de dimension quelconque.
• ordre SN: Ordre CF L ’intersection des β-adjacences de tout ensemble de -terminaux
est soit vide, soit la β-adjacence d ’un élément quelconque de l ’ordre
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Exemple
Résultat principal
• Ox : sous-ensemble de -terminaux d ’un ordre SN
• OK : sous-ensemble de n-cellules d ’un complexe SNtels que OK = *(OX)
-noyau de | β(OX)| = support de OK
" Strong weak lighting functions"
• Famille de fonctions permettant de formaliser différentes notions de connexité par sélection des cellules/éléments nécessaires valable pour un objet et son complémentaire
• Propriétés de ces fonctions pour tout objet O les pixels (n-cellules / -terminaux) de O sont sélectionnés seuls les éléments appartenant au support de O / -noyau de |β(O)|
peuvent être sélectionnés si un élément est sélectionné pour un objet O, il est sélectionné
pour l ’image le choix de sélectionner ou non un élément doit pouvoir se faire
localement
Homotopie
• Transformations préservant la topologie squelettisation…
• Définition purement discrète sur les ordres suite d ’homotopies élémentaires
-homotopie et β-homotopie
• Transfert sur les complexes -homotopie et -homotopie
Groupe fondamental
• Invariant algébrique utilisé pour comparer les formes des objets groupe composé des classes d ’équivalence pour la relation
d ’homotopie de l ’ensemble des lacets• ex : sphère / groupe fondamental trivial (i.e. elle est simplement connexe)
• Défini par Dominguez par analogie avec le continu construction de chemins et de lacets entre les n-cellules :
• un chemin de e à e’ est une fonction c d’un intervalle [0,tmax] telle que c(0)=e, c(tmax)=e ’ et c(t) est alternativement une n-cellule et une k-cellule (k < n).
• Transfert sur les ordres : construction similaire de chemins et de lacets entre -terminaux
Exemple : chemins homotopes sur un objet O
Simplification
• Définition de points simples : points dont la suppression ne modifie ni la topologie
de l ’objet ni celle de son complémentaire
• Caractérisation de points simples d ’un ordre par Bertrand caractérisation de points simples sur un objet de
l ’ordre / du complexe (en cours)
Conclusion
Perspectives
• Vérification de la cohérence des notions de surface définies sur les ordres et les complexes
• Comparaison avec d ’autres modèles : cartes…
• Utilisation des ordres pour de l ’analyse d ’images multirésolution