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8/17/2019 Equi Libri Ocu Erp

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Equilibrio de Cuerpos

1. Introducción2. Conceptos Fundamentales de la Mecánica3. Estabilidad y Equilibrio4. Principios de Equilibrio

. !orque de una Fuer"a#. Equilibrio de los Cuerpos$. Inercia y Momento de Inercia%. Conceptos Fundamentales para el Equilibrio de Cuerpos&. E'emplos de (plicación1). Conclusiones11. *iblio+ra,-a

IntroducciónMuchas veces nos confundimos entre lo que es Estática y lo que es Dinámica, por esoantes de empezar con el estudio del equilibrio de cuerpos es necesario diferenciar entredichas ramas de la Mecánica. La Estática estudia el equilibrio de los cuerpos, es decir,aquellos cuerpos que se encuentran tanto en reposo como en movimiento con velocidadconstante mientras que la Dinámica estudia los cuerpos acelerados, aunque se puedeestablecer el equilibrio dinámico mediante la introducci!n de las fuerzas de inercia."ara detallar y e#plicar la parte te!rica tomaremos algunos e$emplos de la vida cotidianaen los cuales se aplican principios f%sicos, como&- Equilibrio en el vuelo de un esquiador - "or qu' vuela el avi!n- ("or qu' no se cae la )orre "isa*- +uerzas y principios f%sicos en la ca%da de un gato- Equilibrio en el vuelo de un -meran- Equilibrio en el baile- Equilibrio de una plataforma sostenida por una columna- uriosidades de la f%sica.+inalmente quedará demostrado que la +%sica no es solamente abstracta, sino que estambi'n práctica y ocurre en la vida diaria, y el estudio del equilibrio es un paso previopara el estudio de la Dinámica y otras ramas de la +%sica.

Conceptos Fundamentales de la Mecánica /ntes de iniciar el estudio del 0Equilibrio de uerpos1, es importante comprender elsignificado de ciertos conceptos y principios fundamentales.

• antidades ásicas& Las cuatro cantidades siguientes se utilizan enel equilibrio&

•

Longitud& La longitud es necesaria para ubicar un punto en elespacio y de esta forma describir el tama2o de un sistema f%sico.3na vez que se define una unidad estándar de longitud, puededefinirse cuantitativamente distancias y propiedades geom'tricas deun cuerpo como m-ltiplos de esa unidad de longitud.

• )iempo& El tiempo se concibe como una sucesi!n de eventos. /unque los principios de la Estática son independientes del tiempo,esta cantidad definitivamente $uega un papel importante en elestudio de la Dinámica.

• Masa& La masa es una propiedad de la materia por la cualpodemos comparar la acci!n de un cuerpo con la de otro. Estapropiedad se manifiesta como una atracci!n gravitacional entre doscuerpos y proporciona una medida cuantitativa de la resistencia quepresenta la materia al cambio de velocidad.


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• +uerza& En general, la fuerza es considerada como un 0$al!n1 o0tir!n1 e$ercido por un cuerpo sobre otro. Esta interacci!n puedeocurrir cuando e#iste un contacto directo entre los cuerpos, pore$emplo, una persona empu$ando sobre una pared. "uedepresentarse tambi'n a lo largo de una distancia determinadacuando los cuerpos se separan f%sicamente. omo e$emplos de

este -ltimo caso están incluidas las fuerzas el'ctricas, magn'ticas ygravitacionales. En cualquier caso, una fuerza se caracteriza por sumagnitud, direcci!n y punto de aplicaci!n.

Ideali"aciones Los modelos o idealizaciones se utilizan en el estudio del equilibriocon la finalidad de simplificar la aplicaci!n de la teor%a. 4e definirá algunas de lasidealizaciones más importantes.

• "art%cula& 3na part%cula posee masa pero de tama2o pocosignificativo. "or e$emplo, el tama2o de la )ierra es insignificantecomparado con el tama2o de su !rbita, y por lo tanto la )ierra sepuede tomar como una part%cula cuando se estudia su movimientoorbital en un modelo. uando un cuerpo se idealiza como una

part%cula, los principios de la Mecánica se simplifican de maneraimportante, debido a que la geometr%a del cuerpo no se tomará encuenta en el análisis del problema.

• uerpo 5%gido& 3n cuerpo r%gido puede ser considerado como uncon$unto formado por un gran n-mero de part%culas quepermanecen separadas entre s% por una distancia fi$a antes ydespu's de aplicar la carga. omo resultado, las propiedades delmaterial de que está hecho cualquier cuerpo que se suponga r%gidono se tendrá que considerar cuando se analicen las fuerzas queact-an sobre 'ste. En la mayor%a de los casos, las deformacionesreales que se presentan en estructuras, máquinas, mecanismos,etc'tera, son relativamente peque2as, y la suposici!n de cuerpor%gido es apropiada para efectos de análisis.

• +uerza oncentrada& 3na fuerza concentrada representa el efectode una carga la cual se supone que act-a en alg-n punto de uncuerpo. "odemos representar este efecto por medio de una fuerzaconcentrada, siempre y cuando el área sobre la cual se aplica lacarga sea relativamente peque2a comparada con el tama2o delcuerpo.

/eyes del Mo0imiento de e ton El tema de la mecánica del cuerpo r%gido se encuentrabasado en las tres leyes del movimiento de 6ewton, cuya validez se sustenta en laobservaci!n e#perimental. Estas leyes se aplican al movimiento de una part%cula, medidodesde un marco de referencia no acelerado no acelerado, y pueden definirse brevemente dela forma siguiente&

• "rimera Ley& 3na part%cula que se encuentra originalmente en reposo,o movi'ndose en l%nea recta con velocidad constante, permanecerá eneste estado siempre y cuando una fuerza desbalanceada no act-esobre 'sta.

• 4egunda Ley& 3na part%cula sobre la cual act-a una fuerzadesbalanceada + e#perimenta una aceleraci!n a que posee la mismadirecci!n que la fuerza y una magnitud que es directamenteproporcional a la misma. 4i + se aplica a una part%cula de masa m, estaley puede e#presarse matemáticamente como

+ 7 ma• )ercera Ley& Las fuerzas de acci!n y repulsi!n entre dos part%culas son

iguales en intensidad, opuestas en sentido y colineales.

Estabilidad y Equilibrio

3n cuerpo en equilibrio estático, si no se le perturba, no sufre aceleraci!n de traslaci!no de rotaci!n, porque la suma de todas las fuerzas u la suma de todos los momentosque act-an sobre 'l son cero. 4in embargo, si el cuerpo se desplaza ligeramente, son


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posibles tres resultados& 89: el ob$eto regresa a su posici!n original, en cuyo caso sedice que está en equilibrio estable 8;: el ob$eto se aparta más de su posici!n, en cuyocaso se dice que está en equilibrio inestable o bien 8


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=ay solo una condici!n de equilibrio que puede e#presarse 89: >+ 7 ? o 8;: >M @7 ?.La 89: establece que la suma algebraica de las fuerzas es cero, y la 8;: que la sumaalgebraica de los momentos respecto cualquier punto 8no en la l%nea de acci!n: escero. La condici!n gráfica de equilibrio es que el pol%gono de fuerzas queda cerrado.

3. Fuer"as Coplanares Concurrentes)ienen dos condiciones independientes algebraicas de equilibrio. "uedene#presarse en tres formas&

89: >+# 7 >+y 7 ? 8;: >+ # 7 >Ma 7 ? 89:>Ma 7 >Mb 7 ?

La forma 89: e#presa que la suma algebraica de los componentes seg-n los e$es #,y 8en el plano de las fuerzas: es cero la 8;: que la suma algebraica de lascomponentes seg-n cualquier e$e y la suma algebraica de los momentos de todaslas fuerzas respecto a un punto es cero 8el punto debe estar en el plano de lasfuerzas y la l%nea que lo une en la intersecci!n de las fuerzas, debe ser inclinado ale$e tomado: la 8+# 7 ?, si hay resultante debe ser perpendicular al e$e B, y si >Ma 7 ?,entonces el momento de 5 respecto al punto es cero, lo que e#ige que 5 7 ?.

Ma 7 ?,entonces 5 pasa por 'l tambi'n, y si >M b 7 ?, 5 debe ser cero, no estando bsobre c.

La condici!n gráfica de equilibrio es que el pol%gono de fuerzas quede cerrado, puesentonces no hay resultante.

4. Fuer"as Coplanares o Concurrentes y Paralelas=ay dos condiciones algebraicas independientes de equilibrio.

89: >+ 7 >M 7 ? ! 8;: >Ma 7 >Mb 7 ?

4e enuncian similarmente al caso anterior. /mbas condiciones son suficientes parahacer la resultante igual a cero. En efecto, si hay resultante será una fuerza o unpar. 4i 89: >+ 7 ?, la resultante no es una fuerza, y si >Ma 7 ?, no es un par por lotanto, no hay resultante. 8;: 4i >Ma 7 ?, la resultante no es un par sino una fuerzaque pasa por a y si tambi'n >Mb 7 ?, el momento de la resultante respecto a b debeser cero, lo que implica que la fuerza es cero.Cráficamente, hay dos condiciones de equilibrio el pol%gono de fuerzas y elfunicular deben cerrar porque en el primer caso si hay resultante será un par, perocon la condici!n segunda no e#istirá el par.

. Fuer"as Coplanares o Concurrentes y o Paralelas.=ay tres condiciones independientes algebraicas de equilibrio&

89: >+# 7 >+y 7 >Ma 7 ?

8;: >+# 7 >Ma 7 >Mb7 ?

8Ma 7 >Mb 7 >Mc7 ? se ha e#plicado, lo que significan las e#presiones anteriores. =ay que advertir que

los e$es #, y, de las componentes y los or%genes de momentos deben estar en el

plano de las fuerzas, y los tres puntos a, b, c, no deben ser colineales. Estas trescondiciones bastan para dar resultante igual a cero. En efecto, si e#iste resultanteserá una fuerza o un par. 4i en 89:, >+ # 7 >+ y 7 ?, la resultante no es fuerza, pero si


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>M 7 ?, no es un par y no habrá resultante. En 8;:, si >+ # 7 ?, la resultante esperpendicular al e$e o un par si >Ma 7 ?, no es un par sino una fuerza que pasa por a y perpendicular al e$e si además, >Mb 7 ?, el momento de esa fuerza respecto a bes cero, y por tanto, la fuerza es cero. En 8Ma 7 ?, la resultante no es un par sino una fuerza que pasa por a si además, >Mb 7 ?, la resultante pasa por b, pero si>Mc 7 ?, esta resultante será cero.

#. Fuer"as o Coplanares Concurrentes=ay tres condiciones independientes algebraicas de equilibrio. 4e e#presan&

>+# 7 +y 7 >+z 7 ?

es decir, la suma algebraica de las componentes seg-n tres e$es rectangulares #, y,z, es cero, pues si e#iste resultante será igual a&

( ) ( ) ( ) 222 ∑∑∑ ++= z Y X F F F R

$. Fuer"as o Coplanares Paralelas

=ay tres condiciones independientes que se e#presan en dos formas&89: >+ 7 >M9 7 >M; 7 ? y 8;: >M9 7 >M; 7 >M< 7 ?

La forma 89: e#presa que la suma algebraica de las fuerzas, y la de los momentosrespecto dos e$es perpendiculares a las fuerzas pero no paralelas entre s%, es iguala cero y la 8;:, que la suma algebraica de los momentos respecto tres e$es noconcurrentes, no paralelos y perpendiculares a las fuerzas, es cero. En efecto, en89:, si >+ 7 ?, la resultante no es una fuerza, si además >M 9 7 ?, la resultante es unpar cuyo plano es paralelo al primer e$e de momento y a las fuerzas y si >M; 7?,ese plano será tambi'n paralelo al segundo e$e pero estas condiciones deparalelismo no pueden realizarse sino cuando las fuerzas del par son colineales, encuyo caso se balancean, y no hay resultante. En 8;:, si >M 97>M; 7 ?, la resultanteserá una fuerza que pasa por la intersecci!n de los e$es 9 y ; si además >M < 7 ?,esa fuerza será cero, y no e#istirá resultante.

8. Fuer"as o Coplanares o Concurrentes y o Paralelas=ay seis condiciones algebraicas independientes de equilibrio&

>+# 7 >+y 7 >+z 7 >M# 7 >My 7 >Mz 7 ?

Es decir, la suma algebraica de las componentes de todas las fuerzas seg-n tresl%neas, y la de los momentos con respecto a tres e$es no coplanares es cero. "or logeneral, es conveniente tomar las tres l%neas y los e$es perpendiculares entre s%. Enefecto, si hay resultante, será una l%nea o un par, si las componentes seg-n lasl%neas son cero, la fuerza será cero, y si los momentos son cero, el par no e#iste yno hay resultante.&. Condiciones Especiales de Equilibrio

iertas condiciones especiales de equilibrio dependientes del n-mero de fuerzas enel sistema, son de gran uso. 4on las siguientes&9: 3na fuerza simple no puede estar en equilibrio.;: 4i dos fuerzas están en equilibrio son necesariamente colineales, iguales y

opuestas.


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c sen

F

b sen

F

a sen

F 111111==

donde a, b, c, son los ángulos aludidos. Estas ecuaciones de deducen

aplicando el principio de los senos al triángulo de las fuerzas. uando las tresfuerzas son paralelas, las dos e#teriores tienen la misma direcci!n, y la centrales opuesta los momentos de dos de cualquiera de esas fuerzas respecto unpunto sobre la tercera, son iguales en magnitud y opuestas en signo.

F: 4i cuatro fuerzas coplanares están en equilibrio, la resultante de dos de ellasbalancea las otras dos. "or tanto& a: si las dos primeras son concurrentes y lasotras tambi'n, la resultante pasa por los dos puntos de concurrencia b: si dosson concurrentes y las otras paralelas, la resultante de las primeras act-a por el punto de concurrencia y es paralela a las otras c: si las cuatro fuerzas sonparalelas, la resultante tambi'n les es paralela. Los principios 8a: y 8b: se usanen el análisis gráfico de los sistemas de cuatro fuerzas.

1). Fuer"as E5ternas e InternasLa palabra 0cuerpo1se usa en Mecánica en forma amplia para denominar cualquier porci!n definida de materia, simple o r%gida, como una piedra, tabl!n, etc., ocomple$a como un puente, máquina, etc., o fluida como el agua en un dep!sito, etc.De tal modo, cualquier parte de uno de esos elementos puede llamarse 0cuerpo1, siesa parte tiene especial inter's para tomarse por separado.

onviene distinguir entre fuerzas e#ternas e internas con referencia a un cuerpodeterminado. Es e#terna a un cuerpo si e$erce sobre 'l por otro cuerpo es interna sise e$erce en parte del cuerpo por otra parte del mismo cuerpo.

on referencia a un cuerpo, todas las fuerzas e#ternas tomadas en con$unto sellaman el sistema e#terno, y las interiores en con$unto el sistema interno. uando uncuerpo está inm!vil, todas las fuerzas e#ternas e internas que act-an sobre el,constituyen un sistema de equilibrio. El sistema interno está constituido por fuerzas

que mutuamente se balancean y por tanto, el sistema e#terno tambi'n se hallabalanceado. "uede, en consecuencia, decirse que el sistema e#terno de las fuerzasque act-an en un cuerpo inm!vil está en equilibrio.

11. 6ia+rama de Cuerpo /ibreLos párrafos siguientes se refieren a aplicaciones de las condiciones de equilibrio.Estas condiciones deben aplicarse, por cierto, a un sistema equilibrado, y su usoe#ige la consideraci!n previa de un sistema que comprende las fuerzas por estudiar.Esto se hace considerando el cuerpo inm!vil dado por s% solo, con las fuerzas queact-an sobre 'l. 4e centra as% el diagrama del cuerpo libre, que es un dibu$omostrando& 9: el cuerpo solo, asilado de otros cuerpos, y ;: todas las fuerzase#ternas que se e$ercen sobre dicho cuerpo. En ese diagrama no aparecerán lasfuerzas e$ercidas por el cuerpo, sino las que se e$ercen sobre 'l, y tampoco incluiráfuerzas interiores. 4e ha dicho que las fuerzas e#ternas son en general las debidasa la atracci!n de la )ierra, o las ocasionadas por contacto. Esas fuerzas son por tanto usualmente la de gravitaci!n, más el n-mero de contacto entre el cuerpo dadoy otros cuerpos. 4e dan enseguida e$emplos sobre la representaci!n del diagramadel cuerpo libre.

!orque de una Fuer"auando se aplica una fuerza en alg-n punto de un cuerpo r%gido, el cuerpo tiende a

realizar un movimiento de rotaci!n en torno a alg-n e$e. La propiedad de la fuerza parahacer girar al cuerpo se mide con una magnitud f%sica que llamamostorque omomento de la fuerza. 4e prefiere usar la palabra torque y no momento, porque esta-ltima se emplea para referirnos al momento lineal, momento angular o momento deinercia, que son todas magnitudes f%sicas diferentes para las cuales se usa una misma

palabra.


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T = r

/nalizaremos cualitativamente el efecto de rotaci!n que una fuerza puede producir sobre un cuerpo r%gido. onsideremos como cuerpo r%gido a una regla fi$a en un puntoG ubicado en un e#tremo de la regla, sobre el cual pueda tener una rotaci!n, ydescribamos el efecto que alguna fuerza de la misma magnitud actuando en distintospuntos, produce sobre la regla fi$a en G, como se muestra en la figura 8a:.3na fuerzaF1aplicada en el punto a produce una rotaci!n en sentido antihorario, F2 en b produce unarotaci!n horaria y con mayor rapidez de rotaci!n que en a, F3 en b pero en direcci!n dela l%nea de acci!n que pasa por G no produce rotaci!n, F4 inclinada en b producerotaci!n horaria con menor rapidez de rotaci!n que F2 F y F# aplicadasperpendicularmente a la regla no producen rotaci!n. "or lo tanto e#iste una cantidadque produce la rotaci!n del cuerpo r%gido relacionada con la fuerza, que definimos comoel torque de la fuerza.

F1 F4

7 • H a ⊗ b

F F# F3

F2

4e define el torque ! de una fuerza F que act-a sobre alg-n punto del cuerpo r%gido,en una posici!n r respecto de cualquier origen G, por el que puede pasar un e$e sobreel cual se produce la rotaci!n del cuerpo r%gido, al producto vectorial entre la posici!nr y la fuerza aplicada F.

! 8 r # F

El torque es una magnitud vectorial, si θ es el ángulo entre r y F, su valor num'rico por definici!n del producto vectorial, es&

4u direcci!n es siempre perpendicular al plano de los vectores r y F, cuyo diagramavectorial se muestra en la figura que sigue su sentido está dado por la regla delproducto vectorial o la regla de la mano derecha. En la regla de la mano derecha loscuatro dedos de la mano derecha apuntan a lo largo de r y luego se giran hacia F atrav's del ángulo θ , la direcci!n del pulgar derecho estirado es la direcci!n del torque yen general de cualquier producto vectorial.

! F


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r

"or convenci!n se considera el torque positivo o negativo si la rotaci!n que produce lafuerza es en sentido antihorario u horario respectivamente.El torque de una fuerza depende de la magnitud y direcci!n de F y de su punto deaplicaci!n respecto de un origen G. 4i la fuerza F pasa por G, r 7 ? y el torque es cero.4i θ 7 ? o 9@?A, es decir,F está sobre la l%nea de acci!n de r , F sen θ 7 ? y el torque escero. F sen θ es la componente de F perpendicular a r , s!lo esta componente realizatorque, y se le puede llamar F I . En la siguiente figura se ve que r I 7 r sen θ es ladistancia perpendicular desde el e$e de rotaci!n a la l%nea de acci!n de la fuerza, ar I sele llama brazo de palanca de F. Entonces, la magnitud del torque se puede escribir como&

! 7 r 8F sen θ : 7 F 8r sen θ : 7 rF 9 7 r 9 F

5otaci!n positiva

F L%nea de acci!n der +senθ θ

r Cuerpo :-+ido G r sen θ

L%nea de acci!n deF

Equilibrio de los Cuerpos6e,inición matemática El centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicaci!nde la resultante de todas las acciones de gravedad sobre las mol'culas del cuerpo.El punto C de aplicaci!n de la resultante g se llama baricentro del cuerpo dado.E$emplo& 4upongamos un cuerpo constituido por 9? mol'culas iguales. 4us fuerzasgrav%ticas particulares son 9, ;,


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que la vertical que pasa por el centro de gravedad pase tambi'n por el punto desuspensi!n. on esta condici!n, el equilibrio puede ser& estable, inestable o indiferente.- El equilibrio es estable si el cuerpo, siendo apartado de su posici!n de

equilibrio, vuelve al puesto que antes ten%a, por efecto de la gravedad. En este caso elcentro de gravedad está deba$o del punto de suspensi!n.E$emplo& El p'ndulo, la plomada, una campana colgada.

- El equilibrio es inestable si el cuerpo, siendo apartado de su posici!n deequilibrio, se ale$a por efecto de la gravedad. En este caso el centro de gravedad estámás arriba del punto o e$e de suspensi!n.E$emplo& 3n bast!n sobre su punta.

- El equilibrio es indi,erente si el cuerpo siendo movido, queda en equilibrio encualquier posici!n. En este caso el centro de gravedad coincide con el punto desuspensi!n.E$emplo& 3na rueda en su e$e.

Equilibrio Estable Equilibrio inestable Equilibrio ndiferente

uando el cuerpo se ale$a de su posici!n de equilibrio, el peso " puede descomponerseen dos fuerzas rectangulares una anulada por la resistencia de uno de los e$es, y la otraimprime al cuerpo un movimiento de rotaci!n, que lo lleva a la posici!n de equilibrioestable o lo ale$a de ella.Condición de equilibrio de un cuerpo que descansa sobre un plano . "ara que uncuerpo que descansa sobre un plano est' en equilibrio es preciso que la vertical delcentro de gravedad pase por el interior de la base de sustentaci!n. 4e llama base desustentaci!n la superficie de apoyo del cuerpo o tambi'n el pol%gono que se forma alunir los diversos puntos de apoyo, cuando son varios 8una silla, por e$emplo:.


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conductor de un autom!vil acelera o aminora la marcha, esas modificacionesrepercuten inmediatamente en el cuerpo de los pasa$eros, quienes se inclinan haciaatrás o hacia adelante respectivamente, de esto se deduce que ?los cuerpos enmo0imiento tienden a mantener su 0elocidad@ pero como la velocidad es unvector, esto significa que ?se mantiene no sólo la medida sino tambiAn ladirección y el sentido de la 0elocidad@ . Esto se puede ver cuando un veh%culoentra en una curva, entonces los pasa$eros son empu$ados hacia fuera, pues suscuerpos tienden a seguir en la direcci!n que tra%an incluso el auto mismo se inclina,y si se toma la curva a e#cesiva velocidad, se produce el vuelco, lo que muestra latendencia del auto a seguir en l%nea recta."odr%amos resumir todo lo anterior en dos conclusiones&- )odos los en reposo tienden a seguir en reposo.- )odos los cuerpos en movimiento tienden a seguir movi'ndose, pero con

movimiento rectil%neo y uniforme.Principio de Inercia+ue descubierto por Leonardo de Ninci, quien lo mantuvo en secreto más tarde fueestudiado por Calileo y finalmente 6ewton le dio la forma con que hoy loconocemos&?Bi sobre un cuerpo no act a nin+una ,uer"a o act an 0arias que

se anulan entre s- entonces el cuerpo está en reposo o bien en mo0imientorectil-neo y uni,[email protected] de Inercia

El torque es el análogo rotacional de la fuerza en el movimiento lineal, y un torqueneto produce un movimiento rotacional. "ara analizar esta relaci!n, consideremosuna fuerza constante que act-a sobre una part%cula de masa m. La magnitud deltorque sobre la part%cula es&

t 7 r+ 7 rma 7 mr ; α

en donde a 7 r α es la aceleraci!n tangencial. "ara un sistema de part%culas fi$as 8uncuerpo r%gido: en rotaci!n alrededor de un e$e fi$o, esta ecuaci!n se puede aplicar tanto a cada part%cula como a los resultados sobre todo el cuerpo, con el fin deencontrar el torque total. )odas las part%culas de un cuerpo en rotaci!n tienen lamisma aceleraci!n angular.

t 7 t9 O t; OP Otnt 7 m9r 9; α O m; r ; ; α OP Omnr n; αt 7 8m9r 9; O m; r ; ; OP Omnr n; :α

α )(1

2∑=

=n

i

iir mt

"ero para un cuerpo r%gido, las masas y las distancias del e$e de rotaci!n sonconstantes. "or consiguiente, la cantidad entre par'ntesis es constante y se llamamomento de inercia.

∑= 2ii r m I

La magnitud del torque es, entonces&t 7 α

Esta es la forma rotacional de la segunda ley de 6ewton. =ay que recordar que lasfuerzas y los torques netos son necesarios para producir movimientos, aunque nose indique e#pl%citamente.En conclusi!n diremos que el momento de inercia es una medida de la inerciarotacional o la tendencia de un cuerpo a resistirse al cambio en su movimiento

rotacional. /unque se dice que debe ser constante para un cuerpo r%gido, y que esel análogo rotacional de la inercia, corresponde a un e$e determinado y puede tener


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valores diferentes para e$es diferentes. El momento de inercia depende tambi'n dela distribuci!n de la masa referente al e$e de rotaci!n.

Conceptos Fundamentales para el Equilibrio de CuerposCentro de ra0edad

Debido a que un cuerpo es una distribuci!n continua de masa, en cada una de sus

partes act-a la fuerza de gravedad. El centro de gravedad o centroide es la posici!ndonde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el puntoubicado en la posici!n promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. "araun ob$eto sim'trico homog'neo, el centro de gravedad se encuentra en el centrogeom'trico, pero no para un ob$eto irregular."or e$emplo, si consideramos dos puntos materiales / y , cuyas masas respectivasvalgan m9 y m; además los suponemos r%gidamente unidos por una varilla de masadespreciable, a fin de poder considerarlos como formando parte de un cuerpos!lido. La gravedad e$erce sobre dichos puntos sendas fuerzas paralelas m 9g y m; gque admiten una resultante cuyo punto d aplicaci!n recibe el nombre de centro degravedad o centroide.En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicaci!n de

la resultante de todas las fuerzas que la gravedad e$erce sobre los diferentes puntosmateriales que constituyen el cuerpo.3n ob$eto está en equilibrio estable mientras su centro de gravedad quede arriba ydentro de su base original de apoyo.

uando 'ste es el caso, siempre habrá un torque de restauraci!n. 6o obstante,cuando el centro de gravedad cae fuera del centro de apoyo, el torque derestauraci!n pasa sobre el cuerpo, debido a un torque gravitacional que lo hacerotar fuera de su posici!n de equilibrio.Los cuerpos r%gidos con bases amplias y centros de gravedad ba$os son, por consiguiente, más estables y menos propensos a voltearse. Esta relaci!n esevidente en el dise2o de los autom!viles de carrera de alta velocidad, que tienenneumáticos anchos y centros de gravedad cercanos al suelo. )ambi'n la posici!ndel centro de gravedad del cuerpo humano tiene efectos sobre ciertas capacidadesf%sicas. "or e$emplo, las mu$eres suelen doblarse y tocar los dedos de sus pies o elsuelo con las palmas de sus manos, con más facilidad que los varones, quienes confrecuencia se caen al tratar de hacerlo en general, Los varones tienen centros degravedad más altos 8hombros más anchos: que las mu$eres 8pelvis grande:, demodo que es más fácil que el centro de gravedad de un var!n quede fuera de subase de apoyo cuando se fle#iona hacia el frente.Mo0imiento del Centro de ra0edadEl movimiento que e$ecuta cualquiera de los puntos de un sistema material puedeser muy complicado, pues resulta de componer el debido a la fuerza e#terior aplicada al mismo con el que producen las fuerzas interiores que dimanan de lospuntos restantes del sistema. 4in embargo, puede demostrarse que siempre,cualesquiera que sean las fuerzas interiores, el centro de gravedad del sistema se

mueve como si en 'l estuviera concentrada toda la masa y sobre y sobre 'lactuasen todas las fuerzas e#teriores.Centro de Masa

Es la posici!n geom'trica de un cuerpo r%gido en la cual se puede considerar concentrada toda su masa corresponde a la posici!n promedio de todas laspart%culas de masa que forman el cuerpo r%gido. El centro de masa de cualquier ob$eto sim'trico homog'neo, se ubica sobre un e$e de simetr%a.En forma más sencilla podemos decir que el centro de masa es el punto en el cualse puede considerar concentrada toda la masa de un ob$eto o un sistema.

uando se estudia el movimiento de un cuerpo r%gido se puede considerar la fuerzaneta aplicada en el centro de masa y analizar el movimiento de este -ltimo como sifuera una part%cula. uando la fuerza es el peso, entonces se considera aplicado enel centro de gravedad. "ara casi todos los cuerpos cerca de la superficie terrestre, elcentro de masa es equivalente al centro de gravedad, ya que la gravedad es casi


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constante, es decir, si la gravedad es constante en toda la masa, el centro degravedad coincide con el centro de masa.4i el ob$eto está en rotaci!n, el centro de masa se mueve como si fuera unapart%cula. /lgunas veces el centro de masa se describe como si estuviera en elpunto de equilibrio de un ob$eto s!lido. "or e$emplo, si usted equilibra un metrosobre su dedo, el centro de masa de la varilla de madera está localizadodirectamente sobre su dedo y toda la masa parece estar concentrada all%.La segunda ley de 6ewton se aplica a un sistema cuando se usa el centro de masa

+ 7 M/ M

en donde + es la fuerza e#terna neta, M es la masa total del sistema o la suma delas masas de las part%culas del sistema, y / M es la aceleraci!n del centro de masa.La ecuaci!n dice que el centro de masa de un sistema de part%culas se mueve comosi toda la masa del sistema estuviera concentrada all%, y recibiera la acci!n de laresultante de todas las fuerzas e#ternas. /simismo, si la fuerza e#terna neta que act-a sobre un sistema de part%culas escero, la cantidad de movimiento lineal total del centro de masa se conserva

8permanece constante: dado que + 7 M∆ N M Q∆ t como para una part%cula. Estosignifica que el centro de masa se mueve con una velocidad constante o permaneceen reposo. /unque se pueda visualizar con más facilidad el centro de masa de unob$eto s!lido, el concepto del centro de masa se aplica a cualquier sistema depart%culas u ob$etos, aunque est' en estado gaseoso."ara un sistema de n part%culas dispuestas en una dimensi!n, a lo largo del e$e #, laposici!n del centro de masa está dado por&

4321

332211

......

mmmm

xm xm xm xm X nn

CM ++++

++++=

Esto es, B M es la coordenada de # del centro de masa de un sistema depart%culas. En una notaci!n corta&

M

xm X iii

CM

∑=

En donde Σ i indica la suma de los productos mi#i para i part%culas 8i79,;,


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desviar al cuerpo hacia un lado tambi'n es un efecto de que el marco de referenciasea no inercial, y por lo tanto se llama,uer"a inercial .

Impulso y Cantidad de Mo0imiento- 4e llama impulso I aplicado por una fuerza F durante un lapso t, al

producto de la fuerza por el lapso en que estuvo aplicada.

7 +∆ t

- 4e llama cantidad de movimientop de una masa m, al producto de su masapor su velocidad.

p 7 mv

- 4i un cuerpo e#perimenta un cambio en su velocidad 0, entonces sucantidad de movimiento e#perimenta un cambio p.

∆ p 7 m∆ v

- on estas definiciones podemos e#presar los resultados anteriores diciendoque 0el impulso aplicado por una fuerza es igual a la variaci!n de la cantidad demovimiento que entonces e#perimenta el cuerpo1."or acci!n y reacci!n&

+;9 7 +9;m9a9 7 m; a ;

4i la interacci!n dura ∆ t y durante ese tiempo las fuerzas han sido constantes,entonces&

+;9 ∆ t 7 +9; ∆ tm9a9∆ t 7 m; a ; ∆ tm9∆ v9 7 m; ∆ v;

"ara cada masa se puede decir que&

+∆ t 7 m∆ v 7∆ p

E'emplos de (plicaciónDuelo y Bustentación de un Esquiador

Desde que se lanza hasta que se detiene, un saltador de esqu%s saca partido unasveces de la gravedad y otras de la fuerza centr%fuga o del rozamiento del aire.El salto de trampol%n empieza con una fase de impulso durante la cual se reduce laresistencia del aire con la 0postura del huevo1. /plastado por la fuerza centr%fuga enla porci!n curva del trampol%n, el saltador contrae los m-sculos. En el segmentorecto final, s!lo tiene un cuarto de segundo para enderezarse y proyectarse haciaarriba. En el vuelo, su postura optimiza la sustentaci!n y reba$a la resistencia delaire.Durante el planeo, el saltador adopta la postura que le permite volar lo más le$osposible. En el aire, saca partido de fuerzas que en el trampol%n no hac%an más quefrenarlo. Le interesa minimizar la resistencia del aire 8disminuir la superficieproyectada hacia delante:, que tiende a reba$ar su velocidad de vuelo, y aumentar lasustentaci!n 8aumentar la superficie proyectada hacia aba$o:, la fuerza que e#plicaporqu' los aviones se mantienen en el aire. "or ello, casi se acuesta sobre losesqu%s con los brazos pegados al cuerpo, a la vez que mantiene un ánguloconstante de ;? grados entre los esqu%s y la velocidad. Esta postura viene dictadapor la e#periencia, pero las simulaciones por ordenador y los ensayos en t-nelaerodinámico confirman su eficacia. /sombra más que el esquiador me$ore la

sustentaci!n disponiendo los esqu%s en N. Esta postura inventada a fines de losa2os ochenta por el sueco Ran oSloev, les pareci! en un principio chocante a lospuristas, habituados a los esqu%s paralelos. La me$ora en los resultados fue tan


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evidente que, desde 9JJ;, la alta competici!n s!lo conoce especialistas en lapostura de oSloev. uando un esquiador logra la postura !ptima, la sustentaci!nllega a los


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/e0antamiento ó Bustentación /KLa sustentaci!n es la fuerza que hace volar a un aeroplano. La mayor parte de lasustentaci!n de un aeroplano procede de sus alas. La sustentaci!n que crea un ala secontrola mediante el a$uste de la velocidad aerodinámica y el ángulo de ataque 8/D/:, esdecir, el ángulo en que el ala se encuentra con el viento de frente.En general, a medida que aumenta la velocidad aerodinámica o el ángulo de ataque de un

avi!n, se incrementa la sustentaci!n generada por las alas. / medida que aumenta lavelocidad del avi!n, debe reducir el ángulo de ataque 8ba$ar el morro ligeramente: paramantener una altitud constante. / medida que disminuye la velocidad, debe aumentar elángulo de ataque 8subir el morro ligeramente: para generar mayor sustentaci!n y mantenerla altitud.5ecuerde que, incluso en un ascenso o descenso, la sustentaci!n se iguala al peso. El%ndice de ascenso o descenso de un avi!n está relacionado principalmente con el empu$egenerado por sus motores, no por la sustentaci!n generada por las alasFormula para calcular el /e0antamiento

Levantamiento 7 Niento 5elativo # 5esultante )otal /erodinámica:esistencia o :esistencia al (0ance 6KLos aviones se ven afectados por dos tipos de resistencia que son& "arásita e nducida.:esistencia Parásita

La resistencia parásita es la fricci!n entre el aire y la estructura de un avi!n como son& trende aterriza$e, superficie, antenas y demás ap'ndices.Es una resistencia al movimiento en el aire, compuesta por la resistencia de forma 8debidoal tren de aterriza$e, las antenas de radio, la forma de las alas, etc.:, por el rozamiento 8ofricci!n: superficial y la interferencia de la corriente de aire entre los componentes del avi!ncomo por e$emplo, la uni!n de las alas con el fusela$e o del fusela$e con la cola.La resistencia parásita aumenta de manera proporcional al cuadrado de la velocidad delavi!n.4i se dobla la velocidad, se cuadruplica la resistencia parásita:esistencia InducidaLa resistencia inducida es una consecuencia de la sustentaci!n, que se genera por eldesplazamiento del aire desde el área de alta presi!n situada ba$o un ala, hacia el área deba$a presi!n situada sobre ella.

uando el aire de alta presi!n deba$o del ala o rotor se arremolina en torno al e#tremo delárea de ba$a presi!n situada encima de estos elementos se crean v!rtices, que tienen porefecto absorber la energ%a del avi!n. Esta energ%a perdida es la resistencia inducida y seincrementa a medida que disminuye la velocidad aerodinámica.Este efecto es más pronunciado en velocidades aerodinámicas ba$as, donde es necesarioun ángulo de ataque alto para generar sustentaci!n suficiente y equilibrar el peso.La resistencia inducida var%a de forma inversamente proporcional al cuadrado de lavelocidad.4i reduce la velocidad aerodinámica a la mitad, la resistencia inducida aumenta cuatroveces.!racción o Empu'e !KEl empu$e que proporciona el motor de un avi!n lo impulsa a trav's del aire. El empu$e seopone a la resistencia en un vuelo estable ambas fuerzas son iguales. 4i se aumenta elempu$e y se conserva la altitud, el primero supera de forma momentánea la resistencia y elavi!n acelera. 4in embargo, la resistencia tambi'n aumenta y pronto se equilibra con elempu$e, el avi!n de$a de acelerar y contin-a el vuelo estable con una velocidadaerodinámica superior pero constante.El empu$e tambi'n es el factor más importante a la hora de determinar la posibilidad deascenso del avi!n. De hecho, la velocidad de ascenso 8o ascensional: má#ima de un avi!nno está relacionada con la fuerza de sustentaci!n que generan las alas, sino con la potenciadisponible despu's de la necesaria para mantener el vuelo nivelado.Formula para calcular la tracción

)racci!n 7 Masa de /ire # /celeraci!nLPor quA no se cae la !orre PisaLa torre inclinada de "isa está en equilibrio estable, porque ha sido construida conmateriales muy pesados hasta la [ parte y luego más y más livianos yendo hacia arriba. Deesta manera se ha ba$ado considerablemente el centro de gravedad de la torre, y la vertical


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que arranca de dicho centro cae todav%a muy dentro de la base de sustentaci!n delimitadapor los cimientos.Fuer"as y Principios F-sicos en la Ca-da de un atoDesde tiempo inmemorial el hombre ha observado la habilidad gatuna, pero s!lo en 9@JFcomenz! a considerarla como un 0problema cient%fico1. La /cademia de iencias de "arisconvoc! un concurso p-blico para e#plicar f%sicamente c!mo consigue el gato aterrizar

siempre de cuatro patas al caer de una gran altura. 4i se agarra un gato por sus cuatro patas, panza arriba, y se le de$a caer, girará en menosde medio segundo alrededor de su propio e$e y amortiguará el golpe contra el suelo con laspatas estiradas. Da la sensaci!n de que, tras ese giro de 9@? grados, no cambiará depostura hasta poner las patas en el suelo.El animal ha de actuar con rapidez. /l cabo de medio segundo, la velocidad de su centro degravedad alcanza los 9@ ZmQh. Mientras que la velocidad de ca%da s!lo creceproporcionalmente con el tiempo la energ%a cin'tica del gato lo hace mucho más de prisa y,con esta, aumenta el peligro de que se lesione en un aterriza$e desgraciado. / los e#pertos en mecánica les parec%a que el giro se deb%a al empu$e impartido al animal alsoltarlo, que as% conseguir%a un momento angular en uno u otro sentido. El gato, durante suca%da, s!lo podr%a girar parte del cuerpo moviendo simultáneamente otra parte en sentidocontrario, de suerte que se compensasen los dos momentos angulares. El momento angular

total siempre se conserva si al principio era cero, no pod%a aparecer de la nada momentoalguno. /demás para poner simultáneamente las patas traseras y delanteras sobre el suelo,deber%a girar su cuerpo una vuelta entera, lo que, seg-n lo observado, no era el caso.)ras algunos e#perimentos se rechaz! esta hip!tesis del empu$e, as% como la hip!tesis deque consigue el giro a lo largo de su e$e remando vigorosamente la cola.En el a2o 9@JF, Ettienne Rules Marey present! dos secuencias de imágenes, desde distintaperspectiva de la ca%da de un gato. / partir de esa figura, Marey supuso que el gato girabaen dos tiempos. En el primero, e#tend%a sus patas traseras perpendicularmente al e$e delcuerpo 8con lo que aumentaba el momento de inercia de la mitad trasera del cuerpo para elgiro a#ial:, mientras que simultáneamente plegaba sus patas delanteras hacia el e$e 8yreduc%a el momento de inercia a#ial de la mitad delantera del cuerpo:. 4i el gato giraba enun sentido su mitad delantera, su mitad trasera rotaba en sentido opuesto, pero másdespacio, en relaci!n inversa a los momentos de inercia.

En un segundo tiempo el felino estiraba las patas delanteras transversalmente y recog%a laspatas traseras a lo largo, para que la parte trasera girara con mayor ángulo. El resultadofinal era que las dos mitades hab%an girado en id'ntico sentido apro#imadamente la mismadiferencia de ángulo.Equilibrio en el Duelo de un * meran)oda teor%a f%sica que se proponga para e#plicar el vuelo del b-meran ha de ofrecerrespuestas s tres cuestiones claves& ("or qu' vuelve el b-meran y cuál es el diámetro de latrayectoria de vuelta* (\u' proceso frena su vuelo hasta detenerlo* y ("or qu' siempreacaba en posici!n horizontal*Nayamos con la primera. 3n b-meran es tanto un planeador como un gir!scopo. 4us brazosson alas que e#perimentan una fuerza en su movimiento hacia delante y giro en el aire. Lacomponente perpendicular al viento marcha se llama fuerza ascensional, a-n cuando noest' dirigida hacia arriba. La fuerza ascensional empu$a un b-meran lanzado por diestros auna curva hacia la izquierda. 4imultáneamente act-a un momento de giro que quiere volcarel b-meran alrededor del e$e de su direcci!n de vuelo el ala que gira hacia delantee#perimenta un viento de marcha y una fuerza ascensional correspondientemente mayorque la que va hacia atrás. / la manera de un giroscopio, elude ese momento de rotaci!n con un giro 8precesi!n: de suplano de vuelo. El b-meran retorna como consecuencia del movimiento en su trayectoria yen su precesi!n girosc!pica. La e#periencia ense2a que la anchura del vuelo apenasdepende de la velocidad de lanzamiento s% en cambio la velocidad de vuelo y la velocidadangular, con la que el $uguete gira durante su vuelo.5espondamos la segunda cuesti!n. "laneadores y aviones de papel realizan tambi'n untraba$o para vencer la resistencia del aire. "ero unos y otros pueden en su vuelo dedescenso convertir la energ%a potencial de la gravedad en energ%a cin'tica y, por lo tanto,planear el declive hasta que terminen en el suelo. En cambio el b-meran pierde parte de suenerg%a cin'tica en forma de traba$o para vencer la resistencia del aire. "or lo tanto, suvuelo acaba tras un tiempo limitado.


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Equilibrio en el *aile+uerzas que intervienen&

• L%nea Media& Es el e$e de rotaci!n en el cual se equilibran lasfuerzas.

• +uerza de Cravedad& 4e ubica en el centro de gravedad, querepresenta el peso del resto del cuerpo.

• +uerza de ontracci!n& se ubica en la articulaci!n de la pierna8c!ndilo del f'mur: con la pelvis, la cual no es vertical.

• +uerza Muscular& Lo realizan los abductores de la cadera hacenque la cadera se tense.

• "eso de la "ierna& 4e encuentra en el centro de gravedad de lapierna.

"ara que el bailar%n gire en su propio e$e se necesita que tome un impulsoprovocado por 'l mismo, lo que lo hará moverse con cierta velocidad angular.

Equilibrio de una Plata,orma Bostenida por una Columnaomo el peso de la zapata y la presi!n del suelo son colineales, el primero no contribuye al

cortante vertical o al momento fle#ionate. onviene visualizar la zapata como sometida auna fuerza hacia arriba transmitida por el suelo y a una reacci!n hacia aba$o suministrada

por la columna esto es, desde luego, una inversi!n de la verdadera forma de la aplicaci!nde la carga. La zapata funciona entonces como una viga en voladizo. /qu% se aplica el momento de equilibrio en un punto e#tremo de la zapata, en la cualintervienen la fuerza que aplica la columna a la zapata y la reacci!n del suelo por acci!n delpeso de 'sta.Curiosidades de la F-sica("or qu' los carreteros para desatascar las ruedas de un carro atan sus caballer%as a laparte alta de la rueda*"ara aumentar el valor del par de fuerzas aplicado a la rueda, tomando como brazo eldiámetro en vez del radio.("or qu' para cerrar o abrir una puerta corrediza que est' algo agarrotada debe tirarse dela parte superior de la misma y no de la manivela*El agarrotamiento tienen lugar en las ruedas que se deslizan en los carriles que llevan en laparte superior. 4i se tira de la manivela, la fuerza aplicada referida al punto deagarrotamiento origina un par que hace girar la puerta un poco hacia arriba, clavándolasobre las gu%as y dificultando a-n más su deslizamiento. 4i, por el contrario, se tira de laparte superior, el brazo del par es tan peque2o que prácticamente la fuerza s!lo act-a comotal y no como momento, haciendo deslizar la puerta con relativa facilidad.• (\u' clase de equilibrio presenta una moneda apoyada sobre su canto*

5especto al movimiento de traslaci!n normal a su peso, equilibrio indiferente, yaque por tratarse de un cilindro apoyado sobre su generatriz quedará en equilibrio al cesaraqu'l pero debido a su peque2o espesor, su equilibrio es inestable respecto al giro de e$ehorizontal por el punto de contacto con la mesa por -ltimo, con respecto a avanzar rodandopresenta tambi'n equilibrio indiferente, ya que quedará en equilibrio por tratarse de uncilindro.• ("or qu' al levantarnos de una silla inclinamos el cuerpo hacia adelante*

"ara conseguir que la vertical del centro de gravedad pase por los pies, lo que noocurre cuando estamos sentados.• 3n relo$ de arena pesa 9 Zg cuando la arena está en el dep!sito inferior, lo invertimos y

lo volvemos a colocar sobre la balanza. ( uánto pesará mientras se derrama la arena*El relo$ sigue pesando 9 Zg a pesar de que hay una fracci!n de la arena en ca%da libre. Elhecho de que el sistema est' provoca al caer la arena una reacci!n sobre el aire que act-acontra el piso del relo$.• ("or qu' no se caen los motoristas que corren por las paredes casi verticales de esas

populares pistas de la muerte en las ferias*"orque su peso se compone con la fuerza centr%fuga, dando una resultante tanto másinclinada cuanto mayor es la velocidad de la moto, es decir, cuanto mayor es la fuerzacentr%fuga. "ara evitar el vuelco, la moto ha de inclinarse hasta tomar la direcci!n de la

resultante, perpendicular a la pared.• ("or qu' raz!n para mantener el equilibrio marchando en bicicleta hay que torcer elmanillar hacia el mismo lado que se cae*


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