Equações de Maxwell; Magnetismo da Matéria

Equações de Maxwell; Magnetismo da Matéria

Cap. 32

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32-1 Lei de Gauss para Campos Magnéticos

A lei de Gauss para campos magnéticos é uma

maneira formal de dizer que monopolos magnéticos

não existem. A lei assegura que o fluxo magnético

líquido ΦB através de qualquer superfície

Gaussiana fechada é zero:

Lembrando que para campos elétricos a lei de

Gauss é,

Quando partimos

um ímã em

pedaços, cada

pedaço se torna

um ímã completo,

com um polo norte

e um polo sul.

As linhas de campo do

campo magnético B de

um ímã em forma de

barra. As curvas

vermelhas representam

seções retas de

superfícies gaussianas

tridimensionais.

A lei de Gauss para campos magnéticos diz

que não pode haver fluxo magnético líquido

através da superfície porque não pode haver

“carga magnética” líquida (polos magnéticos

individuais) encerrada pela superfície.

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A estrutura magnética mais simples que existe é o dipolo magnético.

Não existem (até onde sabemos) monopolos magnéticos.

32-2 Campos Magnéticos Induzidos

Um fluxo elétrico variável induz um campo magnético B. A Lei

de Maxwell,

relaciona o campo magnético induzido em uma curva fechada

à variação do fluxo elétrico ϕE envolvido pela curva.


Carga de um Capacitor.

Como exemplo desse tipo de indução, considere a carga

de um capacitor de placas paralelas com placas

circulares. Suponha que a carga do capacitor esteja

aumentando a uma taxa constante graças à existência

de uma corrente constante i nos fios de ligação. Nesse

caso, o módulo do campo elétrico entre as placas

também está aumentando a uma taxa constante.


Um fluxo elétrico variável induz um campo magnético B. A Lei

de Maxwell,

relaciona o campo magnético induzido em uma curva fechada

à variação do fluxo elétrico ϕE envolvido pela curva.


Carga de um Capacitor (continução).

A Fig. (b) mostra a placa da direita da Fig. (a) do ponto

de vista da região entre as placas. O campo elétrico

aponta para dentro do papel. Considere uma

circunferência passando pelo ponto 1 das Figs. (a) e (b),

concêntrica com as placas do capacitor e com um raio

menor que o raio das placas. Como o campo elétrico que

atravessa a circunferência está variando, o fluxo elétrico

também varia. De acordo com a Eq. acima, essa

variação do fluxo elétrico induz um campo magnético ao

longo da circunferência.


Lei de Ampere-MaxwellA Lei de Ampere,

fornece o campo magnético gerado por uma corrente ienv

envolvida pela curva fechada.

Assim, as duas equações (a outra sendo a Lei de Maxwell)

que especificam o campo magnético B produzido por outros

meios que não um material magnético (ou seja, por uma

corrente e por um campo elétrico variável) fornecem o

campo exatamente da mesma forma. Podemos combinar as

duas equações em uma única:


Quando existe uma corrente e o fluxo elétrico não está variando (como no caso de um fio

percorrido por uma corrente constante), o primeiro termo do lado direito da Eq. é zero e,

portanto, a Eq. se reduz à Lei de Ampère. Quando o fluxo elétrico está variando e a corrente é

zero (como na região entre as placas de um capacitor que está sendo carregado), o segundo

termo do lado direito da Eq. é zero e a Eq. se reduz à lei de indução de Maxwell.

32-3 Corrente de Deslocamento

Comparando os dois termos do lado direito da Eq. (lei de Ampere-Maxwell), vemos

que o produto ε0(dϕE/dt) tem dimensões de corrente elétrica. Na verdade, o produto

pode ser tratado como uma corrente fictícia conhecida como corrente de

deslocamento e representada pelo símbolo id:

A Lei de Ampere-Maxwell então se torna,

onde id,env é a corrente de deslocamento envolvida pela amperiana.

Lei de Ampere-Maxwell



(a) Antes e (d) depois que as placas são

carregadas, não há campo magnético. (b)

Durante a carga, um campo magnético é criado

tanto pela corrente real como pela corrente de

deslocamento (fictícia). (c) A regra da mão

direita pode ser usada para determinar a

orientação do campo magnético produzido

pelas duas correntes.

Determinação do Campo Mag. induzido:

Como vimos no Capítulo 29, a orientação

do campo magnético produzido por uma

corrente real i pode ser determinada com o

auxílio da regra da mão direita. A mesma

regra pode ser usada para determinar a

orientação do campo magnético produzido

por uma corrente de deslocamento id,

como se vê na parte central da Fig. (c).

Então, como feito anteriormente, o módulo

do campo magnético num ponto dentro do

capacitor num raio r a partir do centro é

O módulo do campo magnético num ponto

fora do capacitor num raio r é



As quatro equações fundamentais do eletromagnetismo, chamadas de

Equações de Maxwell, estão dispostas na tabela abaixo.

Estas quatro equações explicam uma gama diversa de fenômenos, de porque

a agulha de uma bússola aponta para o norte, até porque a partida do motor

do carro é possível. Elas são a base para o funcionamento destes dispositivos

eletromagnéticos como motores elétricos, emissores e receptores de sinais de

TV, telefones, scanners, radar, e fornos de micro-ondas.


32-4 Magnetos

A Terra é um grande ímã; em pontos próximos da

superfície terrestre, o campo magnético se

assemelha ao campo produzido por um gigantesco

ímã em forma de barra (um dipolo magnético) que

atravessa o centro do planeta. A Figura é uma

representação idealizada desse campo dipolar, sem

a distorção causada pelo vento solar.

A orientação do campo magnético em um ponto

qualquer da superfície da Terra é normalmente

especificada por dois ângulos. A declinação do

campo é o ângulo (à esquerda ou à direita) entre o

norte geográfico (isto é, a direção da latitude 90o) e

a componente horizontal do campo. A inclinação do

campo é o ângulo (para cima ou para baixo) entre

um plano horizontal e a direção do campo.

O campo magnético da Terra

representado como o campo

de um dipolo. O eixo do dipolo,

MM, faz um ângulo de 11,5°com o eixo de rotação da

Terra, RR. O polo sul do dipolo

está no Hemisfério Norte.

O Magnetismo da Terra


32-5 Magnetismo e Elétrons

Momento Dipolar Magnético de Spin. Um elétron possui um momento angular

intrínseco conhecido como momento angular de spin (ou simplesmente spin) S;

associado a este spin, existe um momento dipolar magnético de spin μs.

(Intrínseco é usado para dizer que S e μs são características básicas de um

elétron) Os vetores S e μs estão relacionados por

onde e é a carga elementar (1,60 × 10-19 C) e m é a massa

de um elétron (9,11 × 10-31 kg). O sinal negativo significa

que μs e S estão em sentidos opostos.

Para uma medida ao longo de um eixo z, a componente Sz

pode ter somente valores dados por

para ms= ±½

Similarmente onde μB é o magneton de Bohr:



Energia. Quando um elétron é submetido a um campo

externo Bext, uma energia U pode ser associada à orientação

do momento dipolar magnético de spin μs do elétron, da

mesma forma como uma energia pode ser associada à

orientação do momento magnético dipolar de uma espira

percorrida por corrente submetida a um campo Bext.

A energia orientacional do elétron é

Onde o eixo z é tomado como na direção de Bext.


Momento Dipolar Magnético de Spin. Um elétron possui um momento angular

intrínseco conhecido como momento angular de spin (ou simplesmente spin) S;

associado a este spin, existe um momento dipolar magnético de spin μs.

(Intrínseco é usado para dizer que S e μs são características básicas de um

elétron) Os vetores S e μs estão relacionados por


Momento Dipolar Magnético Orbital. Quando faz parte de um átomo, um

elétron possui um momento angular adicional que recebe o nome de momento

angular orbital Lorb. Associado a Lorb existe um momento magnético dipolar

orbital μorb. A relação entre as duas grandezas é a seguinte:

O sinal negativo significa que μorb e Lorb têm sentidos opostos.

O momento angular orbital é quantizado e pode apenas assumir

os valores medidos dados por

para ml=0, ±1, ±2, …, ±(limite)

O momento dipolar magnético orbital (comp. z) é dado por

A energia U associada com a orientação do momento dipolar magnético orbital em

um campo magnético externo Bext é

Um elétron se movendo

com veloc. cte. v numa

traj. circular de raio r que

envolve uma área A.


32-6 Diamagnetismo

Levitação da rã: A rã da Figura é diamagnética, como

todos os animais. Quando a rã foi colocada em um

campo magnético divergente perto da extremidade

superior de um solenoide vertical percorrido por corrente,

todos os átomos da rã foram submetidos a uma força

que apontava para cima, ou seja, para longe da

região de forte campo magnético existente nas

vizinhanças do solenoide. Com isso, a rã foi deslocada

para uma região de campo magnético mais fraco; nessa

região a força magnética era apenas suficiente

para equilibrar o peso da rã, e ela ficou suspensa no ar.

A rã não sentiu nenhum incômodo, já que todos

os átomos do seu corpo foram submetidos praticamente

à mesma força. © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

32-7 Paramagnetismo

Materiais paramagnéticos possuem átomos com momento dipolar magnético

permanente, mas os momentos estão alinhados aleatoriamente, sem momento

líquido, a menos que o material esteja em um campo mag. externo Bext, onde os

dipolos tendem a se alinhar. A extensão do alinhamento com no volume V é medida

como a magnetização M, dada por

O alinhamento total (saturação) de todos os N dipolos

no volume apresenta um valor máximo Mmax = Nμ/V.

Para valores baixos da razão Bext /T,

onde T é a temperatura (em kelvins) e C é a constante de Curie do material.

Na presença de um campo magnético não uniforme, os materiais paramagnéticos

são submetidos a uma força que os aproxima da região em que o campo magnético

é mais intenso. © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

32-8 Ferromagnetismo

Um anel de Rowland. A bobina

primária P tem um núcleo feito do

material ferromagnético a ser

estudado (ferro, no caso). O núcleo

é magnetizado por uma corrente iPaplicada pela bobina P. (As espiras

da bobina estão representadas por

pontos.) A magnetização do núcleo

determina a intensidade do campo

magnético total B no interior da

bobina P. O campo B pode ser

medido usando uma bobina

secundária S.

Os momentos dipolares magnéticos num material ferromagnético

poder ser alinhados por um campo magnético externo e então,

depois do campo removido, permanecer parcialmente alinhado

em regiões conhecidas como domínios magnéticos.

Micrografia da distribuição de domínios

magnéticos em um monocristal de

níquel; as linhas brancas mostram as

paredes dos domínios. As setas brancas

traçadas na fotografia mostram a

orientação dos dipolos magnéticos

dentro de cada domínio e, portanto, a

orientação do dipolo magnético total de

cada domínio. O cristal como um todo

não apresenta magnetização espontânea

se o dipolo magnético total da amostra

(soma vetorial dos dipolos magnéticos de

todos os domínios) for igual a zero.


32-8 Ferromagnetismo

A falta de repetitividade mostrada na Figura

ao lado recebe o nome de histerese, e a

curva bcdeb é chamada de laço de histerese

(hysteresis loop). Observe que nos pontos

c e e a amostra de ferro está magnetizada,

embora não haja corrente no enrolamento

do toroide; esse é um exemplo de

magnetismo permanente.

A histerese pode ser compreendida a partir do conceito de domínios magnéticos. Os

resultados experimentais mostram que o movimento das paredes dos domínios e a

reorientação da direção dos domínios não são fenômenos totalmente reversíveis.

Quando o campo magnético B0 é aumentado e depois reduzido novamente ao valor

inicial, os domínios não voltam à configuração original, mas guardam certa “memória”

do alinhamento que possuíam após o aumento inicial. A memória dos materiais

magnéticos é essencial para o armazenamento de informações em meios

magnéticos. © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

32 Sumário

Lei de Gauss para C. Magnét. • Lei de Gauss para c. magnéticos,

Eq. 32-1

Corrente de Deslocamento• Definimos a corrente de

deslocamento fictícia devido a um

campo elétrico variável como

• Equação 32-5 então se torna

Eq. 32-10A Extensão de Maxwell para a

Lei de Ampere• Um campo elétrico oscilante induz

um campo magnético dado por,

• A Lei de Maxwell e a Lei de Ampere

podem ser escritas numa única

equação

Eq. 32-3

Eq. 32-5

Eq. 32-11

Equações de Maxwell• Quatro equações como segue:


32 Sumário

Mom. de Dipolo Magn. de Spin• Momento angular de spin de um

elétron está associado com o

momento magnético de spin,

• Parra uma medida ao longo de um

eixo z, a componente Sz pode

assumir apenas os valores dados

por

• Similarmente,

• Onde o magneton de Bohr é

• A energia U

Eq. 32-22

Momento de Dipolo Magnético

Orbital• O momento angular de um eletron

está associado com o momento de

dipolo magnético orbital como

• O momento angular orbital é

quantizado,

• O momento de dipolo magnético

associado é dado por

• A energia U

Eq. 32-28

Eq. 32-23

Eq. 32-24 &26

Eq. 32-29

Eq. 32-25

Eq. 32-27

Eq. 32-30&31

Eq. 32-32


32 Sumário

Diamagnetismo• Materiais diamagnéticos exibem

magnetismo apenas quanto expostos em

um campo magnético externo; ali eles

formam dipolos magnéticos com sentidos

opostos ao campo externo. Num campo

não uniforme, são repelidos de uma região

com campos magnéticos mais intensos.

• Alinhamento completo (saturação) de

todos os N dipolos no volume fornece

um valor máximo Mmax = Nμ/V. Para

valores baixo da razão Bext /T,

Eq. 32-39

Eq. 32-28

Paramagnetismo• Materiais paramagnéticos contém átomos

com momento de dipolo magnético

permanente, mas os momentos são

orientados aleatoriamente a menos que o

material esteja num campo magnético

externo. A extensão do alinhamento num

volume V é medido como magnetização

M, dada por

Ferromagnetismo• Os momentos de dipolo magnético em

um material ferromagnético podem ser

alinhados por um campo magnético ex-

terno e então, depois do campo remo-

vido, permanece parcialmente alinha-

do em regiões (domínios). Alinhamento

é eliminado a temperaturas acima da

temperatura de Curie para o material.

Num campo ext. não uniforme, um

material ferromagnético é atraído para

a região com maior campo magnético. © 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

32 Exercícios


Halliday 10ª. Edição

Cap. 32:

Problemas 1; 7; 16; 23; 27; 30; 36; 37; 41; 47

32 Problema 32-1


O fluxo magnético através de cinco faces de um dado é ΦB = ±N Wb, em

que 1 ≤ N ≤ 5 é o número de pontos da face. O fluxo é positivo (para

fora), se N for par, e negativo (para dentro), se N for ímpar. Qual é o fluxo

através da sexta face do dado?

32 Problema 32-7


Fluxo elétrico uniforme. A Figura abaixo mostra uma região circular de

raio R = 3,00 cm na qual um fluxo elétrico uniforme aponta para fora do

papel. O fluxo elétrico total através da região é ΦE = (3,00 mV · m/s)t, em

que t está em segundos. Determine o módulo do campo magnético

induzido a uma distância radial (a) de 2,00 cm e (b) de 5,00 cm.?

32 Problema 32-16


Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de 0,10 m de

raio está sendo descarregado. Um anel circular com 0,20 m de raio,

concêntrico com o capacitor, está a meio caminho entre as placas. A

corrente de deslocamento através do anel é de 2,0 A. Qual é a taxa de

variação do campo elétrico entre as placas?

32 Problema 32-23


Na Figura abaixo, um capacitor de placas paralelas possui placas

quadradas, de lado L = 1,0 m. Uma corrente de 2,0 A carrega o capacitor,

produzindo um campo elétrico uniforme E entre as placas, com E

perpendicular às placas. (a) Qual é a corrente de deslocamento id na

região entre as placas? (b) Qual é o valor de dE/dt nessa região? (c)

Qual é a corrente de deslocamento envolvida pela trajetória tracejada,

um quadrado com d = 0,50 m de lado? (d) Qual é o valor de ∮ B·ds ao

longo da trajetória tracejada?

32 Problema 32-27


Na Figura abaixo, um campo elétrico uniforme E é reduzido a zero. A

escala do eixo vertical é definida por Es = 6,0 × 105 N/C, e a escala do

eixo horizontal é definida por ts = 12,0 μs. Calcule o módulo da corrente

de deslocamento através de uma área de 1,6 m2 perpendicular ao campo

durante os intervalos de tempo a, b e c mostrados no gráfico. (Ignore o

comportamento da corrente na extremidade dos intervalos.)

32 Problema 32-30


Suponha que o valor médio da componente vertical do campo magnético

da Terra seja 43 μT (para baixo) em todo o estado americano do Arizona,

que tem uma área de 2,95 × 105 km2. Determine (a) o valor absoluto e (b)

o sentido (para dentro ou para fora) do fluxo magnético da Terra no resto

da superfície do planeta (ou seja, em toda a superfície terrestre, com

exceção do Arizona).

32 Problema 32-36


Um elétron é submetido a um campo magnético B que aponta no sentido

positivo do eixo z. A diferença de energia entre os alinhamentos paralelo

e antiparalelo da componente z do momento magnético de spin do

elétron na presença de B é 6,00 × 10−25 J. Determine o módulo de B.

32 Problema 32-37


A Figura abaixo mostra um anel (L) que serve de modelo para um

material diamagnético. (a) Faça um esboço das linhas de campo

magnético no interior e nas proximidades do anel devido ao ímã em

forma de barra. Determine (b) a orientação do momento dipolar

magnético m do anel, (c) o sentido da corrente convencional i no anel

(horário ou anti-horário) e (d) a orientação da força magnética exercida

pelo campo magnético do ímã sobre o anel.

32 Problema 32-41


Um ímã de forma cilíndrica tem 5,00 cm de comprimento e 1,00 cm de

raio. A magnetização é uniforme, com um módulo de 5,30 × 103 A/m.

Qual é o momento dipolar magnético do ímã?

32 Problema 32-47


A Terra possui um momento dipolar magnético de 8,0 × 1022 J/T. (a) Se

esse momento dipolar fosse causado por uma esfera de ferro

magnetizado situada no centro da Terra, qual deveria ser o raio da

esfera? (b) Que fração do volume da Terra a esfera ocuparia? Suponha

um alinhamento perfeito dos dipolos. A massa específica do núcleo da

Terra é 14 g/cm3 e o momento dipolar magnético de um átomo de ferro

é 2,1 × 10−23 J/T. (Nota: O núcleo da Terra realmente contém uma

grande quantidade de ferro, mas a possibilidade de que o magnetismo

terrestre se deva a um ímã permanente parece remota, por várias

razões. Para começar, a temperatura do núcleo é maior que a

temperatura de Curie do ferro.)

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