EQUAÇÕES DO 2º GRAU
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EQUAÇÕES DO 2º GRAUAceite para publicação em 15 de Março de
2010
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introdução
equações do 1º grau
equações do 2º grau
resumo
extras
créditos
agradecimentos
fim
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introdução
equação
solução de uma equação
membros e termos
pré-requisitos indispensáveis para a compreensão do tema em estudo
princípios de equivalência
equações e funções
grau de uma equação
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equaçãouma equação é uma igualdade entre duas expressões onde aparece pelo menos uma letra designada por incógnita ou variável.
Exemplo:
3 4 2 1x x
3 4 7
25 2 1x y
é equação
não são equações
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membros e termoso sinal de igual separa a equação em dois membros ecada monómio que neles figura chama-se termo
Exemplo: 3 4 2 1x x
1º membro 2º membro
3 2;x x
4 1;
termos com incógnita
termos independentes
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solução de uma equaçãoum número diz-se solução de uma equação se ao se substituir esse número pela incógnita se obtiver uma proposição verdadeira
Exemplo: 3 4 2 1x x é solução de porque
3 4 2 1 15 4 10 1 11 15 15
O conjunto de todas as soluções de uma equação designa-se por conjunto-solução e representa-se por c.s. Neste exemplo
Equações equivalentes são equações com o mesmo conjunto-solução.Utiliza-se o sinal de equivalente
5. .c s
5
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princípios de equivalênciaResolver uma equação significa determinar o seu conjunto-solução.Para resolver equações existem duas regras básicas conhecidas por princípios de equivalência.
princípio da adição
princípio da multiplicação
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princípio da adiçãoao adicionar a ambos os membros de uma equação o mesmo número obtém-se uma equação equivalente à inicial
Exemplo: 3 7
3 7
1
3 3
0
x
x
x
10. .c s
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princípio da multiplicaçãoao multiplicar ambos os membros de uma equação pelo mesmo número diferente de zero obtém-se uma equação equivalente à inicial
Exemplo: 3 12
3 121
34
1
3
x
x
x
4. .c s
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grau de uma equaçãoo grau de uma equação é igual ao maior grau dos seus termos
Exemplo:
3 1 4x equação do 1º grau
2 6 5 0x x equação do 2º grau
3 2 0x x equação do 3º grau
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equações e funçõesas soluções de uma equação coincidem com os zeros da função correspondente
1º grau
2º grau
afim
quadrática
Clica nas palavras da tabela para mais informações
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equações do 1º grauuma equação do 1º grau em x é uma equação que se pode reduzir à forma canónica:
0,a b a 0ax b e
solução de uma equação do 1º grau
soluções e zeros
função afim
Voltar à tabela
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a solução da equação
solução de uma equação do 1º grau
0,a b a 0ax b b
a
2 8 0
8
24
x
x
x
4. .c s
Exemplo:
é com
e
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função afimfunção cujo gráfico é uma recta e cuja expressão analítica é do tipo:
,m by mx b
gráfico da função afim
declive
ordenada na origem
casos particulares
Voltar à tabela
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gráfico da função afimO gráfico da função afim é uma recta de equação:
,m by mx b
Qual será a influência dos parâmetros m e b
no gráfico da função afim?
Clica na figura e tenta descobrir!
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declivem é responsável pela inclinação da
recta
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ordenada na origemb ordenada do ponto de intersecção do
gráfico da função com o eixo dos yy
o gráfico da função passa no ponto
0,b
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casos particulares da função afimas funções linear e constante são casos particulares da função afim
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soluções e zerosdeterminar os zeros da função afim corresponde a determinar as soluções da equação do 1º grau
Exemplo:
2 6y x função afim
2 6 0
2 6
3
x
x
x
determinar zeros:
graficamente:
3. .c s
y mx b 0mx b
zero
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equações do 2º grau
equações do 2º grau incompletas
uma equação do 2º grau em x é uma equação que se pode reduzir à forma canónica:
0, ,a b c a
equações do 2º grau completas
2 0ax bx c e
as equações do 2º grau dividem-se em dois tipos:
quando e/ou0b 0c
quando 0, ,a b c Voltar à tabela
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equações do 2º grau incompletas
equações do tipo com
equações do tipo com
existem três tipos de equações do segundo grau incompletas:
2 0ax 0a
equações do tipo com 2 0ax bx 0,a b
2 0ax c 0,a c
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equações do tipo têm apenas uma solução nula:
2 0ax
0. .c s
Exemplo: 2
2 2
2
2
5 3 3
5 3 3
4 0
0
0
x x x x
x x x x
x
x
x
0. .c s
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equações do tipo têm duas soluções:
2 0ax bx
0. . ,b
c sa
Exemplo:
2
2
3 5
3 5 0
3 5 0
0 3 5 0
50
3
x x
x x
x x
x x
x x
50
3. . ,c s
Voltar à lei do anulamento do produto
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equações do tipo
se têm duas soluções simétricas
2 0ax c
Exemplo 1
0c
a . . ;
c cc s
a a
se são impossíveis0c
a
2
2
2
2 32 0
2 32
16
16
4 4
x
x
x
x
x x
4 4. . ,c s
2
2
2
2 8 0
2 8
4
x
x
x
equação impossível
. .c s
Exemplo 2
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equações do 2º grau completasuma equação do 2º grau completa é uma equação do tipo
0, ,a b c 2 0ax bx c com
fórmula resolvente
binómio discriminante
função quadrática
parábola
soluções e zeros
conclusões
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para determinar as soluções de qualquer equação do 2º grau
22 4
02
b b acax bxc x
a
fórmula resolvente
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fórmula resolvente 2
2 40
2
b b acax bx c x
a
Exemplo:2
2
5 6 0
5 5 4 1 6
2 1
5 1
25 1 5 1
2 22 3
x x
x
x
x x
x x
1
5
6
a
b
c
2 3. . ,c s
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binómio discriminante
2 4b ac
é a expressão que figura debaixo do radical na fórmula resolvente
Qual será a relação entre o binómio discriminante e o número de soluções
de uma equação do 2º grau?
Clica na figura e tenta descobrir!
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função quadráticafunção cujo gráfico é uma parábola e cuja expressão analítica é do tipo:
, ,a b c2y ax bx c
Qual será a influência do parâmetro a no gráfico da função quadrática?
Clica na figura e tenta descobrir!
Voltar à tabela
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parábolauma parábola é uma curva de equação com
0a 2y ax bx c
Qual será a influência dos parâmetros h e k no gráfico
da função quadrática?
Clica na figura e tenta descobrir!
ou , usando os casos notáveis, 2y a x h k , , , ,a b c h k
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com e
soluções e zerosdeterminar os zeros da função quadrática corresponde a determinar as soluções da equação do 2º grau
Outra forma de escrever a expressão analítica da função quadrática é
2y ax bx c 2 0ax bx c
1 2y a x z x z
1 2, ,a z z 0a
O que significam z1 e z2?
Clica na figura e tenta descobrir!
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conclusões
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resumo
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extrasnesta secção podem ser recordados outros pré-requisitos
casos notáveis da multiplicação de polinómios
lei do anulamento do produto
factorização de polinómios
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casos notáveis da multiplicação de polinómios
quadrado da soma
diferença de quadrados
quadrado da diferença
Voltar à parábola
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quadrado da soma
2 2 22a b a ab b
Exemplo 1
2 23 6 9x x x
Exemplo 2
2 2 22 4 4x y x xy y
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quadrado da diferença
2 2 22a b a ab b
Exemplo 1
2 25 10 25x x x
Exemplo 2
2 23 2 9 12 4x x x
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diferença de quadrados
2 2a b a b a b
Exemplo 1
27 7 49x x x
Exemplo 2
23 3 9
2 5 2 5 4 25
x x x
![Page 39: EQUAÇÕES DO 2º GRAU](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061520/56814eff550346895dbc904b/html5/thumbnails/39.jpg)
factorização de polinómios
Exemplo 1 – colocando factores comuns em evidência
22 5 2 5x x x x
Exemplo 2 – usando os casos notáveis
22 14 49 7 7 7x x x x x
existem dois processos para factorizar polinómios:
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lei do anulamento do produto
Exemplo
1 2 0
0 1 0 2 0
0 1 2
x x x
x x x
x x x
o produto de dois ou mais factores é nulo se pelo menos um dos factores for nulo
0 0 0 0a b c a b c
Este método é utilizado para a resolução de equações do 2º grau incompletas do tipo
2 0ax bx
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CréditosEste trabalho foi integralmente elaborado por Erika Bizarro usando Microsoft PowerPoint e Geogebra e tendo sido convertido posteriormente em documento html.
Este trabalho foi publicado sob licença
Creative Commons da Casa das Ciências
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Agradecimentos
À minha colega Emília Valle que me iniciou no Geogebra
À minha colega Ana Silva que me apresentou a Casa das
Ciências
Aos meus colegas da Casa das Ciências pelas dicas e sugestões
Ao meu irmão e à Ana pelo apoio informático
Aos meus pais, os meus mais rigorosos revisores
Aos meus Davids pela minha falta de tempo para eles
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FIM
Erika Bizarro 2010