Equação do 2º grau

Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com .

Exemplos:

Equaçãoa b c

x²+2x+1 1 2 1

5x-2x²-1 -2 5 -1

Classificação:

- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.

1º caso: b=0

Considere a equação do 2º grau incompleta:

x²-9=0  »  x²=9  »  x=  »  x=

2º caso: c=0

Considere a equação do 2º grau incompleta:

x²-9x=0 »  Basta fatorar o fator comum xx(x-9)=0  »  x=0,9

3º caso: b=c=0

2x²=0  »  x=0

Resolução de equações do 2º grau

  A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.

- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.

   Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?

   Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:

   Multiplicamos os dois membros por 4a:

          4a²x²+4abx+4ac=0          4a²x²+4abx=-4ac

   Somamos b² aos dois membros:

          4a²x²+4abx+b²=b²-4ac

   Fatoramos o lado esquedo e chamamos de (delta)b²-4ac:

          (2ax+b)²=

          2ax+b=

           2ax=-b

   Logo:

              ou  

Fórmula de Bháskara: 

    Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:

1) 3x²-7x+2=0

a=3, b=-7 e c=2

 = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25

Substituindo na fórmula:

=

 e  

Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:

2) -x²+4x-4=0

a=-1, b=4 e c=-4

= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0

Sustituindo na fórmual de Bháskara:

 »  x=2  

 

- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. (

)

3) 5x²-6x+5=0

a=5 b=-6 c=5

= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64

   Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.

Logo: » vazio

Propriedades: 

   Duas raízes reais e diferentes

   Duas raízes reais e iguais

   Nenhuma raiz real

Relações entre coeficientes e raízes 

Vamos provar as relações descritas acima:

Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são:

  e   

A soma das raízes será:

   

Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

O produto das raízes será:

  

        

Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

 

Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.

Obtendo:

Substituindo por e :

Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau: 

x² - Sx + P = 0Exemplos:

1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:

a) x² - 4x + 3=0

[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:

     

b) 2x² - 6x -8 =0

Sendo a=2, b=-6 e c=-8

  

c) 4-x² = 0

Sendo a=-1, b=0 e c=4:

  

Resolução de equações fracionárias do 2º grau

Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações

não fracionárias.   Exemplos resolvidos:

a)  Onde , pois senão anularia o denominador

[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x

Então:  

Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:

»

Aplicando a fórmula de Bháskara:

Logo, x = 2 e x` = 4.  »  S={2,-4}

b )    e

[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)

Então:

Eliminando os denominadores:

»  »    »  

* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente:

x=-1  » S={-1}

Resolução de equações literais do 2º grau

Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.

 

Equaçãoa b c

x² - (m+n)x + p = 0 1 -(m+n) p

Exemplo: Determine o valor da incógnita x.

1) x²-3ax+2a²=0

[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:

a=1, b=-3a, c=2a²

, Logo:

x = 2a  e  x = a  »  S={a,2a}

 Resolução de equações biquadradas

Equação biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:

 onde  

 Exemplo resolvido:

1)

Fazendo x² = y , temos  

Substituindo os valores na equação, temos:

y² - 5y + 4 = 0

Aplicando Bháskara:

Logo, y = 4  e y`= 1

Voltando a variável x:

Como y=x², temos:

x²=4  »      e    x²=1  »  

Então a solução será » S={-2,-1,1,2}

ou simplesmente