Ejercicios

2

3

4

5

6

Un plano tiene por ecuacin 2x + 3y - 2z = 1. Halla tres puntos del mismo y otros tres puntos que no pertenezcan a l.

Resuelve por el mtodo de Gauss los siguientes sistemas de ecuaciones:

2x - y +z = 1) x +3y-z = 1

5x 7y + 8z = 9 a)

X-y - z=O ] b) x + 4y + 2z = 1

3x + 7y + 3z = 2 Aplica el mtodo de Gauss para resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

2x y + 3z = 3) 4x - y + 5z = 5

x +z = 1

D d . d . x + 2y = 1 } a o este sistema e ecuaciones: 2x - 3y = - 1

Es posible aadir una ecuacin tal que el sistema resultante sea compat ible determinado? En caso afirmativo, hazlo.

Se considera el sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas:

X+ y =4 } x- y = O

a) Aade una tercera ecuacin con dos incgnitas de manera que el sistema resultante sea incompatible.

b) Es posible aadir una tercera ecuacin con dos incgnitas de modo que el sistema resultante sea compatible indeterminado?

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones:

a) Resulvelo.

{

X 9 Y + 5z = 33 x-y+z = 5 x - 3y - z= - 9

7

8

9

Aplica el mtodo de Gauss para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones homogmeos:

X- y + z=O ) a) x +z = O

2x +3y-z=0

x + y - 3z = O) b) x - z = O

3x + y - 3z = O Resuelve por el mtodo de Gauss este sistema de ecuaciones:

x +2y - z = O} 3x 5y + 2z = O

Resuelve este sistema homogneo:

x +y-z+w = O} 2x + 2y - 2z w = O

10 Considrese un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incgnitas. Si (xo ' Yo' zo) y (5xo ' 5Yo' 5zo) son dos soluciones del mismo, se puede afirmar que el sistema es homogneo?

11 Un sistema de dos ecuaciones con cuatro incgnitas , puede ser incompatible1 En caso afirmativo, pon un ejemplo.

12 Dado un sistema compatible indeterminado, se puede eliminar una ecuacin y obtener un sistema equivalente? Si la respuesta es afirmativa, pon un ejemplo.

-,

13 La ecuacin' x4 + ax2 + bx + e = O tiene por races: -4, - 1 Y 2. Halla los valores de a, b, e y la cuarta raz .

14 Para qu valores de m el sistema de ecuaciones lineales

3x +my = 5} 2x + 5y = 8

tiene solucin nica?

15 Para qu valor del parmetro k el sistema de ecuaciones lineales

(1 +2k)x +5y = 7} (2+k)x+4y = 8

no tiene solucin?

b) Determina si es posible eliminar una de las ecuaciones de manera que el sistema resultante sea equivalente al ante rior.

34 ) XemaX

XemaXTexto escrito a mquinaSISTEMES D'EQUACIONS 3 INCOGNITES III

"J)O

",. -.~l ._

16 Para qu valor del parmetro k el sistema de ecuaciones

(2k-1)x+ky = 6} 15x + 8y = 6

tiene infinitas soluciones? Encuentra su expresin.

17 Determina el valor de k para que el siguiente sistema homogneo tenga solucin distinta de la trivial.

,. 3x - 2 Y + z = O1 x + 2y- 3z = O

kx-14y+15z = O

18 Considrese el sistema de ecuaciones:

11x + 2 Y + 3z = 2x + 5 Y + 4z = -2

x + 3y + k 2z = k

a) Estudia las soluciones segn los distintos valores del parmetro k.

b) Resuelve el sistema en el caso de que tenga infinitas soluciones.

19 Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

x + 3 Y - 2z + 3 = O1 3x- y+z-2 = O

ax+2y-z+1 = O

determina el valor de a para que tenga infinitas soluciones y resulvelo para ese valor.

20 Determina el valor de k para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones:

x - y + kz = 01 4x - 4z = O

-x-ky-z = O

21 Estudia las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones segn los valores de m:

x + 2y = 31 x - 3y = 1

2x + y = m

22 Para qu valores del parmetro k tiene solucin distinta de la trivial el siguiente sistema homogneo?

X+2Y -Z=0} x + ky +z = O

23 Responde a las siguientes cuestiones y, en los casos en que la respuesta sea afirmativa, pon un ejemplo. Se considera un sistema de dos ecuaciones y tres incgnitas:

a) Puede ser compatible determinado? b) Y compatible indeterminado?

c) E incompatible?

24 Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependientes del parmetro real k:

2 x + y + kz = k 1

y-z = k x + ky +z = k

a) Estudia las soluciones segn los valores del parmetro k.

b) Resulvelo en los casos que sea posible.

25 Para qu valor de k tiene solucin el siguiente sistema de ecuaciones lineales?

x + 3y = 2) x + 7y = 10 kx + 8y = 4

26 Discute el siguiente sistema de ecuaciones segn los valores de a, by c:

x- y +z=a1 x+y-z=b

-x+y+z=c

( 35 XemaX

Si a '* 8: sistema compatible determinado. 2 1-1

Si a = 8: sistema compatible indeterminado. 16. a) 1 2 1 g) F, .. F,(2 -1 3 (~

Resolucin para a =O

2 1 ~ F2-2F (x, y, z) = ( ~, ~, O)1 -1 g) F2 1 F3 ~ F3-2F1-1 3

Ejercicios

(~ 2 1 5 1. 2x + 3Y - 2z = 1 -3 -3 F3~F3--F2 . d 3 13 HaClen o z =A, Y =f.1, entonces x =A - - f.1 + -5 1 2 2~) 3 1 (x, y, z) = (A - - f.1 + -, f.1, A), >.., f.1 E IR(~ 2 O 1 g) 2 2-3 -3 Para encontrar tres puntqs del plano basta dar 6

valores a los parmetros>.. y f.1. As:

Solucin trivial: >.. = O, f.1 = O=> (1/2, O, O) x =O; Y =O; z =O >.. = 1, f.1 =O=> (3/2, O, 1)

>.. = O, f.1 = 1 => (-1, 1, O)~) F2 ~ F2- 3F1 -1 -1 7 3 Sin embargo, para hallar tres puntos que no perteb) (~ O F3~F3-Fl4 2 nezcan se deben dar valores a >.. y f.1 que no cumplan la solucin. Por ejemplo: (3, O, O), (2, O, 1) Y

1 -1 -1 (O, 1, O). O 10 6 F3~F3--F2 ( -1 1O 5 3

3 -1 g) 2 1

2. a) (! i) Fe" F,-7 8

-1 -1 10 6 g) 1 3-1 i) ~ 2F(~ O O F2 F2- 12 -1 1 F3 ~ F3-SF1(5 -7 8(x, y, z) = (2)'', -3>", 5>"), >.. E IR

Solucin distinta de la trivial. 3 -1

-7 3 F3~F3-7F2-~) 22 4'(~17. No es posible. -22 13

1 1 2 ~) F2~ F2-2F1 -7 3 -1 318. 2 -1 3 -~ 50 )6 F3 ~ F3-SF1 O 25(5 -1 a (~ 7 7

1 1 2

O -3 -1 ~ ) F, -> F, - 2F, X+3Y-Z=1j(

-7y+ 3z=-1O -6 a-10 25 50 x = O, Y = 1, z = 2 -z=(~ 1 2 -3 -1 -t) 7 7 Sistema compatible determinado. O a-8 -1 -1x+~+~=21 F2~F2-Fl~Y-z=~ 4 2b) (; F3 ~ F3-3F1~-~z=O 7 3 ~l X

emaX

XemaXRectngulo

XemaXRectngulo

1 00 -~ -~

( 10 6 ~) -1 -1

x- y-z= O}5 3 5y+ 3z = 1(~ O O ~)

2A + 1 -3A + 1 )(x, y, z) = 5 ' 5 ,A, A E IR( Sistema compatible indeterminado.

-1 3

-1 5

O 1

O 1 -1 1 -1 1

X+Z=1} Sistema compatible indeterminado. -y+z=1

(x, y, z) = (-A + 1, A - 1, A), A E IR

4 x + 2y = E E 2E X+2Y=1}1}. 2x - 3Y =-1 2 ~ 2 - 1

-7y=-3 1 3

x=-:,y=-:

El sistema dado es compatible determinado. S es posible. Basta aadir una ecuacin que verifique la solucin del sistema propuesto. Por ejemplo:

1 3 93x+ 2y= 3 ._+ 2 ._=777

As,

93x+ 2y= - ~ 21x+ 14y= 9 7

5. x + y= 4}x-y=O Sistema compatible determinado con solucin: x= 2, y= 2. a) Basta con aadir una ecuacin que no verifique

la solucin anterior. Por ejemplo: x+ 2y=7

b) No es posible.

F2~F2-Fl6. a) ( ~1 =~ ~ F3~F3-Fl-3 -1

(~ -9 5 33)8 -4 -28 6 -6 -42 (~ -9 5 33 ) 8 -4 -28 O -3 -21 x - 33]9Y + 5z = x=-2

8y- 4z= -28 y=O

-3z =-21 z=7

(x, y, z) = (-2, O, 7) Sistema compatible determinado.

b) No, porque si se elimina una ecuacin el sistema resultante sera compatible indeterminado.

(2 F2~F2-Fl F3 ~ F3 - 2F1 7. a) ~ -~ ~ 3 -1 (~ -1 1 1 O 5 -3 (~ -1 1 1 5 -3 O

X-y+z=O]5y- 3z= O (x, y, z) = (O, O, O)

y=O Solucin trivial.

1 -3 F2~F2-FlO -1 F3 ~ F3-3F11 -3

1 -3

-1 2

-2 6

1 -3 x + y- 3z = 1}

-1 2 - y+ 2z= OO O

(x, y, z) = (A, 2A, A), A E IR Sistema compatible indeterminado o con solucin distinta de la trivial. XemaX

_......-........-.

~ 8. e3 -52 -~ I ~) F2 F2 3F1 X+2Y-Z';0}e 2 -1 I O)o -11 5 o -11y + 5z = o

(x, y, z) = (X., 5X., 11>..), X. E IR Sistema con solucin distinta de la trivial.

1 -1 1

9. (~ I g)2 -2 -1

1

-1

O(~ O -3 1 I ~)

F ~ F -2F2 2 1

X+y-Z+W=O} -3w= O

(x, y, Z, w) = (X. - ..L, ..L , X. , O), x., ..L E IR Sistema compatible indeterminado dependiente de 2 parmetros.

10. S, es posible. 11. S, por ejemplo:

2x+3y+4z+2w= 1}

2x + 3Y + 4z + 2w::: 2

2 3 4 2 ~F2 F2 - F1( 2 242 I ~ )

342 2x + 3y + 4z + 2w::: 1}(~ O O O In O::: 1

Sistema incompatible de 2 ecuaciones y 4 incgnitas.

12. S, por ejemplo: yX+ =1)2x + 2y = O Sistema compatible indeterminado.

3x + 3y = 2

Eliminando la tercera ecuacin resulta:

2x : ;;: ~ } Sistema incompatible. 13. x 4 + ax 2 + bx + c = O

x ::: -4 ~ 256 + 16a - 4b + c = O) x=-1~1+a-b+c=0 ~

x ::: 2 ~ 16 + 4a + 2b + c = O

16a - 4b + c = -256) a = -15

~ a-b+c=-1 b=10

4a + 2b + c =- 16 c =24

La ecuacin propuesta es:

x 4 - 15x2 + 1Ox + 24 = O

La otra raz es x = 3

14 3x + my= 5}

. 2x + 5y = 8

m

5--m(: 3 2

~ --FF2 F2 1(~ ~ I ~) 2 3

5 + m )14 2

---m

3 3

3x + my= 5 + m)2 14 2(5 - - m)y = - - - m

3 3 3

El sistema tiene solucin nica si : 5 - ~ m =1= O. Es 3decir :

15

m =l=

2

(1 + 2k)x + 5y = 7} (1 + 2k 15. (2 + k)x + 4y = 8 2 + k ~ I ~)

4 (1 + 2k 5

F ~ F - -F 6 - 3k O2 2 5 1 ~2 )5

(1 + 2k)x+ 5y= 7}

(6 - 3k)x = 12

El sistema no tiene solucin si : 6 - 3k = O. Esto es: k ::: 2.

16 (2k - 1)x + ky = 6} (2k - 1'. k I 6") F H F . 15x+8y=6 1586 1 2

15 8 6) 2k- 1

( 2k - 1 k I 6 F2 ~ F2 - 1 5 F1

15 8

O -k+ 8 96 ~ 1~~ )( 15 ' 15

15x + 8y::: 6}(-k + 8)y = 96 - 12k

El sistema tendr infinitas soluciones si :

-k + 8= O}96 - 12k = O

Esto es: si k = 8.

As, quedara slo la ecuacin 15x + 8y =6

6 - 8X.Haciendo y = x. , x::: --

15

(x, y) = (--8-~-5+_6, x.)' X. E IR XemaX

(x, y, z) = (-7'11. - 1, 2'11. , A), A E ~ 3x- 2y + z = O] Sistema compatible indeterminado. 3 -~-~ 17. x+ 2y-3z= O k1(kx - 14y + 15z = O -14 15 1~) x + 3y - -3]2z =

-; )19. 3x - y + z = 2 3 -~ -~ ax + 2y- z = - 1 a 2 -1 -1

F, H F .(31 -~ -~ ~O) ( 2 k -14 15 F2 -t F2 + 2F,

F H F, (~ -~ @ -~)2 F3 -t F3 + F,F2 -t F2 - 3F,. 2 -3 a 2 (d) -1 -8 10

F3 -t F3 - kF, -14 - 2k 15 + 3k ~)

-1 1(~ 1 O F3 -t F3 F21)(a: 3(1 2 -3

-14 -2k O -8 10

F3 -t F3 + 8 F2 k-5 3x- 2y+ z. 2)O ' O ~) WO 1 O2 7x + y = 1(a~4 -1 1 l)O O (a - 4)x = O

x + 2y- 3z = O]-8y + 10z = O El sistema tendr infinitas soluciones si: a - 4 = O

(k - 5)z = O ::} a = 4. El sistema tendr solucin distinta de la trivial si : As, resulta el sistema:

k- 5 = O, es decir, k= 5. 3x- 2y + z = 2}

7x + y = 1

"~~/~~'. "--~~JI"" ~-

---------"

k 2S 24 l' 'bl d . 1 1 I m = -, e sistema es compatl e etermlna5 O 1 k = k + k- k 2 - k = -k 2 + k =

do con solucin (x, y) = (~, ~) 1 k k = k(-k + 1) = O~ k = O Y k = 1 24 5 5

Si m "* 5 el sistema es incompatible. Si k =Oo k = 1: rg (M) = rg (M*) =2 < 3 ~ ~ Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones).

22. X+2Y-Z=0} (1 2 -1 x + ky + z = O 1 k 1 I ~) Si k"* O Y k"* 1: rg (M) = 2 Y rg (M*) = 3 ~

~ Sistema incompatible (no tiene solucin). F ~ F _ F (1 2 -1 b) Si k = O, resulta el siguiente sistema homo2 2 1 O k- 2 2 I ~) gneo:

x + 2y- z = O} x + y= O)(k- 2)y+ 2z = O y-z=O (x, y, z) = (-A, A, A), A E [R x+z=o

Si k = 2, resulta el sistema: x + 2y - z = O}2z = O '

Si k = 1, queda el siguiente sistema: que es compatible indeterminado.

X+ y +Z=1)(x, y, z) = (-2A, A, O), A E [R y-z=1 ~ X+ y +Z=1} y- z = 1x+y+z=1

S k 2 It l' x + 2y- z =O} 1"*, resu a e sistema: (k _ 2)y + 2z = O ' (x, y, z) = (-2A, A + 1, A), A E [R

que tambin es compatible indeterminado. 1 3(k + 2)A -2A ) x+ 3y= 2) F2~F2-F1(x, y, z) = , --, A A E [R 25. x + 7y = 10 1 7( k-2 k-2 1~) F3 ~ F~. - kF1kx+ 8y= 4 ( k 8

En resumen, \:;/k E [R el sistema es compatible

indeterminado, o sea, con solucin distinta de la 3

trivial. F3 ~ F 8 - 3k4 3 - 4 F24!2k)(~ 8- 3k23. a) Nunca.

X+ y +Z=1} 1 3b) S. Por ejemplo : 2x + y _ Z = 2 O 4 (O O -12 ~4k)

X+ y +Z=1}e) S. Por ejemplo: 2x + 2y + 2z = 3 Si - 12 + 4k = O, es decir, k = 3 el sistema es

compatible determinado con solucin (x, y) = = (-4, 2).

x + y + kz= k 2) 24. y- z = k

x+ ky+ z= k x-y+z=a)26. x+y- z= b 1 -1

-x+ y+ z= e 1 1 ~)(-i -1 1 21 1 k

a) M = O 1 -1 k )~ = M* F2~F2-F1( 1 k 1

F3 ~ F3 + F1 IMI = 1 - 1- k + k = O) 1 -1 x- y + z= a)

O 2-2 2y- 2z = b- ab: a)16 ~ 1= 1 "* O ~ rg (M) = 2, \:;/ k E [R ( O O 2 a+e 2z = a + e XemaX

XemaXTexto escrito a mquinax=(a+b)/2 y=(b+c)/2 z=(a+c)/2Sistema compatible determinado si a,b,c R