Epsilon No1

download Epsilon No1

of 61

  • date post

    01-Jun-2018
  • Category

    Documents

  • view

    225
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Epsilon No1

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    1/154

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    2/154

    d

    2

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    3/154

     Tp chí online ca cng đng nhng ngưi yêu Toán

    EPSILONCh biên: TRN NAM DŨNG

    Biên tp viên: VÕ QUC BÁ CNBiên tp viên: LÊ PHÚC L

    S 1, ngày 13 tháng 02 năm 2015

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    4/154

    d

    4

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    5/154

    LI NGBan biên tp Epsilon

    Epsilon, tc là rt nh, nhưng không bng 0. Và nhiu epsiloncng li có th tr thành nhng cái đáng k. Có th là 1, là 2, cóth là vô cùng. Điu quan trng là ta có bit cách kt hp các

    epsilon khác nhau li hay không. Epsilon là t báo ca cngđng, dành cho cng đng. Nó là mt s khi đu. Còn tip ninhư th nào s hoàn toàn ph thuc vào s đón nhn, ng h,tr giúp, tham gia ca cng đng. Đ có đưc s xut hin đuđn, đúng hn, Epsilon s không có bt c mt gii hn v strang ca mt kỳ, s trang ca mt bài, và cũng không gii hnch đ, không bt buc phi có mc này, mc kia.

    Ch đ ca Epsilon đa dng nhưng s ch yu là v toán và các vn đ liên quan, mc đ thưng thc ph thông, truyn

     bá toán hc.Epsilon luôn mong mun nhn đưc s đóng góp t phía cácnhà toán hc, các nhà khoa hc, các thy cô giáo, các bn sinh

     viên, các bn hc sinh và tt c nhng ngưi yêu toán và nhngngưi yêu nhng ngưi yêu toán. Đ nâng cao cht lưng tpchí, chúng tôi xin đưc phép s trao đi vi tng tác gi, cùng

     biên tp li các bài báo phù hp.

    S báo mà các bn đang đc là s 1 ca tp chí. Trong s này,chúng tôi có tng cng 9 bài vit. Bên cnh các bài liên quan

    đn kỳ thi HSG cp quc gia (VMO) 2015 va qua, chúng tôicũng gii thiu mt s bài vit thưng thc, lý thuyt Toán cđin và hin đi.

    Epsilon s c gng ra đu đn 2 tháng 1 ln, vào các ngày 13ca các tháng chn. Chn ngày   13  đ th hin s quyt tâm.

     Vn s khi đu nan. Chúng ta hãy c gng khi đu. Và cgng đi tip. Đi nhiu ngưi, bn s đi rt xa. . .

    5

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    6/154

    d

    6

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    7/154

    MC LC

    1   Li ng   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .  5

    2   S phc và đa thcTrn Nam Dũng  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 9

    3   Thut toán phc hi s hu tNguyn Hùng Sơn  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    4   Toán hc gii trí và các bài toán đi nónĐng Nguyn Đc Tin   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   31

    5   V bài hình hc thi VMO 2015Trn Quang Hùng   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..  47

    6   V bài bt đng thc trong đ thi VMO 2015Võ Quc Bá Cn   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .  57

    7   Phân tích và m rng trong các bài toán t hpLê Phúc L   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .  101

    8   Các vn đ c đin và hin điTrn Nam Dũng  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  139

    9   Bài toán chuyn xe BusLê T Đăng Khoa   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   147

    10  Nhn xét v kỳ thi VMO 2015  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   151

    7

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    8/154

    d

    8

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    9/154

    S PHC VÀ ĐA THC Trn Nam Dũng (ĐHKHTN, ĐHQG Tp HCM )

     Tóm tt

     Trong kỳ thi chn hc sinh gii Toán Quc gia năm hc2014-2015 va qua, có 2 bài toán có th gii rt hiu qu 

     và ngn gn nu dùng đn s phc. Th nhưng, s hcsinh nm vng s phc đ s dng mt cách hiu qu likhông nhiu, và các bn đã rt vt v gii các bài toán đã cho bng các phương pháp khác.

     Trong bài vit nh này, chúng tôi mun gii thiu trưc ht là các ng dng ca s phc trong bài toán v đa thc,sau đó là ng dng ca s phc và đa thc trong các bàitoán t hp đm.

    1. S phc trong các bài toán v đa thcNghim ca đa thc đóng vai trò quan trng trong vic xácđnh mt đa thc. C th nu đa thc  P(x) bc  n có  n nghimx1,  x2, . . . ,  xn thì  P(x) có dng  P(x) = c(x − x1)(x − x2) · · · (x − xn).

     Tuy nhiên, nu ch xét các nghim thc thì trong nhiu trưnghp s không có đ s nghim.

    Hơn na, trong các bài toán phương trình hàm đa thc, nu ch xét các nghim thc thì li gii s là không hoàn chnh. Đnh

    lý cơ bn ca đi s vì vy đóng mt vai trò ht sc quan trngtrong dng toán này. Và ta s dng cách phát biu đơn ginnht ca nó: mt đa thc vi h s phc (thc) luôn có ít nht mt nghim phc. Dưi đây ta xem xét mt s áp dng.

    Bài toán 1.  Tìm tt c các đa thc  P(x) khác hng sao cho:

    P(x) · P(x + 1) = P(x2 + x + 1).   (1)

    9

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    10/154

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    11/154

    Li gii.  Gi s   α   là nghim ca   P(x) =   0.  Khi đó t phươngtrình suy ra   α 2,  α 4, α 8, . . . cũng là nghim ca   P(x) =   0. T đây 

    suy ra rng   |α |   =   0  hoc   |α |   =   1,   vì nu ngưc li ta s thuđưc dãy vô hn các nghim ca  P(x). Tương t, bng cách thay x  =  α  − 1,  ta suy ra  (α  − 1)2 cũng là nghim ca  P(x). Bng cáclý lun tương t, ta cũng đưc

     (α − 1)2 =  0  hoc (α − 1)2 =  1.Gi s rng   |α | =  1 và 

     (α − 1)2 =  1.  Vit  α  =  cosϕ + i · sinϕ, ta có1 − α  = (1 − cosϕ) − i · sinϕ

    = 2 · sin2 ϕ2

      − 2i · sinϕ2 · cosϕ

    2

    = 2 · sinϕ

    2 ·

    sinϕ

    2   − i · cosϕ

    2

    nên  (1 − α )2 = −4 · sin2ϕ2 · (cosϕ + i · sinϕ), suy ra 

    (1 − α )2 =  4 · sin2 ϕ2

      = 2  − 2 · cosϕ.

    Do (1 − α )2 =  1  nên  2 · cosϕ =  1. T đây suy ra  cosϕ =   1

    2, ta tính

    đưc ϕ  =   π3 hoc   5π

    3  . Gi s  ϕ  =   π

    3.

     Xét   α 2 cũng là nghim ca   P(x) =   0. Như vy   (α 2 − 1)2 cũng là 

    nghim ca  P(x) = 0  và  

    (α 2

    − 1)2

     =  2  − 2 · cos2π3   = 3.  Mâu thun vì mi nghim ca  P(x) = 0  có mô-đun bng  0 hoc  1. Tương t

     vi trưng hp ϕ =   5π3

      .

    Như vy, ta có th kt lun rng  α  =  0, hoc  α  − 1  =   0. T đây P(x) có dng  cxm(1 − x)n, vi  c là mt hng s khác  0 nào đó và m , n là các s nguyên không âm không đng thi bng  0.

     Thay vào phương trình đã cho, ta d dàng kim tra đưc rngc =  1  và  m  =  n. Như vy lp các đa thc tho mãn điu kin đã cho là  P(x) = xm(1 − x)m trong đó  m  là mt s t nhiên.

    Nghim phc ca đa thc vi h s nguyên, trong nhiu trưnghp là chìa khoá đ chng minh tính bt kh quy (trên  Z và  Q)ca đa thc đó. Chúng ta tìm hiu các lý lun mu trong vnđ này thông qua các ví d sau:

    Bài toán 3 (IMO, 1993). Chng minh rng vi mi  n > 1, đa thc xn + 5xn−1 + 3  không th phân tích thành tích ca hai đa thc có bc không nh hơn  1  vi h s nguyên.

    11

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    12/154

    Li gii.  Gi s x1,  x2, . . . ,  xn là tt c các nghim ca  P(x). Khiđó ta có P(x) = (x−x1)(x−x2)

    · · ·(x−xn). Suy ra  3  = (−1)nx1x2

    · · ·xn.

     Ta có vi mi  i thì  xni   + 5xn−1i   + 3  =  0,  suy ra 3 =  |xi|

    n−1 · |xi + 5|,   i =  1, 2, . . . ,  n.   (1)Gi s ngưc li rng đa thc  P(x) kh quy, tc là  P(x) = Q(x) ·S(x) vi  Q(x),  S(x) là các đa thc không hng vi h s nguyên.

     Th thì rõ ràng Q(x) s là tích ca mt s tha s  x − xi và  S(x)là tích ca các tha s còn li.

    Không mt tính tng quát, gi s:

    Q(x) = (x − x1)

    · · ·(x − xk),   S(x) = (x − xk+1)

    · · ·(x − xn).

    Suy ra   |x1x2 · · · xk|  và   |xk+1 · · · xn|   là các s nguyên có tích là   3.Như vy mt s bng  1 và mt s bng  3. Không mt tính tngquát, gi s   |x1x2 · · · xk| =  3  và   |xk+1 · · · xn| =  1.

     Trong (1) cho i  chy t  1 đn  k  ri nhân v theo v, ta đưc

    3k = |x1 · · · xk|n−1 ·(x1 + 5) · · · (xk + 5) =  3n−1Q(−5).

    Suy ra  k  n − 1. Như vy  S(x) là nh thc bc nht, suy ra  P(x)có nghim nguyên. Nhưng nghim nguyên ca   P(x)  ch có thlà  −1, 1,  −3, 3. Kim tra li thì chúng đu không là nghim ca P(x). Mâu thun. Điu này chng t điu gi s là sai, tc là đa thc  P(x) bt kh quy.

    Bài toán 4 (Nht Bn, 1999).  Chng minh rng đa thc:

    f(x) = (x2 + 12)(x2 + 22) · · · (x2 + n2) + 1không th phân tích thành tích ca hai đa thc h s nguyên bc ln hơn hay bng  1.

    Li gii.  Gi s ngưc li   f(x) =  g(x) · h (x) vi  g(x),  h (x) là các

    đa thc vi h s nguyên có bc ln hơn hay bng  1. Khi đó, đ ý rng f(±ki) = 1  vi  k  =  1, 2, . . . ,  n, ta có1 =  g(ki) · h (ki),   k  = ±1, ±2, . . . , ±n.

    Chú ý rng   1   ch có   4   cách phân tích thành tích ca các snguyên trong  Z[i ] là   1 · 1,  (−1) · (−1),  i · (−i) và   (−i) · i nên ta có

     vi mi  k  ∈ {±1, ±2, . . . , ±n} thìg(ki),  h (ki)

     ∈ (1, 1),  (−1,  −1),  (i,  −i),  (−i,  i).12

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    13/154

    Như vy trong mi trưng hp ta đu có  g(ki) = h (ki) = h (−ki).Như th đa thc  g(x) − h (−x) có  2n nghim phân bit, trong khi

     bc ca nó nh hơn  2n. Vy ta phi có  g(x) −  h (−x) là đa thchng 0, tc là  g(x) = h (−x). T đó  deg(g) = deg(h ) = n.

     Vì   f(x)  là đa thc đơn khi nên ta có th gi s   g(x),  h (x)  đơnkhi. Khi đó đa thc  g2(x) − h 2(x)  có bc nh hơn   2n. Đa thcnày có ít nht   2n  nghim   ki   vi   k  ∈   {±1, ±2, . . . , ±n}.  Suy ra g2(x) − h 2(x) =   0.  Ta không th có   g(x) = −h (x)  vì   g  và   h  đơnkhi. Vy ta phi có  g(x) = h (x). Như th  f(x) = g2(x).

     T đây suy ra  g2(0) =  f(0) = (n!)2 + 1.  Điu này là không th vì

    g(0) là s nguyên và  n 1.Bài toán 5. Chng minh rng nu đa thc P(x) = (x2−7x+6)2n+13có th phân tích thành tích ca hai đa thc  Q(x),  S(x)  vi h s nguyên thì  Q(x) và  S(x) đu có bc  2n.

    Li gii.  Tht vy, gi s   P(x) =   Q(x) · S(x).  Gi   x1,  x2, . . . ,  x4nlà các nghim phc ca  P(x) thì  Q(x) và  S(x) s là tích ca cáctha s  (x − xi). Đánh s li nu cn, ta gi s:

    Q(x) = (x − x1)(x − x2) · · · (x − xk) vi  1 k

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    14/154

    Nu đa thc P(x) chia ht cho đa thc  Q(x) thì mi nghim ca Q(x)  đu là nghim ca   P(x).  Tính cht đơn gin này là chìa 

    khoá đ gii nhiu bài toán v s chia ht ca đa thc. Chúngta xem xét mt s ví d.

    Bài toán 7.  Vi giá tr nào ca  n  thì đa thc  x2n + xn + 1 chia ht cho đa thc  x2 + x + 1? 

    Li gii.  Ta có  ε  = −12

     + i√ 3

    2  = cos 2π

    3  + i · sin2π

    3 là nghim ca đa 

    thc  Q(x) = x2 + x + 1. Vì đa thc  x2 + x + 1 là bt kh quy nên đa thc  P(x) = x2n + xn + 1 chia ht cho  Q(x) khi và ch khi  P(ε) = 0.Điu này tương đương vi

    cos4nπ 

    3  + i · sin4nπ 

    3  + cos

    2nπ 

    3  + i · sin2nπ 

    3  + 1  =  0,

    hay 

    cos2nπ 

    3  ·

    2 · cos 2nπ 3

      + 1

     =  0

    sin2nπ 

    3  ·

    2 · cos2nπ 3

      + 1

     =  0

     T h phương trình trên, ta d dàng suy ra   2 · cos 2nπ3

      + 1   =   0,

    tc  n  phi là s không chia ht cho   3. Vy vi  n  =  3k  +  1  hocn =  3k + 2 thì  P(x) chia ht cho  Q(x).

     Trong ví d dưi đây, mt ln na, căn ca đơn v li đóng vaitrò then cht trong vic đi đn li gii.

    Bài toán 8  (USAMO, 1976).  Cho  P(x),  Q(x),  R(x),  S(x) là các đa thc sao cho 

    P(x5) + x · Q(x5) + x2 · R(x5) = (x4 + x3 + x2 + x + 1) · S(x).   (1)Chng minh rng  P(x) chia ht cho  x − 1.

    Li gii.   Đt  ω  =  e 2πi5 thì ω5 = 1. Thay  x ln lưt bng ω,  ω2,  ω3,ω4, ta đưc các phương trình:

    P(1) + ω · Q(1) + ω2 · R(1) = 0,P(1) + ω2 · Q(1) + ω4 · R(1) = 0,P(1) + ω3 · Q(1) + ω6 · R(1) = 0,P(1) + ω4 · Q(1) + ω8 · R(1) = 0.

    14

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    15/154

    Nhân các phương trình t 1 đn 4 ln lưt vi   −ω,  −ω2,  −ω3,−ω4, ta đưc các phương trình sau:

    − ω · P(1) − ω2 · Q(1) − ω3 · R(1) = 0,− ω2 · P(1) − ω4 · Q(1) − ω · R(1) = 0,− ω3 · P(1) − ω · Q(1) − ω4 · R(1) = 0,− ω4 · P(1) − ω3 · Q(1) − ω2 · R(1) = 0.

    Cng tt c 8 phương trình li theo v và s dng tính cht ca ω là  1 +ω+ω2 +ω3 +ω4 = 0, ta đưc 5 ·P(1) = 0, tc x −1 |P(x).Bài toán 9  (VMO, 2015).  Cho dãy đa thc  fn(x) đưc xác đnh 

    bi  f0(x) =  2,  f1(x) =  3x,  fn(x) =  3x · fn−1(x) + (1 − x  − 2x2

    )fn−2(x)vi mi  n     2. Tìm tt c các giá tr  n  đ đa thc   fn(x) chia ht cho đa thc  x3 − x2 + x.

    Li gii.  Vi mi   x  c đnh, ta xét dãy s   ai   =   fi(x),  khi đó ta có  a0  = 2, a1  =  3x,  an  =  3xan−1 + (1 − x − 2x2)an−2  vi mi  n    2.

     Xét phương trình đc trưng   X2 − 3xX +  2x2 − x  −  1   =   0   có hainghim là  x +  1  và   2x −  1.  T đó ta có dng tng quát ca   (an)là  an  = c1(x + 1)n + c2(2x − 1)n. T các điu kin ban đu ta suy ra  c1  = c2  = 1,  tc là  an  = (x + 1)n + (2x − 1)n. Điu này đúng vi

    mi giá tr ca  x, do đó ta có  fn(x) = (x + 1)n

    + (2x − 1)n

    .

    Bây gi, ta tìm  n  sao cho  fn(x) = (x + 1)n + (2x − 1)n chia ht chođa thc  Q(x) = x3 − x2 + x. Vì  0 và  α  =   1+i

    √ 3

    2  là nghim ca  Q(x)

    nên điu này xy ra khi và ch khi   0 và  α  là nghim ca   fn(x).Đ có điu này ta phi có:

    i)   1n + (−1)n = 0,  suy ra  nl.

    ‘ ii) 

    3+i√ 

    3

    2

    n+

    i√ 

    3n

    =  0, tc √ 

    3+i2

    n+ in =  0. Chuyn các s

    phc sang dng lưng giác và dùng công thc lũy tha, ta 

    đưc  cosnπ6   + i · sinnπ6   + cosnπ2   + i · sinnπ2   = 0, tc  n phi là s chia ht cho  3.Kt hp hai điu kin i) và ii), ta suy ra điu kin cn và đ đfn(x) chia ht cho  Q(x) là  n  =  6m +3 vi m  nguyên không âm.

    15

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    16/154

    2. S phc và đa thc trong bài toán đmS phc có nhng ng dng rt hiu qu trong các bài toánđm. Và vai trò trung tâm trong k thut ng dng s phc vàocác bài toán đm tip tc là căn nguyên thu ca đơn v. Chú

     ý là nu  ε là căn nguyên thu bc  n  ca đơn v thì ta có

    i)   1 + ε + · · · + εn−1 = 0.ii)   1 + εk + · · · + εk(n−1) = 0  vi  (k ,  n) = 1.

    Đây chính là tính cht quan trng ca căn nguyên thu thưngđưc s dng trong gii toán.

    Bài toán 10 (Chn đi tuyn PTNK, 2009).  Tìm s tt c các s có  n  ch s lp t các ch s  3, 4, 5, 6 và chia ht cho  3.

    Li gii.   Gi   cn   là s các s có   n   ch s lp t các ch s3, 4, 5, 6   và chia ht cho   3.   Gi   α   là mt nghim ca phươngtrình α 2 + α + 1 =  0. Khi đó  α 3 = 1  và  α 2k + α k + 1 nhn giá tr =  0nu  k  không chia ht cho  3 và  = 3  nu  k  chia ht cho  3.

     Xét đa thc  P(x) = (x3 + x4 + x5 + x6)n. D thy  cn chính là bngtng các h s ca các s mũ chia ht cho   3   trong khai trinca  P(x). Nói cách khác, nu  P(x) = 6nk=0 akxk thì  cn  = 2nk=0 a3k.Mt khác ta có

    P(1) + P(α ) + P(α 2) =

    6nk=0

    ak(1 + α + α 2) = 3

    2nk=0

    a3k.

    Cui cùng, do  P(1) = 4n,  P(α ) = P(α 2) = 1  nên ta có

    cn  =

    2n

    k=0a3k  =

      4n + 2

    3  .

    Bài toán 11 (VMO, 2015).  Cho  K ∈ N ∗. Tìm s các s t nhiên  nkhông vưt quá  10K tha mãn đng thi các điu kin sau:

    i)   n chia ht cho  3.

    ii)  Tt c các ch s trong biu din thp phân ca  n đu thuc tp hp  A  =  {2, 0, 1, 5}.

    16

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    17/154

    Li gii.   Vì  10K không chia ht cho  3 nên ta ch cn xét các st  0  cho đn  99

    · · ·9 (K ch s  9). B sung các ch s  0 vào trưc

    nu cn thit, ta đưa v xét các s có dng   a1a2 · · · aK   vi   aithuc  {2, 0, 1, 5}. Ta cn đm các s như vy và chia ht cho  3.

    Chú ý là  a1 · · · aK chia ht cho 3 khi và ch khi a1+· · ·+aK chia ht cho 3, ta đưa bài toán v vic đm s các b  (a1,  a2, . . . ,  aK) ∈ AKsao cho  a1 + a2 + · · · + aK chia ht cho  3.

     Tip theo, hoàn toàn tương t như bài trên, xét đa thc:

    P(x) = (x2 + 1 + x + x5)K.

     Ta có

    P(x) = (x2 + x + 1 + x5)k =

    (a1,a2, ...,aK)∈Akxa1+a2+···+aK .

     Tng các h s ca  P(x) bng s các b (a1, . . . , aK) ∈ AK và bng4K. Hơn na s các b  (a1, . . . ,  aK) ∈ AK sao cho  a1 + a2 + · · · + aK

     bng tng các h s ca các s mũ chia ht cho 3 trong P(x).

    Đt  P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + · · ·  . Ta cn tính:

    S =  a0 + a3 + a6 + · · ·  .

    Gi  ε là nghim ca phương trình  x2 + x + 1  =  0  thì ta có  ε3 = 1. T đó d dàng suy ra  1 + εk + ε2k nhn giá tr bng  0 vi mi  k không chia ht cho  3 và bng  3 vi  k  chia ht cho  3.   (∗)

     Ta cóP(1) = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + · · ·   ,P(ε) = a0 + a1ε + a2ε

    2 + a3ε3 + a4ε

    4 + · · ·   ,

    P(ε

    2

    ) = a0 + a1ε

    2

    + a2ε

    4

    + a3ε

    6

    + a4ε

    8

    + · · ·   . Áp dng tính cht (∗), ta suy ra 

    P(1) + P(ε) + P(ε2) = 3a0 + 3a3 + 3a6 + · · ·

    Suy ra   S   =   P(1)+P(ε)+P(ε2)

    3  =   4

    k+ε2K+ε4K

    3  .  Cui cùng, li áp dng

    tính cht (∗), ta suy ra  S  =   4K−13

      nu  K không chia ht cho  3 và S =   4

    K+23

      nu  K  chia ht cho  3.

    17

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    18/154

    Khi ta làm vic vi các tp con, tc là các t hp không lp thìmô hình nhng đa thc trên đây không s dng đưc na. Vi

    các bài toán này, ta cn đn mt mô hình khác.

    Bài toán 12.  Cho  X  =  {0, 1, . . . , 25}. Tìm s các tp con  7  phn t có tng các phn t chia ht cho  19.

    Li gii.  Vi mi tp con   A ⊂   X,  gi   S(A)   là tng các phn tca  A. Ta cũng quy ưc  S(∅) = 0.  Vi mi  i =  0, 1, .. . , 18, đt:

    P(i) =

    A ⊂ X | |A| =  7  và  S(A) ≡ i  (mod  19). Ta cn tính  P

    (0). Gi  a là căn nguyên thy bc

     19 ca 

     1. Khi đó1 + a + a2 + · · · + a18 = 0  và  x19 − 1  = (x − 1)(x − a) · · · (x − a18).

     Xét đa thc  Q(x) = (x − 1)(x − a)(x − a2) · · · (x − a25). Ta tính h sca  x19 trong Q(x) bng  2 cách. Mt mt, nu khai trin  Q(x) ra thì đ đưc  x19, ta cn ly  x t   19 du ngoc, còn   7 du ngockhác s ly các s có dng  ak  vi k  thuc  {0, 1, . . . , 25}. Như th,ta s có tng các s có dng  aS(A)  vi A chy qua tt c các tpcon  7 phn t ca  X. Chú ý rng aS(A) ch ph thuc vào s dưkhi chia   S(A)  cho   19  (đó là lý do ti sao ta ly căn bc   19 ca đơn v) nên t đây d dàng suy ra tng nói trên bng:

    −P(0) + P(1) · a + · · · + P(18) · a18.

    Mt khác,  P(x) = (x19 − 1)(x −  1)(x −  a) · · · (x − a6). Suy ra h sca  x19  bng  −1 · a · a2 · · · a6 = −a2. T đây suy ra P(0) + P(1)a + P(2) − 1a2 + · · · + P(18)a18 = 0.Điu này đúng vi mi  a  là nghim ca phương trình:

    1 + x + x2 +· · ·

    + x18 = 0.

    Suy ra đa thc P(0) + P(1)x + P(2) − 1x2 + · · · + P(18)x18 t 

    l vi đa thc  1 + x + · · · + x18  và vì th:P(0) = P(1) = P(2) − 1  = · · · = P(18).Như vy, tt c các

     P(i),  i = 2, bng nhau và bng   C719−119

      . Riêng

    |P(2)| ln hơn đúng  1 đơn v! Vy đáp s là   C719−1

    19  .

    18

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    19/154

    Cui cùng, ta áp dng hiu qu phương pháp trên đây vào mt  bài toán thi vô đch Quc t, mt bài toán đp ca IMO 1995.

    Bài toán 13  (IMO, 1995).  Cho  p là mt s nguyên t l. Tìm s các tp con  A  ca tp hp  {1, 2, . . . , 2 p}, bit rng:

    i)   A cha đúng  p  phn t;

    ii)  Tng các phn t ca  A  chia ht cho  p.

    Li gii.  Xét đa thc  P(x) = xp−1 + xp−2 + · · · + x + 1. Đa thc này có p − 1 nghim phc phân bit. Gi α  là mt nghim bt kỳ ca P(x).  Chú ý rng  α ,  α 2, . . . ,  α p−1 là  p −  1  nghim phân bit ca P(x) và  α p = 1.  Do đó, theo đnh lý Vieta:

    xp − 1  = (x − 1)(x − α )(x − α 2) · · · (x − α p−1). Xét đa thc  Q(x) = (x − α )(x − α 2) · · · (x − α 2p) và gi:

    H =

    A ⊂ {1, 2, . . . , 2 p} | |A| =  p.Gi s  Q(x) =

    2pi=0 aix

    i. Khi đó:

    ap  = −A∈H

    α S(A),  S(A) =x∈A

    x.

     Vì nu  S(A) ≡

     i  (mod p) thì  α S(A) = α i nên

    ap  = −

    p−1i=0

    niα i,

    trong đó  ni là s các  A ∈ H  sao cho  S(A) ≡ i  (mod p). Mt khác,Q(x) = (xp − 1)2, suy ra  ap  = −2. Thành th:

    p−1i=0

    niα i = 2.   (∗)

     Xét đa thc  R(x) = p−1i=1  nixi + n0 − 2. T đng thc (∗) suy ra  α là mt nghim ca  R(x). Vì  degP  = degR và  α  là mt nghim bt kỳ ca  P(x)  nên  P(x)  và  R(x)  ch sai khác nhau hng s nhân.

     T đó  np−1  = np−2  = · · · =  n1  = n0 − 2, suy ra 

    n0 − 2  = np−1 + np−2 + · · · + n1 + n0 − 2

     p  =

    Cp2p − 2

     p  .

     Vy đáp s ca bài toán là  n0  = 2  + C

    p2p−2

    p  .

    19

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    20/154

    3. Bài tp

    Bài toán 1.  Tìm tt c các đa thc  P(x) tha mãn điu kin:

    P(x) · P(x + 1) = P(x2 + 1).

    Bài toán 2.  Cho   n  là s nguyên dương. Chng minh rng đa thc  xn + 4 kh quy khi và ch khi  n  chia ht cho  4.

    Bài toán 3.  Chng minh rng đa thc   (x2 − 7x +  6)2n + 13  bt kh quy vi mi  n nguyên dương. (Chú ý rng bài này mi chlà gi thit, bn đc có th ph đnh bài toán nu kt qu sai.)

    Bài toán 4.  Vi giá tr nào ca   n  thì đa thc   (x +  1)n + xn + 1chia ht cho đa thc  x2 + x + 1?

    Bài toán 5.  Có bao nhiêu tp con ca   X   =   {1, 2, ..., 2015}   cótng các phn t chia ht cho  3?

    Bài toán 6   (IMO 2014 Training Camp).   Có bao nhiêu s tnhiên có  9 ch s không cha ch s  0 và chia ht cho  11?

    Bài toán 7.  Cho ba s nguyên dương   m ,  n,  p,   trong đó   m >   1 và  n + 2 ≡ 0  (mod m ). Tìm s b  (x1,  x2, . . . ,  xp) gm  p s nguyêndương sao cho tng  (x1 + x2 + · · · + xp) chia ht cho  m , trong đómi s  x1,  x2, . . . ,  xp đu không ln hơn  m .

    20

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    21/154

     THUT TOÁNPHC HI S HU T

    Nguyn Hùng Sơn (University of Warsaw )

    1. M đuCách đây không lâu tôi có đ các bn tr mt bài toán đ nh,nhưng mang tính thc t, như sau:

    Mt v giáo sư toán-tin rt cn thn nhưng đãng trí. Cách đâyvài hôm ngân hàng gi ông mt bc thư thông báo mt khuca th tín dng. Mt khu là mt s có 6 ch s:  abcdef. Ôngkhông mun gi li bc thư vì s nó có th lt vào tay k gian.Vì vy ông đã dùng 1 chic máy tính xách tay đơn gin (gm 4phép tính +.−,

    ×,

    ÷ và 10 ch s) đ tính t s  abc

    ÷def. Ông

    đã nhn đưc kt qu gn đúng là  0, 195323246 và ghi nh lilên mt t giy.

    Làm th nào đ v giáo sư có th tìm li đưc mt khu trongthi gian ngn nht nu ông ch có trong tay chic máy tínhxách tay đơn gin và mt khu là gì?

     Thc ra bài toán này liên quan đn mt s ng dng ca thut toán Euclid và lý thuyt v phân s chui trong s hc. Sau đây chúng ta s ln lưt tìm hiu các lý thuyt liên quan, li giica bài toán trên, và th làm các bài tp tương t.

    2. Thut toán EuclidĐây là mt trong các phương pháp tìm ưc s chung ln nht ƯSCLN(a, b) ca hai s t nhiên. Khong 300 năm trưc CôngNguyên, Euclid – nhà toán hc c ngưi Hy lp – đã mô t thut toán này trong cun ”cơ s” (Elements ).

    21

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    22/154

     Ý tưng chính ca thut toán này là:

    Nu  k ,  r là hai s nguyên sao cho  a  =  kb + r thì:ƯSCLN(a,  b) = ƯSCLN(r,  b).

     Trong thut toán Euclid, ta s chn  k  là phn nguyên ca phépchia   a   cho   b   (k   = a/b), còn   r   là phn dư khi chia   a   cho   b(r   =   a − a/b · b). Thut toán này đưc mô t dng biu đ Hình 3.1. Ví d nu mun tìm ƯSCLN ca   2  s   324 và   918 thìcác bưc ca thut toán s như sau:

    STT    a b 

    a/b

      r =  a mod b d

    1. 324 918 0 5762. 918 324 2 270

    3. 324 270 1 54

    4. 270 54 5 0

    5. 54 0   54

      a, b

     

    b = 0?

    r   :=   a   mod  b

    a   :=   b

    b   :=   r

    d   :=   a

     

    d

      

    b = 0

    b  = 0

    Hình 3.1: Thut toán Euclid đ tìm ưc s chung ln nht ca hai s t nhiên  a,  b.

    22

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    23/154

    3. Liên phân sLiên phân s hu hn là mt biu thc có dng:

    a0 +1

    a1 +1

    a2 +1

    · · · +   1an

    trong đó   a0 ∈  Z,  a1, . . . ,  an   là các s nguyên dương và   an   >   1.Liên phân s trên đưc ký hiu là   [a0   :  a1,  a2, . . . ,  an ], trong đó

    n chính là đ dài ca liên phân s.Như ta đã bit mi s hu t đu có th đưc vit dưi dng   a

    b,

    trong đó  a ∈ Z  là s nguyên còn  b ∈ N − {0} là s nguyên dương.

    Mt phân s có th chuyn thành liên phân s theo phươngpháp lp đi lp li 2 bưc (1) và (2) sau đây: (1) tách ra phnnguyên, (2) nghich đo phn phân s.

     Ví d phân s  1517

    1073 có th chuyn thành liên phân s như sau:

    1517

    1073 =  1  +

    444

    1073 =  1  +

    1

    2 +185

    444

    = 1  +1

    2 +1

    2 +   74185

    = 1  +1

    2 +1

    2 +   12+37

    74

    = 1  +1

    2 +1

    2 +   12+1

    2

    Như vây ta đã chuyn   15171073

     thành liên phân s  [1 :  2, 2, 2, 2, 2 ].

    23

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    24/154

    Bn đc tinh ý có th thy nhiu đim tương t gia phươngpháp tìm liên phân s và thut toán Euclid. Thc vy, nu ta 

    áp dng thut toán Euclid cho hai s  1517 và  1073 thì quá trìnhtính toán s như sau:

    STT    a b   a/b   r =  a mod b d1. 1517 1073 1 444

    2. 1073 444 2 185

    3. 444 185 2 74

    4. 185 74 2 37

    5. 74 37 2 0

    6. 37 0   37

    D dàng nhân ra s trùng hp gia liên phân s   [1 :  2, 2, 2, 2, 2 ] và ct  a/b ca thut toán Euclid. Như vy nu áp dng thut toán Euclid cho  a và  b, nhưng trong mi bưc ta vit ra giá trca  a/b thì ta s đưc khai trin ca phân s   a

    b thành dng

    liên phân s.

     a, b

    n   := 0;

    b = 0?

    k   :=   a/br   :=   a −  kb

    a   :=   b

    b   :=   r

     an   =   k  

    n   :=   n  + 1;  

    b = 0

    b = 0

     x ∈  R

    a0   :=  x;r   :=   x −  a0;n   := 0;

     an  n   :=   n  + 1;

    r = 0?

    an   := 1/r;r   := 1/r −  an;

     

    r = 0

    r = 0

    Hình 3.2: Thut toán Euclid tìm liên phân s cho phân s   ab

    (trái) và cho s thc  x ∈ R  (phi).

    24

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    25/154

     Thut toán trên đưc mô t Hình 3.2.a  (trái). Da vào thut toán đó ta có th chng minh đnh lý sau:

    Mi s hu t đu có th khai trin dưi dng mt liên  phân s hu hn  [a0   : a1,  a2, . . . ,  an ], đây  a0 là phn nguyên ca s hu t đã cho.

    Liên phân s đã đưc các nhà toán hc như   Rafael Bombelli (1572), Pietro Catldi  (1613), Daniel Schwenter  (1625), Wallis  (1695)hoc nhà thiên văn hc  Christian Huygens   (1698) bit đn tth k XVI và XVII.

     Tuy nhiên phi đn th k XVIII nhà toán hc  Leonhard Euler 

    (1707-1783) mi bt đu nghiên cu mt cách h thng liênphân s. Euler không ch đưa ra thut toán mà còn tìm ra rt nhiu liên phân s.

     Thc ra thut toán ca Euler là trưng hp tng quát ca thut toán chuyn s hu t thành liên phân s. Nó có th áp dngcho mt s thc  x bt kỳ (xem Hình 3.2.b (phi)). Áp dng thut toán này cho  x  =

    √ 2 ta s có:

    √ 2 =  1  +

    √ 2 − 1  =  1  +

      1√ 2 + 1

    = 1  +  1

    2 +√ 

    2 − 1= 1  +

      1

    2 +   1

    √ 2+1

    = 1  +  1

    2 +   12+

    √ 2−1

    = · · · =  1  + 12 +   1

    2+   12+···

    .

    Như vy s √ 

    2 có th biu din dưi dng liên phân s vô hntun hoàn  = [1 :  2, 2, 2, . . . ] = [1 :  2 ].

    Euler đã phát hin ra rng nu mt s có th biu din dưidng liên phân s vô hn tun hoàn (t mt v trí nào đó) thì sđó phi có dng a + b

    √ c, a,  b,  c ∈ Q (hay còn gi là s đi s bc

    hai). Ví d t l vàng  φ  =

    √ 5−12   có th biu din dng liên phâns gm toàn s  1 (xem bài tp 2).

    Hoc nu   x   = [2   :  2, 2, 2, . . . ] = [2   :   2 ], thì ta có   x   =   2 +   1x

      t đósuy ra  x  =  1 +

    √ 2. Nhưng phi 20 năm sau đch lý đo mi đưc

    chng minh bi Lagrange  (1768):

    Mi s đi s bc   2  đu có th khai trin thành liên  phân s tun hoàn  (bt đu t mt v trí nào đó ).

    25

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    26/154

    Chúng ta va nhn ra rng khai trin liên phân s ca các shu t và c các s vô t trông có v như tin li hơn khai trin

    thp phân. Mt câu hi có tính trit lý và lch s đưc đt ra là:ti sao trong trưng ph thông chúng ta s dng s thp phânnhưng li không dùng liên phân s? Câu tr li có l là do phépcng và nhân các liên phân s không h d dàng gì. Mà cũngcó th thiu các phương pháp (thiu các thut toán hu hiu)là do các nhà toán hc (tin hc) chưa tìm kĩ. Ta ch có th kt lun rng hình nh ca toán hc ngày nay không phi là duy nht, và nó hoàn toàn đã có th chuyn sang hưng khác.

    4. Phc hi s hu t4.1. Ví d minh ha 

    Chúng ta hãy quay li bài toán ban đu. V giáo sư có th kimtra tt c các phân s dng abc÷def cho đn khi tìm đưc phâns có giá tr như yêu cu. Tuy nhiên phương pháp này khônghiu qu vì mt quá nhiu thi gian.

     Trưc ht chúng ta có th chú ý rng nu   pq

      và   rs

      là hai phâns có t s và mu s đu là các s có ba ch s và hai phâns đó ging nhau ít nht là đn ch s th  6 sau du phy thìpq

     −   rs

     <  10−6. T đó suy ra | ps − qr| qs · 10−6

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    27/154

    S dng thut toán Hình 3.2.b (phi) ta ln lưt có:

    a0  = 0   r =  0, 195323246   x0  = 0

    a1  = 5   r =  0, 119718315   x1  =1

    5

    a2  = 8   r =  0, 352940538   x2  =1

    5 +   18

    =8

    41

    a3  = 2   r =  0, 833338458   x3  =1

    5 +   18+1

    2

    =17

    87

    a4  = 1   r =  0, 199992620   x4  =1

    5 +   18+   1

    2+ 11

    =25

    128

    a5  = 5   r =  0, 000184506   x5  =1

    5 +   18+   1

    2+   1

    1+15

    = 142727

    Kim tra li ta thy rng   142727

      =  0.195323246 . . . Vy mã s v giáosư cn tìm là 142727 .

    4.2. Trưng hp tng quátĐ tng quát hóa bài toán trên chúng ta xét vn đ sau đây:

     VN Đ PHC HI S HU T: Cho hai s nguyên dương  K,  Mhãy tìm hai s nguyên dương  u ,  v sao cho:

    DK1 :   0  u ,  v < N   (N là s nguyên dương cho trưc)   (1)

    DK2 :

     u  v   −   KM   1M   (2 phân s   u  v ,   KM  gn bng nhau)   (2)

    Paul Wang   đã nghiên cu vn đ phc hi s hu t trong

    trưng hp   N   = M

    2 . Vi la chn này ta có th chng minhrng nu tn ti li gii cho vn đ phc hi s hu t thì ligii này là duy nht.

     Thc vy, gi s tn ti 2 li gii   ( u 1,  v1)  và   ( u 2,  v2)  tha mãncác điu kin (1) và (2). Ta có: u 1 v1 −

     u 2

     v2

     u 1 v1 −

      K

    M

    + u 1 v1 −

      K

    M

      2M ,27

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    28/154

    t đó suy ra 

    | u 1 v2 − u 2 v1|

      2 v1 v2

    M   <

      2N2

    M   .

     Trong trưng hp  N  = 

    M2

      , ta có   | u 1 v2 −  u 2 v1|  <  1. Ngoài ra, do

    | u 1 v2 −  u 2 v1| là s nguyên nên ta suy ra rng  u 1 v2 −  u 2 v1  = 0  hay u1v1

    =   u2v2

    . Hơn na, t điu kin (2) suy ra 

    |Mu − Kv|  v < N ⇔ −N < r =  Mu − Kv < N.

     T đó suy ra nu hai phân s   uv

    ,   KM

     gn bng nhau thì tn timt s nguyên   r  sao cho   |r|   < N  và   r ≡  Kv mod M. Lúc đó   Kđưc gi là đng dư vi phân s   r

    v

     modulo M  và đưc ký hiu là rv ≡  K mod M. Như vy vn đ phc hi s hu t  có th phát 

     biu mt cách tương đương như sau:

     VN Đ PHC HI S HU T (bin th):  Cho trưc hai snguyên dương K,  M, hãy tìm cp s nguyên (r,  v) tha mãn đngthi hai điu kin sau đây:

    DK3 :   0 |r| < 

    M/2 và  0 < v < 

    M/2   (3)DK4 :   r ≡ Kv  (mod M)   (4)

     K,M 

      r1   :=  M ;   v1   := 0;r2   :=  K ;   v2   := 1;

     r1, r2  

     v1, v2  

    v2 ≥ M/2?

      (0, 0);     

      

    Q   :=   r1/r2;r1   :=   r1  −  Qr2;v1   :=   v1  −  Qv2;

    r2 < M/2?

     

      v2

    |v2| · r2, |v2|

     

      

     

     

     

     

    Hình 3.3: Thut toán phc hi s hu t RATCONVERT.

    28

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    29/154

    D thy rng nu tn ti cp s   (r,  v)  tha mãn hai điu kin(3) và (4) thì cp s  ( u ,  v), trong đó  u  =   Kv−r

    M  cũng s tha mãn

    c hai điu kin (1) và (2).

    P. Wang  (1981) còn đã đ xut mt thut toán gii quyt vn đphc hi s hu t trong trưng hp li gii tn ti. Thut toánnày da vào ý tưng ca thut toán Euclid và đưc mang tênRATCONVERT  (xem Hình 3.3).

    Bng 1.1 đưc trình bày trang sau minh ha thut toán RAT-CONVERT qua ví d chương 1.

    5. Mt s bài tp tham khoBài toán 1.  Chng minh rng mi s hu t đu có th biudin bng đúng hai cách khác nhau dưi dng liên phân shu hn.

    Bài toán 2.  Chng minh rng  [1 :  1 ] =√ 5−12

      .

    Bài toán 3.  Vi   a  là s nguyên dương hãy tìm khai trin liênphân s ca s

     √ a2 + 1.

    Bài toán 4.  Hãy kim chng rng phương pháp phc hi shu t (c hai phương pháp trình bày chương 4.1 và 4.2) vnhiu qu khi ta ch dùng  6 ch s sau du phy (tc là  0, 195323)nhưng nu ch dùng năm ch s (0, 19532) thì s không th phchi đưc mã s ban đu.

    Bài toán 5.  Áp dng thut toán phc hi s hu t đ tìm xp x hu t   p

    q ca s

     √ 2  1, 414213562373 sao cho

    pq  − √ 2 <  0, 001.

    29

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    30/154

        M

       =

            1        0        0        0        0        0        0        0        0        0

        K

       =

            1        9        5        3        2        3        2        4        6

          M    /        2   =

            2        2        3

            6        0  ,

            7

        L    ư        t

         B            t     đ           u

         1

         2

         3

         4

         5

         6

        Q

            5

            8

            2

            1

            5

       r        1        1        0        0        0        0        0        0        0        0        0

            1        9        5        3        2        3        2        4        6

            2        3        3        8

            3        7        7        0

            8        2        5        3        0        8        6

            6        8        7        7        5        9        8

            1

            3        7        5        4        8        8

        X   u

             t

       r        2

            1        9        5        3        2        3        2        4        6

            2        3        3        8        3        7        7        0

            8        2        5

            3        0        8        6

            6        8        7        7        5        9        8

            1        3        7        5        4        8        8

            1        5        8

          (   −        1        5        8  ,

            7        2        7      )   ;

       v        1

            0

            1

       −        5

        4    1

       −        8        7

            1        2        8

       v        2

            1

       −        5

            4        1

       −        8        7

            1        2        8

       −        7        2        7

         S     T     O     P   ;

       r   =

       −        1        5        8

       v

       =

            7        2        7

       u   =

        K   v   −

       r

        M

       =

            1        4        2

        B        n   g    1 .    1

       :    V    í    d      m    i   n    h    h

          a   c    h   o    t    h   u        t    t   o    á   n    R    A    T    C    O

        N    V    E    R    T .

    30

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    31/154

     TOÁN HC GII TRÍ VÀ CÁC BÀI TOÁN ĐI NÓN

    Đng Nguyn Đc Tin (Trento, Italy )

    1. Toán hc gii trí Toán hc gii trí (Recreational Mathematics) là mt thut ngchung cho nhng vn đ toán hc mà mc đích ch yu dùngđ gii trí. Đôi khi nhng bài toán gii trí này đưc xut hindưi dng giai thoi hay nhng ch đ có liên quan đn nghthut và toán, nhưng ph bin nht là dưi dng nhng câu đmà li gii đa phn ch cn nhng kin thc toán hc sơ cp.

     Tuy không phi là mt ngành nghiên cu nghiêm túc, nhưng xuyên sut chiu dài phát trin ca toán hc, ta luôn thy ssong hành ca nhng bài toán gii trí đi cùng vi nhng phát 

    minh ca toán hc, đôi khi mt bài toán đ cũng có th là đ bài m đu cho c mt lĩnh vc nghiên cu.

    Nhng ví d tiêu biu có th k đn bài toán đoán tui ca Đi-ô-phăng (Diophantus, nhà toán hc Hi Lp, th k th 3 saucông nguyên) và s ra đi ca phương trình nghim nguyên;hay bài toán đm th ca Leonardo Bonacci cùng mi liên h

     vi dãy s mang tên ông: Fibonacci; ri mt trưng hp khác là  bài toán by cây cu K ̈onigsberg (hay còn đưc gi là by cây cu Euler) vi lý thuyt đ th; và rt nhiu ví d khác.

    Ngun gc tuy đã t xa xưa như th, nhưng toán hc gii trí chtht s đưc h thng và ph bin vào khong cui th k 19nh công ca nhng ngưi tiên phong như Charles LutwidgeDodgson (1832-1898), nhà văn, nhà toán hc, nhà thn hc,nhip nh gia ngưi Anh đưc rt nhiu ngưi bit đn vi bút danh Lewis Carroll, tác gi ca “Alice lc vào x thn tiên”; ritip theo là Yakov Perelman (1882-1942), nhà toán hc Xô-Vit,tác gi ca các b sách “Toán hc vui” hay “Vt lý vui” rt quen

    31

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    32/154

    thuc vi đc gi Vit Nam; hay bi Samuel Loyd (1841-1911),nhà toán hc, kỳ th c vua ngưi M, đã có công tp hp

     và sáng to hơn 5000 bài toán gii trí; và cui cùng thì khôngth không nhc đn Martin Gardner (1914-2010), nhà toán hcngưi M có công đóng góp có th nói là quan trng nht tronglch s phát trin ca toán hc gii trí.

    Hình 4.1: Tháp Hà Ni, mt trong nhng bài toán kinh đinca toán hc gii trí, ln đu tiên đưc đăng bi nhà toán

    hc ngưi Pháp François-Édouard-Anatole Lucas (1842-1894),trong “Toán hc gii trí” (Récréatión Mathématiques).

    2. Các bài toán đi nón Toán hc gii trí xut hin rng khp các nhánh ca toán hc, và c trong các ngành khoa hc khác. Trong chuyên mc mđu này, chúng tôi gii thiu vi đc gi mt nhóm bài toán

    kinh đin, thưng đưc gi là nhóm “Bài toán đi nón”.Dng thc chung ca các bài toán đi nón như sau: mt sngưi s đưc đi mt hoc mt s nón. Các nón này có màutrong mt tp hp các màu cho trưc. Cá nhân mi ngưi không

     bit màu nón ca mình, nhưng có th thy đưc nón ca cácngưi khác. Nhim v ca h là phi đoán đưc màu nón ca mình, và không đưc trao đi thông tin sau khi nón đã đưc đi.Bài toán đôi khi xut hin dưi dng trò chơi trên truyn hình

    32

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    33/154

     vi ngưi dn trò và ngưi tham gia trò chơi; có khi xut hindưi dng bài toán v nhng nhà logic; có khi là cai ngc và 

    tù nhân. . . nhưng ct lõi bài toán là tìm chin lưc cho nhngngưi này trưc khi đưc đi nón, sao cho khi nhìn thy màunón ca nhng ngưi trong nhóm thì h s có chin thut đđoán đúng càng nhiu màu nón càng tt.

    Có rt nhiu cơ s cho thy rng bài toán đã đưc lưu truyntrong dân gian t rt lâu, nhưng k t năm 1961 nhóm bài toánđi nón mi đưc chính thc ghi nhn bi Martin Gardner. Bàitoán sau đó đưc phát trin vi rt nhiu bin th, vi các kt qu và phương pháp gii rt khác nhau. Mt trong nhng phiên

     bn kinh đin ca bài toán đưc đ xut bi Konstantin Knoptrong kỳ thi Olympic toán toàn quc Nga ln th 23, năm1997. Sau đó, bài toán đưc kho sát chi tit trong lun án tinsĩ ca Todd Ebert vào năm 1998.

    Đn năm 2001, bài toán đưc đăng li bi cây bút Sara Robin-son trong chuyên mc Khoa hc ca thi báo New York s ngày 10 tháng 4. Đn năm 2009, mt ln na mt m rng ca bàitoán đưc đăng li cũng thi báo New York, s ngày 23 tháng3. Cho đn năm 2011, Lionel Levine làm mi bài toán vi trưnghp vô hn nón, thu hút đưc nhiu phương pháp gii mi l.

    Gn đây nht, vào năm 2013, trong mt kỳ thi toán ti Nga, mt ln na bài toán đưc làm mi vi mt phiên bn tuyt đp ca Konstantin Knop. Đây cũng là phiên bn m rng cui cùng mà chúng tôi ghi nhn đưc tính đn thi đim vit bài này.

     Vi nhng phát biu vn khá khô khan, như mt trò chơi trêntruyn hình, hay thm chí phi lý như th thách gia cai ngc

     và tù nhân, vì sao các bài toán gii trí v đi nón li thu hút squan tâm ca các nhà toán hc đn như vy? Vì s hp dn,tính sáng to ca bn thân bài toán cũng như li gii? Hay vìkt qu ca bài toán dn đn nhng ng dng quan trng, đc

     bit là trong lý thuyt mã hóa? Chúng tôi xin mi đc gi hãy cùng tìm ra câu tr li bng mt cuc du ngon qua nhng bàitoán đi nón này.

    2.1. Bài toán đi nón s 1: Hai chàng r Đây có l là phiên bn c nht trong s các bài toán đi nón. đây, chúng tôi gii thiu mt d bn như sau: Ngày xưa có nhà 

    33

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    34/154

    đi gia kén r cho hai cô con gái. Kén chn mãi đưc hai chàngtun tú văn hay ch tt. Ngưi cha mt ln na mun th tài

    trí ca hai chàng r tương lai bèn bày ra thách đ.

    Ông cho mi ngưi mt chic nón. Mi ngưi không đưc nhìnthy nón ca mình mà ch nhìn thy nón ca ngưi còn li. Sauđó cùng lúc c hai phi vit ra màu nón ca mình cho ngưicha xem. Nu ít nht có mt ngưi đoán đúng, ông s chn c hai chàng r, nu c hai đu đoán sai thì phi ra v không.

    Bit là nón có hai màu, trng hoc đen.

    Hai chàng trai tr vn là bn ca nhau. Trưc khi thách đ bt đu, h ngm ngm trao đi chin thut và cui cùng cưi đưchai nàng tiu thư xinh đp.

     Theo đc gi, hai chàng trai đã nói gì vi nhau?

    2.2. Bài toán đi nón s 2: Bách niên thưng thBài toán s 2 là mt dng m rng ca bài toán s 1, có mt d bn như sau:Vào năm mng thưng th trăm tui ca nhà 

     vua, ngài mi đn mt trăm ngưi khách, phát cho mi ngưi

    mt chic nón có màu trng hoc đen và bày mt trò chơi vinón. Mi ngưi ch thy màu ca   99 ngưi khác nhưng khôngthy đưc màu nón ca mình. Cùng lúc h phi đoán màu nónca mình và không đưc có bt kỳ trao đi gì vi nhau. Ai đoántrúng s đưc ban bng lc.

    Bng lc ca nhà vua rt ln nên có mt ngưi khách l ma mãnh nhanh chóng nm bt thi cơ. Hn r tai nhng ngưikhách khác rng ch cn làm theo cách ca hn thì s ngưi

    34

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    35/154

    giành đưc phn thưng s là cao nht. Và mi k nhn thưngphi chia mt phn tin cho K L đó.

    Cách ca hn là gì đ có đưc món li to nht? Bn đc hãy cùng đoán th xem.

    2.3. Bài toán đi nón s 3: Mt n cưi ca qu Trong rng sâu có mt con qu d năm nào cũng bt v mưilinh hn sng. Nó gom ht đám linh hn li vi nhau, đeo chomi linh hn mt chic mt n cưi màu sc rc r. Luôn cómưi màu, nhưng s lưng các màu thì thay đi theo tng năm.Có năm mưi cái mt n có mưi màu, có năm li xen k, cónăm li hoàn toàn ging nhau. Đó là nhng chic mt n dànhcho trò chơi ca qu.

     Trò chơi quy đnh k đeo mt n chng th nhìn thy màu mt n ca mình mà ch có th nhìn thy màu mt n ca nhnglinh hn xung quanh. Và th là tt c cùng bt đu trò phngđoán. Cùng mt lúc các linh hn phi nói lên màu mt n ca mình. Ch cn duy nht mt k đoán đúng thì tt c đưc tha,

     bng không tt c nhng linh hn đó mãi mãi phi tr thànhnô l cho qu d.

    Mt năm n, có mt nhóm linh hn thông minh, trưc khi tròchơi bt đu, h đã nói vi nhau. . .

     Và ri nhng linh hn đã thng.

    Chin thut ca h là gì? Bn đoán đưc không?

    2.4. Bài toán đi nón s 4: Th thách 3 chic nónĐây là mt phiên bn rt ni ting ca nhóm bài toán này.

    đây chúng tôi gii thiu vi đc gi phiên bn trên thi báo New  York ngày 10 tháng 4 năm 2001: Có   3 ngưi tham gia mt tròchơi, trong đó mi ngưi đưc đi ngu nhiên mt nón có màuđ hoc xanh dương. H nhìn thy màu nón ca   2  bn mìnhnhưng không bit màu ca mình. Mi ngưi cn phi đoán ra màu nón ca mình, hoc chn b qua nu không đoán đưc.

    Nu ít nht mt ngưi đoán đúng màu nón và nhng ngưi cònli không đoán sai, h thng trò chơi. H s thua nu có ngưi

    35

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    36/154

    đoán sai hoc c   3  cùng chn b qua. H đưc trao đi chinthut vi nhau trưc khi chơi nhưng trong khi tham gia thì

    không đưc trao đi bt c thông tin gì. Tìm chin thut có xácsut thng cao nht.

    2.5. Bài toán đi nón s 5: Bài ca ca 15 gã sayBài toán s 5 là mt trưng hp tng quát ca bài toán s 4 vimt d bn như sau: Quanh mt chic hòm cưp bin, có mưilăm gã say rưu đi nón ngi cưi. Mt gã va cưi va hát vmàu nón ca nhng k k bên. Bài hát như sau:

     Trng và đen hay im lng

    Này nhng gã say 

    Hoc nói hoc câm lng

    Ngoài bin khơi kho báu qu đang ch.

     Truyn thuyt nói đó là mt bài hát và cũng là mt câu đ. Mingưi ch thy nón ca   14 ngưi khác và không thy nón ca mình và có ba la chn đ nói lên màu nón ca mình, trnghoc đen, hoc b qua. Ch cn tt c các gã nói trúng màunón ca mình thì chic hòm cưp bin s m ra.

    Hãy tìm chin thut tt nht cho mưi lăm tên say.

    36

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    37/154

    2.6. Bài toán đi nón s 6: Ngưi dn trò chơi

    “Xo quyt” bài toán này, chúng tôi mi đc gi cùng quay li bài toánđi nón s 4. Vi bài toán này, nu mt ngưi chn ngu nhiênmàu nón bt kỳ và  2  ngưi còn li chn b qua, h s thng vi

     xác sut   12

    . Tuy nhiên, lun án ca Ebert đã trình bày mt ligii tt hơn, trong đó nu mt ngưi thy   2 bn mình đi nónkhác màu nhau, s chn b qua và nu   2  bn đi cùng màunón, ngưi này s chn màu còn li. Vi chin thut này, xácsut thng trò là   3

    4.

    Li gii trên đã khi ngun cho bài toán đi nón s 5: sau nhiuln chơi đi chơi li, ngưi dn trò láu cá hơn và thy rng ngưichơi s thua nu c  3 đi nón cùng màu, do vy ngưi dn tròchn cách đi nón không tht s ngu nhiên na. Liu rngcó chin thut nào đ ngưi chơi vn gi đưc kh năng chinthng là   3

    4 trong tình hung này?

    C   6 bài toán đi nón đưc gii thiu trên đu có cùng điukin là mi ngưi chơi đu thy đưc màu nón ca tt c nhngngưi chơi khác, do vy, nhóm bài toán này còn hay đưc phát 

     biu dưi dng ngưi chơi xp thành vòng tròn. Bài toán hin

     vn còn đưc phát trin và các li gii đp hin ch xut hin các trưng hp đc bit, ví d trưng hp bài toán đi nón s 5.Các trưng hp tng quát vi  n ngưi chơi và  m  màu nón hinch dng mc xác đnh chn trên ca kh năng chin thng.

     Tip theo đây là ba bài toán đi nón mà đó, ngưi chơi chđưc thy nón ca mt s ngưi khác, thông thưng là nhngngưi đng trưc mình khi xp thành hàng.

    2.7. Bài toán đi nón s 7: Bài toán 100 ngưiBài toán này vi trưng hp  2 màu và  3 màu ln đu tiên đưcđưa ra bi Konstantin Knop kỳ thi Olympic toán toàn quc Nga ln th 23, năm 1997. Phát biu ca bài toán như sau:

    Có   100   ngưi đưc xp thành mt hàng, mi ngưi đưc đimt nón có màu trng hoc đen. Mi ngưi ch nhìn thy màunón ca nhng ngưi đng trưc mình mà không thy nón ca mình và nhng ngưi đng sau. Ln lưt mi ngưi s phi

    37

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    38/154

    đoán màu nón ca mình và hô to cho nhng ngưi khác nghe.Ngưi đng cui cùng (là ngưi thy màu nón ca toàn b   99

    ngưi trưc) là ngưi bt đu phi đoán.

    Ngưi chơi không đưc trao đi bt kỳ thông tin gì vi nhaungoi tr lng nghe màu nón t ngưi đoán trưc. Đúng saicũng ch đưc bit khi ngưi cui cùng đã đoán xong. Hãy tìmchin chut sao cho s ngưi đoán sai là ít nht.

    Hãy gii bài toán vi trưng hp  100 ngưi chơi, 3 màu nón. Liucó th tng quát lên vi N ngưi chơi và  M < N màu nón?

    2.8. Bài toán đi nón s 8: Vào cng thiên đàngmi thiên thn đu phi cài hoa!

     Tương t vi bài toán đi nón s 6, nhưng bài toán này có mt tích chuyn khá thú v vi mưi thiên thn xp hàng vào cngthiên đàng. Mi thiên thn đu cài trên tóc mt đoá hoa trnghoc đ và ch nhng thiên thn đng sau mi nhìn thy màuhoa trên tóc nhng thiên thn đng trưc. Đ th thách lòngnhn nhn và tính đoàn kt ca các thiên thn, nhà Tri ra lnhcho h ln lưt đoán màu hoa trên tóc ca mình theo th tt sau ra trưc. Tuy nhiên các thiên thn vn có quyn khôngđoán mà chn b qua. Tt c s đưc vào cng thiên đàn nukhông có ai đoán sai và ít nht mt thiên thn đoán đúng. Trongquá trình đoán màu các thiên thn không đưc trao đi bt cthông tin gì vi nhau. Nhng thiên thn này đã qua cng nhà 

     Tri bng phương thc nào?

    38

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    39/154

    2.9. Bài toán đi nón s 9: Bài toán 101 màu

    16 năm sau khi bài toán đi nón vi   100 ngưi và   2  màu nón(bài toán đi nón s 7) ra đi, Konstantin Knop li làm mi bàitoán vi  101 màu, phát biu như sau:

    Có 100 ngưi xp thành hàng, mi ngưi đưc đi mt nón trongs  101 nón khác màu nhau. Mi ngưi ch thy nón ca nhngngưi đng trưc mình và không thy nón ca mình cũng nhưnhng ngưi đng sau. Ln lưt mi ngưi t sau ra trưc phiđoán màu nón ca mình và hô to cho mi ngưi cùng nghe.Màu nào đã hô ri s không đưc hô li na. Ngưi chơi không

    đưc trao đi thông tin vi nhau. Tìm chin thut sao cho kh năng tt c đu đoán đúng là cao nht.

     Trong 9 bài toán đi nón trưc, ngưi chơi đu tham gia vi vaitrò h tr cho nhau. Tip theo, dưi đây chúng tôi xin gii thiumt dng khác ca bài toán, mà đó ngưi chơi s phi cnhtranh vi nhau.

    2.10. Bài toán đi nón s 10: Kho báu nhà vua Bài toán đưc ghi nhn t rt sm bi Martin Gardner vào năm1961. Mt d bn ca bài toán đưc thut li như sau: Ba ngưiđào m đưc thn cht bt mt dn vào vào mt hm m ti.

     Trên đu mi ngưi đưc qun mt băng đ hoc băng đen.

    Cui đưng hm là kho báu ca nhà vua.

    39

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    40/154

     Thn cht cho phép ba tên trm m m mt ra. Khi m mt  bn chúng ch thy đưc màu khăn ca hai đng bn và không

    thy màu ca mình. Thn cht nói k nào đoán đúng sm nht màu khăn ca mình s giành đưc kho tàng. Bng không s bgit. Lut chơi ca thn cht còn quy đnh nu có k nào thy khăn bt đu ca hai tên đng bn có màu đen thì phi giơ tay lên. Theo bn có tên trm m nào có th ly đưc kho báu ca nhà vua không?

    2.11. Bài toán đi nón s 11: Qua i t thnCó  20 t tù đưc nhn mt cơ hi đ cùng sng sót như sau:  20

    ngưi này đưc xp thành vòng tròn, b che mt và mi ngưiđưc đi nón trng hoc đen. T tù ch đưc bit có ít nht mt nón đen trong s  20 nón đã đưc đi. Sau khi m mt, mingưi thy đưc màu nón ca  19 ngưi còn li. Sau mi phút,nu có ngưi nghim ra đưc màu nón ca mình thì ngưi này s đưc phép đoán. Nu sau   20  phút, nu không ai đoán ra,toàn b s b x t. Nu như trong  20 phút có ngưi đoán sai,h cũng b x t. H ch đưc t do nu như trong 20 phút phicó ngưi đoán, và tt c các ngưi đoán đu phi đoán đúng.Hãy tìm chin thut sao cho tt c đu sng sót.

    hai bài toán đi nón tip theo, chúng tôi gii thiu các trưnghp m rng mà đó s lưng hoc ngưi chơi, hoc s nónđưc nâng lên vô hn (đm đưc).

    2.12. Bài toán đi nón s 12: Vô hn ngưi chơiCó vô hn (đm đưc) ngưi chơi xp thành mt hàng, trong đómi ngưi đưc đi mt nón có màu trng hoc đen và ngưiđng sau thy đưc toàn b nón ca nhng ngưi đng trưc.Ln lưt mi ngưi t sau ra trưc s nói lên màu nón ca mình. Hãy tìm chin thut đ s ngưi đoán đúng là cao nht.Lưu ý, đ có li gii cho bài toán này, đc gi cn phi s dngtiên đ chn.

    2.13. Bài toán đi nón s 13: Vô hn nónBài toán này đưc đ ra bi Lionel Levine (đi hc Cornell) vàonăm 2011 như sau: Bn ngưi cùng tham gia mt trò chơi đoán

    40

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    41/154

    nón như sau: Ngưi dn trò s đi vô hn các nón có màu trnghoc đen lên đu mi ngưi vi xác sut nón trng và đen là 

    như nhau và bng   12 . Các nón ca mi ngưi đưc đánh s lnlưt  1, 2, .. .   Mi ngưi chơi ch thy đưc toàn b nón ca   3ngưi khác nhưng nón ca mình thì h không thy.

    Mi ngưi s đưc phát mt t giy và h đưc phép ghi vào đómt con s, ng vi ch s ca nón ca h mà h đoán là màuđen. Sau khi nhn đ tr li, ngưi dn trò s kim tra s đưcghi trên giy ca mi ngưi.

    Nu c  4 ngưi cùng đoán đúng (tc là  4 ngưi đu ghi đưc cons ng vi nón màu đen ca mình), h thng trò chơi, ngưc li,ch cn mt ngưi đoán không đúng, h thua. Bn ngưi đưctho lun trưc chin thut trưc khi chơi và không có bt kỳ 

    trao đi nào sau đó. H cũng không bit đưc thi đim mà nhng ngưi khác đưa giy cho ngưi dn trò. Hãy tìm chinthut đ xác sut thng là cao nht.

     Ví d: h đu ghi s 2015 vào các mnh giy. Khi đó, cơ hi chinthng s là   1

    16 vì xác sut nón th  2015 ca mi ngưi là   1

    2.

     Tng quát hóa cho N  ngưi liu cách gii có khác?

    Nhng bài toán đi nón khác:  Trong nhng bài trưc, tt c đu liên quan đn vic đoán màu ca nón, trong nhóm bài cuicùng này chúng tôi gii thiu vi đc gi mt vài dng khác ca 

     bài toán đi nón.

    2.14. Bài toán đi nón s 14: Bài toán 3 chic nónBa ngưi chơi, mi ngưi đưc đi mi chic nón, trên mi chicnón có ghi mt s nguyên dương. Mi ngưi ch thy  2 s ca  2ngưi chơi khác mà không bit s ca mình. H đưc cho bit 

    41

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    42/154

    là   1   trong   3  s là tng ca   2  s còn li. Ln lưt tng ngưi,hoc đoán ra con s ca mình, hoc chn b qua. Sau đây là 

    đon đoán s ca h:

    •  Ngưi 1: b qua.

    •  Ngưi 2: b qua.

    •  Ngưi 3: b qua.

    •  Ngưi 1: b qua.

    •  Ngưi 2: b qua.•  Ngưi 3: b qua.

    •  Ngưi 1: b qua.

    •  Ngưi 2: b qua.

    •  Ngưi 3: s ca tôi là  60.

    Hi rng con s trên  2 nón còn li có th là bao nhiêu?

    2.15. Bài toán đi nón s 15: Xp hàngCó  10 ngưi tham gia trò chơi như sau: mi ngưi s đưc đimt chic nón, trên đó có mt con s nguyên dương. Ngưi chơikhông đưc cho bit gii hn ca các s, h ch bit   10 s này phân bit vi nhau. Mi ngưi không bit s ca mình nhưngthy đưc s ca  9 ngưi còn li. Sau khi quan sát xong các sca nhng ngưi khác, mi ngưi s phi chn nón ca mình

    là màu trng hoc đen. Vic chn màu này cũng không đưccho các ngưi chơi khác bit.

    Sau khi chn xong màu nón, nhng ngưi chơi s đưc vxpthành mt hàng, theo th t tăng dn ca giá tr con s trênnón. Nu như h có th xp thành mt hàng trng/đen xen knhau, h chin thng trò chơi, ngưc li h tht bi. Hãy tìmchin thut đ xác sut chin thng là cao nht.

    42

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    43/154

    3. Li ktBài toán đi nón th 15 trên cũng đã kt thúc chuyên mckỳ này. Chúng tôi hi vng rng sau cuc du ngon xuyên sut hơn na th k phát trin ca nhng bài toán đi nón, tp chíca chúng tôi đã có th gii thiu đưc vi đc gi v đp và shp dn ca nhóm bài toán này. Bn thân mi bài toán đi nónthưng là nhng th thách toán hc hàng tun, nên đ tránhlàm mt đi cm xúc ca nhng đc gi mong mun th sc,chúng tôi ch chn đăng gi ý hoc đáp án vn tt ca mi bài

     và s trình bày li gii chi tit vào nhng s tip theo.

    Chúng tôi tin rng vi phn li gii, đc gi s đưc tip tcchuyn hành trình kỳ thú cùng nhng ng dng thc t tnhóm bài toán gii trí này. Chúng tôi cũng rt hoan nghênhmi đóng góp ca quý v đc gi v li gii cũng như nhngphiên bn khác ca nhóm bài toán đi nón.

    Đ thêm phn thú v cho mt s bài toán, chúng tôi đã đt liphn ln tình tit đ bài nhưng vn gi nguyên bn cht toánhc. Đ tin tra cu và tham kho, đc gi có th truy tìm lingun gc ca tng bài thông qua nhng tài liu sau:

    1)  A Dozen Hat Problems:   Cho các bài 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11.

    2)  Colored Hats and Logic Puzzles:  Cho các bài 1, 2, 3, 4, 5,6, 8, 10 và 11.

    3)  A Line of Sages:  Cho các bài 7 và 9.

    4)  An introduction to infinite hat problems: Cho bài 12, 13.

    5)  Problem of the week 1179 : Cho bài 13.

    6)  The Three-Hat Problem: Cho bài 14.

    7)  Another black and white hats puzzle:  Cho bài 15.

    43

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    44/154

    4. Gi ý li gii

    Bài 1.  Ngưi   1  chn màu ngưc li vi màu nón ca ngưi   2;Ngưi 2 chn màu ca ngưi  1.

    Bài 2. Ghép thành tng cp và áp dng bài 1.

    Bài 3. Gán s các màu t  0 đn  9 và tng linh hn t  0 đn  9.Khi đó linh hn th  k  s đoán màu sao cho màu đó và tng   9màu khác bng k  (mod  10).

    Bài 4. Đáp án phát biu t bài 6.

    Bài 5. Da trên t tưng t bài 3, liên kt vi mã Hamming.Bài 6. Có  8  trưng hp cho  3 ngưi vi 2 màu nón, khi đó chinthut hin ti s tht bi  2 trưng hp các nón cùng màu Đ-Đ-Đ hoc Xanh-Xanh-Xanh và thành công   6   trưng hpcòn li. Liu có chin thut luôn tht bi cp trưng hp

     Xanh-Đ-Đ và Đ-Xanh-Xanh nhưng thành công   6   trưnghp còn li? Vi  2 cp còn li (Xanh-Đ-Xanh, Đ-Xanh-Đ) và (Xanh-Xanh-Đ, Đ-Đ-Xanh), liu có chin thut tương ng?Khi đó, nu ta ngu nhiên chn chin thut xut phát thì vicchn giá tr ban đu không ngu nhiên s gp tht bi. Xácsut thành công đưc bo toàn là  75%.

    Bài 7. Cho trưng hp  2 màu: ngưi cui s nói màu đen nus nón đen anh ta thy là s l và nói trng nu s nón đen là chn. Nhng ngưi khác, căn c vào đó s đoán đưc.

     Vi trưng hp   M < N  màu, ngưi cui s chn màu là tng(mod N) nhng màu anh ta quan sát đưc.

    Bài 8. Vi la chn b qua, kh năng thng lên đn   10231024

    . Ch saikhi tt c nón đu cùng màu trng (hoc đen).

    Bài 9. S dng t hp thay vì modulo. Chúng tôi s phân tích b ba bài 7, 8 và 9 này trong nhng s tip theo.

    Bài 10. Nu tt c đu nón trng, s không có tên nào giơ tay, và bn chúng s suy ra đưc nón mình màu trng.

    Nu ch có mt nón đen, c hai tên đi nón trng s cùng lúc bit nón mình màu trng vì tên còn li không giơ tay.

    44

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    45/154

    Nu có hai nón đen, c ba tên s cùng giơ tay. Lúc này, nhngtên đi nón đen s cùng bit mình đi nón đen, vì chúng s suy 

    lun: “nu nón mình màu trng, thì tên đi nón đen kia khôngth giơ tay”.

     Tình hung không th đoán đưc ngay lp tc là khi c  3 đuđi nón đen. Nhưng sau s chn ch ca c   3,  c   3  s cùngđoán đưc tt c đu đi nón đen.

    Bài 11.  Nu mt ngưi thy   k  nón trng, anh ta s đoán nónmình màu đen phút th   (20 −  k ).  Sau khi đã có ngưi đoánthì không ai đoán na.

    Bài 12, 13. Chúng tôi s phân tích chi tit vào các s tip theo.

    Bài 14. Các đáp án có th có là:

    [25, 35, 60 ],   [35, 25, 60 ],   [42, 18, 60 ],   [18, 42, 60 ]

    [10, 50, 60 ],   [50, 10, 60 ],   [44, 16, 60 ],   [16, 44, 60 ].

    Bài 15. Tn ti chin thut luôn luôn thng. Hãy th vi nhngtrưng hp nh.

    45

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    46/154

    d

    46

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    47/154

     V BÀI HÌNH HC THI VMO 2015 Trn Quang Hùng (Trưng THPT Chuyên KHTN, ĐHQG Hà Ni )

     Tóm ttBài vit s xoay quanh khai thác bài hình hc thi quc gia 

     Vit Nam ngày đu tiên.

    Kỳ thi hc sinh gii quc gia Vit Nam năm 2015 có bài toánhình hc như sau:

    Bài toán 1.  Cho đưng tròn   (O)  và hai đim   B,  C  c đnh trên (O)  vi   BC  không là đưng kính. Mt đim   A  thay đi trên   (O)sao cho tam giác  ABC nhn. Gi  E,  F ln lưt là chân đưng cao k t  B,  C ca tam giác  ABC. (I) là đưng tròn thay đi đi qua các đim  E,  F và có tâm là  I.

    a)  Gi s  (I) tip xúc  BC  ti  D. Chng minh rng DBDC

      =  cotBcotC

    .

     b)  Gi s  (I) ct cnh  BC  ti  M,  N. Gi  H là trc tâm tam giác ABC và  P,  Q là giao đim ca  (I) vi đưng tròn ngoi tip tam giác   HBC. Đưng tròn   (K)  đi qua   P,  Q  tip xúc   (O)  ti T  vi  T ,  A cùng phía  BC. Chng minh rng phân giác trong ca góc ∠MT N luôn đi qua đim c đnh.

    Nhn xét. Đây là bài toán v trí s 4 là bài đưc đánh giá là khó. Hai ý ca bài toán không liên quan nhiu ti nhau, chúngtôi s gii và phân tích tng ý. Vi ý b) ca bài toán thc cht các yu t v trc tâm và chân đưng cao là không cn thit.

    Chúng tôi xin đưa ra mt bài toán tng quát hơn và thc ra vmt cu hình s đơn gin hơn đng thi phát biu li cho thy  ý nghĩa thc ca nó.

    Bài toán 2.  Cho  BC là dây cung ca đưng tròn  (O). Đưng tròn (K)  bt kỳ qua   B,  C.   P,  Q  là hai đim thuc   (K)  và trong   (O).Đưng tròn   (L)  qua   P,  Q   tip xúc trong   (O)   ti   A   sao cho   A,  Kkhác phía  BC. Đưng tròn   (S)  qua  P,  Q  ct  BC ti  M,  N. Chng minh rng ∠BAM = ∠CAN.

    47

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    48/154

    Li gii.  Theo tính cht tâm đng phương d thy tip tuynchung ti  A ca  (O) và  (L), PQ và  BC  đng quy ti  T .

    O

     B

    P  Q

     L

     A

    T    M N 

     T đó d có  T A2 = T P.T Q = T M.T N. T đó d suy ra đưng trònngoi tip tam giác  AMN  cũng tip xúc  (O). T đây, ta d dàngsuy ra  ∠BAM = ∠CAN (điu phi chng minh).

    Nhn xét.  Bài toán là áp dng trc tip ca các tính cht v

    phương tích và trc đng phương. Bài toán có th thay th điukin tip xúc thành ct nhau như sau

    Bài toán 3.  Cho  XY  là dây cung ca đưng tròn  (O). Đưng tròn (K) bt kỳ qua  X,  Y . Đưng tròn  (L) ct  (O) ti  Z,  T  và ct  (K) ti P, Q. Đưng tròn  (S) qua  P,  Q ct  BC ti  M,  N. Chng minh rng 

    ∠XZM = ∠YT N.

    48

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    49/154

    Li gii.  Ta cũng d thy  XY ,  ZT ,  PQ  đng quy ti  R. Suy ra 

    RM · RN =  RP · RQ =  RZ · RT .

    O

     X    Y 

    P  Q

     L

     R

     Z 

     M N 

    Kt qu này chng t t giác  ZTMN ni tip. T đó, ta có

    ∠XZM = ∠RZM − ∠RZZ = ∠T NM − ∠T YM  = ∠YT N.

     Ta có điu phi chng minh.

    Nhn xét. Bài toán m rng tip theo này xem ra còn đơn ginhơn c trưng hp tip xúc. Thc ra điu chúng tôi mun nói nhng bài toán sau này là khi tng quát bài toán thì đó cũnglà mt cách hay cho chúng ta tìm ra li gii đơn gin hơn là cáctrưng hp riêng. Khi nhìn qua cái nhìn tng quát b bt cácd kin không cn thit bài toán tr nên không khó na. Ta cóth vit li bài toán theo cách khác mang tính đi xng hơn:

    49

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    50/154

    Bài toán 4.   Cho đưng tròn   (K)  và   (L)  ct nhau ti   A,  B. Mt đưng tròn bt kỳ ct  (K) ti  M,  N ct   (L) ti  P,  Q và ct  AB ti S,  T . Mt đưng tròn qua  M,  N ct  (L) ti  E,  F. Mt đưng tròn qua P,  Q ct  (K) ti  G,  H.

    a)  Chng minh rng  E,  F,  G,  H cùng thuc mt đưng tròn.

     b)  Chng minh rng ∠SEA = ∠T FB và ∠SGA = ∠T HB.

    c)  Gi s  G,  E,  M,  P,  S,  A cùng phía vi  KL. Chng minh rng ∠HBF + ∠GAE = ∠HT F + ∠GSE.

    K    L

     M 

     N 

     E 

     A

     B

    P

    Q

    G

     H 

    Li gii đơn gin ch áp dng bài tp trên. Chúng tôi nhn thy  bài toán này ý nghĩa nm nhiu câu a). Tuy rng theo đánhgiá thì ý a) là ý dùng đ g đim nhưng thc ra n sau nó cónhiu yu t thú v. Chúng ta thy là vic phát biu kt lun

     bng mt biu thc lưng giác không đp. Ta hoàn toàn có th

    thay th biu thc lưng giác

      cotB

    cotC   =

      KB

    KC   vi   AK  đưng cao tA, như vy ta cn chng minh   DB2

    DC2  =   KB

    KC. Đn đây ta có th đ

     xut bài tng quát hơn như sau:

    Bài toán 5.  Cho tam giác  ABC. Mt đưng tròn  (K) qua  B,  C  ct CA,  AB ti  E,  F. BE  ct  CF  ti  H. AH  ct  BC  ti  D. Mt đưng tròn qua  E,  F tip xúc đon  BC  ti  T . Chng minh rng 

    T B2

    T C2  =

      DB

    DC.

    50

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    51/154

    Li gii 1.  Gi đưng tròn ngoi tip tam giác  DEF ct  CA,  ABti  M,  N  khác  E, F.

     A

     B C 

     E 

     N    M 

     H 

     D

     Ta có  ∠EMN = ∠EFN = ∠ECB, suy ra  MN  BC. T đó:

    T B2

    T C2  =

      BF · BNCE · CM

      =  BF

    CE ·  AN

    AM =

      BF

    CE · AE

    AF  =

      DB

    DC.

     Ta có điu phi chng minh.

     A

     B   C 

     E 

     H 

    G   T S    D

    51

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    52/154

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    53/154

    Li gii.  Các ý a) và b) đã có các bài trên, ta tp trung chngminh ý c) là ý thú v nht ca bài toán này. Theo tính cht tip

    tuyn d thy  EF ct  BC ti  G là trung đim X1X2. Gi M là trungđim  BC chú ý  E,  F,  D,  M cùng nm trên đưng tròn Euler ca tam giác  ABC nên ta có  GX21  =  GX

    22  = GE · GF =  GD · GM. T đó

    hàng  (X1X2,  DM) = −1. Ta cũng có hàng  (BC,  DG) = −1. Suy ra 

    DH · DA =  DB · DC =  DG · DM =  DX1 · DX2.

     A

     B   C 

     H 

     D

     E 

     Z 2

     X 2

      X 1

     Z 1

    P

    Q

     M 

    G

     T đó  H là trc tâm tam giác  AX1X2 nên  X2H vuông góc  AX1 tiK. Gi  Q  là hình chiu ca  X2 lên  PH, t kt qu trên, ta có

    HP · HQ =  HK · HX2  = HD · HA =  HB · HE =  HC · HF =  k . T đây, bng cách chng minh tương t, ta có hình chiu ca Y 2,  Z2 lên  PH cũng là  Q. Như vy  PH vuông góc  d  ti  Q.

    53

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    54/154

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    55/154

     A

     B   C 

     E 

     H 

    G   T  D

     L

    Như th, ta có  (BC,  DG) = −1 mà  AD,  BE,  CF đng quy nên suy ra  EF đi qua  G. T đó  GE · GF  =  GS2 =  GB · GC suy ra  E,  F,  B,  Cthuc mt đưng tròn. Ta có điu phi chng minh.

     T bài toán tng quát trên, ta li có th tng quát bài toán đngquy hơn na như sau:

    Bài toán 10.  Cho tam giác  ABC các đim  K,  L,  N ln lưt thuc trung trc  BC,  CA,  AB sao cho  AK,  BL,  CN đng quy. Đưng tròn (K) qua  B,  C ct đon  CA,  AB ti  Ab,  Ac. Đưng tròn qua  Ab,  Actip xúc cnh   BC  ti   Aa. Tương t có   Bb,  Cc. Chng minh rng AAa,  BBb,  CCc đng quy.

    Nu thay các yu t tip xúc thành ct nhau, ta cũng có mt s bài toán tương t, các bn hãy làm như các bài luyn tp:

    Bài toán 11.   Cho tam giác   ABC   có   E,  F   ln lưt thuc đon CA,  AB.   BE  ct   CF   ti   H.   AH  ct   BC   ti   D.   S   là mt đim trên đon  BC. Đưng tròn ngoi tip tam giác  SEF ct  BC ti  T  khác  S.Chng minh rng   BS·BT CS·CT   =

      DBDC khi và ch khi  B,  C,  E, F cùng thuc 

    mt đưng tròn.

    55

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    56/154

    Bài toán 12.  Cho tam giác  ABC nhn có đưng cao  AD,  BE,  CFđng quy ti  H. Các đim  X,  Y ,  Z  thuc đon  BC,  CA,  AB  sao cho AX,  BY ,  CZ đng quy. Đưng tròn ngoi tip tam giác  XEF  ct  BCti  U  khác  X. Tương t có các đim  V ,  W . Chng minh rng:

    a)   AU,  BV ,  CW  đng quy ti  P.

     b)   YZ,  ZX,  XY  ln lưt ct  BC,  CA,  AB theo ba đim thuc mt đưng thng vuông góc vi  PH.

     Tài liu tham kho[1] Đ thi VMO năm 2015.

    [2] Các bài vit ca Buratinogigle:

    artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=620287

    56

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    57/154

     V BÀI BT ĐNG THC TRONG Đ THI VMO 2015

     Võ Quc Bá Cn (Hà Ni )

     Tóm tt

     Trong kỳ thi chn hc sinh gii Quc gia môn Toán năm2015, đ thi ngày th nht có bài toán bt đng thc sau:

    Bài toán 1.  Cho  a,  b,  c 0. Chng minh rng 

    3(a2 + b2 + c2) P (a + b + c)2,

    vi P = (a+b+c)√ 

    ab+√ 

    bc+√ 

    ca

    +(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2.

    Bài vit này chúng tôi trình bày các ý kin ca mình v bàitoán cũng như nêu ra các hưng tip cn khác nhau đ điđn li gii. Bên cnh các phân tích bình lun, chúng tôi

    cũng s đ xut mt s bài toán vi ý tưng tương t chotng hưng tip cn đ bn đc có th t rèn luyn thêm.

    cui bài vit, chúng tôi s gii thiu ngun gc, phát  biu và gii bài toán tng quát ca bài VMO nói trên.

    1. Nhn xét chung Vi ý kin ch quan ca mình, chúng tôi cho rng đây là mt  bài toán khá hp lý tương xng vi v trí ca nó trong đ thi.

     Trong thi gian 180 phút, các thí sinh phi làm 4 bài toán vicác th loi: Gii tích, Đi s, T hp và Hình hc .

    S lưng câu hi khá nhiu nhưng thi gian làm bài li hnch, th nên các bài toán đu tiên không th ra quá khó vì nhưth s to áp lc cho thí sinh.

    Bài toán này mc đ trung bình, không d cũng không khó.Hình thc phát biu cũng gn gàng, đơn gin ch không cng

    57

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    58/154

    knh phc tp so vi đ VMO năm 2014. Ngoài ra, bài toán này cũng có khá nhiu hưng đ tip cn ch không mo mc phc

    tp như đ thi năm ngoái. Chính vì th, vic chn nó làm bàis 2 là khá phù hp.

     Tuy nhiên, điu đó không có nghĩa là bài toán này thc s tt. Ý tưng ca nó không mi nu không mun nói là đã khá quenthuc vi các em hc sinh. Vì vy, do quen dng nên nhiu em“trúng t” có th nhìn vào ngay và gii mà không cn phi nghĩ suy nhiu. Rõ ràng điu này s khin cho vic đánh giá cht lưng cũng như kt qu s không đưc khách quan. S tht tuyt nu đ thi là nhng bài toán vi ý tưng mi m nhưng

    li nh nhàng, tinh t và không mo mc. Mong rng các đ VMO sp ti s đáp ng đưc điu này.

    2. Các hưng tip cn cho bài toán V trái ca bt đng thc khá đơn gin. Dng phát biu ca nó vi tng các bình phương gi cho ta nghĩ đn đng nht thc Lagrange – mt hng đng thc quen thuc đưc dùng đchng minh bt đng thc Cauchy-Schwarz:

      ni=1

    a2i   n

    i=1

    b2i

    −   n

    i=1

    aibi2

    = 1i

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    59/154

    Ngoài ra, ta cũng thy rng ch khó ca bài toán chính là cáccăn thc. Nu ta có th phá đưc du căn đưa bt đng thc

     v dng đơn gin hơn thì chc chn bài toán cũng s tr nênsáng sa hơn. Đn đây, có hai ý tưng chính như sau:

    1.  Đt n ph đ kh căn:  Đây là mt hưng đi khá t nhiên vì các căn thc đây cũng đơn gin, các biu thc dưidu căn ch có dng bc mt. Do đó, ch cn mt ln đt n ph  x  =

     √ a,  y  =

    √ b,  z  =

     √ c là ta có th kh đưc ht 

    các căn thc và đưa v xét mt bt đng thc thun nht  bc 4 đi vi x,  y,  z . Bc ca bt đng thc mi cũng khôngquá cao nên đây là hưng đi hoàn toàn kh thi.

    2.  S dng đánh giá đ kh căn:  Đây là ý tưng thưng thy khi x lý các bài toán có căn. Vn đ đưc đt ra đây là ta phi la chn đánh giá đ cht sao cho các điu kindu bng phi đưc đm bo.

    Các hưng tip cn đưc trình bày dưi đây hu ht đu sdng hai ý tưng trên làm tư tưng ch đo:

    2.1. Hưng 1: Khai trin trc tip

    Đây có l là hưng đi t nhiên nht cho bài toán này. Ta ch vic đt   x   = √ a,  y   = √ b,  z   = √ c  ri nhân tung ht ra. Khi đó, bt đng thc cn chng minh có th đưc vit li dưi dng:

    x4 + xyz 

    x +

    xy(x2 + y2) 4

    x2 y2.   (1)

    Đn đây, nu bn nào có tìm hiu s nghĩ ngay đn bt đngthc Schur bc  4:

    x2(x − y)(x − z ) + y2( y − z )( y − x) + z 2(z − x)(z − y) 0.

    Dng khai trin ca nó chính là:x4 + xyz 

    x

    xy(x2 + y2).   (2)

    S tương đng gia hai bt đng thc (1) và (2) gi cho ta nghĩ đn vic dùng (2) đ đánh giá cho (1). Ngoài ra, (2) cũng có du

     bng ti  x  = y  =  z  và  x  = y,  z  = 0 (cùng các hoán v) tương ng vi trưng hp đng thc ca (1). Do đó, đây s là mt đánh giá 

    59

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    60/154

    khá n và ta có th yên tâm v đ an toàn ca nó. Tht vy, saukhi đánh giá, ta ch cn xét bt đng thc:

    2

    xy(x2 + y2) 4

    x2 y2 ⇔ xy(x2 + y2) 2 x2 y2 và nó ch là mt h qu trc tip ca bt đng thc AM-GM:

    xy(x2 + y2)

    (xy · 2xy) = 2

    x2 y2.

    Li bình. Đt n ph là mt trong nhng k năng cơ bn cncó trong bt đng thc. Nhiu bài toán có hình thc cng knhphc tp, tuy nhiên sau nhng bưc đt n ph đơn gin, ta có th đưa bài toán tr v dng mi mà đó nhiu ý tưng (mà 

    trong đó cũng có th là gc ca bài toán) s đưc phơi bày ra.Có nhiu kiu đt n ph, trong đó có ba kiu sau rt thôngdng: Đt n ph đ làm đơn gin hình thc bài toán, đt nph đ thun nht hóa hoc đi xng hóa, và đt n ph lưnggiác da vào du hiu t điu kin gi thit.

    Dưi đây là mt s ví d:

    Bài toán 2.  Cho  x,  y,  z  là các s thc dương. Chng minh rng 

     (x + y)(x + z ) x + y + z + 3(xy + yz + zx).Li gii.   Đt  a  = √  y + z ,  b  = √ z + x và  c  = √ x + y. Khi đó, ta dthy  a,  b,  c là ba cnh ca mt tam giác và:

    x = b2 + c2 − a2

    2  ,   y =

     c2 + a2 − b2

    2  ,   z  =

     a2 + b2 − c2

    2  .

     Thay vào, ta vit đưc bt đng thc dưi dng:

    2

    ab −

    a2

     3

    2

    a2b2 −

    a4

    ,

    hay 2

    ab −

    a2  

    3(a + b + c)(b + c − a)(c + a − b)(a + b − c).

    Đn đây, ta li đt  a  =  n+ p,  b =  p+m  và  c  =  m +n vi m ,  n,  p > 0.Bt đng thc đưc vit li thành:

    mn + np + pm  

    3mnp(m + n + p).

    Mt kt qu đã quá quen thuc.

    60

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    61/154

    Bài toán 3 (IMO, 2001).  Cho  a,  b,  c > 0.  Chng minh rng 

    a√ a2 + 8bc

    +   b√ b2 + 8ca

    +   c√ c2 + 8ab

    1.

    Li gii.   Đt   x   =   a√ a2+8bc

    ,  y   =   b√ b2+8ca

      và   z   =   c√ c2+8ab

    .  Khi đó, bng các bin đi đơn gin, ta d thy  0 < x,  y,  z

    ( y + z )

    (2x + y + z )

    .

    Bng cách s dng bt đng thc quen thuc:

    (m + n)(n + p)( p + m ) 8mnp,   ∀m ,  n,  p > 0ln lưt cho các b  (x,  y,  z ) và  (x + y,  y + z ,  z + x), ta có

    (2x + y + z ) 8

    (x + y) 64xyz .

     T đó suy ra 

    ( y + z )(2x + y + z ) 8xyz · 64xyz  =  512x2 y2z 2.

    Mâu thun nhn đưc cho ta kt qu bài toán.

    Bài toán 4. Cho a,  b,  c là các s thc tha mãn điu kin abc =  1.Chng minh rng 

    1

    1 + a + a2 +

      1

    1 + b + b2 +

      1

    1 + c + c2  1.

    61

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    62/154

    Li gii.   Do  abc  =  1  nên ta có th chng minh đưc tn ti cács thc  x,  y,  z  tha mãn  a =   yz

    x2,  b =   zx

    y2  và  c =   xy

    z2 (chng hn, ta 

    có th chn  x  =   13√ a ,  y  =  13√ b

    , z  =   1√ 3c ). Khi đó, bt đng thc cn

    chng minh có th đưc vit li thành:

    x4

    x4 + x2 yz + y2z 2 +

      y4

     y4 + y2zx + z 2x2 +

      z 4

    z 4 + z 2xy + x2 y2  1.

    Đn đây, bng cách s dng bt đng thc Cauchy-Schwarz:

    VT    (x2 + y2 + z 2)2

    (x4 + y4 + z 4) + xyz (x + y + z ) + (x2 y2 + y2z 2 + z 2x2),

    ta đưa đưc bài toán v xét mt kt qu đã quá thuc:x2 y2 + y2z 2 + z 2x2 xyz (x + y + z ).

    Bài toán 5.  Cho  x,  y,  z  là các s thc dương tha mãn điu kin xy + yz + zx + 2xyz  =  1. Gi s  z  =  max {x,  y,  z }, chng minh rng 

    1

    x +

     1

     y +

     1

    z  − 4(x + y + z )

      (2z − 1)2

    z (2z + 1).

    Li gii.  Gi thit  xy + yz + zx+ 2xyz  =  1 có th đưc vit li dưi

    dng  1

    x+1  +  1

    y+1   +  1

    z+1   =   2. T đó, ta d dàng chng minh đưctn ti các s dương  a,  b,  c sao cho:

    x =  a

    b + c,   y =

      b

    c + a,   z  =

      c

    a + b.

    Ngoài ra, do z  =  max {x,  y,  z } nên ta có  c  =  max {a,  b,  c}. Bt đngthc cn chng minh đưc vit li thành:

    b + c

    a  +

     c + a

    b  +

     a + b

    c  − 4

      ab + c

     +  b

    c + a +

      c

    a + b

      (2c − a − b)2

    c(2c + a + b).

    Do   ab  +   ac  −  4ab+c   =

      a(b−c)2

    bc(b+c)  nên bt đng thc tương đương vi:

    a(c − b)2

    bc(b + c) +

     b(c − a)2

    ca(c + a) +

      c(a − b)2

    ab(a + b) 

      (2c − a − b)2

    c(2c + a + b).

     Và ta s chng minh bt đng thc mnh hơn là:

    a(c − b)2

    bc(b + c) +

     b(c − a)2

    ca(c + a) 

      (2c − a − b)2

    c(2c + a + b),

    62

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    63/154

    hay a(c − b)2

    b(b + c)   +

     b(c − a)2

    a(c + a) 

      (2c − a − b)2

    2c + a + b   .

    S dng bt đng thc Cauchy-Schwarz dng cng mu, ta có

    VT  

     ab

    (c − b) + 

    ba

    (c − a)2

    2c + a + b  .

     T đó, bài toán đưc đưa v chng minh a

    b(c − b) +

     b

    a(c − a) 2c − a − b,

    hay   a

    b +

     b

    a − 2

    c + a + b − 2

    √ ab 0.

    Bt đng thc này hin nhiên đúng theo AM-GM.

    Bài toán 6   (Vit Nam TST, 2001).   Cho   x,  y,  z   là các s thc dương tha mãn  2x + 4 y + 7z  =  2xyz . Tìm giá tr nh nht ca:

    P =  x + y + z .

    Li gii.   Đt  x  = √ 7a,  y = √ 72   b,  z  =   2√ 77   c, ta có a + b + c =  abc và:

    P =

    √ 7

    14 (14a + 7b + 4c).

    Do  a,  b,  c > 0  và  a + b + c =  abc nên tn ti  A,  B,  C ∈ 0,   π2

     tha 

    mãn  A + B + C =  π  và  a  =  tanA,  b =  tanB,  c =  tanC, suy ra 

    P =

    √ 7

    14 (14 tanA + 7 tanB + 4 tanC).

    Biu thc P  có dng tng hàm. Điu này gi cho ta nh đn bt đng thc tip tuyn như sau:  Nu hàm s  f(x) kh vi bc hai và li trên khong  (a,  b) thì vi mi  x,  y ∈ (a,  b), ta đu có 

    f(x) f( y) + f ( y) · (x − y).Do hàm s  f(x) = tanx kh vi bc hai và li trên

     0,   π

    2

     nên theo

     bt đng thc trên, vi mi  x,  y ∈ 0,   π2

    , ta có

    tanx tany + (tany)(x − y) = tan y + (tan2 y + 1)(x − y).

    63

  • 8/9/2019 Epsilon No1

    64/154

     Trong bt đng thc trên, ln lưt thay cp s  (x,  y) bi các cp

    A,  arctan   3√ 7, B,  arctan   5√ 7 và  C,  arctan√ 

    7, ta thu đưctanA

      3√ 7

    + 16

    7

    A − arctan

      3√ 7

    ,

    tanB   5√ 

    7+

     32

    7

    B − arctan

      5√ 7

    ,

    tanC √ 

    7 + 8

    C − arctan√ 

    7

    .

     T đó suy ra (chú ý rng arctan   3√ 7

     + arctan   5√ 7

     + arctan√ 

    7 =  π ):

    P √ 714

    15√ 7 + 32

    A − arctan   3√ 

    7− arctan   5√ 

    7− arctan√ 7

    =

    √ 7

    14

    15

    √ 7 + 32(A + B + C − π )

     =

     15

    2 .

    Đng thc xy ra khi và ch khi  x  =  3,  y =   52

    ,  z  =  2.

    Nhn xét. Bt đng thc tip tuyn là mt trong nhng kt qu quan trng ca hàm li. Nó là mu cht đ xây dng nên bt đng thc Karamata, mt công c rt mnh đ x lý các bt 

    đng thc dng tng hàm. Bn đc có th tìm đc thêm v haikt qu thú v này trong bài vit chuyên đ ca chúng tôi  Tài liu Chuyên Toán, Gii tích 12  (Nhà xut bn Giáo Dc, 2011).

    Các s arctan   3√ 7

    ,  arctan   5√ 7

    ,  arctan√ 

    7 đưc s dng trên khôngphi là nhng s ngu nhiên “mò” đưc. Vì yêu cu bài toán là tìm   min  nên ta cn phi đánh giá   P   ln hơn hoc bng mt hng s nào đó. Do đó, khi s dng bt đng thc tip tuynđ đánh giá, ta cn chn các hng s thích hp sao cho h sca  A,  B,  C phi bng nhau đ có th tn dng đưc gi thit A + B + C =  π  và bin đi v