ESTADISTICA

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDERESCUELA DE INGENIERA CIVILESTADSTICA GRUPO O1PRIMER PREVIODiciembre 18 de 2013

Nombre: ___________________________________________________________Cdigo:___________Grupo:___

Favor entregar la presente hoja junto a la hoja de la solucin.

Problema 1. El gerente de una reconocida firma de consultora se encuentra interesado en estudiar el motivo del retraso en cronograma de algunos proyectos, la firma de consultora se encarga de la elaboracin de los estudios tcnicos para la construccin de obras de infraestructura del estado. De la experiencia se sabe que el 25% de las veces el retraso se genera por concepto del equipo tcnico de la arquitectura, mientras que el 45% de las veces el retraso se genera por concepto del equipo tcnico de estructuras, se sabe que el equipo de diseo de redes tiene la responsabilidad en retrasos el doble de las veces del equipo de geotecnia y el equipo de presupuesto 1.5 veces las del equipo de redes. Si se presenta retraso por concepto del equipo de estructuras el 30% de las veces se debe al personal no profesional, para el caso del equipo de presupuesto este porcentaje corresponde al 55% y para el equipo de Geotecnia 50%. El gerente afirma que si hay retraso en cronograma por concepto del personal no profesional la posibilidad que pertenezca al equipo de estructuras es de 27.07%, la posibilidad que pertenezca al equipo de redes es de 18.05%.a) Si hay un retraso en cronograma por concepto del personal profesional, calcule la probabilidad de que pertenezca al equipo de arquitectura.b) Calcule el porcentaje de veces en que un atraso se debe al personal profesional, si se sabe que pertenece al equipo de redes.c) Cul es la probabilidad se presente un atraso por concepto del equipo de presupuesto?

Solucin 1.Teniendo en cuenta la complejidad del enunciado para el desarrollo se utiliza el diagrama de rbol. En las primeras ramas del diagrama de rbol se deber modelar los diferentes equipos tcnicos la segunda rama representara si el personal es profesional o no profesional.

Imagen 1: Diagrama de rbol para la solucin del enunciado 1.

La asignacin de probabilidades se realiza con los datos suministrados por el enunciado, las letras son variables que se pretenden despejar con los datos restantes.

Se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas.

Solucin a.Segn la estructura de la pregunta, se requiere calcular una probabilidad condicional.

Solucin b.Segn la estructura de la pregunta, se requiere calcular una probabilidad condicional.

Solucin c.Segn la estructura de la pregunta, se requiere calcular una probabilidad.

Problema 2.Para la construccin de un puente vehicular en el municipio de Barrancabermeja, el gerente de la obra ha definido un descanso que comienza a las 10:00:00 a.m. y mximo puede durar 20 minutos, los trabajadores tienen la opcin de elegir tomar el descanso o acumular el tiempo para ser redimido en un da cualquiera. Suponga que la variable aleatoria representa el tiempo en minutos que un empleado gasta en el descanso. La funcin de densidad de probabilidad es la que se muestra a continuacin.

El gerente afirma, basado en su amplia experiencia en obra, la posibilidad de que un empleado demore un tiempo inferior de 10 minutos en su descanso es de 40%, la posibilidad de que demore un tiempo entre 6 y 14 minutos es de 43% y el tiempo esperado que un empleado gasta en el descanso en de 10.2 minutos. a) Calcular el valor de las constantes a, b, c y d.b) Obtener la funcin de distribucin acumulada.c) Calcular el valor del coeficiente de asimetra.

Solucin 2.De acuerdo a las condiciones del enunciado es posible plantear las siguientes ecuaciones:

Solucin a.Resolviendo las integrales definidas se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Solucin b.Para la funcin de probabilidad acumulada se debe realizar una integral:

Solucin c.Para el clculo del coeficiente de asimetra se utiliza la siguiente expresin:

Se debe realizar el clculo de la desviacin estndar.

Aplicando la expresin para el clculo del coeficiente de asimetra se tiene:

Problema 3.Un experimento estadstico consiste en lanzar veces una moneda con dos posibilidades de respuesta de igual probabilidad, calcule:a) La probabilidad de obtener a lo menos un sello.b) La probabilidad de obtener solo sellos o solo caras.c) La probabilidad de obtener a lo ms una cara.Solucin 3.Solucin a.Para la solucin del enunciado propuesto se utiliza la definicin bsica de la probabilidad, la definicin bsica de la probabilidad se resume en la siguiente expresin:

Si se lanza una moneda veces el nmero de resultados posibles puede calcularse aplicando la regla de la multiplicacin por lo tanto se tiene que:

Sea un evento contenido en el espacio muestral conformado por todos los resultados que se obtienen al lanzar veces una moneda.

De la regla del complemento se tiene:

El evento que es el complemento del evento se define de la siguiente forma:

En nmero de resultados favorables para el evento es un nico resultado y es el que en todos los lanzamientos se obtenga caras, por tanto:

Se calcula la probabilidad:

Aplicando la regla del complemento.

Solucin b.Para la solucin del enunciado propuesto se utiliza la definicin bsica de la probabilidad, la definicin bsica de la probabilidad se resume en la siguiente expresin:

Si se lanza una moneda veces el nmero de resultados posibles puede calcularse aplicando la regla de la multiplicacin por lo tanto se tiene que:

Sea un evento contenido en el espacio muestral conformado por todos los resultados que se obtienen al lanzar veces una moneda.

En nmero de resultados favorables para el evento es dos que corresponden: al resultando donde se obtienen solo sellos y al que se obtienen solo caras, por tanto:

Se calcula la probabilidad:

Solucin c.Para la solucin del enunciado propuesto se utiliza la definicin bsica de la probabilidad, la definicin bsica de la probabilidad se resume en la siguiente expresin:

Si se lanza una moneda veces el nmero de resultados posibles puede calcularse aplicando la regla de la multiplicacin por lo tanto se tiene que:

Sea un evento contenido en el espacio muestral conformado por todos los resultados que se obtienen al lanzar veces una moneda.

Para determinar el nmero de resultados favorables para el evento se elabora la tabla que se muestra a continuacin a partir de la elaboracin de un diagrama de rbol.

Tabla 1: Nmero de resultados favorables para el evento de obtener a lo ms una cara al lanzar veces una moneda.

Con base en la tabla anterior es posible definir el nmero de respuestas favorables en funcin de la variable que representa el nmero de lanzamientos de la moneda.

Calculando la probabilidad del evento , se obtiene:

Seguridad y concentracin

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDERESCUELA DE INGENIERA CIVILESTADSTICA GRUPO H1PRIMER PREVIODiciembre 18 de 2013

Nombre: ___________________________________________________________Cdigo:___________Grupo:___

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Problema 1.En la colocacin de un refuerzo en la carpeta asfltica de una va existente, capa conocida como sobrecarpeta asfltica, se requiere pintar la sealizacin de la separacin de los carriles, el encargado de pintar afirma que la longitud de las franjas amarillas deber estar en un rango de 3 metros ms o menos 20 centmetros. Sea una variable aleatoria continua que representa la longitud de las franjas amarillas de la separacin del carril, la funcin de densidad de probabilidad acumulada es la que se muestra a continuacin.

Se sabe que el 52.36% de las franjas tiene una longitud de a lo ms 2.90 metros, el 52.92% de las franjas tiene una longitud entre 2.85 y 3.02 metros y el 7.04% de las franjas tiene una longitud de a lo menos de 3.12 metros. a) Calcular los valores de las constantes a, b y c, obtener la funcin de densidad de probabilidad.b) Calcular la longitud ms probable para una franja amarilla.c) Calcular el coeficiente de variacin de la longitud de las franjas amarillas.

Solucin 1.Para el desarrollo del presente punto se debe tener presente que la funcin es la distribucin de probabilidad acumulada.

Aplicando las derivadas enunciadas anteriormente se tiene:

Escribiendo la funcin de densidad de probabilidad la cual es una funcin definida por tramos se obtiene:

Solucin a.Con las condiciones suministradas por el enunciado es posible definir el siguiente sistema de ecuaciones de ecuaciones.

Remplazando los valores de las constantes en la funcin de densidad de probabilidad obtenida.

Solucin b.Para calcular la longitud ms probable para la longitud de la franja se utiliza el concepto de la esperanza matemtica. La expresin que define la esperanza matemtica es la siguiente:

Aplicando la expresin para el caso de anlisis:

Solucin c.Para el clculo del coeficiente de variacin se utiliza la siguiente expresin:

Es necesario realizar el clculo de la desviacin estndar, para el clculo de la desviacin se utiliza la siguiente expresin:

Aplicando la expresin para el caso de anlisis:

Remplazando los valores correspondientes en la expresin, se obtiene:

Problema 2. Una reconocida universidad tiene como criterio de admisin a los programas de posgrado en modalidad investigacin la aprobacin de un examen de competencia en lengua inglesa. El reglamento de la universidad establece que los aspirantes a ttulo de posgrado debern tener un nivel mnimo de lengua inglesa. Un examen se efecta a los estudiantes que ingresan y a los que egresan, aspirantes y egresados. Se sabe que el 22% son estudiantes relacionados con la maestra en gerencia de negocios, los estudiantes de maestra en historia son la mitad de los de maestra en gerencia de negocios, el 18% son de la maestra en ingeniera civil. De los estudiantes de la maestra en ingeniera civil 45% son aspirantes, de la maestra en telecomunicaciones 85% son egresados, en la maestra en biloga este porcentaje es de 82%. El organizador del examen afirma, basado en las listas de presentacin, si se sabe que un estudiante es de la maestra en historia la posibilidad de que sea aspirante es del 20%, si un estudiante es egresado la posibilidad de que sea de la maestra en gerencia de negocios es de 3.56% y el porcentaje de aspirantes que presenta la prueba es de 38.11%.a) Si 85 estudiantes presentan la prueba, calcule el nmero de aspirantes de la maestra en telecomunicaciones.b) Si se elige un estudiante al azar y resulta ser de la maestra en gerencia de negocios, calcule la probabilidad de que sea egresado.c) Si se elige un estudiante al azar y resulta ser aspirante, calcule la probabilidad de que el programa al que aspira sea la maestra en biologa.

Solucin 2.Con los datos suministrados por el enunciado es posible construir el diagrama de rbol que se muestra en la siguiente figura.

Imagen 2: Diagrama de rbol para la solucin del enunciado 2.

La asignacin de probabilidades se realiza con los datos suministrados por el enunciado, las letras son variables que se pretenden despejar con los datos restantes.

Resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas se obtiene:

Solucin a.Para calcular el nmero de estudiantes de la Maestra en Telecomunicaciones se debe tener en cuenta el porcentaje calculado de estudiantes que presentan el examen.

Solucin b.Segn la pregunta del enunciado la probabilidad que se debe calcular es una probabilidad condicional.

Solucin c. Segn la pregunta del enunciado la probabilidad que se debe calcular es una probabilidad condicional.

Problema 3.En una reconocida empresa constructora colombiana se desea elegir un comit de 5 integrantes pertenecientes a la junta directiva de la empresa, se sabe que la junta directiva cuenta con 21 integrantes, de los cuales 5 son de Cundinamarca, 4 de Santander, 3 de Boyac, 4 de Antioquia y 5 del Tolima. La seleccin del comit obedece a un evento internacional para el cual hay recursos limitados, con la finalidad de no despertar malestar entre los involucrados la eleccin se realizara al azar, calcule:a) La probabilidad de que todos los departamentos estn representados.b) La probabilidad de que a lo ms dos departamentos estn representados.c) La probabilidad de que a lo menos asistan 2 integrantes del departamento de Cundinamarca.d) La probabilidad de que est representado un nico departamento.

Solucin 3.Para la solucin del presente enunciado se elabora la tabla que se muestra a continuacin, donde se observa la composicin de la junta directiva.

Departamento# de integrantes

Cundinamarca5

Santander4

Boyac3

Antioquia4

Tolima5

Total21

Tabla 2: Composicin de la junta directiva segn departamento.

Solucin a.Segn las condiciones expuestas por el enunciado, la solucin es posible plantearla de la siguiente forma:

Solucin b.Segn las condiciones expuestas por el enunciado, la solucin es posible plantearla de la siguiente forma:

Solucin c.Segn las condiciones expuestas por el enunciado, la solucin es posible plantearla de la siguiente forma:

Solucin d.Segn las condiciones expuestas por el enunciado, la solucin es posible plantearla de la siguiente forma:

Seguridad y concentracin

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDERESCUELA DE INGENIERA CIVILESTADSTICA GRUPO K1PRIMER PREVIODiciembre 18 de 2013

Nombre: ___________________________________________________________Cdigo:___________Grupo:___

Favor entregar la presente hoja junto a la hoja de la solucin.

Problema 1. Una estudiante de ingeniera civil con gran sentido del deber a su labor como estudiante sale tarde del claustro universitario, esto con motivo de la realizacin del trabajo final de resistencia de materiales. A dos manzanas de la entrada principal la estudiante es abordada por un ladrn que aprovecha la oscuridad de la noche y la soledad del sitio para hurtarle el celular. Un polica que patrulla cerca del lugar en que suceden los hechos acude al auxilio de la estudiante, el ladrn huye hasta una casa abandona en donde encuentra posibles escapatorias. El ladrn es ms veloz que el polica, en el caso en que el ladrn encuentre una salida diferente a la de la entrada escapara del polica. El ladrn ingresa por la salida 1 y su nica escapatoria es llegar a la salida 2, por tanto el ladrn deber pasar por alguna ruta en donde encontrara algunas puertas internas en la casa, para su escapatoria las puertas de alguna de las rutas debern estar abiertas. Se sabe que:

Calcule la probabilidad de que el ladrn logre escapar del polica, suponga que los eventos en que las puertas estn abiertas o cerradas son independientes.

Solucin.Como los eventos son independientes, se utilizara el concepto de la independencia de eventos para la solucin del enunciado.

Se analiza la probabilidad de que el ladrn logre superar la primera serie de puertas, para logre superarla la Puerta 1 debe estar abierta o la Puerta 2 o la Puerta 3, la probabilidad se calcula de la siguiente forma.

Aplicando la propiedad de la independencia de eventos se tiene:

Se analiza la probabilidad de que el ladrn logre superar la segunda serie de puertas, para logre superarla la Puerta 4 debe estar abierta o la Puerta 5, la probabilidad se calcula de la siguiente forma.

Aplicando la propiedad de la independencia de eventos se tiene:

Para que el ladrn pueda escapar deber encontrar abierta una puerta de la primera serie de puertas (Puerta 1, Puerta 2 y Puerta 3) y una puerta de la segunda serie de puertas (Puerta 4 y Puerta 5). Las probabilidades de los eventos descritos se calcularon en los pasos anteriores. Aplicando la independencia de evento se tiene:

Problema 2.Los ingenieros residentes de obra, pertenecientes a una constructora de edificaciones de vivienda, resultan ampliamente beneficiados con la tecnologa, uno de los problemas en la construccin de una edificacin es la visualizacin de los planos en la obra. En la actualidad con equipos informticos es posible la modelacin y visualizacin de modelos tridimensionales detallados elaborados con tecnologas BIM (building information modeling). Se sabe que el 38% de los ingenieros utiliza computador, si un ingeniero utiliza computador la posibilidad de que utilice tableta es de 13.16%, si un ingeniero no utiliza computador la posibilidad de que utilice tableta es de 25.81%, la probabilidad de que un ingeniero utilice el celular dado que utiliza computador y tableta es de 60%, la probabilidad de que un ingeniero utilice el celular dado que no utiliza computador y utiliza tableta es de 75%, si un ingeniero utiliza computador y no utiliza tableta la posibilidad de que utilice celular es de 48.48%, si un ingeniero no utiliza computador y no utiliza tableta la posibilidad de que utilice celular es de 47.83%. Suponga que en la constructora laboran 47 ingenieros como residentes de obra, calcule:a) El nmero de ingenieros que utilizan a los ms uno de los equipos descritos.b) El nmero de ingenieros que utilizan a lo menos dos de los equipos descritos.c) El nmero de ingenieros que utilizan computador o tableta si se sabe que no utilizan celular.

Solucin 2.Segn los datos suministrados por el enunciado es posible identificar las siguientes probabilidades.

Para analizar el problema realiza un diagrama de Venn teniendo en cuenta los siguientes eventos

Imagen 3: Diagrama de Venn propuesto para la solucin del enunciado.

Planteando el sistema de ecuaciones de acuerdo a las condiciones del enunciado.

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales 8x8

Solucin a.Se requieren realizar las siguientes operaciones para dar respuesta al enunciado.

Solucin b. Se requieren realizar las siguientes operaciones para dar respuesta al enunciado.

Solucin c.Se requieren realizar las siguientes operaciones para dar respuesta al enunciado.

El nmero de ingenieros que utilizan computador o tableta si se sabe que no utilizan celular.

Problema 3.Un experimento estadstico consiste en lanzar un dado y luego lanzar una moneda, en el caso de obtener un nmero impar la moneda es lanzada cuatro veces, si se obtiene un nmero par en el dado la moneda es lanzada tres veces. Suponga que la variable aleatoria discreta representa el nmero total de caras que se obtienen al finalizar los lanzamientos de la moneda.a) Obtener las funciones de masa de probabilidad y masa de probabilidad acumulada.b) Calcular el coeficiente de curtosis del nmero de caras que se obtienen del lanzamiento de la moneda.c) Calcular la probabilidad de obtener a lo menos dos caras.Solucin 3.Para la solucin del enunciado es necesario realizar un diagrama de rbol para calcular las probabilidades de los posibles valores que puede tomar la variable , que representa el nmero total de caras obtenidas en los lanzamientos de la moneda.

Imagen 4: Diagrama de rbol propuesto para la solucin del enunciado.

Realizando la multiplicacin de las probabilidades de las ramas del rbol mostrado en la figura, es posible obtener la siguiente tabla.

Tabla 3: Clculo de probabilidades para la obtencin de la funcin de masa de probabilidad.

Solucin a.Con la tabla que se ilustra anteriormente es posible obtener la funcin de masa de probabilidad.

Tabla 4: Funcin de masa de probabilidad.

Con la funcin de masa de probabilidad es posible obtener la funcin de masa de probabilidad acumulada.

Tabla 5: Funcin de masa de probabilidad acumulada.

Solucin b.Para el clculo del coeficiente de curtosis se utiliza la expresin que se muestra a continuacin.

Es necesario realizar el clculo de la media y la desviacin estndar del nmero total de caras obtenidas en los lanzamientos de la moneda.

Remplazando los valores correspondientes en la expresin del clculo del coeficiente de curtosis.

Solucin c.Se requiere calcular la siguiente probabilidad.

Seguridad y concentracin