Ensino Superior Cálculo 1 6- Aplicações da Derivada Amintas Paiva Afonso.
Ensino Superior Matemática Básica Unidade 7 – Funções Exponencial Amintas Paiva Afonso.
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Ensino Superior
Matemática Básica
Unidade 7 – Funções Exponencial
Amintas Paiva Afonso
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Função ExponencialFunção Exponencial
DefiniçãoDefinição
DomínioDomínio ImagemImagem
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Função ExponencialFunção Exponencial
x
1234... ..x
Representação GráficaRepresentação Gráfica
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Função ExponencialFunção Exponencial
Representação GráficaRepresentação Gráfica
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Função ExponencialFunção Exponencial
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Função ExponencialFunção Exponencial
Representação GráficaRepresentação Gráfica
1x
1,5x2x4x10x0,25x
0,5x
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Equação ExponencialEquação Exponencial
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Equação ExponencialEquação Exponencial
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Equação ExponencialEquação Exponencial
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Equação ExponencialEquação Exponencial
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Inequação ExponencialInequação Exponencial
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Inequação ExponencialInequação Exponencial
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Inequação ExponencialInequação Exponencial
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Inequação ExponencialInequação Exponencial
– – – – – –+ ++ ++ ++ +
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Inequação ExponencialInequação Exponencial
Verificação se 0 ou 1 Verificação se 0 ou 1 são soluçõessão soluções
FFVV
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Inequação ExponencialInequação Exponencial
– – – – – –+ ++ ++ ++ +
ComoComo
Supondo que Supondo que
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Inequação ExponencialInequação Exponencial
Supondo que Supondo que
– – – – – –+ ++ ++ ++ +
ComoComo
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Inequação ExponencialInequação Exponencial
Solução da inequação seráSolução da inequação será
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Exemplo 1Exemplo 1
Uma aplicação da função exponencial – 1.º ExemploConsidere uma população de bactérias em um meio nutriente homogêneo. Suponha que colhendo amostras da população em certos intervalos de tempo fique determinado que a população dobra a cada uma hora. Se o número de bactérias no instante t for p(t), onde t é medido em horas, e a população inicial for de p(0) = 1000 bactérias, então:
Após 1h p(1) = 2.p(0) = 2.1000 = 2000;
Após 2h p(2) = 2.p(1) = 2.2.1000 = 22.1000 = 4000;
Após 3h p(3) = 2.p(2) = 2.22.1000 = 23.1000 = 8000;
Após th p(t) = 2.p(t-1) = .... = 2t.1000 = 2t.1000.
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Exemplo 1Exemplo 1
Portanto, a função exponencial para este caso é definida por:
p(t) = 2t.1000. Assim, se quisermos saber de quanto será a população de
bactérias após 10 horas, basta substituir 10 na equação:
p(10) = 210.1000 = 1024.1000 = 1.024.000 bactérias. Por outro lado, se a pergunta for: quanto tempo levará para a
população de bactérias chegar 128.000? Basta substituir p(t) por 128.000 e encontrar o valor de t.
128.000 = 2t.1000 128.000/1000 = 2t 27 = 2t,
portanto, t = 7 horas.
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Exemplo 2Exemplo 2
A importância do número “e” Dentre todas as bases possíveis para uma função exponencial, há
uma que é mais conveniente. Essa escolha leva em conta o coeficiente angular da reta tangente
ao gráfico da função exponencial. O que desejamos é um coeficiente angular exatamente m = 1, pois
facilitaria muito cálculos futuros. Para obtermos um coeficiente angular m = 1 para a reta tangente
à função exponencial, a base mais conveniente é o número “e”. O gráfico da função y = ex fica entre os gráficos das funções y = 2x
e y = 3x.
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Exemplo 2Exemplo 2
Gráfico de y = ex
Coeficiente angular: m = 1
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Exemplo 2Exemplo 2
Quem é “e”?
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Empréstimo de R$ 800,00 para pagar depois de 3 meses, à taxa de 5% am.
tempo (meses)
Montante (R$)
1
y = 800 (1,05)t
y = 800 (1 + 0,05 . t)
2 3
882880
920
840
800
926
Exemplo 3Exemplo 3
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Exemplo 4Exemplo 4
Crescimento da Indústria do turismo nos últimos 50 anos.
tempo (ano)
Turis
tas
inte
rnac
iona
is(e
m m
ilhõe
s)
60 65 70
360
480
240
120
75 80 85 90 95
y = ax
a > 1
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Exemplo 5Exemplo 5
Crescimento da população brasileira nos últimos 35 anos.
tempo (ano)
Popu
laçã
o br
asile
ira(e
m m
ilhõe
s)
70 80 90
169,1
185
166,1
90
99
y = 90 000 000 (1,018)t
05
y = k.ax
a > 1
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Exemplo 6Exemplo 6
Depreciação de 15%, a cada ano, de um veículo com valor de R$ 35 000,00.
tempo (ano)
Valo
r do
veíc
ulo
(R$)
1 2 3
29 750
35 000
25 287
21 494
y = 35 000 (0,85)t
y = k.ax
0 < a 1
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Proposta de Atividades PráticasProposta de Atividades Práticas
A empresa e o lucro L(t) = 3000 (1,5)t
A população de uma cidade P = P0.ei.n
A planta cresce A = 40 (1,1)t
A máquina desvaloriza D = K (0,8)t
O líquido e seu PH O terremoto e a escala Richter A escala temperada da música e Bach
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