Ensino Superior 4 – Sistemas de Controle Amintas Paiva Afonso Introdução aos Sistemas...
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Ensino Superior
4 – Sistemas de Controle
Amintas Paiva Afonso
Introdução aos Sistemas Dinâmicos
Modelagem de Sistemas
Objetivos• Construir modelos matemáticos para descrever sistemas
simples.
Sistemas estudados• Sistemas mecânicos• Sistemas elétricos• Sistemas fluídicos• Sistemas térmicos
Sistemas de Controle
Para controlar é preciso conhecer!!• Entretanto, faz parte do desafio controlar sistemas mal
conhecidos.
“Para controlar é necessario “conhecer” o desconhecido”
• Um modelo é necessário – Muitas vezes são complexos e interligados.
Exemplo: Controle de tráfego, processos químicos, sistemas robóticos, úteis e interessantes ligados à automacão industrial.
Base para Análise de um Sistema:• Fundamentos da teoria de sistemas lineares.
• Relação de causa e efeito.– Relacão de entradas e saídas representa esta relacão.
– Processamento de um sinal de entrada para fornecer um sinal de saída.
Sistemas de Controle
Modelo Matemático:• É a descricão matemática das características dinâmicas
de um sistema;
• Um sistema é um conjunto de expressões matemáticas que determinam o valor de sinais saída a partir de um valor de sinal de entrada;
• Blocos são utilizados para representar sistemas;
• Em engenharia, tais blocos representam equações diferenciais (ou recursivas) lineares;
Sistemas de Controle
Sistemas Lineares:• São aqueles nos quais as equações do modelo são
lineares;
• Uma equação diferencial é linear se os coeficientes são constantes ou apenas funções da variável independente;
• Princípio da superposição: a resposta produzida pela aplicação simultânea de duas forças de excitação diferentes e igual à soma das duas respostas individuais;
• Em uma investigação experimental de um sistema dinâmico, se a causa e o efeito são proporcionais, considera-se o sistema linear.
Sistemas de Controle
Se um sistema tem a resposta Y1 para uma
entrada X1 e uma resposta Y2 para uma entrada
X2, então, se tiver uma entrada
X3 = X1 + X2 terá uma resposta Y3 = Y1 + Y2
f(X1 + X2) = f(X1) + f(X2)
Sistemas de Controle
Sistemas Lineares Invariáveis no Tempo (SLIT):• Sistemas lineares descritos por equacões diferenciais
com coeficientes constantes;
• A invariância no tempo implica simplesmente que a definição das operações dos blocos não pode mudar ao longo do tempo;
• Suas expressões dependem somente das entradas, não depende do tempo;
• “Reage sempre da mesma maneira”
Sistemas de Controle
Sistemas Lineares Invariáveis no Tempo (SLIT):
Sistemas de Controle
Transformada de Laplace:
• Como vimos no exemplo anterior, o comportamento da maioria dos sistemas físicos podem ser representados através de equações diferenciais;
• A transformada de Laplace transforma uma função da variável tempo f(t) numa função F(s), onde S = σ + jw (variável complexa).
Modelos Matemáticos
Modelos Matemáticos
Transformada de Laplace
0dte st
f(t) = uma função de tempo t em que f(t) = 0 para t < 0
s = uma variável complexa
F(s) = transformada de Laplace de f(t)
L = Operador de Laplace - um símbolo operacional que indica que a grandeza que ele antecede vai ser tranformada por meio da integral de Laplace
Então, a transformada de Laplace de f(t) é dada por:
0
dttfesF st )()(L [f(t)]=
Transformada de Laplace
Ex:
y(t) = cos(wt) – sen (wt)
Funcão de Transferência:• Na teoria de controle “Funcões de transferência” são
extremamente usadas para caracterizar as relações entrada-saída de sistemas lineares invariáveis no tempo;
• E a relação da transformada de Laplace da saída (função resposta) para a transformada de Laplace da entrada (função excitação);
Modelos Matemáticos
Funcão de Transferência:• Considere o sistema linear invariante no tempo, definido
pela seguinte equacao diferencial, onde y e sua saida e x sua entrada:
Modelos Matemáticos
Funcão de Transferência:
Modelos Matemáticos
Funcão de Transferência G(S):
G(s) = Y(s) / X(s) Y(s) = G(s).X(s)
Modelos Matemáticos
X(S) – Transformada de Laplace da entrada.
Y(S) – Transformada de Laplace da saída.
Sistemas Mecânicos
Sistemas de Controle
As leis fundamentais que governam os sistemas mecânicos são as leis de Newton:
1ª Lei: Todo corpo em repouso ou em movimento tende a manter o seu estado inicial.
2ª Lei: A resultante das forças que agem num corpo é igual ao produto de sua massa pela sua aceleração.
3ª Lei: Para toda força aplicada existe outra de igual módulo e direção, mas com sentido oposto.
Sistema massa-mola-amortecedor:
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Exemplo: Descreva a equacão diferencial do Sistema do amortecedor viscoso-mola-massa:
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Descreva a equacão diferencial do Sistema do amortecedor viscoso-mola-massa:
• Um quilograma é uma unidade de massa. Quando é acionado por uma força de 1N a massa de 1 kg acelera com 1m/s2. Aplicando a lei de Newton, temos:
Sistemas Mecânicos
Sistema se suspensão de um automóvel:
Sistemas Mecânicos
Encontre a função de transferência do sistema de massa-mola abaixo, quando aplicada uma força u(t) no mesmo.
Sistemas Mecânicos
k b
u(t)x(t)
m
Resolução: Primeiramente, determinamos quais forças atuam no sistema:
k b
u(t) x(t)
mFm
Fm Fb
Fb
Em seguida, faça o balanço das forças que agem sobre o carrinho:
F = u(t) – Fm – Fb
Sistemas Mecânicos
... ContinuaçãoSabemos que a força da mola é dada em função de quanto ela foi distendida, ou seja Fm = k.x(t), e que o amortecimento gerado pelo amortecedor é função da velocidade do bloco, ou seja Fb = b.v(t). Sabemos também, pela segunda lei de Newton, que a resultante das forças é igual à multiplicação da massa pela aceleração, ou seja F = m.a.Assim, a equação fica:
Colocando tudo em função da posição x(t):
m.a = u(t) – k.x(t) – b.v(t)
Sistemas Mecânicos
)(.)(.)()(.2
2
txdt
dbtxktutx
dt
dm
... Continuação
Fazendo a Transformada de Laplace da equação obtida, obtemos: :
Sistemas Mecânicos
)0(.)0(.)0(..)()..).((
)0(.)0(.)0(..)()(..)(.)(..
)0(.)(..)(.)()0(.)0(..)(..
2
2
2
xbxmxsmsUksbsmsX
xbxmxsmsUsXsbsXksXsm
xbsXsbsXkSUxmxsmsXsm
Finalizando, considerando que as condições iniciais do problema são iguais a zero, a função de transferência do sistema massa-mola (relação entre a saída e a entrada do sistema) será dada por:
ksbsmsU
sX
..
1
)(
)(2
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Sistemas Mecânicos
Sistemas Elétricos
Sistemas Elétricos
As leis fundamentais que governam os sistemas elétricos são:- Leis de Kirchoff. A Lei das Correntes diz que a soma das correntes que entram em um nó é igual a zero e a das tensões diz que a soma das quedas de tensão dentro de uma malha é igual a zero.
- Lei de Ohm. Determina a relação entre tensão e corrente.
Componentes:Resistor: Opõe resistência à passagem da corrente elétrica por seus terminais.
Capacitor: Acumula elétrons (corrente) entre suas placas.
Indutor: Acumula tensão entre seus terminais emforma de campo eletromagnético.
)(.)(
)(.)(
sIRSV
tiRtv
R
R
sC
sIsV
dttiC
tv
C
C
.
)()(
).(.1
)(
vC(t) i(t)
)(.)(
)(.)(
sIssVdt
tdiLtv
L
L
i(t)
vL(t)
i(t)
vR(t)
Sistemas Elétricos
Sistemas Elétricos
Exemplo: Encontre a função de transferência do circuito RLC abaixo.
L R
Cei eoi
Sistemas Elétricos
Resolução:Pela lei de kirchoff das quedas de tensão:
L R
Ceie
o
i
vL vR
vC
ei = vL + vR + vC
eo = vC
Devemos colocar os valores em termos da corrente i:
idtC
e
idtC
iRdt
diLei
1
1..
0
Sistemas Elétricos
Aplicando a Transformada de Laplace nas equações encontradas, obtemos:
)(.1
.1
)(
)(.1
.1
)(.)(..)(
0 sIsC
sE
sIsC
sIRsIsLsEi
A equação de transferência do sistema é a relação entre a saída (Eo) e a entrada do sistema (Ei). Portanto, dividindo as equações uma pela outra:
1....
1
)(
)(2
sCRsCLsE
sE
i
o
Sistemas Elétricos
Sistemas Mecânicos
k b
u(t)x(t)
m
Exercícios:
1) Encontre a função x(t) do sistema de massa-mola abaixo, quando aplicada uma força u(t) igual a um degrau unitário.
Dados: m = 1kg, b = 4, k = 3
Sistemas Elétricos
L R
Cei eoi
2) Encontre a função eo(t) do circuito abaixo, quando aplicada uma tensão ei(t) igual a um degrau unitário.
Dados: L = 1 H, R = 2 Ohms, C = 1 F
Sistema Mecânico e Sistema Elétrico
Sistemas Elétricos
Sistema Fluídico – Nível Líquido
Sistema Fluídico – Nível Líquido
Sistema Fluídico 1
Sistema Fluídico 2
Sistema Térmico
Sistema Fluídico –Sistema Térmico