N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 1

Ensemble des nombres complexes

Affixe, module et argument de

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct .

Définition - Représentation géométrique d’un nombre complexe

A tout nombre complexe , où et sont réels, on associe le

point appelé point image de .

Réciproquement, à tout point du plan complexe, on associe le

nombre complexe appelé affixe du point .

Ce plan muni d’un repère orthonormé direct est appelé plan

complexe.

L’axe des abscisses représente l’axe des réels et l’axe des ordonnées

représente l’axe des imaginaires purs.

Définition – Affixe d’un vecteur

De même qu’à un point , on associe son affixe , à tout

vecteur de coordonnées , on associe le nombre complexe

appelé affixe de .

Proposition

Si est l’affixe du vecteur , alors pour tout réel , est l’affixe du vecteur .

Si et sont les affixes des vecteurs et alors est l’affixe du vecteur .

Exercice

Soit et trois points du plan dont les affixes sont ,

et .

1) Déterminer les affixes respectives des vecteurs , et .

Vérifier que .

2) Déterminer l’affixe du point tel que soit un

parallélogramme.

3) Déterminer l’affixe du point centre du parallélogramme .

Définition – Module et argument

Soit un nombre complexe et le point d’affixe .

Le module de , noté est la distance , c’est-à-dire le nombre réel positif ou nul .

Un argument du nombre complexe non nul , noté , est une

mesure de l’angle orienté .

Exemple

. Son module est

Un argument de est

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Exercice

On pose

. Déterminer le module et un argument de .

Remarques

1.

2. Le réel 0 n’a pas d’argument car l’angle n’est pas défini si est en

3. Si est réel, c’est-à-dire que alors

son module . Ainsi le module d’un nombre

réel est égal à sa valeur absolue.

Conséquences de la définition

est un réel non nul

Plus précisément :

est un réel strictement positif

est un réel strictement négatif .

est un imaginaire pur

Propriétés

1) et

2) et

3)

Forme trigonométrique d’un nombre complexe

Définition

Tout nombre complexe non nul s’écrit sous la forme avec et .

Cette écriture est appelée forme trigonométrique d’un nombre complexe.

Remarque

Cette écriture permet de faire le lien entre la géométrie et les nombres complexes, en interprétant les modules

en termes de distances et les arguments en termes d'angles orientés.

Exemples

; En effet, et

d’où

.

.

Exercice

Déterminer le module et un argument de

Proposition – Égalité de deux nombres complexes non nuls

Soit et , deux nombres complexes non nuls de formes trigonométriques respectives et

. Alors,

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Proposition - Lien entre forme algébrique et forme trigonométrique

Soit un nombre complexe non nul.

Si est la forme trigonométrique de alors sa forme algébrique est avec

Si est la forme algébrique de alors sa forme trigonométrique est avec

et est défini par

Exemples

1)

On détermine la forme algébrique de :

et

. D’où

2)

On détermine la forme trigonométrique de :

d’où

. D’où

Exercice

1) Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe

2) Écrire sous forme algébrique le nombre complexe de module et d’argument

.

Notation exponentielle de la forme trigonométrique

Étude de la fonction

Soit la fonction définie sur et à valeurs dans par

a) Pour tous nombres réels et ,

En effet,

avec les formules d’addition.

La fonction vérifie la même relation fonctionnelle que la fonction exponentielle.

b) La fonction est dérivable sur et

Les fonctions et sont dérivables sur .

On admet que la fonction est aussi dérivable sur et que

Ainsi, pour tout nombre réel ,

On peut écrire

Cette propriété est analogue à la dérivation de la fonction .

En effet, . Ces analogies avec la fonction exponentielle ont amené à adopter l’écriture

suivante (due à Euler en 1748) :

Définition – Formule d’Euler

Pour tout réel θ, on pose

Remarque

est le nombre complexe de module 1 et d’argument

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Preuve

. On en déduit que

Exemples

Remarque

L’égalité est appelée Identité d’Euler. C’est une relation qui lie plusieurs constantes fondamentales

des mathématiques : . C’est un cas particulier de la formule d’Euler avec .

Théorème et définition

Tout nombre complexe non nul s’écrit sous forme exponentielle où et .

Réciproquement, si avec et réels et alors et .

Propriétés

Pour tous nombres réels et et pour tout entier naturel :

1.

2.

(Formule de Moivre)

3.

4.

5.

Exemples

1) Écrire sous forme algébrique le nombre complexe

2) Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe

.

Propriétés de calcul

Pour tous nombres complexes et ,

Produit , et non nuls

Inverse

,

Quotient

, et non nuls

Puissance si

Proposition- Inégalité triangulaire

Pour tous nombres complexes et ,

Cette inégalité exprime le fait que la somme des longueurs de deux côtés d’un triangle est toujours supérieure à

la longueur du troisième. Si est l’affixe de et l’affixe de alors

Exemples

1) Déterminer la forme algébrique, puis la forme trigonométrique de

. En déduire la valeur de

et

.

Forme algébrique :

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Forme trigonométrique :

On en déduit la forme trigonométrique :

.

En identifiant les parties réelles et imaginaires des écritures affines et trigonométriques de on obtient :

et

.

2) Déterminer la forme trigonométrique puis algébrique du nombre complexe où

.

d’où

donc

. On en déduit que

Exercices

1) Donner la forme trigonométrique puis algébrique du nombre complexe

2) On donne et . Déterminer la forme algébrique puis trigonométrique de et en

déduire les valeurs exactes de

et

.

3) Soit . Existe-t-il des entiers tels que soit réel et si oui, lesquels ?

4) Soit un nombre complexe différent de – et

. Montrer que

Application à la géométrie

Théorème – Lien avec le plan complexe

Si et sont deux points d’affixes respectives et dans un repère orthonormé , alors a pour

affixe et

De plus, si

Preuve

. L’affixe de est et l’affixe de est .

Il existe un unique point tel que .

a pour affixe et a pour affixe . On en déduit que .

Or, par définition et donc

.

Conséquence

Si , et sont quatre points deux à deux distincts d’affixes

respectives , et dans un repère orthonormé ,

alors

et

Preuve

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Exercice

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct soit les points et d'affixes

respectives , et .

1) Déterminer la forme exponentielle de et .

2) En déduire une mesure de l’angle orienté en radian.

3) Déterminer la nature du quadrilatère

Théorème - Caractérisation d’un cercle et de la médiatrice d’un segment

et sont deux points d’affixes et dans un repère orthonormé.

1) Le point d’affixe appartient au cercle de centre et de rayon si, et seulement si ce qui se

traduit par .

2) Le point d’affixe appartient à la médiatrice du segment si, et seulement si ce qui se

traduit par .

Exercice

1) Soit un point du cercle de centre et de rayon . Soit son affixe. Que vaut ?

2) Déterminer l’ensemble des points du plan d’affixe tels que

a)

b)

Application à la trigonométrie

Formules d’addition

Pour tous réels et , on a :

Formules de duplication

Pour tout réel , on a :

Preuve

Les formules et

permettent de retrouver les formules d’addition et de

duplication en écrivant les membres de gauche et les membres de droite des égalités sous forme

trigonométrique :

Proposition

et

Preuve

Pour tout réel , et .

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Racines -ièmes de l’unité

Définition

Si est un entier naturel non nul, on dit que le nombre complexe est une « racine -ième de l’unité » si est

solution de l’équation

Résolution dans de l’équation

a) Déterminer une racine évidente de l’équation .

b) Justifier que l’équation est équivalente à

c) Résoudre puis écrire les solutions sous forme exponentielle.

d) On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct .

On pose

. Démontrer que les trois points d’affixe et forment un triangle équilatéral dont le centre

du cercle circonscrit est le point O.

Résolution dans de l’équation

a) On pose avec et .

Justifier que

b) Démontrer que l’équation a exactement quatre solutions qui sont les puissances successives du nombre

complexe .

Résolution dans de l’équation pour

Adapter la méthode exposée précédemment pour résoudre l’équation et exprimer sous forme exponentielle

ses solutions.

En déduire les solutions de l’équation .

Interprétation géométrique

Les racines -ièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier (convexe) inscrit dans le cercle de

centre O et de rayon 1.