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7.- ENGRANES
7.1 DEFINICION
Desde el minsculo reloj de pulsera al motor de un trasatlntico, son innumerables losmecanismos que cumplen su cometido gracias a los engranajes.
El engrane es una rueda o cilindro dentado empleado para transmitir un movimientogiratorio desde un eje de una mquina a otra. Un conjunto de dos engranes quetransmite el movimiento de un eje a otro se denomina engranaje.
7.2 ENGRANAJES CILINDRICOS DE DIENTES RECTOS
Los engranajes de diente recto son ms simples de producir y por ello ms baratos, latransmisin del movimiento se realiza por medio de los dientes, quienes se empujansin resbalar.
Se utilizan para la transmisin de movimiento entre ejes paralelos.
7.2.1 LEY FUNDAMENTAL DEL ENGRAJE
Conceptualmente los dientes de cualquier forma evitan el deslizamiento. UtilizandoWM2D vamos a disear unos engranes con perfiles arbitrarios y efectuaremos elanlisis correspondiente.
figura 7.1 Diseo de engranes con Working Model
Como podemos ver en este caso a pesar de que la velocidad del motor es constante,la velocidad de la rueda conducida no es constante, ni tampoco la reaccin en lospivotes, por lo tanto este perfil triangular viola la ley fundamental del engranaje queexpresa que: la razn de la velocidad angular entre los engranes de un engranajepermanece constante en toda la conexin.
Con la finalidad de cumplir la ley fundamental del engrane, los perfiles de los dientesque engranan deben conjugarse entre s. Puede usarse un nmero infinito de paresconjugados posibles, pero slo algunas curvas tiene aplicacin prctica en los dientes
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de engrane. La cicloidese usa an como perfil de dientes en los relojes de pulsera ode mesa, pero en la mayora de los engranes se usa la curva que por su forma seconoce como involuta del crculo.
7.2.2 FORMA DE INVOLUTA PARA DIENTES DE ENGRANE
Leonard Euler (Suiza) en 1754, trabaja sobre los principios de diseo y sobre lasreglas de la accin conjugada y por lo tanto determina el perfil ms idneo, es as queefectuando sntesis de perfil de dientes en la cual las condiciones son:
Las curvas deben transmitir una velocidad angular constante Las reacciones en los cojinetes deben ser constantes, lo que implica que la lnea
normal comn debe mantener un ngulo constante con la normal a la lnea decentros.
Y luego del procedimiento matemtico respectivo1 se demostr que la involuta delcrculo es la nica curva de diente que puede cumplir estas condiciones.
figura 7.2
La involuta del crculo se puede trazar envolviendo una cuerda en un cilindro y luegodesenrollndola y tensando la cuerda AB para que su punto B, trace la curvacorrespondiente, que es similar a una espiral.
Matemticamente se deduce la expresin analtica de la siguiente forma.
1Joseph Stiles Beggs, Mecanismos, Pg. 71-73
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figura 7.3
De la definicin de involuta se cumple que:
Arco AB Segmento AP
Rb Rb tan
De donde
tan
y
tan inv
Donde inv es la funcin involuta
Las ecuaciones paramtricas del P(x, y) son:
/x r cos Rb cos os nvc i (1.1)
/y r sin Rb cos sin inv (1.2)
Rb se conoce como radio base.
7.2.3 GRAFICACIN EN AUTOCAD DE UNA RUEDA DENTADA
Con el objetivo de analizar las propiedades de la involuta en WModel 2D, necesitamosdibujar previamente una rueda dentada en AutoCAD, para lo cual vamos a servirnosdel siguiente programa de AutoLISP, que nos permite trazar la involuta en base de lasecuaciones deducidas anteriormente.
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Se transcribe el siguiente programa en bloc de notas y se grava con el nombre deengrane en cualquier carpeta
(DEFUN intr ()(SETQ modulo (GETREAL "modulo en mm : ")) (TERPRI)(SETQ numero (GETINT "numero de dientes : ")) (TERPRI)(SETQ angulo (GETREAL "Angulo de presion : ")) (TERPRI)(SETQ ang ( * pi ( / angulo 180 ))) (TERPRI)(SETQ Radio (*(/ ( * modulo numero ) 2 )( cos ang))) (TERPRI)(SETQ deltat (GETREAL "Precision en el angulo theta: ")) (TERPRI)(WHILE (
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(dib)(ult)(SETVAR "blipmode" 1) (SETVAR "cmdecho" 1)
)
Abrimos el programa AutoCAD y en la lnea de comandos escribimos la sentenciaappload En el cuadro de dialogo que se despliega, buscamos el programa engrane,
mediante load y close
figura 7.4 Cuadro de dialogo Autocad
En la lnea de comandos escribimos la palabra engrane y se activa el programa Y el programa nos pide los siguientes datos
figura 7.5 Datos del programa Autocad
Y se crea la curva involuta:
Figura 7.6 Involuta creada en autocad
Se dibuja el dimetro primitivo, exterior e interior.
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Figura 7.7 Dibujo del dimetro primitivo, exterior e interior
Se convierte en polylinea la involuta y se elimina la porcin que no interesa, secompleta el perfil del diente con una lnea radial
Se efecta un filete de r = 0.4 m., se completa la polylinea con estos tres perfiles.
Trazamos una lnea desde el centro a la interseccin del perfil con el Dimetroprimitivo.
Rotamos el segmento dibujado el ngulo calculado mediante:
360 / ( 4 z ) = 6
En base de la lnea rotada efectuamos la simetra y obtenemos un diente completo
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Efectuamos un arreglo polar de 15 dientes y todo el engrane debe ser una
polylnea cerrada.
Copiamos la misma rueda dentada a la distancia de un 15 mdulo y laposicionamos angularmente
Simulamos en WModel 2D.
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Figura 7.8 Simulacin del engranaje en Working Model
Como se puede observar la involuta cumple con la condicin de que la velocidad de larueda impulsada debe ser constante.
7.2.4 PARAMETROS DE UN ENGRANE
ANGULO DE PRESIN: El ngulo de presin entre dos dientes de engrane sedefinen de la misma manera que en el mecanismo leva seguidor. Los valoresestndar son de 14.5, 20 y 25
Figura 7.9 ngulo de presin
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La simulacin en Working Model 2D nos confirma que la fuerza de contacto siemprese mantiene a 20, con ligeras variaciones debido a las imperfecciones del dibujo
NUMERO DE DIENTES: El nmero de dientes se define como Z, el numero dedientes mximo recomendable en un engrane es de 200 y el mnimo de acuerdo ala tabla 1
MODULO: El tamao del diente esta estandarizado de acuerdo al mdulo en elSistema Internacional, mientras mayor sea el modulo ms resistente es el engrane.
ModuloMtrico
0.3
0.4
0.5
0.8
1 1.25
1.5
2 3 4 5 6 8 10
12
16
20
25
DIAMETRO PRIMITIVO: Es la circunferencia en la que se verifica la tangenciaentre dos ruedas dentadas es igual a:
Dp m z
PASO CIRCULAR: El paso circular es la medida del arco, desde un punto de undiente al mismo punto en un diente contiguo, medido en el dimetro primitivo y esigual a m
RADIO BASE: El radio base es el de la circunferencia que origina la involuta, secalcula con la formula:
cos( )2
DpRb
ADENDO: El adendum es la medida desde el dimetro primitivo hasta el dimetroexterior
Figura 7.10 Dientes del engrane
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DEDENDO: El dependo es una medida igual a 1.25 m y define la circunferenciainterior o dependo del engrane
ALTURA DEL DIENTE: La altura del diente corresponde segn esto a 2.25 m
HOLGURA: El dedendo es mayor que el adendo en 0.25 m de manera que nosproporciona una holgura igual a este valor
ANCHO O ESPESOR DE LA CARA: El espesor de un engrane, en forma generalse puede tener un valor nominal de 12 m.
DISTANCIA ENTRE CENTROS: Es igual a
1 2( )
2
m Z Zc
INTERFERENCIA Y REBAJE ENTRE DIENTES: Como se puede determinar delgrfico realizado en AutoCAD, la porcin de diente abajo del circulo base es unalnea recta e interferir con la punta del engrane conectado que es involuta. Si elengrane ha sido cortado con un cortador estndar, la herramienta de cortetambin interferir con la porcin del diente situada debajo del circulo base ydesprender el material de interferencia produciendo el rebaje y debilitamiento dela base del diente.
El rebaje o interferencia se puede impedir con slo evitar el uso de engranes conmuy pocos dientes, para determinar el nmero de dientes adecuado que se puedeutilizar recurrimos a la siguiente ecuacin.
2
12 1
1
34( )34 2ZZ Z
Z
Con esta frmula podemos determinar la siguiente tabla:
Nmero posible de dientes en las ruedas para que no exista interferenciaPin : Z1 Engrane : Z2
13 13-17
14 13-27
15 13-48
16 13-112
17 13-
Tabla 1 LONGITUD DE ACCIN:
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Figura 7.11 Longitud de accin
Los puntos de inicio y de salida del contacto definen el engranado del pin y el
engrane. La distancia a lo largo de la lnea de accin entre estos puntos del engranadose llama longitud de accinZ
2 22 2
cos cos sinZ rp ap rp rg ag rg c
RELACION DE CONTACTO mp : La relacin de contacto mp define el nmeropromedio de dientes en contacto en cualquier momento como:
cosZ
mppc
La relacin mnima aceptable para un funcionamiento suave es 1.2 y se prefieremayor.
EJEMPLO DE APLICACIN: Determine los parmetros del engranaje, si un pinde 19 dientes se acopla con uno de 37 dientes, de modulo 5 mm y ngulo depresin de 20.
Datos:
Dimetros primitivos y distancia entre centros:
Adendo y dimetro exterior:
Z1 1 Z2 37
m 5 20
180
Dp m Z1 Dp 95
Dg m Z2 Dg 185
cDg Dp
2 c 140
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Longitud de accin:
Relacin de contacto:
Se puede esperar un funcionamiento suave
7.2.5 DISEO DE TRENES DE ENGRANAJES
El diseo de un tren de engranajes de ejes fijos consiste en determinar el nmero deruedas que han de constituir el tren, y el nmero de dientes de cada una, paraconseguir una relacin de transmisin dada.
EJEMPLO DE APLICACIN: Disear un tren para lograr la relacin detransmisin = 58 / 1.
En general no es recomendable el empleo de ruedas menos de 12 ni mayores de200.
Las relaciones parciales deben estar entre 5 y 7 ( en casos excepcionales puedenllegar hasta 12 )
Admitiendo una relacin parcial de transmisin mxima de 7, se necesitarn trespares de ruedas
7 7 49 58
1 1 1 17 7 58 4 4 58 48 48 58
1 1 49 1 1 16 12 12 16
a m
Dextp Dp 2 a Dextp 105
Dextg Dg 2 a Dextg 195
rpDp
2 rg
Dg
2
ap a ag a
Z rp ap( )2
rp cos 2
rg ag( )2
rg cos 2
c sin Z 23.925
pc m
mpZ
pc cos mp 1.621
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Figura 7.12 Tren de engranes en working model
EJEMPLO DE APLICACIN: Disear un tren para lograr la relacin detransmisin = 300 / 1.
La opcin:
7 7 300
1 1 49
No es vlida debido a que 300 no es divisible para 49 y la fabricacin de ruedas no serecomienda con un nmero mayor de 200.
La otra posibilidad es:
6 6 300 6 6 150 72 72 150
1 1 42 1 1 21 12 12 21
1507.143
21
En la cual se tiene una relacin parcial mayor que 7
La siguiente alternativa podra ser vlida y se necesitara 4 escalones
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5 5 5 300 60 60 60 60
1 1 1 125 12 12 12 12
EJEMPLO DE APLICACIN: Disear un tren para lograr la relacin detransmisin = 369 / 46.
En este caso se descompone la fraccin en sus factores primos y se tiene:
369 3 3 41 9 41 54 41
46 2 23 2 23 12 23
EJEMPLO DE APLICACIN: Disear un tren para lograr la relacin detransmisin = 383 / 649
Como no se pueden obtener factores primos se puede utilizar el mtodo de lasfracciones parciales.
383 1 1 1
649 1 16491 1
1 13831 1
12.272
13
11
1
Luego evaluamos la fraccin reducida
1 13
1 221
11
12
13
1
Y determinamos el error, que es de 0.13%
13 383
22 649 100 0.131383
649
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TRENES DE ENGRANAJES CON REVERSIN:
En los ejemplos anteriores las localizaciones de los ejes de entrada y de salida estnen lugares diferentes. En algunos casos es deseable o necesario tener el eje de salidaconcntrico con el eje de entrada lo que se conoce como tren con reversin.
Figura 7.13 Tren de engranes con reversin
EJEMPLO DE APLICACIN: Disear un tren compuesto con reversin con una
relacin exacta de 18:1
Factorizamos la relacin del tren en factores cercanos y menores a 7
18 6 3
1 1 1
Puesto que la distancia entre centros debe ser igual debemos usar la siguienterelacin:
2 3 4 5Z Z Z Z K (1.3)
Por otro lado la relacin de transmisin est dada por:
3 5
2 4
18 6 3
1 1 2
Z Z
Z Z
Y
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3 2
5 4
6
3
Z Z
Z Z
Reemplazando en (1.3) obtenemos:
2 2 4 4
2
4
6 3
7
4
Z Z Z Z K
Z K
Z K
El mnimo valor de K debe ser su mnimo comn mltiplo que es 28, pero no sepueden tener engranes de 7 y 4 dientes, por lo que ensayamos con 28 x 2 = 56 quenos da 14 y 8 dientes, finalmente con 28 x 3 = 84, obtenemos:
2
4
3
5
8412
784
214
72
63
Z
Z
Z
Z
Lo cual es una solucin viable, las operaciones anteriores podemos ponerlas en unsencillo algoritmo de MathCAD
EJEMPLO DE APLICACIN: Disear un tren compuesto con reversin con una
relacin exacta de 48:1
Relaciones parciales
i 48
a1 6 a2 8 a1 a2 48
f 2
K f 1 a1( ) 1 a2( ) K 126
Z2K
a1 1 Z2 18
Z4K
a2 1 Z4 14
Z3 a1 Z2 Z3 108
Z5 a2 Z4 Z5 112
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7.3 ENGRANAJES CILINDRICOS DE DIENTES HELICOIDALES
7.3.1. CARACTERIZACINLos engranes cilndricos de dentado helicoidal estn caracterizados por su dentadooblicuo con relacin al eje de rotacin. En estos engranajes el movimiento se transmitede modo igual que en los cilndricos de dentado recto, pero es ms suave; tienen elinconveniente de producir empujes axiales. El ancho B del engrane debe sersuficientemente grande para que estn engranando por lo menos dos dientes a la vez,los ejes de los engranajes helicoidales pueden ser paralelos o cruzarse, generalmentea 90.
Figura 7.14 Engranajes cilindricos
Para eliminar el empuje axial, el dentado puede hacerse doble helicoidal continuo ointerrumpido, y doble helicoidal intercalado continuo o interrumpido figura 7.15.
Figura 7.15 Engranes doble helicoidales
7.3.2. INCLINACIN DEL DENTADO Y NGULO DE HLICEEn los engranajes de ejes paralelos, la inclinacin del dentado se hace de 10 a 20para evitar empujes excesivos, igual en las dos ruedas pero de mano contraria; elnmero de dientes mnimo recomendado es z = 12. En los engranajes de ejes oblicuosde inclinacin del dentado pueden ser cualquiera pero del mismo sentido en las dos
ruedas. La suma de los ngulos del dentado = 1 + 2, es igual al Angulo queforman los ejes de las ruedas al cruzarse (sin cortarse), siendo 1
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Figura 7.16
Las funciones y valores generales de los trminos de los engranajes cilndricos dedentado recto, son de aplicacin a los cilndricos de dentado helicoidal
Figura 7.17
7.3.3. DISPOSICIONES PARA EL CLCULO DE ELEMENTOS
Al igual que en los engranajes cilndricos de dentado recto, el modulo caracterstica demagnitudes, se fija mediante el clculo de resistencia, segn la potencia a transmitir y
la velocidad (nmero de revoluciones de las ruedas que engranan); el modulocalculado corresponde al normal o real y debe ser aproximado al mayor numero;establecida la inclinacin del diente teniendo en cuenta la velocidad, se cuenta con losdatos necesarios para el clculo de las dimensiones de la rueda, considerandoconocido el nmero de dientes z.
El dimetro exterior de la rueda
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2cos( )
ne n
m zd m
(1.4)
Servir para el torneado de la rueda.
En los engranajes helicoidales de ejes paralelos a la inclinacin del dentado, igual paralas dos ruedas pero de mano contraria, puede ser cualquiera, pero se recomienda:
Velocidad Lenta = 5 a 10Velocidad Normal = 15 a 25Velocidad Elevada > 30
La relacin de produccin o de multiplicacin se recomienda:
Velocidad Lenta i = 1/10Velocidad Normal i = 1/7 a 1/6Velocidad Elevada i < 1/5 (mejor o )
Figura 7.18
PARAMETROS
Dimetro Primitivocos( )
ncmd z m z
Modulo Normal o Real cos( ) cos( )nn cpd
m mz
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Paso Normal o Real cos( ) cos( )n n cd
p m pz
Modulo circunferencial o aparente cos
nc
c
mp
z
dm
Paso circunferencial o aparente
cos*
* ncc
pm
z
dp
Angulo de la hlicec
n
m
m
H
dtg
cos;
*
Paso de la hlice zptg
dH x *
*
Paso axial sen
ptgp
zHp ncx
Numero de dientescn m
d
m
dz
cos*
Espesor cordal del dientez
zmz
me c
zn 90sin**90
sin*cos
*
Altura cordal del diente
z
zmz
zma cn
c90cos1
2190cos1
21
cos
Addendum cos*cn mma
Dedendum cos**25.1*25.1 cn mmb
Dimetro exterior 22cos
* zmm
zmd cn
n
e
Distancia entre centros2
21 ddC
Dimetro ideal (trazado)2cos
ddi
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Nmero ideal de dientes (fresa)3cos
zzi
7.3.4. VALOR DEL EMPUJE AXIAL Y PRESION NORMAL
La fuerza F del pin se descompone en la Fnperpendicular al diente y la Fa1o fuerzaaxial, que tiene que ser absorbida por el soporte contra el empuje axial S adispuestoen el lado opuesto a la direccin de la fuerza axial; la fuerza normal aplicadaperpendicularmente al diente de la rueda conducida se descompone en la fuerza F 2perpendicular al eje de su rueda y que la pone en movimiento, y Fa2 que produce elempuje axial y que se absorber por el soporte axial correspondiente
El valor de F2 es igual a F; el perpendicular al dientecos
n
FF
, y los de los
empujones axiales, entre s pero de mano contraria,1 2 *a aF F F tg
Figura 7.19
La direccin del empuje axial depende del sentido de rotacin de la rueda, de lainclinacin del diente y de la posicin del pin y de la rueda; variando una de estascondiciones se modifica la direccin del empuje
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Figura 7.20
5 10 15 20 25 30Presin Normal Fn 1.0038 1.0154 1.0353 1.0642 1.1034 1.1547Empuje Axial Fa1 0.0875 0.1763 0.2679 0.3640 0.4663 0.5773
7.3.5. NGULO DE PRESIN
Figura 7.21 ngulo de presin
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n= ngulo de presin normal
t= ngulo de presin circunferencialx= ngulo de presin axial.
tgtg tg . sec
cos
tg tg .cos
nt n
n t
El ngulo de presin normal, y el paso normal, son los del til de tallado. Por tanto, hade partirse siempre de uno de los mdulos normalizados, indicados. Conviene tener encuenta, sin embargo, que cuando se trata de engranajes doble-helicoidales condentado continuo; tallados en mquinas especiales para este tipo de dentado, losmdulos normalizados corresponden al mdulo circunferencial. Estas mquinas, comoantes se ha indicado, estn construidas a base de un ngulo de inclinacin constantey, por tanto, al ser el mdulo circunferencial un nmero exacto, resultar un mdulonormal fraccionario. Esto no deja de tener sus ventajas, por cuanto podremos pasarfcilmente de un engranaje de dentado recto a uno doble-helicoidal para una mismadistancia entre centros, ya que haciendo el mdulo circunferencial de este ltimo igual
al mdulo del recto, nos resultarn los mismos dimetros primitivos y, por tanto, lamisma distancia entre centros.
7.3.4. SENTIDO DE GIRO Y PRESIN AXIAL
La presin axial originada por el engranaje helicoidal debe ser contrarrestada pormedio de cojinetes apropiados. Depende de cul sea el elemento motor del engranaje,del sentido del giro y de la inclinacin del diente. La Fig. da, grficamente, los sentidosde las presiones axiales.
Figura 7.22
EJEMPLO DE APLICACIN: Determine los parmetros del engranaje helicoidal,para un pin de 26 dientes de mdulo 2 mm y ngulo de hlice 15.
Datos:
mn 2
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Dimetro Primitivo:
Paso normal
Mdulo aparente
Paso aparente
Paso de hlice
Paso Axial
Espesor cordal del diente
Altura cordal del diente
Adendo
Dedendo
Dimetro exterior
Dimetro ideal
15
180
z 26
dmn z
cos
d 53.834
pn m pn 6.283
mcd
z mc 2.071
pc d
z pc 6.505
H d
tan H 631.185
pxH
z px 24.276
emn z
cos e 53.834
acmn
cos 1
z
21 cos
90
z
ac 54.539
a m a 2
b 1.25 mn b 2.5
demn z
cos 2 m de 57.834
did
cos 2
di 57.699
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Nmero de dientes ideal
ziz
cos 2
zi 27.867
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PLANETARIOS
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Siw21 = 500 rpm antihoraria vista desde la derecha, calcule la magnitud y la direccin de w51.
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