Énergétique
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Résistance des matériaux II Chapitre 145
é é é iMéthodes énergétiqueschapitres 9 et 14
• Objectifs– Utiliser le théorème de Castigliano pour calculer des lesUtiliser le théorème de Castigliano pour calculer des les
réactions aux appuis de structures hyperstatiques– Utiliser le théorème de Castigliano pour calculer des
déplacements, rotations ou rotations angulaires de structures hyperstatiques
– Savoir la définition de l’aire effective en cisaillementSavoir la définition de l aire effective en cisaillement– Calculer l’énergie de déformation en tenant compte de l’effort
tranchant
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 1
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Ch it 9 É i d déf tiChapitre 9: Énergie de déformation9.7 Énergie de déformation9.7.1 Expression de l’énergie pour un chargement uniaxial9.7.2 Énergie de déformation élastique pour un chargement général
Chapitre 14 : Méthodes énergétiques Fichier 1Chapitre 14 : Méthodes énergétiques14.2 Cas particuliers
14.2.1 Tension14.2.2 Flexion
Fichier 1
14.2.3 Torsion14.3 Théorème de la réciprocité, de Maxwell-Betti14.4 Théorème de Castigliano
h14.4.1 Application aux systèmes isostatiques14.4.2 Application aux systèmes hyperstatiques
14.5 Effets de l’effort tranchant
Fichier 2
Fichier 3
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 2
Résistance des matériaux II Chapitre 145
14 4 2 Applications aux systèmes hyperstatiques14.4.2 Applications aux systèmes hyperstatiques
Cette poutre est hyperstatique: A
wxx
y
Cette poutre est hyperstatique: il n’y a pas suffisamment d’équations d’équilibre pour calculer les réactions.
y
AL
BB
Il y a trois inconnues: Ra, Rb et Mb.Deux équations d’équilibre sont
BM
L
w
A Bx
y
disponibles: ∑Fy = 0 ; ∑Mz = 0Par conséquent, il manque une équation. AR
LBR
On peut lever l’indétermination en posant une équation decompatibilité et en transformant cette équation en équation de
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
p q qforces ou de moments à l’aide du théorème de Castigliano.
3
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Mé h d d l i d’ è h iMéthode de solution d’un système hyperstatique• poser les équations d’équilibre
disponibles BMwydisponibles
• déterminer le nombre d’équation(s)
A
RL
R
Bx
q ( )d’équilibre manquante(s), NN = degré d’hyperstaticité (N = 1 pour notre cours)
AR BR
Pour la poutre montrée, il manque une équation;le système est hyperstatique du premier degré
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 4
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Méthode de solution (suite)Méthode de solution (suite)• établir N équations de compatibilité
– Pour la poutre montrée, on connaît trois conditions de ibili écompatibilité:
δA = 0 δB = 0 θB = 0– Le système étant hyperstatique A
BMw
Bx
y
Le système étant hyperstatiquedu premier degré, on choisit uneseule condition de compatibilité AR
LBR
B
et la réaction correspondante estappelée surabondante:a) si on choisit δ = 0 R est la réaction surabondantea) si on choisit δA = 0, RA est la réaction surabondante,
appelée RSelon Castigliano: AR
URU δ=
∂∂
=∂∂
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
AA RR ∂∂
5
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Méthode de solution (suite)Méthode de solution (suite)
b) si on choisit δB = 0, RB est la ) B , B
réaction surabondante, appelée R
A
BMwx
y
etB
B RU
RU δ=
∂∂
=∂∂ A
AR LBR
B
c) si on choisit θB = 0, MB est la réaction surabondanteréaction surabondante
et U θ=∂
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
etB
BMθ=
∂
6
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Méthode de solution (suite)
i l é i A
BMwx
y
• Exprimer toutes les réactionsen fonction de la réaction surabondante et du chargement
A
ARL
BR
B
surabondante et du chargement.
• Appliquer Castigliano:L ff i l’é i
A
Les efforts internes et l’énergie de déformation doivent être exprimés en fonction de la é i b d dréaction surabondante et du
chargement seulement.
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 7
Résistance des matériaux II Chapitre 145
E lExemple :On demande de calculera) les réactions aux appuis A
mNw /,
B Ca) les réactions aux appuisb) l’angle de rotation θ A
au point A de cette poutre.L L
A B
p p
Cette poutre est hyperstatique car elle est appuyée sur trois appuis simples A, B et C:
– 3 réactions inconnues, soit RA,RB et RC
2 équations d’équilibre disponibles soit ∑F = 0 ; ∑M = 0– 2 équations d équilibre disponibles, soit ∑Fy = 0 ; ∑Mz = 0
La solution est d ’utiliser le théorème de Castigliano.
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
La solution est d utiliser le théorème de Castigliano.
8
Résistance des matériaux II Chapitre 145
La procédure pour trouver les réactions aux appuis d’un problème hyperstatique est :1 Choisir une condition de compatibilité et déclarer la réaction1. Choisir une condition de compatibilité et déclarer la réaction
correspondante surabondante (R)2. Établir les équations d’équilibre. Les réactions sont exprimées
en fonction du chargement et de la force surabondante3. Établir les équations des efforts internes et les exprimer en
fonction du chargement et de la surabondantefonction du chargement et de la surabondante4. Appliquer le théorème de Castigliano à la condition de
compatibilité choisie– Permet de déterminer la surabondante (R)– Déterminer les autres réactions aux appuis à l’aide des
é ti d’é ilib
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
équations d’équilibre
9
Résistance des matériaux II Chapitre 145
RR
On choisit δ comme
mNw /,
B C
RRA =1. Réactions aux appuis
On choisit δ A comme condition de compatibilité
L L
A B C
BR CR
∂U 0==∂∂
AAR
U δ
La force RA est déclaréeb dsurabondante
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 10
Résistance des matériaux II Chapitre 145
RRmNw /,
B C
RRA =
RRA =
2. Équilibre
L L
A B C
BR CR
A
M C =∑ 0 Fy =∑ 0
Lw
LRLwLRB ⋅⋅+⋅
=⋅ 22
2
L
RRLwR BC −+⋅=
RLwRB ⋅+⋅= 22 RLwRC −
⋅=
2
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Les réactions sont exprimées en fonction de R et du chargement seulement
11
Résistance des matériaux II Chapitre 145
mNw /,RR =
A B C
RRA =
BR CR
3. Efforts internes
L LB C
BCM VR V
ABM•O
Cx
CRDe A à B : 0 < x < Là
xA •O
02xwxRMM ⋅
+∑
De B à C : 0 < x < L
xRM AB ⋅=⇒=∑ 0OM0
22xwxRLwM
xRMM
BC
CBCO
⋅−⋅⎟
⎞⎜⎛ −
⋅=
=+⋅−=∑Les efforts internes sont
exprimées en fonction de R
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
22xRM BC ⎟
⎠⎜⎝
=
12
et du chargement seulement
Résistance des matériaux II Chapitre 145
RM
⎞⎛ ∂⎞⎛ ∂ M
xRM AB ⋅=
22
2xwxRLwM BC⋅
−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅=
4. Appliquer la condition de compatibilité
000
=⋅
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⋅
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
==∂∂
∫∫L
BCBCL
ABAB
A IE
dxR
MM
IE
dxR
MM
RU δ
( ) ( ) ( ) 0220
2=⋅−⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅−⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⋅+⋅⋅⋅=
∂∂
∫∫LL
odxxxwxRLwdxxxR
RU
0 ⎦⎣o
0423323
4333=
⋅⋅
+⋅
+⋅⋅⋅
−⋅
=∂∂ LwLRLLwLR
RU
423323∂R
16LwR ⋅
=16
7 LwRC⋅⋅
=8
5 LwRB⋅⋅
=Avec les équations d’équilibre
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
16 16C 8B
13
d équilibre
Résistance des matériaux II Chapitre 145
b) Rotation θ A de la poutre en A
La tâche est facile avec A
mNw /,
B CLa tâche est facile avecCastigliano, sachant que L L
U∂θ
Le problème est qu ’il n ’y a pas de A
A MU
∂∂
=θmNw /,
C
16LwRA⋅
=
moment concentré MA au point A!Que fait-on? O j t t fi tif
LL
A B C
AM16
7 LwRC⋅⋅
=
On ajoute un moment fictif. L
85 LwRB
⋅⋅=
Mais, par le fait même, on perturbe l ’éq ilibre de la po tre
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
l ’équilibre de la poutre
14
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Truc pour restaurer l’équilibre LTruc pour restaurer l équilibreComment?On garde les réactions calculées
A
mNw /,
B C
16LwRA⋅
=
gprécédemmentOn équilibre seulement le moment fictif M en ajo tant des
LL
A B C
AM16
7 LwRC⋅⋅
=
moment fictif MA en ajoutant des forces :• qui ont un moment égal et opposé à celui du moment ajouté
L
85 LwRB
⋅⋅=
q g pp j• qui sont d’intensité égale et opposée pour ne pas perturber
l’équilibre de la poutre dans la direction y• qui s’appliquent aux points d’appui de la poutre pour ne pas• qui s appliquent aux points d appui de la poutre pour ne pasperturber la déformée de la poutre et pour ne pas ajouter de l’énergie de déformation dans la poutre
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 15
Résistance des matériaux II Chapitre 145
LM A / Alternative 1 Alt ti 2
A
mNw /,
B C16
LwRA⋅
=
A
A
mNw /,
B C16
LwRA⋅
=
Alternative 2
L L8
5 LwRB⋅⋅
=16
7 LwRC⋅⋅
=AM
LM A / L L
A B
85 LwRB
⋅⋅=
167 LwRC
⋅⋅=AM
LM A /LM A /A
mNw /,LwR ⋅
LM A ⋅2/ Alternative 3
A
,
B C16
RA =
85 LwRB
⋅⋅=
167 LwRC
⋅⋅=AM
• Les trois alternatives permettent d’annulerMA et de garder la poutre en équilibre en y.
• Le choix d’une alternative plutôt qu’uneL L
8 16
LM A ⋅2/
• Le choix d une alternative plutôt qu uneautre est basé sur une question d’expérience.
• Ici, c’est l’alternative 1 qui semble et
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
s’avérera la plus avantageuse.
16
Résistance des matériaux II Chapitre 145
LM A / Alternative 1
A
mNw /,
B C16
LwRA⋅
=
A
Les efforts internes
L L8
5 LwRB⋅⋅
=16
7 LwRC⋅⋅
=AM
LM A /LM A /De A à B : 0 < x < L
A
AM VABM
AR
•O•O
De B à C : 0 < x < L
xA CCR
BCMV x•O
xL
MxRMM
M
AAAAB
O
⋅−⋅+=
⇒=∑ 0 02xwxRM
M
CBC
O
⋅−⋅=
⇒=∑
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
LAAAB2
xRM CBC ⋅=
17
Résistance des matériaux II Chapitre 145
MSelon Castigliano x
LMxRMM A
AAAB ⋅−⋅+=
2
2xwxRM CBC⋅
−⋅=2
∫∫⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
=∂
=θL
A
BCBCL
A
ABAB
A
dxMMMdx
MMM
U
⎥⎤
⎢⎡
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅−⋅+∫
LA
AA dxxxMxRM 1)(
∫∫ ⋅+
⋅∂θ
= 000AMAA IEIEM
16LwRA⋅
=
( )⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⋅⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅−⋅+
⎟⎠
⎜⎝
⋅=
∫
∫
L
C
AA
A
dxxwxR
LL
IE
0
20
02
)(1θ
167 LwRC
⋅⋅=
⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝0
961
61 32 Lw
IELR
IEA
A ⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅=θEn posant MA = 0 ⇒
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
966 IEIE ⋅⎟⎠
⎜⎝⋅p A ⇒
18
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Exemple:On demande de calculer θ pour
yxmNw /,On demande de calculer θ A pour
la poutre illustrée ci-contreL
zA
B
Les réactions RA, RB et le moment MB sont déjà connus.
L
mNw /,
AB
5 L
8
2LwM B⋅
=
P i l l θ il f t j t t fi tif t é A
L
83 LwRA
⋅⋅= 8
5 LwRB⋅⋅
=
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
Pour pouvoir calculer θ A, il faut ajouter un moment fictif concentré en A et ensuite restaurer l’équilibre.
19
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Deux alternatives sont possibles 2LwM AB
⋅=Alternative 1
L’alternative 1 est possible parce que l’encastrement B peut reprendre un moment sans
L
mNw /,
A
8M AB
AM
BAM
peut reprendre un moment sans que de l’énergie de déformation soit ajoutée au système.
L
83 LwRA
⋅⋅=
85 LwRB
⋅⋅=
B
Alternative 2
mNw /,
A
8
2LwM B⋅
=
Alternative 2
AM
LM A /
LA
B
83 LwRA
⋅⋅= 5 LwR ⋅⋅
=
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
8A
8RB = LM A /
20
Résistance des matériaux II Chapitre 145
On choisit l’alternative 1.mNw /, 8
2LwM B⋅
=
Eff t i tAM
LA
3 LwR ⋅⋅ 5 LwR ⋅⋅
BAM
Efforts internes
8RA = 8
RB =
RMxwMM ⋅∑ 0
2
De A à B :
xRMxwMM AAABO ⋅−+=⇒=∑2
0
mNw /,AM
xA
3 LwR ⋅⋅ V
•OABM
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
8RA = V
21
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Appliquant Castigliano :pp q g
x
mNw /,
A xRMxwM AAAB ⋅−+⋅
=2
2
M x
83 LwRA
⋅⋅= V
xw ⋅ 2
AM
dxM
MIE
MMU
A
ABL
AB
MAA
A∂∂
⋅=
∂∂
= ∫= 00
θ ( ) dxIE
xRxwML AA⋅⋅
⋅
⋅−⋅
+= ∫ 12
0
Lw ⋅ 3
θEn posant MA = 0, ⇒ IEA ⋅⋅−=
48θ
i.e., dans le sens inverse de
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
i.e., dans le sens inverse de MA fictif
22
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Thé è d C ti liThéorème de Castigliano
CommentaireCo e eLorsque le système est isostatique, il est plus simple de mettre sur la structure, dès le début, les charges réelles et fictives et d’établir les é i d’é ilib idé l d d héquations d’équilibre en considérant les deux types de chargement, fictif et réel.
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 23
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Ch it 9 É i d déf tiChapitre 9: Énergie de déformation9.7 Énergie de déformation9.7.1 Expression de l’énergie pour un chargement uniaxial9.7.2 Énergie de déformation élastique pour un chargement général
Chapitre 14 : Méthodes énergétiques Fichier 1Chapitre 14 : Méthodes énergétiques14.2 Cas particuliers
14.2.1 Tension14.2.2 Flexion
Fichier 1
14.2.3 Torsion14.3 Théorème de la réciprocité, de Maxwell-Betti14.4 Théorème de Castigliano
h14.4.1 Application aux systèmes isostatiques14.4.2 Application aux systèmes hyperstatiques
14.5 Effets de l’effort tranchant
Fichier 2
Fichier 3
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 24
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Jusqu’ici, on a négligé l’apport de l’énergie de déformation associée à l’effort tranchant dans le calcul de la flèche ou de l’angle de rotation.g
La notion de l’aire effective en cisaillement Ac simplifie considérablement le calcul de l’énergie de déformation due à l’effort tranchant et permet ainsi de tenir compte de l’effort tranchant dans le calcul de la flèche et de l’angle de rotation.g
Ac devient une propriété de la section au même titre que les moments d’aire et que la constante de torsion
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 25
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Ai ff ti d i ill tAire effective de cisaillement
Ac est déterminée de façon à ce que l’énergie de déformation,c ç q g f
• calculée en utilisant la distribution moyenne de la contrainte de cisaillement agissant sur l’aire Ac par :
m AV
=τ
au lieu de la distribution réelle:cA
∫= dAV τ
• soit équivalente à l’énergie de déformation calculée en utilisant la distribution réelle de la contrainte de cisaillement sur la section
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 26
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Ainsi, pour une contrainte de cisaillement τ, l ’énergie de déformation U est donnée par :
∫1
Puisque :
dVUV
⋅⋅= ∫ γτ21
G/q
on peut écrire :
G/τγ =
(a) 2
1 2∫ ∫ ⋅⋅= dxdAG
U τ2 ∫ ∫⋅ L AG
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 27
Résistance des matériaux II Chapitre 145
E idé l i d i ill iEn considérant la contrainte de cisaillement moyenne agissant sur l ’aire effective de cisaillement, l ’énergie de déformation est donnée par :p
∫∫ ∫ ⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
=L
cmL A
m dxAG
dxdAG
U 22
21
21 ττ
Puisque
LL A GG 22
cm AV /=τ
(b) 2
1 2
∫ ⋅= dxAV
GU
2 ⋅ L cAG
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 28
Résistance des matériaux II Chapitre 145
1 (a) 2
1 2∫ ∫ ⋅⋅⋅
=L A
dxdAG
U τ
2(b)
21 2
∫ ⋅⋅
=L c
dxAV
GU
En comparant (a) et (b), on tire :
∫ dAV 22
∫ ⋅=Ac
dAA
2τ
(c) 2
2
∫ ⋅=
A
c dAVAτ
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
A
29
Résistance des matériaux II Chapitre 145
L’aire effective de cisaillement A d’une section estL aire effective de cisaillement Ac d une section est déterminée en utilisant (c). Lorsque sa valeur est connue, l’énergie de déformation due à l’effort tranchant peut alors êt l lé f il t tili t (b)être calculée facilement en utilisant (b).
2(b)
21 2
∫ ⋅⋅
=L c
dxAV
GU
(c) 2
2
∫=c dA
VA ( )2∫ ⋅
A
c dAτ
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 30
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Ai ff ti d i ill tAire effective de cisaillement
Exemple : Déterminer l’aire effective de cisaillement AC d’une p Cpoutre de section rectangulaire.
QV⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − yhb
2
bIQV
z
zy
⋅⋅
=τh y
⎞⎛ h1
⎠⎝
τx
yz
V
⋅=
3hbIb
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + yh
221 τ
yV
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +⋅⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −⋅=⋅= )
2(
21)
2(
12
yhyhbyAQ
I
z
z
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
⋅⋅
= 22
3 26
yhhbVyτ
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 31
⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 222 ⎦⎣ ⎠⎝hb
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Ai ff ti d i ill tAire effective de cisaillement
Exemple (suite) : Section rectangulairep ( ) g
dyyhhbV
bdAh
y
A
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅⋅
⋅=⋅ ∫∫2
222/
062
22
236
2τ∫ ⋅
=c dAVA2
2
τA ⎦⎣ ⎠⎝0
dyyyhhhbV
dAh
y ⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
=⋅ ∫∫2/
4224
6
22
22
272
τ
∫A
yyyhbA
⎥⎦
⎢⎣
⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝⋅ ∫∫
06 22
VhhhVdA y ⋅
=⎥⎤
⎢⎡
⎟⎞
⎜⎛⋅+⎟
⎞⎜⎛⋅−⎟
⎞⎜⎛⋅
⋅=⋅∫
61272 255522τ
hbhbdA
A ⋅⋅=⎥
⎦⎢⎣
⎟⎠
⎜⎝
+⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝⋅
=∫ 5252326τ
55 AhbA ⋅⋅⋅
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
66Ac ==
32
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Ai ff ti d i ill tAire effective de cisaillement
Application : yppAire effective de cisaillement Acd’un tube rond à paroi mince. z
R
t
A2AtRAc =⋅⋅= π
Aire effective de cisaillement Ac R29 RAcd’un tube rond plein.
R2
109 RAc ⋅⋅= π
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 33
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Ai ff ti d i ill tAire effective de cisaillement
Application : yppaire effective de cisaillement Acd’un tube rectangulaire à paroi mince. t
hzthAc ⋅⋅≈ 2
b
aire effective de cisaillement Ac
y
cd’une poutre en I.
hwt
zhwAc ⋅≈
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 34
b
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Thé è d C ti liThéorème de Castigliano
Exemple : Déterminer la contribution de l’effort tranchant à la flèche pau point d’application de la force P
PP
L52200xWA B
PV
ABM Bx
•o
xPMM AB ⋅=⇒=∑ 0 2
46
33
h mm10x7,52I
MPa77x10G ; MPa10x200E=
==De A à B : 0 < x < L
xPMM ABo ⇒∑ 0 2c mm1627mm206x 7,9mmh x wA ===
PV =
S l C ti liU∂δ
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 35
Selon Castigliano :PB ∂
=δ
Résistance des matériaux II Chapitre 145
VM LL 22
dxAG
VdxIE
MUL
c
LAB ∫∫ ⋅⋅
+⋅⋅
=0
2
0
2
22
( ) ( )PVVPMMU LL ∂∂∂∂∂ //
MAB = P·x
V = P( ) ( )dx
AGPVVdx
IEPMM
PU L
c
LABAB
B ∫∫ ⋅∂∂
+⋅
∂∂=
∂∂
=00
//δ
( ) ( )LL LPLPPP 1 3( ) ( )c
L
c
L
B AGLP
IELPdx
AGPdx
IExxP
⋅⋅
+⋅⋅
⋅=
⋅+
⋅⋅
= ∫∫ 31 3
00
δ
⎤⎡3Plus la poutre est courte, plus la
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
⋅= 2
3 313 LAG
IEIE
LPc
Bδ
L, mm α α
p , pcontribution de l’effort tranchant
à la flèche est importante.
[ ]3
3
253x10
13
+⋅⋅⋅
⋅= αδ
IELP
B
α+1500 1,012 0,503
1000 0,253 0,202
2000 0,063 0,059
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
2L253x10 =α L en mm
36
, ,
4000 0,016 0,016
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Thé è d C ti liThéorème de Castigliano
Problème synthèse: Portiquey qa) Déterminer les réactions aux appuis de
ce portiquemNw /,
B CD•
b) Déterminer la flèche au point C situé à L/2 L
2/L 2/L
Les joints en B et D sont rigides; les attaches en A et E sont des rotules A E
L
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 37
Résistance des matériaux II Chapitre 145
mNw /, mNw /,
B CD
,
B CD•
2/L 2/L
L
A
ERHA = RHE =A E
L
AV EV• Quatre réactions inconnues et trois équations d ’équilibre disponibles
∑∑∑ === 0;0;0 MFF•Problème hyperstatique du premier degré; on choisit une équation de compatibilité : δAH = δA = 0
∑∑∑ === 0;0;0 zyx MFF
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
• HA est la réaction surabondante
38
Résistance des matériaux II Chapitre 145
B D• B D•B CD B C
D
A E A E
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 39
Résistance des matériaux II Chapitre 145
mNw /, mNw /,
B CD
,
B CD•
2/L 2/L
L
A
ERHA = RHE =A E
L
Par symétrie, on peut poser VA=VE=(wL)/2.
AV EV
La valeur de HA et HE sera obtenue à l ’aide de :
∑ =⇒= HHF 00=
∂∂
=A HUδ
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
∑ =⇒= EAx HHF 0 ∂ AH
40
Résistance des matériaux II Chapitre 145
mNw /,Efforts internes
De A à B : 0 < x < LDe D à E : 0 < x < L
B CD
Efforts internes
De D à E : 0 < x < L
Px
L
LwP
xRM
AB
AB
⋅−=
⋅=
2ABM
ABP
V•o
AE
LwV ⋅ VRHA = RHE =
RVAB
AB
=2
RH
xABV 2
VA = EV
ALwV ⋅
=
RHA =
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
2VA =
41
Résistance des matériaux II Chapitre 145
mNw /,
De B à D : 0 < x < LB D
x
Efforts internes
22
2
xLwLRxwM BD ⋅⋅
−⋅+⋅
=V
LwxwV
RP
BD
BD
⋅−⋅=
= mNw /,
Bx
BDVBDM
BDP•o AE
LwV ⋅ V
RHA =
RHE =
2xwVBD x
2VA = EV
RHA =
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
A
2LwVA⋅=
42
Résistance des matériaux II Chapitre 1452
xLwLRxwM BD ⋅⋅
−⋅+⋅
=xRM AB ⋅=
2
22
LwxwV
RP
xLRM
BD
BD
BD
⋅−⋅=
=
+
RV
LwP
AB
AB
=
⋅−=
2
( ) ( ) ( )∑∑∫∑∫∂∂
+∂∂
+∂∂
==∂
=δLR/PPdxR/VVdxR/MM0U ii
Lii
Lii
2
Selon Castigliano:
∑∑∫∑∫ ⋅+
⋅+
⋅==
∂=δ
AEAGIE0
R 0 c0A
( )1A B et DE
( ) ( ) ( )021
212200
⎞⎛⎞⎛
+⋅
−+
⋅+
⋅=
∂∂
∫∫ AE
LwL
AGdxR
IEdxxRx
RU L
c
L
( ) ( ) ( ) 010
221
21
00
2
=⋅+
+⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
∫∫ AELR
AG
dxwLwx
IE
dxLwLxwxRL L
c
L
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
00 c
BD
43
Résistance des matériaux II Chapitre 145
44 wLwL
02232232
33
=⋅
+⋅
⋅−
⋅+
+⋅
+⋅
=∂∂
AERL
IE
wLwLRL
AGRL
IERL
RU
c
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟⎟
⎞⎜⎜⎛
+
⋅=
22 365
14 IEI
LwR⎟⎠
⎜⎝
+⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
+ 22 365ALGLAc
1⎟⎞
⎜⎛ EI 1⎟
⎞⎜⎛ ISi C l i12 <<<⎟⎟
⎠⎜⎜⎝ GLAc
12 <<<⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
AL
'RwLR ≈
Si et
l
Conclusion :
L’effet de l’effort tranchant et de la force axiale sur l’énergie '
20RR =≈alors g
de déformation est négligeable
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 44
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Pour un portique fabriqué d ’un profilé W200x52 :Pour un portique fabriqué d un profilé W200x52 :2246 1350et 6660 , 107,52 mmAmmAmmxI c ===
L, mm R/w x10-3
R’/w=L/20 x10-3
R’/R 20' wLR =
500 16,596 25 1,506
1000 44,405 50 1,127⎟⎞⎜⎛+⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
+
⋅=365
14 IEI
LwR, ,
2000 96,974 100 1,032
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟⎟
⎠⎜⎜⎝
+ 22 365ALGLAc
4000 198,57 200 1,007
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 45
Résistance des matériaux II Chapitre 145
Dans un portique de faible dimension L 500mm l ’effortDans un portique de faible dimension, L = 500mm, l ’effort tranchant contribue pour 50% de la réaction horizontale aux points A et E. Pour un portique aux dimensions plus normales, L = 4 m, cette contribution est de 0,7 %.
L, mm R/w R’/w=L/20 R’/R,x10-3 x10-3
500 16,596 25 1,506
1000 44,405 50 1,127
2000 96,974 100 1,032
4000 198,57 200 1,007
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 46
Résistance des matériaux II Chapitre 145
b) la flèche au point CmNw /,
fictive=P
∂UB C
D
0=∂∂
=P
C PUδ
L
Puisqu’il n’y a pas de force au point C,on ajoute une force fictive à cepoint ; il faut ensuite l ’équilibrer.
A
ERHA = RHE =
AV EV2/P 2/P
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 47
Résistance des matériaux II Chapitre 145
On utilise les réactions calculéesOn utilise les réactions calculées précédemment :
fictive=P
2wLVV EA ==
mNw /,
B CD
M
2EA
20wLRHH EA ===
LIci on néglige les effets de l ’énergie de déformation associée à la force axiale P et à ABM
BDM L
l ’effort tranchant V.
ERHA =wLwxPLRM2
A
2wLVA = EV
RHE =
2/P 2/PxRM AB ⋅=
x22
x2
LRMBD −+−⋅=
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
AB
48
Résistance des matériaux II Chapitre 145
LP 2 fictive=P
xRM AB ⋅=
x2
wL2
wxx2PLRM
2
BD −+−⋅= mNw /,
B CDwLR =xRM AB
dPMMU ii∑∫∂∂∂ )/(δ
ABM
BDM20R =
dxEIP
ii
Pc ∑∫=
∂=
=
)(0
δ
ERHA = RHE =A
2wLVA = EV
2/P 2/P∫ +=∂∂
=δ=
L
00Pc EI
dx)0(Rx2PU
∫−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+−L
2
0
EI
dx)2x()Lxx(
2wx
2PRL
EIwL
c 192013 4
=δ⇒
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.
∫0 EI EI1920
49
Résistance des matériaux II Chapitre 145
P blè lé t i (f lt tif)Problème supplémentaire (facultatif) : Calculer les déplacements vertical et horizontal δhC et δvC dans la structure ci-contre soumise à la force P.
RB
0=∂∂
=Q
hC QUδ
0=∂∂
=Q
vC PUδ
PQ
B CEfforts internes :
θBCMBCP BCV
•oL
A CR
P Q
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 50
Résistance des matériaux II Chapitre 145
En négligeant les effets de la force axiale PBC et de l’effortEn négligeant les effets de la force axiale PBC et de l effort tranchant VBC sur l ’énergie de déformation :
BCP BCVDe B à C : 0 < θ < π
[ ])cos(1)sin( θθ −⋅+⋅−= RPRQM BC θBCM
R
•o
B C
RC
RP Q
P0=Q
C
ABM x De A à B : 0 < x < L
RPxQM AB ⋅⋅+⋅= 2
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 51
Résistance des matériaux II Chapitre 145
dxMU ∂∂∫ IE
dxP
MMPU i
iQ
CV ⋅∂∂
=∂∂
= ∑∫=0
δ
[ ])cos(1)sin( θθ −⋅+⋅−= RPRQM BC
RPxQM + 2 RPxQM AB ⋅⋅+⋅= 2
( )R cos11 θπ
[ ]{ } ( )∫ ⋅
−−⋅+⋅−
⋅=
L
CV
dxR
dIE
RRPRQIE 0
2
cos1)cos(1)sin(1 θθθθδ
[ ]∫ ⋅⋅⋅
⋅⋅+⋅+IEdxRRPxQ
0
22
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 52
Résistance des matériaux II Chapitre 145
dMU ∂∂IE
dxP
MMQU i
iQ
CH ⋅∂∂
=∂∂
= ∑∫=0
δ
[ ])cos(1()sin( θθ −⋅+⋅−= RPRQM BC
RPxQM AB ⋅⋅+⋅= 2
{ } ( )dRRPRQEI
L
CH −−⋅+⋅−= ∫0
sin)cos(1()sin(1 θθθθδπ
( ) dxxRPxQEI
L
⋅⋅⋅⋅+⋅+ ∫0
21
Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing. 53