Endomorfisme Adjuncte Autoadjuncte ETTI
-
Upload
silvia-maria -
Category
Documents
-
view
73 -
download
2
description
Transcript of Endomorfisme Adjuncte Autoadjuncte ETTI
-
1
ENDOMORFISME(APLICAIILINIARE)ADJUNCTE,AUTOADJUNCTEPentruacestcapitolestenecesarcunoaterea(recapitularea)noiunilorde:aplicaieliniar(morfismdespaiivectoriale),endomorfism,matriceauneiaplicaiiliniarentrobazdat,produsscalaribazortonormat(imodalitateadedeterminareaacesteia).Definiie: Fie V un spaiu euclidian1 i :f V V un endomorfism. Se numete adjunctul lui f (i senoteaz *f )endomorfismul *:f V V cuproprietateac:
( ), , *( )f x y x f y ,pentru ,x y V Observaie:Adjunctulunuiendomorfismexistieunic.Proproziie:FieV unspaiueuclidian, B obazortonormataluiV i :f V V unendomorfism.Fie
Bf matriceaendomorfismului f nbaza B .Atuncimatriceaendomorfismuluiadjunct *:f V V este
egalcutranspusamatriceiendomorfismului f :
* TB Bf f Definiie: Fie V un spaiu euclidian i :f V V un endomorfism. Atunci f se numete endomorfismautoadjunctdac *f f .
Observaie: Pentru endomorfismele autoadjuncte, TB Bf f , adic matricea endomorfismului estesimetricpentrucazulreal).
CUMSEDETERMINEFECTIVADJUNCTULUNUIENDOMORFISM?
1) Severificdacbazacorespunztoarescrieriiendomorfismuluiesteortonormat:dacda,setrecela2),dacnu,seortonormeazbaza(cualgoritmulGrammSchmidt);
2) Se determin matricea endomorfismului n baza ortonormat, Bf , apoi se determin matriceaadjunctului: * TB Bf f isescrieendomorfismuladjunct(cuajutorulmatricei *Bf )
3) Dac,nplus, TB Bf f ,atunciendomorfismulesteautoadjunct(deci *f coincidecu f )
Exemplul1:Seconsiderendomorfismul 2 2:f ,K (corpulscalarilor)definitprin , 2 , 3f x y x y x y .Determinaiadjunctul *f ,relativlaprodusulscalareuclidian.
1Esteunspaiuvectorialfinitdimensionalpecaresadefinitunprodusscalarreal
-
2
Rezolvare:Deoarecenusespecificbazancareestedefinitendomorfismul,aceastaestebazacanonicdin2 : 1 2, 1,0 , 0,1B e e .Bazacanonicdin n esteortonormat.Matriceaendomorfismului f n
bazaortonormat B este 1 2( ) ( )Bf f e f e ,unde: 1( ) 1,0 2 1 0 ,1 3 0 2,1f e f irespectiv 2( ) 0,1 2 0 1, 0 3 1 1, 3f e f ,deci
2 11 3
Bf
.Matriceaendomorfismuluiadjunct *f este 1 2*( ) *( )Bf f e f e iconformteoriei, * 2 11 3TB Bf f ,deci 1 1 2*( ) 2 2 , 1f e e e i 2 1 2*( ) 3 1, 3f e e e .Forma
endomorfismuluiadjuncteste: 1 2* , *( ) *( ) 2, 1 1,3 2 , 3f x y x f e y f e x y x y x y .
Exemplul2:Seconsiderendomorfismul 3 3:f ,K (corpulscalarilor)definitprin , , 2 , ,f x y z x y z x y z x z .Determinaiadjunctul *f ,relativlaprodusulscalareuclidian.
Rezolvare:Deoarecenusespecificbazancareestedefinitendomorfismul,aceastaestebazacanonicdin3 : 1 2 3, , 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1B e e e .Bazacanonicdin n esteortonormat.Matricea
endomorfismului f nbazaortonormat B este 1 2 3( ) ( ) ( )Bf f e f e f e ,unde: 1( ) 1,0,0 1 2 0 0 ,1 0 0 ,1 0 1,1,1f e f , 2( ) 0,1,0 0 2 1 0 , 0 1 0 , 0 0 2 , 1,0f e f i 3( ) 0,0,1 0 2 0 1, 0 0 1, 0 1 1,1,1f e f ,
deci1 2 11 1 11 0 1
Bf
.Matriceaendomorfismuluiadjunct *f este 1 2 3*( ) *( ) *( )Bf f e f e f e i
conformteoriei, *1 1 12 1 01 1 1
TB Bf f
,deci:
1 1 2 3*( ) 2 1,2 , 1f e e e e , 2 1 2 3*( ) 1 , 1 ,1f e e e e i 3 1 3*( ) 1 , 0 ,1f e e e .Formaendomorfismuluiadjuncteste:
1 2 3* , , *( ) *( ) *( )
1, 2, 1 1, 1,1 1,0,1 , 2 ,
f x y z x f e y f e z f e
x y z x y z x y x y z
-
3
Exemplul3:Fieendomorfismul 2 2:f P P ,definitprin: f P P P (amnotatcu 2P mulimeapolinoamelordegradcelmultdoi,cucoeficienirealiiar P esteunpolinomoarecaredin 2P )iK (corpulscalarilor).Considermpe 2P produsulscalar: 10, ( ) ( )P Q P x Q x dx .Determinaiadjunctullui f .
Rezolvare:Deoarecenusespecificbazancareestedefinitendomorfismul,aceastaestebazacanonicdin 2P : 21 2 3, , 1, ,B v v v x x .Bazacanonicdin 2P NUesteortonormat(nuesteniciortogonal
severificimediatc,deexemplu, 1 3, 0v v ,adic3 11 2
0 0
1 03 3xx dx ).Maintivomortonormabaza
21 2 3, , 1, ,B v v v x x folosindalgoritmulGrammSchmidt:1)Obinereabazeiortogonale 1 2 3, ,B u u u :
1 1 1u v ; 1
2 11
02 1 02 2 2 2 1 1 1
1 1 00
, 2 11, 21
u
xx dxv u
u v pr v v u x x xu u xdx
;
1 2
1 21 203 1 3 2 2 0
3 3 3 3 3 1 2 1 11 1 2 2
0 0
2
1, , 121
1, , 212
1(...)6
u u
x x dxx dxv u v uu v pr v pr v v u u x x
u u u u dx x dx
x x
Amobinutbazaortogonal: 21 2 3 1 1, , 1 , ,2 6B u u u x x x .
1)Obinereabazeiortonormate 1 2 3, ,B w w w :1
11
1uwu
; 2 22 212 2 2
0
12 (...) 3 2 1
, 12
xu uw xu u u
x dx
;
23 33 213 3 3 2
0
12 (...) 5 6 6 1
, 16
xu uw x xu u u
x x dx
.
Amobinutbazaortonormat 21 2 3, , 1 , 3 2 1 , 5 6 6 1B w w w x x x .Matriceaendomorfismului f nbazaortonormat B este 1 2 3( ) ( ) ( )Bf f w f w f w .Pentruacalcula
1 2 3( ) , ( ) , ( )f w f w f w folosimdefiniiaendomorfismului f dinenun: f P P P ,nlocuindpernd P cu 1 2,w w irespectiv 3w :
-
4
1 1 1 1( ) 1f w w w w , 2 2 2 1 2( ) 2 3 2 3 3 2 3 3 2 1 2 3f w w w x x w w i 2 23 3 3
2 3
( ) 12 5 6 5 6 5 6 5 5 6 5 2 1 5 6 6 1
2 15 5
f w w w x x x x x x
w w
deci1 2 3 0
0 1 2 150 0 1
Bf
.Matriceaendomorfismuluiadjunct *f este:
1 2 3*( ) *( ) *( )Bf f w f w f w iconformteoriei, *1 0 0
2 3 1 0
0 2 15 1
TB Bf f
,deci:
1 1 2*( ) 2 3 12 7f w w w x , 22 2 3*( ) 2 15 60 3 62 3 11 3f w w w x x i 23 3*( ) 5 6 6 1f w w x x .
Pentrudeterminareaformeiendomorfismuluiadjunct *f P procedmnfelulurmtor: 20 1 2* *f P f a a x a x iar 20 1 2 1 1 2 2 3 3a a x a x b w b w b w (combinaieliniarntreelementele
bazeiortonormate).Vremsexprimmcoeficienii 1 2,b b i 3b nfunciede 0 1,a a i 2a : 20 1 2 1 1 2 2 3 3a a x a x b w b w b w 2 20 1 2 1 2 33 2 1 5 6 6 1a a x a x b b x b x x
0 1 2 3
1 2 3
2 3
3 5
2 3 6 5
6 5
a b b b
a b b
a b
3 2
2 1 2
1 0 1 2
16 512 3
1 12 3
b a
b a a
b a a a
Asfel,formaendomorfismuluiadjunctvafi:
20 1 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
0 1 2 1 1 2 2 2 3
2 20 1 2 1 2 2
* * * * * *
1 1 1 1* * *2 3 2 3 6 51 1 1 112 7 60 3 62 3 11 3 5 6 6 12 3 2 3 6 5
f P f a a x a x f b w b w b w b f w b f w b f w
a a a f w a a f w a f w
a a a x a a x x a x x
20 1 2 1 2 1 219(...) 7 2 5 5 3 306a a a a a x a a x .