En liten introduktion till

ELLÄRA v 0.1

Patrik Eriksson 2003

Longum iter est per praecepta, breve et efficax per exempla

Vägen görs lång genom regler, kort och effektiv genom exempel. /Seneca Philosophus, Epistulae

Spänning

Vi tänker oss att den neutrala fördelningen av fria elektroner i ett material omgrupperas. Vi får ett områdemed överskott och ett område med underskott av elektroner. För att denna förflyttning skall ske krävs attnågon form av arbete uträttas. Eftersom elektronerna strävar att åter inta neutral fördelning måste någonform av verkan finnas mellan dessa bägge områden. Detta kallar vi potentialskillnad eller elektrisk spänning.(Betecknas U)

Definition:

Om arbetet W uträttas då laddningen Q förflyttas från punkt A till B är spänningen mellan A och B:

U =WQ

U = NmAs

=Volt

As = Ampèresekund = 1 Coloumb.

En laddning på 1C som kräver arbetet 1Nm för att förflyttas från A till B ger spänningen 1 Volt mellanpunkterna A och B.

Den elektriska spänningen kan jämföras med begreppet lägesenergi inom mekaniken.

Anordningar, sådana att de mellan två områden, poler, kan skapa och vidmakthålla ett visst konstant över-resp. underskott av laddningar, kallas strömkällor. Ett exempel härpå är ett vanligt ficklampsbatteri.

Ström

Om vi så ansluter en elektrisk ledare mellan den nyligen nämnda strömkällans poler kommer spänningen,dvs laddningsöverskottet vid den ena polen att skapa en ström av laddning ut i ledaren, mot den andrapolen, strävande efter att skapa en så jämn laddningsfördelning som möjligt.Begreppet elektrisk ström (Betecknas I) är ett mått på den laddningsmängd som förflyttas, och med vilkenhastighet detta sker.

Definition:

I=Qt

I=Ast= Ampère

Ampèresekund = 1 Coloumb

En laddning på 1C som passerar ett tvärsnitt av ledaren på tiden t = 1s. ger upphov till strömmen1Ampère. (Därav begreppet As = Amperesekund)

Analogt med t.ex. ett vattenflöde kan man uttrycka det som så att spänningen är trycket, strömmen ärmängden

Resistans

Då laddningar vandrar från en pol till en annan i en sluten krets sker en energiomvandling. Laddningarnakolliderar med atomerna i ledaren, vilket ger upphov till en energiförlust. Den i strömkällan upplagradeenergin i form av potential omsätts i ledaren till värme.Antalet fria elektroner varierar mellan olika material, och om antalet är litet innebär detta en liten ström.Liten tillgång på fria elektroner innebär ett hinder för strömmen, och detta hinder kallar vi resistans.(Beteckning R)

Definition:

R= UI

R= VA=Ω

V = spänningen i Volt A = strömmen i AmpèreΩ = resistansen i Ohm

En ström på 1 Ampère i en ledare ansluten till en spänning 1 Volt ger en resistans i ledaren på 1 Ohm.

Schemasymboler för resistans, samt variabel resistans. (potentiometer)

Ohms Lag

R=UI

Detta är ellärans absolut viktigaste lag!Förutsatt att resistansen är konstant för en given ledare är förhållandet mellan spänning och strömproportionellt. Om spänningen över ett visst motstånd ökar till det dubbla ökar sålunda strömmen också tilldet dubbla.

Förr eller senare kommer ni att råka på begreppet impedans, vilket också är en resistans, men det räknarman med i det mer allmänna fallet där vi har varierande strömmar, växelström. Tills vidare kan vi hålla i sinnet att resistans = likströmsresistans och impedans = växelströmsresistans.(Likström är ju som växelström, fast med frekvensen noll.)

Kirchoffs spänningslag (Kirschoff II / KVL)

Kallas även Kirchoffs andra lag.”Summan av potentialändringarna i en godtycklig sluten krets är lika med noll.”

Summera alla potentialändringar genom en ”vandring” längs den slutna kretsen. Markera med teckenvilken sida av varje kretskomponent som har högre resp. lägre potential.

U 1U R1U 2U R2=0 Exempel:

Sätt U1 till 5 volt, U2 till 10 volt, R1 till 30 ohm och R2 till 20 ohm.

Detta ger:

Vad får vi för spänning över motstånden? Vi tar hjälp av strömmen I för att klura ut detta.

Ohms lag UR= I ger oss strömmen I i kretsen

5 10

3020=0,3 A ..

Ohms lag ger oss även U =R⋅I vilket ger

För R1: U =30 ⋅0,3 =9 För R2 U =20 ⋅0,3 =6

Observera att vi hade minustecken framför spänningarna över motstånden, så vi får alltså -9 volt över R1,samt –6 volt över R2. Minustecknet innebär alltså att spänningen över motstånden är motriktad den överspänningskällorna.(Spänningen ökar över en spänningskälla, den minskar över ett motstånd.)

5+(-9)+10+(-6)=0

5 UR110U

R2=0

15 U R1U R2=0

Kirchoffs strömlag (KI / KCL)

Kallas även Kirchoffs första lag. ”Summan av strömmarna in och ut från en viss knutpunkt = 0”

En punkt i ett nät där två eller flera ledare förenas kallas knutpunkt eller nod. Strömmarna som passerar ini denna punkt är lika med dem som passerar ut.När man betraktar ett nät utifrån Kirchoffs strömlag väljer man en referensriktnig för samtliga strömmar.Denna kan väljas godtyckligt, då man vid senare beräkningar bara får ett negativt värde omreferensriktingen inte överensstämmer med den fysikaliska.

I3 + I2 +(-I1) + (-I4) = 0

∑ I=0

Beroende och oberoende källor

En ideal strömkälla skulle vara kapabel att leverera hur stor ström som helst och ändå hålla polspänningenkonstant. I praktiken fungerar inte detta, eftersom varje strömkälla har sina fysiska begränsningar. En strömkälla, låt vara ett batteri eller laboratorieaggregat, kan betraktas som en spänningskälla E och eninre resistans Ri.

Ju bättre strömkälla, desto mindre är Ri. Vid obelastad strömkälla går ingen ström genom kretsen,spänningsfallet över Ri är noll, och spänningen ut på strömkällans poler är lika med E. Men närströmkällan belastas med RL, och kretsen sluts går en ström genom både Ri och RL. Vi får enpotentialförändring utmed kretsen allt enligt Kirchoff II (Kirschoffs spänningslag / KVL). Sålunda kommerspänningen över strömkällans poler, och därmed också lasten, att sjunka omvänt mot strömmen.

UL = U0 – IL * Ri Tomgångsspänningen = E

I praktiken använder man sig av spänningsregulatorer i strömkällorna, vilket är en aktiv krets som justerarspänningen till att hålla sig konstant oberoende av strömuttaget.

Mätinstrument / Spänningsmätning

Vridspoleinstrumentet är det ”traditionella” mätinstrumentet med envisare som påverkas av en spole i ett magnetfält. När en strömflyter i spolen vrider denna sig, och ger ett mot strömmenproportionellt utslag. Med enbart vridspoleinstrumentet kan manför det mesta bara mäta mycket små spänningar och strömmar,spolen skadas av att utsättas av för höga strömmar. I praktikenutökar man instrumentets mätområde med yttre resistorer. Instrumentet kan användas på två sätt; som voltmeter och ampèremeter.

Voltmetern mäter spänningen över tvenne punkter. Sålunda kopplarman instrumentet parallellt med mätobjektet. Viktigt är attinstrumentets egen resistans är hög i förhållande till mätobjektet föratt minska dess egenpåverkan och därmed mätfelet. Genom attkoppla ett seriemotstånd till mätinstrumentet utökar man dessmätområde. (och ökar egenresistansen)

Förenklad bild av ett vridspoleinstrument

Amperemetern mäter strömmen genom en punkt. I detta fall kopplar man instrumentet i serie medmätobjektet. I detta fall vill man att instrumentets egenresistans är låg i förhållande till mätobjektet.Genom att koppla ett s.k.shuntmotstånd parallellt med instrumentet utökar man dess mätområde. (ochsänker egenresistansen)

Bägge dessa funktioner; ampère- och voltmeter, återfinner viinbyggda tillsammans med serie- och shuntmotstånd i en vanligmultimeter. Ofta är dessa dessutom försedda med funktioner förmotståndsmätning och andra finesser. Vidstående bild visar enklassisk multimeter; AVO-meter mk8.Riktigt bra instrument för spänningsmätning har en inbyggdförstärkare med mycket stor inresistans, vilket gör att man i praktikenkan försumma instrumentets inverkan på mätobjektet. Dessa kalladesförr förstärkarvoltmetrar eller rentutav rörvoltmetrar,och har eninresistans på flera MΩ.

AVO-meter mk8

Digitala instrument används i allt större utsträckning. Dessa har samma funktion som de analogavridspoleinstrumenten, men har numerisk display istället för visare. Dessa instrument har aktiv elektroniksom möjliggör hög känslighet och liten belastning av mätobjektet.

En ideal A-meter är lika med en kortslutning, och en ideal V-meter är lika med avbrott (en öppen krets, oändligresistans.

Det som sagts hittills gäller likström. Växelströms- och växelspänningsmätning går till på ett likartat vis,men här måste vi fundera på vad det är vi mäter. Växelströmmen är ju stadd i ständig förändring, ochtoppvärdet har vi ju endast momentant. Vanligast är att man mäter på ett likriktat medelvärde.

Likriktat medelvärde Umm: Um m=1 T ∫

0

T

∣u∣dt

Vid sinusformad växelspänning skiljer sig detlikriktade medelvärdet från effektivvärdet med enfaktor 1,11.

Det finns olika varianter av mätinstrument för växelspänningsmätning:

Toppvärdeskännande voltmeterTopp-till-topp-kännande voltmeterSant effektivvärdeskännande voltmeter

Det sanna effektivvärdet hos en varierande spänning innefattar både AC (växelspänning)- och DC(likspänning)- komponent. Då många mätinstrument enbart mäter AC-delen får man tänka till en smulaoch mäta upp bägge.

Effektivvärde =

u2

=toppvärde

2toppvärde för sinusformade signaler

DC-Nät

Nätets anatomi

En praktisk strömkrets förefaller ofta ganska komplex med ett stort antal komponenter och förbindelser.För att analysera och förstå ett nät, i det här fallet ett likstömsnät, kan man likt matematikens ekvationerdela upp det i flera beståndsdelar, vilka lättare låter sig betraktas.

Strukturen hos ett likströmsnät kan sålunda delas upp i sina abstrakta beståndsdelar; gren, nod, slinga ochmaska enligt följande:

1

2

3

4 5

nod

gren

GrenLedare eller annan kretskomponent. Dessautgör själva innehållet i nätet.

NodEn punkt där två eller flera grenar av nätet ärsammankopplade.

SlingaSammankopplade grenar som bildar en slutenkrets. Ex. 1-2-3-1 eller 1-4-5-3-1.

MaskaSlinga som inte innesluter någon gren.Ex. 1-2-3-1 eller 5-4-3-5.

Fig. 1. nätets beståndsdelar

Om man har ett komplicerat nät får man lätt problem att överblicka detsamma, och vid beräkningar fårman ett så stort antal ekvationer så det blir tidsödande att lösa. Därför tillämpar vi några enkla regler förhur vi snabbt och enkelt kan förenkla en krets eller delar därav.

Seriekoppling

Seriekoppling av resistorer går tillsåtillvida att ett antal resistanser i seriekan ersättas med endast en ekvivalentresistans. Denna utgör då summan avde seriekopplade resistorerna.

Detta åskådliggör vi till exempel genom att tillämpa Kirchoffs spänningslag på en krets bestående av enströmkälla U kopplad till en strömkrets bestående av tre resistanser i serie; R1, R2 och R3. R1, R2 och R3skall ersättas med en resistans R’ sådan att strömmen I’ i den ekvivalenta kretsen blir lika stor som I i denursprungliga.

U − I⋅R1− I⋅R2− I⋅R3=0 U − I '⋅R'=0U = I⋅R1 I⋅R2 I⋅R3 U = I '⋅R' I '= IU = I R1R2R3 U = I⋅R'

R'=R1R2R3

Generellt gäller då att:

R'=R1R2R3 . .. . . Rn

Seriekopplade spänningsgeneratorer följer samma mönster som enligt Kirchoffs spänningslag.Spänningskällor i serie adderas till sin ekvivalent.

Seriekopplade strömgeneratorer förekommer inte som modell.

Parallellkoppling

Parallellkoppling av resistorer har en problemställningliknande seriekopplingen. Ett antal parallella resistanserkan ersättas med endast en ekvivalent. Vi åskådliggördetta med ett exempel liknande det förra, då vi vill attströmmen skall vara densamma i bägge kretsarna.

Först använder vi Kirchoffs strömlag:

I= I1 I2 I3

Sedan jobbar vi vidare med Kirchoffs spänningslag:

U = I1⋅R1 ⇒ I1=UR1

U = I2⋅R2 ⇒ I2=UR2

U = I '⋅R'

U = I3⋅R3 ⇒ I3=UR3

I= I '

⇒ I1 I2 I3=UR1

UR2

UR3

=U ⋅1R1

1R2

1R3 =U

R' = I

Division med U ger:

1R '

= 1R1

1R2

1R3

Och detta kan generaliseras till:

1R '

= 1R1

1R2

1R3

. . . . .1

Rn

Parallellkopplade strömgeneratorer följer samma mönster enligt Kirchoffs strömlag. Strömkällor iparallellkoppling adderas till sin ekvivalent.

Parallellkopplade spänningsgeneratorer förekommer inte som modell.

Enligt KII : I1=U1R1 R2

U2=R2⋅I1

⇒ U2=U1⋅R2R1 R2

Spänningsdelning

En standardföreteelse i elektriska nät är spänningsdelaren. Medelst en koppling som i den följande figurenmedges delning av spänningen U1 med hjälp av motstånden R1 och R2 så att en lägre spänning U2erhålles. Här använder vi vad som kallas spänningsdelningslagen, och den kan vi räkna fram på följandesätt:

Sålunda får vi den formel som kallas spänningsdelningslagen.

U2=U1⋅ R2R1R2

Observera att om kretsen belastas på utgången kommer U2 att sjunka, och vi måste räkna med denna lastRL i parallellkoppling med R2. Om lastens resistans är mycket större i förhållande till R2 kan vi i allmänhetbortse från inverkan av denna och I2, men annars måste den räknas med.

Strömdelning

Enligt Kirchoffs strömlag är summan av strömmarna in i en punkt lika med strömmarna ut ur densamma.Ett nät där två resistorer är parallellkopplade kommer strömmen i varje gren att vara proportionell motmotståndet.

Enligt parallellkopplingslagen är R1 och R2 ekvivalenta med en resistans R’ :

1R'

=1R1

1R2

⇒1R'

=R2

R1⋅R2

R1R1⋅R2

⇒1R'

=R1R2

R1⋅R2⇒ R'=

R1⋅R2

R1R2

Ohms lag ger då:

U = I1⋅R1= I⋅R'= I⋅R1⋅R2

R1R2

Division med R1 ger: Division med R2 ger:

I1= I⋅ R2R1R2

I2= I⋅ R1R1R2

NÄTTEOREM

NodanalysMaxwells potentialekvation, s.k. nodekvation går ut på att analysera ett nät med utifrån potentialerna inätets noder.

Gör så här:1. Inför en potential i varje nod utom en som man antar vara jordad (nollpotential).2. Sätt med hjälp av KCL (Kirchoffs strömlag) upp en ekvation för varje nod. 3. Uttryck strömmarna i termer av nodspänningar.Sätt in alla kända resistans- och strömvärden och

bearbeta ekvationssystemet.

Exempel:Vi önskar räkna ut strömmen IL genom motståndet RL.

Alla kretsens knutpunkter är noder. Vi sätter en av dem till jord och använder densom referenspunkt. Av de olika kvarvarandenoderna a, b och c är det endast en varspotential mot referensjorden är obekant, ochdet är punkten b. De övriga noderna a = E1 = 10v och c = E2 =15v.

Enligt KCL får vi: Strömmarna uttryckta som potentialer:

I1I 2I3=0

I1=E1−Ub

R1=

E1

R1−

Ub

R1=E1⋅

1 R1

−Ub⋅1 R1

I2=E2−Ub

R 2=

E2

R 2−

Ub

R 2=E2⋅

1 R 2

−Ub⋅1 R 2

IL=Ub

RL=Ub⋅

1 RL

Vi ställer upp ekvationssystemet som följer:

I1I 2−I3=0 E1⋅1 R1

−Ub⋅1 R1

E2⋅1 R 2

−Ub⋅1 R 2

−Ub⋅1 RL

=0

E1⋅1 R1

E2⋅1 R 2

=Ub⋅1 R1

1 R 2

1 R3

10 6

15 11

=Ub⋅1 6

1 11

1 2

200 66

=Ub⋅50 66 Ub=

200 66 ⋅

66 50 Ub=4v

Strömmen IL räknar vi fram genom ohms lag: IL =Ub

RL=

4 2 =2A

Maskanalys

Här använder vi oss av Maxwells maskekvation.Denna metod är snarlik nodanalysen, men vi analyserar nätet utifrån nätets maskor istället för dess noder,och vi använder oss av strömmar istället för potentialer.

Gör så här:

1. Inför i varje maska en cirkulerande ström. Alla medsols!2. Ställ med hjälp av KVL (Kirchoffs spänningslag) upp en ekvation för varje maska. Ta med alla

cirkulerande strömmar som flyter genom en gren varje gång denna passeras.3. Sätt in kända värden och bearbeta ekvationssystemet.

Exempel:Samma som föregående; hur stor är strömmen ILsom flyter genom RL?

Här ansätter vi en medsolsroterande (oavsett faktiskströmriktning) ström i varjemaska, och vi kallar dessa I1och I2.

Vidare använder vi KVL föratt ställa upp följandeekvationer:

maska 1: 10 −6 ⋅I1−2 ⋅I1−I 2 =0

maska 2: −2 ⋅I 2−I1−11 ⋅I 2−15=0

Detta ger oss ekvationssystemet:

8 ⋅I1−2 ⋅I 2=10

2 ⋅I1−13 ⋅I 2=15

Och så är det bara att lösa ekvationssystemet. Om man vill så kan man ju lösa det med lite matrisräkning.Detta underlättar radikalt om man har betydligt komplexare kretsar att analysera.

8 2 2 13

10 15

8 −2 −8 52

10 −60

0 −2 −8 50

10 −50

I2=−1AI1=1A

Och i det här fallet är strömmen IL genom RL:

IL = I1−I 2 IL = 1 −−1=2A

Superposition

När man superpositionerar beräknar man nätet utifrån en ström/spänningskälla i taget och summerarresultatet på slutet.

Gör så här:

1. Nollställ alla spännings- och strömkällor utom en enligt följande: a) Spänningskällor ersätts av kortslutningar b)Strömkällor ersätts av avbrottBeräkna nätet.

2. Välj nästa källa, nollställ de övriga, beräkna osv.3. När alla källor har behandlats så summerar man strömmar och spänningsbidrag med respektive tecken.

Exempel:Vi använder oss av samma nät som i tidigare exempel, och vi vill veta strömmen IL genom motståndet RL.

Vi börjar med att helt enkelt kortsluta E2 enligtföljande:

Först räknar vi med KCL:

I1=I 2IL ⇔ IL =I1−I 2

Sedan använder vi oss av Ohms lag, samt principernaför serie- och parallellkoppling:

I1=E1

R tot=

E1

R1RL⋅R 2

RL R 2

=10

6 2 ⋅112 11

=1,3 A

Till sist använder vi strömgreningslagen för att räkna utIL1:

IL1=I⋅R 2

RLR 2=1,3 ⋅ 11

2 11=1,1 A

Sedan vänder vi på begreppen och kortsluter E1, och får då följande:

Först räknar vi med KCL:

I 2=I1IL ⇔ IL=I 2−I1

Sedan använder vi Ohms lag, samt principerna förserie- och parallellkoppling:

I 2=E2

R tot=

E2

R 2RL⋅R1

RL R1

=15

11 6 ⋅26 2

=1,2 A

Sedan använder vi strömgreningslagen för att räkna utIL2:

IL2=I⋅R1

RLR1=1,2 ⋅ 6

2 6=0,9 A

Till sist lägger vi ihop delströmmarna IL1 och IL2:

IL=IL1IL2=1,1 A0,9 A=2A

Tvåpoler

Med hjälp av tvåpolsatsen kan man betydligt förenkla analys och kalkyler på komplexa nät. Om man harett godtyckligt aktivt nät med konstanta källor och resistanser och detta belastas mellan två godtyckligapunkter, här kallade A och B, utgör nätet betraktat från dessa punkter A och B, en aktiv linjär tvåpol. Dettanät kan betraktas som en ”svart låda” med linjär karaktäristik mellan punkterna A och B avseendespänningen relativt strömmen.

Thevenins teorem

Varje sådan tvåpol kan sägas vara ekvivalent med en spänningskälla (emk) i serie med en resistans. Emk:nE0 = nätets tomgångsspänning över A och B (öppen utgång). Resistansen Ri = tvåpolens inre resistanssett från punkterna A och B då Emk:n tänkes ersatt med en kortslutning. I den ekvivalenta tvåpolenbrukar man säga E0 = Eth och Ri = Rth (Thevenin).

Exempel:

Bestäm den ekvivalenta tvåpolen till följande krets:

Den ekvivalenta tvåpolens emk = tomgångsspänningen mellan A och B.

UAB=E⋅R 2

R1R 2

Den ekvivalenta tvåpolens inre resistans bestämsgenom följande förfarande:

Den ekvivalenta tvåpolen utgörs då av följande:

Eth=E⋅R 2

R1R 2

Rth=R1⋅R 2

R1R 2

Nortons teorem

Nortons teorem är av samma rotoch stam som Thevenin. EnligtNortons teorem kan varjegodtycklig, aktiv, linjär tvåpolersättas av en en ekvivalent kretsbestående av en strömgeneratorIn parallellt med en inre resistansRn. (Norton)

Egenskaperna sett från de bäggepolerna A och B skall alltså varadesamma i bägge fallen.Vid kortslutning gäller:

Thevenin:

I=E thRth

Norton:

I= In

Vid tomgång gäller:

Thevenin: Norton:U=Eth U=In⋅R n

Ekvivalens kräver att U och I är lika i bägge fallen. Detta ger:

Sålunda krävs även att

Konvertering från spänningsgenerator till strömgenerator:

In=E th

Rth

Konvertering från strömgenerator till spänningsgenerator:Eth=In⋅R n

Uthevenin=Unorton Eth=In⋅R n

Ithevenin=Inorton In=Eth

RthR th=Rn

VÄXELSTRÖM

Så skall vi lämna den relativt stabila likströmmens värd, sätta snurr på saker och ting och gräva framkomplexmatten i tillämpningens ljus.

Till skillnad från likströmmen så varierar växelströmmen polaritet i ett periodiskt förlopp. I våra kraftnäthärrör denna periodicitet från generatorns spolar som rör sig cirkulärt genom ett magnetfält. Just dennacirkulära rörelse är upphovet till det vi kallar sinusformad växelspänning. Vi ritar upp ett definitionsexempel enligt följande:

u1=u⋅sin ⋅t

u2=u⋅sin ⋅t =fasvinkeln i grader

û = amplitudenω = vinkelfrekvensen (rad/s)T = periodtid (s)f = frekvens i Hz

f= 1T

ω=2 ⋅π⋅f

Visardiagram

Ett annat, och i dessa sammanhang mycket praktiskt sätt att representera en sinusformad storhet somväxelström är att använda ett s.k. visardiagram.I stället för ett ordinärt x/y diagramanvänder vi oss av en roterande visare där visarens längd kommer attmotsvara spänningens toppvärde, och dess argument ersätter tidsaxeln. Växelspänningens frekvens äralltså hur snabbt visaren roterar, därav får begreppet vinkelhastighet en synnerligen verklig förankring.

Betrakta uttrycket u=u⋅sin ⋅t . Vid tiden t=0 blir

u0=u⋅sin

Visarenu

får i begynnelseläget följande läge:

Om inget annat anges tänker vi oss att uttrycket u=u⋅sin w⋅t representeras av en visare

u

som bildar vinkeln med den positiva x-axeln. Positiva x-axeln kallar vi i detta sammanhang förreferensriktning.

Beteckningssätt:

Det sinusformade uttrycket:

u=u⋅sin ⋅t

(våg-form)

representeras av en visare u

som vi betecknar på följande sätt:

u=u⋅∢

(visar-/polär form)

eller på följande sätt:

u=u⋅e j⋅ (phasor form)

Detta utläses ”Visaren u

har längden/beloppet û och bildar vinkeln med referensriktningen”.

På rektangulär form kan vi uttrycka det som:

u=a jb (rektangulär form)

Observera att vi i elektroniken använder j istället för i när vi åsyftar det imaginära talplanet, detta för att inte blanda ihop det med i = varierande ström.

u= a 2 b2 (pythagoras sats)

=arctan ba

a=u⋅cos

b=u⋅sin

Observera Genom att gå över till visarform har vi inte med tiden i uttrycket längre. Vi har gått över fråntidsdomän till frekvensdomän.

Genom att införa visarrepresentation kan vi enkelt behandla växelströmskretsar. Att behandla dessaförefaller komplicerat, eftersom spänningen hela tiden växlar storlek och riktning, men genom att pådetta sätt införa en matematisk storhet med vektorkaraktär så kan vi räkna med den precis som medvanlig vektorräkning. När beräkningen är slutförd har man som resultat en spänning i vektorform, somenkelt kan återföras till tidsdomänen.

Addition och subtraktion kan utföras geometriskt/analytiskt med visardiagram inte helt olika mekanikenskraftreduktionsdiagram. Man kan välja att rita enligt polygon- eller parallellogrammetoden, menresultatet blir givetvis detsamma.

...och om vi har omvänt tecken på den ena spänningskällan:

Komponenter och växelströmsegenskaper

Några olika komponenter, resistorn, kondensatorn och spolen kan sammanställas med avseende på sinaväxelströmsegenskaper:

Resistor Kondensator Spole

Resistans Kapacitans InduktansOhm Ω Farad F Henry H

u=R⋅ i u= 1C∫ i dt u=L⋅

didt

Frekvensoberoende Frekvensberoende Frekvensberoendeu och i ligger i fas u ligger 90° efter i (-90°) u ligger 90° före i (90°)

u=U⋅sinω⋅t

i=I⋅sinω⋅ t

u=U⋅sinω⋅ t−90°

i=I⋅sinω⋅ t

u=U⋅sinω⋅ t90°

i=I⋅sinω⋅ t

ZR=R ZC=1

j⋅ω⋅C⇒ ZC=

− jω⋅C

XC=1

ω⋅C

ZL = j⋅ω⋅L

XL =ω⋅L

Ideal resistor

Den ideala resistorn är fullkomligt frekvensoberoende, och ström såväl som spänning följs åt i sammafas. Strömmen över resistansen kan vi teckna:

i=

uR ∢0 Ο

Kondensatorer

Kondensatorns grundläggande egenskap kallas kapacitans och är dess förmåga att lagra elektriskladdning. Kondensatorn kan ses som två plattor med en spalt av luft eller annat icke-ledande materialemellan. Avståndet mellan plattorna och plattornas storlek avgör kondencatorns kapacitans, som äts iFarad. En Farad uttrycks 1F och är en mycket stor enhet, varför den i praktiken uttrycks som mikro-nano- och pikofarad, dvs 10-6 , 10-9 och 10-12 Farad.För att minska avståndet mellan kondensatorns elektroder använder man andra isolerande material änluft mellan dem. Dessa material kan göras mycket tunna, och besitter dessutom en förmåga som kallaspermitivitet. Detta innebär att elektronerna i sina banor i materialets atomer förskjuts, så att en sortsnegativ tyngdpunkt bildas. Atomen blir då en elektrisk dipol, och dessa kan då vrida sig och antagasamma riktning som det elektriska fältet mellan elektroderna. Detta gör att verkan av avståndet mellanelektroderna minskar, och kapacitansen ökar. Just denna förmåga gör att man kallar isolationsmaterialetför dielektrikum. Om man vill räkna ut kondensatorns kapacitans gäller följande formel:

C=ε⋅ Ad

där C = kapacitansen i FaradA = arean i m2 d = avståndet mellan elektroderna i mε = permitiviteten.

Permitiviteten är egentligen ε0⋅εr där ε0 = permetiviteten i vacuum 8,85⋅10−12 och

εr = dielektricitetskonstanten. Dielektricitetskonstanten är ett relativt tal som beskriver dielektrikumetspermitivitet i förhållande till vacuumets permitivitet.

Dielektricitetskonstanten för några material:

• Luft 1• Vatten 80• Glas 10• Polyester 3,3• Keramik 5-50000

Kondensatorn har ett stort antal användningsområden. Som kopplingskondensator blockerar den enlikspänning, men leder en växelspänning vidare. Som avkopplingskondensator kortsluter den enväxelspänning som är överlagrad på en likspänning. I filter och resonanskretsar används kondensatorn,ofta tillsammans med motsånd och/eller en spolesom frekvensbestämmande komponent. Man använderkondensatorns upp- och urladdningstid som tidsbestämmande konstant. T.ex. astabila vippor.

Kondensatorn har en frekvensberoende resistans som kallas kapacitiv reaktans.Denna uttrycks som:

Xc=1

ω⋅C där Xc = reaktansen i Ω

ω = vinkelfrekvensen 2 ⋅π⋅f hertz i Rad/sC = kapacitansen i F

Ideal kondensator

Som nämnts tidigare skulle en ideal kondensator bara ha en kapacitiv reaktans och ingen resistans ellerinduktans. Väl dimensionerade kondensatorer gör dock att vi åtminstone vid lite lägre frekvenser kanräkna med dem som ideala.

Spänningen över kondensatorn är proportionell mot integralen ∫i dt.

Vi kan ställa upp detta analytiskt enligt följande:

uc=1C∫ i dt =

1C∫

i sinω t =

iω C

⋅cosω t =

iω C

⋅sinω t−90ο

Sålunda finner vi att spänningen över kondensatorn är omvänt proportionell mot vinkelhastigheten(frekvensen) och 90 grader (eller π/2) efter strömmen som är riktfas

Reaktansen, dvs det frekvensberoende motståndet är omvänt proportionellt mot vinkelhastigheten.

XC=1ω C

Verklig kondensator

Detta gäller givetvis en ideal kondensator. I praktiken får varje kondensator en resistiv och induktivpåverkan från anslutningar osv. så kretsens verkliga växelströmsresistans, impedansen kommer att skiljaen smula.Upp- och urladdning av en kondensator tar alltid en viss tid. Med tidskonstanten τ (tau) menar man dentid det tar för laddningen att nå till 1-e-1 (ca 63.2%) av den nya spänningen.Denna uttryckes som:

τ=R⋅C där τ = tiden i sekunderR = serieresistansen i ΩC = kapacitansen i Farad

Serieresistansen avser resistansen i anslutningar, elektroder och eventuella förluster i dielektrikumet.

Spolar

Spolen kallas även induktor och dess grundläggande egenskap kallas induktans. Denna anges i enhetenHenry (H). Spolen utgörs i princip av en ledare lindad ett antal varv, med eller utan kärna. Spolens induktans är den egenskap som motverkar alla förändringar i strömmen som går igenom den.Vid strömförändringar i spolen uppstår en motriktad spänning som kallas mot-emk. En spole medintuktansen 1H har en mot-emk på 1V då strömmen förändras med 1A/s.

Spolar har ett antal användningsområden, bland annat i avstämda filter och svängningskretsar för attblockera eller välja ut vissa frekvenser. De kan även användas för likströmsfiltrering och energilagring iolika typer av nätaggregat.

Spolen har en frekvensberoende resistans som kallas reaktans, och en likspänningsresistans i självatråden. Den induktiva reaktansen XL uttrycks:

XL =ω⋅L där XL = spolens reaktans i Ωω = vinkelfrekvensen (2πf) i rad/sL = induktansen i Henry

Ideal spole (induktor)

En ideal spole skulle ha en resistans = 0. Helt klart finns inga sådana spolar i verkligheten, men medlämplig utformning av spolen, och i våra relativt lågfrekventa resonemang kan vi räkna med attresistansen är försumbar.

Som nämndes sist är spänningen över en spole proportionell mot strömderivatan di/dt. Sålunda ser vi attvid strömmens toppvärden, dvs di/dt=0 är spänningen noll, och vid di/dt:s maxvärde, är spänningen max.Ur grafen kan vi då analogt se att spänningen ligger 90 grader, eller π/2 rad före strömmen, som vi angersom riktfas.

Och om man vill stila lite grann kan man ju ställa upp det analytiskt:

Spänningen över spolen är lika med induktansen gånger strömderivatan di/dt enligt följande:

L⋅ddt ⋅

i⋅sin t =

i L⋅cost =

i L⋅sin90ο−t =

i L⋅sint90ο=u

Som synes får vi en positiv 90 graders fasskillnad mellan û och î som är riktfas.Spänningen och därmed reaktansen hos spolen är proportionell mot vinkelhastigheten.

XL=ω L

Verklig spole (induktor)

Spolens totala impedans, dvs kombinationen av resistans och reaktans blir ett komplext tal, eftersomreaktansen är komplex.

ZL = XL 2R 2

Spolen har ytterligare en egenskap som benämnes Q-värde efter Q=Quality. Detta är kvoten mellanspolens reaktans och serieresistans. Lägre resistans ger högre Q-värde och möjliggör bl.a. konstruktionav brantare filter.

Q=XL

RS

Transienter

Vad är en transient signal? Definitionsmässigt är det en spänning eller ström som varierar som funktionav tiden och som är en konsekvens av en plötslig förändring i insignalen / invärdet. Ett exempel pådetta är vid påslag/frånslag av spänning över en kondensator i serie med en resistans.

När man tittar på det transienta förloppet i en viss krets kan man dela upp detta i två delar; dentransienta delen (transient) och den stationära delen (steady state).

Transienter i RC-kretsar

Vi tänker oss en strömkälla i serie med en brytare, en resistans och en kapacitans enligt följande bild:

När brytaren är öppen går ingen ström genom kretsen. Kondensatorn är oladdad. När brytaren sluts vidt=0 kommer strömmen att rusa in i kondensatorn i dess uppladdningsförlopp. Strömmen i kretsenkommer att bli som följande:

iC=ER⋅e

−t

R⋅C

Vid t = 0 kommer C att vara irrelevant eftersom exponentuttrycket = 1, och strömmen i kretsen ochdärigenom in i kondensatorn kommer att vara lika med E genom R. Likaså är spänningen överkondensatorn vid t = 0 lika med 0V. Sedan laddas kondensatorn upp som funktion av tiden, och strömmen iC kommer att gå mot noll när tgår mot ∞. RC i exponentuttrycket är vad som brukar kallas kretsens tidskonstant. När strömmen in i kondensatorn minskar ökar då spänningen över den, för att till slut plana ut och gåmot E. När mindre än 1% skiljer Uc från E antager vi att kondensatorn är uppladdad, vilket sker efterknappt 5 tidskonstanter.

Spänningen över C kan uttryckas:

uC=E1 − e−

tR ⋅C

Observera att när tidskonstanten τ = t = RC så får vi:

uC=E1 −e−1 = 0,63*E som nämndes tidigare.

Exempel i verkliga livet:Som synes beror strömmen i kretsen bl.a. på konstanten R. En ideal kondensator koppladdirekt till ett batteri skulle alltså laddas oändligt snabbt med oändlig ström. Idealakondensatorer finns inte, men direkt kopplade till strömkällan kan de alltså vid tillslag draoerhörda mängder ström. I praktiken får detta effekt i t.ex. en förstärkare för billjud, där manbrukar ha mycket stora kapacitanser som energireserv. Att koppla in dessa till strömkällandirekt kan ge så stora strömmar att säkringarna brinner av! Därför är vissa liknande apparaterförsedda med en serieresistans vid uppstarten, för att ladda upp kondensatorerna liteförsiktigare.

När kondensatorn laddats upp fullständigt kan vi antaga att spänningen uc = E. Om vi så kopplar bortden ursprungliga källan E genom att kortsluta den, laddar vi ur kondensatorn genom R. Detta geranalogt med tidigare resonemang följande uttryck:

uC=E⋅e−

tR⋅C

Strömmen ic uttrycks på samma sätt som tidigare, fast den här gången går den åt andra hållet.

iC=ER⋅e

−t

R⋅C

En kondensator som laddats upp skulle, om den vore ideal, behålla sin laddning och därmed spänning iall oändlighet, men alla verkliga kondensatorer har förluster, och denna verkar som ett R genom vilkenkondensatorn sakta urladdas.

InitialvärdenOm nu kondensatorn i föregående krets inte var helt urladdad, utan hade en spänning vid t=0, vadhänder då? Jo kondensatorns uppladdningscykel startar ifrån detta initialvärde. (se figur s.366 iBoylestad) och vi får följande modifierade uttryck:

uC=Vi Vf −Vi ⋅1 − e−

tR ⋅C = > uC=Vf Vi−Vf ⋅e

−t

R⋅C

Transienter i RL-kretsar

Uppladdningsfasen

Om vi tänker oss en ny krets med en induktor istället för en kapacitans, i serie med ett motstånd R , enbrytare och en strönkälla så får vi ånyo en krets med transienta egenskaper, liknande RC-kretsen mentvärtom så att säga.

Då brytaren sluts vid tiden t=0 ligger helt plötsligt, ett oändligt kort ögonblick, hela E över spolen.Därigenom kommer ögonblicket efteråt strömmen att omedelbart börja flöda in i spolen. Spolensegenskaper är då sådana att den motverkar strömändringar genom att det induceras en s.k. mot-emk ispolen. När kretsen nått sitt stabila tillstånd har dock strömmen planat ut (strömändringen =0) ochdärigenom är den motriktade spänningen över L = 0. (Detta förutsätter iofs en ideal induktor) Strömmengenom L kan tecknas som:

iL=ER⋅1 −e

−t

LR

Tidskonstanten för RL-kretsen återfinner vi även här i exponentuttrycket, och för RL-kretsen tecknasdenna som:

τ= LR

Vidare kan spänningen över L tecknas som:

uL=E⋅e−

tR⋅L

Urladdningsfasen

Om vi tittar på hur kondensatorn respektive spolen lagrar energi, finner vi att kondensatorn lagrar sinenergi i form av ett elektrostatiskt fält, medan spolen lagrar energin i ett magnetfält skapat av strömmengenom spolen. Detta ger en del intressanta konsekvenser. Eftersom energin i spolen är beroende avströmflödet genom densamma, kommer den att avge denna energi om strömmen plötsligt avbryts. Enpresumptivt oändligt snabb brytning av strömmen skulle sålunda ge upphov till en oändlig potential(mot-emk:n) över spolen.

uL=L⋅ didt

I praktiken uppnår vi inte det oändliga, men med ett snabbt avbrott av strömmen genom en spole kan vifå en mycket hög spänning över den, stark nog att skapa en gnista, och skada komponenter som ärkänsliga för höga spänningar. Tändspolen i en bil är ett exempel på detta fenomen.

Om vi vill koppla upp en krets för att mäta urladdningsfasen hos en spole är det alltså en fördel attkoppla den på ett annorlunda sätt för att undvika den plötsliga strömförändringen och åtföljandespänningstopp.

När då brytaren öppnas kommer urladdningsförloppet att följa uttrycket:

IL= Im⋅e−

tτ ' Im =

ER1

τ '= LR1R 2

Och vad gäller spänningen sker följande:

uL=uR1 uR2 = i1⋅R1 i 2⋅R 2 = iL R1R 2 =ER1R1R 2 = R1

R1

R 2

R1⋅E

uL=1R 2

R1⋅E

Och detta innebär att spänningen över L blir större än E relativt faktorn R2 genom R1.När brytaren sluts kommer spolen att polvända till en spänning enligt ovan.

Impedans

Eftersom vi nu konstaterat att vi får komplexa storheter i ekvationerna när vi räknar på dessa, såanvänder vi vanlig vektormatematik för att räkna ut spänningar och strömmar när vi kombinerar de olikaelementen.Kretselement med komplexa storheter innebär även att deras impedans blir komplex. Med impedansmenar vi kvoten û/î genom kretselementet. Impedansen benämns med Z och uttrycks också i Ohm.

Impedansen räknas också vektoriellt och analogt med spänningarna. Som exempel kan vi ta en kretsmed en resistans och en spole i serie.

Då får vi ett visardiagram enligt följande:

Pythagoras sats ger oss

u 2= i⋅R 2

i⋅ω L2

=i 2⋅R 2ω L 2 .

Vi bildar kvoten

ui

= Z = R 2ω L 2

tan=

i⋅ω⋅Li⋅R

=ω⋅L

R

Om vi sedan ritar om beräkningstriangeln, och byter ut û mot i⋅Z så får vi följande figur:

Och om vi sedan dividerar alla sidorna med î övergår spänningstriangeln i en likformig triangel, därsidorna har dimensionen Ohm. Denna triangel kallas Impedanstriangeln och ser ut som följer:

Gör vi motsvarande sak fast med en resistans i serie med en kondensator får vi en liknande, fastinverterad, triangel. Kvoten û/i kvarstår, och får då formeln:

ui

= Z = R 2 1ω C

2

Rent generellt kan vi säga att den komplexa storheten impedans (Z) fås enligt:ui

= Z = R 2X 2 där X står för reaktansen i allmänhet.

Vid rent resistiv krets (ωL = 0) blir Z = RVid rent induktiv krets (R = 0) blir Z = ωL (Och vid motsvarande med kapacitans istället blir Z = 1/(ωC)