1

ELEKTROMAGNETNI TALASI

Postojanje elktromagnetnih talasa je, krajem XIX veka, potvrdio Herc, svojim eksperimentima. Takođe je dokazao da se prostiru i kroz vakuum, i to brzinom c = 3·108m/s.

Herc je utvrdio da izvor elektromagnetnih talasa predstavlja naelektrisanje koje se kreće ubrzano. Oko svakog novonastalog naelektrisanja se stvara električno polje. To električno polje se ne stvori u jednom trenutku u celom prostoru, iako, zog velike brzine, čoveku tako izgleda. Ono se prostire od novonastalog naelektrisanja u svim pravcima brzinom c. Oko naelektrisanja sa promenljivom brzinom stvara se promenljivo električno polje. Svako promenljivo električno polje, u okolnom prostoru, izaziva nastanak, odnosno indukuje vrtložno magnetno polje i obrnuto, svako promenljivo magnetno polje izaziva u okolnom prostoru nastanak vrtložnog električnog polja. I tako imamo jednu indukciju za drugom pri čemu električno i magnetno polje zauzimaju sve veći prostor. Znači promenljivo električno i promenljivo magnetno polje se prostiru kroz prostor i čine talas kojim se prenosi početni poremećaj električnog polja oko ubrzanog naelektrisanja. Nastanak i ponašanje elektromagnetnih talasa matematički u potpunosti opisuju Maksvelove jednačine. Ovde nećemo ići u detalje već ćemo samo videti neke krajnje rezultate Maksvelove teorije. Iz Maksvelovih jednačina sledi da je

2

2

2

2 1xE

tE

∂∂

=∂∂

εμ i 2

2

2

2 1xH

tH

∂∂

=∂∂

εμ

gde je E vektor električnog, H vektor matnetnog polja, ε je dielektrična konstanta a μ je magnetna permeabilnost (propustljivost) sredine kroz koju se prostire talas (učićete kasnije iz predmeta elektrotehnika). Ako ove jednačine uporedimo sa poznatom diferencijalnom talasnom jednačinom, vidimo da su istih oblika što nas navodi na zaključake 1) da ono što je za mehaničke talase pomeraj u odnosu na ravnotežni položaj (elongacija) to za elektromagnetni (EMG) talas predstavlja vektor električnog ili vektor magnetnog polja, i 2)

da je brzina prostiranja tog talasa εμ1

=c .

Matematički i grafički prikaz EMG talasa Uobičajeno je da se talas opisuje jednačinom promene vektora električnog polja, zbog čega se on, kada je svetlosni EMG talas u pitanju, i zove svetlosni vektor. Neka se talas prostire duž x pravca. Onda je, na velikoj udaljenosti od izvora talasa, vektor električnog polja

( )kxtEE −= ωsin0 , a vektor magnetnog polja je ( )kxtHH −= ωsin0

Dakle Er

je u y pravcu u x-y ravni, a Hr

je u z pravcu u x-z ravni. EMG talasu se pridružuje vektor talasnog broja k

r, koji ima pravac i smer prostiranja talasa a intenzitet je k = 2π/λ. Iz prethodnog vidimo da su, na

velikoj udaljenosti od izvora: 1) elektromagnetni talasi transverzalni ( xH,xE

rrrr⊥⊥ );

2

2) vektori Er

i Hr

su međusobno normalni ( HErr

⊥ );

3) vektori Er

i Hr

su u fazi kxtHE −== ωϕϕ . Veza između intenziteta vektora električnog i vektora

magnentog polja je EHμε

=

Strelice na slici prikazuju jačinu i pravac sile koju bi osecalo neko probno naelektrisanje koje bi se u određenom trenutku stavilo u određene položaje na pravac prostiranja talasa – strelice ne prikazuju znači prave vrednosti sile koja u stvarnosti opada sa rastojanjem od izvora EMG talasa. Kako predstaviti jedan EMG talas? Pogledajmo sliku. Sve tačke koje se nalaze na nekom fiksnom rastojanju x, drugim rečima sve tačke u yz ravni imaju iste vrednosti električnog i magnetnog polja. Znači da možemo uvesti ravni u kojima sve tačke imaju istu vrednost argumenta kxt −ω , tačke sa istom fazom, pa bi te ravni predstavljale talasne frontove. Znači da se EMG talas može predstaviti kao ravanski talas. Spektar EMG talasa (EMG zračenja) Prema talasnoj dužini (frekvenciji), izvoru i načinu detekcije postoje sledeće vrste talasa: 1. RADIO TALASI – obuhvataju talasne dužine od nekoliko desetina kilometara (104m) do dela milimetra (10-

4m). Izvori – oscilujuće naelektrisanje u emisionim antenama. Detektuju se prijemnim antenama. Dele se na duge, srednje, kratke, ultrakratke i mikrotalase. 2. INFRACRVENI TALASI (zraci) - obuhvataju talasne dužine od reda dela milimetara (10-4m) do 780nm (reda 10-7m). Izvori – zagrejana tela, gasovi pri električnom pražnjenju, prelasci elektrona sa viših na niže energetske nivoe atoma i molekula, koji su iskorišćeni kod nekih lasera. 3. VIDLJIVA SVETLOST - obuhvata talasne dužine od 780nm (crvena svetlost) do 380nm (ljubičasta svetlost). Izvori – prelasci elektrona sa viših na niže energetske nivoe atoma (sunce, sijalice, laseri...). 4. ULTRALJUBIČASTI TALASI (zraci, svetlost) – obuhvataju talasne dužine od 380nm (10-7m) do nekoliko nm (10-9m). Izvori – prelasci elektrona sa viših na niže energetske nivoe atoma (laseri, kvarcne lampe...). 2., 3. i 4. čine OPTIČKI SPEKTAR. 5. X ZRACI ili RENDGENSKI zraci – obuhvataju talasne dužine od nekoliko nm (10-9m) do nekoliko pm (pikometara 10-12m). Izvori – prelasci elektrona bližih jezgru (unutrašnjih elektrona) sa viših na niže energetske nivoe (rendgenske lampe). 6. γ ZRACI (gama zraci) – obuhvataju talasne dužine od nekoliko pm (10-12m) do reda fm (femtometra 10-

15m). Izvori – prelasci jezgra (nukleona) sa viših na niže energetske nivoe (radioaktivni izotopi). 7. KOSMIČKI ZRACI – imaju talasne dužine manje od fm.

λ

H

E x

3

Intenzitet EMG talasa Izvođenje izraza za energiju, snagu i intenzitet EMG talasa učićete iz predmeta Elektrotehnika. Uzimajući u

obzir da karakteristična impedansa iznosi εμ

=Z , jedan od oblika konačnog izraza za intenzitet EMG talasa

(pa i svetlosti) je:

Bitno je da uočite da je intenzitet EMG talasa proporcionalan kvadratu amplitude vektora električnog i magnetnog polja. Indeks prelamanja Indeks prelamanja svetlosti (apsolutni) n za dati materijal predstavlja odnos brzine svetlosti u vakuumu i

brzine svetlosti u tom materijalu:nc

cn = , gde je c brzina svetlosti u vakuumu, a cn brzina svetlosti kroz taj

materijal. Pri prelasku elektromagnetskih talasa (pa i svetlosti) iz jedne sredine u drugu, ne menja se frekvencija. Međutim, zbog promene brzine prostiranja, menja se talasna dužina svetlosti. Talasna dužina λn u sredini čiji je indeks prelamanja n, može da se izrazi u funkciji talasne dužine u vakuumu λ, kao

nc

nn/ccn

nλ

νννλ ====

1 ili nnλλ =

Dakle, kada svetlost ulazi u sredinu sa većim indeksom prelamanja, njena talasna dužina se smanjuje. Odbijanje svetlosti Sredina sa većim indeksom prelamanja predstavlja optički gušću sredinu. Prilikom odbijanja EMG talasa od optički gušće sredine, elektromagnetski talasi doživljavaju promenu faze za 180o. Do promene faze neće doći ako se talasi odbijaju od optički ređe sredine (sredine sa manjim indeksom prelamanja od sredine iz koje je stigao EMG talas). U svakom od ovih slučajeva, talas koji se ne odbija, već prelazi granicu dve sredine, ne menja fazu. Na slici desno, prikazan je talas koji se reflektuje pod uglom αr. Ovaj talas bi doživeo promenu faze za π jer se odbija od optički gušće sredine. Još jedna stvar se primećuje na slici. Ugao pod kojim talas stiže do površine neke sredine u odnosu na normalu na tu površinu naziva se upadni ugao i jednak je uglu pod kojim se talas odbija (reflektuje) sa te površine:

αu = αr Prelamanje svetlosti 1621.god. Snel je uspostavio vezu između ugla upadnog talasa i ugla prelomljenog talasa poznatu kao Snelov zakon u sledećem obliku:

n1sinα = n2sinβ

Inedks prelamanja vazduha je blizak jedinici pa ukoliko zrak prelazi iz vazduha: sinα = n2sinβ

S obzirom na to da je svaka sredina ima veći indeks prelamanja od vazduha na osnovu gornje relacije zaključujemo da je β < α, što znači da se upadni zrak prelama prema normali i obrnuto, prilikom prelaska zraka iz vode npr. u vazduh (iz gušće u ređu sredinu), zrak će se prelamati od normale. Prelamanje i odbijanje talasa smo posmatrali više kao geometrijski problem. Zrake svetlosti smo predstavljali pravim linijama. Međutim, ovakav pristup ne može da objasni pojavu boja na mehuru od sapunice npr. ili pažljivim posmatranjem senke videćemo da ona nema oštre granice. Interferencija i difrakcija svetlosti su pojave koje dovode do ovih fenomena. U svim primerima dolazi do izražaja talasna priroda svetlosti koju opisuje fizička optika.

n1 n2

n2>n1

2

20ZH

I =

αu = αr

β

n1

n2

n2 > n1

4 INTERFERENCIJA talasa (analitički pristup) Interferencija talasa je slaganje dva ili više talasa pri čemu dolazi u nekim tačkama do pojačanja, a u drugim do slabljenja intenziteta u odnosu na intenzitete pojedinačnih talasa.Ta raspodela maksimuma i minimuma intenziteta je na određeni način pravilna i predstavlja efekat interferencije. Efekat interferencije u jednoj tački je posledica sabiranja talasa koji se susreću u njoj, prešavši prethodno različite puteve. Neka se u posmatranoj tački prostora sereću talas ( )10111101101 φωφ +−== xktsinEsinEE i talas

( )20222202202 φωφ +−== xktsinEsinEE , gde su x1 i x2 putevi koje je svaki od talasa prešao od izvora ili nekog odabranog koordinatnog početka do posmatrane tačke, φ10 i φ20 uključuju njihove početne faze i skokovite promene faze (npr. prilikom odbijanja talasa). Amplituda rezultantnog vektora električnog polja ER0, nastalog slaganjem ova dva talasa je:

φΔ++= cos2 2010220

210

20 EEEEER

Pošto je intenzitet talasa proporcionalan kvadratu njegove amplitude, prethodnu jednakost možemo pisati u sledećem obliku

φΔ++= cosIIIIIR 2121 2 gde su I1 i I2 intenziteti talasa koji se sabiraju, a IR je intenzitet rezultantnog talasa. Dakle, dobili smo izraz za intenzitet rezultantnog talasa. Da bi se slaganjem dva talasa dobili efekti interferencije, tj. stabilna raspodela mesta pojačanog i mesta oslabljenog intenziteta, neophodno je da intenzitet talasa bude vremenski konstantan. Pošto su intenziteti upadnih talasa u najvećem broju praktičnih situacija vremenski konstantni, ovaj uslov se svodi na to da razlika faza mora da bude vremenski konstantna. Δφ0=φ20-φ10, gde je uključena početna fazna razlika talasa. Da bi fazna razlika Δφ bila nezavisna od vremena koeficijent uz linearni član (ω2 − ω1) mora da bude jednak nuli, k1x1 i k2x2 su već nezavisni od vremena, i preostaje da razlike polaznih faza moraju da budu nezavisne od vremena. Dakle zaključujemo:

Kada talasi ispunjavaju prethodna dva uslova kaže se da su koherentni. Na slici su prikazana dva koherentna talasa istih talasnih dužina i konstantne fazne razlike. Obična svetlost je nekoherentan izvor svetlosti jer nastaje nezavisnim emisijama velikog broja atoma talasa različitih faza (to su kvantne pojave). Te emisije se dešavaju slučajno i nezavisno i traju kratko, reda nanosekunde. Zvučni talasi npr., emitovani sa dva zvučnika koji stoje jedan pored drugog, sa zajedničkim pojačavačem, mogu da proizvedu intereferenciju jer dva zvučnika reaguju na pojačavač na isti način u isto vreme. Uslovi za konstruktivnu i desturuktivnu interferenciju

Pošto smo razjasnili pod kojim uslovima se uopšte javlja interferencija, da pogledamo šta dovodi do pojačanja intenziteta - konstruktivne interferencije, a šta do njegovog slabljenja - destruktivne interferencije. Analizom izraza za rezultujući intenzitet, čiji je grafički prikaz dat na sl.(a), nalazimo njegove ekstremne vrednosti, za cosΔφ =1 i cosΔφ = −1:

Crta-tačka linija je na vrednosti I1 + I2,, što predstavlja intenzitet svetlosti koji bi bio u svim tačkama preklapanja dva talasa kada ne bi bili koherentni.

( ) 022111212 φωωφφφ Δ+−+−=−=Δ xkxkt

Da bi došlo do efekata interferencije (vremenski stabilne interferencione slike) talasi koji interferišu moraju da imaju:

(1) jednake frekvencije tj. ω1 = ω2 = ω, a samim tim su im jednaki i talasni brojevi - k1 = k2 = k = ω/c; za takve talase se kaže da su (međusobno) monohromatski; slaganje pojedinačno monohromatskih talasa različitih frekvencija ne daje efekte interferencije; (2) vremenski konstantnu polaznu faznu razliku Δφ0.

x talas 2

talas 1

IR

I1+I2+2√ I1I2

I1+I2-2√ I1I2

0 π -4π -3π -2π -π 4π 3π 2π (a)

Δφ

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=Δ−+

==Δ++=

..,,,z,z,IIII

...,,,z,z,IIIIIR

21012za2

2102za2

2121

2121

πφ

πφ

5Najizrazitiji efekti interferencije se javljaju kada su talasi koji interferišu jednakih intenziteta, što je u praksi relativno lako podesiti. Tada je I1 = I2 = I0 (videti sl.(b)), pa su ekstremne vrednosti rezultujućeg talasa

( )⎩⎨⎧

=+=Δ==Δ

=..,,,z,z,

..,,,z,z,IIR 21012za0

2102za4 0

πφπφ

.

Crta-tačka linija je na vrednosti 2I0, vrednosti uniformnog intenziteta u slučaju preklapanja nekoherentnih talasa. Puna horizontalna linija je na nivou intenziteta jednog izvora I0.

Vidimo sada da su uslovi koje treba da ispuni fazna razlika, da bi došlo do konstruktivne odnosno destruktivne interferencije, sledeći:

Kada su ispunjeni uslovi koherentnosti i uz pretpostavku da nema skokovitih promena faze na putu talasa (Δφ0 = 0), veza između fazne razlike i razlike dužina puteva talasa (putne razlike) je

( ) xkxxk Δ=−=Δ 21φ (veza između fazne i putne razlike)

Zamenom dobijene relacije u uslove za faznu razliku, koristeći definiciju talasnog broja (k = 2π/λ) i rešavanjem po Δx, dobijamo uslove koje kod konstruktivne odnosno, destruktivne interferencije treba da ispunjava razlika dužina puteva talasa koji interferišu:

Ukoliko se interferencija ne dešava u vazduhu već u nekoj drugoj sredini (vodi, ulju, nekom drugom materjalu), onda još mora da se uzmu u obzir i optičke osobine sredine koje su predstavljene indeksom prelamanja n, pa će opšti izraz za faznu razliku da bude oblika:

( ) 10202211 φφφ −+−=Δ xnxnk

Uvođenje indeksa prelamanja u izraz za faznu (i analogno za putnu) razliku je posebno važno kod primera interferencije na tankim slojevima, gde, kao i uvek kada se interferencija ne događa u vazduhu, treba da se napravi razlika između geometrijskog puta i takozvanog optičkog puta. U skladu sa Fermaovim principom prema kome se talasi prostiru po putu za koji je potrebno najkraće vreme, uzima se da se talas prostire pravolinijski. Međutim, kada talas prelazi iz jedne sredine u drugu, ili kada se prostire kroz sredinu sa n ≠ 1,

onda će vreme potrebno da talas (zrak) pređe (geometrijski) put s biti: cns

vst == , pa se veličina n⋅s

naziva optički put, L.

• konstruktivna interferencija - dešava se kada je fazna razlika jednaka parnom broju π πφ z2=Δ , z=0, 1, 2, . . . (uslov za interferencione maksimume)

• destruktivna interferencija - dešava se kada je fazna razlika jednaka neparnom broju π

( )πφ 12 +=Δ z , z=0, 1, 2, . . . (uslov za interferencione minimume)

• konstruktivna interferencija - dešava se kada je putna razlika talasa koji interferišu jednaka celom broju talasnih dužina

λzx =Δ , z=0, 1, 2, . . . (uslov za interferencione maksimume) • destruktivna interferencija - dešava se kada je putna razlika talasa koji interferišu jednaka

neparnom broju polovina talasnih dužina

( ) λλ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=Δ

21

212 zzx , z=0, 1, 2, . . . (uslov za interferencione minimume)

IR 4I0

(b)

Δφ I0

0 π -4π -3π -2π -π 4π 3π 2π

6

Hajgensov princip Prvi koji je razvio ubedljivu talasnu teoriju svetlosti bio je 1678. god. holandski fizičar Kristijan Hajgens. Mada mnogo manje egzaktna od kasnije razvijene Maksvelove teorije elektromagnetizma, Hajgensova teorija je matematički jednostavnija i korisna je i danas. Osnova Hajgensove teorije talasa je postupak geometrijske konstrukcije koji nam omogućava da kažemo gde će se nalaziti dati talasni front u bilo kom budućem trenutku ako znamo njegov sadašnji položaj. Ova konstrukcija se zasniva na Hajgensovom principu koji glasi:

Sve tačke talasnog fronta predstavljaju tačkaste izvore sekundarnih sfernih talasa. Posle vremena t, novi položaj talasnog fronta će biti površina koja tangira sekundarne sferne talase - obvojnica tih sekundarnih talasa. DIFRAKCIJA Difrakcija je pojava skretanja svetlosnih zraka sa pravolinijske putanje pri nailasku na prepreke malih dimenzija. Ako snop svetlosnih zraka naiđe na neku prepreku (ili uzan prorez, mali otvor), posle prolaska kroz (ili preko) nje svetlosni snop se rascvetava. Zraci se savijaju – prostiru se i u oblasti u kojoj bi inače bila senka kada bi se svetlost prostirala pravolinijskim putanjama, kao što predviđa geometrijska optika.

DIFRAKCIJA TALASA PRI PROLAZU KROZ MALI OTVOR

Ako talas naiđe na prepreku koja ima otvor dimenzija bliskih talasnoj dužini, talas će iza prepreke da divergira. Ova pojava, zvana difrakcija, u skladu je sa Hajgensovim principom. Ona se dešava kod svih tipova talasa, ne samo kod svetlosnih. Na slici su šematski prikazane tri situacije sa upadnim ravanskim talasom koji prolazi kroz otvore različitih širina. Posle konstrukcije talasa na osnovu Hajgensovog principa, vidi se da što je uži otvor to je izrazitija difrakcija. Međutim, ovo je ipak vrlo labava definicija, jer difrakcija predstavlja mnogo više od samog rascvetavanja svetlosnog snopa.

Hajgens-Frenelov princip Hajgensov princip: Svaka tačka do koje je stigao talas, predstavlja izvor sekundarnog sfernog talasa. Frenelova dopuna: Ti sekundarni sferni talasi su međusobno koherentni tako da interferišu – i mogu da se vide efekti njihove interferencije. Kada monohromatska svetlost sa udaljenog izvora ili lasera prođe kroz uzani prorez i padne na zaklon, na njemu će se pojaviti interferenciona slika koja se, u ovom slučaju zove difrakciona slika. Difrakciona slika je posledica interferencije talasa sa svih tačaka na prorezu. Difrakciona slika se sastoji od širokog centralnog maksimuma visokog intenziteta i brojnih užih bočnih (ili sekundarnih) maksimuma slabijeg intenziteta, sa obe strane centralnog (sl.a). Između maksimuma su difrakcioni minimumi – tamne zone. Ovakva difrakciona slika je potpuno neočekivana sa stanovišta geometrijske optike. Kada bi se svetlost prostirala po pravolinijskim putanjama, kao što se obično smatra (kao kod geometrijske optike), zraci koji prođu kroz otvor formirali bi na zaklonu oštru sliku, sliku proreza (sl.b).

(a) (b)

λ

Upadni talas

Difrakcija talasa

λ

λ

7 Gore je data samo skica difrakcione slike a stvarni izgled difrakcione slike pri difrakciji svetlosti na dugačkom, uzanom prorezu i na kružnom otvoru su date na donjim slikama.

Difrakcija svetlosti se ne javlja samo kada svetlost prolazi kroz uzane proreze i male otvore, već i kada prelazi preko drugačijih prepreka – sitnih čestica ili oštrih ivica. I tada je difrakcija utoliko izraženija ukoliko su dimenzije objekta na kome se dešava skretanje svetlosti manje ili ivice oštrije. Osim kod svetlosti, difrakcija se javlja i kod svih drugih vrsta talasa: npr. zvuk čujemo i kada dolazi iza ugla zgrade ili kroz otvorena vrata sobe, iako ne stojimo ispred vrata – znači zvučni talas se savija na ivici zida. Talasne dužine zvuka koji čujemo su reda veličine centimetra ili metra, a veličine predmeta i otvora koji nas okružuju su dimenzija istog reda veličine. Zbog toga je difrakcija zvuka tako očigledna svuda oko nas i od malena je prihvatamo kao normalnu stvar. Sa svetlošću, međutim, imamo drugačije iskustvo. Pošto su talasne dužine svetlosti reda veličine 10-7m, a predmeti oko nas su mnogo većih dimenzija, difrakcija svetlosti nam je često neprimetna. Za razliku od zvuka, upravo pravolinijsko prostiranje svetlosti a ne skretanje, i oštre ivice senki, kao što predviđa geometrijska optika, doživljavamo kao normalne. Ipak, što su oštrije ivice i što su sitniji predmeti i otvori na koje nailazi svetlost, to je izraženija difrakcija i to su vidljiviji nizovi svetlih i tamnih interferencionih pruga na mestima na kojima geometrijska optika predviđa ivice senki.

Difrakcija na višestrukim prorezima – difrakciona rešetka Pločica, koja sadrži veliki broj proreza, često 1000 proreza po milimetru, zove se difrakciona rešetka. Efekat sličan difrakciji svetlosti na difrakcionoj rešetki može se uočiti posmatranjem plamena sveće kroz pero postavljeno blizu oka. Prve difrakcione rešetke su pravljene od tankih žičanih vlakana, zbog čega su i dobile takvo ime. Danas razlikujemo dve vrste difrakcionih rešetki: 1) transmisione rešetke – providna pločica na kojoj su urezane linije (žlebovi) na jednakim rastojanjima; na delu površine pločice gde je napravljen žleb, ona postaje neprovidna (ne propušta svetlost), dok je na netaknutom delu površine ona providna (propušta svetlost); 2) refleksione rešetke – umesto na providnoj pločici linije su urezane na ogledalu odnosno na glatkoj metalnoj površini. Visoko precizne difrakcione rešetke, danas se prave pomoću dva koherentna laserska snopa koji se seku pod oštrim uglom. U oblasti preseka laserskih snopova formiran je niz svetlih i tamnih interferencionih pruga, i tu se postavi foto-osetljivi materijal. Na kraju se hemijskim putem ukloni deo materijala koji je hemijski izmenjen stajanjem u oblasti svetle pruge. Kod ovih rešetki, rastojanje između susednih proreza je određeno uglom između laserskih snopova, a može da iznosi po 3000 i više linija po milimetru. Veliki broj zareza - žlebova sa malim međusobnim rastojanjem (oko 0,5μm) srećemo kod kompakt diskova (CD-ova), koji zbog toga predstavljaju refleksionu difracionu rešetku. Prelivanje boje koje vidimo na CD-u je posledica difrakcije bele svetlosti na toj refleksionoj rešetki. Rastojanje između dve susedne urezane linije se zove korak rešetke (broj zareza po jedinici dužine) ili konstanta rešetke d. To je (kod transmisione rešetke), u stvari zbir širine providnog i njemu susednog neprovidnog dela rešetke (sl. 17). Korak rešetke je jednak recipročnoj vrednosti broja zareza po jedinici dužine: d=1/Nm.

Difrakciona slika nastala prolaskom svetlosti kroz kružni otvor. Intenzitet sekundarnih prstenova je, obradom slike, pojačan.

3 2 1 0 1 2 30

0.5

11

0

Ik50 i,

z

Relativni intenzitet

Raspodela intenziteta svetlosti u difrakcionoj slici kod difrakcije na uzanom prorezu, sa širokim centralnim maksimumom i užim bočnim maksimumima slabijeg intenziteta; u stvarnosti bočni maksimumi su još manje vidljivi nego što je prikazano na ovoj slici. Rastojanje između prvih minimuma sa jedne i sa druge strane, 2Y1, predstavlja širinu centralnog difrakcionog maksimuma.

N=1 N=2

8

Na slici su prikazani dijagrami zavisnosti intenziteta difraktovane svetlosti u zavisnosti od ugla skretanja za različite vrednosti broja proreza na rešetki N. Na njima se uočavaju maksimumi većeg intenziteta – glavni maksimumi. Između svaka dva glavna maksimuma javljaju se mnogo slabiji dopunski maksimumi. Posmatrajući ove dijagrame zaključujemo: 1) Broj proreza N ne utiče na položaje glavnih maksimuma. 2) Između dva susedna glavna maksimuma nalasi se N-2 dopunska maksimuma. 3) Kako broj proreza N raste, intenzitet dopunskih maksimuma opada. 4) Kako broj proreza N raste, sve su uži glavni maksimumi i sve su većeg intenziteta (∼N2). U daljem tekstu nećemo obraćati pažnju na dopunske maksimume, već ćemo se skoncentrisati na svetle pruge koje sa povećanjem broja proreza postaju toliko uske da se često nazivaju linijama. Za razliku od slike na zaklonu kod interferencije svetlosti sa dva bekonačno uska proreza ili kod difrakcije na konačno uskom prorezu, ovde između tankih svetlih linija imamo široke tamne oblasti. Položaji svetlih pruga kod difrakcije na rešetki

Neka je transmisiona difrakciona rešetka, koraka d, osvetljena ravanskim talasom monohromatske svetlosti, koji na rešetku pada pod uglom θ0 (sl. 17). Na zaklonu beskonačno udaljenom od rešetke, posmatra se difrakciona slika (Fraunhoferova difrakcija). Posmatrajmo sistem zraka koji stižu do donjih krajeva providnih delova rešetke. Ti zraci se iza rešetke, prema Hajgensovom principu šire u svim pravcima. Ali uočimo iza rešetke one zrake koji skreću pod uglom θ. U ovom sistemu zraka, posmatrajmo posebno par susednih zraka 1 i 2. Do linije AB oni su prešli iste puteve, i od linije AC dalje prelaze iste puteve. Tako da je, prema slici, putna razlika ovih zraka: θθ sinsin 0 dd +=Δ Ovi zraci će interferencijom da daju maksi-mum intenziteta ako je ova putna razlika jednakacelobrojnom umnošku talasnih dužina:

( ) λθθ zd =+ sinsin 0 , z=0,±1,±2... Do istog zaključka dolazimo ako posmatramo bilo koja dva susedna zraka iz sistema zraka nacrtanog na sl. 17, tako da sabiranjem svih zraka iz ovog sistema, ako je ispunjen gornji uslov, dobijamo maksimum intenziteta. Isto zaključujemo i ako posmatramo i isti takav sistem zraka samo pomeren

Slika 17 Fraunhoferova difrakcija svetlosti na difrakcionoj rešetki koraka d. Putna razlika zraka 1 i 2 je jednaka dužini puta od tačke B do tačke C.

θ θ0 A

B C

1

2 θ θ

rešetka Upadni talas

d a

b

N=3 N=5

9naviše za y. I to važi za sve vrednosti y od 0 do a. Tako da gornji uslov predstavlja opšti uslov za pojavu difrakcionog maksimuma. Ukoliko svetlost pada normalno na rešetku (θ0 = 0), gornji uslov se svodi na jednačinu

λθ zd =sin koja je poznata kao jednačina ili zakon difrakcione rešetke. Ovde z predstavlja redni broj difrakcione linije, tako da z = 0 odgovara centralnoj liniji, z = 1 odgovara liniji prvog reda itd (sl. 16, za N = 4). Dakle, položaji difrakcionih linija zavise samo od odnosa λ/d i ne zavise od broja proreza N. Difrakcija bele svetlosti na difrakcionoj rešetki Neka bela svetlost – svetlost koja sadrži talase svih talasnih dužina iz vidljive oblasti EMG spektra, pada normalno na difrakcionu rešetku konstante d. Prema jednačini rešetke vidi se da kad je θ = 0, mora da bude i z = 0, bez obzira na talasnu dužinu svetlosti. To znači da talasi svih boja imaju centralni maksimum za θ = 0, pa je centralni maksimum bele boje. Međutim ako potražimo prvi bočni maksimum, vidimo da talasi različitih talasnih dužina daju prve maksimume pod različitim uglovima θ, i to: pod najmanjim uglom će se videti svetlost najmanje talasne dužine – ljubičasta svetlost, zatim pod nešto većim uglom se vidi maksimum plave boje, pa zelene, žute, narandžaste i pod najvećim uglom se vidi prvi maksimum crvene boje. Isto to važi i za maksimume drugog i višeg reda. Dakle kod difrakcije bele svetlosti, u bočnim maksimumima imamo postepeni prelazak iz jedne u drugu boju vidljivog dela spektra (duga). Takav spektar se zove kontinualni spektar. Primenom Fraunhoferove difrakcije bele svetlosti, prema jednačini rešetke, merenjem ugla pod kojim se vidi maksimum reda z, mogu se meriti talasne dužine pojedinih boja vidljive svetlosti (spektrometar): Svaki atom ima svoj karakterističan spektar talasnih dužina koje emituje. Difrakcione rešetke su nekad korišćene za merenje karakterističnih talasnih dužina koje emituje svaki element. Danas, kada su sve karakteristične talasne dužine poznate, rešetke se koriste za identifikaciju elemenata, jona i jedinjenja, tj. za analizu hemijskog sastava nepoznate supstance. DIFRAKCIJA X ZRAKA NA KRISTALU

X ili Rentgenski zraci, koje je 1895. god. otkrio Rentgen, predstavljaju elektromagnetno zračenje, čije su talasne dužine reda angstrema (ranije korišćena jedinica za dužinu, 1Å=10-10m). Kako je talasna dužina sredine vidljivog dela spektra 550nm, talasne dužine X zraka su oko 103-104 puta kraće od talasnih dužina vidljive svetlosti. X zraci se najčešće dobijaju kada se elektroni, koji izleću iz zagrejane niti ubrzavaju potencijalnom razlikom i pri udaru u metalnu metu, naglo usporavaju – gube kinetičku energiju. Taj gubitak energije elektrona se manifestuje emisijom X zraka. X zraci se javljaju i pri ubrzavanju elektrona kao i pri prelascima elektrona na najniže energetske nivoe u atomu.

Standardne optičke difrakcione rešetke se ne mogu koristiti za određivanje tako kratkih talasnih dužina, kakve su u opsegu X zraka. Da bi imalo svrhe koristiti difrakcionu rešetku poželjno je da je d ≈λ. Pošto su talasne dužine X zraka približno jednake prečnicima atoma, difrakciona rešetka pogodna za njih se ne može napraviti mehaničkim uređajima.

1912. godine, Nemački fizičar Maks fon Laue je otkrio da kristali, koji se sastoje od pravilnih nizova atoma, mogu da posluže kao prirodna trodimenzionalna ˝difrakciona rešetka˝ za X zrake.

U kristalu, kao što je kristal kuhinjske soli (natrijum hlorid – NaCl), postoje jedinične ćelije, koje se ponavljaju duž sva tri pravca prostora, čineći nizove po celoj zapremini kristala. Kod NaCl, četiri jona natrijuma i četiri jona hlora se nalaze na temenima svake jedinične ćelije. Na slici je predstavljen presek kristala u kome je osenčena jedna jedinična ćelija. Pošto je jedinična ćelija kocka (ivice a0), za ovaj kristal se kaže da ima kubičnu simetriju.

Kada X zraci uđu u kristal, kao što je NaCl, oni se rasejavaju, što znači da kristalna struktura izaziva skretanje zraka u svim pravcima. U nekim pravcima rasejani zraci destruktivno interferišu, što kao rezultat daje minimum intenziteta zračenja; u drugim pravcima interferencija rasejanih zraka je konstruktivna, što kao rezultat daje maksimum intenziteta zračenja. Ovaj proces rasejanja i interferencije predstavlja vid difrakcije, iako ne liči na difrakciju svetlosti koja prolazi kroz otvore i preko ivica, o kojoj je ranije bilo reči.

LjPZŽ

C

LjP

ZŽC

z=0

z=1

z=2z=3

z=1

z=3

Cl –

Na +

a0 a0

Slika 23 Kubična struktura NaCl. Osenčena kocka predstavlja jediničnu ćeliju ovog kristala, čijim ponavljanjem u sva tri pravca prostora, imamo kristal kuhinjske soli.

10Iako je proces difrakcije X zraka na kristalu komplikovan, pravci maksimuma intenziteta se mogu naći zamišljajući da se X zraci odbijaju od porodice paralelnih odbijajućih ravni (ili kristalografskih ravni). X zraci se, ustvari ne odbijaju, ali se koriste ove zamišljene ravni samo da bi se pojednostavila analiza stvarnog precesa difrakcije.

Donja slika levo, pokazuje tri iz porodice ravni, čije je međuravansko rastojanje d. Kaže se da se X zraci odbijaju od ravni te porodice. Zraci 1, 2 i 3 se odbijaju od prve druge i treće ravni, tim redom. U sva tri slučaja i upadni ugao i ugao odbijanja je θ. Obratiti pažnju: dok se u optici upadni ugao i ugao odbijanja definišu u odnosu na normalu na površinu, ovde se oni definišu u odnosu na površinu odbijajuće ravni. Osim toga za razliku od svetlosnih zraka, X zraci se ne prelamaju pri ulasku u kristal. Međuravansko rastojanje je jednako dužini ivice jedinične ćelije a0. Na slici desno je prikazano odbijanje zraka od dve susedne ravni. Zraci 1 i 2, do duži AB prelaze jednake puteve i tu imaju iste faze. Od duži AC opet prelaze jednake puteve. Prema tome, putna razlika zraka 1 i 2, po njihovom izlasku iz kristala, jednaka je zbiru dužina duži BD i DC, odnosno iznosi 2dsinθ. U datom pravcu dolazi do konstruktivne interferencije dva zraka (zraci 1 i 2 su u fazi), ukoliko je ova putna razlika jednaka celom broju talasnih dužina X zraka. Isto važi i za sve zrake koji se odbijaju od te porodice paralelnih ravni. Dakle, uslov za konstruktivnu interferenciju – maksimum intenziteta rasejanog X zračenja je dat sledećom jednačinom gde je z redni broj maksimuma:

λθ zd =sin2 , z = 1, 2, 3, . . . (Bragov zakon)

Gornja jednačina se zove Bragov zakon ili Bragov uslov po britanskom fizičaru koji je prvi izveo. On je 1915. god. podelio sa svojim ocem Nobelovu nagradu za fiziku zasluženu razvojem primene X zraka u ispitivanju strukture kristala.

d = a0 θ θ

θ θ

θ θ d = a0

Upadni X zraci

1 2

3

Difrakcija X zraka se dešava tako kao da se oni odbijaju od porodice paralelnih ravni. Ugao odbijanja je jednak upadnom uglu, a oba se mere u odnosu na ravan. b) Putna razlika između zraka 1 i 2 koji se odbijaju od dve susedne ravni je ⎟BD⎢+⎟DC⎢= 2dsinθ.

d

A

B C

D

θθ

θθ

θθ

Zrak 1Zrak 2