Emf Skript Ws1112

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  • 7/21/2019 Emf Skript Ws1112

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    Lehrstuhl fr Technische ElektrophysikTechnische Universitt Mnchen

    Elektromagnetische Feldtheorie

    Vorlesungsskript

    Prof. Dr. G. Wachutka

    29. November 2011

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    Inhaltsverzeichnis 3

    Inhaltsverzeichnis

    1 Klassische Kontinuumstheorie des Elektromagnetismus 71.1 Maxwellsche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Energie von elektromagnetischen Feldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.2.1 Elektrische Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Magnetische Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.2.3 Allgemeine Bilanzgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.4 Energiebilanz des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . . 19

    1.3 Potentialdarstellung des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . 211.3.1 Elektromagnetisches Vektor- und Skalarpotential . . . . . . . . . 211.3.2 Maxwellsche Gleichungen in Potentialdarstellung . . . . . . . . . 23

    1.4 Feldverhalten an Materialgrenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.1 Grenzflchenbedingung fr die normalen Feldkomponenten . . . . 261.4.2 Grenzflchenbedingungen fr die tangentialen Feldkomponenten . 29

    1.5 Das Randwertproblem der Potentialtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.1 Das RWP der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    1.5.2 Klassifikation der Potential-Randwertprobleme . . . . . . . . . . . 371.5.2.1 Dirichletsches Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . 371.5.2.2 Neumannsches Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . 381.5.2.3 Gemischtes Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . 40

    1.5.3 Analytische Lsungsverfahren fr die Poissongleichung . . . . . . 441.5.3.1 Orthogonalentwicklung nach Eigenfunktionen des Laplace-

    Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.5.3.2 Lsung mittels Greenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 471.5.3.3 Konstruktion der Greenfunktion mit Hilfe der Spiegella-

    dungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    1.5.4 Stationre Stromverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.5.4.1 Bilanz- und Transportgleichungen fr elektrische Str-

    mungsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.5.4.2 Stationre Strmungsfelder im Drift-Diffusions-Modell . 571.5.4.3 Stationre Strmungsfelder im Ohmschen Transportmodell 571.5.4.4 Randwertproblem fr stationre Ohmsche Strmungsfelder 58

    1.5.5 Korrespondenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    2 Modellierung elektromagnetischer Vorgnge in technischen Systemen mitKompaktmodellen 63

    2.1 Flusserhaltende Diskretisierung mit Kirchhoffschen Netzwerken . . . . . . 632.1.1 Generelle Modellannahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.2 Feldtheoretische Beschreibung der Quasistationaritt . . . . . . . 64

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    4 Inhaltsverzeichnis

    2.1.3 Synthese von Netzwerkmodellen aus funktionalen Blcken . . . . 652.1.3.1 Funktionale Blcke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.1.3.2 Erstellung eines Kirchhoffschen Netzwerkes . . . . . . . 672.1.3.3 Kirchhoffsche Knotenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    2.1.3.4 Kirchhoffsche Maschenregel . . . . . . . . . . . . . . . . 702.2 Kapazitive Speicherelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    2.2.1 Kondensatoranordnungen (Geometrie und Randwertproblem) . . 712.2.2 Maxwellsche Kapazittsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    2.2.2.1 Beziehung zwischen Elektrodenladungen und -potentialen 732.2.2.2 Darstellung der gespeicherten elektrischen Energie . . . 742.2.2.3 Teilkapazittskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    2.3 Induktive Speicherelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.3.1 Spulenanordnungen (Geometrie und Topologie) . . . . . . . . . . 802.3.2 Induktionskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    2.3.3 Zusammenhang mit der magnetischen Feldenergie . . . . . . . . . 852.4 Niederfrequente Wechselstromnetzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    2.4.1 Grundlegende Begriffe der Wechselstromlehre . . . . . . . . . . . 892.4.1.1 Wechselspannungsgenerator . . . . . . . . . . . . . . . . 892.4.1.2 Zeigerdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    2.4.2 Wechselstromschaltungen mit linearen Bauelementen . . . . . . . 962.4.2.1 Lineare Wechselstrom-Bauelemente . . . . . . . . . . . . 962.4.2.2 Elementare Beispiele fr lineare Wechselstrombauelemente 972.4.2.3 Kirchhoffsche Regeln fr Wechselstromschaltungen . . . 1022.4.2.4 Einfache Grundschaltungen ausR,L, C . . . . . . . . . 103

    2.4.2.5 Zusammenfassung zur Wechselstromrechnung . . . . . . 1092.4.3 Leistung und Effektivwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    2.4.3.1 Momentane Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.4.3.2 Effektivwerte, Wirkleistung . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.4.3.3 Leistungsbilanz bei energiespeichernden Bauelementen . 1142.4.3.4 Scheinleistung und Blindleistung . . . . . . . . . . . . . 117

    3 Elektromagnetische Wellen in homogenen Medien 1213.1 Grundlegende Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    3.1.1 Modellannahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    3.1.2 Differentialgleichungen fr Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.1.3 Wellengleichung fr das elektromagnetische Viererpotential . . . . 1243.1.4 Physikalischer Mechanismus fr die elektromagnetische Wellen-

    ausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.2 Homogene Wellengleichung in einer Raumdimension . . . . . . . . . . . . 126

    3.2.1 Vereinfachende Modellannahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.2.2 Grundlsungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    3.3 Ebene Wellen im dreidimensionalen Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303.3.1 Grundlsungen der vektoriellen Wellengleichung in R3 . . . . . . . 1303.3.2 Ebene elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    3.3.3 Energiedichte und Leistungsfluss ebener EM-Wellen . . . . . . . . 1353.3.4 Harmonische ebene elektromagnetische Wellen im 3D-Raum . . . 1373.3.4.1 Linear polarisierte harmonische elektromagnetische Wellen137

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    3.3.4.2 Elliptisch polarisierte harmonische elektromagnetische Wel-len . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    3.3.4.3 Komplexe Darstellung harmonischer elektromagnetischerWellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

    3.3.5 Darstellung beliebiger EM-Wellen durch harmonische ebene Wellen 1413.3.6 Grundgleichungen in Fourierdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . 1423.3.7 Rumlich gedmpfte ebene elektromagnetische Wellen in Leitern . 146

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    1 Klassische Kontinuumstheorie desElektromagnetismus in materiellenMedien

    1.1 Maxwellsche Gleichungen

    Die Grundgleichungen des Elektromagnetismus lassen sich in einem konsistenten Sys-tem partieller Differentialgleichungen zusammenfassen. Diese werden als MaxwellscheGleichungen bezeichnet und lauten:

    div D = (1.1)

    rotE = B

    t (1.2)

    div B = 0 (1.3)

    rotH = j +D

    t (1.4)

    Die Maxwellschen Gleichungen beschreiben Naturgesetze, die folgende physikalischeAussagen beinhalten:

    Elektrische Felder werden erzeugt

    von einer elektrischen Ladungsverteilung (quasi-statisch, Gl. (1.1))

    oder durch ein schnell zeitvernderliches Magnetfeld B

    t(magnetische Induktion, Gl. (1.2))

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    8 1.1 Maxwellsche Gleichungen

    Magnetische Felder werden erzeugt

    durch eine elektrische Stromverteilungj(quasi-statisch, Gl. (1.4))

    oder durch ein schnell zeitvernderliches elektrisches Feld D

    t(Verschiebungsstrom = elektrische Induktion, Gl.(1.4))

    Durch das Faradaysche Induktionsgesetz (1.2) und das Ampre-Maxwellsche Ge-setz (1.4) werden das elektrische Feld und das magnetische Feld in ihrer Zeit-und Ortsabhngigkeit eng miteinander verkoppelt. Man fasst daher E und H alsdie beiden Komponenten einer einzigen physikalischen Feldgre ( E, H) auf, dieals elektromagnetisches Feld bezeichnet wird. Nur im Falle rein statischer

    Felder, wenn B

    t = 0 und

    D

    t = 0 gilt, sind die elektrische Welt und die ma-

    gnetische Welt entkoppelt, und nur dann macht es Sinn, das elektrische und dasmagnetische Feld als unabhngige Feldgren zu behandeln.

    Damit die Maxwellschen Gleichungen ein geschlossenes Differentialgleichungssystem frdas elektromagnetische Feld ( E, H ) ergeben, mssen sie noch um die sogenanntenMaterialgleichungenergnzt werden. In ihrer einfachsten Forn lauten diese:

    D = E (1.5)

    B = H (1.6)

    j = E (1.7)

    Diese Gleichungen sind keine Naturgesetze, sondernphnomenologische Modellglei-chungenmit