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Emaranhamento e Informação Quântica
Stephen P. WalbornLaboratório de Óptica QuânticaInstituto de FísicaUniversidade Federal do Rio de [email protected]/~swalborn/spw
Thursday, June 10, 2010
Grupo de Óptica e Informação Quântica IF/UFRJ
Pinças Ópticas*Fótons Gêmeos
Técnicas experimentais
Paulo Henrique Souto Ribeiro
Stephen P. Walborn
Ruynet L. Matos FilhoLuiz Davidovich
Nicim Zagury
Fabrício Toscano
Professores
* com Profs. Paulo A. Maio Neto, H. M. Nussenzveig e Nathan B. Viana
http://omnis.if.ufrj.br/~infoquan/index.htm
EmaranhamentoComunicação Quântica
Informação Quântica
Caos Quântico
Óptica de Fourier
Estados Não-clássicos da luz
Momento angular orbital da luz
Não-localidade
Tópicos
Óptica Quântica
Criptografia Quântica
e outros ...
Membro INCT-Info Quan
Thursday, June 10, 2010
Sumário
• Informação Clássica, Criptografia clássica: cifra de Vernam
• Mecânica Quântica
• Informação Quântica (Qbits e polarização de um fóton)
• Criptografia Quântica
• Emaranhamento Quântico
• Paradoxo EPR e a Desigualdade de Bell
• Teletransporte Quântico
• Repetidores Quânticos
Thursday, June 10, 2010
Informação Clássica: Bits
Dois significados distintos:1. Um dígito binário, que pode ser 0 ou 1
(verdadeiro ou falso)
2. Uma quantidade básica de informação! Um símbolo binário, onde “0” e “1” são
equiprováveis traz um “bit” de informação
Bits:
Thursday, June 10, 2010
Teoria de Informação
Aplicações importantes em comunicação e computação
Claude E. Shannon1916-2001
O “pai” da teoria de informação
ex: Compactação/compressão de arquivos (JPG, MPG, MP3,...)
Descreve como a informação é transimitida, manipulada
ex: Criptografia (compras online, ...)
segunda guerra mundial, anos 50 - presente
Thursday, June 10, 2010
Aplicação: criptografia
Alice BobInformação
Secreta
Thursday, June 10, 2010
Aplicação: criptografia
Alice BobInformação
Secreta
Eve
Espionagem!!
Thursday, June 10, 2010
Aplicação: criptografia
Alice BobInformação
Secreta
Eve
Espionagem!!
Como enviar mensagens secretas?
Thursday, June 10, 2010
Aplicação: criptografia
Alice BobInformação
Secreta
Eve
Espionagem!!
Como enviar mensagens secretas?Um problema desde o início da civilização,
que hoje em de se torna cada dia mais importante (internet, telecom,..)!
Thursday, June 10, 2010
Cifra de Vernam(ou “One-time pad”)
Alice Bob
Thursday, June 10, 2010
Cifra de Vernam(ou “One-time pad”)
Alice Bob000111000111 Mensagem
Thursday, June 10, 2010
Cifra de Vernam(ou “One-time pad”)
Alice Bob000111000111 Mensagem
Sequências iguaisde bits aleatórios
010011011010 010011011010
Thursday, June 10, 2010
Cifra de Vernam(ou “One-time pad”)
Alice Bob000111000111 Mensagem
Sequências iguaisde bits aleatórios
010011011010 010011011010+
0+0=00+1=1
1+0=11+1=0
Soma modulo 2
Thursday, June 10, 2010
Cifra de Vernam(ou “One-time pad”)
Alice Bob000111000111 Mensagem
Sequências iguaisde bits aleatórios
010011011010 010011011010
010100011101
+
0+0=00+1=1
1+0=11+1=0
Soma modulo 2
Thursday, June 10, 2010
Cifra de Vernam(ou “One-time pad”)
Alice Bob000111000111 Mensagem
Sequências iguaisde bits aleatórios
010011011010 010011011010
010100011101
+
0+0=00+1=1
1+0=11+1=0
Soma modulo 2
Enviar “mensagem criptografada”
Thursday, June 10, 2010
Cifra de Vernam(ou “One-time pad”)
Alice Bob000111000111 Mensagem
Sequências iguaisde bits aleatórios
010011011010 010011011010010100011101
+
0+0=00+1=1
1+0=11+1=0
Soma modulo 2
Enviar “mensagem criptografada”
Thursday, June 10, 2010
Cifra de Vernam(ou “One-time pad”)
Alice Bob000111000111 Mensagem
Sequências iguaisde bits aleatórios
010011011010 010011011010+
000111000111
010100011101+
0+0=00+1=1
1+0=11+1=0
Soma modulo 2
Enviar “mensagem criptografada”
Thursday, June 10, 2010
Cifra de Vernam
• os bits na “chave” são aleatórios.
• a chave é utilizada somente uma vez.
• Chaves são de fato secretas!
Com a sua teoria de Informação, Shannon que esta Cifra é completamente segura, se:
Thursday, June 10, 2010
Cifra de Vernam
• os bits na “chave” são aleatórios.
• a chave é utilizada somente uma vez.
• Chaves são de fato secretas!
O problema de comunicação segura se reduz ao problema de como distribuir chaves aleatórias!
Como distribuir chaves: encontrar pessoalmente, criptografia de chave pública
(fatoração de números), ... Vamos voltar para este ponto...
Com a sua teoria de Informação, Shannon que esta Cifra é completamente segura, se:
Thursday, June 10, 2010
Nascimento da Física Quântica
Século XIX - 2 grandes teorias da física, a termodinâmica e o eletromagnetismo.
Início do século XX - Nasce a Física Quântica (Planck, Einstein, Bohr, Schrödinger, de Broglie, Pauli, Heisenberg, Born, Dirac, Jordan, ...)
Até 1935 - 6 prêmios Nobel concedidos para cientistas que desenvolveram a teoria quântica.
Efeitos contra-intuitivos: Dualidade onda-partícula, complementaridade
A Informação Quântica reune as duas grandes teorias do século XX: A Teoria de Informação e a Física Quântica
Thursday, June 10, 2010
Física Quântica
Geralmente, descreve o comportamento de objetos pequenos (elétrons, átomos, fótons, ...)
Prevê feitos estranhos, tais como dualidade onda-partícula
Intrinsecamente probabilística
Thursday, June 10, 2010
“Informação é física” (R. Landauer, 1961)
•Informação é codificada, necessariamente, em um sistema físico
•Informação é processada segundo as leis da física: processamento depende profundamente das propriedades físicas do dispositivo que o realiza.
Informação Quântica: Motivação
Thursday, June 10, 2010
“Informação é física” (R. Landauer, 1961)
•Informação é codificada, necessariamente, em um sistema físico
•Informação é processada segundo as leis da física: processamento depende profundamente das propriedades físicas do dispositivo que o realiza.
Informação Quântica é o estudo das tarefas de processamento de informação que podem ser realizadas por sistemas quânticos.
• As leis quânticas da física são fundamentalmente diferentes das leis clássicas. Processamento quântico de informação permite realização de tarefas que não seriam possíveis através de processamento clássico?
Informação Quântica: Motivação
Thursday, June 10, 2010
Crescimento na densidade de transistores
Número de transistores por chip dobra a cada 2 anos!
“Lei” de Moore
Em 2030 teremos transistores de um átomo!As leis da física quântica terão efeito!
Thursday, June 10, 2010
Benefícios da Informação Quântica
Não somente possível (em princípio) processar e transmitir informação, mas há ganhos consideráveis em termos de complexidade e segurança!
Thursday, June 10, 2010
Benefícios da Informação Quântica
Não somente possível (em princípio) processar e transmitir informação, mas há ganhos consideráveis em termos de complexidade e segurança!
Ex: Criptografia Quântica é o único método de comunicação completamente segura (que sabemos)
Thursday, June 10, 2010
Benefícios da Informação Quântica
Não somente possível (em princípio) processar e transmitir informação, mas há ganhos consideráveis em termos de complexidade e segurança!
Ex: Criptografia Quântica é o único método de comunicação completamente segura (que sabemos)
Ex: Computação Quântica apresenta ganhos computacionais em alguns casos
Thursday, June 10, 2010
Benefícios da Informação Quântica
Não somente possível (em princípio) processar e transmitir informação, mas há ganhos consideráveis em termos de complexidade e segurança!
Ex: Criptografia Quântica é o único método de comunicação completamente segura (que sabemos)
Ex: Computação Quântica apresenta ganhos computacionais em alguns casos
Fatoração de números - problema díficil, 1010 anos para achar os fatores (primos) de um número de 400 dígitos (a idade do universo)
Thursday, June 10, 2010
Benefícios da Informação Quântica
Não somente possível (em princípio) processar e transmitir informação, mas há ganhos consideráveis em termos de complexidade e segurança!
Ex: Criptografia Quântica é o único método de comunicação completamente segura (que sabemos)
Ex: Computação Quântica apresenta ganhos computacionais em alguns casos
Fatoração de números - problema díficil, 1010 anos para achar os fatores (primos) de um número de 400 dígitos (a idade do universo)
Fatoração com Computador Quântico - resolveria em um pouco menos de 3 anos!
Thursday, June 10, 2010
Ondas Eletromagnéticas Polarização - definida pela direção de oscilação do
campo elétrico
Polarização da Luz
Thursday, June 10, 2010
Ondas Eletromagnéticas Polarização - definida pela direção de oscilação do
campo elétrico
Polarização da Luz
Thursday, June 10, 2010
Polarização da Luz
Direção de oscilação do campo elétrico
linear
circular
elíptica
Thursday, June 10, 2010
Fótons
Fótons - pacotes indivisíveis (quanta) de energia da luz
Thursday, June 10, 2010
Fótons
Fótons - pacotes indivisíveis (quanta) de energia da luz
Thursday, June 10, 2010
Polarização de um fótonfóton - “quanta” de energia da luz (partícula)
Estado de polarização é uma superposição (onda):
|ψ� = a| ↔�+ b| ��
ex: | �� = 1√2| ↔�+ 1√
2| ��
se a, b reais
a
b
Thursday, June 10, 2010
Polarização e QbitsA polarização de um fóton:
Um sistema quântico binário (Qbit):
|ψ� = a| ↔�+ b| ��
|ψ� = a|0� + b|1�
ex: polarização de um fóton, spin-1/2, átomo de 2 níveis, ...
θ
λ/2 λ/4
Rotações de polarização: placas de onda
placa de 1/2 onda placa de 1/4 onda
Thursday, June 10, 2010
•Estados de um sistema qûantico de dois níveis (polarização de um fóton, spin de uma partícula, dois estados eletrônicos de um átomo).
Dígitos Binários Quânticos: Qbits
Thursday, June 10, 2010
•Estados de um sistema qûantico de dois níveis (polarização de um fóton, spin de uma partícula, dois estados eletrônicos de um átomo).
•Representados por vetores num espaço de Hilbert de duas dimensões:
|ψ� = α0|0� + α1|1�; |α0|2 + |α1|2 = 1
|0� =�10
�|1� =
�01
�
✴ vetores ortogonais unitários:|0�, |1�
Dígitos Binários Quânticos: Qbits
Thursday, June 10, 2010
•Estados de um sistema qûantico de dois níveis (polarização de um fóton, spin de uma partícula, dois estados eletrônicos de um átomo).
•Representados por vetores num espaço de Hilbert de duas dimensões:
|ψ� = α0|0� + α1|1�; |α0|2 + |α1|2 = 1
|0� =�10
�|1� =
�01
�
✴ vetores ortogonais unitários:|0�, |1�
•Representação geométrica:
|ψ� = eiγ�cos
�θ2
�|0� + eiφ sin
�θ2
�|1�
�
✴ não tem efeito observacional e pode ser desprezado.γ
Dígitos Binários Quânticos: Qbits
Thursday, June 10, 2010
•Estados de um sistema qûantico de dois níveis (polarização de um fóton, spin de uma partícula, dois estados eletrônicos de um átomo).
•Representados por vetores num espaço de Hilbert de duas dimensões:
|ψ� = α0|0� + α1|1�; |α0|2 + |α1|2 = 1
|0� =�10
�|1� =
�01
�
✴ vetores ortogonais unitários:|0�, |1�
•Representação geométrica:
|ψ� = eiγ�cos
�θ2
�|0� + eiφ sin
�θ2
�|1�
�
✴ não tem efeito observacional e pode ser desprezado.γ•Qbit possui número infinito de estados!!
Dígitos Binários Quânticos: Qbits
Thursday, June 10, 2010
Medindo a Polarização de um Fóton
p = sin2 θ
p = cos2 θθ
Fóton não se divide! Passe por um lado ou outro de acordo com a probabilidade p (Lembra lei de Malus!)
Divisor de FeixePolarizado
Thursday, June 10, 2010
Medindo a Polarização de um Fóton
p = sin2 θ
p = cos2 θθ
Fóton não se divide! Passe por um lado ou outro de acordo com a probabilidade p (Lembra lei de Malus!)
Divisor de FeixePolarizado
Thursday, June 10, 2010
Medindo a Polarização de um Fóton
p = sin2 θ
p = cos2 θθ
Fóton não se divide! Passe por um lado ou outro de acordo com a probabilidade p (Lembra lei de Malus!)
Divisor de FeixePolarizado
Thursday, June 10, 2010
Medindo a Polarização de um Fóton
p = sin2 θ
p = cos2 θθ
Fóton não se divide! Passe por um lado ou outro de acordo com a probabilidade p (Lembra lei de Malus!)
Divisor de FeixePolarizado
Thursday, June 10, 2010
Medindo a Polarização de um Fóton
p = sin2 θ
p = cos2 θθ
Fóton não se divide! Passe por um lado ou outro de acordo com a probabilidade p (Lembra lei de Malus!)
Divisor de FeixePolarizado
Embora têm um número infinito de estados,
medição de um Qbit: somente dois resultados possíveis!
Thursday, June 10, 2010
Medindo a Polarização de um Fóton
p = sin2 θ
p = cos2 θθ
Fóton não se divide! Passe por um lado ou outro de acordo com a probabilidade p (Lembra lei de Malus!)
Divisor de FeixePolarizado
Embora têm um número infinito de estados,
medição de um Qbit: somente dois resultados possíveis!
Cubo polarizador no laboratório
Thursday, June 10, 2010
Emaranhamento Quântico
|Ψ�12 �= |ψ�1|φ�2
|Ψ�12 =1√2
(|0�1|1�2 − |1�1|0�2)Ex:
Ex: processo de decaimento
1 2
Emaranhamento: Uma correlação entre sistemas quânticos
Thursday, June 10, 2010
Emaranhamento Quântico
|Ψ�12 �= |ψ�1|φ�2
|Ψ�12 =1√2
(|0�1|1�2 − |1�1|0�2)Ex:
Ex: processo de decaimento
1 2Ψ12
Emaranhamento: Uma correlação entre sistemas quânticos
Thursday, June 10, 2010
Fótons EmaranhadosConversão Paramétrica Descendente
laser
laser
Thursday, June 10, 2010
Fótons EmaranhadosConversão Paramétrica Descendente
laser
laser
Thursday, June 10, 2010
Fótons EmaranhadosConversão Paramétrica Descendente
laser
laser
Thursday, June 10, 2010
Fótons EmaranhadosConversão Paramétrica Descendente
laser
laser
Os fótons sempre têm a mesma polarização, mas a polarização de cada fóton é completamente
indeterminada!
Thursday, June 10, 2010
Sistemas Emaranhados no Laboratório
Fótons (UFRJ, UFMG, PUC-RIO, UFAL)
Feixes de luz (USP, UFF) Íons e átomos aprisionados Campo EM e átomos (UFPE) Supercondutores Junções Josephson
Fótons GêmeosLOQ - IF/UFRJ
cristal
detector
polarizador
D. Wineland, R. Blatt, 30 ions aprisionados!
Thursday, June 10, 2010
• Dois sistemas espacialmente separados não interagem (LOCALIDADE)
• Se é possível prever ou determinar, com certeza, o valor de uma propriedade física, esta propriedade corresponde a uma “realidade física” (REALISMO)
E P RConsiderações:
“A Mecânica Quântica está Incompleta” - EPR
A descoberta do emaranhamento: O Paradoxo EPR (1935)
Einstein - Podolsky - Rosen
“REALISMO LOCAL”Thursday, June 10, 2010
• Realidade Física - Previsão e/ou medição de uma propriedade física com 100% certeza, sem perturbar o sistema
P=100%
Polarizador Polarizador
P=50%
P=50%
O Paradoxo de EPR
Thursday, June 10, 2010
• Realidade Física - Previsão e/ou medição de uma propriedade física com 100% certeza, sem perturbar o sistema
P=100%
Polarizador Polarizador
P=50%
P=50%
Pelas leis da Mecânica Quântica: É impossível atribuir realidade física à propriedades
complementares (e.g. polarização vertical e diagonal)
O Paradoxo de EPR
Thursday, June 10, 2010
• Medidas em A determinam as propriedades de B sem perturbá-lo (devido a localidade), então estas propriedades correspondem a “realidades físicas”
A B
fonte
O Paradoxo de EPR
Estado Emaranhado
distância grande
Thursday, June 10, 2010
• Medidas em A determinam as propriedades de B sem perturbá-lo (devido a localidade), então estas propriedades correspondem a “realidades físicas”
Polarizador
A B
fonte
O Paradoxo de EPR
Estado Emaranhado
distância grande
Thursday, June 10, 2010
• Medidas em A determinam as propriedades de B sem perturbá-lo (devido a localidade), então estas propriedades correspondem a “realidades físicas”
Polarizador
A B
fonte
O Paradoxo de EPR
Estado Emaranhado
distância grande
Thursday, June 10, 2010
• Medidas em A determinam as propriedades de B sem perturbá-lo (devido a localidade), então estas propriedades correspondem a “realidades físicas”
Polarizador
A B
fonte
O Paradoxo de EPR
Estado Emaranhado
distância grande
Thursday, June 10, 2010
• Medidas em A determinam as propriedades de B sem perturbá-lo (devido a localidade), então estas propriedades correspondem a “realidades físicas”
Polarizador
A B
fonte
O Paradoxo de EPR
Estado Emaranhado
distância grande
Thursday, June 10, 2010
• Medidas em A determinam as propriedades de B sem perturbá-lo (devido a localidade), então estas propriedades correspondem a “realidades físicas”
Polarizador
A B
fonte
O Paradoxo de EPR
Estado Emaranhado
distância grande
Thursday, June 10, 2010
• Medidas em A determinam as propriedades de B sem perturbá-lo (devido a localidade), então estas propriedades correspondem a “realidades físicas”
A B
fonte
Polarizador
O Paradoxo de EPR
Estado Emaranhado
distância grande
Thursday, June 10, 2010
• Medidas em A determinam as propriedades de B sem perturbá-lo (devido a localidade), então estas propriedades correspondem a “realidades físicas”
A B
fonte
Polarizador
O Paradoxo de EPR
Estado Emaranhado
distância grande
Thursday, June 10, 2010
• Medidas em A determinam as propriedades de B sem perturbá-lo (devido a localidade), então estas propriedades correspondem a “realidades físicas”
A B
fonte
Polarizador
O Paradoxo de EPR
Estado Emaranhado
distância grande
Thursday, June 10, 2010
• Medidas em A determinam as propriedades de B sem perturbá-lo (devido a localidade), então estas propriedades correspondem a “realidades físicas”
A B
fonte
Polarizador
O Paradoxo de EPR
Estado Emaranhado
distância grande
Thursday, June 10, 2010
• Medidas em A determinam as propriedades de B sem perturbá-lo (devido a localidade), então estas propriedades correspondem a “realidades físicas”
A B
fonte
Polarizador
O Paradoxo de EPR
Estado Emaranhado
distância grande
Conclusão de EPR: Pela Mecânica Quântica não é possível atribuir
realidade física à propriedades complementares. Este exemplo mostra que podemos. Logo, a MQ é uma
teoria incompleta!!
Thursday, June 10, 2010
• Medidas em A determinam as propriedades de B sem perturbá-lo (devido a localidade), então estas propriedades correspondem a “realidades físicas”
A B
fonte
Polarizador
O Paradoxo de EPR
Estado Emaranhado
distância grande
Conclusão de EPR: Pela Mecânica Quântica não é possível atribuir
realidade física à propriedades complementares. Este exemplo mostra que podemos. Logo, a MQ é uma
teoria incompleta!!
Possíveis explicações: A MQ não é local (“fantasmagórica ação à distância”)
ou a MQ não é “realista”
Thursday, June 10, 2010
• Existe uma propriedade desconhecida (“variável escondida”) V que determina o resultado de cada medida
• É necessário incluir esta propriedade na teoria quântica
• A física quântica ia se torna uma teoria que satisfaz as noções “clássicas” de Localidade e Realismo
VBA
Sugestão de EPR: variáveis escondidas
Thursday, June 10, 2010
Correlação clássica?
Einstein, Podolsky e Rosen (EPR 1935): Existe uma teoria clássica (Realista e Local) que explica o emaranhamento?
Exemplo de uma correlação clássica (realista e local):
Polarizações determinadas aleatoriamente
fonte
Realismo - as polarizações são bem-determinadas, embora aleatórias
Thursday, June 10, 2010
Desigualdade de Bell (1964) Usando argumentos simples, Bell mostrou que
existe um limite superior obedecido por todos os tipos de correlação “clássica”
Desigualdade de Bell - uma maneira de testar as previsões estranhas da física quântica experimentalmente
John Bell1 2
a ou a
analizador
b ou b
analizador
+1-1
+1-1
|E(a, b) + E(a, b�) + E(a�, b)− E(a�, b�)| ≤ 2
Correlação clássica (com variáveis escondidas):
Emaranhamento: |E(a, b) + E(a, b�) + E(a�, b)− E(a�, b�)| = 2√
2
Thursday, June 10, 2010
Testes Experimentais da Desigualdade de Bell
Freedman e Clauser (1974), Aspect et al. (1982), Weihs et al. (1998), Tittel et al. (1998)
ex. Lab. de C.H. Monken UFMG (2000)E(a,b)=0.80E(a’,b)=0.71E(a,b’)=0.51E(a’,b’)=-0.51Soma=2.53>2
Thursday, June 10, 2010
Testes Experimentais da Desigualdade de Bell
Freedman e Clauser (1974), Aspect et al. (1982), Weihs et al. (1998), Tittel et al. (1998)
ex. Lab. de C.H. Monken UFMG (2000)E(a,b)=0.80E(a’,b)=0.71E(a,b’)=0.51E(a’,b’)=-0.51Soma=2.53>2
Nenhum teste completamente conclusivo, mas tudo indica que não existe nenhuma teoria clássica que explica o emaranhamento
Thursday, June 10, 2010
ARTICLES
An experimental test of non-local realismSimon Groblacher1,2, Tomasz Paterek3,4, Rainer Kaltenbaek1, Caslav Brukner1,2, Marek Zukowski1,3,Markus Aspelmeyer1,2 & Anton Zeilinger1,2
Most working scientists hold fast to the concept of ‘realism’—a viewpoint according to which an external reality existsindependent of observation. But quantum physics has shattered some of our cornerstone beliefs. According to Bell’stheorem, any theory that is based on the joint assumption of realism and locality (meaning that local events cannot beaffected by actions in space-like separated regions) is at variance with certain quantum predictions. Experiments withentangled pairs of particles have amply confirmed these quantum predictions, thus rendering local realistic theoriesuntenable. Maintaining realism as a fundamental concept would therefore necessitate the introduction of ‘spooky’ actionsthat defy locality. Here we show by both theory and experiment that a broad and rather reasonable class of such non-localrealistic theories is incompatible with experimentally observable quantum correlations. In the experiment, we measurepreviously untested correlations between two entangled photons, and show that these correlations violate an inequalityproposed by Leggett for non-local realistic theories. Our result suggests that giving up the concept of locality is not sufficientto be consistent with quantum experiments, unless certain intuitive features of realism are abandoned.
Physical realism suggests that the results of observations are a con-sequence of properties carried by physical systems. It remains sur-prising that this tenet is very little challenged, as its significance goesfar beyond science. Quantum physics, however, questions thisconcept in a very deep way. To maintain a realistic description ofnature, non-local hidden-variable theories are being discussed as apossible completionof quantum theory.Theyoffer to explain intrinsicquantum phenomena—above all, quantum entanglement1—by non-local influences. Up to now, however, it has not been possible to testsuch theories in experiments. We present an inequality, similar inspirit to the seminal one given by Clauser, Horne, Shimony andHolt2 on local hidden variables, that allows us to test an importantclass of non-local hidden-variable theories against quantum theory.The theories under test provide an explanation of all existing two-qubit Bell-type experiments. Our derivation is based on a recentincompatibility theorem by Leggett3, which we extend so as to makeit applicable to real experimental situations and also to allow sim-ultaneous tests of all local hidden-variable models. Finally, we per-form an experiment that violates the new inequality and henceexcludes for the first time a broad class of non-local hidden-variabletheories.
Quantum theory gives only probabilistic predictions for indi-vidual events. Can one go beyond this? Einstein’s view4,5 was thatquantum theory does not provide a complete description of physicalreality: ‘‘While we have thus shown that the wavefunction does notprovide a complete description of the physical reality, we left open thequestion of whether or not such a description exists. We believe,however, that such a theory is possible.’’4. It remained an open ques-tion whether the theory could be completed in Einstein’s sense6. If so,more complete theories based on objective properties of physicalsystems should be possible. Such models are referred to as hidden-variable theories.
Bell’s theorem7 proves that all hidden-variable theories based onthe joint assumption of locality and realism are at variance with thepredictions of quantum physics. Locality prohibits any influencesbetween events in space-like separated regions, while realism claims
that all measurement outcomes depend on pre-existing properties ofobjects that are independent of the measurement. The morerefined versions of Bell’s theorem by Clauser, Horne, Shimony andHolt2 and by Clauser andHorne8,9 start from the assumptions of localrealism and result in inequalities for a set of statistical correlations(expectation values), which must be satisfied by all local realistichidden-variable theories. The inequalities are violated by quantummechanical predictions. Greenberger, Horne and Zeilinger10,11
showed that already perfect correlations of systems with at least threeparticles are inconsistent with these assumptions. So far, all experi-ments motivated by these theorems are in full agreement withquantum predictions12–17. For some time, loopholes existed thatallowed the observed correlations to be explained within local real-istic theories. In particular, an ideal Bell experiment has to be per-formed with detectors of sufficiently high efficiency (to close the‘detection loophole’) and with experimental settings that are ran-domly chosen in space-like separated regions (to close the ‘localityloophole’). Since the first successful Bell experiment by FreedmanandClauser12, later implementations have continuously converged toclosing both the locality loophole14,15,18,19 on the one hand and thedetection loophole16,20 on the other hand. Therefore it is reasonableto consider the violation of local realism a well established fact.
The logical conclusion one can draw from the violation of localrealism is that at least one of its assumptions fails. Specifically, eitherlocality or realism or both cannot provide a foundational basis forquantum theory. Each of the resulting possible positions has strongsupporters and opponents in the scientific community. However,Bell’s theorem is unbiased with respect to these views: on the basisof this theorem, one cannot, even in principle, favour one over theother. It is therefore important to ask whether incompatibility theo-rems similar to Bell’s can be found in which at least one of theseconcepts is relaxed. Our work addresses a broad class of non-localhidden-variable theories that are based on a very plausible type ofrealism and that provide an explanation for all existing Bell-typeexperiments. Nevertheless we demonstrate, both in theory andexperiment, their conflict with quantum predictions and observed
1Faculty of Physics, University of Vienna, Boltzmanngasse 5, A-1090 Vienna, Austria. 2Institute for Quantum Optics and Quantum Information (IQOQI), Austrian Academy ofSciences, Boltzmanngasse 3, A-1090 Vienna, Austria. 3Institute of Theoretical Physics and Astrophysics, University of Gdansk, ul. Wita Stwosza 57, PL-08-952 Gdansk, Poland. 4TheErwin Schrodinger International Institute for Mathematical Physics (ESI), Boltzmanngasse 9, A-1090 Vienna, Austria.
Vol 446 | 19 April 2007 |doi:10.1038/nature05677
871Nature ©2007 Publishing Group
LETTERS
Testing the speed of ‘spooky action at a distance’Daniel Salart1, Augustin Baas1, Cyril Branciard1, Nicolas Gisin1 & Hugo Zbinden1
Correlations are generally described by one of two mechanisms:either a first event influences a second one by sending informationencoded in bosons or other physical carriers, or the correlatedevents have some common causes in their shared history.Quantum physics predicts an entirely different kind of cause forsome correlations, named entanglement. This reveals itself in cor-relations that violate Bell inequalities (implying that they cannotbe described by common causes) between space-like separatedevents (implying that they cannot be described by classical com-munication). Many Bell tests have been performed1, and loopholesrelated to locality2–4 and detection5,6 have been closed in severalindependent experiments. It is still possible that a first event couldinfluence a second, but the speed of this hypothetical influence(Einstein’s ‘spooky action at a distance’) would need to be definedin some universal privileged reference frame and be greater thanthe speed of light. Here we put stringent experimental bounds onthe speed of all such hypothetical influences. We performed a Belltest over more than 24 hours between two villages separated by18 km and approximately east–west oriented, with the sourcelocated precisely in the middle. We continuously observed two-photon interferences well above the Bell inequality threshold.Taking advantage of the Earth’s rotation, the configuration ofour experiment allowed us to determine, for any hypotheticallyprivileged frame, a lower bound for the speed of the influence. Forexample, if such a privileged reference frame exists and is such thatthe Earth’s speed in this frame is less than 1023 times that of thespeed of light, then the speed of the influence would have to exceedthat of light by at least four orders of magnitude.
According to quantum theory, quantum correlations violating Bellinequalities simply happen, somehow from outside space-time, inthe sense that there is no space-time explanation for their occurrence:there is no event here that somehow influences another distant eventthere. Yet such a description of correlations, which is radically dif-ferent from all those found in any other part of science, should bethoroughly tested.
In 1989, Eberhard7 realized that the existence of a hypotheticallyprivileged reference frame can be experimentally tested for. The ideais that the speed of this influence, although greater than the speed oflight, is finite. Hence, if the events are simultaneous in the hypothet-ically privileged frame, then the signal does not arrive on time and noviolation of Bell inequalities should be observed. Note that if theevents are simultaneous in some reference frame, then they are alsosimultaneous with respect to any reference frame moving in a dir-ection perpendicular to the line joining the two events. Accordingly,Eberhard proposed (Ph. H. Eberhard, personal communication) toperform a Bell test over a long distance oriented east–west, over aperiod of 12 hours (ref. 8). If the events were simultaneous in theEarth’s reference frame, then they would also be simultaneous withrespect to all frames moving in the plane perpendicular to the east–west axis, and in 12 hours all possible hypothetically privilegedframes would be scanned. An intriguing alternative, that we will
not follow here, is to speculate that there is a tachyonic field9 thatcouples specifically to entangled particles.
Bohm’s10 pilot-wave model of quantum mechanics is an exampleof a theory containing an explicit spooky action at a distance, whichrequires the assumption that there is a universally privileged frame11.Also, if the spooky action at a distance propagates at finite speed, thenan experiment like the one presented below could possibly falsify thepilot-wave model12. Reference 12 stresses that the existence of a uni-versally privileged frame would not contradict relativity.
By 2000, a Bell experiment along the lines presented above hadalready been analysed8,13,14. However, the analysis concerned only twohypothetically privileged reference frames. The first frame wasdefined by the ,2.7 K cosmic microwave background radiation.The second frame analysed was the ‘Swiss Alps reference frame’, thatis, not a universal frame but merely the frame defined by the massiveenvironment of the experiment. The assumption that the privilegedframe depends on the experiment’s environment leads naturally tothe issue of situations in which the massive environments on bothsides of the experiment differ, and this was the main subject of theexperiment in 2000 (refs 13, 14). In both of these analyses, the hypo-thetical superluminal influence was termed the speed of quantuminformation to stress that it is not classical signalling. We shall usethis terminology, but we emphasize that this is only the speed of ahypothetical influence and that our result casts very serious doubtson its existence. For views on the speed of quantum information, seeref. 15.
Before presenting our experiment and results, let us clarify theprinciple of our measurements and how to obtain bounds on thisspeed of quantum information in any reference frame.
In an inertial reference frame centred on the Earth, two events Aand B (in our experiment two single-photon detections) respectivelyoccur at positions rA and rB at times tA and tB. Let us consider anotherinertial reference frame F, the hypothetically privileged frame, rela-tive to which the Earth frame moves with a velocity v (Fig. 1). Whencorrelations violating a Bell inequality are observed, the speed ofquantum informationVQI in frame F that could cause the correlationis bounded from below as follows:
VQI§r 0B{r 0A
!! !!
t 0B{t 0A"" ""
where (r9A, t9A) and (r9B, t9B) are respectively the coordinates ofevents A and B in frame F, obtained from (rA, tA) and (rB, tB) byLorentz transformation. After simplification, we obtain
VQI
c
# $2
§1z(1{b2)(1{r2)
(rzbjj)2 !1"
where b5 v/c is the speed (v5 jjvjj) of the Earth frame in frame Frelative to the speed of light (c); bjj5 vjj/c, with vjj the component of vparallel to the A–B axis; and r5 ctAB/rAB quantifies the alignment ofthe two events in the Earth frame, with tAB5 tB2 tA andrAB5 jjrB2 rAjj. In the following,wewill consider space-like separated
1Group of Applied Physics, University of Geneva, 20 Rue de l’Ecole de Medecine, CH-1211 Geneva 4, Switzerland.
Vol 454 | 14 August 2008 |doi:10.1038/nature07121
861 ©2008 Macmillan Publishers Limited. All rights reserved
events, for which jrj< 1: the bound onVQI in equation (1) will then belarger than c. For a given privileged frame F, this bounddepends on theorientation of the A–B axis through bjj and on the alignment r. Toobtain a good lower bound for VQI, we should bound the term(r1bjj)
2 from above by the smallest possible value, during a periodof timeT needed to observe a Bell violation (which, in our experiment,will be the integration time of a two-photon interference fringe).
To gain some intuition, we first consider the simple case in whichr5 0 (the two events are perfectly simultaneous in the Earth frame)and the A–B axis is perfectly aligned in the east–west direction. Then,when the Earth rotates, there will be a moment t0 when the east–westdirection is perpendicular to v, that is,bjj(t0)5 0.During a small timeinterval around t0, we can bound jbjj(t)j by a small value, and thusobtain a high lower bound for VQI.
In principle, the alignment r could be optimized for each privi-leged frame that we wish to test, so as to decrease the bound that canbe put on (r1bjj)
2 during the time interval T (and increase the term(12r2) at the same time). In our experiment, however, because wewant to scan all possible frames, we do not optimize r for each frame;instead, we align the detection events such that jrj# !rr= 1, where !rris our experimental precision on the alignment r. We then use thefact that (1{r2)=(rzbjj)
2§(1{!rr2)=(!rr zjbjjj)2 to get the follow-ing bound:
VQI
c
! "2
§1z(1{b2)(1{!rr2)
(!rr zjbjjj)2!2"
The problem reduces to bounding jbjjj directly.In the configuration of our experiment, the A–B axis is almost, but
not perfectly, oriented along the east–west direction. Consequently,the component bjj(t) has a 24-hour period, and geometric considera-tions show that it can be written as (see the SupplementaryInformation)
bjj(t)~b cos x sin azb sin x cos a cosvt
where x is the zenith angle of v, a is the angle between the A–B axisand the equatorial x–y plane (Fig. 1), and v is the angular velocity ofthe Earth.
As we show in the Supplementary Information, in order to boundjbjjj from above during a period of time T, we can consider two cases:one in which v does not point close to a pole (CTjtanxj> jtanaj), andone in which it does (CTjtanxj# jtanaj). Here CT5 cos2(vT/4),which ,1 when vT is small. There exists a time interval of lengthT during which jbjj(t)j is bounded from above by
jbj####################################################sin2 x cos2 a{ cos2 x sin2 a
qvT
2
in the first case and by
jbj j cos x sin aj{j sin x cos aj cosvT2
! "
in the second case. These bounds, together with equation (2), providethe desired lower bound for VQI.
We now describe our experiment. In essence it is a large Fransoninterferometer16. A source situated in our laboratory in Geneva emitsentangled photon pairs using the standard parametric down-conver-sion process in a nonlinear crystal (here a continuous-wave laserpumps a waveguide in a periodically poled lithium niobate crystal)17.Using fibre Bragg gratings and optical circulators, each pair is deter-ministically split and one photon is sent through the Swisscom fibreoptic network to Satigny, a village west of Geneva, and the otherphoton is sent to Jussy, a village east of Geneva. The two receivingstations, located in those two villages, are separated by a direct dis-tance of 18.0 km (Fig. 2). We use energy–time entanglement, a formof entanglement well suited to quantum communication in standardtelecommunications fibres18. At each receiving station, the photonspass through identically unbalanced fibre-optic Michelson interfe-rometers. The imbalance (,25 cm) is larger than the single-photoncoherence length (,2.5mm), meaning that any single-photon inter-ference is avoided, but is much smaller than the pump laser coher-ence length (>20m). Accordingly, when a photon pair is detectedsimultaneously in Satigny and Jussy, there is no information aboutwhich path—the long arm or the short arm—the photons took intheir interferometers. But because the photons were also emittedsimultaneously, they must both have taken the same long or shortpath. This indistinguishability leads, as always in quantumphysics, tointerference between the long–long and short–short paths.Continuously scanning the phase in one interferometer (at Jussy),while keeping the other one stable, produces a sinusoidal oscillationof the correlation between the photon detections at Satigny and Jussy(Fig. 3). The phases were controlled by the temperature of the fibre-based interferometers.
y
z!N
B
"
A
#v
y !
x!
z!
F
x
Figure 1 | Reference frames. The Earth frame moves with respect to ahypothetically privileged reference frame F at a speed v. The zenith angle xbetween v and the z axis can have values between 0u and 180u. The A–B axisforms an angle a with the equatorial (x–y) plane. v, angular velocity of theEarth.
France
SwitzerlandFrance
18.0 km
10.7 km8.2 km
Satigny
JussyAPD
Fibre length: 17.5 kmUnderground fibre length: 13.4 kmFibre coil length: 4.1 kmTotal fibre length: 17.5 km
Geneva
Lake
Gen
evaN
S
EW
2 km
APD
d
Figure 2 | Experimental setup. The source sends pairs of photons fromGeneva to two receiving stations through the Swisscom fibre-optic network.The stations are situated in two villages, Satigny and Jussy, that arerespectively 8.2 and 10.7 km fromGeneva. The direct distance between themis 18.0 km. At each receiving station, the photons pass through identicallyunbalanced Michelson interferometers and are detected by a single-photonInGaAs avalanche photodiode (APD) (id201, id Quantique). The length ofthe fibre going to Jussy is 17.5 km. The fibre going to Satigny is only 13.4 kmlong, so we added a fibre coil of 4.1 km (represented as a loop) to equalize thelengths of the fibres. Having fibres with the same length allows us to satisfythe condition of good alignment (r= 1). d indicates the scanning of thephase of the interferometer at Jussy.
LETTERS NATURE |Vol 454 | 14 August 2008
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VQ > 10,000 x c!
Se houver ação a distância:
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• Qualquer medida de A sempre tem resultados aleatórios (P=50%)
• As medidas de A não mostram o que B faz
?A B
Comunicação Superluminal com Emaranhamento?
Thursday, June 10, 2010
• Qualquer medida de A sempre tem resultados aleatórios (P=50%)
• As medidas de A não mostram o que B faz
P = 50%
?A B
Comunicação Superluminal com Emaranhamento?
Thursday, June 10, 2010
• Qualquer medida de A sempre tem resultados aleatórios (P=50%)
• As medidas de A não mostram o que B faz
P = 50%
P = 50%
?A B
Comunicação Superluminal com Emaranhamento?
Thursday, June 10, 2010
• Qualquer medida de A sempre tem resultados aleatórios (P=50%)
• As medidas de A não mostram o que B faz
P = 50%
P = 50%
?A B
Emaranhamento não transmite Informação!
Comunicação Superluminal com Emaranhamento?
Thursday, June 10, 2010
• Qualquer medida de A sempre tem resultados aleatórios (P=50%)
• As medidas de A não mostram o que B faz
P = 50%
P = 50%
?A B
Emaranhamento não transmite Informação!
Emaranhamento, em conjunto com communicação clássica (telefone, email, etc),
é capaz de realizar tarefas difíceis (e.g. Teletransporte)
Comunicação Superluminal com Emaranhamento?
Thursday, June 10, 2010
• Qualquer medida de A sempre tem resultados aleatórios (P=50%)
• As medidas de A não mostram o que B faz
P = 50%
P = 50%
?A B
Emaranhamento não transmite Informação!
Emaranhamento, em conjunto com communicação clássica (telefone, email, etc),
é capaz de realizar tarefas difíceis (e.g. Teletransporte)
Comunicação clássica = subluminal
Comunicação Superluminal com Emaranhamento?
Thursday, June 10, 2010
Emaranhamento é
● Um recurso físico, que pode ser empregado e consumido em tarefas de comunicação e computação
• criptografia quântica (1991+)
• teletransporte (1993+)
• computação quântica (1985+)- algoritmos mais rápidos
• pode ser purificado e destilado (1995+)
Exemplos:
● um aspecto fundamental e contra-intuitiva da Física Quântica
● uma correlação quântica que é “mais forte” do que qualquer correlação clássica
Thursday, June 10, 2010
Criptografia Quântica
• Com a cifra de Vernam (One Time Pad), precisamos somente distribuir chaves criptográficas idênticas entre Alice e Bob.
• Chave criptográfica: Seqüências de bits aleatórios e secretos.
• A aleatoriedade e complementaridade intrínseca da Mecânica Quântica pode fazer este serviço!!
Stephen Weisner, 1970’s (durante a sua graduação)
Bennett e Brassard, 1984, protocolo “BB84” (fótons únicos)
Ekert (1991), Bennett, Brassard, Mermin (1992): protocolos com fótons emaranhados
Thursday, June 10, 2010
Protótipo de criptografia quântica da Toshiba
2009: 100-250 km em fibras ópticas 150 km no espaço livre
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Criptografia Quântica com Emaranhamento
A e B escolham medidas aleatoriamente, e anotam os resultados
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A e B escolham medidas aleatoriamente, e anotam os resultados
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A e B escolham medidas aleatoriamente, e anotam os resultados
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A e B escolham medidas aleatoriamente, e anotam os resultados
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A e B escolham medidas aleatoriamente, e anotam os resultados
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A e B escolham medidas aleatoriamente, e anotam os resultados
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A e B escolham medidas aleatoriamente, e anotam os resultados
3. A e B conversam (comunicação clássica) eeliminam os casos com medidas diferentes, sem divulgar os
resultados
Eles ficam com seqüências aleatórias idênticas
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A e B escolham medidas aleatoriamente, e anotam os resultados
3. A e B conversam (comunicação clássica) eeliminam os casos com medidas diferentes, sem divulgar os
resultados
Eles ficam com seqüências aleatórias idênticas
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A e B escolham medidas aleatoriamente, e anotam os resultados
3. A e B conversam (comunicação clássica) eeliminam os casos com medidas diferentes, sem divulgar os
resultados
Eles ficam com seqüências aleatórias idênticas
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A e B escolham medidas aleatoriamente, e anotam os resultados
3. A e B conversam (comunicação clássica) eeliminam os casos com medidas diferentes, sem divulgar os
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Eles ficam com seqüências aleatórias idênticas
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A e B escolham medidas aleatoriamente, e anotam os resultados
3. A e B conversam (comunicação clássica) eeliminam os casos com medidas diferentes, sem divulgar os
resultados
Eles ficam com seqüências aleatórias idênticas
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Criptografia Quântica com Emaranhamento
A e B escolham medidas aleatoriamente, e anotam os resultados
3. A e B conversam (comunicação clássica) eeliminam os casos com medidas diferentes, sem divulgar os
resultados
Eles ficam com seqüências aleatórias idênticas
Um espião “escutando” na linha de transmissão perturba o sistema e destrói o emaranhamento,
provocando erros nas sequências, que são detectáveis por A e B
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Teletransporte Quântico
Uma maneira de mandar informação quântica (Qbits) Gostaríamos de enviar Qbits por distâncias grandes para
utilização em criptografia e computação quântica Manda o Qbit diretamente? PROBLEMA: Qbits são muito frágeis e susceptíveis a
ruído. Medir e/ou enviar classicamente não funciona (medição =
destruição), quantidade infinita de informação em princípio
SOLUÇÃO: Teletransporte
Bennett et al. (1993)
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Par de Qbits emaranhados
Qbit “P”
Teletransporte Quântico: 1o caso
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Par de Qbits emaranhados
Qbit “P”
Medida
Teletransporte Quântico: 1o caso
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Par de Qbits emaranhados
Qbit “P”
Medida
P
P P
PPResultado “1”
Teletransporte Quântico: 1o caso
A B
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Par de Qbits emaranhados
Qbit “P”
Medida
Comunicação
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PResultado “1”
Teletransporte Quântico: 1o caso
A B
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Par de Qbits emaranhados
Qbit “P”
Medida
Comunicação
Rotação R1
PResultado “1”
P
Teletransporte Quântico: 1o caso
A B
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Par emaranhado
Estado quântico
Teletransporte Quântico: 2o caso
A B
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Par emaranhado
Estado quântico
Medida
Teletransporte Quântico: 2o caso
A B
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Par emaranhado
Estado quântico
Medida
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P P
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PResultado “2”
Teletransporte Quântico: 2o caso
A B
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Par emaranhado
Estado quântico
Medida
Comunicação Clássica
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PResultado “2”
Teletransporte Quântico: 2o caso
A B
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Par emaranhado
Estado quântico
Medida
Comunicação Clássica
Rotação R2
PResultado “2”
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Teletransporte Quântico: 2o caso
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Estado quântico
Teletransporte Quântico: 3o caso
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Thursday, June 10, 2010
P
Par emaranhado
Estado quântico
Medida
Teletransporte Quântico: 3o caso
A B
Thursday, June 10, 2010
Par emaranhado
Estado quântico
Medida
P
P P
P
P
Resultado “3”
Teletransporte Quântico: 3o caso
A B
Thursday, June 10, 2010
Par emaranhado
Estado quântico
Medida
Comunicação ClássicaP
P
Resultado “3”
Teletransporte Quântico: 3o caso
A B
Thursday, June 10, 2010
Par emaranhado
Estado quântico
Medida
Comunicação Clássica
Rotação R3
P
Resultado “3”
P
Teletransporte Quântico: 3o caso
A B
Thursday, June 10, 2010
P
Par emaranhado
Estado quântico
Teletransporte Quântico: 4o caso
A B
Thursday, June 10, 2010
P
Par emaranhado
Estado quântico
Medida
Teletransporte Quântico: 4o caso
A B
Thursday, June 10, 2010
Par emaranhado
Estado quântico
Medida
P
P P
P
PResultado “4”
Teletransporte Quântico: 4o caso
A B
Thursday, June 10, 2010
Par emaranhado
Estado quântico
Medida
Comunicação Clássica
PResultado “4”
P
Teletransporte Quântico: 4o caso
A B
Thursday, June 10, 2010
O custo de teletransporte Quântico
Para enviar um Qbit “P”, precisamos:
1 par de sistemas emaranhado
2 bits de comunicação clássica
O Qbit original é destruido, logo Não é um FAX!
Thursday, June 10, 2010
Thursday, June 10, 2010
Clonagem Quântico?Com bits clássicos, pode-se realizar a operação:
0 0 0 0 1 0 1 1
O valor do primeiro é copiado para o valor do segundo
Thursday, June 10, 2010
Clonagem Quântico?Com bits clássicos, pode-se realizar a operação:
0 0 0 0 1 0 1 1
O valor do primeiro é copiado para o valor do segundo
Com Qbits, teremos:
(α|0� + β|1�)|0� α|0�|0� + β|1�|1��= (α|0� + β|1�)(α|0� + β|1�)
Thursday, June 10, 2010
Clonagem Quântico?Com bits clássicos, pode-se realizar a operação:
0 0 0 0 1 0 1 1
O valor do primeiro é copiado para o valor do segundo
Com Qbits, teremos:
(α|0� + β|1�)|0� α|0�|0� + β|1�|1��= (α|0� + β|1�)(α|0� + β|1�)
Teorema de Não-Clonagem: É impossível copiar um Qbit desconhecido com fidelidade perfeita.
(Wootters e Zurek, 1982)Thursday, June 10, 2010
Clonagem Quântico?Com bits clássicos, pode-se realizar a operação:
0 0 0 0 1 0 1 1
O valor do primeiro é copiado para o valor do segundo
Com Qbits, teremos:
(α|0� + β|1�)|0� α|0�|0� + β|1�|1��= (α|0� + β|1�)(α|0� + β|1�)
Teorema de Não-Clonagem: É impossível copiar um Qbit desconhecido com fidelidade perfeita.
(Wootters e Zurek, 1982)
É impossível determinar o estado de um único Qbit
Thursday, June 10, 2010
T. da Não-clonagem• Faz parte da segurança em criptografia
quântica
• Impossível “ampliar” um sinal quântico (REPETIDOR ?)
linha de transmissão com perdas
Amplificador
Repetidor em comunicação clássica
sinal clássico sinal ampliado
Thursday, June 10, 2010
Repetidores QuânticosProduzir emaranhamento a longa-distância com
protocolo teletransporte
par par par par par parA B
Thursday, June 10, 2010
Repetidores QuânticosProduzir emaranhamento a longa-distância com
protocolo teletransporte
par par par par par par
Medida Conjunta
A B
Thursday, June 10, 2010
Repetidores QuânticosProduzir emaranhamento a longa-distância com
protocolo teletransporte
par par par par par par
Medida Conjunta
A B
Thursday, June 10, 2010
Repetidores QuânticosProduzir emaranhamento a longa-distância com
protocolo teletransporte
par par par par par par
Medida Conjunta
A B
Thursday, June 10, 2010
Repetidores QuânticosProduzir emaranhamento a longa-distância com
protocolo teletransporte
par par par par par par
Medida Conjunta
A B
No final, um par emaranhado entre A e B!
Thursday, June 10, 2010
Destilação de Emaranhamento
N pares “sujos” ⇒M pares mais emaranhados (M ≤ N)
FONTE
Ψ−ruído ruído
Alice Bob
Construção de Redes Emaranhados com Repetidores Quânticos!
Thursday, June 10, 2010
Destilação de Emaranhamento
N pares “sujos” ⇒M pares mais emaranhados (M ≤ N)
FONTE
Ψ−ruído ruído
Alice Bob
Construção de Redes Emaranhados com Repetidores Quânticos!
Thursday, June 10, 2010
Destilação de Emaranhamento
N pares “sujos” ⇒M pares mais emaranhados (M ≤ N)
FONTE
Ψ−ruído ruído
Alice Bob
Construção de Redes Emaranhados com Repetidores Quânticos!
Thursday, June 10, 2010
Destilação de Emaranhamento
N pares “sujos” ⇒M pares mais emaranhados (M ≤ N)
FONTE
Ψ−ruído ruído
Alice Bob
Construção de Redes Emaranhados com Repetidores Quânticos!
Thursday, June 10, 2010
Destilação de Emaranhamento
N pares “sujos” ⇒M pares mais emaranhados (M ≤ N)
FONTE
Ψ−ruído ruído
Alice Bob
Construção de Redes Emaranhados com Repetidores Quânticos!
Thursday, June 10, 2010
Destilação de Emaranhamento
N pares “sujos” ⇒M pares mais emaranhados (M ≤ N)
FONTE
Ψ−ruído ruído
Alice Bob
Alice e Bob: Medida condicional
Construção de Redes Emaranhados com Repetidores Quânticos!
Thursday, June 10, 2010
Destilação de Emaranhamento
N pares “sujos” ⇒M pares mais emaranhados (M ≤ N)
FONTE
Ψ−ruído ruído
Alice Bob
Alice e Bob: Medida condicional
Construção de Redes Emaranhados com Repetidores Quânticos!
Thursday, June 10, 2010
Destilação de Emaranhamento
N pares “sujos” ⇒M pares mais emaranhados (M ≤ N)
FONTE
Ψ−ruído ruído
Alice Bob
Construção de Redes Emaranhados com Repetidores Quânticos!
Thursday, June 10, 2010
Destilação de Emaranhamento
N pares “sujos” ⇒M pares mais emaranhados (M ≤ N)
FONTE
Ψ−ruído ruído
comunicação de resultados
Alice Bob
Construção de Redes Emaranhados com Repetidores Quânticos!
Thursday, June 10, 2010
Destilação de Emaranhamento
N pares “sujos” ⇒M pares mais emaranhados (M ≤ N)
FONTE
Ψ−ruído ruído
comunicação de resultados
Alice Bob
Construção de Redes Emaranhados com Repetidores Quânticos!
Thursday, June 10, 2010
Resumo• Informação Quântica - reune a Teoria de Informação e
Mecânica Quântica, as duas grandes teorias do século XX
• Emaranhamento: (a) uma correlação entre sistemas quânticas, (b) o aspecto principal que distingue a física quântica da física clássica, (c) um recurso físico
• Aplicações interessantes: Computação Quântica, Comunicação Quântica, Teletransporte, Criptografia Quântica, Repeditores Quânticos
Thursday, June 10, 2010
Obrigado!
mais informação: www.if.ufrj.br/~infoquan/index.htm
[email protected]/~swalborn/spw
Emaranhamento Clássico?Thursday, June 10, 2010
Grupo de Óptica Quântica IF/UFRJ
Pinças Ópticas*Fótons Gêmeos
Técnicas experimentais
Paulo Henrique Souto Ribeiro
Stephen P. Walborn
Ruynet L. Matos FilhoLuiz Davidovich
Nicim Zagury
Fabrício Toscano
Professores
* com Profs. Paulo A. Maio Neto, H. M. Nussenzveig e Nathan B. Viana
mais info: www.if.ufrj.br/~phsr/qopt
EmaranhamentoComunicação Quântica
Informação Quântica
Caos Quântico
Óptica de Fourier
Estados Não-clássicos da luz
Momento angular orbital da luz
Não-localidade
Tópicos
Óptica Quântica
Criptografia Quântica
e outros ...
Thursday, June 10, 2010
Polarização de um fótona
b
c
d
fóton - “quanta” de energia da luz (partícula)
superposição (onda):
|ψ� = a| ↔�+ b| ��
achar ↔ com P = |a|2
P = |b|2achar ↕ com
e depois temos ↔
e depois temos ↕
Medida:
Thursday, June 10, 2010
Desenvolvimento da “tecnologia quântica”
Thursday, June 10, 2010
Desenvolvimento da “tecnologia quântica”
Schrödinger, 1952: “... Nunca realizamos experimentos com um único elétron ou um átomo ou uma molécula pequena. Em “experimentos pensados” supomos às vezes que isso é possível; invariavelmente, isso leva a conseqüências ridículas. {…} Pode-se dizer que não se realizam experimentos com partículas únicas, tanto quanto não se criam Ictiossauros no jardim zoológico.”
(British Journal of the Philosophy of Sciences, vol. 3, 1952)
Tecnologia quântica há 50 anos atrás
Thursday, June 10, 2010
Desenvolvimento da “tecnologia quântica”
Tecnologia quântica no final do século XX
Átomos em cavidadesChapman, Haroche, Kimble,
Rempe, Walther
Um único átomo interagindo com um único fóton
D. Wineland, R. Blatt, 30 ions aprisionados!
Thursday, June 10, 2010
Polarização e polarizadores
Thursday, June 10, 2010
Polarização de um único fóton: H ↔ |0>, V ↔ |1>
Polarização e polarizadores
Thursday, June 10, 2010
Polarização de um único fóton: H ↔ |0>, V ↔ |1>
Especificação do ângulo define o estado do qbit
Polarização e polarizadores
Thursday, June 10, 2010
Medindo a polarização
Polarização e polarizadores
Thursday, June 10, 2010
Medindo a polarização
Polarização e polarizadores
Thursday, June 10, 2010
Medindo a polarização
Polarização e polarizadores
Thursday, June 10, 2010
Medindo a polarização
Descrição clássica: luz após polarizador é polarizada ao longo do eixo do polarizador, e tem intensidade reduzida, dependendo do ângulo
Polarização e polarizadores
Thursday, June 10, 2010
Medindo a polarização
Descrição clássica: luz após polarizador é polarizada ao longo do eixo do polarizador, e tem intensidade reduzida, dependendo do ângulo
Descrição quântica: Fóton não se divide! Cada fóton ou não passa pelo polarizador ou sai polarizado ao longo do eixo do polarizador. Portanto, intensidade se reduz porque cada fóton tem uma certa probabilidade de passar, que depende do ângulo.
Polarização e polarizadores
Thursday, June 10, 2010
Thursday, June 10, 2010
Emaranhamento Quântico
1 2
CPD
|ψ� = 1√2(| ��1| ��2 + | ↔�1| ↔�2)
O que é emaranhamento?
● Uma correlação quântica entre sistemas quânticos
|ψ� = 1√2(| ��1| ��2 + | ��1| ��2)
Os fótons sempre tem a mesma polarização, mas a polarização de cada fóton é completamente
indeterminada!
...
Thursday, June 10, 2010
fonte
BA
Correlação Clássica de Fótons
Thursday, June 10, 2010
fonte
BA
Correlação Clássica de Fótons
Thursday, June 10, 2010
fonte
BA
Correlação Clássica de Fótons
Thursday, June 10, 2010
• Resultados Aleatórios!
fonte
BA
Correlação Clássica de Fótons
Thursday, June 10, 2010
• Resultados Aleatórios!
fonte
BA
Correlação Clássica de Fótons
Thursday, June 10, 2010
• Resultados Aleatórios!
fonte
BA
Correlação Clássica de Fótons
Emaranhamento é um diferente tipo de correlação
Correlação Clássica não reproduz os resultados obtidos com emaranhamento
Thursday, June 10, 2010
Fontes Binárias de Informação
bit = “dígito binário”, 0 ou 1
01011010 FONTE
00000000 FONTE
Thursday, June 10, 2010
Fontes Binárias de Informação
bit = “dígito binário”, 0 ou 1
01011010FONTE
00000000 FONTE
Thursday, June 10, 2010
Fontes Binárias de Informação
bit = “dígito binário”, 0 ou 1
01011010FONTE
00000000FONTE
Thursday, June 10, 2010
Fontes Binárias de Informação
bit = “dígito binário”, 0 ou 1
01011010FONTE
00000000FONTE
Qual fonte emite mais informação?
Thursday, June 10, 2010
Fontes Binárias de Informação
bit = “dígito binário”, 0 ou 1
01011010FONTE
00000000FONTE
Qual fonte emite mais informação?
Cada bit traz informação nova
Thursday, June 10, 2010
Fontes Binárias de Informação
bit = “dígito binário”, 0 ou 1
01011010FONTE
00000000FONTE
Qual fonte emite mais informação?
Cada bit traz informação nova
Já sabemos!
Thursday, June 10, 2010
Todo alfabeto pode ser transformado em dígitos binários (bits)
ex: alfabeto de 4 símbolos
A 00
B 01
C 10
D 11
ex: “fisica” = 70 73 83 73 67 65 em código ACSII
= 1000110 1001001 1010011 1001001 1000011 1000001 em binário
Thursday, June 10, 2010
Todo alfabeto pode ser transformado em dígitos binários (bits)
ex: alfabeto de 4 símbolos
A 00
B 01
C 10
D 11
4 símbolos 2 “bits”
ex: “fisica” = 70 73 83 73 67 65 em código ACSII
= 1000110 1001001 1010011 1001001 1000011 1000001 em binário
Thursday, June 10, 2010
Quantidade de informação emitida por uma fonte
Imagina que, depois de muitas mensagens de uma fonte, estes símbolos aparecem com as seguintes probabilidades:
A = 00, p=1/2
B = 01, p = 1/4
C =10, p = 1/8
D = 11, p=1/8
Qual é a quantidade de informação transmitida por símbolo?
2 bits?Thursday, June 10, 2010
Pergunta em outra forma: Quantos bits são necessários em media para codificar cada símbolo?
Thursday, June 10, 2010
Tentativa mais esperta:Seja:
A = 0, lembrando que p=1/2
B = 10, lembrando que p = 1/4
C =110, lembrando que p = 1/8
D = 111, lembrando que p=1/8
Pergunta em outra forma: Quantos bits são necessários em media para codificar cada símbolo?
Thursday, June 10, 2010
Tentativa mais esperta:Seja:
A = 0, lembrando que p=1/2
B = 10, lembrando que p = 1/4
C =110, lembrando que p = 1/8
D = 111, lembrando que p=1/8
Precisamos então de
(1 x 1/2) + (2 x 1/4) + (3x1/8) + (3x1/8) = 7/4 bits por símbolo
Pergunta em outra forma: Quantos bits são necessários em media para codificar cada símbolo?
Thursday, June 10, 2010
Tentativa mais esperta:Seja:
A = 0, lembrando que p=1/2
B = 10, lembrando que p = 1/4
C =110, lembrando que p = 1/8
D = 111, lembrando que p=1/8
Precisamos então de
(1 x 1/2) + (2 x 1/4) + (3x1/8) + (3x1/8) = 7/4 bits por símbolo
Mais eficiente!
Pergunta em outra forma: Quantos bits são necessários em media para codificar cada símbolo?
Thursday, June 10, 2010
Informação emitida por uma fonte
Definição conceitual: o menor número de bits necessário para codificar uma mensagem.
Definição prática: A informação emitida por uma fonte é dada pela entropia de
Shannon
Problema: Como achamos a melhor codificação?
Claude E. Shannon1916-2001
O “pai” da teoria de informação
S = −�
i=0,1
pi log2 pi
Thursday, June 10, 2010
Para o exemplo anterior, verificamos:
S = −12
log2
�12
�− 1
4log2
�14
�− 1
8log2
�18
�− 1
8log2
�18
�
S =12
+24
+38
+38
S = 7/4 bits!
Thursday, June 10, 2010
Entropia de Shannon
• Fornece uma maneira de comparar fontes com alfabetos diferentes
• Nos diz a quantidade de compactação possível (ie imagens jpeg, música mp3, etc)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Sp
Entropia de um bitS = −
�
i=0,1
pi log2 pi p1 = 1-p0
Thursday, June 10, 2010
Exemplo: imagem bitmap
1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 11 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 11 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 10 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1
=
A imagem é uma fonte de informação. A sua entropia determina a quantidade
de compactação possível. ie JPEG
Thursday, June 10, 2010
• Cada previsão teórica corresponde a uma situação experimental particular. Mudar o experimento, mudar a previsão teórica.
• As propriedades individuais dos sistemas são definidas somente depois de uma medida
• Antes de medir, as propriedades são indeterminadas.
Niels Bohr
Einstein: “Fantasmagórica ação a distância”
Copenhagen (Não-realista)
Bohm (Não-local)
• Existe algum meio de comunicação instantânea entre os sistemas (violação de causalidade?)
Thursday, June 10, 2010
Interpretação de Copenhagen (Não-realismo), ou Realismo Local -EPR?
Qual explicação está certa?
Thursday, June 10, 2010
Desigualdade de Bell● Uma maneira de testar a teoria quântica contra teorias
“clássicas” (realismo local)
1 2
a ou a
analizador
b ou b
analizador
+1-1
+1-1
|E(a, b) + E(a, b�) + E(a�, b)− E(a�, b�)| ≤ 2
John Bell (1964): Um teste para determinar se o emaranhamento é explicado por “Realismo Local” de EPR
Correlação clássica (com variáveis escondidas):
Emaranhamento: |E(a, b) + E(a, b�) + E(a�, b)− E(a�, b�)| = 2√
2
Thursday, June 10, 2010
Não existem formas mais inteligentes de “escutar” na linha de Alice e Bob?
Ex. Copiar o estado do fóton, guardar a sua cópia, e medí-lo depois da comunicação de Alice e Bob. Desta
forma, Eve saberia qual medida deve ser feita!!
Thursday, June 10, 2010
Criptografia Quântica
• Com a cifra de Vernam (One Time Pad), precisamos somente distribuir chaves criptográficas idênticas entre Alice e Bob.
• Chave criptográfica: Seqüências de bits aleatórios.
• A aleatoriedade intrínseca da Mecânica Quântica pode fazer este serviço!!
Stephen Weisner, 1970’s (durante a sua graduação)
Bennett e Brassard, 1984, protocolo “BB84”
Thursday, June 10, 2010
DQC: Como funciona
Alice
Bob
fonte
Alice escolhe dois bits aleatórios que determinam a polarização (H, V, +45 ou -45) do fóton que ela envia
Bob escolhe um bit aleatório, e mede o fóton com polarizador H/V ou +45/-45, anote o resultado (0 ou 1)
cubo
placa
“0”
“1”
Thursday, June 10, 2010
DQC: Como funciona
Alice
Bob
fonte
H/V
Alice escolhe dois bits aleatórios que determinam a polarização (H, V, +45 ou -45) do fóton que ela envia
Bob escolhe um bit aleatório, e mede o fóton com polarizador H/V ou +45/-45, anote o resultado (0 ou 1)
cubo
placa
“0”
“1”
Thursday, June 10, 2010
DQC: Como funciona
Alice
Bob
fonte
Alice escolhe dois bits aleatórios que determinam a polarização (H, V, +45 ou -45) do fóton que ela envia
Bob escolhe um bit aleatório, e mede o fóton com polarizador H/V ou +45/-45, anote o resultado (0 ou 1)
cubo
placa
“0”
“1”
Thursday, June 10, 2010
DQC: Como funciona
Alice
Bob
fonte
+45/-45
Alice escolhe dois bits aleatórios que determinam a polarização (H, V, +45 ou -45) do fóton que ela envia
Bob escolhe um bit aleatório, e mede o fóton com polarizador H/V ou +45/-45, anote o resultado (0 ou 1)
cubo
placa
“0”
“1”
Thursday, June 10, 2010
DQC: Como funciona
Alice
Bob
fonte
Alice escolhe dois bits aleatórios que determinam a polarização (H, V, +45 ou -45) do fóton que ela envia
Bob escolhe um bit aleatório, e mede o fóton com polarizador H/V ou +45/-45, anote o resultado (0 ou 1)
cubo
placa
“0”
“1”
Thursday, June 10, 2010
DQC: Como funciona
Alice
Bob
fonte
Alice escolhe dois bits aleatórios que determinam a polarização (H, V, +45 ou -45) do fóton que ela envia
Bob escolhe um bit aleatório, e mede o fóton com polarizador H/V ou +45/-45, anote o resultado (0 ou 1)
H/V
cubo
placa
“0”
“1”
Thursday, June 10, 2010
DQC: Como funciona
Alice
Bob
fonte
Alice escolhe dois bits aleatórios que determinam a polarização (H, V, +45 ou -45) do fóton que ela envia
Bob escolhe um bit aleatório, e mede o fóton com polarizador H/V ou +45/-45, anote o resultado (0 ou 1)
cubo
placa
“0”
“1”
Thursday, June 10, 2010
DQC: Como funciona
Alice
Bob
fonte
Alice escolhe dois bits aleatórios que determinam a polarização (H, V, +45 ou -45) do fóton que ela envia
Bob escolhe um bit aleatório, e mede o fóton com polarizador H/V ou +45/-45, anote o resultado (0 ou 1)
H/V
cubo
placa
“0”
“1”
Thursday, June 10, 2010
DQC: Como funciona
Alice
Bob
fonte
Alice escolhe dois bits aleatórios que determinam a polarização (H, V, +45 ou -45) do fóton que ela envia
Bob escolhe um bit aleatório, e mede o fóton com polarizador H/V ou +45/-45, anote o resultado (0 ou 1)
cubo
placa
“0”
“1”
Thursday, June 10, 2010
DQC: Como funciona
Alice
Bob
fonte
Alice escolhe dois bits aleatórios que determinam a polarização (H, V, +45 ou -45) do fóton que ela envia
Bob escolhe um bit aleatório, e mede o fóton com polarizador H/V ou +45/-45, anote o resultado (0 ou 1)
cubo
+45/-45placa
“0”
“1”
Thursday, June 10, 2010
Exemplo de Resultados
Alice pol H V + - V - H - H
Alice bits 00 01 10 11 01 11 00 11 00
Bobresult H + + V V - - V H
Bobbits 00 10 10 01 01 11 11 01 00
Thursday, June 10, 2010
Exemplo de Resultados
Alice pol H V + - V - H - H
Alice bits 00 01 10 11 01 11 00 11 00
Bobresult H + + V V - - V H
Bobbits 00 10 10 01 01 11 11 01 00
Comunicam clássicamente, comparando o primeiro bit
Thursday, June 10, 2010
Exemplo de Resultados
Alice pol H V + - V - H - H
Alice bits 00 01 10 11 01 11 00 11 00
Bobresult H + + V V - - V H
Bobbits 00 10 10 01 01 11 11 01 00
Comunicam clássicamente, comparando o primeiro bitQuando for igual, toma o segundo bit para a chave
0 0 01 1Chave:
Thursday, June 10, 2010
Espionagem e SegurançaA espiã Eve intercepta os fótons, e tenta descobrir a
direção de polarização de cada um
Thursday, June 10, 2010
Espionagem e SegurançaA espiã Eve intercepta os fótons, e tenta descobrir a
direção de polarização de cada um
Mas é impossível determinar a polarização de um único fóton!
Thursday, June 10, 2010
Espionagem e SegurançaA espiã Eve intercepta os fótons, e tenta descobrir a
direção de polarização de cada um
Mas é impossível determinar a polarização de um único fóton!
São duas medidas diferentes (H/V e +45/-45).
Thursday, June 10, 2010
Espionagem e SegurançaA espiã Eve intercepta os fótons, e tenta descobrir a
direção de polarização de cada um
Mas é impossível determinar a polarização de um único fóton!
São duas medidas diferentes (H/V e +45/-45).
Metade das vezes ela acerta a medida, descobre a polarização correta, e re-envia o fóton (ou um igual) sem problema
Thursday, June 10, 2010
Espionagem e SegurançaA espiã Eve intercepta os fótons, e tenta descobrir a
direção de polarização de cada um
Mas é impossível determinar a polarização de um único fóton!
São duas medidas diferentes (H/V e +45/-45).
Metade das vezes ela acerta a medida, descobre a polarização correta, e re-envia o fóton (ou um igual) sem problema
Metade das vezes erra a medida, nestes casos ela envia um fóton com polarização errada 50% das vezes
Thursday, June 10, 2010
Espionagem e SegurançaA espiã Eve intercepta os fótons, e tenta descobrir a
direção de polarização de cada um
Mas é impossível determinar a polarização de um único fóton!
São duas medidas diferentes (H/V e +45/-45).
Metade das vezes ela acerta a medida, descobre a polarização correta, e re-envia o fóton (ou um igual) sem problema
Metade das vezes erra a medida, nestes casos ela envia um fóton com polarização errada 50% das vezes
Probabilidade total de erro = 1/2 * 1/2 = 1/4
Thursday, June 10, 2010
Detectando a presença de Eve
A 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
B 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Chaves aleatórias de A e B
Thursday, June 10, 2010
Detectando a presença de Eve
A 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
B 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
A presença de Eve aparece na sequência de Bob
0 0 01 1 1
Chaves aleatórias de A e B
Thursday, June 10, 2010
Detectando a presença de Eve
A 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
B 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
A presença de Eve aparece na sequência de Bob
0 0 01 1 1
Alice e Bob escolhem aleatoriamente alguns casos para verificar a presença ou não de Eve
Se o número de erros for alto (existem limites estabelecidos), descartam a chave
Chaves aleatórias de A e B
Thursday, June 10, 2010
Segurança de DQC
• A Distribuição Quântica de Chaves é o único método de estabelecer chaves idênticas, com segurança garantida
• Esta segurança vem pelas “propriedades estranhas” da Mecânica Quântica!! (o princípio da complementaridade e a Não-clonagem (linearidade)
• Há grande interesse em implementar DQC no mundo real (militar, negócios, etc)
Thursday, June 10, 2010
Emaranhamento Quântico
• Emaranhamento Quântico
• O Paradoxo EPR
• A Desigualdade de Bell
• Teletransporte
• Repetidores Quânticos
Emaranhamento Clássico?Thursday, June 10, 2010
Emaranhamento: polarização
cristais
2
1
laser
{ {cristal 1 cristal 2
|ψ� = 1√2(| ��1| ��2 + | ↔�1| ↔�2)
Conversão Paramétrica Descendente
Thursday, June 10, 2010