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UNIVERSIDAD SIMON BOLIVARDEPARTAMENTO DE MATEMATICASPURAS Y APLICADASMA2312

Ene-Mar 2007

Practica 5 1

1. Determine cuales de las siguientes sucesiones son uniformemente covergentes en los conjuntosindicados. (Razone su respuesta).

a) 1x+n en (0,).

b) nx1+n+x

en [0, 1].

c) sennxn

en R.

d) sen

x

nen R.

e) x

n

1+xn en [0, 1 ], con 0< 0.

2. Suponga que la sucesion de funciones {fn} converge uniformemente a la funcionfen el intervalo[a, b]. Pruebe que para toda sucesion {xn} en [a, b] que converge ax, se tiene que fn(xn) tiendea f(x) cuando n . Es cierto el recproco?

3 Estudie la convergencia puntual y uniforme de las siguientes sucesiones de funciones {fn(x)} talesque

a) fn(x) = nx

3

1+nx, x [0, 1].

b) fn(x) = x

2n1x2n+1

, x R.

c) fn(x) = nenx2 , x R.

d) fn(x) =

xn

, x [1, 2].

e) fn(x) = 2nxenx2 , x [0, 1].

f) fn(x) = x

2n

x2n+1, x R.

4. Para cada n N, considere la funcion fn: [0,) Rdada por

fn(x) =

anx

n, si 0 x 1,n1nx

si 1< x.

a) Hallean de manera que fn(x), sea continua en [0,).

b) Calcule f(x) = limn fn(x).

c) Estiduie si la convergencia de {fn} a fes uniforme o no.

5. Estudie la convergencia puntual y uniformde de la sucesion de funciones {fn(x)} dada por:

fn(x) =

1, si x 1n

,

sennx

2

si 1

n < x 1

n,

1, si x > 1n

.

6. Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia y estudie el comportamientoen los extremos del intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias:

a)

n=0(x2)n

2n .

1Prof. Yamilet Quintana.

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b)

n=0xn

n2n.

c)

n=0(x+427)n

(n+1)2n .

d)n=1

(1)n22nxn2n

.

e)

n=1xn

n, R.

f)

n=13nxn

n .

g)

n=0(1)n(x1)n

n2+1 .

h)

n=13n+(2)n

n (x+ 1)n.

i)

n=1

an

n + b

n

n2

xn, a,b >0.

j)

n=1xn

an+bn, a,b >0.

7. En cada uno de los siguientes casos encuentre el conjunto de puntos x en los que las series dadasconvergen:

a)

n=1 1xn sen 2n

.

b)

n=11

2n+1

1x1+x

.

c)

n=1

1 + 1

n

n2enx.

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