em-p3-07
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UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS PURAS Y APLICADAS MA2312 Ene-Mar 2007 Pr´actica3 1 1. Demuestre que la serie ∑ ∞ n=1 1 n(n+1) converge y determine su suma. 2. Muestre que ∑ ∞ n=1 (-1) n-1 diverge. 3. Muestre que ∑ ∞ n=1 1 (n+2)(n+3) = 1 3 . (Sugerencia: use el ejercicio 1.) 4. Demuestre que la serie ∑ ∞ n=1 ‡ 7 n(n+1) - 2 3 n-1 · converge y determine su suma. 5. Encuentre una f´ormula para S n y demuestre que la serie converge o diverge usando lim n→∞ S n . a) ∑ ∞ n=1 1 4n 2 -1 b) ∑ ∞ n=1 ln( n n+1 ) c) ∑ ∞ n=1 -1 9n 2 +3n-2 d) ∑ ∞ n=1 1 √ n+1+ √ n . (Sugerencia: racionalice el denominador). 6. Determine si la serie ∑ ∞ n=1 1 5 n + 1 n converge o diverge. 7. Demuestre o d´ e un contraejemplo: “Si ∑ ∞ n=1 a n y ∑ ∞ n=1 b n divergen, entonces ∑ ∞ n=1 (a n + b n ) diverge”. 8. Sea {a n } n∈N la sucesi´on definida por a n = ar n-1 , donde a y r son constantes. Se define la sucesi´on {S n } por S n = a 1 + a 2 + ··· + a n . i) Deducir la siguiente f´ormula y demostrarla por inducci´on: S n = a - ar n 1 - r ii) Demostrar que {S n } converge si y s´olo si |r| < 1. iii) Utilizar lo anterior para calcular a) 1 2 + 1 4 + 1 8 + ···. b) 1 3 + 1 9 + 1 27 + ···. 9. ¿Qu´ e est´amal en la siguiente “demostraci´on”de que la serie geom´ etrica divergente ∑ ∞ n=1 (-1) n+1 tiene por suma 0. ∞ X n=1 (-1) n+1 = [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + ··· + [1 + (-1)] + ··· = 0+0+ ··· +0+ ··· =0 10. Determine si las siguientes series convergen o divergen. a) ∑ ∞ n=1 1 n √ e b) ∑ ∞ n=1 ‡ 5 n+2 - 5 n+3 · 1 Prof. Yamilet Quintana.
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UNIVERSIDAD SIMON BOLIVARDEPARTAMENTO DE MATEMATICASPURAS Y APLICADASMA2312Ene-Mar 2007
Practica 3 1
1. Demuestre que la serie∑∞
n=11
n(n+1) converge y determine su suma.
2. Muestre que∑∞
n=1(−1)n−1 diverge.
3. Muestre que∑∞
n=11
(n+2)(n+3) = 13 . (Sugerencia: use el ejercicio 1.)
4. Demuestre que la serie∑∞
n=1
(7
n(n+1) − 23n−1
)converge y determine su suma.
5. Encuentre una formula para Sn y demuestre que la serie converge o diverge usando limn→∞ Sn.
a)∑∞
n=11
4n2−1
b)∑∞
n=1 ln( nn+1 )
c)∑∞
n=1−1
9n2+3n−2
d)∑∞
n=11√
n+1+√
n. (Sugerencia: racionalice el denominador).
6. Determine si la serie∑∞
n=115n + 1
n converge o diverge.
7. Demuestre o de un contraejemplo: “Si∑∞
n=1 an y∑∞
n=1 bn divergen, entonces∑∞
n=1(an + bn)diverge”.
8. Sea {an}n∈N la sucesion definida por an = arn−1, donde a y r son constantes. Se define lasucesion {Sn} por Sn = a1 + a2 + · · ·+ an.
i) Deducir la siguiente formula y demostrarla por induccion:
Sn =a− arn
1− r
ii) Demostrar que {Sn} converge si y solo si |r| < 1.
iii) Utilizar lo anterior para calcular
a) 12 + 1
4 + 18 + · · ·.
b) 13 + 1
9 + 127 + · · ·.
9. ¿Que esta mal en la siguiente “demostracion”de que la serie geometrica divergente∑∞
n=1(−1)n+1
tiene por suma 0.
∞∑n=1
(−1)n+1 = [1 + (−1)] + [1 + (−1)] + · · ·+ [1 + (−1)] + · · ·
= 0 + 0 + · · ·+ 0 + · · · = 0
10. Determine si las siguientes series convergen o divergen.
a)∑∞
n=11
n√
e
b)∑∞
n=1
(5
n+2 − 5n+3
)
1Prof. Yamilet Quintana.
c)∑∞
n=1n
ln(n+1)
d)∑∞
n=1 ln(
2n7n−5
)
e)∑∞
n=1
[(32
)n +(
23
)n]
f)∑∞
n=1
(1
n(n+1) − 4n
)
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