Elliptic PDEs
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8/9/2019 Elliptic PDEs
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C h a p t e r 8
E l l i p t i c P r o b l e m s
8 . 1 D i e r e n c e S c h e m e s f o r P o i s s o n ' s E q u a t i o n
M o d e l s o f s t e a d y ( t i m e i n d e p e n d e n t ) p r o b l e m s i n s c i e n c e a n d e n g i n e e r i n g g i v e r i s e t o
e l l i p t i c p a r t i a l d i e r e n t i a l s y s t e m s . E x a m p l e s a r i s e i n h e a t c o n d u c t i o n , i n c o m p r e s s i b l e
o w , e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l s , a n d s t a t i c e l a s t i c i t y . E l l i p t i c p r o b l e m s a r e b o u n d a r y v a l u e
p r o b l e m s r a t h e r t h a n p r o p a g a t i o n p r o b l e m s . P o i s s o n ' s e q u a t i o n i s c a n o n i c a l a n d a t y p i c a l
t w o - d i m e n s i o n a l p r o b l e m i n v o l v e s d e t e r m i n i n g u ( x y ) s a t i s f y i n g
L u = ; u ; u
x x
; u
y y
= f ( x y ) ( x y ) 2 ( 8 . 1 . 1 a )
S u b j e c t t o t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n
u + u
n
= ( x y ) 2 @ : ( 8 . 1 . 1 b )
H e r e ,
-
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2 E l l i p t i c P r o b l e m s
0 0 01 1 1 0 01 1 0 0 01 1 10 0 01 1 10 0 01 1 1
y
0 1
0
1
k
K
b
a
(j,k)
j J x
F i g u r e 8 . 1 . 1 : G r i d s t r u c t u r e f o r t h e s o l u t i o n o f P o i s s o n ' s e q u a t i o n o n a r e c t a n g l e .
o r
U
j k
;
x
( U
j + 1 k
+ U
j ; 1 k
) ;
y
( U
j k + 1
+ U
j k ; 1
) =
x y
f
j k
( 8 . 1 . 2 a )
w h e r e
x
=
y
2
2 ( x
2
+ y
2
)
y
=
x
2
2 ( x
2
+ y
2
)
x y
=
x
2
y
2
2 ( x
2
+ y
2
)
: ( 8 . 1 . 2 b )
T h e c o m p u t a t i o n a l s t e n c i l f o r ( 8 . 1 . 2 ) i s a v e - p o i n t c r o s s s h o w n i n F i g u r e 8 . 1 . 1 . T h e u s u a l
T a y l o r ' s s e r i e s e x p a n s i o n r e v e a l s t h a t ( 8 . 1 . 2 ) h a s a n O ( x
2
) + O ( y
2
) l o c a l d i s c r e t i z a t i o n
e r r o r s i n c e c e n t e r e d d i e r e n c e f o r m u l a s a r e u s e d o n a u n i f o r m m e s h .
W e o b t a i n a d i s c r e t e p r o b l e m b y w r i t i n g t h e d i e r e n c e f o r m u l a ( 8 . 1 . 2 a ) a t e a c h i n t e r i o r
m e s h p o i n t ( j 2 1 J ; 1 ] k 2 1 K ; 1 ] ) a n d u s i n g t h e D i r i c h l e t b o u n d a r y c o n d i t i o n s t o
o b t a i n a l i n e a r a l g e b r a i c s y s t e m . L e t u s r s t i l l u s t r a t e t h i s s y s t e m f o r a 3 3 m e s h a s
s h o w n i n F i g u r e 8 . 1 . 2 . W r i t i n g ( 8 . 1 . 2 a ) a t t h e m e s h p o i n t s ( 1 1 ) , ( 2 1 ) , ( 1 2 ) , a n d ( 2 2 )
g i v e s
U
1 1
;
x
U
2 1
;
y
U
1 2
=
x y
f
1 1
+
x
0 1
+
y
1 0
-
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8 . 1 . S c h e m e s f o r P o i s s o n ' s E q u a t i o n 3
(0,0) (1,0) (2,0) (3,0)
(0,1) (1,1)
(3,2)(0,2)
(2,1) (3,1)
(0,3) (2,3)(1,3)
(1,2) (2,2)
(3,3)
x
t
F i g u r e 8 . 1 . 2 : M e s h n o m e n c l a t u r e f o r a 3 3 g r i d .
;
x
U
1 1
+ U
2 1
;
y
U
2 2
=
x y
f
2 1
+
x
3 1
+
y
2 0
;
y
U
1 1
+ U
1 2
;
x
U
2 2
=
x y
f
1 2
+
x
0 2
+
y
1 3
;
y
U
2 1
;
x
U
1 2
+ U
2 2
=
x y
f
2 2
+
x
3 2
+
y
2 3
:
T h e k n o w n b o u n d a r y d a t a i s w r i t t e n o n t h e r i g h t s i d e o f t h e e q u a t i o n s t o g i v e u s a 4 4
l i n e a r s y s t e m o f e q u a t i o n s f o r t h e f o u r u n k n o w n s U
j k
, j k = 1 2 , a t i n t e r i o r m e s h p o i n t s .
F o l l o w i n g t h e n o m e n c l a t u r e u s e d i n C h a p t e r 5 f o r p a r a b o l i c p r o b l e m s , l e t
U
k
= U
1 k
U
2 k
U
J ; 1 k
]
T
( 8 . 1 . 3 a )
d e n o t e t h e v e c t o r o f u n k n o w n s i n r o w k o f t h e m e s h a n d l e t
U = U
T
1
U
T
2
U
T
K ; 1
]
T
( 8 . 1 . 3 b )
d e n t o e t h e v e c t o r o f a l l u n k n o w n s o r d e r e d b y r o w s . W r i t i n g t h e d i e r e n c e e q u a t i o n
( 8 . 1 . 2 a ) a t a l l i n t e r i o r m e s h p o i n t s g i v e s t h e l i n e a r s y s t e m
A U = b ( 8 . 1 . 4 a )
o r
2
6
6
6
4
C
1
D
1
D
2
C
2
D
2
.
.
.
D
K ; 1
C
K ; 1
3
7
7
7
5
2
6
6
6
4
U
1
U
2
.
.
.
U
K ; 1
3
7
7
7
5
=
2
6
6
6
4
b
1
b
2
.
.
.
b
K ; 1
3
7
7
7
5
( 8 . 1 . 4 b )
-
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4 E l l i p t i c P r o b l e m s
w h e r e
C
k
=
2
6
6
6
4
1 ;
x
;
x
1 ;
x
.
.
.
;
x
1
3
7
7
7
5
D
k
=
2
6
6
6
4
;
y
;
y
.
.
.
;
y
3
7
7
7
5
( 8 . 1 . 4 c )
a n d
b
k
=
x y
2
6
6
6
4
f
1 k
f
2 k
.
.
.
f
J ; 1 k
3
7
7
7
5
+
x
2
6
6
6
6
6
4
0 k
0
.
.
.
0
J k
3
7
7
7
7
7
5
+
1 k
y
2
6
6
6
4
1 0
2 0
.
.
.
J ; 1 0
3
7
7
7
5
+
K ; 1 k
y
2
6
6
6
4
1 K
2 K
.
.
.
J ; 1 K
3
7
7
7
5
: ( 8 . 1 . 4 d )
T h e m a t r i c e s C
k
a n d D
k
a r e ( J ; 1 ) ( J ; 1 ) t r i d i a g o n a l a n d d i a g o n a l m a t r i c e s , r e -
s p e c t i v e l y t h u s , A i s ( J ; 1 ) ( K ; 1 ) ( J ; 1 ) ( K ; 1 ) b l o c k t r i d i a g o n a l m a t r i x . T h e
K r o n e c k e r d e l t a
j k
i s u n i t y w h e n j = k a n d z e r o o t h e r w i s e .
P r o b l e m s i n v o l v i n g N e u m a n n o r R o b i n b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e t r e a t e d a s d e s c r i b e d
i n S e c t i o n 4 . 2 f o r p a r a b o l i c p r o b l e m s . P r o b l e m s o n n o n r e c t a n g u l a r d o m a i n s m a y b e
t r e a t e d b y n i t e e l e m e n t o r n i t e v o l u m e ( S e c t i o n 8 . 2 ) m e t h o d s .
W e c o n c l u d e t h i s s e c t i o n b y n o t i n g t h a t l i n e a r e l l i p t i c p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s
s a t i s f y a m a x i m u m p r i n c i p l e w h i c h s t a t e s t h a t t h e m a x i m u m ( m i n i m u m ) v a l u e o f u i n a
c l o s e d r e g i o n o c c u r s o n t h e b o u n d a r y @ .
E x a m p l e 8 . 1 . 1 . L e t u s i l l u s t r a t e t h e m a x i m u m p r i n c i p l e f o r L a p l a c e ' s e q u a t i o n
u = u
x x
+ u
y y
= 0 :
F u n c t i o n s u s a t i s f y i n g L a p l a c e ' s e q u a t i o n a l s o s a t i s f y t h e \ m e a n v a l u e t h e o r e m "
u ( P ) =
1
2
Z
2
0
u ( r c o s r s i n ) d ( 8 . 1 . 5 )
a r o u n d a n y c i r c l e o f r a d i u s r c e n t e r e d a t t h e p o i n t P . S i n c e u ( P ) a t t h e c e n t e r i s t h e
a v e r a g e o f v a l u e s o n a n y c i r c l e s u r r o u n d i n g P , u m u s t a s s u m e i t s m a x i m u m a n d m i n i m u m
v a l u e s o n t h e c i r c l e . S i n c e t h i s h o l d s f o r a n y c i r c l e , w e h a v e p r o v e n t h e m a x i m u m p r i n c i p l e
f o r h a r m o n i c f u n c t i o n s ( i . e . , f u n c t i o n s t h a t s a t i s f y L a p l a c e ' s e q u a t i o n ) .
W e w o u l d l i k e a d i s c r e t e m o d e l o f a n e l l i p t i c p r o b l e m t o h a v e a s m a n y p r o p e r t i e s
o f t h e c o n t i n u o u s p r o b l e m a s p o s s i b l e . T h e m a x i m u m p r i n c i p l e , i n p a r t i c u l a r , i s a g o o d
-
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8 . 1 . S c h e m e s f o r P o i s s o n ' s E q u a t i o n 5
p r o p e r t y t o h a v e b e c a u s e i t c a n b e u s e d t o e s t a b l i s h t h e u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s . C o n s i d e r
t h e d i s c r e t e a p p r o x i m a t i o n ( 8 . 1 . 2 ) o f L a p l a c e ' s e q u a t i o n ( f ( x y ) = 0 ) a n d , f o r s i m p l i c i t y ,
l e t x = y . I n t h i s c a s e , u s e o f ( 8 . 1 . 2 b i m p l i e s t h a t
x
=
y
= 1 = 4 a n d ( 8 . 1 . 2 a ) b e c o m e s
U
j k
=
1
4
( U
j + 1 k
+ U
j ; 1 k
+ U
j k + 1
+ U
j k ; 1
) :
T h u s , t h e c e n t e r e d d i e r e n c e a p p r o x i m a t i o n ( 8 . 1 . 2 ) s a t i s e s a d i s c r e t e v e r s i o n o f t h e
m a x i m u m p r i n c i p l e .
L e t u s p u r s u e t h i s m a t t e r i n a m o r e a b s t r a c t s e t t i n g b y c o n s i d e r i n g a d i e r e n c e
a p p r o x i m a t i o n o f t h e f o r m
L
U
j k
= c
0
U
j k
;
X
j s j S j s j 6= 0
c
s
U
Q
s
= f
j k
( 8 . 1 . 6 )
t o a l i n e a r e l l i p t i c p r o b l e m
L u = f ( x y ) :
T h e s u m m a t i o n i n ( 8 . 1 . 6 ) i s t a k e n o v e r a n i t e s e t o f p o i n t s s u r r o u n d i n g ( x
j
y
k
) . W e
r e g a r d s = s
1
s
2
]
T
a s a v e c t o r h a v i n g i n t e g r a l c o e c i e n t s i n d i c a t i n g t h e p o i n t s i n t h e
s t e n c i l o f t h e d i e r e n c e s c h e m e w i t h t h e i n t e r p r e t a t i o n Q
s
= ( j + s
1
k + s
2
) .
W e ' l l b e g i n w i t h s o m e p r o p e r t i e s t h a t ( 8 . 1 . 6 ) m i g h t p o s s e s s .
D e n i t i o n 8 . 1 . 1 . T h e n i t e d i e r e n c e s c h e m e ( 8 . 1 . 6 ) i s n o n - n e g a t i v e i f
c
0
> 0 c
s
0 8 j s j S 8 ( x
j
y
k
) 2 : ( 8 . 1 . 7 )
D e n i t i o n 8 . 1 . 2 . T h e n i t e d i e r e n c e s c h e m e ( 8 . 1 . 6 ) i s d i a g o n a l l y d o m i n a n t i f
c
0
X
j s j S j s j 6= 0
j c
s
j 8 ( x
j
y
k
) 2 : ( 8 . 1 . 8 )
w i t h s t r i c t i n e q u a l i t y h o l d i n g f o r a t l e a s t o n e m e s h p o i n t o f .
E x a m p l e 8 . 1 . 2 . C o n s i d e r t h e s o l u t i o n o f L a p l a c e ' s e q u a t i o n u s i n g t h e c e n t e r e d s c h e m e
( 8 . 1 . 2 ) w i t h f ( x y ) = 0 , i . e . ,
U
j k
;
x
( U
j + 1 k
+ U
j ; 1 k
) ;
y
( U
j k + 1
+ U
j k ; 1
) = 0 :
-
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6 E l l i p t i c P r o b l e m s
I n c o m p a r i s o n w i t h ( 8 . 1 . 6 ) , w e h a v e
c
0
= 1 c
1 0
= c
; 1 0
=
x
c
0 1
= c
0 ; 1
=
y
:
F r o m ( 8 . 1 . 2 b ) w e s e e t h a t t h e c o e c i e n t s
x
a n d
y
a r e p o s i t i v e t h u s , t h i s d i e r e n c e
s c h e m e i s n o n - n e g a t i v e . A l s o , u s i n g ( 8 . 1 . 2 b )
X
j s j S j s j 6= 0
j c
s
j = 2
x
+ 2
y
= 1 :
T h e q u e s t i o n o f d i a g o n a l d o m i n a n c e i s , a s y e t , u n d e c i d e d . B o t h c
0
a n d t h e s u m o f t h e
o - d i a g o n a l e n t r i e s i n t h e d i e r e n c e s c h e m e a r e u n i t y . T h i s w i l l b e t r u e a t a l l m e s h
p o i n t s t h a t a r e n o t a d j a c e n t t o b o u n d a r i e s . T h u s , t h e s c h e m e w i l l b e d i a g o n a l d o m i n a n t
o r n o t d e p e n d i n g o n t h e p r e s c r i b e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s . H o m o g e n e o u s D i r i c h l e t d a t a ,
f o r e x a m p l e , w i l l d r o p a t l e a s t o n e o f t h e f o u r t e r m s i n t h e d i e r e n c e s c h e m e a t m e s h
p o i n t s a d j a c e n t t o t h e b o u n d a r y a n d r e s u l t i n d i a g o n a l d o m i n a n c e .
T h e e x t e n s i o n o f t h e m a x i m u m p r i n c i p l e t o e l l i p t i c o p e r a t o r s h a v i n g t h e f o r m o f
( 8 . 1 . 6 ) f o l l o w s .
D e n i t i o n 8 . 1 . 3 . L e t V b e a n y f u n c t i o n d e n e d o n t h e m e s h t h a t s a t i s e s
L
V
j k
0 8 ( x
j
y
k
) 2 : ( 8 . 1 . 9 )
I f t h e v a l u e V
j k
a t m e s h p o i n t s ( x
j
y
k
) 2 n o w h e r e e x c e e d s i t s v a l u e a t m e s h p o i n t s
( x
j
y
k
) 2 @ t h e n L
i s s a i d t o s a t i s f y a d i s c r e t e m a x i m u m p r i n c i p l e .
R e m a r k 1 . A t a n e x t r e m e p o i n t o f a f u n c t i o n u ( x y ) w e h a v e u
x
= u
y
= 0 . I f t h e
e x t r e m e p o i n t i s a m a x i m u m t h e n w e a l s o h a v e u
x x
-
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8/9/2019 Elliptic PDEs
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8 E l l i p t i c P r o b l e m s
A P
F i g u r e 8 . 2 . 1 : T w o - d i m e n s i o n a l n o n - r e c t a n g u l a r d o m a i n w i t h a s u p e r i m p o s e d u n i f o r m
r e c t a n g u l a r g r i d . S t a n d a r d d i e r e n c e a p p r o x i m a t i o n s c a n b e u s e d a t i n t e r i o r p o i n t s s u c h
a s A . P o i n t s , s u c h a s P , n e a r t h e b o u n d a r y r e q u i r e s p e c i a l t r e a t m e n t .
N
EW
S
P
xy
y
W ES
N
x
F i g u r e 8 . 2 . 2 : N o t a t i o n u s e d f o r u n e q u a l - a r m n i t e d i e r e n c e a p p r o x i m a t i o n s n e a r a
b o u n d a r y p o i n t P .
A s s h o w n i n F i g u r e 8 . 2 . 2 , w e a r e u s i n g a s i n g l e - s u b s c r i p t n o t a t i o n . T h u s , i f P h a s t h e
i n d i c e s ( j k ) , w e l e t u
P
= u
j k
, u
E
= u
j + 1 k
, e t c . S i m i l a r l y , x
E
= x
j + 1
; x
j
, e t c . , a n d
x = m a x ( x
E
x
W
) . A p p r o x i m a t i o n s o b t a i n e d b y n e g l e c t i n g t h e u
x x
t e r m i n ( 8 . 2 . 1 a )
a n d t h e u
x x x
t e r m i n ( 8 . 2 . 1 b ) a r e o n l y r s t - o r d e r a c c u r a t e . T h e o r d e r o f a c c u r a c y c a n b e
-
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9/25
8 . 2 . F i n i t e V o l u m e M e t h o d s 9
i m p r o v e d b y r e t a i n i n g m o r e t e r m s i n T a y l o r ' s s e r i e s e x p a n s i o n s o f t h e s o l u t i o n a b o u t P .
A s n o t e d i n C h a p t e r 2 , t h i s w i l l e n l a r g e t h e c o m p u t a t i o n a l s t e n c i l b y b r i n g i n g i n p o i n t s
t o t h e l e f t o f W . A s e c o n d - o r d e r a p p r o x i m a t i o n f o r u
x
i s e a s i l y o b t a i n e d b y s u b s t i t u t i n g
t h e e x p r e s s i o n ( 8 . 2 . 1 b ) f o r u
x x
i n t o ( 8 . 2 . 1 a )
( u
x
)
P
=
1
x
E
+ x
W
x
W
x
E
( u
E
; u
P
) +
x
E
x
W
( u
P
; u
W
) ] + O ( x
2
) : ( 8 . 2 . 1 c )
D i r i c h l e t b o u n d a r y c o n d i t i o n s u s i n g u n e q u a l - a r m d i e r e n c e s s u c h a s ( 8 . 2 . 1 ) a r e o n l y
s l i g h t l y m o r e c o m p l i c a t e d t o i m p l e m e n t t h a n t h o s e o n a u n i f o r m m e s h . F o r e x a m p l e , t h e
d i s c r e t e f o r m o f ( 8 . 1 . 2 a ) w i t h p r e s c r i b e d D i r i c h l e t d a t a u = ( x y ) , ( x y ) 2 @ , w o u l d
b e
;
2
x
E
+ x
W
E
; U
P
x
E
;
U
P
; U
W
x
W
] ;
2
y
N
+ y
S
N
; U
P
y
N
;
U
P
; U
S
x
S
] = f
P
a t a p o i n t s u c h a s P o f F i g u r e 8 . 2 . 2 . H e r e ,
E
a n d
N
d e n o t e t h e v a l u e s o f a t t h e
b o u n d a r y p o i n t s E a n d N , r e s p e c t i v e l y .
I m p l e m e n t i n g N e u m a n n b o u n d a r y d a t a , h o w e v e r , i s s u b s t a n t i a l l y m o r e c o m p l e x a n d ,
i n f a c t , d o e s n o t h a v e a s a t i s f a c t o r y r e s o l u t i o n u s i n g a n a p p r o a c h l i k e w e h a v e d e s c r i b e d .
T h e \ n i t e v o l u m e " t e c h n i q u e o e r s a b e t t e r w a y o f t r e a t i n g N e u m a n n b o u n d a r y d a t a
a n d , i n g e n e r a l , o f s o l v i n g p r o b l e m s o n n o n u n i f o r m m e s h e s . A c t u a l l y , n i t e e l e m e n t
t e c h n i q u e s a r e t h e m o s t e e c t i v e w a y o f b o t h s a t i s f y i n g N e u m a n n d a t a a n d i m p l e m e n t i n g
s o l u t i o n s t r a t e g i e s o n n o n u n i f o r m m e s h e s . F i n i t e e l e m e n t t e c h n i q u e s a r e n o t s t u d i e d i n
t h e s e n o t e s , b u t w e w i l l d e s c r i b e t h e n i t e v o l u m e r e l a t i v e t o t h e m o d e l p r o b l e m
; r r u = ; ( u
x
)
x
; ( u
y
)
y
= f ( x y ) ( x y ) 2 ( 8 . 2 . 2 )
w h e r e = ( x y ) .
L e t u s i n t e g r a t e ( 8 . 2 . 2 ) o n s o m e r e g i o n R a n d u s e t h e d i v e r g e n c e t h e o r e m t o
o b t a i n
0 =
Z Z
R
r r u + f ] d x d y =
Z
@ R
u
n
d s +
Z Z
R
f d x d y ( 8 . 2 . 3 )
w h e r e n i s a u n i t o u t w a r d n o r m a l t o @ R a n d s i s a c o o r d i n a t e a l o n g @ R .
A p p r o x i m a t e s o l u t i o n t e c h n i q u e s a r e o b t a i n e d b y c h o o s i n g R a p p r o p r i a t e l y a n d u s -
i n g n i t e d i e r e n c e s t o a p p r o x i m a t e d e r i v a t i v e s . L e t u s r s t a p p l y t h e t e c h n i q u e t o a
-
8/9/2019 Elliptic PDEs
10/25
1 0 E l l i p t i c P r o b l e m s
n o n u n i f o r m m e s h o f r e c t a n g u l a r c e l l s . C o n s i d e r a c l u s t e r o f f o u r c e l l s a s s h o w n i n F i g u r e
8 . 2 . 3 a n d l e t R b e t h e r e c t a n g u l a r r e g i o n o b t a i n e d b y b i s e c t i n g e a c h a r m a n d c o n n e c t i n g
t h e n o r m a l s t h r o u g h t h e b i s e c t i o n p o i n t s .
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
P
R
W E
N
S
x x
y
y
x
y
W E
N
k
S
j
F i g u r e 8 . 2 . 3 : G r o u p o f f o u r r e c t a n g u l a r c e l l s a n d t h e r e g i o n R u s e d f o r t h e n i t e v o l u m e
t e c h n i q u e .
L i n e i n t e g r a l s i n ( 8 . 2 . 3 ) a r e a p p r o x i m a t e d u s i n g t h e m i d p o i n t r u l e a n d n o r m a l d e r i v a -
t i v e s a r e a p p r o x i m a t e d u s i n g c e n t e r e d d i e r e n c e s t h u s , f o r e x a m p l e , t h e p o r t i o n o f l i n e
i n t e g r a l i n ( 8 . 2 . 3 ) o n t h e r i g h t e d g e o f R w o u l d b e
Z
y
k
+ 1 = 2 y
N
y
k
; 1 = 2 y
S
u
x
d y ( x
j
+ x
E
= 2 y
k
)
U
E
; U
P
x
E
y
N
+ y
S
2
: ( 8 . 2 . 4 a )
T h e a r e a i n t e g r a l i n ( 8 . 2 . 3 ) i s a p p r o x i m a t e d b y t h e r e c t a n g u l a r r u l e u s i n g d a t a a t t h e
p o i n t P t o g e t
Z Z
R
f ( x y ) d x d y f ( x
j
y
k
)
x
E
+ x
W
2
y
N
+ y
S
2
: ( 8 . 2 . 4 b )
U s i n g ( 8 . 2 . 4 ) i n ( 8 . 2 . 3 ) , w e o b t a i n t h e c o m p l e t e s c h e m e a s
0 = f
P
x
E
+ x
W
2
y
N
+ y
S
2
-
8/9/2019 Elliptic PDEs
11/25
8 . 2 . F i n i t e V o l u m e M e t h o d s 1 1
+
j + 1 = 2 k
U
E
; U
P
x
E
y
N
+ y
S
2
+
j k + 1 = 2
U
N
; U
P
y
N
x
E
+ x
W
2
+
j ; 1 = 2 k
U
W
; U
P
x
W
y
N
+ y
S
2
+
j k ; 1 = 2
U
S
; U
P
y
S
x
E
+ x
W
2
:
( 8 . 2 . 5 )
T h i s v e r s i o n o f t h e n i t e v o l u m e s c h e m e i s o n l y r s t - o r d e r a c c u r a t e u n l e s s t h e m e s h
s p a c i n g i s u n i f o r m . W i t h u n i f o r m s p a c i n g a n d = 1 , ( 8 . 2 . 5 ) i s i d e n t i c a l t o c e n t e r e d
d i e r e n c e s ( 8 . 1 . 2 ) . E v e n t h o u g h i t i s r s t o r d e r , t h e u n e q u a l - a r m d i e r e n c e s c h e m e m a y
u s e f e w e r c o m p u t a t i o n a l c e l l s o n a n o n u n i f o r m m e s h a n d p r o d u c e c o m p a r a b l e a c c u r a c y
t o a s e c o n d - o r d e r s c h e m e o n a d e n s e r u n i f o r m m e s h . S u c h r e l a t i v e t r a d e o s h a v e t o b e
a p p r a i s e d .
T h e n i t e v o l u m e s c h e m e c a n b e a p p l i e d o n n o n - r e c t a n g u l a r r e g i o n s . T h i s i s u s e f u l
n e a r c u r v e d b o u n d a r i e s a n d f o r u n s t r u c t u r e d - m e s h c o m p u t a t i o n . L e t u s i l l u s t r a t e t h e
a p p r o x i m a t i o n o f b o u n d a r y d a t a r s t . T w o p o s s i b i l i t i e s a r e s h o w n i n F i g u r e 8 . 2 . 4 . I n
t h e c a s e s h o w n o n t h e t o p , t h e p o i n t P i s n o t o n @ a n d t h e r e g i o n R i s s e l e c t e d a s a
t r i a n g u l a r l y - s h a p e d r e g i o n . T h e l i n e i n t e g r a l i n ( 8 . 2 . 3 ) i s a p p r o x i m a t e d a s
Z
@ R
u
n
d s
N E
( U
n
)
N E
s
N E
+
j ; 1 = 2 k
U
W
; U
P
x
W
( y
N
+ y
S
= 2 )
+
j k ; 1 = 2
U
S
; U
P
y
S
( x
E
+ x
W
= 2 ) ( 8 . 2 . 6 a )
w h e r e s
N E
i s t h e l e n g t h o f t h e o u t e r b o u n d a r y o f R a n d ( U
n
)
N E
i s t h e a p p r o x i m a t i o n
o f u
n
a t t h e m i d p o i n t o f t h e o u t e r b o u n d a r y o f R ( c f . F i g u r e 4 ) . T h e v a l u e o f ( U
n
)
N E
i s
o b t a i n e d f r o m t h e p r e s c r i b e d N e u m a n n b o u n d a r y d a t a , e . g . ,
( U
n
)
N E
=
N E
: ( 8 . 2 . 6 b )
T h e a b o v e c h o i c e o f m e s h i s r e a s o n a b l e b u t i t d o e s n ' t p r o v i d e f o r s o l u t i o n s t o b e
c o m p u t e d o n t h e b o u n d a r y . A n o t h e r a l t e r n a t i v e , s h o w n a t t h e b o t t o m o f F i g u r e 8 . 2 . 4 ,
i s t o d e s i g n t h e m e s h s o t h a t p o i n t P i s o n t h e b o u n d a r y . T h e n , t a k i n g t h e r e g i o n R a s
s h o w n , t h e l i n e i n t e g r a l i n ( 8 . 2 . 3 ) i s a p p r o x i m a t e d a s
Z
@ R
u
n
d s
P S E
( U
n
)
P S E
s
P S E
+
P N W
( U
n
)
P N W
s
P N W
-
8/9/2019 Elliptic PDEs
12/25
1 2 E l l i p t i c P r o b l e m s
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
0 0 01 1 1
0
0
0
1
1
1
0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1
EW
S
P
y
y
S
N
xW
xE
W
x xE
S
y
N
yN
P
W
S
R
R
NE
PSE
PNW
F i g u r e 8 . 2 . 4 : B o u n d a r y a p p r o x i m a t i o n b y t h e n i t e v o l u m e m e t h o d w h e n t h e p o i n t P i s
o ( t o p ) a n d o n ( b o t t o m ) t h e b o u n d a r y .
j ; 1 = 2 k
U
W
; U
P
x
W
( y
N
+ y
S
= 2 ) +
j k ; 1 = 2
U
S
; U
P
y
S
( x
E
= 2 + x
W
) : ( 8 . 2 . 7 )
T h e s u b s c r i p t P S E i d e n t i f y t h e p o i n t m i d w a y b e t w e e n p o i n t s P a n d E ( F i g u r e 8 . 2 . 4 ) .
S i m i l a r l y , p o i n t P N W i s m i d w a y b e t w e e n p o i n t s P a n d N W . T h e l e n g t h s o f t h e a r c s
c o n t a i n i n g P S E a n d P N W a r e s
P S E
a n d s
P N W
, r e s p e c t i v e l y .
C o m p l e t e l y \ u n s t r u c t u r e d " m e s h e s o f t r i a n g u l a r o r q u a d r i l a t e r a l e l e m e n t s i n t w o d i -
m e n s i o n s a n d t e t r a h e d r a a n d h e x a h e d r a i n t h r e e d i m e n s i o n s a r e u s e d f o r n i t e e l e m e n t
c o m p u t a t i o n a n d h a v e b e c o m e p o p u l a r w i t h n i t e v o l u m e m e t h o d s a s w e l l . A p o r t i o n
-
8/9/2019 Elliptic PDEs
13/25
8 . 2 . F i n i t e V o l u m e M e t h o d s 1 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
P
R b
m
P,i
P,i
lP,i
sP,i
F i g u r e 8 . 2 . 5 : P o r t i o n o f a m e s h o f t r i a n g u l a r e l e m e n t s a n d t h e r e g i o n R s u r r o u n d i n g a
p o i n t P .
o f a m e s h s u r r o u n d i n g a p o i n t P i s s h o w n i n F i g u r e 8 . 2 . 5 . T h e r e g i o n R i s t a k e n a s t h e
p o l y g o n f o r m e d f r o m t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r s o f t h e e l e m e n t e d g e s i n t e r s e c t i n g p o i n t
P . T h e a p p r o x i m a t i o n o f ( 8 . 2 . 3 ) o n s u c h a m e s h i s
f
P
A
R
+
N
P
X
i = 1
m
P i
U
b
P i
; U
P
l
P i
s
P i
= 0 ( 8 . 2 . 8 )
w h e r e A
R
i s t h e a r e a o f r e g i o n R b
P i
, i = 1 2 N
P
, a r e t h e n e i g h b o r s o f P m
P i
i d e n t i e s t h e p o i n t m i d w a y b e t w e e n P a n d i t s n e i g h b o r b
P i
l
P i
i s t h e l e n g t h o f t h e e d g e
f r o m P t o b
P i
a n d s
P i
i s t h e l e n g t h o f t h e s e g m e n t o f @ R p e r p e n d i c u l a r t o l
P i
.
C l e a r l y t h e g e o m e t r y h a s b e c o m e m o r e c o m p l e x t h a n w i t h u n i f o r m m e s h e s . I t w o u l d
n o w b e n e c e s s a r y t o s t o r e t h e c o o r d i n a t e s o f a l l o f t h e v e r t i c e s o f t h e t r i a n g u l a r e l e m e n t s
a n d t h e i r c o n n e c t i v i t y . W e ' l l s a y a b i t m o r e a b o u t d a t a s t r u c t u r e s i n t h e n e x t s e c t i o n . I t
h a s b e e n d i c u l t t o e x t e n d n i t e v o l u m e m e t h o d s t o h i g h e r o r d e r s o f a c c u r a c y h o w e v e r ,
t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d d e s c r i b e d i n S e c t i o n 6 . 5 p r o v i d e s a s y s t e m a t i c m e a n s
o f d o i n g t h i s . T h e n i t e e l e m e n t m e t h o d a l s o p r o v i d e s a m e a n s o f c o n s t r u c t i n g a r b i t r a r i l y
h i g h - o r d e r a p p r o x i m a t i o n s .
P r o b l e m s
1 . A n i t e v o l u m e m e t h o d m a y b e c o n s t r u c t e d o n a n u n s t r u c t u r e d g r i d o f , e . g . , t r i a n -
-
8/9/2019 Elliptic PDEs
14/25
1 4 E l l i p t i c P r o b l e m s
g u l a r e l e m e n t s b y p l a c i n g t h e u n k n o w n s ( a t p o i n t s s u c h a s P ) a t c e l l c e n t r o i d s r a t h e r
t h a n v e r t i c e s . D e v e l o p a n a p p r o x i m a t i o n f o r ( 8 . 2 . 3 ) u s i n g s u c h a m e s h s t r u c t u r e .
2 . C o n s i d e r a c l u s t e r o f f o u r r e c t a n g u l a r c o m p u t a t i o n a l c e l l s c o n t a i n e d w i t h i n
D
j k
= f ( x y ) j x
j ; 1
x x
j + 1
y
k ; 1
y y
k + 1
g :
A s s u m e t h a t ( x y ) = 1 a b o v e t h e l i n e C o f D
j k
c o n n e c t i n g ( x
j ; 1
y
k ; 1
) , ( x
j
y
k
) ,
a n d ( x
j + 1
y
k + 1
) a n d t h a t ( x y ) = 2 b e l o w t h i s l i n e . C a l c u l a t e a d i s c r e t e a p p r o x i -
m a t i o n t o t h e p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n
; ( u
x
)
x
; ( u
y
)
y
+ q u = f ( x y )
a t ( x
j
y
k
) u s i n g t h e n i t e v o l u m e m e t h o d . D o n o t a s s u m e t h a t ( x
j
y
k
) i s a t t h e
c e n t e r o f D
j k
.
8 . 3 M e s h G e n e r a t i o n
D i s c r e t i z i n g t w o - d i m e n s i o n a l d o m a i n s i n t o m e s h e s h a v i n g n o n u n i f o r m c e l l s p a c i n g s c a n
e i t h e r b e s i m p l e o r d i c u l t d e p e n d i n g o n g e o m e t r i c o r s o l u t i o n c o m p l e x i t i e s . D i s c r e t i z i n g
t h r e e - d i m e n s i o n a l d o m a i n s i s c u r r e n t l y n o t s i m p l e . N o n u n i f o r m m e s h e s m a y b e a p p r o -
p r i a t e f o r s o m e p r o b l e m s w i t h s i m p l e g e o m e t r y d u e t o r a p i d s o l u t i o n v a r i a t i o n i n s o m e
r e g i o n s , e . g . , i n b o u n d a r y l a y e r s . S o m e c o m p u t a t i o n a l s p e c i a l i s t s a r g u e t h a t c o n s t r u c t i n g
t h e p r o p e r m e s h f o r a p r o b l e m i s t h e m a j o r i m p e d i m e n t t o i t s s o l u t i o n . S e v e r a l a t t e m p t s
t o a u t o m a t e t h e m e s h g e n e r a t i o n p r o c e s s a r e u n d e r w a y . A d a p t i v e s o l u t i o n - b a s e d m e s h
r e n e m e n t p r o c e d u r e s a u t o m a t i c a l l y c o n c e n t r a t e m e s h e s i n s u c h r e g i o n s a n d s e e k t o a u -
t o m a t e t h e t a s k o f m o d i f y i n g ( r e n i n g / c o a r s e n i n g ) a n e x i s t i n g m e s h 1 , 3 ] . W h i l e w e w i l l
n o t a t t e m p t a t h o r o u g h t r e a t m e n t o f a l l a p p r o a c h e s , w e w i l l d i s c u s s t h e e s s e n t i a l i d e a s o f
m e s h g e n e r a t i o n b y ( i ) m a p p i n g t e c h n i q u e s w h e r e a c o m p l e x d o m a i n i s t r a n s f o r m e d i n t o
a s i m p l e r o n e s o t h a t a m e s h m a y b e e a s i l y g e n e r a t e d a n d ( i i ) d i r e c t t e c h n i q u e s w h e r e a
m e s h i s g e n e r a t e d o n t h e o r i g i n a l d o m a i n .
-
8/9/2019 Elliptic PDEs
15/25
8 . 3 . M e s h G e n e r a t i o n 1 5
0 01 1
0 01 1
0 0 0
0 0 0
1 1 1
1 1 1
0 00 01 11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10000000
0
0
0
0
1111111
1
1
1
1
0000000
0
0
0
0
1111111
1
1
1
1
0000000
0
0
0
0
1111111
1
1
1
1
x
1,1
2,1
2,2f
f
f
(
(
(
,0)
,1)
1, )
2,11,1
2,21,21,2
f (0, )
y
F i g u r e 8 . 3 . 1 : M a p p i n g o f a s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n ( l e f t ) o n t o a r e c t a n g u l a r c o m p u t a -
t i o n a l d o m a i n ( r i g h t ) .
8 . 3 . 1 M e s h G e n e r a t i o n b y C o o r d i n a t e M a p p i n g
S c i e n t i s t s a n d e n g i n e e r s h a v e u s e d c o o r d i n a t e m a p p i n g s f o r s o m e t i m e t o t r a n s f o r m c o m -
p l i c a t e d d o m a i n s i n t o s i m p l e r o n e s . T h e m a p p i n g s c a n e m p l o y e i t h e r a n a l y t i c a l o r p i e c e -
w i s e p o l y n o m i a l f u n c t i o n s . T h e p r o c e d u r e u s u a l l y s t a r t s w i t h r e l a t i o n s
x = f
1
( ) y = f
2
( )
t h a t d e n e t h e d o m a i n i n p h y s i c a l ( x y ) s p a c e t o i t s i m a g e i n t h e s i m p l e r ( ) s p a c e . A
s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n a n d i t s c o m p u t a t i o n a l c o u n t e r p a r t a p p e a r i n F i g u r e 8 . 3 . 1 . I t ' s
c o n v e n i e n t t o i n t r o d u c e t h e v e c t o r s
x
T
= x y ] f ( )
T
= f
1
( ) f
2
( ) ] ( 8 . 3 . 1 a )
a n d w r i t e t h e c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n a s
x = f ( ) ( 8 . 3 . 1 b )
I n F i g u r e 8 . 3 . 1 , w e h a v e s h o w n a r e g i o n w i t h f o u r s e g m e n t s f ( 0 ) , f ( 1 ) , f ( 0 ) ,
a n d f ( 1 ) t h a t a r e r e l a t e d t o t h e c o m p u t a t i o n a l l i n e s = 0 , = 1 , = 0 , a n d = 1 ,
r e s p e c t i v e l y . ( T h e f o u r c u r v e d s e g m e n t s m a y i n v o l v e d i e r e n t f u n c t i o n s , b u t w e h a v e
w r i t t e n t h e m a l l a s f f o r s i m p l i c i t y . )
L e t u s a l s o c o n s i d e r t h e p r o j e c t i o n s
P
( f ) =
1
( ) f ( 0 ) +
2
( ) f ( 1 ) ( 8 . 3 . 2 a )
-
8/9/2019 Elliptic PDEs
16/25
1 6 E l l i p t i c P r o b l e m s
P
( f ) =
1
( ) f ( 0 ) +
2
( ) f ( 1 ) ( 8 . 3 . 2 b )
w h e r e
1
( ) = 1 ;
2
( ) = : ( 8 . 3 . 2 c )
W i t h r a n g i n g o n 0 1 ] , t h e m a p p i n g x = P
( f ) t r a n s f o r m s t h e l e f t a n d r i g h t e d g e s
o f t h e d o m a i n c o r r e c t l y , b u t i g n o r e s t h e t o p a n d b o t t o m w h i l e t h e m a p p i n g x = P
( f )
t r a n s f o r m s t h e t o p a n d b o t t o m b o u n d a r i e s c o r r e c t l y b u t n o t t h e s i d e s ( F i g u r e 8 . 3 . 2 ) .
C o o r d i n a t e l i n e s o f c o n s t a n t a n d a r e m a p p e d a s e i t h e r c u r v e s o r s t r a i g h t l i n e s o n t h e
p h y s i c a l d o m a i n a s i n d i c a t e d i n F i g u r e 8 . 3 . 2 .
0 01 1
0 0
0 0
1 1
1 1
0 01 1
0 01 1 0 0 01 1 1
0 0 0
0 0 0
1 1 1
1 1 1
0 0 01 1 1
0 0 01 1 1
2,1
2,2
1,2
2,1
2,2
1,2
1,1
1,2
2,2
2,1x
1,1
x
yy
F i g u r e 8 . 3 . 2 : T h e t r a n s f o r m a t i o n s x = P
( f ) ( l e f t ) a n d x = P
( f ) ( r i g h t ) a s a p p l i e d t o
t h e s i m p l y - c o n n e c t e d d o m a i n s h o w n i n F i g u r e 8 . 3 . 1 .
0 0 01 1 1
0 00 01 11 1 0 01 1
0 0 01 1 1
1,1
0 0 00 0 01 1 11 1 1
2,2
1,2
2,1
0 0 01 1 1
0 0 01 1 1
1,1
2,1
0 01 1
1,2
2,2
x
y
2,1
2,2
1,2
x
y
2,1
2,2
1,2
y
2,1
2,2
1,2
y
F i g u r e 8 . 3 . 3 : I l l u s t r a t i o n s o f t h e t r a n s f o r m a t i o n s x = P
P
( f ) ( l e f t ) a n d x = P
c
i p l u s
P
( f )
( r i g h t ) a s a p p l i e d t o t h e s i m p l y - c o n n e c t e d d o m a i n s h o w n i n F i g u r e 8 . 3 . 1 .
W i t h a g o a l o f c o n s t r u c t i n g a n e e c t i v e m a p p i n g , l e t u s a l s o e x a m i n e t h e t e n s o r
-
8/9/2019 Elliptic PDEs
17/25
8 . 3 . M e s h G e n e r a t i o n 1 7
p r o d u c t a n d B o o l e a n s u m s o f t h e p r o j e c t i o n s ( 8 . 3 . 2 ) t h u s ,
P
P
( f ) =
2
X
i = 1
2
X
j = 1
i
( )
j
( ) f ( i j ) ( 8 . 3 . 3 a )
P
P
= P
( f ) + P
( f ) ; P
P
( f ) : ( 8 . 3 . 3 b )
A n a p p l i c a t i o n o f t h e s e t r a n s f o r m a t i o n s t o a s i m p l y - c o n n e c t e d d o m a i n i s s h o w n i n F i g u r e
8 . 3 . 3 . T h e t e n s o r p r o d u c t ( 8 . 3 . 3 a ) i s a b i l i n e a r f u n c t i o n o f x a n d y . A s s h o w n , t h i s
c a n b e u s e d t o c a n c e l t h e e r r o r s i n ( 8 . 3 . 2 ) t o r e v e a l t h e B o o l e a n s u m ( 8 . 3 . 3 b ) a s t h e
d e s i r e d m a p p i n g o f t h e s i m p l y c o n n e c t e d d o m a i n o n t o t h e c o m p u t a t i o n a l p l a n e . L i n e s
o f c o n s t a n t a n d i n t h e c o m p u t a t i o n a l ( ) - p l a n e b e c o m e c u r v e s i n t h e p h y s i c a l
( x y ) - p l a n e ( g u r e 8 . 3 . 3 ) .
A l t h o u g h t h e s e t r a n s f o r m a t i o n s a r e q u i t e s i m p l e , t h e y h a v e b e e n u s e d t o g e n e r a t e
g r i d s o n c o m p l e x t w o - a n d t h r e e - d i m e n s i o n a l r e g i o n s . T w o e x a m p l e s i n v o l v i n g t h e o w
a b o u t a n a i r f o i l a r e s h o w n i n F i g u r e 8 . 3 . 4 . W i t h t h e t r a n s f o r m a t i o n s h o w n a t t h e t o p o f
t h e g u r e , t h e e n t i r e s u r f a c e o f t h e a i r f o i l i s m a p p e d t o = 0 ( 2 - 3 ) . A c u t i s m a d e f r o m
t h e t r a i l i n g e d g e o f t h e a i r f o i l a n d t h e c u r v e s o d e n e d i s m a p p e d t o t h e l e f t ( = 0 ,
2 - 1 ) a n d r i g h t ( = 0 , 3 - 4 ) e d g e s o f t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n . T h e e n t i r e f a r e l d i s
m a p p e d t o t h e t o p ( = 1 , 1 - 4 ) o f t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n . L i n e s o f c o n s t a n t a r e
r a y s f r o m t h e a i r f o i l s u r f a c e t o t h e f a r e l d b o u n d a r y i n t h e p h y s i c a l p l a n e . L i n e s o f
c o n s t a n t a r e c l o s e d c u r v e s e n c i r c l i n g t h e a i r f o i l . M e s h e s c o n s t r u c t e d i n t h i s m a n n e r a r e
c a l l e d \ O - g r i d s . " O n t h e b o t t o m o f F i g u r e 8 . 3 . 4 , t h e s u r f a c e o f t h e a i r f o i l i s m a p p e d t o a
p o r t i o n ( 2 - 3 ) o f t h e a x i s . T h e c u t f r o m t h e t r a i l i n g e d g e i s m a p p e d t o t h e r e s t ( 1 - 2 a n d
3 - 4 ) o f t h e a x i s . T h e ( r i g h t ) o u t o w b o u n d a r y i s m a p p e d t o t h e l e f t ( 1 - 5 ) a n d r i g h t ( 4 - 6 )
e d g e s o f t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n , a n d t h e t o p , l e f t , a n d b o t t o m f a r e l d b o u n d a r i e s a r e
m a p p e d t o t h e t o p ( = 1 , 5 - 6 ) o f t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n . L i n e s o f c o n s t a n t b e c o m e
c u r v e s b e g i n n i n g a n d e n d i n g a t t h e o u t o w b o u n d a r y a n d s u r r o u n d i n g t h e a i r f o i l . L i n e s
o f c o n s t a n t a r e r a y s f r o m t h e a i r f o i l s u r f a c e o r t h e c u t t o t h e o u t e r b o u n d a r y . T h i s
m e s h i s c a l l e d a \ C - g r i d . "
W i t h t h e m a p p i n g c o m p l e t e , t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s t r a n s f o r m e d t o t h e c o m p u t a -
t i o n a l ( ) - p l a n e w h e r e i t i s s o l v e d o n a u n i f o r m g r i d . L e t u s i l l u s t r a t e t h e p r o c e d u r e f o r
-
8/9/2019 Elliptic PDEs
18/25
1 8 E l l i p t i c P r o b l e m s
00000
0
0
0
0
0
11111
1
1
1
1
1
00000
0
0
0
0
0
11111
1
1
1
1
1
0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
42
3
2 3
1 4
Airfoil
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1000000
0
0
0
0
111111
1
1
1
1
000000
0
0
0
0
111111
1
1
1
1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
423
airfoil
5
6
2 31 4
5 6
F i g u r e 8 . 3 . 4 : \ O - g r i d " ( t o p ) a n d \ C - g r i d " ( b o t t o m ) m a p p i n g s o f t h e o w a b o u t a n a i r f o i l .
t h e m o d e l s e l f - a d j o i n t d i e r e n t i a l e q u a t i o n ( 8 . 2 . 2 ) . R e t u r n i n g t o t h e s c a l a r f o r m o f t h e
c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n s , w e w r i t e ( 8 . 3 . 3 b ) i n t h e g e n e r i c f o r m x = x ( ) , y = y ( ) .
T h e n
( )
x
= ( )
x
+ ( )
x
( )
y
= ( )
y
+ ( )
y
: ( 8 . 3 . 4 )
U s i n g ( 8 . 3 . 4 ) i n ( 8 . 2 . 2 )
;
x
( u
x
+ u
x
) ]
;
x
( u
x
+ u
x
) ]
;
y
( u
y
+ u
y
) ]
;
y
( u
y
+ u
y
) ]
=
f ( 8 . 3 . 5 )
w h e r e ^ = ( x ( ) y ( ) ) a n d
f = f ( x ( ) y ( ) ) . A l t h o u g h ( 8 . 3 . 5 ) m a y b e r e -
w r i t t e n i n s e v e r a l f o r m s , t h i s o n e i s a s g o o d t o d i s c r e t i z e a s a n y . T h e m e t r i c s o f t h e
t r a n s f o r m a t i o n
x
,
x
,
y
, a n d
y
a r e o b t a i n e d b y u s i n g ( 8 . 3 . 4 ) w i t h x a n d y i n s e r t e d i n
-
8/9/2019 Elliptic PDEs
19/25
8 . 3 . M e s h G e n e r a t i o n 1 9
t h e p a r e n t h e s e s t h u s ,
1 = x
x
+ x
x
0 = y
x
+ y
x
0 = x
y
+ x
y
1 = y
y
+ y
y
:
o r
J
x
y
x
y
=
1 0
0 1
J =
x
x
y
y
: ( 8 . 3 . 6 )
T h e e l e m e n t s o f t h e J a c o b i a n a r e o b t a i n e d b y d i e r e n t i a t i n g t h e t r a n s f o r m a t i o n ( 8 . 3 . 3 b ) .
8 . 3 . 2 U n s t r u c t u r e d M e s h G e n e r a t i o n
T h e r e a r e s e v e r a l a p p r o a c h e s t o u n s t r u c t u r e d m e s h g e n e r a t i o n . E a r l y a t t e m p t s u s e d
m a n u a l t e c h n i q u e s w h e r e p o i n t - c o o r d i n a t e s w e r e e x p l i c i t l y d e n e d . S e m i - a u t o m a t i c g e n -
e r a t i o n t e c h n i q u e s r e q u i r e d g e n e r a t i n g a c o a r s e m e s h w h i c h c o u l d b e u n i f o r m l y r e n e d
b y d i v i d i n g e a c h e l e m e n t e d g e i n t o K s e g m e n t s a n d c o n n e c t i n g s e g m e n t s o n o p p o s i t e
s i d e s o f a n e l e m e n t t o c r e a t e K
2
( t r i a n g u l a r ) e l e m e n t s . M o r e a u t o m a t i c p r o c e d u r e s u s e
a d v a n c i n g f r o n t s 5 ] , p o i n t i n s e r t i o n , a n d r e c u r s i v e b i s e c t i o n . W e ' l l d i s c u s s t h e l a t t e r
p r o c e d u r e b e c a u s e i t w a s p i o n e e r e d a n d d e v e l o p e d a t R e n s s e l a e r .
W i t h r e c u r s i v e b i s e c t i o n 2 ] , a t w o - d i m e n s i o n a l r e g i o n i s e m b e d d e d i n a s q u a r e \ u n i -
v e r s e " t h a t i s r e c u r s i v e l y q u a r t e r e d t o c r e a t e a s e t o f d i s j o i n t s q u a r e s c a l l e d q u a d r a n t s .
Q u a d r a n t s a r e r e l a t e d t h r o u g h a h i e r a r c h i c a l q u a d t r e e s t r u c t u r e . T h e o r i g i n a l s q u a r e
u n i v e r s e i s r e g a r d e d a s t h e r o o t o f t h e t r e e a n d s m a l l e r q u a d r a n t s c r e a t e d b y s u b d i v i -
s i o n a r e r e g a r d e d a s o s p r i n g o f l a r g e r o n e s . Q u a d r a n t s i n t e r s e c t i n g @ a r e r e c u r s i v e l y
q u a r t e r e d u n t i l a p r e s c r i b e d s p a t i a l r e s o l u t i o n o f i s o b t a i n e d . A t t h i s s t a g e , q u a d r a n t s
t h a t a r e l e a f n o d e s o f t h e t r e e a n d i n t e r s e c t @ a r e f u r t h e r d i v i d e d i n t o s m a l l s e t s
o f t r i a n g u l a r o r q u a d r i l a t e r a l e l e m e n t s . S e v e r e m e s h g r a d a t i o n i s a v o i d e d b y i m p o s i n g a
m a x i m a l o n e - l e v e l d i e r e n c e b e t w e e n q u a d r a n t s s h a r i n g a c o m m o n e d g e . T h i s i m p l i e s a
m a x i m a l t w o - l e v e l d i e r e n c e b e t w e e n q u a d r a n t s s h a r i n g a c o m m o n v e r t e x .
A s i m p l e e x a m p l e i n v o l v i n g a d o m a i n c o n s i s t i n g o f a r e c t a n g l e a n d a r e g i o n w i t h i n a
c u r v e d a r c , a s s h o w n i n F i g u r e 8 . 3 . 5 , w i l l i l l u s t r a t e t h e p r o c e s s . I n t h e u p p e r l e f t p o r t i o n
o f t h e g u r e , t h e s q u a r e u n i v e r s e c o n t a i n i n g t h e p r o b l e m d o m a i n i s q u a r t e r e d c r e a t i n g t h e
-
8/9/2019 Elliptic PDEs
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2 0 E l l i p t i c P r o b l e m s
o n e - l e v e l t r e e s t r u c t u r e s h o w n a t t h e u p p e r r i g h t . T h e q u a d r a n t c o n t a i n i n g t h e c u r v e d
a r c i s q u a r t e r e d a n d t h e r e s u l t i n g q u a d r a n t t h a t i n t e r s e c t s t h e c i r c u l a r a r c i s q u a r t e r e d
a g a i n t o c r e a t e t h e t h r e e - l e v e l t r e e s h o w n i n t h e l o w e r r i g h t p o r t i o n o f t h e g u r e . A
t r i a n g u l a r m e s h g e n e r a t e d f o r t h i s t r e e s t r u c t u r e i s a l s o s h o w n . Q u a d r a n t s a n d a m i x e d
t r i a n g u l a r - a n d q u a d r i l a t e r a l - e l e m e n t m e s h f o r a m o r e c o m p l e x e x a m p l e a r e s h o w n i n
F i g u r e 8 . 3 . 6 .
0 00 00 01 11 11 1
0
0
0
1
1
1
0011
00110011 0011 0011
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0 0
0 0
0 0
1 1
1 1
1 1
0 0
0 0
0 0
1 1
1 1
1 1 0011
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0 00 01 11 1 0011 00110 00 01 11 1 0011 0011 0011
Boundary quadrant
Interior quadrant
Exterior quadrant
Finite element
F i g u r e 8 . 3 . 5 : F i n i t e q u a d t r e e m e s h g e n e r a t i o n f o r a d o m a i n c o n s i s t i n g o f a r e c t a n g l e a n d
a q u a r t e r c i r c l e . O n e - l e v e l a n d t h r e e - l e v e l t r e e s t r u c t u r e s a n d t h e i r a s s o c i a t e d m e s h e s o f
t r i a n g u l a r e l e m e n t s a r e s h o w n a t t h e t o p a n d b o t t o m o f t h e g u r e , r e s p e c t i v e l y .
-
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8 . 3 . M e s h G e n e r a t i o n 2 1
F i g u r e 8 . 3 . 6 : Q u a d t r e e s t r u c t u r e a n d m i x e d t r i a n g u l a r - a n d q u a d r i l a t e r a l - e l e m e n t m e s h
g e n e r a t e d f r o m i t .
T h e q u a d t r e e p r o c e d u r e m a y b e e x t e n d e d t o t h r e e d i m e n s i o n s w h e r e a n o c t r e e d e -
c o m p o s i t i o n i s i n v o k e d . E l e m e n t s p r o d u c e d b y t h e q u a d t r e e a n d o c t r e e t e c h n i q u e s m a y
h a v e p o o r g e o m e t r i c s h a p e s n e a r b o u n d a r i e s . A n a l \ s m o o t h i n g " o f t h e m e s h i m p r o v e s
e l e m e n t s h a p e s a n d f u r t h e r r e d u c e s m e s h g r a d a t i o n n e a r @ . E l e m e n t v e r t i c e s o n @ a r e
m o v e d a l o n g t h e b o u n d a r y t o p r o v i d e a b e t t e r a p p r o x i m a t i o n t o i t . P a i r s o f b o u n d a r y
v e r t i c e s t h a t a r e t o o c l o s e t o e a c h o t h e r m a y b e c o l l a p s e d t o a s i n g l e v e r t e x . I n t e r i o r
v e r t i c e s a r e s m o o t h e d b y a L a p l a c i a n o p e r a t i o n t h a t p l a c e s e a c h v e r t e x a t t h e \ c e n t r o i d "
-
8/9/2019 Elliptic PDEs
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2 2 E l l i p t i c P r o b l e m s
o f i t s n e i g h b o r i n g v e r t i c e s .
A r b i t r a r i l y c o m p l e x t w o - a n d t h r e e - d i m e n s i o n a l d o m a i n s m a y b e d i s c r e t i z e d b y t h e
q u a d t r e e a n d o c t r e e p r o c e s s e s t o p r o d u c e u n s t r u c t u r e d g r i d s . F u r t h e r s o l u t i o n - b a s e d
m e s h r e n e m e n t m a y b e d o n e b y s u b d i v i d i n g a p p r o p r i a t e t e r m i n a l q u a d r a n t s o r o c t a n t s
a n d g e n e r a t i n g a n e w m e s h l o c a l l y . T h i s u n i t e s m e s h g e n e r a t i o n a n d a d a p t i v e m e s h
r e n e m e n t b y a c o m m o n t r e e d a t a s t r u c t u r e T h e u n d e r l y i n g t r e e s t r u c t u r e i s a l s o s u i t a b l e
f o r l o a d b a l a n c i n g o n a p a r a l l e l c o m p u t e r 4 ] .
U n s t r u c t u r e d m e s h c o m p u t a t i o n r e q u i r e s a d a t a s t r u c t u r e t o s t o r e t h e g e o m e t r i c
i n f o r m a t i o n . P e r h a p s , t h e m i n i m a l s t o r a g e r e q u i r e m e n t s i n c l u d e t h e v e r t e x c o o r d i n a t e s
a n d t h e e l e m e n t c o n n e c t i v i t y . A s a m p l e m e s h c o n t a i n i n g s e v e n t r i a n g u l a r e l e m e n t s w i t h
e i g h t v e r t i c e s a p p e a r s i n F i g u r e 8 . 3 . 7 . E l e m e n t i n d i c e s a r e s h o w n i n p a r e n t h e s e s . T h e
e l e m e n t - v e r t e x a n d t h e v e r t e x - c o o r d i n a t e i n f o r m a t i o n f o r t h i s m e s h a r e s h o w n i n T a b l e
8 . 3 . 1 . I n e s t a b l i s h i n g t h e s e t a b l e s , w e a s s u m e d t h a t t h e e l e m e n t a l d a t a i s t r a v e r s e d i n
a p a r t i c u l a r o r d e r , i . e . , w e s t o r e d e l e m e n t v e r t i c e s i n a c o u n t e r c l o c k w i s e o r d e r ( T a b l e
8 . 3 . 1 , l e f t ) b e g i n n i n g w i t h a n a r b i t r a r y i n i t i a l v e r t e x . W e a l s o n e e d t o k n o w t h e e d g e s
o f e l e m e n t s t h a t a r e o n @ i n o r d e r t o a p p l y b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h i s c a n b e d o n e b y
c r e a t i n g a n o t h e r t a b l e a n d a d o p t i n g a c o n v e n t i o n . T h u s , s u p p o s e t h a t t h e e d g e b e t w e e n
t h e r s t a n d s e c o n d v e r t i c e s o f a n e l e m e n t i s l a b e l e d a s E d g e 1 , t h a t b e t w e e n t h e s e c o n d
a n d t h i r d v e r t i c e s i s E d g e 2 , a n d t h a t b e t w e e n t h e t h i r d a n d r s t v e r t i c e s i s E d g e 3 .
A b o u n d a r y d a t a t a b l e c o u l d t h e n i n d i c a t e t h o s e e l e m e n t e d g e s t h a t c o i n c i d e w i t h @ .
S u c h a t a b l e i s s h o w n o n t h e r i g h t o f T a b l e 8 . 3 . 1 f o r t h e m e s h o f F i g u r e 8 . 3 . 7 . T h e r s t
r o w o f t h e t a b l e i d e n t i e s E d g e 1 o f E l e m e n t 1 a s b e i n g o n a b o u n d a r y o f t h e d o m a i n .
S i m i l a r l y , t h e s e c o n d r o w i d e n t i e s E d g e 3 o f E l e m e n t 1 a s a b o u n d a r y e d g e , e t c .
P r o b l e m s
1 . C o n s i d e r t h e d o m a i n
f ( x y ) j 0 x L 4 h ( x = L ) 1 ; ( x = L ) ] y H g
a n d d e v e l o p a m a p p i n g o f t h e f o r m ( 8 . 3 . 1 ) . C o n s t r u c t t h e m a p p i n g s P
, P
, P
P
,
a n d P
P
f o r t h e r e g i o n a n d s h o w s e v e r a l l i n e s o f c o n s t a n t a n d c o n s t a n t .
-
8/9/2019 Elliptic PDEs
23/25
8 . 3 . M e s h G e n e r a t i o n 2 3
1 2 3
4 5 6
7 8
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
F i g u r e 8 . 3 . 7 : S a m p l e m e s h i n v o l v i n g s e v e n t r i a n g u l a r e l e m e n t s h a v i n g e i g h t v e r t i c e s .
E l e m e n t V e r t i c e s
1 1 2 4
2 2 5 4
3 2 3 5
4 5 3 6
5 4 5 7
6 7 5 8
7 5 6 8
V e r t e x C o o r d i n a t e s
1 0 . 0 0 0 . 0 0
2 1 . 5 0 0 . 0 0
3 3 . 0 0 0 . 0 0
4 0 . 0 0 1 . 0 0
5 1 . 5 0 1 . 0 0
6 3 . 0 0 1 . 0 0
7 1 . 0 0 2 . 0 0
8 2 . 0 0 2 . 0 0
E l e m e n t E d g e
1 1
1 3
3 1
4 2
5 2
6 3
7 2
T a b l e 8 . 3 . 1 : E l e m e n t - v e r t e x d a t a ( l e f t ) , v e r t e x - c o o r d i n a t e d a t a ( c e n t e r ) , a n d b o u n d a r y
d a t a ( r i g h t ) f o r t h e m e s h o f F i g u r e 7 .
-
8/9/2019 Elliptic PDEs
24/25
2 4 E l l i p t i c P r o b l e m s
-
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25/25
B i b l i o g r a p h y
1 ] I . B a b u s k a , J . E . F l a h e r t y , W . D . H e n s h a w , J . E . H o p c r o f t , J . E . O l i g e r , a n d T . T e z -
d u y a r , e d i t o r s . M o d e l i n g , M e s h G e n e r a t i o n , a n d A d a p t i v e N u m e r i c a l M e t h o d s f o r
P a r t i a l D i e r e n t i a l E q u a t i o n s , v o l u m e 7 5 o f T h e I M A V o l u m e s i n M a t h e m a t i c s a n d
i t s A p p l i c a t i o n s , N e w Y o r k , 1 9 9 5 . S p r i n g e r - V e r l a g .
2 ] P . L . B a e h m a n n , S . L . W i t t c h e n , M . S . S h e p h a r d , K . R . G r i c e , a n d M . A . Y e r r y . R o -
b u s t g e o m e t r i c a l l y b a s e d a u t o m a t i c t w o - d i m e n s i o n a l m e s h g e n e r a t i o n . I n t e r n a t i o n a l
J o u r n a l o f N u m e r i c a l M e t h o d s i n E n g i n e e r i n g , 2 4 : 1 0 4 3 { 1 0 7 8 , 1 9 9 5 .
3 ] M . W . B e r n , J . E . F l a h e r t y , a n d M . L u s k i n , e d i t o r s . G r i d G e n e r a t i o n a n d A d a p t i v e
A l g o r i t h m s , v o l u m e 1 1 3 o f T h e I M A V o l u m e s i n M a t h e m a t i c s a n d i t s A p p l i c a t i o n s ,
N e w Y o r k , 1 9 9 9 . S p r i n g e r - V e r l a g .
4 ] J . E . F l a h e r t y , R . M . L o y , C .
O z t u r a n , M . S . S h e p h a r d , B . K . S z y m a n s k i , J . D . T e r e s c o ,
a n d L . H . Z i a n t z . P a r a l l e l s t r u c t u r e s a n d d y n a m i c l o a d b a l a n c i n g f o r a d a p t i v e n i t e
e l e m e n t c o m p u t a t i o n . A p p l i e d N u m e r i c a l M a t h e m a t i c s , 2 6 : 2 4 1 { 2 6 5 , 1 9 9 8 .
5 ] R . L o h n e r . F i n i t e e l e m e n t m e t h o d s i n C F D : G r i d g e n e r a t i o n , a d a p t i v i t y a n d p a r -
a l l e l i z a t i o n . I n H . D e c o n i n c k a n d T . B a r t h , e d i t o r s , U n s t r u c t u r e d G r i d M e t h o d s f o r
A d v e c t i o n D o m i n a t e d F l o w s , N e u i l l y s u r S e i n e , 1 9 9 2 . A G A R D R e p o r t A G A R D - R -
7 8 7 .
6 ] A . R . M i t c h e l l a n d D . F . G r i t h s . T h e F i n i t e D i e r e n c e M e t h o d i n P a r t i a l D i e r e n t i a l
E q u a t i o n s . J o h n W i l e y a n d S o n s , C h i c h e s t e r , 1 9 8 0 .
7 ] J . C . S t r i k w e r d a . F i n i t e D i e r e n c e S c h e m e s a n d P a r t i a l D i e r e n t i a l E q u a t i o n s . C h a p -
m a n a n d H a l l , P a c i c G r o v e , 1 9 8 9 .