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  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    1/25

    C h a p t e r 8

    E l l i p t i c P r o b l e m s

    8 . 1 D i e r e n c e S c h e m e s f o r P o i s s o n ' s E q u a t i o n

    M o d e l s o f s t e a d y ( t i m e i n d e p e n d e n t ) p r o b l e m s i n s c i e n c e a n d e n g i n e e r i n g g i v e r i s e t o

    e l l i p t i c p a r t i a l d i e r e n t i a l s y s t e m s . E x a m p l e s a r i s e i n h e a t c o n d u c t i o n , i n c o m p r e s s i b l e

    o w , e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l s , a n d s t a t i c e l a s t i c i t y . E l l i p t i c p r o b l e m s a r e b o u n d a r y v a l u e

    p r o b l e m s r a t h e r t h a n p r o p a g a t i o n p r o b l e m s . P o i s s o n ' s e q u a t i o n i s c a n o n i c a l a n d a t y p i c a l

    t w o - d i m e n s i o n a l p r o b l e m i n v o l v e s d e t e r m i n i n g u ( x y ) s a t i s f y i n g

    L u = ; u ; u

    x x

    ; u

    y y

    = f ( x y ) ( x y ) 2 ( 8 . 1 . 1 a )

    S u b j e c t t o t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n

    u + u

    n

    = ( x y ) 2 @ : ( 8 . 1 . 1 b )

    H e r e ,

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    2/25

    2 E l l i p t i c P r o b l e m s

    0 0 01 1 1 0 01 1 0 0 01 1 10 0 01 1 10 0 01 1 1

    y

    0 1

    0

    1

    k

    K

    b

    a

    (j,k)

    j J x

    F i g u r e 8 . 1 . 1 : G r i d s t r u c t u r e f o r t h e s o l u t i o n o f P o i s s o n ' s e q u a t i o n o n a r e c t a n g l e .

    o r

    U

    j k

    ;

    x

    ( U

    j + 1 k

    + U

    j ; 1 k

    ) ;

    y

    ( U

    j k + 1

    + U

    j k ; 1

    ) =

    x y

    f

    j k

    ( 8 . 1 . 2 a )

    w h e r e

    x

    =

    y

    2

    2 ( x

    2

    + y

    2

    )

    y

    =

    x

    2

    2 ( x

    2

    + y

    2

    )

    x y

    =

    x

    2

    y

    2

    2 ( x

    2

    + y

    2

    )

    : ( 8 . 1 . 2 b )

    T h e c o m p u t a t i o n a l s t e n c i l f o r ( 8 . 1 . 2 ) i s a v e - p o i n t c r o s s s h o w n i n F i g u r e 8 . 1 . 1 . T h e u s u a l

    T a y l o r ' s s e r i e s e x p a n s i o n r e v e a l s t h a t ( 8 . 1 . 2 ) h a s a n O ( x

    2

    ) + O ( y

    2

    ) l o c a l d i s c r e t i z a t i o n

    e r r o r s i n c e c e n t e r e d d i e r e n c e f o r m u l a s a r e u s e d o n a u n i f o r m m e s h .

    W e o b t a i n a d i s c r e t e p r o b l e m b y w r i t i n g t h e d i e r e n c e f o r m u l a ( 8 . 1 . 2 a ) a t e a c h i n t e r i o r

    m e s h p o i n t ( j 2 1 J ; 1 ] k 2 1 K ; 1 ] ) a n d u s i n g t h e D i r i c h l e t b o u n d a r y c o n d i t i o n s t o

    o b t a i n a l i n e a r a l g e b r a i c s y s t e m . L e t u s r s t i l l u s t r a t e t h i s s y s t e m f o r a 3 3 m e s h a s

    s h o w n i n F i g u r e 8 . 1 . 2 . W r i t i n g ( 8 . 1 . 2 a ) a t t h e m e s h p o i n t s ( 1 1 ) , ( 2 1 ) , ( 1 2 ) , a n d ( 2 2 )

    g i v e s

    U

    1 1

    ;

    x

    U

    2 1

    ;

    y

    U

    1 2

    =

    x y

    f

    1 1

    +

    x

    0 1

    +

    y

    1 0

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    3/25

    8 . 1 . S c h e m e s f o r P o i s s o n ' s E q u a t i o n 3

    (0,0) (1,0) (2,0) (3,0)

    (0,1) (1,1)

    (3,2)(0,2)

    (2,1) (3,1)

    (0,3) (2,3)(1,3)

    (1,2) (2,2)

    (3,3)

    x

    t

    F i g u r e 8 . 1 . 2 : M e s h n o m e n c l a t u r e f o r a 3 3 g r i d .

    ;

    x

    U

    1 1

    + U

    2 1

    ;

    y

    U

    2 2

    =

    x y

    f

    2 1

    +

    x

    3 1

    +

    y

    2 0

    ;

    y

    U

    1 1

    + U

    1 2

    ;

    x

    U

    2 2

    =

    x y

    f

    1 2

    +

    x

    0 2

    +

    y

    1 3

    ;

    y

    U

    2 1

    ;

    x

    U

    1 2

    + U

    2 2

    =

    x y

    f

    2 2

    +

    x

    3 2

    +

    y

    2 3

    :

    T h e k n o w n b o u n d a r y d a t a i s w r i t t e n o n t h e r i g h t s i d e o f t h e e q u a t i o n s t o g i v e u s a 4 4

    l i n e a r s y s t e m o f e q u a t i o n s f o r t h e f o u r u n k n o w n s U

    j k

    , j k = 1 2 , a t i n t e r i o r m e s h p o i n t s .

    F o l l o w i n g t h e n o m e n c l a t u r e u s e d i n C h a p t e r 5 f o r p a r a b o l i c p r o b l e m s , l e t

    U

    k

    = U

    1 k

    U

    2 k

    U

    J ; 1 k

    ]

    T

    ( 8 . 1 . 3 a )

    d e n o t e t h e v e c t o r o f u n k n o w n s i n r o w k o f t h e m e s h a n d l e t

    U = U

    T

    1

    U

    T

    2

    U

    T

    K ; 1

    ]

    T

    ( 8 . 1 . 3 b )

    d e n t o e t h e v e c t o r o f a l l u n k n o w n s o r d e r e d b y r o w s . W r i t i n g t h e d i e r e n c e e q u a t i o n

    ( 8 . 1 . 2 a ) a t a l l i n t e r i o r m e s h p o i n t s g i v e s t h e l i n e a r s y s t e m

    A U = b ( 8 . 1 . 4 a )

    o r

    2

    6

    6

    6

    4

    C

    1

    D

    1

    D

    2

    C

    2

    D

    2

    .

    .

    .

    D

    K ; 1

    C

    K ; 1

    3

    7

    7

    7

    5

    2

    6

    6

    6

    4

    U

    1

    U

    2

    .

    .

    .

    U

    K ; 1

    3

    7

    7

    7

    5

    =

    2

    6

    6

    6

    4

    b

    1

    b

    2

    .

    .

    .

    b

    K ; 1

    3

    7

    7

    7

    5

    ( 8 . 1 . 4 b )

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    4/25

    4 E l l i p t i c P r o b l e m s

    w h e r e

    C

    k

    =

    2

    6

    6

    6

    4

    1 ;

    x

    ;

    x

    1 ;

    x

    .

    .

    .

    ;

    x

    1

    3

    7

    7

    7

    5

    D

    k

    =

    2

    6

    6

    6

    4

    ;

    y

    ;

    y

    .

    .

    .

    ;

    y

    3

    7

    7

    7

    5

    ( 8 . 1 . 4 c )

    a n d

    b

    k

    =

    x y

    2

    6

    6

    6

    4

    f

    1 k

    f

    2 k

    .

    .

    .

    f

    J ; 1 k

    3

    7

    7

    7

    5

    +

    x

    2

    6

    6

    6

    6

    6

    4

    0 k

    0

    .

    .

    .

    0

    J k

    3

    7

    7

    7

    7

    7

    5

    +

    1 k

    y

    2

    6

    6

    6

    4

    1 0

    2 0

    .

    .

    .

    J ; 1 0

    3

    7

    7

    7

    5

    +

    K ; 1 k

    y

    2

    6

    6

    6

    4

    1 K

    2 K

    .

    .

    .

    J ; 1 K

    3

    7

    7

    7

    5

    : ( 8 . 1 . 4 d )

    T h e m a t r i c e s C

    k

    a n d D

    k

    a r e ( J ; 1 ) ( J ; 1 ) t r i d i a g o n a l a n d d i a g o n a l m a t r i c e s , r e -

    s p e c t i v e l y t h u s , A i s ( J ; 1 ) ( K ; 1 ) ( J ; 1 ) ( K ; 1 ) b l o c k t r i d i a g o n a l m a t r i x . T h e

    K r o n e c k e r d e l t a

    j k

    i s u n i t y w h e n j = k a n d z e r o o t h e r w i s e .

    P r o b l e m s i n v o l v i n g N e u m a n n o r R o b i n b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e t r e a t e d a s d e s c r i b e d

    i n S e c t i o n 4 . 2 f o r p a r a b o l i c p r o b l e m s . P r o b l e m s o n n o n r e c t a n g u l a r d o m a i n s m a y b e

    t r e a t e d b y n i t e e l e m e n t o r n i t e v o l u m e ( S e c t i o n 8 . 2 ) m e t h o d s .

    W e c o n c l u d e t h i s s e c t i o n b y n o t i n g t h a t l i n e a r e l l i p t i c p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s

    s a t i s f y a m a x i m u m p r i n c i p l e w h i c h s t a t e s t h a t t h e m a x i m u m ( m i n i m u m ) v a l u e o f u i n a

    c l o s e d r e g i o n o c c u r s o n t h e b o u n d a r y @ .

    E x a m p l e 8 . 1 . 1 . L e t u s i l l u s t r a t e t h e m a x i m u m p r i n c i p l e f o r L a p l a c e ' s e q u a t i o n

    u = u

    x x

    + u

    y y

    = 0 :

    F u n c t i o n s u s a t i s f y i n g L a p l a c e ' s e q u a t i o n a l s o s a t i s f y t h e \ m e a n v a l u e t h e o r e m "

    u ( P ) =

    1

    2

    Z

    2

    0

    u ( r c o s r s i n ) d ( 8 . 1 . 5 )

    a r o u n d a n y c i r c l e o f r a d i u s r c e n t e r e d a t t h e p o i n t P . S i n c e u ( P ) a t t h e c e n t e r i s t h e

    a v e r a g e o f v a l u e s o n a n y c i r c l e s u r r o u n d i n g P , u m u s t a s s u m e i t s m a x i m u m a n d m i n i m u m

    v a l u e s o n t h e c i r c l e . S i n c e t h i s h o l d s f o r a n y c i r c l e , w e h a v e p r o v e n t h e m a x i m u m p r i n c i p l e

    f o r h a r m o n i c f u n c t i o n s ( i . e . , f u n c t i o n s t h a t s a t i s f y L a p l a c e ' s e q u a t i o n ) .

    W e w o u l d l i k e a d i s c r e t e m o d e l o f a n e l l i p t i c p r o b l e m t o h a v e a s m a n y p r o p e r t i e s

    o f t h e c o n t i n u o u s p r o b l e m a s p o s s i b l e . T h e m a x i m u m p r i n c i p l e , i n p a r t i c u l a r , i s a g o o d

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    5/25

    8 . 1 . S c h e m e s f o r P o i s s o n ' s E q u a t i o n 5

    p r o p e r t y t o h a v e b e c a u s e i t c a n b e u s e d t o e s t a b l i s h t h e u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s . C o n s i d e r

    t h e d i s c r e t e a p p r o x i m a t i o n ( 8 . 1 . 2 ) o f L a p l a c e ' s e q u a t i o n ( f ( x y ) = 0 ) a n d , f o r s i m p l i c i t y ,

    l e t x = y . I n t h i s c a s e , u s e o f ( 8 . 1 . 2 b i m p l i e s t h a t

    x

    =

    y

    = 1 = 4 a n d ( 8 . 1 . 2 a ) b e c o m e s

    U

    j k

    =

    1

    4

    ( U

    j + 1 k

    + U

    j ; 1 k

    + U

    j k + 1

    + U

    j k ; 1

    ) :

    T h u s , t h e c e n t e r e d d i e r e n c e a p p r o x i m a t i o n ( 8 . 1 . 2 ) s a t i s e s a d i s c r e t e v e r s i o n o f t h e

    m a x i m u m p r i n c i p l e .

    L e t u s p u r s u e t h i s m a t t e r i n a m o r e a b s t r a c t s e t t i n g b y c o n s i d e r i n g a d i e r e n c e

    a p p r o x i m a t i o n o f t h e f o r m

    L

    U

    j k

    = c

    0

    U

    j k

    ;

    X

    j s j S j s j 6= 0

    c

    s

    U

    Q

    s

    = f

    j k

    ( 8 . 1 . 6 )

    t o a l i n e a r e l l i p t i c p r o b l e m

    L u = f ( x y ) :

    T h e s u m m a t i o n i n ( 8 . 1 . 6 ) i s t a k e n o v e r a n i t e s e t o f p o i n t s s u r r o u n d i n g ( x

    j

    y

    k

    ) . W e

    r e g a r d s = s

    1

    s

    2

    ]

    T

    a s a v e c t o r h a v i n g i n t e g r a l c o e c i e n t s i n d i c a t i n g t h e p o i n t s i n t h e

    s t e n c i l o f t h e d i e r e n c e s c h e m e w i t h t h e i n t e r p r e t a t i o n Q

    s

    = ( j + s

    1

    k + s

    2

    ) .

    W e ' l l b e g i n w i t h s o m e p r o p e r t i e s t h a t ( 8 . 1 . 6 ) m i g h t p o s s e s s .

    D e n i t i o n 8 . 1 . 1 . T h e n i t e d i e r e n c e s c h e m e ( 8 . 1 . 6 ) i s n o n - n e g a t i v e i f

    c

    0

    > 0 c

    s

    0 8 j s j S 8 ( x

    j

    y

    k

    ) 2 : ( 8 . 1 . 7 )

    D e n i t i o n 8 . 1 . 2 . T h e n i t e d i e r e n c e s c h e m e ( 8 . 1 . 6 ) i s d i a g o n a l l y d o m i n a n t i f

    c

    0

    X

    j s j S j s j 6= 0

    j c

    s

    j 8 ( x

    j

    y

    k

    ) 2 : ( 8 . 1 . 8 )

    w i t h s t r i c t i n e q u a l i t y h o l d i n g f o r a t l e a s t o n e m e s h p o i n t o f .

    E x a m p l e 8 . 1 . 2 . C o n s i d e r t h e s o l u t i o n o f L a p l a c e ' s e q u a t i o n u s i n g t h e c e n t e r e d s c h e m e

    ( 8 . 1 . 2 ) w i t h f ( x y ) = 0 , i . e . ,

    U

    j k

    ;

    x

    ( U

    j + 1 k

    + U

    j ; 1 k

    ) ;

    y

    ( U

    j k + 1

    + U

    j k ; 1

    ) = 0 :

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    6/25

    6 E l l i p t i c P r o b l e m s

    I n c o m p a r i s o n w i t h ( 8 . 1 . 6 ) , w e h a v e

    c

    0

    = 1 c

    1 0

    = c

    ; 1 0

    =

    x

    c

    0 1

    = c

    0 ; 1

    =

    y

    :

    F r o m ( 8 . 1 . 2 b ) w e s e e t h a t t h e c o e c i e n t s

    x

    a n d

    y

    a r e p o s i t i v e t h u s , t h i s d i e r e n c e

    s c h e m e i s n o n - n e g a t i v e . A l s o , u s i n g ( 8 . 1 . 2 b )

    X

    j s j S j s j 6= 0

    j c

    s

    j = 2

    x

    + 2

    y

    = 1 :

    T h e q u e s t i o n o f d i a g o n a l d o m i n a n c e i s , a s y e t , u n d e c i d e d . B o t h c

    0

    a n d t h e s u m o f t h e

    o - d i a g o n a l e n t r i e s i n t h e d i e r e n c e s c h e m e a r e u n i t y . T h i s w i l l b e t r u e a t a l l m e s h

    p o i n t s t h a t a r e n o t a d j a c e n t t o b o u n d a r i e s . T h u s , t h e s c h e m e w i l l b e d i a g o n a l d o m i n a n t

    o r n o t d e p e n d i n g o n t h e p r e s c r i b e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s . H o m o g e n e o u s D i r i c h l e t d a t a ,

    f o r e x a m p l e , w i l l d r o p a t l e a s t o n e o f t h e f o u r t e r m s i n t h e d i e r e n c e s c h e m e a t m e s h

    p o i n t s a d j a c e n t t o t h e b o u n d a r y a n d r e s u l t i n d i a g o n a l d o m i n a n c e .

    T h e e x t e n s i o n o f t h e m a x i m u m p r i n c i p l e t o e l l i p t i c o p e r a t o r s h a v i n g t h e f o r m o f

    ( 8 . 1 . 6 ) f o l l o w s .

    D e n i t i o n 8 . 1 . 3 . L e t V b e a n y f u n c t i o n d e n e d o n t h e m e s h t h a t s a t i s e s

    L

    V

    j k

    0 8 ( x

    j

    y

    k

    ) 2 : ( 8 . 1 . 9 )

    I f t h e v a l u e V

    j k

    a t m e s h p o i n t s ( x

    j

    y

    k

    ) 2 n o w h e r e e x c e e d s i t s v a l u e a t m e s h p o i n t s

    ( x

    j

    y

    k

    ) 2 @ t h e n L

    i s s a i d t o s a t i s f y a d i s c r e t e m a x i m u m p r i n c i p l e .

    R e m a r k 1 . A t a n e x t r e m e p o i n t o f a f u n c t i o n u ( x y ) w e h a v e u

    x

    = u

    y

    = 0 . I f t h e

    e x t r e m e p o i n t i s a m a x i m u m t h e n w e a l s o h a v e u

    x x

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    7/25

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    8/25

    8 E l l i p t i c P r o b l e m s

    A P

    F i g u r e 8 . 2 . 1 : T w o - d i m e n s i o n a l n o n - r e c t a n g u l a r d o m a i n w i t h a s u p e r i m p o s e d u n i f o r m

    r e c t a n g u l a r g r i d . S t a n d a r d d i e r e n c e a p p r o x i m a t i o n s c a n b e u s e d a t i n t e r i o r p o i n t s s u c h

    a s A . P o i n t s , s u c h a s P , n e a r t h e b o u n d a r y r e q u i r e s p e c i a l t r e a t m e n t .

    N

    EW

    S

    P

    xy

    y

    W ES

    N

    x

    F i g u r e 8 . 2 . 2 : N o t a t i o n u s e d f o r u n e q u a l - a r m n i t e d i e r e n c e a p p r o x i m a t i o n s n e a r a

    b o u n d a r y p o i n t P .

    A s s h o w n i n F i g u r e 8 . 2 . 2 , w e a r e u s i n g a s i n g l e - s u b s c r i p t n o t a t i o n . T h u s , i f P h a s t h e

    i n d i c e s ( j k ) , w e l e t u

    P

    = u

    j k

    , u

    E

    = u

    j + 1 k

    , e t c . S i m i l a r l y , x

    E

    = x

    j + 1

    ; x

    j

    , e t c . , a n d

    x = m a x ( x

    E

    x

    W

    ) . A p p r o x i m a t i o n s o b t a i n e d b y n e g l e c t i n g t h e u

    x x

    t e r m i n ( 8 . 2 . 1 a )

    a n d t h e u

    x x x

    t e r m i n ( 8 . 2 . 1 b ) a r e o n l y r s t - o r d e r a c c u r a t e . T h e o r d e r o f a c c u r a c y c a n b e

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    9/25

    8 . 2 . F i n i t e V o l u m e M e t h o d s 9

    i m p r o v e d b y r e t a i n i n g m o r e t e r m s i n T a y l o r ' s s e r i e s e x p a n s i o n s o f t h e s o l u t i o n a b o u t P .

    A s n o t e d i n C h a p t e r 2 , t h i s w i l l e n l a r g e t h e c o m p u t a t i o n a l s t e n c i l b y b r i n g i n g i n p o i n t s

    t o t h e l e f t o f W . A s e c o n d - o r d e r a p p r o x i m a t i o n f o r u

    x

    i s e a s i l y o b t a i n e d b y s u b s t i t u t i n g

    t h e e x p r e s s i o n ( 8 . 2 . 1 b ) f o r u

    x x

    i n t o ( 8 . 2 . 1 a )

    ( u

    x

    )

    P

    =

    1

    x

    E

    + x

    W

    x

    W

    x

    E

    ( u

    E

    ; u

    P

    ) +

    x

    E

    x

    W

    ( u

    P

    ; u

    W

    ) ] + O ( x

    2

    ) : ( 8 . 2 . 1 c )

    D i r i c h l e t b o u n d a r y c o n d i t i o n s u s i n g u n e q u a l - a r m d i e r e n c e s s u c h a s ( 8 . 2 . 1 ) a r e o n l y

    s l i g h t l y m o r e c o m p l i c a t e d t o i m p l e m e n t t h a n t h o s e o n a u n i f o r m m e s h . F o r e x a m p l e , t h e

    d i s c r e t e f o r m o f ( 8 . 1 . 2 a ) w i t h p r e s c r i b e d D i r i c h l e t d a t a u = ( x y ) , ( x y ) 2 @ , w o u l d

    b e

    ;

    2

    x

    E

    + x

    W

    E

    ; U

    P

    x

    E

    ;

    U

    P

    ; U

    W

    x

    W

    ] ;

    2

    y

    N

    + y

    S

    N

    ; U

    P

    y

    N

    ;

    U

    P

    ; U

    S

    x

    S

    ] = f

    P

    a t a p o i n t s u c h a s P o f F i g u r e 8 . 2 . 2 . H e r e ,

    E

    a n d

    N

    d e n o t e t h e v a l u e s o f a t t h e

    b o u n d a r y p o i n t s E a n d N , r e s p e c t i v e l y .

    I m p l e m e n t i n g N e u m a n n b o u n d a r y d a t a , h o w e v e r , i s s u b s t a n t i a l l y m o r e c o m p l e x a n d ,

    i n f a c t , d o e s n o t h a v e a s a t i s f a c t o r y r e s o l u t i o n u s i n g a n a p p r o a c h l i k e w e h a v e d e s c r i b e d .

    T h e \ n i t e v o l u m e " t e c h n i q u e o e r s a b e t t e r w a y o f t r e a t i n g N e u m a n n b o u n d a r y d a t a

    a n d , i n g e n e r a l , o f s o l v i n g p r o b l e m s o n n o n u n i f o r m m e s h e s . A c t u a l l y , n i t e e l e m e n t

    t e c h n i q u e s a r e t h e m o s t e e c t i v e w a y o f b o t h s a t i s f y i n g N e u m a n n d a t a a n d i m p l e m e n t i n g

    s o l u t i o n s t r a t e g i e s o n n o n u n i f o r m m e s h e s . F i n i t e e l e m e n t t e c h n i q u e s a r e n o t s t u d i e d i n

    t h e s e n o t e s , b u t w e w i l l d e s c r i b e t h e n i t e v o l u m e r e l a t i v e t o t h e m o d e l p r o b l e m

    ; r r u = ; ( u

    x

    )

    x

    ; ( u

    y

    )

    y

    = f ( x y ) ( x y ) 2 ( 8 . 2 . 2 )

    w h e r e = ( x y ) .

    L e t u s i n t e g r a t e ( 8 . 2 . 2 ) o n s o m e r e g i o n R a n d u s e t h e d i v e r g e n c e t h e o r e m t o

    o b t a i n

    0 =

    Z Z

    R

    r r u + f ] d x d y =

    Z

    @ R

    u

    n

    d s +

    Z Z

    R

    f d x d y ( 8 . 2 . 3 )

    w h e r e n i s a u n i t o u t w a r d n o r m a l t o @ R a n d s i s a c o o r d i n a t e a l o n g @ R .

    A p p r o x i m a t e s o l u t i o n t e c h n i q u e s a r e o b t a i n e d b y c h o o s i n g R a p p r o p r i a t e l y a n d u s -

    i n g n i t e d i e r e n c e s t o a p p r o x i m a t e d e r i v a t i v e s . L e t u s r s t a p p l y t h e t e c h n i q u e t o a

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    10/25

    1 0 E l l i p t i c P r o b l e m s

    n o n u n i f o r m m e s h o f r e c t a n g u l a r c e l l s . C o n s i d e r a c l u s t e r o f f o u r c e l l s a s s h o w n i n F i g u r e

    8 . 2 . 3 a n d l e t R b e t h e r e c t a n g u l a r r e g i o n o b t a i n e d b y b i s e c t i n g e a c h a r m a n d c o n n e c t i n g

    t h e n o r m a l s t h r o u g h t h e b i s e c t i o n p o i n t s .

    0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    P

    R

    W E

    N

    S

    x x

    y

    y

    x

    y

    W E

    N

    k

    S

    j

    F i g u r e 8 . 2 . 3 : G r o u p o f f o u r r e c t a n g u l a r c e l l s a n d t h e r e g i o n R u s e d f o r t h e n i t e v o l u m e

    t e c h n i q u e .

    L i n e i n t e g r a l s i n ( 8 . 2 . 3 ) a r e a p p r o x i m a t e d u s i n g t h e m i d p o i n t r u l e a n d n o r m a l d e r i v a -

    t i v e s a r e a p p r o x i m a t e d u s i n g c e n t e r e d d i e r e n c e s t h u s , f o r e x a m p l e , t h e p o r t i o n o f l i n e

    i n t e g r a l i n ( 8 . 2 . 3 ) o n t h e r i g h t e d g e o f R w o u l d b e

    Z

    y

    k

    + 1 = 2 y

    N

    y

    k

    ; 1 = 2 y

    S

    u

    x

    d y ( x

    j

    + x

    E

    = 2 y

    k

    )

    U

    E

    ; U

    P

    x

    E

    y

    N

    + y

    S

    2

    : ( 8 . 2 . 4 a )

    T h e a r e a i n t e g r a l i n ( 8 . 2 . 3 ) i s a p p r o x i m a t e d b y t h e r e c t a n g u l a r r u l e u s i n g d a t a a t t h e

    p o i n t P t o g e t

    Z Z

    R

    f ( x y ) d x d y f ( x

    j

    y

    k

    )

    x

    E

    + x

    W

    2

    y

    N

    + y

    S

    2

    : ( 8 . 2 . 4 b )

    U s i n g ( 8 . 2 . 4 ) i n ( 8 . 2 . 3 ) , w e o b t a i n t h e c o m p l e t e s c h e m e a s

    0 = f

    P

    x

    E

    + x

    W

    2

    y

    N

    + y

    S

    2

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    11/25

    8 . 2 . F i n i t e V o l u m e M e t h o d s 1 1

    +

    j + 1 = 2 k

    U

    E

    ; U

    P

    x

    E

    y

    N

    + y

    S

    2

    +

    j k + 1 = 2

    U

    N

    ; U

    P

    y

    N

    x

    E

    + x

    W

    2

    +

    j ; 1 = 2 k

    U

    W

    ; U

    P

    x

    W

    y

    N

    + y

    S

    2

    +

    j k ; 1 = 2

    U

    S

    ; U

    P

    y

    S

    x

    E

    + x

    W

    2

    :

    ( 8 . 2 . 5 )

    T h i s v e r s i o n o f t h e n i t e v o l u m e s c h e m e i s o n l y r s t - o r d e r a c c u r a t e u n l e s s t h e m e s h

    s p a c i n g i s u n i f o r m . W i t h u n i f o r m s p a c i n g a n d = 1 , ( 8 . 2 . 5 ) i s i d e n t i c a l t o c e n t e r e d

    d i e r e n c e s ( 8 . 1 . 2 ) . E v e n t h o u g h i t i s r s t o r d e r , t h e u n e q u a l - a r m d i e r e n c e s c h e m e m a y

    u s e f e w e r c o m p u t a t i o n a l c e l l s o n a n o n u n i f o r m m e s h a n d p r o d u c e c o m p a r a b l e a c c u r a c y

    t o a s e c o n d - o r d e r s c h e m e o n a d e n s e r u n i f o r m m e s h . S u c h r e l a t i v e t r a d e o s h a v e t o b e

    a p p r a i s e d .

    T h e n i t e v o l u m e s c h e m e c a n b e a p p l i e d o n n o n - r e c t a n g u l a r r e g i o n s . T h i s i s u s e f u l

    n e a r c u r v e d b o u n d a r i e s a n d f o r u n s t r u c t u r e d - m e s h c o m p u t a t i o n . L e t u s i l l u s t r a t e t h e

    a p p r o x i m a t i o n o f b o u n d a r y d a t a r s t . T w o p o s s i b i l i t i e s a r e s h o w n i n F i g u r e 8 . 2 . 4 . I n

    t h e c a s e s h o w n o n t h e t o p , t h e p o i n t P i s n o t o n @ a n d t h e r e g i o n R i s s e l e c t e d a s a

    t r i a n g u l a r l y - s h a p e d r e g i o n . T h e l i n e i n t e g r a l i n ( 8 . 2 . 3 ) i s a p p r o x i m a t e d a s

    Z

    @ R

    u

    n

    d s

    N E

    ( U

    n

    )

    N E

    s

    N E

    +

    j ; 1 = 2 k

    U

    W

    ; U

    P

    x

    W

    ( y

    N

    + y

    S

    = 2 )

    +

    j k ; 1 = 2

    U

    S

    ; U

    P

    y

    S

    ( x

    E

    + x

    W

    = 2 ) ( 8 . 2 . 6 a )

    w h e r e s

    N E

    i s t h e l e n g t h o f t h e o u t e r b o u n d a r y o f R a n d ( U

    n

    )

    N E

    i s t h e a p p r o x i m a t i o n

    o f u

    n

    a t t h e m i d p o i n t o f t h e o u t e r b o u n d a r y o f R ( c f . F i g u r e 4 ) . T h e v a l u e o f ( U

    n

    )

    N E

    i s

    o b t a i n e d f r o m t h e p r e s c r i b e d N e u m a n n b o u n d a r y d a t a , e . g . ,

    ( U

    n

    )

    N E

    =

    N E

    : ( 8 . 2 . 6 b )

    T h e a b o v e c h o i c e o f m e s h i s r e a s o n a b l e b u t i t d o e s n ' t p r o v i d e f o r s o l u t i o n s t o b e

    c o m p u t e d o n t h e b o u n d a r y . A n o t h e r a l t e r n a t i v e , s h o w n a t t h e b o t t o m o f F i g u r e 8 . 2 . 4 ,

    i s t o d e s i g n t h e m e s h s o t h a t p o i n t P i s o n t h e b o u n d a r y . T h e n , t a k i n g t h e r e g i o n R a s

    s h o w n , t h e l i n e i n t e g r a l i n ( 8 . 2 . 3 ) i s a p p r o x i m a t e d a s

    Z

    @ R

    u

    n

    d s

    P S E

    ( U

    n

    )

    P S E

    s

    P S E

    +

    P N W

    ( U

    n

    )

    P N W

    s

    P N W

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    12/25

    1 2 E l l i p t i c P r o b l e m s

    0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0

    1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1

    0 0 01 1 1

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1

    EW

    S

    P

    y

    y

    S

    N

    xW

    xE

    W

    x xE

    S

    y

    N

    yN

    P

    W

    S

    R

    R

    NE

    PSE

    PNW

    F i g u r e 8 . 2 . 4 : B o u n d a r y a p p r o x i m a t i o n b y t h e n i t e v o l u m e m e t h o d w h e n t h e p o i n t P i s

    o ( t o p ) a n d o n ( b o t t o m ) t h e b o u n d a r y .

    j ; 1 = 2 k

    U

    W

    ; U

    P

    x

    W

    ( y

    N

    + y

    S

    = 2 ) +

    j k ; 1 = 2

    U

    S

    ; U

    P

    y

    S

    ( x

    E

    = 2 + x

    W

    ) : ( 8 . 2 . 7 )

    T h e s u b s c r i p t P S E i d e n t i f y t h e p o i n t m i d w a y b e t w e e n p o i n t s P a n d E ( F i g u r e 8 . 2 . 4 ) .

    S i m i l a r l y , p o i n t P N W i s m i d w a y b e t w e e n p o i n t s P a n d N W . T h e l e n g t h s o f t h e a r c s

    c o n t a i n i n g P S E a n d P N W a r e s

    P S E

    a n d s

    P N W

    , r e s p e c t i v e l y .

    C o m p l e t e l y \ u n s t r u c t u r e d " m e s h e s o f t r i a n g u l a r o r q u a d r i l a t e r a l e l e m e n t s i n t w o d i -

    m e n s i o n s a n d t e t r a h e d r a a n d h e x a h e d r a i n t h r e e d i m e n s i o n s a r e u s e d f o r n i t e e l e m e n t

    c o m p u t a t i o n a n d h a v e b e c o m e p o p u l a r w i t h n i t e v o l u m e m e t h o d s a s w e l l . A p o r t i o n

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    13/25

    8 . 2 . F i n i t e V o l u m e M e t h o d s 1 3

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

    P

    R b

    m

    P,i

    P,i

    lP,i

    sP,i

    F i g u r e 8 . 2 . 5 : P o r t i o n o f a m e s h o f t r i a n g u l a r e l e m e n t s a n d t h e r e g i o n R s u r r o u n d i n g a

    p o i n t P .

    o f a m e s h s u r r o u n d i n g a p o i n t P i s s h o w n i n F i g u r e 8 . 2 . 5 . T h e r e g i o n R i s t a k e n a s t h e

    p o l y g o n f o r m e d f r o m t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r s o f t h e e l e m e n t e d g e s i n t e r s e c t i n g p o i n t

    P . T h e a p p r o x i m a t i o n o f ( 8 . 2 . 3 ) o n s u c h a m e s h i s

    f

    P

    A

    R

    +

    N

    P

    X

    i = 1

    m

    P i

    U

    b

    P i

    ; U

    P

    l

    P i

    s

    P i

    = 0 ( 8 . 2 . 8 )

    w h e r e A

    R

    i s t h e a r e a o f r e g i o n R b

    P i

    , i = 1 2 N

    P

    , a r e t h e n e i g h b o r s o f P m

    P i

    i d e n t i e s t h e p o i n t m i d w a y b e t w e e n P a n d i t s n e i g h b o r b

    P i

    l

    P i

    i s t h e l e n g t h o f t h e e d g e

    f r o m P t o b

    P i

    a n d s

    P i

    i s t h e l e n g t h o f t h e s e g m e n t o f @ R p e r p e n d i c u l a r t o l

    P i

    .

    C l e a r l y t h e g e o m e t r y h a s b e c o m e m o r e c o m p l e x t h a n w i t h u n i f o r m m e s h e s . I t w o u l d

    n o w b e n e c e s s a r y t o s t o r e t h e c o o r d i n a t e s o f a l l o f t h e v e r t i c e s o f t h e t r i a n g u l a r e l e m e n t s

    a n d t h e i r c o n n e c t i v i t y . W e ' l l s a y a b i t m o r e a b o u t d a t a s t r u c t u r e s i n t h e n e x t s e c t i o n . I t

    h a s b e e n d i c u l t t o e x t e n d n i t e v o l u m e m e t h o d s t o h i g h e r o r d e r s o f a c c u r a c y h o w e v e r ,

    t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d d e s c r i b e d i n S e c t i o n 6 . 5 p r o v i d e s a s y s t e m a t i c m e a n s

    o f d o i n g t h i s . T h e n i t e e l e m e n t m e t h o d a l s o p r o v i d e s a m e a n s o f c o n s t r u c t i n g a r b i t r a r i l y

    h i g h - o r d e r a p p r o x i m a t i o n s .

    P r o b l e m s

    1 . A n i t e v o l u m e m e t h o d m a y b e c o n s t r u c t e d o n a n u n s t r u c t u r e d g r i d o f , e . g . , t r i a n -

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    14/25

    1 4 E l l i p t i c P r o b l e m s

    g u l a r e l e m e n t s b y p l a c i n g t h e u n k n o w n s ( a t p o i n t s s u c h a s P ) a t c e l l c e n t r o i d s r a t h e r

    t h a n v e r t i c e s . D e v e l o p a n a p p r o x i m a t i o n f o r ( 8 . 2 . 3 ) u s i n g s u c h a m e s h s t r u c t u r e .

    2 . C o n s i d e r a c l u s t e r o f f o u r r e c t a n g u l a r c o m p u t a t i o n a l c e l l s c o n t a i n e d w i t h i n

    D

    j k

    = f ( x y ) j x

    j ; 1

    x x

    j + 1

    y

    k ; 1

    y y

    k + 1

    g :

    A s s u m e t h a t ( x y ) = 1 a b o v e t h e l i n e C o f D

    j k

    c o n n e c t i n g ( x

    j ; 1

    y

    k ; 1

    ) , ( x

    j

    y

    k

    ) ,

    a n d ( x

    j + 1

    y

    k + 1

    ) a n d t h a t ( x y ) = 2 b e l o w t h i s l i n e . C a l c u l a t e a d i s c r e t e a p p r o x i -

    m a t i o n t o t h e p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n

    ; ( u

    x

    )

    x

    ; ( u

    y

    )

    y

    + q u = f ( x y )

    a t ( x

    j

    y

    k

    ) u s i n g t h e n i t e v o l u m e m e t h o d . D o n o t a s s u m e t h a t ( x

    j

    y

    k

    ) i s a t t h e

    c e n t e r o f D

    j k

    .

    8 . 3 M e s h G e n e r a t i o n

    D i s c r e t i z i n g t w o - d i m e n s i o n a l d o m a i n s i n t o m e s h e s h a v i n g n o n u n i f o r m c e l l s p a c i n g s c a n

    e i t h e r b e s i m p l e o r d i c u l t d e p e n d i n g o n g e o m e t r i c o r s o l u t i o n c o m p l e x i t i e s . D i s c r e t i z i n g

    t h r e e - d i m e n s i o n a l d o m a i n s i s c u r r e n t l y n o t s i m p l e . N o n u n i f o r m m e s h e s m a y b e a p p r o -

    p r i a t e f o r s o m e p r o b l e m s w i t h s i m p l e g e o m e t r y d u e t o r a p i d s o l u t i o n v a r i a t i o n i n s o m e

    r e g i o n s , e . g . , i n b o u n d a r y l a y e r s . S o m e c o m p u t a t i o n a l s p e c i a l i s t s a r g u e t h a t c o n s t r u c t i n g

    t h e p r o p e r m e s h f o r a p r o b l e m i s t h e m a j o r i m p e d i m e n t t o i t s s o l u t i o n . S e v e r a l a t t e m p t s

    t o a u t o m a t e t h e m e s h g e n e r a t i o n p r o c e s s a r e u n d e r w a y . A d a p t i v e s o l u t i o n - b a s e d m e s h

    r e n e m e n t p r o c e d u r e s a u t o m a t i c a l l y c o n c e n t r a t e m e s h e s i n s u c h r e g i o n s a n d s e e k t o a u -

    t o m a t e t h e t a s k o f m o d i f y i n g ( r e n i n g / c o a r s e n i n g ) a n e x i s t i n g m e s h 1 , 3 ] . W h i l e w e w i l l

    n o t a t t e m p t a t h o r o u g h t r e a t m e n t o f a l l a p p r o a c h e s , w e w i l l d i s c u s s t h e e s s e n t i a l i d e a s o f

    m e s h g e n e r a t i o n b y ( i ) m a p p i n g t e c h n i q u e s w h e r e a c o m p l e x d o m a i n i s t r a n s f o r m e d i n t o

    a s i m p l e r o n e s o t h a t a m e s h m a y b e e a s i l y g e n e r a t e d a n d ( i i ) d i r e c t t e c h n i q u e s w h e r e a

    m e s h i s g e n e r a t e d o n t h e o r i g i n a l d o m a i n .

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    15/25

    8 . 3 . M e s h G e n e r a t i o n 1 5

    0 01 1

    0 01 1

    0 0 0

    0 0 0

    1 1 1

    1 1 1

    0 00 01 11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10000000

    0

    0

    0

    0

    1111111

    1

    1

    1

    1

    0000000

    0

    0

    0

    0

    1111111

    1

    1

    1

    1

    0000000

    0

    0

    0

    0

    1111111

    1

    1

    1

    1

    x

    1,1

    2,1

    2,2f

    f

    f

    (

    (

    (

    ,0)

    ,1)

    1, )

    2,11,1

    2,21,21,2

    f (0, )

    y

    F i g u r e 8 . 3 . 1 : M a p p i n g o f a s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n ( l e f t ) o n t o a r e c t a n g u l a r c o m p u t a -

    t i o n a l d o m a i n ( r i g h t ) .

    8 . 3 . 1 M e s h G e n e r a t i o n b y C o o r d i n a t e M a p p i n g

    S c i e n t i s t s a n d e n g i n e e r s h a v e u s e d c o o r d i n a t e m a p p i n g s f o r s o m e t i m e t o t r a n s f o r m c o m -

    p l i c a t e d d o m a i n s i n t o s i m p l e r o n e s . T h e m a p p i n g s c a n e m p l o y e i t h e r a n a l y t i c a l o r p i e c e -

    w i s e p o l y n o m i a l f u n c t i o n s . T h e p r o c e d u r e u s u a l l y s t a r t s w i t h r e l a t i o n s

    x = f

    1

    ( ) y = f

    2

    ( )

    t h a t d e n e t h e d o m a i n i n p h y s i c a l ( x y ) s p a c e t o i t s i m a g e i n t h e s i m p l e r ( ) s p a c e . A

    s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n a n d i t s c o m p u t a t i o n a l c o u n t e r p a r t a p p e a r i n F i g u r e 8 . 3 . 1 . I t ' s

    c o n v e n i e n t t o i n t r o d u c e t h e v e c t o r s

    x

    T

    = x y ] f ( )

    T

    = f

    1

    ( ) f

    2

    ( ) ] ( 8 . 3 . 1 a )

    a n d w r i t e t h e c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n a s

    x = f ( ) ( 8 . 3 . 1 b )

    I n F i g u r e 8 . 3 . 1 , w e h a v e s h o w n a r e g i o n w i t h f o u r s e g m e n t s f ( 0 ) , f ( 1 ) , f ( 0 ) ,

    a n d f ( 1 ) t h a t a r e r e l a t e d t o t h e c o m p u t a t i o n a l l i n e s = 0 , = 1 , = 0 , a n d = 1 ,

    r e s p e c t i v e l y . ( T h e f o u r c u r v e d s e g m e n t s m a y i n v o l v e d i e r e n t f u n c t i o n s , b u t w e h a v e

    w r i t t e n t h e m a l l a s f f o r s i m p l i c i t y . )

    L e t u s a l s o c o n s i d e r t h e p r o j e c t i o n s

    P

    ( f ) =

    1

    ( ) f ( 0 ) +

    2

    ( ) f ( 1 ) ( 8 . 3 . 2 a )

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    16/25

    1 6 E l l i p t i c P r o b l e m s

    P

    ( f ) =

    1

    ( ) f ( 0 ) +

    2

    ( ) f ( 1 ) ( 8 . 3 . 2 b )

    w h e r e

    1

    ( ) = 1 ;

    2

    ( ) = : ( 8 . 3 . 2 c )

    W i t h r a n g i n g o n 0 1 ] , t h e m a p p i n g x = P

    ( f ) t r a n s f o r m s t h e l e f t a n d r i g h t e d g e s

    o f t h e d o m a i n c o r r e c t l y , b u t i g n o r e s t h e t o p a n d b o t t o m w h i l e t h e m a p p i n g x = P

    ( f )

    t r a n s f o r m s t h e t o p a n d b o t t o m b o u n d a r i e s c o r r e c t l y b u t n o t t h e s i d e s ( F i g u r e 8 . 3 . 2 ) .

    C o o r d i n a t e l i n e s o f c o n s t a n t a n d a r e m a p p e d a s e i t h e r c u r v e s o r s t r a i g h t l i n e s o n t h e

    p h y s i c a l d o m a i n a s i n d i c a t e d i n F i g u r e 8 . 3 . 2 .

    0 01 1

    0 0

    0 0

    1 1

    1 1

    0 01 1

    0 01 1 0 0 01 1 1

    0 0 0

    0 0 0

    1 1 1

    1 1 1

    0 0 01 1 1

    0 0 01 1 1

    2,1

    2,2

    1,2

    2,1

    2,2

    1,2

    1,1

    1,2

    2,2

    2,1x

    1,1

    x

    yy

    F i g u r e 8 . 3 . 2 : T h e t r a n s f o r m a t i o n s x = P

    ( f ) ( l e f t ) a n d x = P

    ( f ) ( r i g h t ) a s a p p l i e d t o

    t h e s i m p l y - c o n n e c t e d d o m a i n s h o w n i n F i g u r e 8 . 3 . 1 .

    0 0 01 1 1

    0 00 01 11 1 0 01 1

    0 0 01 1 1

    1,1

    0 0 00 0 01 1 11 1 1

    2,2

    1,2

    2,1

    0 0 01 1 1

    0 0 01 1 1

    1,1

    2,1

    0 01 1

    1,2

    2,2

    x

    y

    2,1

    2,2

    1,2

    x

    y

    2,1

    2,2

    1,2

    y

    2,1

    2,2

    1,2

    y

    F i g u r e 8 . 3 . 3 : I l l u s t r a t i o n s o f t h e t r a n s f o r m a t i o n s x = P

    P

    ( f ) ( l e f t ) a n d x = P

    c

    i p l u s

    P

    ( f )

    ( r i g h t ) a s a p p l i e d t o t h e s i m p l y - c o n n e c t e d d o m a i n s h o w n i n F i g u r e 8 . 3 . 1 .

    W i t h a g o a l o f c o n s t r u c t i n g a n e e c t i v e m a p p i n g , l e t u s a l s o e x a m i n e t h e t e n s o r

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    17/25

    8 . 3 . M e s h G e n e r a t i o n 1 7

    p r o d u c t a n d B o o l e a n s u m s o f t h e p r o j e c t i o n s ( 8 . 3 . 2 ) t h u s ,

    P

    P

    ( f ) =

    2

    X

    i = 1

    2

    X

    j = 1

    i

    ( )

    j

    ( ) f ( i j ) ( 8 . 3 . 3 a )

    P

    P

    = P

    ( f ) + P

    ( f ) ; P

    P

    ( f ) : ( 8 . 3 . 3 b )

    A n a p p l i c a t i o n o f t h e s e t r a n s f o r m a t i o n s t o a s i m p l y - c o n n e c t e d d o m a i n i s s h o w n i n F i g u r e

    8 . 3 . 3 . T h e t e n s o r p r o d u c t ( 8 . 3 . 3 a ) i s a b i l i n e a r f u n c t i o n o f x a n d y . A s s h o w n , t h i s

    c a n b e u s e d t o c a n c e l t h e e r r o r s i n ( 8 . 3 . 2 ) t o r e v e a l t h e B o o l e a n s u m ( 8 . 3 . 3 b ) a s t h e

    d e s i r e d m a p p i n g o f t h e s i m p l y c o n n e c t e d d o m a i n o n t o t h e c o m p u t a t i o n a l p l a n e . L i n e s

    o f c o n s t a n t a n d i n t h e c o m p u t a t i o n a l ( ) - p l a n e b e c o m e c u r v e s i n t h e p h y s i c a l

    ( x y ) - p l a n e ( g u r e 8 . 3 . 3 ) .

    A l t h o u g h t h e s e t r a n s f o r m a t i o n s a r e q u i t e s i m p l e , t h e y h a v e b e e n u s e d t o g e n e r a t e

    g r i d s o n c o m p l e x t w o - a n d t h r e e - d i m e n s i o n a l r e g i o n s . T w o e x a m p l e s i n v o l v i n g t h e o w

    a b o u t a n a i r f o i l a r e s h o w n i n F i g u r e 8 . 3 . 4 . W i t h t h e t r a n s f o r m a t i o n s h o w n a t t h e t o p o f

    t h e g u r e , t h e e n t i r e s u r f a c e o f t h e a i r f o i l i s m a p p e d t o = 0 ( 2 - 3 ) . A c u t i s m a d e f r o m

    t h e t r a i l i n g e d g e o f t h e a i r f o i l a n d t h e c u r v e s o d e n e d i s m a p p e d t o t h e l e f t ( = 0 ,

    2 - 1 ) a n d r i g h t ( = 0 , 3 - 4 ) e d g e s o f t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n . T h e e n t i r e f a r e l d i s

    m a p p e d t o t h e t o p ( = 1 , 1 - 4 ) o f t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n . L i n e s o f c o n s t a n t a r e

    r a y s f r o m t h e a i r f o i l s u r f a c e t o t h e f a r e l d b o u n d a r y i n t h e p h y s i c a l p l a n e . L i n e s o f

    c o n s t a n t a r e c l o s e d c u r v e s e n c i r c l i n g t h e a i r f o i l . M e s h e s c o n s t r u c t e d i n t h i s m a n n e r a r e

    c a l l e d \ O - g r i d s . " O n t h e b o t t o m o f F i g u r e 8 . 3 . 4 , t h e s u r f a c e o f t h e a i r f o i l i s m a p p e d t o a

    p o r t i o n ( 2 - 3 ) o f t h e a x i s . T h e c u t f r o m t h e t r a i l i n g e d g e i s m a p p e d t o t h e r e s t ( 1 - 2 a n d

    3 - 4 ) o f t h e a x i s . T h e ( r i g h t ) o u t o w b o u n d a r y i s m a p p e d t o t h e l e f t ( 1 - 5 ) a n d r i g h t ( 4 - 6 )

    e d g e s o f t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n , a n d t h e t o p , l e f t , a n d b o t t o m f a r e l d b o u n d a r i e s a r e

    m a p p e d t o t h e t o p ( = 1 , 5 - 6 ) o f t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n . L i n e s o f c o n s t a n t b e c o m e

    c u r v e s b e g i n n i n g a n d e n d i n g a t t h e o u t o w b o u n d a r y a n d s u r r o u n d i n g t h e a i r f o i l . L i n e s

    o f c o n s t a n t a r e r a y s f r o m t h e a i r f o i l s u r f a c e o r t h e c u t t o t h e o u t e r b o u n d a r y . T h i s

    m e s h i s c a l l e d a \ C - g r i d . "

    W i t h t h e m a p p i n g c o m p l e t e , t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s t r a n s f o r m e d t o t h e c o m p u t a -

    t i o n a l ( ) - p l a n e w h e r e i t i s s o l v e d o n a u n i f o r m g r i d . L e t u s i l l u s t r a t e t h e p r o c e d u r e f o r

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    18/25

    1 8 E l l i p t i c P r o b l e m s

    00000

    0

    0

    0

    0

    0

    11111

    1

    1

    1

    1

    1

    00000

    0

    0

    0

    0

    0

    11111

    1

    1

    1

    1

    1

    0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0

    1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1

    42

    3

    2 3

    1 4

    Airfoil

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1000000

    0

    0

    0

    0

    111111

    1

    1

    1

    1

    000000

    0

    0

    0

    0

    111111

    1

    1

    1

    1

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

    1

    423

    airfoil

    5

    6

    2 31 4

    5 6

    F i g u r e 8 . 3 . 4 : \ O - g r i d " ( t o p ) a n d \ C - g r i d " ( b o t t o m ) m a p p i n g s o f t h e o w a b o u t a n a i r f o i l .

    t h e m o d e l s e l f - a d j o i n t d i e r e n t i a l e q u a t i o n ( 8 . 2 . 2 ) . R e t u r n i n g t o t h e s c a l a r f o r m o f t h e

    c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n s , w e w r i t e ( 8 . 3 . 3 b ) i n t h e g e n e r i c f o r m x = x ( ) , y = y ( ) .

    T h e n

    ( )

    x

    = ( )

    x

    + ( )

    x

    ( )

    y

    = ( )

    y

    + ( )

    y

    : ( 8 . 3 . 4 )

    U s i n g ( 8 . 3 . 4 ) i n ( 8 . 2 . 2 )

    ;

    x

    ( u

    x

    + u

    x

    ) ]

    ;

    x

    ( u

    x

    + u

    x

    ) ]

    ;

    y

    ( u

    y

    + u

    y

    ) ]

    ;

    y

    ( u

    y

    + u

    y

    ) ]

    =

    f ( 8 . 3 . 5 )

    w h e r e ^ = ( x ( ) y ( ) ) a n d

    f = f ( x ( ) y ( ) ) . A l t h o u g h ( 8 . 3 . 5 ) m a y b e r e -

    w r i t t e n i n s e v e r a l f o r m s , t h i s o n e i s a s g o o d t o d i s c r e t i z e a s a n y . T h e m e t r i c s o f t h e

    t r a n s f o r m a t i o n

    x

    ,

    x

    ,

    y

    , a n d

    y

    a r e o b t a i n e d b y u s i n g ( 8 . 3 . 4 ) w i t h x a n d y i n s e r t e d i n

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    19/25

    8 . 3 . M e s h G e n e r a t i o n 1 9

    t h e p a r e n t h e s e s t h u s ,

    1 = x

    x

    + x

    x

    0 = y

    x

    + y

    x

    0 = x

    y

    + x

    y

    1 = y

    y

    + y

    y

    :

    o r

    J

    x

    y

    x

    y

    =

    1 0

    0 1

    J =

    x

    x

    y

    y

    : ( 8 . 3 . 6 )

    T h e e l e m e n t s o f t h e J a c o b i a n a r e o b t a i n e d b y d i e r e n t i a t i n g t h e t r a n s f o r m a t i o n ( 8 . 3 . 3 b ) .

    8 . 3 . 2 U n s t r u c t u r e d M e s h G e n e r a t i o n

    T h e r e a r e s e v e r a l a p p r o a c h e s t o u n s t r u c t u r e d m e s h g e n e r a t i o n . E a r l y a t t e m p t s u s e d

    m a n u a l t e c h n i q u e s w h e r e p o i n t - c o o r d i n a t e s w e r e e x p l i c i t l y d e n e d . S e m i - a u t o m a t i c g e n -

    e r a t i o n t e c h n i q u e s r e q u i r e d g e n e r a t i n g a c o a r s e m e s h w h i c h c o u l d b e u n i f o r m l y r e n e d

    b y d i v i d i n g e a c h e l e m e n t e d g e i n t o K s e g m e n t s a n d c o n n e c t i n g s e g m e n t s o n o p p o s i t e

    s i d e s o f a n e l e m e n t t o c r e a t e K

    2

    ( t r i a n g u l a r ) e l e m e n t s . M o r e a u t o m a t i c p r o c e d u r e s u s e

    a d v a n c i n g f r o n t s 5 ] , p o i n t i n s e r t i o n , a n d r e c u r s i v e b i s e c t i o n . W e ' l l d i s c u s s t h e l a t t e r

    p r o c e d u r e b e c a u s e i t w a s p i o n e e r e d a n d d e v e l o p e d a t R e n s s e l a e r .

    W i t h r e c u r s i v e b i s e c t i o n 2 ] , a t w o - d i m e n s i o n a l r e g i o n i s e m b e d d e d i n a s q u a r e \ u n i -

    v e r s e " t h a t i s r e c u r s i v e l y q u a r t e r e d t o c r e a t e a s e t o f d i s j o i n t s q u a r e s c a l l e d q u a d r a n t s .

    Q u a d r a n t s a r e r e l a t e d t h r o u g h a h i e r a r c h i c a l q u a d t r e e s t r u c t u r e . T h e o r i g i n a l s q u a r e

    u n i v e r s e i s r e g a r d e d a s t h e r o o t o f t h e t r e e a n d s m a l l e r q u a d r a n t s c r e a t e d b y s u b d i v i -

    s i o n a r e r e g a r d e d a s o s p r i n g o f l a r g e r o n e s . Q u a d r a n t s i n t e r s e c t i n g @ a r e r e c u r s i v e l y

    q u a r t e r e d u n t i l a p r e s c r i b e d s p a t i a l r e s o l u t i o n o f i s o b t a i n e d . A t t h i s s t a g e , q u a d r a n t s

    t h a t a r e l e a f n o d e s o f t h e t r e e a n d i n t e r s e c t @ a r e f u r t h e r d i v i d e d i n t o s m a l l s e t s

    o f t r i a n g u l a r o r q u a d r i l a t e r a l e l e m e n t s . S e v e r e m e s h g r a d a t i o n i s a v o i d e d b y i m p o s i n g a

    m a x i m a l o n e - l e v e l d i e r e n c e b e t w e e n q u a d r a n t s s h a r i n g a c o m m o n e d g e . T h i s i m p l i e s a

    m a x i m a l t w o - l e v e l d i e r e n c e b e t w e e n q u a d r a n t s s h a r i n g a c o m m o n v e r t e x .

    A s i m p l e e x a m p l e i n v o l v i n g a d o m a i n c o n s i s t i n g o f a r e c t a n g l e a n d a r e g i o n w i t h i n a

    c u r v e d a r c , a s s h o w n i n F i g u r e 8 . 3 . 5 , w i l l i l l u s t r a t e t h e p r o c e s s . I n t h e u p p e r l e f t p o r t i o n

    o f t h e g u r e , t h e s q u a r e u n i v e r s e c o n t a i n i n g t h e p r o b l e m d o m a i n i s q u a r t e r e d c r e a t i n g t h e

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    20/25

    2 0 E l l i p t i c P r o b l e m s

    o n e - l e v e l t r e e s t r u c t u r e s h o w n a t t h e u p p e r r i g h t . T h e q u a d r a n t c o n t a i n i n g t h e c u r v e d

    a r c i s q u a r t e r e d a n d t h e r e s u l t i n g q u a d r a n t t h a t i n t e r s e c t s t h e c i r c u l a r a r c i s q u a r t e r e d

    a g a i n t o c r e a t e t h e t h r e e - l e v e l t r e e s h o w n i n t h e l o w e r r i g h t p o r t i o n o f t h e g u r e . A

    t r i a n g u l a r m e s h g e n e r a t e d f o r t h i s t r e e s t r u c t u r e i s a l s o s h o w n . Q u a d r a n t s a n d a m i x e d

    t r i a n g u l a r - a n d q u a d r i l a t e r a l - e l e m e n t m e s h f o r a m o r e c o m p l e x e x a m p l e a r e s h o w n i n

    F i g u r e 8 . 3 . 6 .

    0 00 00 01 11 11 1

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0011

    00110011 0011 0011

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0 0

    0 0

    0 0

    1 1

    1 1

    1 1

    0 0

    0 0

    0 0

    1 1

    1 1

    1 1 0011

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    0 00 01 11 1 0011 00110 00 01 11 1 0011 0011 0011

    Boundary quadrant

    Interior quadrant

    Exterior quadrant

    Finite element

    F i g u r e 8 . 3 . 5 : F i n i t e q u a d t r e e m e s h g e n e r a t i o n f o r a d o m a i n c o n s i s t i n g o f a r e c t a n g l e a n d

    a q u a r t e r c i r c l e . O n e - l e v e l a n d t h r e e - l e v e l t r e e s t r u c t u r e s a n d t h e i r a s s o c i a t e d m e s h e s o f

    t r i a n g u l a r e l e m e n t s a r e s h o w n a t t h e t o p a n d b o t t o m o f t h e g u r e , r e s p e c t i v e l y .

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    21/25

    8 . 3 . M e s h G e n e r a t i o n 2 1

    F i g u r e 8 . 3 . 6 : Q u a d t r e e s t r u c t u r e a n d m i x e d t r i a n g u l a r - a n d q u a d r i l a t e r a l - e l e m e n t m e s h

    g e n e r a t e d f r o m i t .

    T h e q u a d t r e e p r o c e d u r e m a y b e e x t e n d e d t o t h r e e d i m e n s i o n s w h e r e a n o c t r e e d e -

    c o m p o s i t i o n i s i n v o k e d . E l e m e n t s p r o d u c e d b y t h e q u a d t r e e a n d o c t r e e t e c h n i q u e s m a y

    h a v e p o o r g e o m e t r i c s h a p e s n e a r b o u n d a r i e s . A n a l \ s m o o t h i n g " o f t h e m e s h i m p r o v e s

    e l e m e n t s h a p e s a n d f u r t h e r r e d u c e s m e s h g r a d a t i o n n e a r @ . E l e m e n t v e r t i c e s o n @ a r e

    m o v e d a l o n g t h e b o u n d a r y t o p r o v i d e a b e t t e r a p p r o x i m a t i o n t o i t . P a i r s o f b o u n d a r y

    v e r t i c e s t h a t a r e t o o c l o s e t o e a c h o t h e r m a y b e c o l l a p s e d t o a s i n g l e v e r t e x . I n t e r i o r

    v e r t i c e s a r e s m o o t h e d b y a L a p l a c i a n o p e r a t i o n t h a t p l a c e s e a c h v e r t e x a t t h e \ c e n t r o i d "

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    22/25

    2 2 E l l i p t i c P r o b l e m s

    o f i t s n e i g h b o r i n g v e r t i c e s .

    A r b i t r a r i l y c o m p l e x t w o - a n d t h r e e - d i m e n s i o n a l d o m a i n s m a y b e d i s c r e t i z e d b y t h e

    q u a d t r e e a n d o c t r e e p r o c e s s e s t o p r o d u c e u n s t r u c t u r e d g r i d s . F u r t h e r s o l u t i o n - b a s e d

    m e s h r e n e m e n t m a y b e d o n e b y s u b d i v i d i n g a p p r o p r i a t e t e r m i n a l q u a d r a n t s o r o c t a n t s

    a n d g e n e r a t i n g a n e w m e s h l o c a l l y . T h i s u n i t e s m e s h g e n e r a t i o n a n d a d a p t i v e m e s h

    r e n e m e n t b y a c o m m o n t r e e d a t a s t r u c t u r e T h e u n d e r l y i n g t r e e s t r u c t u r e i s a l s o s u i t a b l e

    f o r l o a d b a l a n c i n g o n a p a r a l l e l c o m p u t e r 4 ] .

    U n s t r u c t u r e d m e s h c o m p u t a t i o n r e q u i r e s a d a t a s t r u c t u r e t o s t o r e t h e g e o m e t r i c

    i n f o r m a t i o n . P e r h a p s , t h e m i n i m a l s t o r a g e r e q u i r e m e n t s i n c l u d e t h e v e r t e x c o o r d i n a t e s

    a n d t h e e l e m e n t c o n n e c t i v i t y . A s a m p l e m e s h c o n t a i n i n g s e v e n t r i a n g u l a r e l e m e n t s w i t h

    e i g h t v e r t i c e s a p p e a r s i n F i g u r e 8 . 3 . 7 . E l e m e n t i n d i c e s a r e s h o w n i n p a r e n t h e s e s . T h e

    e l e m e n t - v e r t e x a n d t h e v e r t e x - c o o r d i n a t e i n f o r m a t i o n f o r t h i s m e s h a r e s h o w n i n T a b l e

    8 . 3 . 1 . I n e s t a b l i s h i n g t h e s e t a b l e s , w e a s s u m e d t h a t t h e e l e m e n t a l d a t a i s t r a v e r s e d i n

    a p a r t i c u l a r o r d e r , i . e . , w e s t o r e d e l e m e n t v e r t i c e s i n a c o u n t e r c l o c k w i s e o r d e r ( T a b l e

    8 . 3 . 1 , l e f t ) b e g i n n i n g w i t h a n a r b i t r a r y i n i t i a l v e r t e x . W e a l s o n e e d t o k n o w t h e e d g e s

    o f e l e m e n t s t h a t a r e o n @ i n o r d e r t o a p p l y b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h i s c a n b e d o n e b y

    c r e a t i n g a n o t h e r t a b l e a n d a d o p t i n g a c o n v e n t i o n . T h u s , s u p p o s e t h a t t h e e d g e b e t w e e n

    t h e r s t a n d s e c o n d v e r t i c e s o f a n e l e m e n t i s l a b e l e d a s E d g e 1 , t h a t b e t w e e n t h e s e c o n d

    a n d t h i r d v e r t i c e s i s E d g e 2 , a n d t h a t b e t w e e n t h e t h i r d a n d r s t v e r t i c e s i s E d g e 3 .

    A b o u n d a r y d a t a t a b l e c o u l d t h e n i n d i c a t e t h o s e e l e m e n t e d g e s t h a t c o i n c i d e w i t h @ .

    S u c h a t a b l e i s s h o w n o n t h e r i g h t o f T a b l e 8 . 3 . 1 f o r t h e m e s h o f F i g u r e 8 . 3 . 7 . T h e r s t

    r o w o f t h e t a b l e i d e n t i e s E d g e 1 o f E l e m e n t 1 a s b e i n g o n a b o u n d a r y o f t h e d o m a i n .

    S i m i l a r l y , t h e s e c o n d r o w i d e n t i e s E d g e 3 o f E l e m e n t 1 a s a b o u n d a r y e d g e , e t c .

    P r o b l e m s

    1 . C o n s i d e r t h e d o m a i n

    f ( x y ) j 0 x L 4 h ( x = L ) 1 ; ( x = L ) ] y H g

    a n d d e v e l o p a m a p p i n g o f t h e f o r m ( 8 . 3 . 1 ) . C o n s t r u c t t h e m a p p i n g s P

    , P

    , P

    P

    ,

    a n d P

    P

    f o r t h e r e g i o n a n d s h o w s e v e r a l l i n e s o f c o n s t a n t a n d c o n s t a n t .

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    23/25

    8 . 3 . M e s h G e n e r a t i o n 2 3

    1 2 3

    4 5 6

    7 8

    (1)

    (2)

    (3)

    (4)

    (5)

    (6)

    (7)

    F i g u r e 8 . 3 . 7 : S a m p l e m e s h i n v o l v i n g s e v e n t r i a n g u l a r e l e m e n t s h a v i n g e i g h t v e r t i c e s .

    E l e m e n t V e r t i c e s

    1 1 2 4

    2 2 5 4

    3 2 3 5

    4 5 3 6

    5 4 5 7

    6 7 5 8

    7 5 6 8

    V e r t e x C o o r d i n a t e s

    1 0 . 0 0 0 . 0 0

    2 1 . 5 0 0 . 0 0

    3 3 . 0 0 0 . 0 0

    4 0 . 0 0 1 . 0 0

    5 1 . 5 0 1 . 0 0

    6 3 . 0 0 1 . 0 0

    7 1 . 0 0 2 . 0 0

    8 2 . 0 0 2 . 0 0

    E l e m e n t E d g e

    1 1

    1 3

    3 1

    4 2

    5 2

    6 3

    7 2

    T a b l e 8 . 3 . 1 : E l e m e n t - v e r t e x d a t a ( l e f t ) , v e r t e x - c o o r d i n a t e d a t a ( c e n t e r ) , a n d b o u n d a r y

    d a t a ( r i g h t ) f o r t h e m e s h o f F i g u r e 7 .

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    24/25

    2 4 E l l i p t i c P r o b l e m s

  • 8/9/2019 Elliptic PDEs

    25/25

    B i b l i o g r a p h y

    1 ] I . B a b u s k a , J . E . F l a h e r t y , W . D . H e n s h a w , J . E . H o p c r o f t , J . E . O l i g e r , a n d T . T e z -

    d u y a r , e d i t o r s . M o d e l i n g , M e s h G e n e r a t i o n , a n d A d a p t i v e N u m e r i c a l M e t h o d s f o r

    P a r t i a l D i e r e n t i a l E q u a t i o n s , v o l u m e 7 5 o f T h e I M A V o l u m e s i n M a t h e m a t i c s a n d

    i t s A p p l i c a t i o n s , N e w Y o r k , 1 9 9 5 . S p r i n g e r - V e r l a g .

    2 ] P . L . B a e h m a n n , S . L . W i t t c h e n , M . S . S h e p h a r d , K . R . G r i c e , a n d M . A . Y e r r y . R o -

    b u s t g e o m e t r i c a l l y b a s e d a u t o m a t i c t w o - d i m e n s i o n a l m e s h g e n e r a t i o n . I n t e r n a t i o n a l

    J o u r n a l o f N u m e r i c a l M e t h o d s i n E n g i n e e r i n g , 2 4 : 1 0 4 3 { 1 0 7 8 , 1 9 9 5 .

    3 ] M . W . B e r n , J . E . F l a h e r t y , a n d M . L u s k i n , e d i t o r s . G r i d G e n e r a t i o n a n d A d a p t i v e

    A l g o r i t h m s , v o l u m e 1 1 3 o f T h e I M A V o l u m e s i n M a t h e m a t i c s a n d i t s A p p l i c a t i o n s ,

    N e w Y o r k , 1 9 9 9 . S p r i n g e r - V e r l a g .

    4 ] J . E . F l a h e r t y , R . M . L o y , C .

    O z t u r a n , M . S . S h e p h a r d , B . K . S z y m a n s k i , J . D . T e r e s c o ,

    a n d L . H . Z i a n t z . P a r a l l e l s t r u c t u r e s a n d d y n a m i c l o a d b a l a n c i n g f o r a d a p t i v e n i t e

    e l e m e n t c o m p u t a t i o n . A p p l i e d N u m e r i c a l M a t h e m a t i c s , 2 6 : 2 4 1 { 2 6 5 , 1 9 9 8 .

    5 ] R . L o h n e r . F i n i t e e l e m e n t m e t h o d s i n C F D : G r i d g e n e r a t i o n , a d a p t i v i t y a n d p a r -

    a l l e l i z a t i o n . I n H . D e c o n i n c k a n d T . B a r t h , e d i t o r s , U n s t r u c t u r e d G r i d M e t h o d s f o r

    A d v e c t i o n D o m i n a t e d F l o w s , N e u i l l y s u r S e i n e , 1 9 9 2 . A G A R D R e p o r t A G A R D - R -

    7 8 7 .

    6 ] A . R . M i t c h e l l a n d D . F . G r i t h s . T h e F i n i t e D i e r e n c e M e t h o d i n P a r t i a l D i e r e n t i a l

    E q u a t i o n s . J o h n W i l e y a n d S o n s , C h i c h e s t e r , 1 9 8 0 .

    7 ] J . C . S t r i k w e r d a . F i n i t e D i e r e n c e S c h e m e s a n d P a r t i a l D i e r e n t i a l E q u a t i o n s . C h a p -

    m a n a n d H a l l , P a c i c G r o v e , 1 9 8 9 .