Elipse y parábola
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CÓNICASElipse y
Parábola PROFESORES: Brandon Mella
Ramón Bustos
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Cónicas Definición Se denomina sección cónica ( o simplemente cónica ) a
todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Dependiendo del ángulo del plano relativo al cono, la intersección es un círculo, una elipse, una hipérbola o una parábola.(Nosotros nos concentraremos en la elipse y parábola)
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Elipse
Es una curva cerrada, la intersección de un cono circular recto, y un plano no paralelo a su base, el eje o algún elemento del cono.
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elipse Definición geométrica: sean , dos
puntos diferentes del plano y mayor que la distancia entre .
La elipse de focos , y eje mayor de longitud , es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancia a es igual a .El punto central entre se llama centro de la elipse. La recta que pasa por contiene 2 puntos de la elipse se llaman vértices de la elipse y
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Elipse
Observacion: se demuestra que la distancia entre y es , por lo que el segmento es el eje mayor de la elipse.
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Ecuacion de una elipse con centro y eje mayor horizontal
Sean Y , los focos de la elipse y sea la longitud del eje mayor, con es decir, .
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Ecuacion de una elipse con centro y eje mayor horizontal
Deducción ecuación:
⇔⇔ , elevamos al cuadrado.
⇔⇔⇔, multiplicamos por y elevamos
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Ecuacion de una elipse con centro y eje mayor horizontal ⇔⇔.⇔(=(), div. Por ()
Observación como ()⇔ luego definimos =(
2 2
2 21, es la ecuacion de elipse con
centro 0,0 y focos de 2 de distancia.
x y
a bc
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Elipse
De forma similar se demuestra la ecuación elipse con centro y eje mayor vertical. además mostramos le caso anterior eje mayor horizontal.
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Ecuacion de una elipse con centro en y el eje mayor horizontal
Ecuacion de una elipse con centro en y el eje mayor vertical
2 2
2 21,
x h y k
a b
2 2
2 21,
x h y k
b a
1 2
1 2
Los vertices y focos son respestivamente.
( , ), ( , )
( , ), ( , ).
v h a k v h a k
F h c k F h c k
1 2
1 2
Los vertices y focos son respestivamente.
( , ), ( , )
( , ), ( , ).
v h k a v h k a
F h k c F h k c
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Ecuación general elipse Observación: la ecuación de cualquier elipse con ejes de simetría paralelos a los ejes coordenados es de la forma general.
Con fijos y 0, A≠B(ambos negativos o positivos). Recíprocamente toda ecuación de esta forma con las condiciones mencionadas representa una elipse con ejes de simetría paralelos a los ejes coordenados o una elipse degenerada((negativa) o un punto(
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Ejemplo: determine todos los elementos
de la elipse.
Solución: 3≠4 y ambos positivos es elipse.
dividimos por 2
Continua próxima diapositiva.
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Ejemplo: determine todos los elementos de la elipse
Como ⇒ por tanto horizontal. luego el centro y eje mayor horizontal.= ⇒ = ,=.Entonces =-== ⇒=Finalmente los focos y vértices son los siguientes.
1 2 1 2
1 2 1 2
2 3 2 3( , ), ( , ) 1 , , 1 ,
3 2 3 2
1 3 1 3( , ), ( , ) 1 , , 1 ,
2 26 6
v h a k v h a k v v
F h c k F h c k F F
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Parábola Una parábola es una curva abierta, producida
por la intersección de un cono circular recto y un plano paralelo a algún elemento del cono.
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PARÁBOLA:Lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado foco y de una recta llamada directriz.
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Concepto previo «distancia de un punto a
una recta»Ya sabemos calcular la distancia entre puntos de la unidad 1, ahora para poder deducir la ecuación de la parábola es necesario saber obtener la «distancia de un punto a una recta»
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Distancia de un Punto a una recta
Sea una recta de ecuación con 0 y sea ) un punto que no pertenece a Si se denota la distancia de a Se demuestra que .
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( , ) ( , )d P F d P lLos puntos de la parábola cumplen:
Ecuación de la parábola con vertice , eje de simetría vertical y Foco de la parabola y
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Deducción ecuación de la parábola con vertice , eje de simetría vertical y Foco de la parábola y
Entoces parábola ⇔ (la condición).⇔= (distancia Punto a recta )⇔ =( eleva cuadrado ambos +)
⇔+= (cancelamos) continuamos próxima diapositiva……
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Deducción ecuación de la parábola con vertice , eje de simetría vertical y Foco de la parábola y
Continuemos.2
2
2
4 / multiplicamos por -1
4
(finalmente lo que buscabamos)4
cy x
cy x
xy
c
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La parábola en otros casos
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Ecuacion de una parábola con vértice en V
1) Vertical.,
Donde es la distancia entre el vértice y el foco o entre el vértice y la directriz.2) Horizontal.
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Ecuación general de una parábola
La ecuación de cualquier parábola con ejes de simetría paralelos a uno de los ejes coordenados es de la forma general.
Con fijos y =0 o bien =0. Recíprocamente, toda ecuación de la forma anterior cono bien =0 representa una parábola en el plano con ejes de simetría paralelos a uno de los ejes coordenados o una parábola degenerada(vacia, una recta o la unión de dos rectas)
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Ejemplos: determine todos los elementos de la
parábola1. .Solución.
Continua próxima diapositiva.
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Ejemplos: determine todos los elementos de la parábola
Continuación solución, cuando la parábola es de la forma . Eje de simetría Vertical . Comparando con lo obtenido. Se obtiene el vértice es como , luego .) , Bisectriz:
5
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Ejemplos: determine todos los elementos de la parábola
2) .Solución:
Continua próxima diapositiva…..
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Ejemplos: determine todos los elementos de la parábola
Notamos que la ecuación es de la forma ;con eje de simetría Horizontal.
, continua prox. Diapositiva.
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Ejemplos: determine todos los elementos de la parábola
85 5 El vertice es ( , ) , y su eje de
12 2
simetria horizontal y se habre hacia la izquierda.
3 3 54 , eje de simetria
5 20 285 3 5 104 5
foco , ,12 20 2 15 2
85 y la directriz es:
1
V h k V
c c y
F F
x
3 217
2 20 30