ELETTROTECNICAIngegneria Industriale

− BIPOLI E TRASFORMATE−

Stefano Pastore

Dipartimento di Ingegneria e Architettura

Corso di Elettrotecnica (043IN)

a.a. 2013-14

• Dipende dalle equazioni costitutive del modello del componente, se è lineare o no, dinamico (con derivata) o algebrico, con parametri costanti o variabili nel tempo

o Lineari

o Non-lineari

Classificazione dei componenti

2

o Resistivi

o Dinamici

o Tempo-invarianti (T-I)

o Tempo-varianti (T-V)

• Le scelte non sono mutuamente esclusive, ma vanno applicate una alla volta a ogni componente

• v(t) = R i(t) (resistenza) bipolo, lineare, resistivo, T-I

• i(t) = I0 (e v(t)/vT − 1) (diodo) bipolo, nonlineare, resistivo, T-I

Classificazione: esempi

3

• v(t) = R(t) i(t) (p.e. interruttore) bipolo, lineare, resistivo, T-V

• i(t) = C dv(t)/dt (condensatore)bipolo lineare (Q = C V), dinamico, T-I

• I circuiti si classificano in base ai componenti

• Una sorgente ideale di tensione mantiene il valore della tensione costante qualunque sia la corrente erogata

Sorgenti ideali di tensione e corrente

4

• Una sorgente ideale di corrente mantiene il valore della corrente costante qualunque sia la tensione

• Le resistenze sono componenti a due terminali che dissipano l’energia elettrica. L’equazione costitutiva è chiamata “legge di Ohm”, dove il coefficiente R è detto resistenza

Legge di Ohm

v(t) = R i(t)

• L’inverso della resistenza è chiamata conduttanza (G = 1/R)

i(t) = G v(t)

5

• Il coefficiente di proporzionalità R è chiamato “resistenza” e si misura in [Ω]. Per un conduttore cilindrico, vale la relazione

Legge di Ohm (2)

S

lR ρ=

• Dove ρ è la resistività del materiale, lla lunghezza e S la sezione

• La conduttanza G si misura in [Ω-1] o in [S]

• La potenza dissipata vale

p = vi = Ri2 = Gv2

6

S

• Abbiamo scritto le equazioni topologiche (IK e IIK) di un circuito:

2 b incognite

b equazioni di Kirchhoff

• Mancano ancora b equazioni per

Metodo del Tableau

• Mancano ancora b equazioni per completare il sistema, ovvero le equazioni costitutive dei componenti

• Il sistema complessivo che si ottiene si chiama Tableau. Se i componenti sono lineari e resistivi, il Tableau è descritto da una matrice

7

• Circuito lineare resistivo T-I

Tableau: esempio

8

• Circuito lineare resistivo T-I

• 3 nodi, 4 rami (4 c, 4 ddp) ⇒ 8 incognite

• 2 IK, 2 IIK, 4 costitutive ⇒ 8 equazioni

=−=−

=−=

=−=−−=++−

=+

00

0

000

0

333

222

111

32

21

321

1

iRviRviRv

Vvvv

vvviii

ii

ss

s

s

• Il sistema lineare in forma matriciale (matrice T) è

Tableau: matrice

=

−−−

−

0

0

0

0

00010000

11000000

01110000

00001110

00000011

3

2

1

s

Vv

i

i

i

i

• Il circuito è ben posto se si ha

detT ≠ 0

9

−−

−

0

0

0

1000000

0100000

0010000

00010000

3

2

1

3

2

1

ss V

v

v

v

v

R

R

R

44444444 344444444 21T

• Se aggiungo un componente nonlineare come il diodo, il sistema tableau diventa nonlineare, non più esprimibile quindi con una matrice

• Se aggiungo un condensatore o un induttore, devo aggiungere alle variabili le derivate delle tensioni o

Sistemi Tableau

10

variabili le derivate delle tensioni o delle correnti, o entrambe, e le relative condizioni iniziali. Il sistema sarà dinamico

• Se aggiungo un interruttore ottengo un sistema T-V

• Ci occuperemo di sistemi lineari, resistivi o dinamici, T-I (LRI, LDI)

• E’ il principio fondamentale dei circuiti lineari

Principio di sovrapposizionedegli effetti (PSE)

Sia N un circuito LRI con un’unica soluzione, alimentato da N sorgenti indipendenti di tensione e M sorgenti indipendenti di corrente.

11

indipendenti di corrente.

Allora ogni potenziale di nodo, tensione o corrente di ramo può essere espressa come combinazione lineare delle sorgenti indipendenti, con coefficienti costanti che dipendono dai parametri omogenei del circuito, ma non dipendono dai valori delle sorgenti stesse.

• Circuito LRI con 2 sorgenti di tensione indipendenti

PSE: esempio 1

12

• Applicando PSE alla tensione v3(t) si ottiene

v3(t) = α1 vs1(t) + α2 vs2(t) =

= v3’( t) + v3” ( t)

• Dove

v3(t) = v3’( t) = α1 vs1(t) se vs2(t) = 0 V

v3(t) = v3”( t) = α2 vs2(t) se vs1(t) = 0 V

• Sorgente di tensione nulla corto circuito

• Sorgente di corrente nulla circuito aperto

PSE: esempio 1 (2)

13

• Quindi (coefficienti αk sono numeri puri)

+=

==

+=

==

312

31

12

32

321

32

21

31

//

//

0)()(

)(

//

//

0)()(

)(

RRR

RR

tvtv

tv

RRR

RR

tvtv

tv

ss

ss

α

α

• Circuito LRI con 1 sorgente di tensione e 1 di corrente indipendenti

PSE: esempio 2

14

• Applicando PSE alla tensione v3(t) si ottiene

v3(t) = α1 vs1(t) + r2 is2(t) =

= v3’( t) + v3” ( t)

• Il coefficiente r2 ha le dimensioni di una resistenza

Rappresentazione implicita

del bipolo:

• Rappresentazione esplicita di Thevenin:

Bipoli LRI

)()()( thtibtva s=+

• Rappresentazione esplicita di Norton:

15

)()()(

)0( )(

)()(

tvtiRtv

aa

thti

a

btv

s

s

+=⇒

≠+−=

)()()(

)0( )(

)()(

titvGti

bb

thtv

b

ati

s

s

+=⇒

≠+−=

• Se esistono entrambi (a ≠ 0, b ≠ 0), sono due rappresentazioni diverse dello stesso bipolo

Modelli di Thevenin e Norton

• Modello di Thevenin: v(t) = Ri(t) + vs(t)

• Modello di Norton: i(t) = Gv(t) − is(t)

16

• Supponiamo che esista la rappresentazione esplicita di Thevenin (vs(t) = Vs > 0, R > 0):

• Max potenza erogabile (potenza disponibile):

Analisi della potenza

[ ] )()()()()()()( 2 tiVtiRtiVtiRtitvtp ss +=+==

R

Vp s

d 4

2−=

17

Rpd 4

=

• Tengono conto delle perdite interne del generatore

1) Di tensione: modello di Thevenin

2) Di corrente: modello di Norton

Generatori reali

• Rendimento:

18

e

u

P

P==erogata pot.

carico sul pot.η

• Chiudendo un gen. tens. Su un carico Ru si ottiene:

• Se Rs << Ru, allora ηV ≈ 1 e il generatore è

Generatori reali (2)

10

2

≤≤+

=+

===

V

us

u

s

u

us

s

s

u

s

uV RR

R

V

R

RR

Vi

V

R

iV

iR

η

η

• Se Rs << Ru, allora ηV ≈ 1 e il generatore è detto di tensione

• Chiudendo un gen. corr. Su un carico Gu si ottiene:

• Se Gs << Gu, allora ηI ≈ 1 e il generatore è detto di corrente

19

10 ≤≤+

=

I

us

uI GG

G

η

η

• Componente lineare dinamico

• Rappresentazione differenziale:

Condensatore

=

=

0)0(d

)(d)(

Vvt

tvCti

20

• Rappresentazione integrale

• Energia immagazzinata (V0 = 0 V)

∫+=t

diC

Vtv0

0 )(1

)( ττ

∫∫ ===)(

0

2

0 2

1dd)()(

tvt

C CvvvCptE ττ

Induttore

• Componente lineare dinamico

• Rappresentazione differenziale:

• Rappresentazione integrale

=

=

0)0(d

)(di)(

Iit

tLtv

21

• Rappresentazione integrale

• Energia immagazzinata (I0 = 0 A)

∫+=t

dvL

Iti0

0 )(1

)( ττ

∫∫ ===)(

0

2

0 2

1dd)()(

tit

L LiiiLptE ττ

• Sono definiti per le funzioni sinusoidali come:

• Il vettore U in campo complesso è

Fasori

( ) ( )

( )C∈=+=

=ℜ=ℜ= +

U

U

j

U

tjtj

eUU

tU

eUeUtu

ϕ

ϕωω

ϕω:dove

cos

)(

• Il vettore U in campo complesso è detto FASORE. (N.B. L’angolo ϕU si misura sempre in rad)

• ω è la frequenza angolare (rad/s)

22

fTf

T

1,2,

2 === πωπω

• Consideriamo l’insieme delle funzioni sinusoidali isofrequenziali (ω)

• Ogni u(t) è identificata da una ampiezza A e da una fase ϕ

• Possiamo allora associare a ogni u(t)

Trasformata di Steinmetz

( )ϕω += tAtu cos)(

• Possiamo allora associare a ogni u(t) un fasore U e viceversa

• Trasformata di Steinmetz:

• NB: sin(x) = cos(x−π/2), cos(x) = sin(x+π/2)

(e −jπ/2 = − j)

23

ℜ=⇒

+==⇒

tj

U

eUtutuU

kAUUtu

ω

πϕϕ

)(:)(

2,:)(

• La funzione sinusoidale u(t) è la proiezione del vettore rotante sull’asse delle ascisse. Il fasore U rappresenta il vettore per t = 0

• (Ricordiamo che: |e jωt| = 1)

Interpretazione geometrica

24

• Comporre linearmente due o più sinusoidi nel tempo equivale a comporre i fasori corrispondenti

u1, u2: sinusoidi isofrequenziali (U1 e U2)

λ1, λ2 ∈ R

Proprietà di linearità

2211 )()()( tututu λλ =+=

• Abbiamo trovato il fasore U di u(t) come combinazione lineare dei singoli fasori

25

( )

2211

2211

2211

2211

:dove UUU

eU

eUU

eUeU

tj

tj

tjtj

λλ

λλλλ

ω

ω

ωω

+=ℜ=

=+ℜ

=ℜ+ℜ=

• Derivare una sinusoide equivale a moltiplicare il fasore corrispondente per jω

• u: funzione sinusoidale (U)

Proprietà della derivata

tut

ty == )(d

d)(

• Abbiamo trovato il fasore Y di y(t) moltiplicando il fasore U per jω

26

( )

UjY

eYeUj

et

UeUt

t

tjtj

tjtj

ωω ωω

ωω

=ℜ=ℜ

=

ℜ=ℜ=

:dove

d

d

d

dd

• Per l’integrazione si procede analogamente, dividendo U per jω:

N.B. moltiplicare per j equivale a ruotare un vettore di +π/2, mentre dividere per

Proprietà dell’integrale

ωjU

Y =

un vettore di +π/2, mentre dividere per j equivale a ruotare il vettore di –π/2, mantenendo in entrambi i casi il modulo costante.

(j = e jπ/2, 1/j = −j = e −jπ/2)

• Applicheremo le trasformate ai circuiti LRI e LDI

27

• Le trasformate sono strumenti che permettono una analisi matematica semplificata di un problema

Utilità delle trasformate

u(t) = u1(t) + u2(t)

U = U1 + U2

• Dove u(t) = ℜ Uejωt

28

• Un circuito LRI (sorgenti sinusoidali isofrequenziali ) può essere descritto con il tableau

• Per PSE tutte le variabili del circuito sono sinusoidali.

Circuiti resistivi e fasori

=+==

)()()(

0)(

0)(

s ttt

t

t

hNiMv

Bv

Ai

• Per PSE tutte le variabili del circuito sono sinusoidali. Applicando Steinmetz, per la proprietà della linearità, si ottiene

• Si risolve il sistema nelle variabili complesse (fasori) e poi si anti-trasformano i risultati.

29

=+==

sHINVM

VB

IA

0

0

• Un circuito LDI (sorgenti sinusoidali isofrequenziali) può essere descritto con il tableau aggiungendo le derivate delle tensioni sui condensatori e delle correnti nelle induttanze. Supponiamo che le sorgenti siano sinusoidali isofrequenziali

Circuiti dinamici e fasori

=t 0)(Ai

• Per PSE e per la proprietà della derivata dei fasori, tutte le variabili a regime del circuito saranno sinusoidali

30

=

=

=+=

t

tiLtv

t

tvCti

ttt

t

qqq

ppp

d

)(d)(

d

)(d)(

)()()(

0)(

shNiMv

Bv

• Applicando la trasformata di Steinmetzalle variabili sinusoidali (i(t), v(t)) del circuito si ottiene

==+

==

s

VCjI ωHINVM

VB

IA

0

0

Circuiti dinamici e fasori (2)

• Il sistema lineare va risolto nei fasori (I, V) delle variabili del circuito. Si può procedere infine alla operazione di anti-trasformazione per trovare le funzioni sinusoidali nel dominio del tempo

31

==

qq

pp

ILjV

VCjI

ωω

• Le impedenze (ammettenze) sono definite come estensione del concetto di resistenza (conduttanza), ovvero come rapporto dei fasori della tensione e della corrente di un bipolo e viceversa

Impedenze e ammettenze

ϕjezjXRV

z =+==

• z: impedenza R: resistenza

X: reattanza

• y: ammettenza G: conduttanza

B: suscettanza

32

ϕϕ

ϕ

jj

j

ez

eyjBGzV

Iy

ezjXRI

Vz

y −==+===

=+==

11

• Con i fasori, applicando le proprietà viste precedentemente, si ha

=

=

ICj

V

VCjI

ω

ω1

=

=

VLj

I

ILjV

ω

ω1

Elementi dinamici e trasformate

33

Cjω

Ljω

LjyLjz

CjyCj

z

LL

CC

ωω

ωω

1,

,1

==

==

• Nel dominio dei fasori, la relazione tra l’impedenza e l’ammettenza è

−=

=⇒=

11

zy

yz

ϕϕ

Impedenza e ammettenzacon i fasori

34

+−=+

=⇒=

−=

22

221

XR

XB

XR

RG

zy

yy ϕϕ

• Bipolo resistivo: ϕ = 0 (z = R)

• Bipolo capacitivo: ϕ = −π/2 (z = 1/jωC)

• Bipolo induttivo: ϕ = +π/2 (z = jωL)

• Bipolo resistivo-capacitivo: −π/2 < ϕ < 0

• Bipolo resistivo-induttivo: 0 < ϕ < π/2

(Nel semipiano sinistro il bipolo eroga potenza)

Fase dell’impedenza

35

• Due bipoli sono connessi in serie quando sono percorsi dalla stessa corrente (le loro tensioni si sommano)

• v = v1 + v2, i = i1 = i2• v1 = R1 i1, v2 = R2 i2,

• v = R1 i + R2 i = (R1 + R2) i = Rs i

Rs = R1 + R2

• L’espressione sopra si estende a un numero n

Serie di bipoli

• L’espressione sopra si estende a un numero ndi resistori (resistenze)

• Nel caso di due soli componenti

• 1/Gs = 1/G1 + 1/G2 = (G1 + G2)/G1G2

• NB: R --- cc R, R --- caca

• NB: R --- R ---… --- R nR

36

21

21

GG

GGGs +

=

Parallelo di bipoli

• Due bipoli sono connessi in parallelo quando sono sottoposti alla stessa tensione (le loro correnti si sommano)

• i = i1 + i2, v = v1 = v2

• i1 = G1 v1, i2 = G2 v2,

• i = G1 v + G2 v = (G1 + G2) v = Gp i

Gp = G1 + G2

• L’espressione sopra si estende a un numero n

37

• L’espressione sopra si estende a un numero ndi resistori (conduttanze)

• Nel caso di due soli componenti

• 1/Rp = 1/R1 + 1/R2 = (R1 + R2)/R1R2

• NB: la Rp sarà sempre più piccola delle resistenze R1 e R2

• NB: R//cc cc, R//ca R

• NB: R//R//…//R R/n

21

21

RR

RRRp +

=

Si può applicare

quando ho due o più

(N) bipoli in serie

Partitori di tensione

38

vRRR

Rv

vRR

Rvv

RR

Rv

iRRviRviRv

iiivvv

N

kk +++

=

+=

+=

+=====+=

K21

21

22

21

11

212211

2121

,

)(,,

,

• Se ho solo 2 bipoli in serie, posso usare le ammettenze

vG

v

vGG

Gv

GG

Gv

1

21

2

21

11 /1/1

/1

=

+=

+=

Partitori di tensione (2)

• N.B. i componenti devono essere percorsi dalla stessa corrente perché la regola del partitore sia applicabile

39

vGG

Gv

21

12 +

=

Si può applicare

quando ho due o più (N) bipoli in parallelo

Partitori di corrente

40

iGGG

Gi

iGG

Gii

GG

Gi

vGGivGivGi

vvviii

N

kk +++

=

+=

+=

+=====+=

K21

21

22

21

11

212211

2121

,

)(,,

,

• Con due bipoli in parallelo, posso usare le resistenze

Partitori di corrente (2)

iR

i

iRR

Ri

RR

Ri

1

21

2

21

11 /1/1

/1

=

+=

+=

• N.B. Scorre più corrente nel ramo con resistenza minore (vedi sistemi di terra)

41

iRR

Ri

21

12 +

=

• Consideriamo la serie di una resistenza e di un condensatore (R, C > 0)

Bipoli dinamici notevoli

CjR

CjRz

ωω11 −=+=

42

• Consideriamo il parallelo di una resistenza e di un condensatore (R, C > 0)

Bipoli dinamici notevoli (2)

43

222

2

222 11

11

1

RC

CRj

RC

R

CRj

R

CjR

CjR

z

ωω

ω

ωω

ω

+−+

+=

=+

=+

=

• Consideriamo la serie di una resistenza e di un induttore (R, L > 0)

Bipoli dinamici notevoli (3)

LjRz ω+=

44

• Consideriamo il parallelo di una resistenza e di un induttore (R, L > 0)

Bipoli dinamici notevoli (4)

45

222

2

222

22

LR

LRj

LR

LRLjR

LjRz

ωω

ωω

ωω

++

+=

=+

=

• Consideriamo la serie di una resistenza, di un induttore e di un condensatore (R, L, C > 0)

Circuiti risonanti reali serie

11

• La reattanza si annulla in ω0, frequenza di risonanza

46

−+=++=C

LjRCj

LjRzω

ωω

ω 11

cap)-res ento(comportam per 0

ind)-res ento(comportam per 0

10

1

0

0

0

ωωωω

ωω

ω

<<>>

=⇒=−=

s

s

s

X

XLCC

LX

• In ω0 abbiamo il minimo dell’impedenza (z = R), il cui modulo tende all’infinito per ω 0 e per ω ∞

• Se alimentiamo il circuito risonante con una sorgente di tensione sinusoidale costante in ampiezza, otteniamo il massimo della corrente alla frequenza di risonanza

• È il più semplice filtro passa-banda

Circuiti risonanti serie reali (2)

47

• Rappresentazione grafica dei fasori relativi a un circuito risonante serie reale, dove la corrente è:

i(t) = |I| cos(ωt + ϕi) A

Circuiti risonanti serie reali (3)

• Conta lo sfasamento relativo tra tensione e corrente (angolo ϕ), non il valore assoluto della fase che dipende dall’origine (arbitraria) dell’asse temporale

48

• Alimentiamo il bipolo con una sorgente di tensione sinusoidale con fasore Vs e calcoliamo la ddp sulla resistenza in rapporto alla tensione di alimentazione

Circuiti risonanti serie reali (4)

LCLj

CL

R

jCj

LjR

R

V

V

S

R

11

1

11

11

ω

ωωω

ω

=

−+

=

=

−+=

++=

• ω0: frequenza di risonanza

• Q: fattore di qualità

49

CRR

L

CR

LQ

LC

jH

jQ

LCLC

CR

Lj

0

00

0

0

1,

1:con

)(

1

1

11

ωωω

ω

ωω

ωω

ωω

====

=

−+

=

−+

• Disegniamo i diagrammi del modulo e della fase

Circuiti risonanti serie reali (5)

50

• Sono equivalenti a quelli serie. Invece della impedenza, calcoleremo l’ammettenza (si scambiano tra loro tensioni e correnti)

Circuiti risonanti parallelo reali

51