Elettrotecnica B - SUISS - Esercitazione...

Elettrotecnica B - SUISSEsercitazione 2

Serena Panati

Politecnico di Torino - INFN Torino

25-26 Gennaio 2016

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Lista dei contenutiRichiami dalla teoria

CondensatoriCondensatori in serieCondensatori in parallelo

Circuiti in regime sinusoidaleTipi di ondeDescrizione di un’onda sinusoidaleSfasamentoValore medio e valore efficaceOnda sinusoidale: descrizione alternativa

Richiami sui numeri complessiFasori

Circuiti in regime transitorioCircuito RC: carica del condensatoreBilancio energeticoCircuito RC: scarica del condensatore

Elementi passivi in regime sinusoidaleSfasamento di R vs CImpedenza complessaImpedenze complesseConfronto regimi DC e regime AC

Studio di circuiti in regime sinusoidale2 / 72

Richiami dalla teoria

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Il condensatore

I E un elemento passivo;I E costituito da due conduttori

separati da un isolante.I E caratterizzato dal valore di

capacita elettrica.I E un dispositivo che consente di

immagazzinare la carica elettrica el’energia elettrostatica.

Come la resistenza elettrica, la capacita elettrica dipende dalle caratteristichegeometriche del condensatore. In particolare nel caso di armature piane eparallele la capacita elettrica C dipende dall’area delle armature, dalla distanzaalla quale si trovano e dal dielettrico posto tra di esse:

C = εSd

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Il condensatore

Supponiamo di applicare una differenzadi potenziale V0 tra le armature di uncondensatore.Allora su ciascuna delle armature, siaccumulera la carica +Q e –Q(Principio di conservazione dellacarica).Infatti, una volta chiuso lo switch, glielettroni dell’armatura A si muovonoverso il morsetto positivo del generatore.Questo implica che su A ci sara un”accumulo” di carica positiva.

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Carica e capacita

D’altra parte, gli elettroni si sposteranno dal polo negativo del generatore versol’armatura B, caricandola negativamente.Dopo un certo intervallo di tempo, il processo di carica si ferma: nessuna caricafluisce nel circuito (I0 → 0) e la differenza di potenziale ai capi del condensatorerisulta:

Q = C · V0

La costante di proporzionalita C e la capacita elettrica e si misura in farad (F):

1F = 1C1V

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Condensatori in serieQuando due condensatori sono in serie, questo vuol dire che la differenza dipotenziale agli estremi (complessiva) e uguale alla somma delle d.d.p. parziali.

Sui condensatori C1, C2 e C3 siaccumulano rispettivamente le caricheQ1, Q2 e Q3.Applicando la legge di Kirchhoff per letensioni si ha:

V0 = Q1C1

+ Q2C2

+ Q3C3

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Condensatori in serie

Per il principio di conservazione della carica, su ciascuna armatura dei trecondensatori si accumulera la stessa carica |Q|.

V0 = Q1C1

+ Q2C2

+ Q3C3

= Q(

1C1

+ 1C2

+ 1C3

)= Q

Ceq

1Ceq

= 1C1

+ 1C2

+ 1C3

Generalizzando al caso di N condensatori in serie:

1Ceq

=N∑

i=1

1Ci

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Condensatori in parallelo

Due condensatori sono collegati in parallelo quando la differenza di potenziale ailoro estremi e la stessa. Cosa possiamo dire sulla carica?

Sui condensatori C1, C2 e C3 siaccumulano rispettivamente le caricheQ1, Q2 e Q3.Per cui si ha

V0 = Q1C1

= Q2C2

= Q3C3

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Condensatori in paralleloSe sommiamo la carica accumulata su ciascun condensatore si ha:

Qeq = Q1 + Q2 + Q3 = V0 · (C1 + C2 + C3)

Il circuito con i condensatori in parallelo e schematizzabile come un circuito conun condensatore equivalente.Infatti, se si considera la carica totale Qeq si ha:

Qeq = V0 · Ceq

Generalizzando al caso di N condensatori in parallelo:

Ceq =N∑

i=1Ci

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Circuiti in regime sinusoidale

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Circuiti in regime sinusoidaleNel 1888 Nikola Tesla introdusse l’usodella corrente alternata (AC),indispensabile per l’impiego deitrasformatori, al fine di trasmetterel’energia elettrica a grandi distanze econ perdite trascurabili sulle linee ditrasmissione.

Un trasformatore serve per abbassare e innalzare il valore di tensione in modoefficiente, e con poche perdite, mantenendo costante la potenza erogata.Un trasformatore reale richiede grandezze variabili nel tempo per generare unaf.e.m indotta.

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Circuiti in regime sinusoidale

Un regime in cui i valori di tensione o di corrente variano nel tempo e dettoregime di corrente alternata.

La funzione f (t) cambia nel tempo e puo essere sia positiva che negativa.

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Segnali variabili nel tempo - Onda quadra

Onda quadra

A(t) =4π

∞∑n=1

sin(2n − 1)t(2n − 1)

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Segnali variabili nel tempo - Onda triangolare

Onda triangolare4 VM

T (t − kT )− VM kT ≤ t < T2 + kT

−4 VMT (t − T

2 − kT )− VMT2 + kT ≤ t < T − kT

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Segnali variabili nel tempo - Onda sinusoidale

A(t) = Apsin (2πft + φ) = Apsin (ωt + φ) = Apsin(

2πT + φ

)dove:

I A = Ampiezza dell’ondaI f = FrequenzaI ω = PulsazioneI T = PeriodoI φ = Fase

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Descrizione di un’onda sinusoidaleA = Ampiezza dell’onda

I E il valore che l’onda assume al suo massimo ed e altrimenti indicata con Ap.I Le sue unita di misura sono le stesse della grandezza che stiamo descrivendo

(V, A, W, etc...).I Ampiezza picco-picco App e pari al doppio dell’ampiezza di picco Ap:

App = 2Ap

.I Talvolta e utile descrivere l’ampiezza dell’onda in termini di ampiezza

efficace o ampiezza rms:

Aeff = Arms = Ap√2

I Quando vogliamo confrontare l’ampiezza di due onde, e quindi la loropotenza, usiamo il Decibel (dB):

dB = 10log(

P1P2

)= 10log

(A2

1A2

2

)= 20log

(A1A2

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Descrizione di un’onda sinusoidale

F = FrequenzaI La frequenza di un’onda e uguale al numero di cicli che l’onda compie

nell’unita di tempo di 1s.I La sua unita di misura e l’Hertz:

1Hz = 1s

ω = PulsazioneI E ottenuta a partire dalla frequenza:

ω = 2πf

I La sua misura e il radiante al secondo, rad/s.

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Descrizione di un’onda sinusoidaleT = Periodo

I E l’intervallo di ripetizione dell’onda, ovvero e la distanza tra due massimi odue minimi consecutivi.

I E il tempo impiegato dall’onda per compiere un intero ciclo.I Valgono le relazioni:

T = 1f

T = 2πω

I La sua unita di misura e il secondo s.

φ = FaseI Ci dice il valore della grandezza A(t) al tempo t = 0:

A(t = 0) = Asin(φ)

I Il suo valore si esprime in radianti: rad

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Sfasamento

Questi due segnali oscillano alla stessa frequenza f ma hanno una differenza difase ∆φ = 0.78rad .

I onda violetta:

A(t) = sin(2πft)

I onda azzurra:

A(t) = sin(2πft + 0.78)

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Riassunto dei parametri descrittivi

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Valore medio e valore efficace

I In un periodo T il valore medio di una funzione periodica, ed in particolareper un’onda sinusoidale, e nullo:

A = 1T

∫ T

0Apsin(2πft + φ)dt = 0

I Il valore efficace di una funzione sinusoidale e definito come:

A2rms = 1

T

∫ T

0A2

psin2(2πft + φ)dt = Ap2

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A cosa serve il valore efficace?

Supponiamo di avere un generatore di tensione sinusoidale. La potenza dissipatasulla resistenza sara anche’essa di tipo sinusoidale perche vale sempre la formulaP = I2R.

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A cosa serve il valore efficace?

La potenza dissipata sulla resistenza edunque:

P = I2R = I2p R sin2(2πft)

La potenza media dissipata in un ciclo eI2p R/2 ed e uguale alla potenza che si

dissiperebbe sulla resistenza se scorresseuna corrente DC pari a IDC = IrmsPertanto la potenza media dissipata inun intero ciclo risulta:

P = 12 I2

p R

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Onda sinusoidale - Descrizione Alternativa

Abbiamo descritto un’onda sinusoidale come:

A(t) = Apsin(2πft + φ)

Consideriamo a questo punto la circonferenza generata dal vettore di ampiezzaAp che ruota in senso antiorario con velocita angolare (= pulsazione) ω:

Ax (t) = Apcos(ωt)

Ay (t) = Apsin(ωt)

θ = ωt

ω = dθdt

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Onda sinusoidale - Descrizione Alternativa

∆φ = φ2 − φ1

Ax (t) = Apcos(ωt + φ)

Ay (t) = Apsin(ωt + φ)

Quando il vettore A ha compiuto un girodi 360 gradi (2π rad), si dice che l’ondaha compiuto un ciclo.I due vettori di ampiezza A1 e A2 hannola stessa velocita angolare ω ma sonosfasati l’uno rispetto all’altro di ∆φ.A questo sfasamento corrisponde unintervallo di tempo t0:

∆φ = 2πt0T

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Rappresentazione grafica

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Richiami sui numeri complessi

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Un numero complesso z si rappresenta come la somma di una parte reale e unaparte immaginaria:

z = a + jb = Re(z) + Im(z)

I a e b sono numeri reali;I j e l’unita immaginaria: j =

√−1 e j · j = −1

E possibile rappresentare un numero complesso come un punto nel pianocomplesso in cui in ascissa riportiamo Re(z) mentre in ordinata riportiamo Im(z).

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Esattamente come abbiamo visto perun’onda sinusoidale, il numerocomplesso z si puo rappresentaremediante il suo modulo e la sua fase:

z = |z |(cos θ + j sin θ)

|z | e il modulo di z ed e definito come:

|z | =√

a2 + b2

θ e l’angolo che il punto z forma con l’asse Re(z):

θ = tan−1∣∣∣∣ba∣∣∣∣

Inoltre vale la relazione √cos2 θ + sin2 θ = 1

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Poiche e possibile riscrivere :

cos θ + j sin θ = ejθ

allora possiamo descrivere z in forma piu compatta utilizzando la notazioneesponenziale:

z = |z |(cos θ + j sin θ) = |z |ejθ

Se abbiamo un numero complesso z = a + jb, possiamo definire anche il suocomplesso coniugato z∗ = a − jb. Moltiplicando un numero complesso z per ilsuo complesso coniugato z∗ si ottiene:

z · z∗ = (a + jb)(a − jb) = a2 − j2 · b2 = a2 + b2 = |z |2

z · z∗ = |z |2ejθe−jθ = |z |2ej(θ−θ) = |z |2

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Richiami sui numeri complessiLegame tra numeri complessi e grandezze sinusoidali

Ax (t) = Apcos(ωt)

Ay (t) = Apsin(ωt)

Re(θ) = |z | cos(θ)

Im(θ) = |z | sin(θ)

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Fasori

I vettori nel piano complesso che rappresentano sinusoidi sono detti fasori.Essi possono essere descritti come:

S = Sp · ejωt · ejφ

Se disegniamo il vettore S nel pianocomplesso, allora questo e un vettoreche ha:

I Lunghezza Sp;I Angolo di fase (con l’asse reale) φ;I Velocita angolare (= pulsazione) ω.

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Fasori

La corrispondenza tra sinusoidi e fasori e data da:

S(t) = Sp cos(ωt + φ)↔ S = Sp · ejωt · ejφ

ATTENZIONE!!!Per descrivere l’onda prenderemo sempre la parte reale del fasore:

S(t) = Sp cos(ωt + φ) = Re [Sp [cos(ωt + φ) + j sin(ωt + φ)]]

Un modo alternativo di rappresentare il legame tra sinusoidi e fasori e quello diutilizzare il valore efficace (rms) dell’onda:

S2rms =

S2p

2 → Srms = Sp√2

S(t) = Sp cos(ωt + φ) =√

2Srms cos(ωt + φ)

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Circuiti in regime transitorio

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Circuito RC: evoluzione temporaleCarica del condensatore

Supponiamo che il condensatore C siascarico: Q(t = 0) = 0.Ad un istante t > 0 spostiamol’interruttore dal punto B al punto A.Sappiamo che, dopo un intervallo ditempo caratteristico τ0 il circuitoraggiungera lo stato di equilibrio in cui ilcondensatore risultera carico.

a) Come si carica la capacita C?

b) Quanto vale la costante di tempo ?

c) Come varia la corrente nel circuito?

d) Come varia la tensione ai capi di C?

e) Come varia la tensione ai capi di R?

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Circuito RC - Carica del condensatore

a) Come si carica la capacita C?Equazione della maglia:

V0 = i(t) · R +Q(t)

C

dove

i(t) =dQ(t)

dt=

1RC

(V0C − Q(t))

Integro entrambi i membri dell’equazione∫ Q(t)

0

dQ(t)(V0C − Q(t))

=∫ t

0−

dtRC→ ln

∣∣∣V0C − Q(t)V0C

∣∣∣ = −t − 0RC

Che posso riscrivere come:

Q(t) = V0C∣∣1− e−

tRC∣∣

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b) Quanto vale la costante di tempo?

La costante di tempo dipende solo dai valori di R e C. Valutiamola in due casidifferenti:

Circuito 1

t0,1 = R1 · C1 = 2ns

Circuito 2

t0,2 = R2 · C2 = 10ns

Quale capacita si carichera per prima tra C1 e C2?

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Se costruissimo i nostri due circuiti sulla breadboard, quello che osserveremmo emostrato in figura:

Poiche il circuito 2 ha una costante di tempo maggiore di quella del circuito 1, enecessario un intervallo di tempo maggiore perche si porti all’equilibrio.

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Circuito 1

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Circuito 2

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Circuito RC - Carica del condensatorePartendo nuovamente dalla:

Q(t) = V0C(

1− e− tRC

)c) Come varia la corrente nel circuito?

Poiche

i(t) = dQ(t)dt → i(t) = V0

R e− tRC


VC = Q(t)C = V0

(1− e− t

RC

)e) Come varia la tensione ai capi di R?

VR = i(t) · R = V0e− tRC

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Circuito RC - Carica del condensatoreCosa vediamo sull’oscilloscopio?

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Bilancio energetico

La potenza erogata dal generatore e in parte dissipata dalla resistenza (effettoJoule) e in parte accumulata nel condensatore. Il bilancio energetico sara allora:

Egen =∫ ∞

0V0 · i(t)dt =

∫ ∞0

V0 ·V0R e

−tRC dt = V 2

0R RC = V 2

0 · C

ER =∫ ∞

0R · i2(t)dt =

∫ ∞0

R · V 20

R2 e−2tRC dt = 1

2V 2

0R RC = 1

2 V 20 · C

EC =∫ ∞

0Q(t)VC dt =

∫ ∞0

V0C(

1− −tRC

)V0

(1− −t

RC

)dt =

∫ ∞0

V 20 C(

1− −tRC

)2dt = 1

2 V 20 · C

Esattamente meta della energia erogata dal generatore viene accumulata sulcondensatore!

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Bilancio energetico

Circuito 1

Egen = (1V )2 · 1pF = 10−12J = 1pJ

ER = 0.5 · (1V )2 · 1pF = 0.5pJ

EC = 0.5 · (1V )2 · 1pF = 0.5pJ

Circuito 2

Egen = (1V )2 · 2pF = 10−12J = 2pJ

ER = 0.5 · (1V )2 · 2pF = 1pJ

EC = 0.5 · (1V )2 · 1pF = 0.5pJ

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Circuito RC: evoluzione temporaleScarica del condensatore

Supponiamo che il condensatore C siacarico: Q(t0) = Q0.Ad un istante t > t0 spostiamol’interruttore dal punto B al punto A.Sappiamo che, dopo un intervallo ditempo caratteristico τ0, il circuitoraggiungera lo stato di equilibrio in cui ilcondensatore risultera carico.

a) Come si scarica la capacita C?

b) Quanto vale la costante di tempo?

c) Come varia la corrente nel circuito?


e) Come varia la tensione ai capi di R?

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Circuito RC: evoluzione temporaleScarica del condensatore

a) Come si scarica la capacita C? Equazione della maglia:

0 = IR + Q(t)C

Poiche

I = dQ(t)dt → 0 = dQ(t)

dt R + Q(t)C

Integriamo ambo i membri:

∫ Q(t)

V0C

dQ′(t)Q′(t) =

∫ t

t0

−dtτ0

Q(t) = Q0e−t−t0

τ0

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Circuito RC - Scarica del condensatoreEquazione di partenza:

0 = dQ(t)dt R + Q(t)

CLa tensione ai capi di C variera con la legge:

VC = Q(t)C = V0Ce−

t−t0τ0

b) Quanto vale la costante di tempo?Le costanti di tempo τ0,1 e τ0,2 rimangono inalterate.La corrente i(t) variera con la legge:

i(t) = dQ(t)dt = −Q0

τ0e−

t−t0τ0 = −V0C

RC e−t−t0

τ0 = −V0R e−

t−t0τ0

La tensione ai capi di R variera con la legge:

VR = i(t)R = −V0e−t−t0

τ0

Durante la scarica del condensatore, l’energia che era stata accumulata in fase dicarica viene rilasciata per far scorrere corrente ed e dissipata sulla resistenza.

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Circuito RC - Scarica del condensatoreCosa vedo sull’oscilloscopio?

Potenziale ai capi di CCarica:

VC = Q(t)C = V0

(1− e

−tRC

)Scarica:

VC = Q(t)C = V0Ce−

t−t0τ0

Potenziale ai capi di RCarica:

VR = i(t)R = V0e−tRC

Scarica:

VR = i(t)R = −V0e−t−t0

τ0

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Circuito RC - Scarica del condensatorePerche RC e un tempo?

C(farad) = Q(coulomb)V (volt)

I(ampere) = Q(coulomb)t(s) → Q(coulomb) = I(ampere) · t(s)

V (volt) = R(ohm) · I(ampere)→ R(ohm) = V (volt)I(ampere)

Quindi:

C(farad) = I(ampere) · t(s)V (volt) = I(ampere)

V (volt) · t(s) = t(s)R(ohm)

Per cui:

R(ohm) · C(farad) = t(s)

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Circuito RC - Carica e scarica del condensatore conun’onda di periodo TCircuito 1: T/2 = 20ns >> R1C1 = 2ns

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Circuito RC - Carica e scarica del condensatore conun’onda di periodo TCircuito 1: T/2 = 20ns = R1C1 = 2ns

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Circuito RC - Carica e scarica del condensatore conun’onda di periodo TCircuito 1: T/2 = 0.250ns << R1C1 = 2ns

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Circuito RC - Carica e scarica del condensatore conun’onda di periodo TCircuito 1: T/2 = 40ns >> R1C1 = 10ns

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Circuito RC - Carica e scarica del condensatore conun’onda di periodo TCircuito 1: T/2 = 20ns = R1C1 = 10n

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Elementi passivi in regime sinusoidale

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Sfasamento di R vs C

Equazione del circuito:

v(t) = i(t)R → i(t) = VpR sin(ωt)

In un resistore la d.d.p. e la correntesono in fase.


v(t) = q(t)C

i(t) = dq(t)dt = C dv(t)

dt = ωCVp cos(ωt)

In un condensatore la d.d.p. e lacorrente sono in sfasate di π/2.

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Regime AC - Resistore

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Regime AC - Condensatore

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Regime AC - Condensatore

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Impedenza complessaI L’impedenza viene solitamente indicata con Z;

VI = Z = R + jX

I e possibile darne una notazione polare:

Z = |Z |ejθ

e l’angolo θ e pari a:θ = arctan X

RI l’impedenza e una grandezza vettoriale che indica la forza di opposizione di

un circuito al passaggio di una corrente elettrica alternata o, piu in generale,di una corrente variabile.

I l’inverso dell’impedenza e detto ammettenza e viene indicata con Y(Y = Z−1) (ohm−1);

I il modulo si misura in ohm e la fase in gradi (o radianti);I tiene conto dei fenomeni di consumo di energia elettrica e dei fenomeni di

accumulo di energia elettromagnetica.61 / 72

Impedenza complessa

I la parte immaginaria dell’impedenza, detta reattanza, X , anch’essa espressain ohm, e associata ai fenomeni energetici di accumulo. La reattanza ecausata dalla presenza di induttori e/o condensatori nel circuito; essaproduce una differenza di fase tra la corrente e la tensione del circuito.

X = XC + XL

I XC e detta reattanza capacitiva ed e pari a XC = −1ωC ;

I XL e detta reattanza induttiva ed e pari a XL = ωL;I in regime di corrente continua l’impedenza rappresenta infatti la

resistenza elettrica (legge di Ohm, V = RI);

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Impedenza complessa

La tensione e la corrente ai capi degli elementi passivi hanno una differenza di fase∆φ. Per tenere conto di questo si suole definire la legge di Ohm generalizzata:

V = ZI

Per ricavare l’impedenza di ciascun componente possiamo utilizzare i fasori.Come sappiamo:

v(t) = Re[Vpej(ωt+φ)

]

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Impedenze complesse

V (t) = VP sin(ωt + φ)

ResistoreIn un resistore la d.d.p. e la correntesono in fase

Z = R

CondensatoreIn un condensatore la d.d.p e la correntesono sfasate di π/2

Z = Vpejωt

VPCωej(ωt+π/2) = 1Cωejπ/2 = 1

jCω

L’impedenza del condensatorediminuisce all’aumentare della frequenzae viceversa.

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Significato di Z - Rappresentazione

Come abbiamo visto fino a qui, icomponenti di un circuito possonoessere caratterizzati da un’impedenzacomplessa Z che nel piano complessopuo essere scritta come:

Z = R + jX = |Z |ejφ

I R tiene conto del consumo di potenzaI X tiene conto dello sfasamento tra v(t) ed i(t).

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Reattanza


R = VpVpR

In un resistore il rapporto tra la tensionee la corrente di picco e costante rispettoalla frequenza ed e uguale a R.


v(t) = Vp sin(ωt)

i(t) = ωCVp cos(ωt)

In un condensatore il rapporto tra latensione e la corrente di picco e definitoreattanza.

XC = VpωCVp

= 1ωC

La reattanza dunque dipende dallafrequenza ω.

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ReattanzaEquazione del circuito:

v(t) = q(t)C

i(t) = dq(t)dt = C dv(t)

dt

i(t) = ωCVp cos(ωt)

P = v(t) · i(t) = ωCV 2p sin(ωt) cos(ωt)

Nota bene: la potenza media e nulla

P = 1T

∫ T

0ωCV 2

p sin(ωt) cos(ωt)dt = 0

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Confronto regime DC e regime AC

REGIME DCI Legge ai nodi - KCL

n∑i=1

Ii = 0

I Legge ai nodi - KVLn∑

i=1Vi = 0

REGIME ACI Legge ai nodi - KCL

n∑i=1

Ii ej(ωt+φi ) =n∑

i=1Ii ejφi = 0

I Legge ai nodi - KVLn∑

i=1Vi ej(ωt+φi ) =

n∑i=1

Vi ejφi = 0

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Confronto regime DC e regime ACREGIME DC

I Componenti in serie

Req,S =n∑

i=1Ri

C−1eq,S =

n∑i=1

C−1i

I Componenti in parallelo

R−1eq,P =

n∑i=1

R−1i

Ceq,P =n∑

i=1Ci

REGIME ACI Componenti in serie

Zeq,S =n∑

i=1Zi

I Componenti in parallelo

Z−1eq,P =

n∑i=1

Z−1i

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Studio di circuiti in regime sinusoidale

In regime AC vale sempre il teorema di Thevenin ma:I La tensione e le correnti equivalenti dipendono dal tempo;I La resistenza equivalente e sostituita dalla impedenza equivalente.

Come si studiano i circuiti in regime sinusoidale?

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Studio di circuiti in regime sinusoidaleVin(ω) =

Vin cos(ωt + φin)

Vout(ω) =

Vout cos(ωt + φout)

I Il segnale di ingresso e quello di uscita hanno la stessa frequenza

f = ω

2πI L’ampiezza del segnale di uscita dipende dall’ampiezza del segnale di

ingresso, dal circuito in esame e dalla frequenza.I Il segnale di ingresso e quello di uscita possono avere una differenza di fase

che dipende dalla frequenza:

∆φ = φout − φin

I Si suole definire una funzione di trasferimento AV , caratterizzata daampiezza e fase:

AV (ω) = Vout(ω)Vin(ω)

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Prossima Esercitazione:2 Febbraio 2016

Argomenti:I altri esercizi DC e ACI impostazione relazioni di laboratorio

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