Elettrostatica nel vuoto

Come abbiamo visto nella parte di meccanica le forze sono

o di contatto (attrito, pressione, forza elastica) o a distanza

(gravitazione): osservazioni sperimentali hanno mostrato che

esiste un’altra forza a distanza che e detta elettrica.

E evidenza sperimentale che:

] due oggetti della medesima sostanza dopo essere stati

strofinati con un panno di lana se posti l’uno vicino all’altro

si respingono.

] mentre se i due oggetti sono di sostanze diverse (es. plasti-

ca e vetro) si possono sia respingere che attrarre, a seconda

delle sostanze (ad es. plastica e vetro si attraggono).

Anche le forze di natura elettrica soddisfano il terzo principio

della dinamica (principio di azione e reazione).

In natura esistono due tipi diversi di cariche elettriche:

] per convenzione si dice che sostanze come il vetro, per

strofinio con lana, acquistano carica positiva (sostanze ve-

trose)

] sostanze come l’ambra per strofinio acquistano carica ne-

gativa (sostanze resinose).

Cariche dello stesso segno si respingono mentre cariche di

segno opposto si attraggono.

I costituenti elementari della materia sono protoni, neutroni,

elettroni le cui masse sono:

mp = 1,6625 · 10−27 kg

mn = 1,6748 · 10−27 kg

me = 9,1091 · 10−31 kg '1

1840mp

Per quanto riguarda le dimensioni, il diametro del protone

e del neutrone e dell’ordine di 10−15 m, mentre l’elettrone e

puntiforme.

Il protone ha carica elettrica positiva e l’elettrone carica elet-

trica negativa, fra di loro uguali in valore assoluto. Fino ad

oggi non e stata osservata alcuna carica elettrica che sia una

frazione della carica del protone (o elettrone) che percio puo

essere considerata come la carica elementare, cioe la carica

elettrica si presenta come una grandezza fisica quantizzata.

Il neutrone e elettricamente neutro. Gli atomi sono elettrica-

mente neutri (la carica di un atomo e data dalla somma delle

cariche dei protoni ed elettroni che costituiscono l’atomo).

Le sostanze si dividono dal punto di vista elettrico in materia-

li isolanti, in cui le cariche trasferite per strofinio rimangono

localizzate, e materiali conduttori, in cui le cariche elettriche

negative sono libere di muoversi all’interno del corpo.

L’elettrizzazione di un corpo neutro puo effettuarsi mediante

contatto con un corpo carico o mediante induzione.

La legge di Coulomb

L’elettroscopio a foglie permette di dare una definizione

operativa della grandezza fisica carica

elettrica: due corpi hanno la stessa

carica se avvicinati all’elettroscopio pro-

ducono la stessa deflessione delle foglio-

line metalliche; quando un corpo carico

tocca un corpo uguale ma scarico, la ca-

rica si divide in parti uguali tra i due

corpi; si puo cosı suddivere la carica in

un numero arbitrario di parti fino ad ar-

rivare all’unita di carica.

In un sistema isolato la somma algebrica delle cariche elet-

triche si mantiene costante nel tempo.

La legge che governa l’attrazione e la repulsione delle cariche

elettriche porta il nome di Coulomb che fu il primo a misurare

quantitativamente le forze tra corpi carichi.

Siano q1 e q2 due cariche puntiformi poste ad una distanza r

nel vuoto, la forza ~F21 che la carica q2

subisce ad opera della carica q1 e

~F21 = kq1q2

r2r12 ~r12 = r r12

dove r12 e il versore che va dalla cari-

ca q1 alla carica q2. k e una costante

di proporzionalita (positiva) il cui valore

dipende dalle unita di misura.

] se q1 e q2 hanno lo stesso segno la forza e repulsiva

] se q1 e q2 hanno segno opposto la forza e attrattiva.

Nel SI l’unita di carica e il Coulomb C, definito come quella

carica che attraversa in un secondo un conduttore percorso

dalla corrente di un Ampere (A). Nel SI

k ≡1

4πε0= 8.9875 · 109 Nm2

C2ε0 = 8.854 · 10−12 C2

N m2

ε0 = costante dielettrica del vuoto. La carica di un pro-

tone vale 1.602 · 10−19 C, quindi 1C equivale alla carica di

6,24 · 1018 elettroni.

La legge di Coulomb e valida (esattamente) per cariche pun-

tiformi.

La legge di Coulomb e formalmente analoga a quella della

gravitazione, con la carica elettrica al posto della massa:

l’unica differenza e che la massa e solo positiva e quindi la

forza gravitazionale e sempre attrattiva.

E utile confrontare le due forze per un elettrone e un protone

posti alla distanza r0

Fg =Gmemp

r20

Fe =ke2

r20

⇒Fe

Fg=

ke2

Gmemp' 2.2 · 1039

Il campo elettrico

Supponiamo che in un punto dello spazio vi sia una carica

Q; se in un altro punto (individuato dal vettore posizione ~r,

rispetto a un certo sistema di riferimento) mettiamo un’altra

carica q0 (carica di prova) su questa agisce una forza di

natura elettrostatica. Il rapporto ~F/q0 e indipendente da q0

e viene detto campo elettrico generato nella posizione ~r dalla

carica Q.

~E(~r) ≡ ~E(x, y, z) =~F

q0

(da un punto di vista concettuale la carica di prova q0 deve

tendere a zero in modo che la perturbazione che essa gene-

ra sia trascurabile). Il campo esiste indipendentemente dalla

carica di prova: noto il campo in un punto, la forza su una

carica q posta in quel punto e data da ~F = q ~E.

Le dimensioni del campo elettrico sono quelle di una forza

divisa per una carica e l’unita di misura e:

Newton/Coulomb=Volt/metro

(il Volt verra introdotto in seguito).

Il campo elettrico e un campo vettoriale: in ogni punto dello

spazio e dato da un vettore, il cui modulo da l’intensita del

campo in quel punto. Per rappresentare graficamente un

campo elettrico si usano le linee di forza: in ogni punto il

campo elettrico e tangente alla linea di forza che passa per

quel punto. Inoltre, in ogni regione del campo viene dise-

gnato un numero di linee di forza tale che la loro densita e

proporzionale all’intensita del campo. Le linee di forza hanno

origine dalle cariche positive e terminano sulle cariche nega-

tive. Per ogni punto (tranne quelli in cui sono localizzate le

cariche) passa una e una sola linea di forza.

Il campo generato dalla carica puntiforme Q che supponiamo

per semplicita posta nell’origine ha la forma

~E(~r) =1

4πε0

Q

r2r =

1

4πε0

Q

r3~r

Il campo generato da una distribuzione discreta di cariche

puntiformi e dato dalla sovrapposizione dei campi generati

dalle singole cariche (ognuno calcolato come se solo una

carica fosse presente):

~E = ~E1 + ~E2 + · · · + ~Ek

O

+Q1

+Q2

~r1

~r2

~E1~E2

P

~E = ~E1 + ~E2x

y

z

~r

Nel caso di due cariche puntiformi

Q1 e Q2 poste in ~r1 e r2 il campo

in P individuato dal vettore ~r e

~E(~r) =1

4πε0

Q1

|~r − ~r1|3(~r − ~r1)

+1

4πε0

Q2

|~r − ~r2|3(~r − ~r2)

In termine delle componenti di ~r = (x, y, z), ~r1 = (x1, y1, z1),

~r2 = (x2, y2, z2) le componenti del campo elettrico sono

Ex(x, y, z) =1

4πε0

∑i=1,2

Qi(x − xi)

[(x − xi)2 + (y − yi)2 + (z − zi)2]3/2

Ey(x, y, z) =1

4πε0

∑i=1,2

Qi(y − yi)

[(x − xi)2 + (y − yi)2 + (z − zi)2]3/2

Ez(x, y, z) =1

4πε0

∑i=1,2

Qi(z − zi)

[(x − xi)2 + (y − yi)2 + (z − zi)2]3/2

Esempio: campo generato da un dipolo elettrico

Un dipolo e un sistema di due cariche puntiformi di carica di

intensita Q ma di segno opposto separate da una distanza

d. Supponiamo che le due cariche siano poste lungo l’asse

z simmetricamente rispetto all’origine e calcoliamo il campo

in un punto P dell’asse y posto a distanza D dall’origine (per

simmetria il campo sara uguale in tutti i punti del piano xy

posti alla stessa distanza D dall’asse z).

PO

D

+Q

−Q

d2

d2

r

r~E

~E+~E−

y

x

z

θ

θ

I campi generati dalle

due cariche sono uguali

in modulo e hanno di-

rezione e verso indicata

in figura

|E+| = |E−| =1

4πε0

Q

r2

r ≡

√D2 +

(d

2

)2

~E = ~E+ + ~E− = −2|E+| sin θ k

Dalla figura, sin θ = d/2r

, quindi

~E = −1

4πε0

Qd

r3k

Campo elettrico di distribuzioni continue di carica

O

dτ

~r′

d ~E

P

x

y

z

~r

τ

ρ

Nel caso di una distribuzione

continua di carica si considerano

degli elementi infinitesimi di ca-

rica dq, si determina il campo

prodotto da ciascun elemento e

si somma (integra) su tutta la

distribuzione di carica.

Quando la carica e distribuita in un volume τ e conveniente

introdurre la densita spaziale di carica ρ. La carica infinite-

sima dq contenuta nell’elemento di volume dτ e

dq = ρdτ ⇒ ρ =dq

dτdimensioni: [ρ] = [Q] [L−3]

quindi l’unita di misura di ρ sono C/m3.

Il campo nel punto P , individuato da ~r, generato dalla carica

infinitesima dq localizzata nel punto ~r′ vale

d ~E(~r) =1

4πε0

dq(~r′)

|~r − ~r′|3(~r − ~r′)

Il campo totale si ottiene integrando su tutta la distribuzione

di carica

~E(~r) =1

4πε0

∫τ

dq(~r′)

|~r − ~r′|3(~r − ~r′)

=1

4πε0

∫τ

ρ(x′, y′, z′)(~r − ~r′)

|~r − ~r′|3dτ ′

In generale ρ dipende da ~r′: solo se ρ non dipende dalla po-

sizione (i.e. ρ e uniforme) puo essere portata fuori dall’integrale.

O

dS

~r′

d ~E

P

x

y

z

~r

Σ

σQuando la carica e distribuita su

di una superficie Σ si introduce

la densita superficiale di carica σ.

La carica infinitesima dq contenuta

nell’elemento di superficie dS e

dq = σdS ⇒ σ =dq

dS

le dimensioni di σ sono: [σ] = [Q] [L−2] e nel SI si misura in

C/m2.

~E(~r) =1

4πε0

∫Σ

dq(~r′)

|~r − ~r′|3(~r − ~r′)

=1

4πε0

∫Σ

σ(x′, y′, z′)(~r − ~r′)

|~r − ~r′|3dS′

In generale σ varia da punto a punto.

O

dl

~r′

d ~E

P

x

y

z

~r

Λ

λ

Quando la carica e distribuita lungo

una linea Λ si introduce la densita

lineare di carica λ. La carica in-

finitesima dq contenuta nell’elemento

di linea dl e

dq = λdl ⇒ λ =dq

dl

le dimensioni di λ sono:

[λ] = [Q] [L−1] e nel SI si misura in C/m.

~E(~r) =1

4πε0

∫Λ

λ(x′, y′, z′)(~r − ~r′)

|~r − ~r′|3dl′

In generale λ varia da punto a punto.

Calcoliamo i campi elettrici generati da particolari distribuzioni

di carica.

P Filo rettilineo indefinito uniformemente carico

I due tratti di filo d~l1 e d~l2, simmetrici rispetto all’origine e di

modulo uguale a dl, hanno ciascuno una carica infinitesima

dq = λdl e generano in P il campo d ~E = d ~E1 + d ~E2

d~l1

d~l2

l

l

O

P

d~E1

d ~E2

d ~Eθ

Rn

+λ

θ

r

|d ~E1| = |d ~E2| =1

4πε0

λdl

r2

d ~E = (dE1 + dE2) cos θ n

=1

4πε0

2λdl

r2cos θ n

dove r = R/ cos θ.

L’elemento di linea dl e

legato all’incremento di

angolo dθ da:

l = R tan θ → dl = Rdθ

cos2 θ

Tutti i contributi al campo dei diversi dl sono diretti come

n, quindi anche il campo totale ha la stessa direzione

~E =

∫d ~E =

λn

2πε0

∫ ∞

0

cos θ

r2dl =

λn

2πε0

∫ π/2

0

cos3 θ

R2

Rdθ

cos2 θ

=λn

2πε0R

∫ π/2

0cos θdθ =

λ

2πε0Rn

~E =λ

2πε0Rn campo del filo rettilineo

Il campo e ortogonale al filo e dipende solo dalla distanza R

dal filo stesso oltre che da λ.

Questo risultato vale con una buona approssimazione anche

per un filo finito ma solo in punti molto vicini al filo.

P Spira circolare uniformemente carica

Sia Q la carica totale della spira → la densita di carica λ e

α

RO

Px

x

d~E

dEx

λ

dl

~r

λ =Q

2πRIl campo infinitesimo in un punto

dell’asse della spira generato dalla carica

infinitesima dq = λdl posta sull’elemento

dl e

d ~E =1

4πε0

λdl

r2r

dEx =1

4πε0

λdl

r2cosα

Nella somma vettoriale dei diversi contributi al campo prove-

nienti dai diversi d~l solo la componente del campo lungo

l’asse x sopravvive

Ex =

∫spira

dEx =1

4πε0

∫spira

λdl

r2cosα =

1

4πε0

λ cosα

r2

∫spira

dl

=1

4πε0

λ cosα2πR

r2=

1

4πε0

Q cosα

r2

dove si e usato il fatto che α e r sono costanti e che

l’integrale sulla spira di dl da la lunghezza della circonferenza.

Questo risultato puo essere espresso in termini della distanza

x dal centro della spira: x = r cosα e r2 = x2+R2 e si trova:

~E =λR

2ε0

x

(x2 + R2)3/2x campo di una spira sull’asse

(dove x e il versore dell’asse della spira).

Il campo di una spira uniformemente carica sull’asse della

spira e diretto lungo l’asse.

P Piano indefinito uniformemente carico

Utilizziamo il risultato precedente per calcolare il campo ge-

nerato da un piano indefinito uniformemente carico.

Consideriamo nel piano una corona circolare di raggio R e

spessore infinitesimo dR. La sua carica ed il campo infinite-

σ

O

R

d~EαP

x

n

r

dSdR

simo da essa generato in P sono:

dQ = σdS = σ 2πR dR

d~E =1

4πε0

dQ cosα

r2n

=σ2πRdR

4πε0

cosα

r2n

Integrando su R si ottiene il campo generato dal piano carico.

Poiche ciascun d ~E e diretto come n, il versore normale al

piano, anche il campo totale e normale al piano

~E(P ) =

∫piano

d ~E =σ

2ε0n

∫piano

cosα

r2RdR

Se x e la distanza di P dal piano, dR e legato a dα da

R = x tanα ⇒ dR = xdα

cos2 α, inoltre r =

x

cosα

~E =σn

2ε0

∫ π/2

0

cos3 α

x2x2 tanα

dα

cos2 α=

σn

2ε0

∫ π/2

0sinαdα =

σ

2ε0n

~E =σ

2ε0n campo di un piano uniformemente carico

La densita delle linee di forza e uniforme; per quanto riguarda

il verso, le linee di forza sono uscenti dal piano se σ e positiva,

entranti se σ e negativa.

Questo risultato vale con una buona approssimazione anche

per un disco di raggio finito ma solo in punti molto vicini al

disco.

Flusso di un campo vettoriale

Consideriamo una superficie chiusa S immersa in una regione

di spazio in cui il campo ~E e diverso da zero. Il flusso del

campo elettrico attraverso la superficie infinitesima dS e

dΦ( ~E) ≡ ~E · ~dS = ~E · ndS = EdS cos θ

~dS e il vettore il cui modulo e dato

dall’aera infinitesima dS, la direzione

e perpendicolare all’area e il verso e

diretto verso l’esterno della superficie

~dS = dSn

Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie S e

ΦS( ~E) ≡∫

S

~E · ~dS

dove l’integrale e esteso a tutta la superficie chiusa S.

La legge (o teorema) di Gauss: Il flusso del campo elet-

trico attraverso una superficie chiusa e uguale alla somma

algebrica delle cariche interne alla superficie divisa per ε0

ΦS( ~E) ≡∫

S

~E · ~dS =1

ε0

∑Qint

Il campo e prodotto da tutte le cariche, sia interne che es-

terne, ma il flusso dipende solo dalle cariche interne.

~E

~E

~E~E~E

z

O

+Q

~E

y

x

Φ( ~E) = Q/ε0

z

Oy

x

+Q

r

~E

r

~E

Φ( ~E) = 0

La legge di Gauss e una conseguenza delle legge di Coulomb:

la sua dimostrazione si basa sul fatto che il campo di una

carica puntiforme e radiale e che la sua dipendenza dalla

distanza e r−2.

Quando la carica e interna

dΦ( ~E) = ~E · ~dS =1

4πε0

q

r2r · ndS

=1

4πε0

q

r2cos θdS

=1

4πε0

q

r2dSn =

q

4πε0dΩ

ΦS( ~E) =

∫S

dΦ( ~E) =

∫4π

q

4πε0dΩ =

q

ε0

Quando la carica e esterna∣∣∣dΦ1

∣∣∣ =1

4πε0

q

r21

dS1n =q

4πε0dΩ∣∣∣dΦ2

∣∣∣ =1

4πε0

q

r22

dS2n =q

4πε0dΩ

ma dΦ1 < 0 mentre dΦ2 > 0

quindi ΦS( ~E) = 0

Per una distribuzione continua di carica di densita ρ

ΦS( ~E) ≡∫

S

~E · ~dS =1

ε0

∫τ

ρ(x, y, z)dτ

dove τ e il volume racchiuso dalla superficie S.

La legge di Gauss e uno strumento molto utile per deter-

minare ~E ma solo nei casi in cui la distribuzione di carica

goda di particolari simmetrie ( es. sferica, cilindrica), perche

in questo caso l’integrale di superficie e facilmente calcola-

bile.

Applicazioni della legge di Gauss

_ filo rettilineo indefinito uniformemente carico

Per trovare il campo ad una distanza r dal filo prendiamo una

superficie cilindrica S con asse sul filo di altezza L e raggio

r. Per ragioni di simmetria il campo e diretto radialmente

ed e costante in modulo su tutta la superficie laterale del

cilindro. Le due basi del cilindro danno

contributo nullo al flusso perche ~dS

e ortogonale al campo, rimane solo il

contributo dalla superficie laterale ΦS( ~E) = E(r) 2πrL

Qint = λL (λ densita lineare di carica)

E(r) 2πrL =λL

ε0⇒ E(r) =

λ

2πε0r

_ Piano indefinito uniformemente carico

Prendiamo una superficie cilindrica S di area di base A e

altezza D disposta simmetricamente rispetto al piano. Per

simmetria il campo e diretto perpendicolarmente alle due

superfici di base ed e in modulo uguale (poiche sono disposte

simmetricamente). Inoltre la superficie laterale non

contribuisce al flusso (n ⊥ al campo).ΦS( ~E) = 2AE

Qint = σA (σ densita superficiale

di carica)

E 2A =σA

ε0⇒ E =

σ

2ε0

_ Sfera di raggio R uniformemente carica

Per simmetria il campo e radiale e di modulo costante in

tutti i punti a uguale distanza dal centro della sfera carica.

Prendiamo una superficie sferica S di raggio r concentrica

con la sfera carica ΦS( ~E) = 4πr2E(r)

Qint = Q r > R

Qint = ρ43πr3 = Q

(rR

)3r < R

Q e la carica totale della sfera, ρ = Q/(43πR3)

r > R 4πr2E(r) =Q

ε0⇒ E =

1

4πε0

Q

r2

r < R 4πr2E(r) =Q

ε0

( r

R

)3⇒ E =

1

4πε0

Q

R3r

Il potenziale elettrico

Su di una carica di prova q immersa in un campo elettrico~E (generato da altre cariche) agisce una forza ~F = q ~E. Il

lavoro del campo per spostare la carica q di un tratto ~dl e

dL = ~F · ~dl = q ~E · ~dl. Il lavoro per spostare la carica da A a B

LA→B =

∫ B

A

dL =

∫ B

A

~F · ~dl = q

∫ B

A

~E · ~dl

Il lavoro per unita di carica

LA→B ≡L

q=

∫ B

A

~E · ~dl

Si puo mostrare che il campo elettro-

statico e conservativo,

cioe il lavoro non dipende dal cammino seguito per andare

da A a B ma solo dagli estremi. Ad esempio il lavoro

fatto dal campo generato da una carica puntiforme Q posta

nell’origine su una carica di prova unitaria

LA→B =1

4πε0

∫ B

A

Q

r2r · ~dl

r · ~dl = dr

LA→B =Q

4πε0

∫ B

A

dr

r2=

Q

4πε0

(1

rA−

1

rB

)Si definisce: potenziale generato dalla carica puntiforme Q

V (r) =1

4πε0

Q

r+ costante

Si ha percio

LA→B =

∫ B

A

~E · ~dl = V (A) − V (B) (vale in generale)

il lavoro fatto dal campo per spostare una carica unitaria da

A a B e pari alla differenza di potenziale tra A e B.

Come per tutte le forze conservative si introduce un’energia

potenziale elettrostatica tale che il lavoro svolto dal campo

su una carica q e pari alla variazione dell’energia potenziale

elettrostatica cambiata di segno:

LA→B = qLA→B = −(UB − UA) =⇒ ∆U = q∆V

Solo le variazioni di (energia) potenziale sono significative:

quando tutte le cariche sono al finito, si fissa la costante

nella definizione del potenziale in modo tale che V (∞) = 0,

quindi in un punto P di coordinate (x, y, z) si ha

V (x, y, z) =

∫ ∞

P

~E · ~dl

il potenziale in P e pari al lavoro fatto dal campo per portare

la carica unitaria da P all’infinito.

Inoltre per una carica puntiforme Q posta nell’origine degli

assi il potenziale in un punto a distanza r da essa e

V (r) =1

4πε0

Q

r

Unita di misura del potenziale

[V ] =[Lavoro]

[carica]=

Joule

Coulomb≡ Volt

L’unita di misura del campo elettrico

Newton

Coulomb=

N m

C m=

J

C m=

Volt

m

Le linee di forza del campo elettrico sono sempre puntate

nella direzione in cui il potenziale elettrico decresce, quindi

quando una carica positiva si muove nel verso del campo

elettrico l’energia potenziale elettrica diminuisce.

Superficie equipotenziale: e il luogo geometrico dei punti

aventi lo stesso potenziale elettrico. Le superfici equipoten-

ziali sono sempre ortogonali alle linee di forza del campo

elettrico: infatti se il campo avesse una componente diversa

da zero lungo una superficie equipotenziale compierebbe un

lavoro non nullo per spostare una carica di prova sulla su-

perficie stessa ma questo e in contraddizione col fatto che

la variazione dell’energia potenziale e nulla.

Una famiglia di superfici equipotenziali, ognuna corrispon-

dente a un diverso valore del potenziale, puo essere usata per

dare una descrizione del campo elettrico: il campo elettrico

e piu intenso nelle regioni in cui le superfici equipotenziali si

addensano.

Il potenziale di N cariche puntiformi Qi poste in ~ri (tutte al

finito) in un punto ~r e

V (~r) =1

4πε0

N∑i=1

Qi

|~r − ~ri|

e per distribuzioni continue di carica (tutta al finito) con

densita ρ (o σ, λ, rispettivamente)

V (~r) =1

4πε0

∫τ

ρ(x′, y′, z′)dτ ′

|~r − ~r′|,

V (~r) =1

4πε0

∫Σ

σ(x′, y′, z′)dS′

|~r − ~r′|, V (~r) =

1

4πε0

∫Λ

λ(x′, y′, z′)dl′

|~r − ~r′|

Energia potenziale di un sistema di cariche

L’energia potenziale di una carica puntiforme q situata in un

punto P e

U(P ) = q V (P )

ed e il lavoro fatto dal campo per portare la carica q da

P all’infinito. Questo e pari al lavoro fatto dall’esterno per

portare la carica q dall’infinito in P . Possiamo quindi definire

l’energia potenziale di un sistema di cariche puntiformi come

il lavoro fatto dall’esterno per assemblare il sistema. Sup-

poniamo di voler portare due cariche q1 e q2 nelle posizioni P1

e P2. Il lavoro fatto per portare la prima carica dall’infinito

in P1 e nullo (non c’e campo). Il lavoro

fatto per portare la carica q2 in P2 in pre-

senza della carica q1 in P1 e

U(q2) = q2V1(P2) = q21

4πε0

q1

r12=

q1q2

4πε0r12

dove V1(P2) e il potenziale generato dalla

carica q1 in P2. Per portare una terza carica q3 in P3 occorre

fare un lavoro contro il campo generato da q1 e q2

U(q3) = q3[V1(P3) + V2(P3)]

= q31

4πε0

(q1

r13+

q2

r23

)=

1

4πε0

(q1q3

r13+

q2q3

r23

)L’energia di interazione del sistema di tre cariche e

U = U(q2) + U(q3) =1

4πε0

(q1q2

r12+

q1q3

r13+

q2q3

r23

)

Per un sistema di N cariche puntiformi

U = 12

N∑i,j=1i 6=j

qiqj

4πε0rij= 1

2

N∑i

qiVi

dove Vi e il potenziale nella posizione occupata da qi generato

da tutte le altre cariche

Vi =N∑

j 6=i

qj

4πε0rij

Ricavare il campo dal potenziale elettrico

Dalla definizione di differenza di potenziale

V (A) − V (B) =

∫ B

A

~E · ~dl

se A = (x, y, z) e B = (x + dx, y + dy, z + dz), cioe se A e

B distano di un tratto infnitesimo ~dl = dx i + dy j + dz dz, la

variazione del potenziale e

dV = V (x + dx, y + dy, z + dz) − V (x, y, z) = − ~E · ~dl

= − (Ex dx + Ey dy + Ez dz)

D’altra parte dV =∂V

∂xdx+

∂V

∂ydy +

∂V

∂zdz

confrontando le due relazioni si ha

Ex = −∂V

∂x, Ey = −

∂V

∂y, Ez = −

∂V

∂z

~E = −(

∂V

∂xi +

∂V

∂yj +

∂V

∂zk

)≡ −~∇V

il campo elettrico e uguale al gradiente del potenziale elet-

trostatico cambiato di segno. (N.B. il campo e esprimibile

come il gradiente di una funzione scalare perche e un campo

conservativo)